Обобщенная линейная модель множественной регрессии; гетероскедастичность

Лекция 9 Обобщенная линейная модель множественной регрессии. Гетероскедастичность. Вопросы: 1. Обобщенная линейная модель множественной регрессии. Теорема Айткена. 2.Суть гетероскедастичности. 3. Обнаружение гетероскедастичности. 4. Методы смягчения проблемы гетероскедастичности. 1. Обобщенная линейная модель множественной регрессии. Теорема Айткена. Рассмотрим линейную модель множественной регрессии: 1) 2) , , , , Значения признака Матрица объясняющих Вектор Вектор Вектор переменных, столбцами регрессора j случайных коэфф-тов которой являются Xj ошибок регрессии 3), В классической модели компоненты вектора возмущений некоррелированы М() = 0 при , а дисперсии компонент постоянны , ковариационная матрица возмущений Суть обобщения регрессионной модели состоит в том, что ковариации и дисперсии объясняющих переменных могут быть произвольными (т.о. обобщенная модель множественной регрессии отличается от классической только видом ковариационной матрицы). - положительно определенная матрица (АТ = А и хТАх > 0). В классической модели множественной регрессии обычным МНК был получен вектор оценок параметров, он является несмещенной и состоятельной оценкой для . Рассмотрим ковариационную матрицу В классической модели и К = . В качестве выборочной оценки ковариационной матрицы К была взята матрица , где , причем M(S2) = и = К, т.е. - несмещенная оценка К. В обобщенной модели и К = . Если в качестве оценки матрицы К взять ту же матрицу, то , т.е. - смещенная оценка для К. Т.о., обычный МНК в обобщенной линейной регрессионной модели дает смещенную оценку ковариационной матрицы К вектора оценок параметров. Следовательно, оценка не будет оптимальной в смысле теоремы Гаусса-Маркова. Для получения наиболее эффективной оценки ковариационной матрицы К нужно использовать оценку, получаемую так называемым обобщенным МНК. Теорема Айткена: в классе линейных несмещенных оценок вектора для обобщенной регрессионной модели оценка имеет наименьшую ковариационную матрицу. Для применения обобщенного МНК надо знать ковариационную матрицу вектора возмущений , что встречается крайне редко в практике эконометрического моделирования. Если считать все n(n+1)/2 элементов матрицы неизвестными параметрами обобщенной модели (в дополнение к (р+1) параметрам регрессии), то общее число параметров превысит число наблюдений n, что сделает оценку этих параметров неразрешимой задачей. Для практической реализации обобщенного МНК вводятся дополнительные условия на структуру матрицы . 2.Суть гетероскедастичности. В случаях, когда выполняются все предпосылки теоремы Гаусса-Маркова, оценки, полученные по МНК, являются несмещенными, состоятельными и эффективными. Если распределение случайных остатков не соответствует некоторым предпосылкам МНК, то следует корректировать модель. Прежде всего, необходимо проверить случайный характер остатков . Для этого можно построить график зависимости остатков от теоретических значений результативного признака (рис.1). Рис. 1. Зависимость случайных остатков от теоретических значений Если на графике нет направленности в расположении точек , то остатки представляют собой случайные величины и использование МНК оправдано. Возможны следующие случаи (рис.2.): Рис.2. Зависимость от а) остатки не случайны; б) остатки носят систематический характер; в) остатки не имеют постоянной дисперсии. В этих случаях необходимо использовать другую функцию, либо вводить дополнительную информацию. Другой предпосылкой регрессионного анализа является предположение о постоянстве дисперсии случайного члена для всех наблюдений (гомоскедастичность). Это значит, что для каждого значения объясняющей переменной случайные члены имеют одинаковые дисперсии. D() = M(2) – M2() = M(2) = 2 = Const для всех наблюдений. Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность (рис. 3). Рис. 3. Примеры гетероскедастичности. Гомоскедастичность остатков означает, что дисперсия остатков одинакова для каждого значения х (рис. 4, рис. 5). Рис. 4. Гомоскедастичность остатков Рис.5. Гетероскедастичность остатков Наличие гетероскедастичности может привести к смещенности оценок коэффициентов регрессии, хотя несмещенность оценок в основном зависит от соблюдения предположения о независимости остатков и величин факторов (т.е. cov(х,) = 0). Гетероскедастичность будет сказываться на уменьшении эффективности оценок параметров. В частности, невозможно использовать формулу стандартной ошибки коэффициентов Sb, предполагающей единую дисперсию остатков. При нарушении гомоскедастичности имеет место неравенство . Поэтому все выводы, получаемые на основе соответствующих t- и F- статистик, а также интервальные оценки будут ненадежными. Следовательно, статистические выводы будут неверны. Возможные причины: 1. Значения переменных значительно различаются для разных наблюдений. Например, строя зависимость между государственными расходами на образование и ВВП в различных странах используем и Сингапур, и США, где 3% ВВП соответственно: 0,0096 и 5,439 (для 1980 г.) и изменения в 1% сильно отличаются. 2. Проблема гетероскедастичности характерна для перекрестных данных и довольно редко встречается при рассмотрении временных рядов. 3. Обнаружение гетероскедастичности. Не существует какого-либо однозначного метода определения гетероскедастичности. При этом разработано большое число различных тестов и критериев. Рассмотрим наиболее популярные из них. 3.1. Тест ранговой корреляции Спирмена. Выдвигается Ho об отсутствии гетероскедастичности случайного члена. Предполагается, что дисперсия случайного члена будет либо увеличиваться, либо уменьшаться по мере увеличения Х, и поэтому в регрессии по МНК абсолютные величины остатков и значения Х будут коррелированны. Схема теста: 1) данные по Х и остатки ранжируются по Х и определяются их ранги; 2) коэффициент ранговой корреляции Спирмена определяется по формуле , где Di - разность между рангами Х и ; 3) Статистический критерий имеет распределение Стьюдента, т.к. . Если , H0 об отсутствии гетероскедастичности будет отклонена. Если в модели регрессии имеется более одной объясняющей переменной, то проверка гипотезы может выполняться с использованием любой из них. Пример. Исследуется зависимость между доходом (Х) домохозяйства и его расходом (Y) на продукты питания. Выборочные данные по 40 домохозяйствам даны в таблице. x 25,5 26,5 27,2 29,6 35,7 38,6 39 39,3 40 41,9 y 14,5 11,3 14,7 10,2 13,5 9,9 12,4 8,6 10,3 13,9 x 42,5 44,2 44,8 45,5 45,5 48,3 49,5 52,3 55,7 59 y 14,9 11,6 21,5 10,8 13,8 16 18,2 19,1 16,3 17,5 x 61 61,7 62,5 64,7 69,7 71,2 73,8 74,7 75,8 76,9 y 10,9 16,1 10,5 10,6 29 8,2 14,3 21,8 26,1 20 x 79,2 81,5 82,4 82,8 83 85,9 86,4 86,9 88,3 89 y 19,8 21,2 29 17,3 23,5 22 18,3 13,7 14,5 27,3 Решение 1. Строим уравнение регрессии и определяем остатки. ВЫВОД ИТОГОВ Регрессионная статистика Множественный R 0,564649 R-квадрат 0,318828 Нормированный R-квадрат 0,300903 Стандартная ошибка 4,672041 Наблюдения 40 Дисперсионный анализ   df