Непрерывная зависимость решения первой краевой задачи от граничного условия

Лекция 8. Непрерывная зависимость решения первой краевой задачи от граничного условия и правой части. Замечания относительно 2-ой и 3-ей краевой задачи 1. Непрерывная зависимость решения первой краевой задачи для уравнений Лапласа и Пуассона от граничного условия и правой части. Теорема. Пусть ограниченная область, и . Пусть, далее, – решение класса первой краевой задачи Тогда где константа зависит лишь от области . Доказательство. Выберем такое, что . Рассмотрим функцию , где . Очевидно, и . Отсюда для функции , где , а для функции По принципу максимума , значит и, следовательно, Аналогично по следствию из принципа максимума , откуда Учитывая, что и , отсюда получим и, следовательно, Следствие. Пусть и – решения класса задач Дирихле соответственно, где и . Тогда Доказательство. Разность решений удовлетворяет задаче Дирихле Поэтому утверждение следствия вытекает из доказанной выше теоремы. Замечание. Утверждение следствия означает непрерывную зависимость решения 1-й краевой задачи для уравнения Пуассона от правой части и краевых условий. Отметим, что задачи, обладающие свойством непрерывной зависимости решения от исходных данных, называют корректно поставленными или просто корректными. 2. Единственность решения 3-ей краевой задачи. Замечания относительно 2-ой краевой задачи. Рассмотрим теперь 3-ю краевую задачу Теорема. Пусть и . Пусть, далее, – решение класса задачи Тогда Доказательство. По принципу максимума . Пусть . Тогда – либо точка максимума функции и , либо точка минимума и . Если – точка максимума, то , т.к. и потому в направлении внешней нормали в точке возрастает. Отсюда в силу краевого условия Если же – точка минимума, то, рассуждая аналогично предыдущему случаю, получим (напомним, что ): Отсюда, поскольку , Следствие. В условиях доказанной выше теоремы решение 3-ей краевой задачи для уравнения Пуассона единственно в классе . Доказательство. Пусть – решения, тогда По доказанной выше теореме . Перейдем к рассмотрению 2-ой краевой задачи Заметим, что если – решение 2-ой краевой задачи, то для произвольной константы – тоже решение, так что здесь единственности решения заведомо нет. Но с точностью до константы решение единственно, т.е. если – решения, то . Доказательство этого утверждения приводить не будем. Отметим также, что для существования решения 2-ой краевой задачи, в отличие от 1-ой и 3-ей, необходимо выполнение дополнительного условия, связывающего исходные данные задачи: Действительно, если – решение, то по 2-ой формуле Грина для функций получаем, что