Непрерывность и точки разрыва функций

Лекция 3. Непрерывность и точки разрыва функций Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если функция определена в точке x 0 и в некоторой окрестности, содержащей эту точку; функция имеет конечный предел при x  x 0 . Он равен значению функции в точке x 0 : lim f ( x)  f ( x 0 ) . x x o Точка x 0 в этом случае называется точкой непрерывности функции. Часто приходится рассматривать непрерывность функции в точке x 0 f ( x)  f ( x 0 ) , то справа или слева. Так, если, например, существует xlim x 0 о функция называется непрерывной в точке x 0 слева. Можно также сказать, что функция y = f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует y  0 . бесконечно малое приращение функции lim x 0 Точка x 0 называется точкой разрыва функции y = f(x), если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности. Точка разрыва x 0 функции y = f(x) называется точкой устранимого разрыва, если существуют оба односторонних предела в точке x 0 и они равны, т.е.: lim f ( x)  lim f ( x)  A. x  x 0 x x 0 ” ” Если в точке x 0 односторонние пределы слева и справа существуют, но не равны, точка x 0 называется точкой разрыва I рода. Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода. Если функции непрерывны в точке x 0 , то их сумма, разность и произведение также непрерывны в точке x 0 . Если, кроме того, знаменатель в рассматриваемой точке не равен нулю, то частное непрерывных функций есть также функция непрерывная. Если функция u = g(x) непрерывна в точке x 0 , а функция y = f(u) непрерывна в точке u 0  g ( x 0 ) , то сложная функция y  f g(x) непрерывна в точке x 0 . Функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a,b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на концах отрезка (в точках a и b) непрерывна соответственно справа и слева. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и (или) наименьшего значения. Как следствие: если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке. Теорема Больцано–Коши. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри этого отрезка найдется, по крайней мере, одна точка, в которой функция равна нулю. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и f(a) = A и f(b)=B, то для любого числа С, заключенного между А и В, найдется внутри этого отрезка такая точка с, что f(c) = C. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и возрастает (убывает) на этом отрезке, то обратная функция x  f 1 ( y ) на соответствующем отрезке оси ОY существует и является также непрерывной возрастающей (убывающей) функцией. Пример 1. Доказать, что функция y  cos x непрерывна при любом x. Решение. Область определения функции D(f )   ; . Найдем приращение функции y в некоторой произвольной точке x x  области определения x: y  cos x  x  cos x  2 sin x    sin .  2 2 Вычислим предел: x  x    lim y  lim   2 sin  x     sin 2  2  x  0 x  0  x  x   2  lim sin  x   2  sin x  0  0 .  lim sin 2  x  0 2  x  0 Поскольку результат справедлив для любого x, функция y  cos x непрерывна на всей области определения, т.е. для любого x. Пример 2. Доказать, что функция y  x непрерывна в точке x=9. Решение. Область определения функции D( f )   0; , следовательно, в точке x=9 функция y  x определена и f (9)=3. lim x  xlim x  3 , т.е. lim x  3  f ( 9) x 9  0  9 0 x9 Все условия непрерывности функции в точке следовательно, функция y  x непрерывна в точке x=9. Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию y  Решение. Область определения функции D( f )   ;1   1;1  1;  . выполняются, x 1 . x2  1 В точках x=-1 и x=1 функция имеет разрывы. Определим их характер. x1 x 1 и lim 2 lim      x=-1 – точка разрыва II рода. 2 x1 0 x 1 0 x 1 x 1 x 1 1 1 x 1 1 1 и lim 2 lim  lim   lim   2 x 1 0 x  1 x1 0 x  1 2 x1 0 x  1 x1 0 x  1 2  x=1 – точка устранимого разрыва. Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию 1 . y  arcctg x2 Решение. Область определения функции D( f )   ;2 2; . В точке x=2 функция имеет разрыв. Определим его характер. 1 1 и lim arcctg lim arcctg  arcctg      arcctg   0    x 2  0 x2  0 x2 x 2  x=2 – точка разрыва I рода. Пример 5. Исследовать на непрерывность функцию  x 2 , x  0;3 f ( x)   .   2 x  1 , x  3 ; 5  Решение. Эта функция определена во всех точках отрезка [0;5] и ее значение в точке x=3 равно f(3)=9. lim f ( x)  xlim x 2  9 и xlim f ( x)  xlim 2x  1  7  x=3 является x  3 0  3 0  3 0  3 0 точкой разрыва I рода. При этом в граничных точках исследуемого отрезка функция f(x) непрерывна справа (x=0) и непрерывна слева (x=5). Пример 6. Показать, что уравнение x 4  3x  1  0 имеет в интервале 1,2 хотя бы один действительный корень. Решение. Функция f ( x )  x 4  3x  1 является непрерывной на множестве действительных чисел как комбинация непрерывных функций. На концах исследуемого интервала функция принимает значения разных знаков: f(1)=-1 и f(2)=11. Согласно теореме Больцано–Коши, на заданном интервале найдется хотя бы одна точка, в которой функция равна нулю. Следовательно, заданное уравнение на интервале (1;2) имеет хотя бы один действительный корень. Ассимптоты графика функции При исследовании функций особый интерес представляет вид графика этой функции при неограниченном удалении его текущей точки от начала координат, или, как говорят, при удалении ее в бесконечность. Если при этом график функции неограниченно приближается к некоторой прямой линии L, то эта линия называется асимптотой графика функции. Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы один из пределов lim f ( x) или lim f ( x) равен  . x a  0 x a 0 Пример 1. Исследовать поведение функции y  1 в окрестности x3 точки x0  3 . Решение. 1 1 lim x  3   , lim x  3   . x 30 x 3 0 Следовательно, прямая x=3 является вертикальной асимптотой y  1 x3 . Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при x   (или x   ), если f(x)=kx+b+  (x) , где  (x) есть бесконечно малая величина при x   ( x   ), т.е. lim ( x)  0 или lim ( x)  0 . x   x   Если k=0, асимптота y=b называется горизонтальной. Теорема. Для того чтобы график функции y=f(x) при x   (или x   ) имел наклонную асимптоту y=kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два конечных предела: lim x  f ( x) k; x lim f ( x)  kx  b . x   Если хотя бы один из пределов не существует, то наклонной асимптоты у кривой нет. Асимптотическое поведение функции y=f(x) при x   и x   может быть различным (например, y  arctgx ). Пример 2. Найти наклонную асимптоту кривой y  2x 2  x  1 . x 1 f ( x) 2x 2  x  1   2. lim lim x xx  1 x  x   2x 2  x  1   2x 2  x  1  2x 2  2x    b  lim f x   kx  lim  2 x   lim x 1 x 1 x  x    x   Решение. Найдем  x 1  lim  1 x   x  1  Прямая y  2x  1 2x 2  x  1 . y x 1 является наклонной ассимптотой кривой основная литература: 1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учебник. В 3-х томах. Т.1 -13-е изд., стер. СПб.: Изд-во «Лань», 2019. 608 с. Т.2 13-е изд., стер. СПб.: Изд-во «Лань», 2019. 800 с. Т.3 – 10-е изд., стер. СПб.: Изд-во «Лань». стер 2019. 656 с. 2. Зубков В.Г., Ляховский В.А., Мартыненко А.И., Миносцев В.Б., Пушкарь Е.А. Курс математики для технических высших учебных заведений. М.: МГИУ, 2012. 400 экз. https://e.lanbook.com/ ГМ курс 3. Миносцев В.Б., Мартыненко А.И., Ляховский В.А., Зубков В.Г. Курс высшей математики: Учебное пособие. Часть 1.М.: МГИУ, 2007; Часть 2.М.: МГИУ, 2007. Часть 3. М.: МГИУ, 2011. 400 экз. https://e.lanbook.com/ дополнительная литература: 1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2-х томах. М.: Интеграл - Пресс, 2009. 180 экз.