Неопределенность измерений

Лекция Неопределенность измерений (проф. Каф.26, МИФИ, Пронкин Н.С.) 1.1. Неопределенность и погрешность В 1997 году от имени семи авторитетных международных организаций • Международного комитета мер и весов (МКМВ); • Международной электротехнической комиссии (МЭК); • Международной организации по стандартизации (ИСО); • Международной организации по законодательной метрологии; (МОЗМ) • Международного союза по чистой и прикладной физике (ИЮПАП); • Международного союза по чистой и прикладной химии (ИЮПАК); • Международной федерации клинической химии (МФХК) было опубликовано "Руководство по выражению неопределенности измерения", которое определило новую концепцию оценки точности измерений. Можно отметить сразу, что опыт применения этой концепции, вот уже в течение более чем 10 лет показал, что она привела к большому положительному эффекту, способствуя обеспечению достоверности количественного представления результатов измерений, проведенных, в разных странах и организациях, т.е. в конечном итоге к основной цели метрологии - обеспечению единства измерений. Что же послужило к переходу к новой концепции, в то время, когда концепция погрешности измерения, была довольно детально разработана? Некоторые специалисты [1] считают, что основной причиной явилась семантика, т.е. неправильная терминология, обозначающая точность измерения. Для количественного обозначения погрешности использовались the error (английский язык), erreur (французский) – ошибка, просчет. В свете требований к обеспечению качества производства проведение измерений с ошибками и просчетами является неприемлемым и этот термин пытались заменить, иногда используя термины precision (точность) и variation (вариация). Однако точность по определению – это качественная оценка результата измерений, а вариация – параметр, характеризующий относительный разброс результатов измерений. Понятие неопределенности измерения (uncertainty of measurement), которое и ранее использовалось в измерительной практике, и определение которого приводится уже в 1993 году в Международном словаре основных и общих терминов в метрологии (VIM-93), явилось наиболее удачным для характеристики рассеяния результатов измерений. Следует подчеркнуть, что физический смысл неопределенности измерений не соответствует понятию погрешности измерений. Конечно, выбор термина «неопределенность», связана и с вышеуказанными причинами. Однако, разработка новой концепции, на мой взгляд, обусловлена современной необходимостью достижения ряда целей, изложенных в Руководстве, в том числе: - обеспечение полной информации о том, как составлять отчеты о неопределенностях измерений; - предоставления основы для международного сопоставления результатов измерений; - предоставление универсального метода для выражения и оценивания неопределенности измерений, применимого ко всем видам измерений и всем типам данных, которые используются при измерениях; - упрощение расчетов, связанных с обработкой данных измерений. Итак, в основе концепции неопределенности лежит неполное знание значения измеряемой величины, которые представлено оператору в виде ряда величин, полученных в результате измерительного эксперимента и каким-то образом характеризующих измеряемую величину. При оценке результатов измерений не используются понятия истинного значения ФВ, действительного значения ФВ и погрешности измерения. Вводится понятие неопределенности измерения [2], которое трактуется как параметр, связанный с результатом измерений и характеризующий рассеяние значений, которое обоснованно может быть приписаны измеряемой величине. Заметим также, что в новой концепции вместо понятия «физическая величина» используется понятие «величина». Также как и для классической теории измерения, в качестве характеристик неопределенности используется среднеквадратическое отклонение (СКО) и доверительный интервал, которые в новой концепции называются стандартная неопределенность и расширенная неопределенность. О них мы остановимся более подробно ниже, а вначале посмотрим: чем же отличаются погрешность и неопределенность? Погрешность однократных измерений – это разность между результатом измерения Ii, и действительным значением физической величины Х, т.е i=Ii-X. «Неопределенность однократного измерения» можно представить как разность между результатом измерений и средним арифметическим значением L, полученным в результате n измерений, т.