Несобственные интегралы

ЛЕКЦИЯ 5 Несобственные интегралы: Пусть есть полуоткрытый промежуток I =  a; b ) . b Точку b считаем особой точкой интеграла  f ( x ) dx . Её особенность a заключается в том, что b = + , или функция в точке b ведет себя не самым лучшим образом (знаменатель обращается в ноль и т.п.). Такие интегралы по определению не являются собственными, так как для собственных интегралов функция должна быть ограничена на данном отрезке, да и сам отрезок должен быть конечен. Поэтому рассматривается новое понятие – несобственные интегралы. Такой интеграл нужно понимать так: 1. Считаем, что функция на любом отрезке, вложенном в полуинтервал  a; b ) , является функцией интегрируемой:  a;    a; b ) f  Ra;  . 2. А интеграл от этой функции рассматривается как предел: b  a a  f ( x ) dx =  →limb−0  f ( x ) dx . 3. Если этот предел существует и конечен, то он присваивается символу b  f ( x ) dx и называется значением несобственного интеграла. a Теперь посмотрим, как выглядит сходимость несобственного интеграла на языке “эпсилон-дельта”. Сходимость несобственного интеграла:    0  b (  )   a; b ) :    ( b; b )  b  f ( x ) dx   .  b Подчеркнем, что интеграл  f ( x ) dx называется хвостом исходного интеграла  b  f ( x ) dx . a Упражнение 5.1: Приведите пример несобственного интеграла и проверьте, сходится ли он. Обсудим, что необходимо делать, если на одном отрезке попалось сразу несколько особых точек. В этом случае необходимо использовать свойство аддитивности: расписать исходный интеграл в сумму таких интегралов, которые берутся по промежуткам, содержащим только одну особую точку, причем точка должна находиться или на левом, или на правом конце промежутка. Например, есть отрезок  a; b ) , и на нем сразу три особые точки: c1 , c2 , b : Рис. 5.1. Отрезок с тремя особыми точками. b Тогда интеграл  f ( x ) dx записываем следующим образом: a b c1 d c2 h b a a c1 d c2 h  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx +  f ( x ) dx +  f ( x ) dx +  f ( x ) dx . И теперь все сложности с несколькими особыми точками исчезли. Отметим, что точки d и h – это какие-то точки из промежутков ( c1; c2 ) и ( c2 ; b ) соответственно. Несобственные интегралы, зависящие от параметра: Считаем, что x  I =  a; b ) , y  Y , где Y – это какое-то множество параметров. У нас будет введено в рассмотрение и множество Декартово произведение:  = I Y . Пусть для любого значения y  Y существует, хотя бы как несобственный, следующий интеграл: b J ( y ) =  f ( x, y ) dx . a То есть, мы считаем, что при  y  Y ,    a; b ) функция f ( x, y )  Ra;  , и существует предел J ( y ) = lim  →b−0   f ( x, y ) dx . a И если такой предел существует, то мы будем говорить, что у нас задан несобственный интеграл, зависящий от параметра y . Сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра: При    0  y  Y  b (  , y )   a; b  :    ( b; b )  b  f ( x, y ) dx   .  Отметим, что это только обычная сходимость. Пример 5.1: Рассмотрим функцию f ( x, y ) = ye − xy . Эта функция совокупности переменных. Очень приличная функция. непрерывна по Рассмотрим I =  0; + ) . А в качестве множества параметра возьмем Y =  0;1 . Рис. 5.2. Прямоугольник. Теперь вводим интеграл J ( y ) = +  ye − xy dx . Для начала рассмотрим случай y = 0 : f = 0  J ( 0) = 0 . Теперь рассмотрим 0  y  1 . В этом случае данный интеграл можно вычислить, сделав замену переменной: J ( y ) = t = yx = + e −t dt = 1 . Таким образом, можно нарисовать график J ( y ) : Рис. 5.3. График функции J ( y) . Заметим, что подынтегральная функция была приличной, непрерывной, а интеграл от нее – разрывная в нуле функция. Такие примеры, и предыдущий опыт, сразу показывают нам, что и в случае несобственных интегралов, зависящих от параметра, без равномерной сходимости не обойтись. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра:    0  y Y  b (  )   a; b ) :    ( b; b )  b  f ( x, y ) dx   .  Отметим, что про последнее неравенство часто говорят так: у несобственного интеграла, зависящего от параметра, равномерно поджат хвост. Подчеркнем, что здесь b зависит только от  , в отличие от обычной сходимости. По сути дела только этим и разнятся равномерная и обычная сходимости. Упражнение 5.2: Покажите, что интеграл J ( y ) = +  2 e− yx dx : а) при Y =  ; + ) ,   0 сходится равномерно по параметру. б) при Y =  0; + ) сходимость обычная. Пример 5.2: Рассмотрим J ( y ) = + e −x cos ( xy ) dx, y Y = . Ясно, что этот интеграл представляет собой четную функцию, поэтому y можно изучать только на полуоси: y  Y = 0; + ) . Покажем, что этот интеграл сходится равномерно по y  Y = 0; + ) . Для этого рассмотрим хвост интеграла: +  e cos ( xy ) dx  −x  +  e −x cos ( xy ) dx   +  e − x dx = e − x   + = e −  e −b . 1 Если теперь хотим, чтобы e−b   , то b  ln .  Ясно, что такое b зависит только от  , и, следовательно, данный хвост сходится равномерно. Значит, исходный интеграл тоже сходится равномерно. Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра: Теорема 5.1 (Признак Вейерштрасса): b 1. Пусть   ( y ) =  f ( x, y ) dx . Требуем, чтобы такой интеграл существовал a хотя бы как несобственный интеграл, зависящий от параметра. 2. Пусть   ( x ) : f ( x , y )   ( x ) ,  x   a; b ) ,  y  Y . Отметим, что такая функция  ( x ) называется мажорантой. Кроме того, условие  x   a; b ) можно заменить на  x   a; b )   a; b ) . b 3. Интеграл   ( x ) dx сходится, хотя бы как несобственный. a b Тогда интеграл  ( y ) =  f ( x, y ) dx сходится абсолютно и равномерно. a Теорема 5.1’(модернизация теоремы 5.1): b 1. Пусть   ( y ) =  f ( x, y ) dx . Требуем, чтобы такой интеграл существовал a хотя бы как несобственный интеграл, зависящий от параметра. 2. Пусть   ( x, y ) : f ( x , y )   ( x , y ) ,  x   a; b ) ,  y  Y . Кроме того, условие  x   a; b ) можно заменить на  x   a; b )   a; b ) . b 3. Интеграл   ( x, y ) dx сходится равномерно по параметру. a b Тогда интеграл  ( y ) =  f ( x, y ) dx сходится абсолютно и равномерно. a Доказательство теоремы 5.1: Рассмотрим хвост и оценим его, используя условие: b b b     f ( x, y ) dx   f ( x, y ) dx    ( x ) dx . b А по условию   ( x ) dx сходится хотя бы как несобственный, поэтому     0  b (  )   a; b ) :    ( b; b )  b   ( x ) dx   .  b Благодаря полученному неравенству b b  f ( x, y ) dx   f ( x, y ) dx    ( x ) dx   это  уже найденное b (  ) годится и для рассматриваемого хвоста. А это b зависит только от  . Таким образом, абсолютная и равномерная сходимости интеграла b  ( y ) =  f ( x, y ) dx полностью доказаны. a ч.т.д. Упражнение 5.3: Докажите теорему 5.1’. Пример 5.3: Рассмотрим следующие интегралы: I1 ( y ) = +  cos ( xy ) 1 + x2 dx . + I2 =  x sin ( xy ) 1 + x2 dx . Подчеркнем, что они называются интегралами Лапласа. Попробуем к этим интегралам применить признак Вейерштрасса. Про интеграл I1 : Видим, что по y подынтегральная функция четная, значит, и I1 четная. Поэтому I1 можно рассматривать только на полуоси y  Y = 0; + ) . Про интеграл I 2 : Ясно, что интеграл I 2 нечетный, поэтому и его можно тоже рассматривать на полуоси. Теперь выясним, обладают ли интегралы Лапласа равномерной сходимостью. Рассмотрим интеграл I1 : В силу ограниченности косинуса ясно, что такой интеграл сходится. Покажем, что и равномерно он тоже сходится: f1 ( x, y ) = cos ( xy ) 1 + x2  1 = 1 ( x ) . 