Непрерывные случайные величины (НСВ).

§ 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (НСВ). 5.1. Основные определения. Определение. Случайная величина X называется непрерывной, если множество ее значений совпадает с множеством некоторого числового промежутка (конечного или бесконечного). Так как множество точек любого промежутка бесконечно и несчетно, то НСВ не может быть задана при помощи ряда распределения. Один из способов задания НСВ – при помощи функции распределения этой СВ. Напомним, определение. Определение. F ( x ) = P ( X  x ) . Свойства функции распределения НСВ совпадают со свойствами функции распределения ДСВ: 1. 0  F ( x )  1 ; 2. F ( x ) – неубывающая функция, т.е. F ( x2 )  F ( x1 ) , если x2  x1 ; 3. F ( − ) = lim F ( x ) = 0 , F ( + ) = lim F ( x ) = 1 ; x→− x →+ Для ДСВ F ( x ) - кусочно-непрерывная функция, имеющая точки разрыва 1-го рода. Для НСВ F ( x ) - непрерывная. Определение. НСВ называется такая СВ, функция распределения F ( x ) которой непрерывна всюду и непрерывно дифференцируема всюду, кроме разве что конечного числа точек, в которых она терпит излом. Следствие 1: Вероятность попадания СВ X в интервал  ;  ) выражается формулой: P (  X   ) = F (  ) − F ( ) . (*) Следствие 2: Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю. Доказательство. Положим в формуле (*)  = х1 ,  = х1 + х . получим P( х1  Х  х 1 + х) =F( х1 + х) -F( х1 ). Если х → 0 , то, в силу непрерывности F(х) в точке х1 , разность F( х1 + х) -F( х1 ) → 0 , следовательно P(Х= х1 )=0. Используя этот факт, легко убедиться в справедливости равенств: P(  Х   ) = P(  Х   ) = P(  Х   ) = P(  Х   ) . Например, равенство P(  Х   ) = P(  Х   ) доказывается так: P(  Х   ) = P(  Х   ) + P(Х =  ) = P(  Х   ) . Таким образом, не представляет интереса говорить о вероятности того, что НСВ примет одно определенное значение, но имеет смысл рассматривать вероятность ее попадания в интервал, пусть даже сколь угодно малый. Для непрерывной случайной величины вводится плотности распределения или плотности вероятности. понятие Так как F ( x ) почти всюду непрерывно дифференцируема, то существует производная этой функции F  ( x ) . Определение. Плотностью распределения НСВ X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке (если эта f ( x) = F( x) . производная существует): Из этого определения следует, что функция распределения F(х) является первообразной для плотности распределения f(х). Замечание. Плотность также как и функция распределения задает закон распределения НСВ, но в отличие от функции распределения плотность применима только для описания непрерывной случайной величины. Определение. График f ( x ) называется кривой распределения. Свойства плотности: 1) f ( x )  0 . Доказательство: F ( x) - функция неубывающая  F( x) = f ( x)  0 . +  f ( x )dx = 1 (условие нормировки). 2) − Доказательство: Рассмотрим несобственный интеграл +  f ( x )dx = − x0  f ( x )dx + − +  f ( x )dx = lim F ( x ) a + lim F ( x ) x = x0 x0 a →− b b→+ = lim ( F ( x0 ) − F ( a ) ) + lim ( F ( b ) − F ( x0 ) ) = F ( x0 ) − 0 + 1 − F ( x0 ) = 1 . a →− b→ Геометрически это свойство означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Oх и кривой распределения, равна 1. (рис) В частности, если все возможные значения СВ принадлежат a интервалу(а;b), то  f ( x)dx =1. b 3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу ( a, b ) , определяется равенством:  P (  X   ) =  f ( x ) dx .   P (  X   ) = F (  ) − F ( ) =  f ( x ) dx (по Доказательство:  формуле Ньютона-Лейбница). Геометрически это свойство можно истолковать так: вероятность того что, НСВ примет значение принадлежащее интервалу (a;b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и x=b. (рис) 4. Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения F ( x) = x  f ( t ) dt . − Доказательство. Мы знаем, что F(x) = P(X