е ui=Ii-L. При увеличении количества измерений среднее арифметическое L стремится к истинному значению Х, конечно, если устранены все систематические погрешности. При этом разность между I и ui будет стремиться к нулю и, следовательно, математические закономерности поведения совокупностей I и ui будут подобны. Как уже отмечалось выше, основное различие в концепциях (неопределенности и погрешности) состоит в том, к какой величине относят дисперсию (СКО): к действительному значению измеряемой величины или к результату измерения. 1.2. Основные положения концепции неопределенности измерений Неопределенности измерений, также как и погрешности измерений, могут быть классифицированы по различным признакам: по месту (источнику) их проявления на методические, инструментальные и субъективные; по их проявлению на случайные, систематические и грубые; на абсолютные и относительные по способу их выражения. Следует остановиться на классификации, связанной с характером проявления неопределенности. На самом деле деление на систематические и случайные неопределенности в Руководстве в явном виде не вводится. Однако в самом начале Руководства постулируется, что «оценку измеряемой величины y вычисляют после внесения поправок на все известные источники неопределенности, имеющие систематический характер» ([2], п. 4.5.). Вводится деление неопределенностей по способу оценивания на два типа ([2], п. 3.2, 4.8.1., 4.8.2.): - неопределенность, оцениваемая по типу А (неопределенность типа А) – неопределенность, которую оценивают статистическими методами; - неопределенность, оцениваемая по типу В (неопределенность типа В) – неопределенность, которую оценивают нестатистическими методами; При этом предлагается два метода оценивания неопределенностей А и В: - для неопределенности типа А – использование известных статистических оценок среднеарифметического и среднеквадратического, используя результаты измерений и опираясь, в основном, на нормальный закон распределения полученных величин; - для неопределенности типа В – использование априорной нестатистической информации, опираясь, в основном, на равномерный закон распределения возможных значений величин в определенных границах ([2], п.4.8.2.2.). Таким образом, подчеркнем еще раз: деление на систематические и случайные погрешности обусловлено природой их возникновения и проявления в ходе выполнения измерений, а деление на неопределенности, вычисляемые по типу А и по типу В – методами их получения и использования при расчете общей неопределенности. В Руководстве используются новые термины, которые отсутствуют в РМГ 29-99: Стандартная неопределенность – неопределенность, выраженная в виде стандартного отклонения. Расширенная неопределенность – величина, задающая интервал вокруг результата измерения, в пределах которого, как ожидается, находится большая часть распределения значений, которые с достаточным основанием могут быть приписаны измеряемой величине. Расширенная неопределенность является аналогом доверительных границ погрешностей измерений. Причем, каждому значению расширенной неопределенности соответствует вероятность охвата Р. Вероятность охвата – вероятность, которой, по мнению оператора, соответствует расширенная неопределенность результата измерений. Вероятность охвата определяется с учетом вероятностного закона распределения неопределенности и аналогом ее в классической теории является доверительная вероятность. Коэффициент охвата – коэффициент, зависящий от вида распределения неопределенности результата измерений и вероятности охвата и численно равный отношению расширенной неопределенности, соответствующей заданной вероятности охвата, к стандартной неопределенности. Число степеней свободы – параметр, статистического распределения, равный числу независимых связей оцениваемой статистической выборки. В таблице 1 приведенной ниже, даны соответствия между терминами, используемыми в классической теории погрешностей и концепции неопределенности [1]. Таблица 1 Классическая теория погрешности Концепция неопределенности Погрешность результата измерения Неопределенность результата измерения Случайная погрешность Неопределенность, оцениваемая по типу А Неисключенная погрешность Неопределенность, оцениваемая по типу В Среднеквадратическое отклонение погрешности результата измерений Стандартная неопределенность результата измерения Доверительные границы результатов измерения Расширенная неопределенность результата измерения Доверительная вероятность Вероятность охвата (покрытия) Коэффициент (квантиль) распределения погрешности Коэффициент охвата (покрытия) 1.3. Методика оценивания результата измерений и его неопределенности Оценивание результата измерений и его неопределенности проводится в следующей последовательности: - составление уравнения измерений; - оценка входных величин и их стандартных отклонений (неопределенностей); - оценка измеряемой (выходной) величины и ее неопределенности; - составление бюджета неопределенности; - оценка расширенной неопределенности результата измерений; - представление результата измерений. 