Несобственные интегралы

Лекция 6 Тема. Несобственные интегралы b В определенном интеграле  f ( x)dx мы считали пределы интегрирования a и b a конечными, а подынтегральную функцию f ограниченной на отрезке a; b . Вспомним определение определенного интеграла. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла? Древние греки еще в I веке, занимаясь вопросами вычисления площадей, пытались вычислить площадь фигуры, ограниченной веткой гиперболы в 1четверти, и осями координат. Они разделили эту задачу на две: 1) Каким образом найти площадь фигуры на бесконечном отрезке? 2) Каким образом найти площадь фигуры от бесконечной функции? Решения этих задач появилось только в XIX веке. Займемся первой задачей. Рассмотрим положительную функцию f на луче a;    . Попробуем пойти по пути введения определенного интеграла. Если мы разобьем этот луч на конечное число частей, то одна из частей окажется бесконечным промежутком, не имеющим длины. Значит о интегральной сумме для функции f на луче a;    говорить не имеет смысла. b Рассмотрим число b  a;    . Вычисли площадь S b    f ( x)dx . С увеличением a значения b будет увеличиваться и площадь фигуры S b  . Тогда площадь всей криволинейной трапеции S  lim S (b) , если этот предел существует. Причем S является не пределом b   интегральных сумм, а пределом определенного интеграла с переменной границей интегрирования. Сформулируем определение. Определение 1. Функция f определена луче a;    , интегрируема на отрезке a; b , b   b : a  b   то  f x dx  lim  f ( x)dx b   a называется несобственным интегралом на a неограниченном множестве (I рода). Если предел существует, то несобственный интеграл сходится, а если предел не существует, то несобственный интеграл расходится.  dx Пример 1.   1 x b  Если   1 , то dx dx  lim ln x 1 x  blim    b   x 1 Если b b  dx x  1   lim x dx  lim 1 x  b 1 b   1   1 b 1  lim ln b  ln 1   расходится; b   0   1, , 1    0, b  1   b  1 1   lim   1 1 b   1   1  ,1    0,  1  0 b  1 то  ,   1 dx  1 x    1 ,   1 – этот несобственный интеграл будем называть эталонным.   1   а   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  a; c  ,  a Займемся второй задачей. Рассмотрим положительную функцию f на полуинтервале причем неограниченную в окрестности тоски с. При разбивании полуинтервала на конечное число частей и выборе в каждой части значения функции, то одна из частей окажется бесконечное значение функции, не имеющее длины. Значит, об интегральной сумме для функции f на полуинтервале a; c  говорить не имеет смысла. b Рассмотрим число b  a; с  . Вычисли площадь S b    f ( x)dx . С увеличением значения a b будет увеличиваться и площадь фигуры S b  . Тогда площадь всей криволинейной трапеции S  lim S (b) , если этот предел существует. Причем S является не пределом интегральных сумм, bс  0 а пределом определенного интеграла с переменной границей интегрирования. Сформулируем определение. Определение 2. Функция f определена полуинтервале a; c  , интегрируема на отрезке c a; b,  b : a  b  c то b  f x dx  a lim b c 0  f ( x)dx называется несобственным интегралом от a бесконечной функции (II рода). Если предел существует, то несобственный интеграл сходится, а если предел не существует, то несобственный интеграл расходится. 1 dx сходится,   1 Пример 2.     . расходится,   1 0 x 1 1 1 dx dx   Если   1 , то   lim   lim ln x a  lim  ln 1  ln a    расходится; a   a   a   x x  0  a Если   1 , то  1 ,1    0, a  1  0 1  1 1  1    dx x 1 a      1 x  dx  lim  lim   0 x  alim 0  a 01   a0 1   1   1  a a ,1    0,  1    a 1  Пример 3. dx  x этот интеграл нельзя отнести ни к ни к I ни к II роду.  dx 0 x  1  dx dx 0 x  1 x эти два интеграла одновременно не сходятся, следовательно, и   II рода сходится при 1 I рода сходится при 1 несобственный интеграл расходится. Таким образом, задача, которую пытались решить древние греки о нахождении площади фигуры под веткой гиперболы в I четверти решена. Площадь этой фигуры равна бесконечности. Свойства несобственных интегралов c 1. Если интеграл  f ( x)dx сходится (расходится) и k – постоянное число, то интеграл a c c  k f ( x)dx также сходится (расходится), и имеет место равенство  k f ( x)dx  k  f ( x)dx . a a c 2. Свойство аддитивности. Если интегралы c a c и  f ( x)dx a c c  g ( x)dx сходятся, то интеграл a c c   f ( x)  g ( x)dx также сходится, причем   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx a a a a a; c  , 3. Формула Ньютона-Лейбница. f – непрерывна на F первообразная f. c  f ( x)dx  F (c)  F (a) , причем F (c)  lim F (b) . a 4. Формула замены переменной. f – непрерывна на a; c  , c дифференцируема на  ;   , a     , lim  t   c , тогда t    t  - непрерывна и c f ( x)dx   f  t    t dt . a a 5. Формула интегрирования по частям. Если u и v непрерывны и дифференцируемы на c a; c  и lim uv x c c c c существует, то  udv  uv a   vdu , причем uv a  lim u  x v x   u a va  . a x c a Если отыскать первообразную для функции f трудно или если она в конечном виде не может быть вычислена, то можно воспользоваться признаками сравнения.` Признаки сравнения несобственных интегралов I рода Пусть x  a;  f ( x )  0 , g ( x)  0 , и функции f и g интегрируемы на a; b , b   . 1. Если на a;  f ( x)  g ( x ) , то:   1) из сходимости интеграла  g ( x )dx следует сходимость интеграла  f ( x)dx ; a a   2) из расходимости интеграла  f ( x )dx следует расходимость интеграла  g ( x )dx . a f ( x)  k , k  0 , k   , g ( x )  0 , то g ( x) либо оба расходится. 2. Если lim x   a    f ( x)dx и a  g ( x)dx либо оба сходятся, a  3. Функция f является знакопеременной на a;  . Если   f ( x ) dx сходится, то a  f ( x)dx a сходится. Признаки сравнения несобственных интегралов II рода Пусть x  a; b  f ( x )  0 , g ( x)  0 , и функции f и g интегрируемы на a; b    . 1. Если f ( x)  g ( x ) на a; b  , то: b b 1) из сходимости интеграла  g ( x)dx следует сходимость интеграла a  f ( x)dx ; a b b 2)из расходимости интеграла  f ( x)dx следует расходимость интеграла  g ( x)dx a f ( x)  k , k  0 , k   , g ( x )  0 , то x  b  0 g ( x) либо оба расходится. 2. Если lim ЗАДАНИЯ 1. Исследуйте на сходимость интегралы:  dx 1.1.  2  1  x  1.2.  sin xdx a b  f ( x)dx a b и  g ( x)dx a либо оба сходятся,  1.3. e  px dx  1.4. dx  x ln 3 x 2. Докажите с помощью признаков сравнения: e  2.1. 2 x  e dx сходится;  2.2.  1 arctg x dx расходится; x 2.3.  e  ax  sin bxdx при a  0 сходится; 1 cos   x  dx расходится. x2  1  3 3. Исследуйте на сходимость интегралы: 27 dx 3.1.  3 8 x 2.4.  1 3 1 3.2.  ln xdx ; 2 4x 3  4 dx ; 2 x  1 4. Докажите с помощью признаков сравнения:  sin x 4.1.  2 dx расходится 0 x 3.3. 100 4.2.  dx 3 x  24 x  x 3 сходится