1 + x2 Теперь проверим третий пункт признака Вейерштрасса: + +  1 ( x ) dx = arctg x 0 =  2 . Таким образом, первый интеграл Лапласа полностью попадает под все условия признака Вейерштрасса, и, следовательно, I1 сходится равномерно по y . Теперь попробуем сделать то же со вторым интегралом Лапласа: Действуя аналогично, придем к выводу: f 2 ( x, y )  x sin ( xy ) 1+ x 2  x = 2 ( x ) . 1 + x2 + И, проверяя третий ( 1  x dx = ln 1 + x 2 ( ) 2  2 пункт ) + , приходим к логарифмической расходимости. Таким образом, для второго интеграла Лапласа признак Вейерштрасса не действует. Сразу скажем, что и второй интеграл Лапласа тоже сходится равномерно, просто нужен признак посильнее. Теорема 5.2 (Признак Абеля-Дирихле): Отметим, что на самом деле это признак Дирихле, а признак Абеля немного другой. Он сводится к признаку Дирихле. Пусть подынтегральное выражение исходного интеграла представляется в виде: ( y) = +  f ( x, y ) g ( x, y ) dx . a Если 1. f ( x, y ) , g ( x, y ) , g ( x, y ) C ( ) . x x 2. Существует интеграл  f ( t , y ) dt = F ( x, y ) , притом ограниченный, то есть a C : F  C  x, y  . 3. Производная g ( x, y )  0  x, y  . x 4. Существует  ( x ) : g ( x, y )   ( x )  x, y  , причем  ( x ) ⎯⎯⎯→ 0. x→+ Тогда исходный интеграл сходится равномерно по y  Y . Доказательство теоремы 5.2: +  f ( x, y ) g ( x, y ) dx . Рассмотрим хвост  Теперь перегруппировываем множители так, чтобы воспользоваться вторым пунктом условия теоремы: + +    f ( x, y ) g ( x, y ) dx =  g ( x, y ) dF ( x, y ) . А теперь проинтегрируем по частям: +   + g ( x, y ) dF ( x, y ) = g ( x, y ) F ( x, y )  − + = g ( x, y ) F ( x , y )  + +   +   F ( x, y ) g dx = x +  g  F ( x, y )  −  dx  g ( x, y ) F ( x, y )  +  x  +  g ( x, y )  + F ( x, y )  +    g  F ( x, y )  −  dx   x  + +  g   F ( x, y )  − x  dx   Так как F ограничена, и g ( +, y ) = 0 по пункту 4 условия теоремы, то +  g ( x, y ) dF ( x, y )  С g ( , y ) + C g ( , y ) = 2C g ( , y )  2C ( ) .  Воспользуемся тем, что функция  ( x ) является бесконечно малой:      0  0  возьмем  0 =   b (  ) :    b   ( x )   0 . 2 C   + Тогда,  f ( x, y ) g ( x, y ) dx  2C ( )   .  Таким образом, найдено b , зависящее только от  , такое, что при    b + хвост:   fgdx   . Значит, исходный интеграл сходится равномерно. ч.т.д. Упражнение 5.4*: Необходимо ли что-то добавить, или, наоборот, убрать в следующей формулировке теоремы Абеля? Теорема Абеля: Пусть подынтегральное выражение исходного интеграла представляется в виде: ( y) = +  f ( x, y ) g ( x, y ) dx . a Если 1. f ( x, y ) , g ( x, y ) , g ( x, y ) C ( ) . x x 2. Существует интеграл  f ( t , y ) dt = F ( x, y ) . a Притом этот интеграл сходится равномерно. 3. Функция g ( x, y ) является функцией монотонной и равномерно ограниченной. Тогда исходный интеграл сходится равномерно по y  Y . Пример 5.4: Теперь воспользуемся признаком Абеля-Дирихле равномерной сходимости второго интеграла Лапласа. I2 ( y ) = + x  1 + x2 sin ( xy ) dx . Пусть f ( x, y ) = sin ( xy ) , а g ( x, y ) = x . 1 + x2 для доказательства Проверим условия теоремы: Ясно, что в прямоугольнике  = I  Y , где I =  0; + ) , Y =  0; + ) функция f = sin ( xy ) непрерывна, да g = x тоже. 1 + x2 Теперь посмотрим, что с частной производной: Очевидно, что и g C ( ). x Так как f = sin ( xy ) , то интеграл x  f ( t , y ) dt = F ( x, y ) существует, притом он a ограниченный. g  x  1 − x2 = =  0 , если x  1 .  