1. Составление уравнения измерения. В концепции неопределенности под уравнением измерения понимается математическая зависимость между измеряемыми величинами X1, X2,…Xk, а также другими величинами, влияющими на результат измерения Xk+1, Xk+2,…Xm, и результатом измерения Y (1) В концепции неопределенности величины X1, X2,…Xm называются входными величинами, используемые для оценивания неопределенности результата измерения, а результат измерения Y – выходной величиной измерения. В качестве основы для составления уравнения измерения используется уравнение связи (в классическом понимании), т.е зависимость Y = f(X1, X2,…Xk). Далее в результате анализа условий измерений и используемых СИ, устанавливаются другие факторы, влияющие на результат измерений. При этом величины Xk+1, Xk+2,…Xm, описывающие эти факторы включают в уравнение (1), даже если они незначительно могут повлиять на результат Y. Задача оператора – по возможности наиболее полно учесть все факторы, влияющие на результат измерения. 2. Оценка входных величин и их стандартных отклонений (неопределенностей). Пусть имеются результаты ni измерений входной величины Xi, где i = 1…m. Как известно, при нормальном распределении наилучшей оценкой этой величины является среднее арифметическое (2) Стандартную неопределенность типа А определяют как среднеквадратическое отклонение по формуле: (3) Для вычисления стандартной неопределенности по типу В используют: - данные о предыдущих измерений величин, входящих в уравнение измерения; - сведения, имеющиеся в метрологических документах по поверки, калибровки и сведения изготовителя о приборе; - сведения о предполагаемом вероятностном распределении значений величин, имеющихся в научно-технических отчетах и литературных источниках; - данные, основанные на опыте исследователя или общих знаниях о поведении и свойствах соответствующих (подобных) СИ и материалов; - неопределенность используемых констант и справочных данных; - нормы точности измерений, указанные в технической документации на методы и СИ; - другие сведения об источниках неопределенностей, влияющих на результат измерения. Неопределенности этих данных обычно представляют в виде границ отклонения значения величины от ее оценки. Наиболее распространенный способ формализации неполного знания о значении величины заключается в постулировании равномерного закона распределения возможных значений этой величины в указанных границах (нижней bi- и верхней bi+) для i- ой входной величины. При этом стандартную неопределенность по типу В определяют по известной формуле для среднеквадратического отклонения результатов измерений, имеющих равномерный закон распределения: , (4) а для симметричных границ , по формуле (5) В случае других законов распределений формулы для вычисления неопределенности по типу В будут другие. В частности, если известно одно значение величины Xi, то это значение принимается в качестве оценки. При этом стандартную неопределенность вычисляют по формуле (6) где Up – расширенная неопределенность, k – коэффициент охвата. Если коэффициент охвата не указан, то, с учетом имеющихся сведений, принимают предположение о вероятностном распределении неопределенности величины Xi. Если такие сведения отсутствуют, то для определения коэффициента охвата можно воспользоваться данными таблицы 2 [1,3]. Таблица 2 Предполагаемое распределение неопределенности входной величины Вероятность охвата Р, которой соответствует U(xi) Коэффициент охвата k Равномерное распределение 0,99 – 1,0 1,71 - 1,73 0,95 1,65 Нормальное распределение 1,0 (предел допускаемых значений) 3 0,997 3 0,99 2,6 0,95 2 Неизвестное распределение 2 Примечание к таблице 2. Коэффициенты охвата для равномерного распределения определены следующим образом. Для симметричных границ окончательного равномерного распределения СКО вычисляется по формуле (5). Тогда расширенную неопределенность можно записать в виде . При расширенной неопределенности, соответствующей вероятности P=0,95 и границе равномерного распределения b=1, коэффициент k=0,95 = 1,65, при расширенной неопределенности, соответствующей вероятности P=0,99, коэффициент k= 0,9995 = 1,71. При расчетах принималось, что =1,73 и площадь под равномерным распределением соответствует единице и, соответственно, при Р=1, k=1,73. Если известны граница суммы неисключенных систематических погрешностей, распределенных по равномерному (равновероятному) закону θ(Р) или расширенная неопределенность в терминах концепции неопределенности Up, то коэффициенты охвата при числе неисключенных систематических погрешностей m>4, зависит от доверительной вероятности. Коэффициент охвата k=1,1 при Р=0,95; k=1,4 при Р=0,99 [1,3]. Неопределенности входных величин могут быть коррелированны. Для вычисления коэффициента корреляции r(xi, xq) используют согласованные пары результатов измерений , где w = 1, 2, …nij; nij – число согласованных пар результатов измерений Вычисления проводят по известной формуле из статистики и теории вероятности (7) Значимость коэффициента корреляции определяется критерием отсутствия или наличия связи между аргументами [3]. 