SS MS F Значимость F Регрессия 1 388,2371 388,2371 17,786 0,0001 Остаток 38 829,4627 21,82796 Итого 39 1217,7         Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Нижние 95,0% Верхние 95,0% Y-пересечение 7,040019 2,322793 3,030842 0,0044 2,3378 11,742 2,3378 11,74 х 0,156883 0,037199 4,217372 0,0001 0,0816 0,2322 0,0816 0,232 ВЫВОД ОСТАТКА Наблюдение Предсказанное у Остатки 1 11,04054 3,459461 2 11,19742 0,102578 3 11,30724 3,39276 4 11,68376 -1,48376 5 12,64075 0,859253 6 13,09571 -3,19571 7 13,15846 -0,75846 8 13,20553 -4,60553 9 13,31534 -3,01534 10 13,61342 0,286578 11 13,70755 1,192448 12 13,97425 -2,37425 13 14,06838 7,431617 14 14,1782 -3,3782 15 14,1782 -0,3782 16 14,61747 1,382526 17 14,80573 3,394266 18 15,24501 3,854994 19 15,77841 0,521591 20 16,29612 1,203877 21 16,60989 -5,70989 22 16,71971 -0,61971 23 16,84521 -6,34521 24 17,19036 -6,59036 25 17,97477 11,02523 26 18,2101 -10,0101 27 18,61799 -4,31799 28 18,75919 3,040812 29 18,93176 7,16824 30 19,10433 0,895669 31 19,46516 0,334838 32 19,82599 1,374006 33 19,96719 9,032812 34 20,02994 -2,72994 35 20,06132 3,438682 36 20,51628 1,483721 37 20,59472 -2,29472 38 20,67316 -6,97316 39 20,8928 -6,3928 40 21,00262 6,297383 2. Значения хi уже упорядочены по возрастанию, поэтому определяем ранги хi и ранги соответствующих остатков. х ABS(e) ранг х ранг е D 25,5 3,459461 1 26 -25 26,5 0,102578 2 1 1 27,2 3,39276 3 23 -20 29,6 1,48376 4 15 -11 35,7 0,859253 5 8 -3 38,6 3,195708 6 21 -15 39 0,758461 7 7 39,3 4,605526 8 29 -21 40 3,015344 9 19 -10 41,9 0,286578 10 2 8 42,5 1,192448 11 10 1 44,2 2,374253 12 17 -5 44,8 7,431617 13 37 -24 45,5 3,378201 14 22 -8 45,5 0,378201 15 4 11 48,3 1,382526 16 13 3 49,5 3,394266 17 24 -7 52,3 3,854994 18 27 -9 55,7 0,521591 19 5 14 59 1,203877 20 11 9 61 5,70989 21 30 -9 61,7 0,619708 22 6 16 62,5 6,345214 23 32 -9 64,7 6,590357 24 34 -10 69,7 11,02523 25 40 -15 71,2 10,0101 26 39 -13 73,8 4,317994 27 28 -1 74,7 3,040812 28 20 8 75,8 7,16824 29 36 -7 76,9 0,895669 30 9 21 79,2 0,334838 31 3 28 81,5 1,374006 32 12 20 82,4 9,032812 33 38 -5 82,8 2,729942 34 18 16 83 3,438682 35 25 10 85,9 1,483721 36 14 22 86,4 2,294721 37 16 21 86,9 6,973162 38 35 3 88,3 6,392799 39 33 6 89 6,297383 40 31 9 3. Определяем коэффициент корреляции Спирмена и t-статистику 4. Т.к. tкр(0,05;38)=2,021 < , то гетероскедастичность доказана. 3.2. Метод Голдфелда-Квандта. При проведении проверки по этому тесту предполагается, что стандартное отклонение случайного члена пропорционально значению независимой переменной Х. Схема теста: 1) все n наблюдений упорядочиваются по возрастанию переменной Х; 2) оцениваются отдельные регрессии для первых m и для последних m наблюдений. Средние (n-2m) наблюдений отбрасываются (); 3) составляется статистика , где S1, S2 – суммы квадратов остатков для первых и последних наблюдений; 4) Если , Ho об отсутствии гетероскедастичности отклоняется (если обратно пропорционально Х, то ). Пример. Воспользуемся условием предыдущего примера и определим наличие гетероскедастичности остатков с помощью теста Голдфелда-Квандта. Решение. 1) Упорядоченные по возрастанию х данные хi и уi разбиваются на три приблизительно равные части. Для первой и последней строятся уравнения регрессии и рассчитывается F-статистика. 