2 2 x  1 + x 2  x 1+ x Определим знак производной: ( ) Понятно, что на самом деле нас интересуют большие x , поэтому третий пункт выполнен. Рассмотрим четвертый пункт: x 1  =  ( x ) ⎯⎯⎯→ 0. x→+ 1 + x2 x Таким образом, все условия теоремы Абеля-Дирихле выполнены, следовательно, и второй интеграла Лапласа сходится равномерно. Пример 5.5: + Рассмотрим  e− xy sin x dx, x  I = 0; + ) , y  Y = 0; + ) и выясним, каким x образом ведет себя данный интеграл относительно y . e − xy Пусть f ( x, y ) = f ( x ) = sin x , а g ( x, y ) = . x Очевидно, что f , g , g C ( ) . x Выясним знак производной: g = g  1 1 + xy ( x, y ) = e− yx  − y  = −e− yx 2  0 . x x  x x Лемма о коммутации экспоненты с дифференциальным оператором Кроме того, верно: g ( x, y )  1 =  ( x ) ⎯⎯⎯→ 0. x→+ x Таким образом, выполняется признак Абеля-Дирихле, и данный интеграл сходится равномерно по y  Y . Упражнение 5.5: Приведите пример интеграла, равномерная сходимость которого доказывается при помощи признака Абеля. Критерий равномерной сходимости: Теорема 5.3 (Принцип Коши): b Чтобы интеграл  f ( x, y ) dx равномерно сходился по y  Y необходимо и a достаточно, чтобы    0  b ( )   a; b ) :   ,   ( b; b )  при    f ( x, y ) dx    y Y .  Доказательство теоремы 5.3: Необходимость: Пусть интеграл сходится равномерно, тогда рассмотрим:  b b b b       f ( x, y ) dx =  f ( x, y ) dx −  f ( x, y ) dx   f ( x, y ) dx +  f ( x, y ) dx . Равномерная сходимость означает: при    0  b (  )   a; b ) :    ( b; b )  b  f ( x, y ) dx    y Y .    Теперь берем   0  0  возьмем  0 =  и для него найдем b (  )   a; b ) : 2    ,    ( b, b )  b  f ( x, y ) dx   0 b  f ( x, y ) dx   0 и   Тогда  b b     y Y .    f ( x, y ) dx   f ( x, y ) dx +  f ( x, y ) dx  2 + 2 =  . Достаточность: Берем     0  0  возьмем  0 =   b (  )   a; b ) :   ,    ( b; b )  2    f ( x, y ) dx   0   y Y .  Теперь устремим   → b − 0 . Так как абсолютная величина есть непрерывная функция, то предел способен проникнуть внутрь этой функции. b Таким образом, получаем   f ( x, y ) dx  2   . А это неравенство и дает право  говорить о равномерной сходимости исходного интеграла. ч.т.д. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра: Теорема 5.4: Пусть I =  a; b ) , Y = c; d  , f  C (  ) . b Если интеграл  ( y ) =  f ( x, y ) dx сходится равномерно по y  Y , то a  ( y )  C (Y ) . Доказательство теоремы 5.4: Пусть y, y0 Y . Рассмотрим следующую разность:  ( y ) −  ( y0 ) =  b b a a  f ( x, y ) dx −  f ( x, y0 ) dx   b b a    ( f ( x, y ) − f ( x, y0 ) ) dx +  f ( x, y ) dx +  f ( x, y0 ) dx . b По условию  ( y ) =  f ( x, y ) dx сходится равномерно по y  Y , поэтому a можно с легкостью получить: b  f ( x, y ) dx   f ( x, y0 ) dx    b   3 3 . . Ясно, что за счет близости y и y0 можно добиться следующего:    ( f ( x, y ) − f ( x, y0 ) ) dx  3 , ведь это обычный собственный интеграл, a состоящий из разности двух непрерывных функций. Таким образом,  ( y ) −  ( y0 )   при достаточно малой разности y − y0 . Значит,  ( y )  C (Y ) . ч.т.д. Пример 5.6: Рассмотрим  ( y ) = +  e− yx sin x dx, x y  Y =  0; + ) . В примере 5.5 было выяснено, что этот интеграл сходится равномерно по y  Y . Тогда, используя теорему 5.4 можно сказать, что этот интеграл есть непрерывная функция по y , и поэтому можно записать следующее: + e y →+0  lim − yx sin x dx = x +  sin x dx . x Подчеркнем, что это очень важное равенство, так как оно позволяет перейти от действий над плохо сходящимся интегралом к манипуляциям с интегралом, сходящимся заведомо хорошо. Теорема 5.5 (Интегрируемость): Пусть Y = c; d  , x  I =  a; b ) , ( x, y )  = I  Y . b Функция f  C (  ) . А интеграл  ( y ) =  f ( x, y ) dx сходится равномерно по a y Y . Тогда теорема утверждает, что верно следующее: b  b d   y dy = dy f x , y dx = dx f x , y dy  ( )    ( )     ( )  . c c a  a c  d d Доказательство теоремы 5.5: Для начала покажем, что некий интеграл, который мы выпишем, имеет предел. Для этого рассмотрим следующую разность: d b d  c a c a  dy  f ( x, y ) dx −  dy  f ( x, y ) dx , где  – это некая точка из  a; b ) .  