3. Оценка измеряемой (выходной) величины и ее неопределенности Оценку измеряемой величины у вычисляют как функцию оценок входных величин X1, X2,…Xm, по формуле (1), предварительно внеся на все источники неопределенности, имеющие систематический характер, – поправки. Вычисление суммарной неопределенности выходной величины проводят по тем же формулам, которые используются для расчета погрешностей косвенных измерений в классической концепции погрешности измерений. В случае некоррелированных оценок входных величин, суммарную стандартную неопределенность вычисляют по формуле (8) и в случае коррелированных оценок – по формуле (9) где - коэффициент корреляции, - стандартная неопределенность i – входной величины, вычисленная по типу А или типу В, - коэффициенты чувствительности выходной величины по отношению ко входной величине xi. 4. Составление бюджета неопределенности; Под бюджетом неопределенности понимается формализованное представление полного перечня источников неопределенности измерений по каждой входной величине с указанием их стандартной неопределенности ми вклада их в суммарную стандартную неопределенность результата измерений. В таблице 3 приведена рекомендуемая форма представления бюджета неопределенности. Таблица 3 Входная величина Оценка входной величины Стандартная неопределен-ность Тип оценивания, закон распределения Коэффи-циент чувстви-тельности Вклад в суммарную стандартную неопределенность Х1 x1 А или В Х2 x1 А или В … … … … … … Хm x1 А или В Y 5. Оценка расширенной неопределенности результата измерений Расширенная неопределенность равна произведению стандартной неопределенности u(y) результата измерений на коэффициент охвата k: U(y) =k u(y) (10) Руководство по неопределенности [1] рекомендует рассматривать все результаты измерений при доверительной вероятности (вероятности охвата) Р=0,95. При этой вероятности преимущественно определять число степеней свободы по эмпирической формуле Велча-Саттерствейта (11) При этом коэффициент охвата определяется при вероятности Р=0,95 по формуле , (12) используя таблицы распределения Стьюдента [2,3] Таблица 4 3 4 5 6 7 8 9 10 16 20 30 tP=0,95 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,120 2,086 2,042 1,960 tP=0,99 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 2,921 2,845 2,750 2,576 Примечание к таблице 4. Значения округлены до ближайшего целого числа. Формулу для оценки суммарной стандартной неопределенности (8) можно записать в более простом виде , (12) также как и формулу (11) для определения числа степеней свободы , (13) где - число степеней свободы при прямых измерениях входной величины, n – число измерений, - оценка стандартных неопределенностей, вычисленных по типу А и по типу В, соответственно. При оценке вклада неопределенности (см.формулу 11) по типу А принимают , по типу В . При этих условиях, легко показать из формулы (11), что, если по типу А оценивается неопределенность только одной входной величины, то формула (11) упрощается , (14) где nA – число повторных измерений входной величины, оцениваемой по типу А. 6. Представление результата измерений [2]. При представлении результатов измерений Руководство рекомендует приводить достаточное количество информации, чтобы можно было проанализировать и/или повторить весь процесс получения результата измерений и вычисления неопределенностей, а именно: - алгоритм получения результата измерений; - алгоритм расчета всех поправок для исключения систематических погрешностей и их неопределенней; - неопределенности всех используемых данных и способы их получения; - алгоритмы вычисления суммарной и расширенной неопределенностей, включая значение коэффициента охвата k. Таким образом, в документации по результатам измерений необходимо представлять: uc – суммарную неопределенность; Up – расширенную неопределенность; k – коэффициент охвата; ui – данные о входных величинах; - эффективное число степеней свободы. В протоколе измерений, как правило, делается следующая запись, если результатом измерения является длина детали: «Длина детали составляет 153,2 мм. Расширенная неопределенность результата измерений составляет ± 1,4 мм при коэффициенте охвата равном 2» или «измерения показали, что длина детали находится в интервале (151,8 – 154,6) мм при коэффициенте, равном 2». По умолчанию предполагается, что эти результаты соответствуют вероятности охвата 0,95. Пример 1 (из РМГ 43-2001) 1) Приведем данные, имеющие в распоряжении оператора, задача которого состоит в измерении силы тока с помощью вольтметра и токового шунта. 