Непрерывные случайные величины, их характеристики и законы распределения

Непрерывные случайные величины, их характеристики и законы распределения Случайной непрерывной величиной называется такая случайная величина, которая может принимать любые значения из конечного или бесконечного интервала. Например, размер детали массового производства; время ожидания автобуса на остановке; рост любого встреченного человека. Непрерывная случайная величина задается либо функцией распределения вероятностей F(x), либо функцией плотности распределения вероятностей f(x). Функция распределения F(x) – это функция определяющая вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее х: . Свойства функции распределения F(x): 1. F(x) – неубывающая функция. 2. . 3. . Функция плотности распределения f(x) – это функция, равная первой производной от функции распределения : Свойства плотности распределения f(x) 1. Плотность распределения – неотрицательная функция. 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -  до  равен единице. 3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b. Числовые характеристики непрерывных случайных величин Характеристиками непрерывной случайной величины являются математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. 1. Математическое ожидание находится по формуле: 2. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения. По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула: 3. Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии. Пример 1. Случайная величина задана интегральной функцией распределения . Найти: 1) дифференциальную функцию (плотность вероятностей); 2) числовые характеристики случайной величины. Решение. 1) Перейдём от функции F(x) к функции f(x) по определению , то есть найдём производную от функции F(x). Получим 2) Числовые характеристики: ; ; . Пример 2. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью: Найти: а) коэффициент а, б) вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от 0 до . в) составить функцию распределения F(x). Решение. а) Для нахождения коэффициента а воспользуемся свойством . Тогда функция примет вид: б) Находим вероятность попадания случайной величины в заданный интервал по формуле: . . в) Для перехода от функции f(x) к функции F(x) используем свойство 3 функции распределения () и формулу перехода . Тогда, . Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин Наиболее распространенными видами распределения непрерывной случайной величины являются равномерное, показательное и нормальное. 1. Равномерное распределение Определение. Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a;b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю: Постоянная величина может быть определена из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения. Получаем . f(x) Найдем функцию распределения F(x) на отрезке [a,b]. F(x) 1 То есть, функция плотности распределения непрерывной случайной величины равна (х)=. Числовые характеристики равномерно распределённой случайной величины: М(Х)=, D(X)=. Пример 3. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Найти: а) среднее время ожидания автобуса; б) отклонение в ожидании автобуса; в) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ждать автобус менее 3 минут. Решение: функция плотности распределения имеет вид . а) Среднее время ожидания автобуса – это математическое ожидание . То есть среднее время ожидания автобуса равно 2,5 мин. б) Отклонение в ожидании автобуса определяется через среднее квадратическое отклонение: D(X)=, . То есть отклонение в ожидании автобуса отличается от среднего времени на 1,4 мин. в) . 2. Показательное распределение Определение. Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины , которое описывается плотностью где  - положительное число. Найдем закон распределения. Графики функции распределения и плотности распределения: f(x) F(x)  1 Числовые характеристики показательно распределённой случайной величины: М(Х)= =1/, D(X)= 1/2. Пример 4. Вероятность того, что во время лекции преподаватель объяснит дополнительный материал, равна 0,01. Определить среднее время лекций без дополнительного материала и вероятность того, что в течение пяти «пар» преподаватель ни разу не изложит его. Решение. М(х)= 1/=100 мин., при этом по времени 5 учебных «пар» равны 400мин. Тогда, р(400)=1-е-0.01*400=0.0183. 