Покажем, что существует lim  →b−0  f ( x, y ) dx : a b  d b  dy  f ( x, y ) dx −  dy  f ( x, y ) dx =  dy   f ( x, y ) dx    dy  f ( x, y ) dx . c a c a c   c  d b  d d b По условию интеграл  ( y ) =  fdx сходится равномерно, следовательно, a  b верно, что  f ( x, y ) dx  d − c при  достаточно близких к b .  d Тогда b d  d a d −c c  dy  f ( x, y ) dx −  dy  f ( x, y ) dx   c a c  dy =  . Это означает, что предел необходимого интеграла существует.    d  Рассмотрим новое равенство:  dy   f ( x, y ) dx  =  dx   f ( x, y ) dy  .     c  a  a c d Это равенство можно написать, так как: 1. Данная функция непрерывна по совокупности переменных.  2. Интеграл  f ( x, y ) dx является самым обычным определенным интегралом. a 3. Поскольку данная функция – это интегрируемая функция, то можно совершенно свободно интегрировать от c до d . 4. Известно, что для случая, когда рассматриваются конечные промежутки, порядок интегрирования можно переставлять.   Теперь посмотрим на интеграл, стоящий в левой части   f ( x, y ) dx  . Только,   a  что доказали, что этот интеграл имеет предел, когда  → b − 0 . В силу полученного равенства предел будет иметь и правая часть. В таком случае, можно перейти к пределу, устремляя  → b − 0 . Этот предельный переход и даст то равенство, которое хотели проверить: b  b d  dy f x , y dx = dx f x , y dy    . ( ) ( )       c a  a c  d ч.т.д. Пример 5.7 (разрывный множитель Дирихле): Пусть x  I =  0; + ) , а y  Y =  ;   , где 0      + . В качестве функции возьмем f ( x, y ) = e − xy sin x . Заметим, что f  C (  ) . Рассмотрим несобственный интеграл  ( y ) = + e − xy sin xdx . Установим, что этот интеграл обладает равномерной сходимостью по y  Y : Отметим, что здесь подходит и признак Вейерштрасса, и Абеля-Дирихле. Воспользуемся признаком Вейерштрасса: e− xy sin x  e− xy  e− x =  ( x ) . + Притом e − x dx = 1  . Таким образом, признак Вейерштрасса показывает равномерную сходимость исходного интеграла. абсолютную А это дает нам возможность использовать теорему 5.5.   +   ( y ) dy =  dy  e   − xy Теорема 5.5 sin xdx = +   dx  e  − xy + sin xdy =   dx sin x e  − xy dy . и + e Вычислим интеграл − xy sin xdx : +  +  e( − y +i ) x   + − xy ix   + ( − y +i ) x  − xy e sin xdx = Im   e e dx  = Im   e dx  = Im   =      −y + i   0   0   0  y+i   1  1 . = Im  = Im  2 = 2  y + 1 y + 1  y −i     После этого вычисления легко найдется   ( y ) dy :        ( y ) dy =  dy = arctg  − arctg  . y2 + 1  +  Подчеркнем, что сейчас рассмотрели только  dy  e− xy sin xdx . +   dx sin x  e Теперь же посчитаем интеграл  Вычислим внутренний интеграл:  e − xy  Таким образом,   dx sin x  e − xy + dy =  dy :  + − xy  1 − xy  e− x − e−x . dy = − e =  x x ( ) sin x − x −x e −e dx . x Ясно, что необходимо последний интеграл расписать в сумму двух. Это можно будет сделать, если интегралы сходятся. Легко понять, что sin x  1 . Благодаря этому каждый интеграл можно будет x + оценить сверху  e − x dx = 1  + и  e−x dx = сходимость как у первого, так и у второго есть. Таким образом: 1  соответственно. Значит, +   dx sin x  e − xy + dy =  + Теперь оценим интеграл  +   sin x − x e dx − x +  sin x −x e dx . x sin x −x e dx : x sin x −x e dx  x +  sin x −x e dx  x + e −x dx = 1 .  