1.1.Уравнение измерения (1-П1) где I – сила измеряемого тока, V – напряжение на шунте, которое непосредственно измеряется для определения силы тока, R – сопротивление шунта, t0C – температура окружающей среды, способная повлиять на результата измерения силы тока. 1.2. Производится многократное (n=10) измерение напряжения с помощью вольтметра на сопротивлении шунта при температуре t = (23,00±0,05)0С. Границы неисключенной систематической погрешности вольтметра в милливольтах определены при его калибровке в виде следующего выражения: (2-П1) 1.3. Сопротивление шунта определено при его калибровке для тока величиной I=10 А и температуре t=23,000C и равно R0 = 0,010 088 Ом. Относительные границы неисключенной систематической погрешности сопротивления шунта, установленное при его калибровке, равны (3-П1) Тогда при R=R0 получают Ом (4-П1) 1.4. Границы неисключенной систематической составляющей погрешности значения сопротивления шунта, обусловленной погрешностью измерений температуры, находят из формулы, определяющей зависимость сопротивления от температуры , где R0 – значение сопротивлении при t = t0 (t0=23,000C; R0 = 0,010 088 Ом); α – температурный коэффициент ( = 6∙10-6 К-1). В случае, когда границы погрешности измерения температуры составляют t , границы соответствующей составляющей погрешности значения сопротивления равны θt,R=α∙t·R При t=0,050С получают: θt,R = 3,0∙10-9 Ом или 3,0·10-5 % (5-П1) 2) Нахождение результата измерений В результате серии из n=10 измерений получают ряд значений Vi в милливольтах: 100,68; 100,83; 100,79; 100,64; 100,63; 100,94; 100,60; 100,68; 100,76; 100,65. Среднеарифметическое вычисляют по формуле (2) мВ (6-П1) Результат измерения силы тока получают по формуле Ом 3) Анализ источников погрешности результата измерений. 3.1. Среднеквадратическое отклонение (СКО), характеризующее случайную составляющую погрешности при измерениях напряжения , вычисляют по формуле (3) или (7-П1) Примечания. 1) Значок  здесь и далее обозначает относительное значение величины. 2) В соответствии с рекомендациями Руководства симметричные интервалы не обозначаются значками . 3.2. Границы неисключенной систематической погрешности вольтметра в милливольтах при в соответствии с формулой (2-П1), будут равны = 5,0 10-2 мV или 0,050% (8-П1) 3.3. Границы неисключенной систематической погрешности сопротивления шунта, в соответствии с (3-П1) и (4-П1), установленное при его калибровке, равны Ом или (9-П1) 3.4. Границы неисключенной систематической составляющей погрешности значения сопротивления шунта, обусловленной погрешностью измерений температуры в соответствии с (5-П1) равны θt,R = 3,0∙10-9 Ом или  θt,R = 3,0·10-5 % (10-П1) В дальнейшем эту составляющую погрешности ввиду ее малости по сравнению с другими составляющими можно не учитывать. 4. Вычисление характеристик погрешности результата измерений Для вычисления результирующей погрешности измерения, состоящей из случайной погрешности и суммы неисключенных погрешностей, используется формула, принятая в ГСИ для косвенных измерений [3,4]: (11-П1) где все составляющие погрешности определены при одной и той же доверительной вероятности Р. В числителе сумма доверительных границ случайной и суммарной неисключенной погрешности, в знаменателе - сумма СКО случайной и СКО суммарной неисключенной систематической погрешности, а - СКО суммарной погрешности измерения [3,4]. Примечание. Эта формула действительна при соотношении Если систематическая составляющая погрешности мала, т.е. < 0,8, формула (11-П1) упрощается С другой стороны, если > 8,0, то - Заметим, что для общности составляющие погрешности представляются в виде где k=1,1 при р=0,95 и k=1,4 при р=0,99 и m4. Ниже приводится вычисление всех составляющих погрешностей, входящих в формулу (11-П1). 