Некоторые результаты из алгебры матриц

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ А. Некоторые результаты из алгебры матриц. A1. Свойства следов матриц Если соответствующие пары матриц согласованы, то 1. 2. Доказательства этих результатов получаются непосредственной проверкой. Если симметричная невырожденная квадратная матрица размера и ее собственные числа, то 3. 4. 5. Доказательство. Поскольку матрица симметрична, то существует такая вещественная ортогональная матрица , что . Поэтому . Тогда свойство (4) следует из соотношения , а (5) следует из соотношения . Свойство (3) выполнено для любой квадратной матрицы, в чем можно убедиться, рассматривая коэффициент при в уравнении . A2. Ранги матриц 1. Если матрицы и согласованы, то Доказательство. Строки матрицы являются линейными комбинациями строк матрицы , так что число линейно независимых строк в матрице меньше, чем в матрице , и . Подобным же образом, столбцы матрицы являются линейными комбинациями столбцов матрицы . Следовательно, . 2. Если произвольная, а и любые две согласованные с невырожденные матрицы, то . Доказательство. Поскольку справедливы равенства , то и т.д. 3. Пусть произвольная матрица, , размерность (нулевого пространства или ядра матрицы ), т.е. размерность пространства . Тогда: Доказательство. Пусть базис нулевого пространства . Дополним эту совокупность векторов до базиса , мерного евклидова пространства . Всякий вектор из образа матрицы можно представить в виде Предположим, что справедливо равенство Тогда и . Однако это возможно, только если , так что векторы линейно зависимы. Поскольку каждый вектор из как образа матрицы можно выразить с помощью векторов , то эти векторы образуют базис . Поэтому . Поскольку , то доказательство завершено. 4. Справедливы следующие равенства Доказательство. Пусть и . Поэтому ядра матриц и совпадают. Поскольку же матрицы и имеют одинаковое число столбцов, то, согласно , . Аналогично получаем, что , откуда и вытекает искомый результат. 5. Если образ матрицы как пространство, порожденное столбцами матрицы , то . Доказательство. Для равенства имеем , так что . Тогда согласно , эти два пространства должны совпадать, так как они имеют одинаковые размерности. 6. Если матрица симметрична, то равняется числу ненулевых собственных значений. Доказательство. В соответствии с имеет место равенство . 7. Всякая симметричная матрица имеет ортонормированных собственных векторов, и пространство порождается теми из них, которые соответствуют ненулевым собственным значениям. Доказательство. Из соотношения вытекает, что , т.е. , где . Векторы ортогональны, поскольку ортогональная матрица. Пусть и . Тогда , и пространство порождается векторами . А 3. Положительно полуопределенные матрицы. Симметричная матрица называется полуопределенной (п.п.о.), если для всех выполняется неравенство . 1. Собственные значения п.п.о. матрицы неотрицательны. Доказательство. Если , то подстановкой мы получим . Полагая , приходим к неравенству . 2. Если матрица п.п.о., то . Это вытекает из А 3.1 и А 1.3. 3. Матрица является п.п.о матрицей ранга в том и только в том случае, когда существует такая матрица ранга , что . Доказательство. Если п.п.о матрица ранга , то, согласно А 2.А 3.1, , где (). Пусть . Тогда из соотношения вытекает, что , где . Обратно, если , то и , где . 4. Если п.п.о. матрица ранга , то существует такая матрица ранга , что . Доказательство. Из соотношения вытекает, что , где матрица, образованная первыми столбцами матрицы . Полагая теперь , мы приходим к искомому результату. 5. Если п.п.о. матрица, то . Доказательство. Согласно А 3.3, , а отсюда следует, что , т.е., для каждого столбца матрицы . Поэтому . А 4. Положительно определенные матрицы Симметричная матрица называется положительно определенной (п.о.), если для всех . Отметим, что всякая п.о. матрица является также и п.п.о. матрицей. 1. Все собственные значения п.о. матрицы положительны (доказательство аналогично А 3,1); поэтому такая матрица является невырожденной (А 2.6). 2. Матрица является п.о. тогда и только тогда, когда существует такая невырожденная матрица , что . Доказательство. Этот результат вытекает из А 3.3 при . 3. Если матрица положительно определена, то это свойство имеет также и матрица . Доказательство. Матрица , где невырожденная матрица. Искомый результат следует теперь из А 4.2. 4. Если матрица положительно определена, то . Доказательство. Имеют место следующие равенства для рангов матриц (в силу А 2.4) (в силу А 2.2). 5. Если положительно определенная матрица, а матрица размера имеет ранг , то также положительно определенная матрица. Доказательство. Прежде всего, , причем равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда , т.е. и (столбцы матрицы линейно независимы). Отсюда следует, что для всех . 6. Если матрица размера имеет ранг, то матрица положительно определена. Доказательство. Мы имеем неравенство , в котором равенство достигается тогда и только тогда, когда , т.е. (столбцы матрицы линейно независимы). 7. Матрица положительно определена в том и только в том случае, когда все ее главные миноры (включая и ) положительны. Доказательство. Если матрица положительно определена, то в силу А 4.1 Положим Тогда для и матрица положительно определена. Поэтому, если матрица имеет размер , то из приведенного выше следует, что (). Обратно, предположим, что все главные миноры матрицы положительны. Покажем, что при этом матрица положительно определена. Пусть где . Тогда , где (матрица не вырождена). Далее действуем по индукции. При результат очевиден. Предположим, что он верен для матриц порядка до включительно. Если положить , то получим , поскольку матрица положительно определена по предположению индукции и . Следовательно, указанный результат справедлив и для матриц порядка . 