Это бы сделано затем, чтобы получить неравенство: +  sin x −x 1 e dx  → 0. x  →+ Если теперь свести все выкладки, то возникнет следующее равенство: arctg  − arctg  = +  sin x − x e dx + o (1) . x при →+ Теперь, совершая предельный переход  → + , получаем:  2 − arctg  = +  sin x − x e dx . x А на основании теоремы 5.4 можно устремить  → +0 , и получить:  2 + =  sin x dx . x Таким образом, посчитан интеграл, который называется разрывным множителем Дирихле или просто интегралом Дирихле. Его разрывность хорошо заметна в следующем случае: J ( ) = +  1,   0; sin  x   dx = 0,  = 0; = sign  . x 2 2 −1,   0. График функции J ( ) выглядит так: Рис. 5.4. График разрывного множителя Дирихле. Дифференцирование несобственных интегралов, зависящих от параметра: Теорема 5.6: Пусть x  I =  a; b ) , y  Y = c; d  , а f ( x, y )  C (  ) и b Интеграл f ( x, y )  C (  ) . y f  y ( x, y ) dx сходится равномерно по параметру y Y . a b А интеграл  f ( x, h ) dx , где h   c; d  просто сходится. Выбор константы h a произвольный. Тогда несобственный интеграл можно дифференцировать по параметру: b b d f f x , y dx = ( )  y ( x, y ) dx . dy a a Заметим, что иногда непрерывность производной требуют в чуть более широкой области. Однако сейчас этого делать не станем, так как слишком сильно приближаться к границе не потребуется. Доказательство теоремы 5.6: Рассмотрим несобственный интеграл, зависящий от параметра, который задается следующим выражением: b f ( x, ) dx .  y a  ( ) =  По условию подынтегральная функция есть непрерывная функция f ( x, y )  C (  ) . Кроме того, есть условие равномерной сходимости по параметру интеграла от производной этой функции f ( x, y ) . Тогда по теореме y 5.4 функция  ( ) будет непрерывной функцией по параметру  . А значит, она будет функцией интегрируемой в каком-нибудь замкнутом подмножестве данного промежутка  c; d  :  ( )  Rc; y  , yd. Тогда проинтегрируем её: y y c c b f ( x, ) dx .  y a   ( ) d =  d  Отмечаем, что промежуток  a; b  может быть несобственным. Для исследуемой функции выполняется теорема 5.5, поэтому можно переставить порядок интегрирования: y y b b y f f   ( ) d =  d  y ( x, ) dx =  dx  y ( x, ) d = c c a a c b b b a a a =  dx ( f ( x, y ) − f ( x, c ) ) =  f ( x, y ) dx −  f ( x, c ) dx . Последнее равенство верно, так как каждый такой интеграл существует как несобственный. Поэтому-то и можно все записать в виде разности интегралов. y b b c a a Таким образом,   ( ) d =  f ( x, y ) dx −  f ( x, c ) dx . Правая часть состоит из разности двух выражений. Второе из них – это константа, поэтому оно дифференцируется по y , и его производная равна нулю. Значит, дифференцируемость исходного интеграла, зависящего от параметра, определяется дифференцируемостью выражения, стоящего в левой части равенства. А это выражение очевидным образом дифференцируемо, так как оно представляет собой интеграл с переменным верхним пределом, а по теореме Барроу такое дифференцирование возможно. b b d f И поэтому получаем: f ( x, y ) dx =  ( x, y ) dx .  dy a y a ч.т.д. Интегралы Лапласа: I1 ( y ) = +  I2 ( y ) = +  cos ( xy ) 1 + x2 dx , x sin ( xy ) 1 + x2 dx . Уже известно, что I1 – это функция четная, I 2 – нечетная, вследствие чего можем рассматривать вместо y  Y = только y   0; + ) , а потом просто продолжить результат подходящим образом. Кроме того оба эти интеграла сходятся равномерно. Теперь попытаемся их продифференцировать. Сейчас сразу же возьмем производную от I1 , а потом покажем, что это законно: I1 = +  − x sin ( xy ) 1 + x2 dx = − I 2 . Второй интеграл Лапласа сходится равномерно, следовательно, по теореме 5.6 такое дифференцирование возможно. Дальше необходимо продифференцировать второй интеграл Лапласа. Заметим, что его просто так не продифференцировать, если сделать это как с первым: I 2 = + − x 2 cos ( xy ) 1 + x2 dx . Видим, что на бесконечности получается довольно плохое поведение, так как I 2 ведет себя как синус. Никакой сходимости не будет. Поэтому так просто не продифференцировать. Однако продифференцировать все-таки можно, просто необходимо сделать следующее: I2 ( y ) = x sin ( xy ) +  1 + x2 +  =    1 1 −  sin ( xy ) dx = 2  x x 1+ x    ( ) + sin ( xy ) 1 dx −  sin ( xy ) dx . 