1-я часть 2-я часть х у x y 25,5 14,5 73,8 14,3 26,5 11,3 74,7 21,8 27,2 14,7 75,8 26,1 29,6 10,2 76,9 20 35,7 13,5 79,2 19,8 38,6 9,9 81,5 21,2 39 12,4 82,4 29 39,3 8,6 82,8 17,3 40 10,3 83 23,5 41,9 13,9 85,9 22 42,5 14,9 86,4 18,3 44,2 11,6 86,9 13,7 44,8 21,5 88,3 14,5 45,5 10,8 89 27,3 ВЫВОД ИТОГОВ Регрессионная статистика Множественный R 0,11 R-квадрат 0,012 Нормированный R-квадрат -0,07 Стандартная ошибка 3,335 Наблюдения 14 Дисперсионный анализ   df SS MS F Значимость F Регрессия 1 1,6285 1,628 0,146 0,7087 Остаток 12 133,5 11,12 Итого 13 135,12         Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Нижние 95,0% Верхние 95,0% Y-пересечение 10,87 4,926 2,206 0,048 0,1351 21,6 0,135078 21,60065 х 0,05 0,1304 0,383 0,709 -0,234 0,334 -0,23415 0,3339 ВЫВОД ИТОГОВ Регрессионная статистика Множественный R 0,039 R-квадрат 0,002 Нормированный R-квадрат -0,082 Стандартная ошибка 4,992 Наблюдения 14 Дисперсионный анализ   df SS MS F Значимость F Регрессия 1 0,4598 0,46 0,018 0,8942 Остаток 12 299,09 24,92 Итого 13 299,55         Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Нижние 95,0% Верхние 95,0% Y-пересечение 23,63 22,15 1,067 0,307 -24,63 71,89 -24,6287 71,89183 x -0,037 0,27 -0,136 0,894 -0,625 0,552 -0,62485 0,551522 2) Т.к. , то нет оснований отвергать Н0 об отсутствии гетероскедастичности. 3.3. Тест Глейзера. Тест Глейзера основывается на более общих представлениях о зависимости стандартной ошибки случайного члена от значений объясняющей переменной. Предположение о пропорциональности и Х снимаем и хотим проверить, может ли быть более подходящей какая-либо другая функциональная форма, например, . Чтобы использовать этот метод: 1) оценивают регрессию Y по Х и вычисляют – абсолютные значения остатков; 2) оценивают регрессию по для нескольких значений : ; 3) если Н0: b = 0 отклоняется (т.е. b значим), то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности будет отклонена. Если при оценивании более чем одной функции получается значимая оценка b, то ориентиром при определении характера гетероскедастичности может служить лучшая из них. Пример. Воспользуемся расчетами предыдущего примера и проверим наличие гетероскедастичности с помощью теста Глейзера. Решение 1) Рассчитаем уравнения регрессии еi от при . х ABS(e) x^(-1) x^(-0,5) x^0,5 x^1,5 25,5 3,459461 0,039216 0,19803 5,049752 128,7687 26,5 0,102578 0,037736 0,194257 5,147815 136,4171 27,2 3,39276 0,036765 0,191741 5,215362 141,8578 29,6 1,48376 0,033784 0,183804 5,440588 161,0414 35,7 0,859253 0,028011 0,167365 5,974948 213,3056 38,6 3,195708 0,025907 0,160956 6,21289 239,8175 39 0,758461 0,025641 0,160128 6,244998 243,5549 39,3 4,605526 0,025445 0,159516 6,268971 246,3706 40 3,015344 0,025 0,158114 6,324555 252,9822 41,9 0,286578 0,023866 0,154487 6,473021 271,2196 42,5 1,192448 0,023529 0,153393 6,519202 277,0661 44,2 2,374253 0,022624 0,150414 6,648308 293,8552 44,8 7,431617 0,022321 0,149404 6,69328 299,859 45,5 3,378201 0,021978 0,14825 6,745369 306,9143 45,5 0,378201 0,021978 0,14825 6,745369 306,9143 48,3 1,382526 0,020704 0,143889 6,94982 335,6763 49,5 3,394266 0,020202 0,142134 7,035624 348,2634 52,3 3,854994 0,01912 0,138277 7,231874 378,227 55,7 0,521591 0,017953 0,13399 7,463243 415,7026 59 1,203877 0,016949 0,130189 7,681146 453,1876 61 5,70989 0,016393 0,128037 7,81025 476,4252 61,7 0,619708 0,016207 0,127309 7,854935 484,6495 62,5 6,345214 0,016 0,126491 7,905694 494,1059 64,7 6,590357 0,015456 0,124322 8,043631 520,4229 69,7 11,02523 0,014347 0,11978 8,348653 581,9011 71,2 10,0101 0,014045 0,118511 8,438009 600,7863 73,8 4,317994 0,01355 0,116405 8,590693 633,9931 74,7 3,040812 0,013387 0,115702 8,642916 645,6258 75,8 7,16824 0,013193 0,114859 8,70632 659,939 76,9 0,895669 