4.1. Делается предположение о равномерном распределении неисключенных систематических составляющих погрешности результата измерений внутри их границ V и R. Тогда СКО суммарной неисключенной систематической составляющей погрешности результата измерений силы тока S определяют по формуле (12-П1) или S=0,050% В этой формуле учтено, что коэффициенты влияния 4.2. Доверительные границы суммарной неисключенной систематической погрешности результата измерений силы тока (р) при доверительной вероятности Р=0,95 оценивают по формуле (13-П1) или 0,95=0,095% 4.3. СКО случайной составляющей погрешности результата измерений силы тока S определяется по формуле (14-П1) 4.4. СКО суммарной погрешности результата измерений силы тока будет равно - (15-П1) 4.5. Доверительные границы погрешности результата измерений силы тока при вероятности 0,95 и эффективном числе степеней свободы , вычисленные по формуле (11-П1), дают результат 0,95= 0,012 А или 0,95= 0,12% (16-П1) 5. Вычисление неопределенности измерений 5.1. По типу А вычисляют стандартную неопределенность, обусловленную источниками неопределенности, имеющими случайный характер. Формула для вычислений подобна (7-П1) мВ (17-П1) Стандартную неопределенность силы тока, обусловленную источниками неопределенности, имеющими случайный характер, определяют по формуле (18-П1) 5.2. По типу В вычисляют стандартные неопределенности, обусловленные источниками неопределенности, имеющими систематический характер. Закон распределения величин внутри границ считают равномерным. Границы систематического смещения при измерениях напряжения, определенные при калибровке вольтметра, определяются соотношением (2-П1). Тогда соответствующую стандартную неопределенность uB,V вычисляют по формуле (19-П1) Границы, внутри которых лежит значение сопротивления шунта, определены при калибровке шунта и равны 710-4R. Тогда при R=R0 соответствующую стандартную неопределенность вычисляют по формуле (20-П1) Границы изменения значения сопротивления шунта, обусловленного изменением температуры, равны Соответствующую стандартную неопределенность получают в соответствии с формулой (21-П1) В дальнейшем этой составляющей неопределенности ввиду ее малости по сравнению с другими составляющими - можно пренебречь. Суммарную стандартную неопределенность uB, вычисленную по типу В, определяют по формуле (22-П1) 5.3. Суммарную стандартную неопределенность uC вычисляют по формуле (23-П1) 5.4. Эффективное число степеней свободы рассчитывают по формуле (11) (24-П1) 5.5. Коэффициент охвата k находят по таблице 4 и определяют по формуле (25-П1) 5.6. Расширенную неопределенность U0,95 определяют следующим образом (26-П1) 6. Сравнение результата вычислений различными методами Сравнение результата вычислений погрешности измерений в доверительном интервале, соответствующем вероятности Р=0,95 и расширенной неопределенности с коэффициентом охвата равном двум, т.е. соответствующем уровню доверия 0,95. совпадают и равны 0,012 А. Следует отметить, что это не случайно, поскольку в основе расчетов лежат одни и те же измерительные данные и одни те же подходы к распределениям различных переменных. Сравнения результатов измерений, определенных с помощью классического подхода и концепции неопределенности, как показано на многочисленных примерах в различных публикациях дают одни и те же окончательные результаты [1,2]. Однако результат, полученный в концепции неопределенности трактуется иначе, чем результат, полученный при применении классического подхода. В концепции неопределенности не используются понятия истинного и действительного значений измеряемой величины. Результат измерения - вот что считается реальностью, поскольку величину истинного значения никто не знает. Расширенная неопределенность трактуется в Руководстве как интервал, содержащий заданную долю распределения значений, которые могли быть обосновано приписаны измеряемой величине. Вообще расширенная неопределенность в концепции неопределенности не играет той роли, которая отводится в концепции погрешности. Считается, что основным результатом оценки является суммарная неопределенность uC, а расширенная неопределенность отличается от нее на постоянный коэффициент, который необходим в ряде специальных случаев для показа надежности оценки. Этот коэффициент может принимать значения от 2 до 3, при уровне доверия от 0,95 до 0,99. Наши незнания об измеряемой величине определяются неопределенностью и группируются около результата измерения. Список литературы 1) А.Э. Фридман Основы метрологии. Современный курс. – С.-Пб.: НПО «Профессионал», 2008. 2) РМГ 43-2001 Применение «Руководства по выражению неопределенности измерений», рекомендации по межгосударственной стандартизации, Межгосударственный совет по стандартизации, метрологии и сертификации, Минск, Изд-во стандартов, 2002 3) Пронкин Н.С. Основы метрологии. Практикум по метрологии и измерениям. Изд. "Логос", М., 2007. 4) Пронкин Н.С. Основы метрологии динамических измерений. Изд. "Логос", М., 2003