2 x x 1 + x ( + Ясно, что интеграл dx = +  ( 1 x 1 + x2 ) ) sin ( xy ) dx сходится, а интеграл +  sin ( xy ) dx x тоже будет сходиться, ведь это разрывный множитель Дирихле. Теперь определимся с y . Пусть y  Y =  ; + ) ,   0 . Тогда можно записать следующее: I2 ( y ) =  2 + −  ( 1 x 1+ x 2 ) sin ( xy ) dx . А вот теперь продифференцируем и получим: + I 2 ( y ) = −  cos ( xy ) (1 + x ) 2 dx = − I1 . Таким образом, получается система обыкновенных дифференциальных уравнений:  I  = − I ; 1 2 .    I 2 = − I1. Очевидно, что такую систему можно свести к одному уравнению, но более высокого порядка: I1 = I1 . I 2 = I 2 . Если приглядеться, то легко усмотреть, что на самом деле здесь написано: (D 2 ) − 1 I1 = 0 . A Решение ищем в виде e y . Тогда уравнение сводится к следующему: ( 2  = −1; . − 1 e y = 0   2 = 1    = 1. ) То есть вместо дифференциального уравнения возникло так называемое характеристическое уравнение  2 − 1 = 0 . Оно дает собственные числа  = 1 . Выписываем базисные элементы: I 11 = e − y , I 12 = e y . Отметим, что это все проделывается для первого интеграла Лапласа. Ясно, что любое решение раскладывается по базису, поэтому решение уравнения I1 = I1 это линейная комбинация: I1 ( y ) = c1e − y + c2e y . Заметим, для второго интеграла Лапласа будет все аналогично и получится: I 2 ( y ) = c1e − y + c2e y . Теперь произведем некоторую оценку: I1 ( y )  +  cos ( xy ) 1 + x2 + dx   dx  = . 1 + x2 2 Это дает право говорить, что решение должно быть ограниченным, а получили I1 ( y ) = c1e − y + c2e y . Условие ограниченности показывает, что c2 = 0 . Вспоминаем, что решение должно быть непрерывно в нуле, поэтому: + I1 ( 0 ) =  dx  . = 1 + x2 2 А с другой стороны I1 ( 0 ) = c1 . Значит, c1 =  2 . Таким образом, I1 ( y ) =  2 e− y при y  0 . Вспоминая, что первый интеграл Лапласа – это четная функция, можно записать ответ и для y  : I1 ( y ) =  2 e −y , y . Эскиз графика I1 ( y ) : Рис. 5.5. График первого интеграла Лапласа I1 ( y) . Ясно, что для второго интеграла Лапласа все будет аналогично и получится: I2 ( y ) =  2 e −y sign y, y . Теорема 5.7 (Обобщение теоремы 5.5): Пусть x  I =  a; b ) , y  Y = c; d ) . Если: b 1.  f ( x, y ) dx сходится равномерно по y   c; d   c; d ) . a d 2.  f ( x, y ) dy сходится равномерно по x   a; b   a; b ) . c d b b d c a a c 3. Или  dy  f ( x, y ) dx , или  dx  f ( x, y ) dy сходится. Тогда b d   J1 =  dx  f ( x, y ) dx;  a c  d b   J 2 =  dy  f ( x, y ) dx; .  c a   J1 = J 2 .   Доказательство теоремы 5.7: Предполагаем, что подынтегральная функция f  0 . b d a c И пусть сходится J1 =  dx  f ( x, y ) dy . Тогда рассмотрим интеграл: d b b d c a a c  dy  f ( x, y ) dx =  dx  f ( x, y ) dy . Поясним это равенство. Во-первых, знак абсолютной величины не пишется, так как предположили, что f  0 . Во-вторых, интеграл по  c; d  – это самый обычный собственный интеграл, поэтому, пользуясь сходимостью, переставляем порядок интегрирования. равномерной b d a c Пользуясь тем, что f  0 , а также сходимостью  dx  f ( x, y ) dy , получим: d b b d b d c a a c a c  dy  f ( x, y ) dx =  dx  f ( x, y ) dy   dx  f ( x, y ) dy . d Интеграл  f ( x, y ) dy конечен по условию. c Теперь в этом неравенстве совершаем предельный переход d  → d − 0 , c → c + 0 . Таким образом, получается, что: d b b d c a a c  dy  f ( x, y ) dx   dx  f ( x, y ) dy . J 2  J1 . Так как сходится J1 , то сходится и J 2 . А теперь проводим аналогичные рассуждения, поменяв интегралы местами. В результате чего получится, что: J1  J 2 . Так как сходится J 2 , то сходится и J1 . Значит, J1 = J 2 . Это получено при f  0 . Теперь считаем, что подынтегральная функция f произвольного знака. Введем вспомогательные функции: f  ( x, y ) = f ( x, y )  f ( x , y ) 2 . Заметим, что про каждую из них можно сказать следующее: 0  f  ( x, y )  f ( x , y ) . Кроме того, верно f ( x, y ) = f + ( x, y ) − f − ( x, y ) . Подчеркиваем, что для f + и f − теорема уже доказана. Значит, теорема будет доказана и для разности этих функций, то есть для подынтегральной функции любого знака. ч.