Непрерывные и дискретные модели и их взаимосвязь

Лекция №2 3. Модели, используемые при идентификации Модели можно представить в виде диаграммы, рис. 3.1 Непрерывные Дискретные МОДЕЛИ Параметрические Параметрические Дифференциальные уравнения Разностные уравнения Передаточные функции Дискретные передаточные функции Разложение по ортогональным функциям Непараметрические Непараметрические Весовые функции Частотные характеристики Весовые функции Частотные характеристики Переходные функции Рис.3.1. Классификация моделей идентификации 3.1.Непрерывные модели и их взаимосвязь Взаимосвязь непрерывных моделей можно представить рисунком 3.2. 1 L(), () L Дифференциальные уравнения j P() W(j) W(p) L -1 Q() Рис.3.2 ∫ w(t) h(t) d/dt Рис.3.2. Взаимосвязь непрерывных моделей На рис.3.2:  W(p) – передаточная функция;  W(j) – комплексный коэффициент усиления;  P(), Q() – действительная и мнимая частотные функции;  w(t), h(t) – весовая и переходная функции; -1  L,L – прямое и обратное преобразование Лапласа;  L(),() – логарифмическая амплитудная и фазовая частотные характеристики. Хотя методы идентификации с непрерывными моделями существуют и достаточно хорошо разработаны, они обладают рядом недостатков:  Основной недостаток – это противоречие между дискретностью отсчетов входных и выходных сигналов с непрерывностью модели;  Неточность представления непрерывных моделей на компьютере (непрерывные модели представляются соединением интеграторов, каждый из которых моделируется численными методами /методом Симпсона и т.д./, либо представляется системой дифференциальных уравнений, решаемой методами Эйлера, Рунге-Кутта и т.д.  Трудность и ошибки при переходе от одной модели к другой. 3.2.Дискретные модели и их взаимосвязь Рассмотрим дискретные модели. 1. Весовая (импульсная переходная функция: w(mT), m=0,1,2…, Т – период квантования. 2 Как известно, весовая функция инвариантна к операции дискретизации, рис.3.3. w(mT) – реакция объекта на единичный импульс 𝛿 𝑡 𝛿 𝑡 𝑤 𝑡 = . 𝑤 𝑚𝑇 W(p) T T Рис.3.3. Получение дискретной весовой функции (t) = { ∫ w(mT)=w(t)| Весовая функция может быть использована в сумме свертки, аналогичной интегралу свертки для непрерывных сигналов, а именно, для объекта, представленного на рисунке: u(mT) y(mT) Объект [ Выходной сигнал равен: y[nT]=∑ ] [ ∑ или в операторной форме: [ ] ] [ ] , где U(z-1), Y(z-1) – дискретные изображения по Лапласу входного и выходного сигналов объекта, z -1 – оператор задержки сигнала на один такт. Напомним, что дискретная передаточная функция системы определяется по весовой функции непрерывной системы следующим образом: 𝐿 T W(p) D w(t) 𝑊 (p)T ) w(mT) -1 где L – обратное преобразование Лапласа; Т – шаг дискретизации, или период квантования; D – дискретное преобразование Лапласа. Таким образом, дискретную передаточную функцию можно найти по формуле: ∑ [ ] Характеристики модели:  Линейность по параметрам;  Бесконечное число параметров;  Единственность представления. 2. Разностное уравнение 3 [ ] [ ] [ [ ] ] [ ] Или в краткой форме: [⏟ ] [ ] [ [⏟ ] ] [ ]. АР – авторегрессионная часть; СС – часть скользящего среднего; АРСС – авторегрессионная модель скользящего среднего. ∑ ∑ - оператор задержки на один такт во временной области В операторной форме: [ ] [ ] [ ] [ [ ] [ ] ]. . Характеристики модели:  Линейность по параметрам;  Конечное число параметров (g+p+1);  Не единственность представления, но, если потребовать минимальный порядок, то модель становится единственной). 3. Дискретные передаточные функции [ ] [ ] ∑ [ ] . Характеристики модели:  Нелинейность по параметрам знаменателя;  Конечное число параметров (g+p+1);  Единственность представления;  Традиционность использования;  Полное описание при нулевых начальных условиях.. В основе дискретных моделей лежат разностные уравнения. Представим дискретные модели и их взаимосвязь в виде схемы, представленной на рис.3.4. D zp W*(p) Разностные уравнения D W(p) -1 zp w[mT] w(t) T Рис.3.4. Взаимосвязь дискретных моделей На рис.3.4 приняты обозначения: W(p) – передаточная функция; 4 w(t) – весовая функция; W*(p) – дискретная передаточная функция; w[mT] – дискретная весовая функция; D – дискретное преобразование Лапласа; D-1 – обратное дискретное преобразование Лапласа; T – шаг дискретизации (период квантования. zp, pz – переходы от дискретного к непрерывному изображению по Лапласу и, наоборот, от непрерывного к дискретному. Пунктиром изображен переход от дискретной весовой функции, представленной отсчетами, к дискретной передаточной функции. Продемонстрируем возможность такого перехода на следующем примере. Известна дискретная передаточная функция: ∑ ( [ ] _________________________________ Из уравнений, зная отсчеты ординат весовой функции, можно найти коэффициенты дискретной передаточной функции. Следует отметить, что ординаты весовой функции удовлетворяют равенству: ∑ 5 Лекция №3 Характеристики дискретных моделей 1. Дискретные модели точно представляются в памяти компьютера; 2. Дискретные модели полностью соответствуют дискретным отсчетам входных/выходных сигналов; 3. При переходе от дискретных к традиционным непрерывным моделям появляются погрешности перехода. Продемонстрируем взаимосвязь дискретных моделей на примере инерционного звена с известной непрерывной передаточной функцией: Найдем дискретную передаточную функцию по цепочке: 𝐿 T W(p) w(t) { [ D 𝑊 (p)T ) w(mT) } { } 1(t) ] { [ ∑ ∑ ]} [ = ∑ ] = = ( ) = Переход от [ [ ]- к разностному уравнению ] [ ] Переход от разностного уравнения к дискретной передаточной функции ( [ ] [ ] [ ]) 6 ) Переход от разностного уравнения к весовой функции [ ] [ ] [ = ] Входной сигнал и выходной сигнал дискретного инерционного звена представлен на рис. 3.5. Рис. 3.5. Вход/выход инерционного звена Переход от дискретной передаточной функции к весовой функции Разложим дискретную коэффициентами при { [ ]} передаточную функция в ряд Лорана, тогда будут ординаты весовой функции в соответствии с равенством: ∑ [ ] Весовая функция дискретного инерционного звена имеет вид: 7 [ ] { } Переход от весовой функции, заданной ординатами, к дискретной передаточной функции Предполагаем, что модель описывается дискретной передаточной функцией 1-го порядка: В соответствии с ранее изложенным ∑ [ ] Раскрывая равенство, получаем: , Откуда получаем дискретную передаточную функцию в виде: Переход от непрерывной передаточной функции к дискретной передаточной функции Перевод будем проводить с помощью билинейного преобразования Аналогично получим pz переход: 2+pT=2z-pTz pT(1+z)=2(z-1) Найдем коэффициент усиления дискретного полученного звена при p=0 и, следовательно, z=1. При подстановке получим не изменился. 8 , т.е. коэффициент усиления Переход от дискретной передаточной функции к непрерывной передаточной функции Найдем коэффициент усиления полученного звена при p=0: При выводе было использование приближение 9 1-T/T1