0,013004 0,114035 8,769265 674,3564 79,2 0,334838 0,012626 0,112367 8,899438 704,8355 81,5 1,374006 0,01227 0,11077 9,027735 735,7604 82,4 9,032812 0,012136 0,110163 9,077445 747,9814 82,8 2,729942 0,012077 0,109897 9,099451 753,4345 83 3,438682 0,012048 0,109764 9,110434 756,166 85,9 1,483721 0,011641 0,107896 9,268225 796,1406 86,4 2,294721 0,011574 0,107583 9,29516 803,1018 86,9 6,973162 0,011507 0,107273 9,322017 810,0833 88,3 6,392799 0,011325 0,106419 9,396808 829,7381 89 6,297383 0,011236 0,106 9,433981 839,6243 ВЫВОД ИТОГОВ Регрессионная статистика Множественный R 0,347879 R-квадрат 0,12102 Нормированный R-квадрат 0,097889 Стандартная ошибка 2,732943 Наблюдения 40 Дисперсионный анализ   df SS MS F Значимость F Регрессия 1 39,07716 39,07716 5,23193 0,027833 Остаток 38 283,8211 7,468976 Итого 39 322,8983         Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Y-пересечение 8,7119 2,294002 3,797686 0,000512 4,067936 13,35586 x^(-0,5) -37,7515 16,50452 -2,28734 0,027833 -71,1631 -4,33981 ВЫВОД ИТОГОВ Регрессионная статистика Множественный R 0,35414 R-квадрат 0,125415 Нормированный R-квадрат 0,1024 Стандартная ошибка 2,726101 Наблюдения 40 Дисперсионный анализ   df SS MS F Значимость F Регрессия 1 40,49641 40,49641 5,449198 0,024963 Остаток 38 282,4019 7,431628 Итого 39 322,8983         Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Y-пересечение -2,15816 2,486641 -0,8679 0,390897 -7,1921 2,875785 x^0,5 0,754429 0,323186 2,334352 0,024963 0,100174 1,408685 ВЫВОД ИТОГОВ Регрессионная статистика Множественный R 0,351385 R-квадрат 0,123472 Нормированный R-квадрат 0,100405 Стандартная ошибка 2,729129 Наблюдения 40 Дисперсионный анализ   df SS MS F Значимость F Регрессия 1 39,8688 39,8688 5,35285 0,026194 Остаток 38 283,0295 7,448144 Итого 39 322,8983         Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Y-пересечение 0,58244 1,356838 0,429263 0,670156 -2,16433 3,329215 х 0,050274 0,02173 2,313623 0,026194 0,006285 0,094263 ВЫВОД ИТОГОВ Регрессионная статистика Множественный R 0,345728 R-квадрат 0,119528 Нормированный R-квадрат 0,096358 Стандартная ошибка 2,735261 Наблюдения 40 Дисперсионный анализ   df SS MS F Значимость F Регрессия 1 38,59537 38,59537 5,158668 0,02888 Остаток 38 284,3029 7,481655 Итого 39 322,8983         Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Y-пересечение 1,504832 1,002367 1,501278 0,141548 -0,52435 3,534019 x^1,5 0,004324 0,001904 2,27127 0,02888 0,00047 0,008178 ВЫВОД ИТОГОВ Регрессионная статистика Множественный R 0,338157 R-квадрат 0,11435 Нормированный R-квадрат 0,091044 Стандартная ошибка 2,743292 Наблюдения 40 Дисперсионный анализ   df SS MS F Значимость F Регрессия 1 36,92349 36,92349 4,906351 0,032827 Остаток 38 285,9748 7,525652 Итого 39 322,8983         Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Y-пересечение 5,973455 1,173304 5,091141 9,98E-06 3,598226 8,348684 x^(-1) -124,996 56,43102 -2,21503 0,032827 -239,235 -10,7577 2) Т.к. коэффициент b статистически значим во всех уравнениях, то гетероскедастичность доказана. Наилучший коэффициент детерминации (R2 = 0,1254) при , поэтому примем зависимость: (см. далее). 