т.д. Замечание к теореме 5.7: А можно ли перенести эту ситуацию на комплекснозначную функцию? f ( x, y ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) .  u  f Оказывается, что, в силу оценок:  , теорему 5.7 можно переносить и на  v  f комплекснозначный случай. Интеграл Эйлера-Пуассона: +   2 e− x dx = . 2 Покажем, как вычислить этот интеграл. Ранее он был вычислен при рассмотрении кратных несобственных интегралов, а теперь – будет посчитан с помощью несобственных интегралов, зависящих от параметра. Заметим, что он не содержит никаких параметров, тем не менее, мы искусственно их в него запустим: +  Теперь пусть t = xy,  2 e −t dt = 2 . y  0. +  ye− x 2 2 y dx = +  e− x 2 2 y dx =  . 2  2y . +  Введем следующее обозначение: I = ye− x 2 2 y dx = const . 2 Теперь эту константу умножим на e − y и проинтегрируем от 0 до + : +  +   +  +    ye  − y 2 x2 1 =− 2 +   ye− y 2 2 x  2 dx  e − y dy .    − y 2 Теорема 5.7 + + − y 2 (1+ x2 ) dx  e dy = dy =  dx  ye   e      ( − y 2 1+ x 2 ) +   dx = 1  1 + x2 2  Упражнение 5.6: Поясните переход, интегрирования, используя теорему 5.7. +  где dx  = . 1 + x2 4 идет замена порядка Таким образом, +  +      ye − y 2 x2 +  − y2 2   dx  e dy =   Ie− y dy =  4 4  + так как I =const  I  2 e − y dy = I Тогда I 2 =  4 I=  2 . + Значит, интеграл Эйлера-Пуассона вычислен:  2 e− x dx =  2 .  4 . Интегралы Френеля: + 2  cos ( x ) dx . I1 = + I2 = 2  sin ( x ) dx . Ясно, что в такой записи сразу и не скажешь, сходятся интегралы Френеля или нет, поэтому сделаем следующую замену переменной: Пусть x = y , тогда + 1 I1 = 2  1 I2 = 2 +  cos y dy . y sin y dy . y Теперь очевидно, что это сходящиеся интегралы. Чтобы рассмотреть их одновременно, перейдем к комплексным числам: + eiy dy . 2 y  J = I1 + iI 2 = Для удобства вычислений, запустим под каждый из интегралов экспоненту, и чтобы экспонента потом исчезла, добавим предельный переход: + I1 = lim k →+0  cos y dy . 2 y e− ky + e k →+0  I 2 = lim sin y dy . 2 y − ky + J = I1 + iI 2 = lim k →+0 e + Вспоминаем интеграл Эйлера-Пуассона:  − ky eiy dy . 2 y 2 e −t dt =  2 . + Пусть t = x y , y  0 , тогда  2 ye− yx dx =  2 Таким образом, 1  +  1 2 e− yx dx = 2 y . . Получив это равенство, можно записать следующее: + J = I1 + iI 2 = lim k →+0 = 1 +  k →+0  lim  e ( − k +i ) y  1 +       Теорема 2 e − yx dx  dy =   5.7 ( ( ) ) + + x 2 + k 2 + i  + ( − x2 −k +i ) y  1 dx 1 dx   e dy  = lim = lim dx. 2   k →+0  x 2 + k − i k →+0  2 2   +1 0 x +k  0  Подынтегральная функция – это рациональная дробь от x и k . Теперь совершаем необходимый предельный переход. ( x + k ) + i dx  ( x + k ) +1 + Упражнение 5.7: Пояснить, почему интеграл непрерывной функцией параметра k . Таким образом, J = I1 + iI 2 = 1  +  I1 = I2 = x2 + i dx , тогда x4 + 1 1  1  +  +  x 2dx . x4 + 1 dx . x +1 4 Рассмотрим I1 и сделаем замену переменной x → 1 : x 2 2 2 2 2 будет + 1 I1 =   2 x dx 1 = 4 x +1  I +I 1 Поэтому, I1 = I 2 = 1 2 = 2 2  +   + 1  −dx    x2  x2  = 1 1  1+ 4 x +  dx = I2 . x +1 4 x2 + 1 dx . x4 + 1 1 и будем её рассматривать только x при x   0; + ) . На этой части функция монотонна. Введем вспомогательную функцию y = x − Тогда I1 = I 2 = 1 2  +  1 x 2 dx = 1 1 2  x2 + 2 x 1+ + dy в силу четности 1 =  y2 + 2 = 2  −  1 + Таким образом, + +   1 x2 1   x + 2 − 2 + 2 x   y = x− dx = 1 x 2 dy 1 y = arctg y2 + 2 2  2 2  cos ( x ) dx =  sin ( x ) dx = 2 2 1+ +  2 . + =  2 2 .