3. Нормальный закон распределения Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности , где , Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса. Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения. Можно легко показать, что параметры и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины . Найдем функцию распределения . , где , График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса. Нормальная кривая обладает следующими свойствами: 1. Функция определена на всей числовой оси. 2. При всех х функция распределения принимает только положительные значения. 3. Ось является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, так как при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю. 4. Найдем экстремум функции. Так как при y’ > 0 при x <а и y’ < 0 при x > а , то в точке х = а функция имеет максимум, равный . 5. Функция является симметричной относительно прямой х = а, так как разность (х – а) входит в функцию плотности распределения в квадрате. 6. Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности. При x = а+  и x = а -  вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, то есть в этих точках функция имеет перегиб. В этих точках значение функции равно . Построим график функции плотности распределения. Краткая запись: Х ⁓ N(a; σ). Вероятность того, что случайная нормально распределенная величина Х примет значение, находящееся в интервале (α; β) вычисляется по формуле р(α < Х < β)=Ф(- Ф(, где Ф(Х) – функция Лапласа (таблица 4). Пример 5. Случайна величина распределена по нормальному закону , а вероятность ее попадания в интервал равна 0,8. Найти вероятность попадания в интервал . Решение. ; ; . Пример 6. Количество слов и выражений в лексикологической программе компьютера подчинено закону нормального распределения со средним значением равным 500 и средним отклонением – 36. Найти вероятность того, что наудачу выбранная машина имеет в памяти от 400 до 550 слов и выражений. Решение: a=500, =36, Р(400 х 550)=Ф(- Ф(= Ф(- Ф(= 0,9150. Пример 7. Ведутся испытания новейшей ракеты. Ошибка наведения – случайная величина, нормально распределённая с параметрами а=24 и =4м. Найти вероятность того, что наведение произведено: а) с ошибкой, не превышающей 8м; б) с ошибкой меньше 5м. Решение. а) р(<8)=Р(-8< х <8)= Ф() - Ф()= - Ф(4) + Ф(8) = = - 0,499968+0,5=0,000032. б) Р(х<5)=Р(0<х<5)= -Ф(4,8)+Ф(6)=0,0000008. Таблица 4 Значения функции Ф(х)= x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,0000 0040 0080 0120 0160 0199 0239 0279 0319 0359 0,1 0398 0438 0478 0517 0557 0596 0636 0675 0714 0753 0,2 0793 0832 0871 0910 0948 0987 1026 1064 1103 1141 0,3 1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 1517 0,4 1554 1591 1628 1664 1700 1736 1772 1808 1844 1879 0,5 1915 1950 1985 2019 2055 2088 2123 2157 2190 2224 0,6 2257 2291 2324 2357 2389 2422 2454 2486 2517 2549 0,7 2580 2611 2642 2673 2708 2734 2764 2794 2823 2852 0,8 2881 2910 2939 2967 2995 3023 3051 3078 3106 3133 0,9 3159 3186 3212 3238 3264 3289 3315 3340 3365 3389 1,0 3413 3438 3461 3485 3508 3531 3554 3577 3599 3621 1,1 3643 3665 3696 3708 3729 3749 3770 3790 3810 3830 1,2 3894 3869 3883 3907 3925 3944 3962 3980 3997 4015 1,3 4032 4049 4066 4082 4099 4115 4131 4147 4162 4177 1,4 4192 4207 4222 4236 4251 4265 4279 4292 4306 4319 1,5 4332 4345 4357 4370 4382 4394 4406 4418 4429 4441 1,6 4452 4463 4474 4484 4495 4505 4515 4525 4535 4545 1,7 4554 4564 4573 4582 4591 4599 4608 4616 4625 4633 1,8 4641 4649 4656 4664 4671 4678 4686 4693 4699 4706 1,9 4713 4719 4726 4732 4738 4744 4750 4756 4761 4767 2,0 4772 4778 4783 4788 4793 4798 4803 4808 4812 4817 2,1 4821 4826 4830 4834 4838 4842 4846 4850 4854 4857 2,2 4861 4864 4868 4871 4875 4878 4881 4884 4887 4890 2,3 4893 4896 4898 4901 4904 4906 4909 4911 4913 4916 2,4 4918 4920 4922 4925 4927 4929 4931 4932 4034 4936 2,5 4938 4940 4941 4943 4945 4946 4948 4949 4951 4951 2,6 4953 4955 4956 4067 4959 4960 4961 4962 4963 4964 2,7 4965 4966 4967 4968 4969 4970 4971 4972 4973 4974 2,8 4974 4975 4976 4977 4977 4978 4979 4979 4980 4981 2,9 4981 4982 4982 4983 4984 4984 4985 4985 4986 4986 x x x x 3,0 0,49865 3,5 0,49977 4,0 0,499968 4,5 0,4999966 3,1 0,49903 3,6 0,49984 4,1 0,499979 4,6 0,4999979 3,2 0,49931 3,7 0,49989 4,2 0,499987 4,7 0,4999987 3,3 0,49952 3,8 0,49993 4,3 0,499991 4,8 0,4999992 3,4 0,49966 3,9 0,49995 4,4 0,499995 4,9 0,4999995