Нормальное напряжение при чистом изгибе

ЛЕКЦИЯ №12 Нормальное напряжение при чистом изгибе. Рассмотрим наиболее простой случай изгиба, а именно чистый изгиб, Q=0 и M=const. (рис. 12.1). Рис. 12.1 Под действием момента М стержень изогнется. Так как в любом сечении возникает один и тот же изгибающий момент, то в случае однородного стержня изменение кривизны для всех участков будет одним и тем же. Следовательно, при чистом изгибе ось однородного стержня принимает форму дуги окружности. К таким стержням применяется гипотеза плоских сечений. Образование деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сечений относительно друг друга (рис. 6.10). При этом одни слои (в данном случае верхние) будут подвергаться растяжению, а другие (нижние) – сжатию. Из этого следует, что существует слой, деформация которого равна нулю. Такой слой носит название нейтрального слоя. Рис. 12.1 Рассмотрим два смежных сечения, расположенных одно относительно другого на расстоянии dz (рис. 12.2). Примем левое сечение условно за неподвижное. Тогда в результате поворота правого сечения на угол dθ верхние слои удлиняться, а нижние – укоротятся. Отметим нейтральный слой отрезком АВ. В результате поворота сечений изменение кривизны нейтрального слоя (при этом длина dz остается постоянной) будет следующим: 1 ρ = dθ dz . (12.1) Рис. 12.2 Произвольно взятый отрезок CD=dz получит приращение C'D'-CD. Так как сечения остаются плоскими, то: C ′D′ − CD = ( ρ + y )dθ − ρdθ = ydθ , где y – расстояние от рассматриваемого отрезка CD до нейтрального слоя АВ. Положение этого слоя пока неизвестно. Относительное удлинение слоя CD равно: ε= C ′D′ − CD ydθ ydθ y = = = ρdθ ρ . CD dz (12.3) По закону Гука: σ = Eε = E y ρ . (12.4) Таким образом, при чистом изгибе напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону. Геометрическое место точек в сечении, удовлетворяющее условию σ = 0 , называется нейтральной линией сечения. Нейтральная линия, очевидно, перпендикулярна к плоскости кривизны изогнутого стержня. Свяжем теперь напряжения σ с внутренними силовыми факторами, возникающими при чистом изгибе в поперечном сечении. Сумма элементарных сил σ ⋅ dA (рис. 12.3) дает нормальную силу N в сечении. Но при чистом изгибе N=0. Поэтому: N = ∫ σdA = ∫ E A A y ρ dA = E ρ ∫ ydA = 0 , откуда A ∫ ydA = 0 . A Рис. 12.3 Этот интеграл представляет собой знакомый нам из геометрических характеристик сечений статический момент сечения относительно нейтральной линии. Так как статический момент равен нулю, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения. Таким образом, координата y получает определенность: она отсчитывается от центральной оси, перпендикулярной плоскости кривизны. Точно так же получает определенность и кривизна 1/ρ, как кривизна нейтрального слоя, или как кривизна оси стержня. Изгибающий момент в поперечном сечении стержня, как и нормальная сила, может быть выражен через напряжения σ: ∫ σ ⋅ x ⋅ dA = M ; ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M y A A x . При чистом изгибе плоскость изгибающего момента совпадает с плоскостью изменения кривизны стержня (в общем случае изгиба изменение кривизны стержня происходит не обязательно в плоскости изгибающего момента). В этом случае момент элементарных сил σ ⋅ dA относительно оси y равен нулю, а относительно оси x – полному изгибающему моменту М. Тогда получаем: E ρ ∫ y ⋅ x ⋅ dA = 0 ; A E y dA = M . ρ∫ 2 A Первое выражение приводится к виду: I xy = 0 . Это означает, что изменение кривизны стержня происходит в плоскости момента в том случае, если последняя проходит через одну из главных осей сечения. Такой изгиб называется прямым. В отличие от прямого изгиба общий случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента с главной осью не совпадает, называется косым изгибом. Из второго выражения получаем зависимость кривизны стержня от изгибающего момента: 1 ρ = M EI x , (12.5) где Ix – момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента. Величина EIx – называется жесткостью стержня при изгибе. Как и при кручении, она пропорциональна четвертой степени линейных размеров сечения при пропорциональном их изменении. Учитывая последнюю зависимость, можно получить выражение для нормальных напряжений: σ =E y ρ =E y⋅M M ⋅ y = E ⋅ Ix Ix . (12.6) Максимальное напряжение при изгибе возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии: σ max = M ⋅ ymax Ix . (12.7) Отношение Ix/ymax называется моментом сопротивления сечения при изгибе и обозначается через Wx (измеряется в м3, см3 или мм3): Wx = Ix ymax . (12.8) Таким образом, σ max = M Wx . (12.9) Формула (12.9) является основной в расчетах на прочность при изгибе. Для стержня прямоугольного сечения со сторонами b и h: h bh 3 bh 2 Ix = ; ymax = ; Wx = . 2 12 6 Для стержня круглого: Ix = πD 4 64 ; ymax D πD 3 = ; Wx = ≈ 0,1D 3 . 2 32 Таким образом, напряжения при изгибе обратно пропорциональны третьей степени линейных размеров сечения. Наиболее экономичными являются такие формы поперечных сечений, для которых с наименьшей затратой материала получается наибольший момент сопротивления Wx. Чтобы форма сечения была рациональной, необходимо, очевидно, по возможности, распределять площадь сечения подальше от нейтральной оси. Так возникли стандартные двутавровые и корытные тонкостенные профили. Момент сопротивления Wx стандартных профилей вычислен для каждого размера заранее и задан в специальных таблицах.