3.4. Тест Парка. Тест относится к формализованным тестам гетероскедастичности. Предполагается, что дисперсия остатков связана со значениями факторов функцией . Данная регрессия строится для каждого фактора в условиях многофакторной модели. Проверяется значимость коэффициента регрессии b по t-критерию Стьюдента. Если коэффициент регрессии окажется статистически значимым, то, следовательно, имеет место гетероскедастичность. Пример. По данным предыдущего примера построим регрессию . ВЫВОД ИТОГОВ Регрессионная статистика Множественный R 0,343033 R-квадрат 0,117672 Нормированный R-квадрат 0,094453 Стандартная ошибка 2,097694 Наблюдения 40 Дисперсионный анализ   df SS MS F Значимость F Регрессия 1 22,30024 22,30024 5,067869 0,030238 Остаток 38 167,2121 4,400319 Итого 39 189,5124         Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Y-пересечение -6,49359 3,634358 -1,78672 0,081962 -13,851 0,863782 lnx 2,027965 0,90084 2,251193 0,030238 0,204309 3,851621 Так как коэффициент регрессии статистически значим, то гетероскедастичность доказана. 3.5. Тест Уайта. Предполагается, что дисперсия ошибок регрессии представляет собой квадратичную функцию от значений факторов, т.е. при наличии одного фактора , или при р факторах . О наличии или отсутствии гетероскедастичности остатков судят по величине F-критерия Фишера. Если фактическое значение критерия выше табличного, то, следовательно, существует корреляционная связь дисперсии ошибок от значений факторов, и имеет место гетероскедастичность остатков. Пример. Определим квадратичную функцию для нашего примера . Пусть х1 = х, х2 = х2, построим уравнение множественной регрессии ВЫВОД ИТОГОВ Регрессионная статистика Множественный R 0,353257 R-квадрат 0,12479 Нормированный R-квадрат 0,077482 Стандартная ошибка 27,61916 Наблюдения 40 Дисперсионный анализ   df SS MS F Значимость F Регрессия 2 4024,315 2012,157 2,637794 0,084932 Остаток 37 28224,27 762,8181 Итого 39 32248,59         Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Y-пересечение -38,76 44,00045 -0,8809 0,384058 -127,913 50,39338 х 1,674985 1,618236 1,035069 0,307355 -1,60387 4,953843 х^2 -0,01017 0,013621 -0,74683 0,459886 -0,03777 0,017426 Так как уравнение статистически не значимо по F-критерию, то гетероскедастичность остатков отсутствует. 4. Методы смягчения проблемы гетероскедастичности. При наличии гетероскедастичности и величина Ki может меняться от одного значения фактора к другому. При наличии гетороскедастичности вместо обычного МНК используют обобщенный МНК (взвешенный). Суть метода заключается в уменьшении вклада данных наблюдений, имеющих большую дисперсию в результате расчета. 1 случай. Если дисперсии возмущений известны , то гетероскедастичность легко устраняется. Вводят новые переменные: ; ; , . Регрессионная модель в векторной форме (*) /: , . При этом , т.е. модель гомоскедастична. 2 случай. Если дисперсии возмущений неизвестны, то делают реалистические предположения о значениях . Например: а) дисперсии пропорциональны xi: . Уравнение регрессии (*) делят - на - в случае одной переменной; - на - в случае множественной регрессии. б) дисперсии пропорциональны , т.е. , Уравнение регрессии (*) делят на хi. Пример. Воспользовавшись характером зависимости, полученным при использовании теста Глейзера , разделим обе части уравнения на . Уравнение регрессии примет вид ВЫВОД ИТОГОВ Регрессионная статистика Множественный R 0,964 R-квадрат 0,929 Нормированный R-квадрат 0,927 Стандартная ошибка 5,502 Наблюдения 40 Дисперсионный анализ   df SS MS F Значимость F Регрессия 1 15105 15105 498,9 2E-23 Остаток 38 1150,5 30,28 Итого 39 16255         Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Y-пересечение -1,408 1,0935 -1,288 0,206 -3,622 0,806 x/e 0,337 0,0151 22,34 2E-23 0,3064 0,367 Получены новые оценки параметров линейного уравнения, в котором смягчена гетероскедастичность.