8. Все диагональные элементы п.о. матрицы положительны. Доказательство. Полагая , имеем . 9. Если положительно определенная. матрица, а симметричная матрица, то матрица положительно определена для всех достаточно малых по абсолютной величине значений . Доказательство. Если , то й главный минор матрицы , являющийся функцией от , положителен (А 4.7). Но поскольку эта функция непрерывна, он будет положительным и для , где достаточно мало. Возьмем теперь . Тогда при все главные миноры будут положительны, и искомый результат вытекает из А 4.7. 10. (Разложение Холецкого.) Если матрица положительно определена, то существует единственная верхняя треугольная матрица с положительными диагональными элементами, для которой . Доказательство. Далее используется метод индукции и предположим, что указанная однозначно определенная факторизация имеет место для матриц порядка до включительно. Таким образом где однозначно определенная верхняя треугольная матрица с положительными диагональными элементами. Поскольку определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов, то матрица не вырождена, и можно определить матрицу , где и . Поскольку матрица определена однозначно и , то при мы получаем требуемое разложение матрицы . Но , так что , поскольку (А 4.7) и . Таким образом, указанная факторизация существует и для положительно определенных матриц порядка . 11. Если матрица положительно определена, то для любого . Доказательство. Для всех имеем Отсюда при мы получаем неравенство Коши – Шварца . Равенство достигается здесь тогда и только тогда, когда для некоторого . Таким образом, . Поскольку матрица положительно определена, существует такая невырожденная матрица , что (А 4.2). Полагая и , приходим к требуемому результату. А 5. Идемпотентные матрицы Матрица называется идемпотентной, если . Симметричная идемпотентная матрица называется проекционной. 1. Утверждение. Симметричная матрица является идемпотентной матрицей ранга тогда и только тогда, когда ее собственных значений равны 1 и собственных значений равны . Доказательство. Если , то из вытекает, что и . Поэтому собственные значения матрицы равны либо 1, либо 0, и в силу А 2.6 ее собственных значений равны 1 и нулю. Обратно, если собственные значения равны 0 или 1, то можно без ограничения общности полагать, что единице равны первые собственных значений матрицы. Поэтому существует такая ортогональная матрица , что или Следовательно, , и (А 2.2). 2. Утверждение. Если проекционная матрица, то . Доказательство. Если , то в силу А 5.1 собственных значений матрицы равны 1 и нулю. Отсюда (А 1.3). 3. Утверждение. Если матрица идемпотентна, то такова и матрица . Доказательство. . 4. Утверждение. Проекционные матрицы положительно полуопределены. Доказательство. . 5. Утверждение. Если проекционные матрицы и разность положительно полуопределена, то (a) , (b) проекционная матрица. Доказательство. (a) Если , то . Поскольку матрица положительно полуопределена (А 5.4), то и . Поэтому для любого мы имеем , так как . Таким образом, , отсюда вытекает, что (А 9.1). Производя транспонирование, получаем , и (a) доказано. (b) . А 6. Дифференцирование векторов. Если , то выполнены равенства 1. , 2. (симметричная матрица). Доказательство. Утверждение (1) тривиально. Что касается (2), то . А 7. Разбиение матриц на блоки. Если матрицы и симметричны и существуют все встречающиеся ниже обратные матрицы, то , где и . Доказательство. Поскольку матрица, обратная для заданной, определена однозначно, то достаточно проверить, что в результате умножения исходной матрицы на указанную получается единичная. А 8. Решение линейных уравнений. Всякое решение совместной системы уравнений можно представить в виде , где некоторая обобщенная обратная для матрица. Доказательство. Прежде всего, покажем, что все решения уравнений для любой конкретной матрицы можно получить по формуле , (1) где вектор произволен. Для , заданного формулой (1), имеем (в силу соотношения (3.45) из раздела 3.8.1с), так что решение системы. Обратно, если какое-нибудь решение этой системы, то, полагая , получаем , так что можно получить по формуле (1). Это доказывает эквивалентность этих двух решений. Eсли решение системы, то в силу доказанного вектор можно представить в виде (1) для некоторого . Если выбрать матрицу так, чтобы и положить , где , то имеют место соотношения , где . Таким образом, матрица является обобщенной обратной для и имеет вид . (Приведенное доказательство основывается на книге Searle (1971, гл.1).) А 9. Два соотношения. 1. Если для всех , то . Доказательство. Полагая , имеем , где есть й столбец матрицы . 2. Если матрица симметрична и для всех , то . Доказательство. Положим ; тогда . Если положить , то . А 10. Разложение по сингулярным значениям. Пусть матрица размера . Тогда ее можно представить в виде , где матрица размера , образованная ортонормированными собственными векторами, соответствующими наибольшим собственным значениям матрицы ; ортогональная матрица размера , образованная ортонормированными векторами матрицы , а диагональная матрица, где сингулярные значения матрицы , равные квадратным корням из (неотрицательных) собственных значений матрицы . Доказательство. Предположим, что (А 2.5). Тогда найдется такая ортогональная матрица , что , где , . Положим, . Тогда и . Таким образом, векторы являются собственными векторами матрицы , соответствующими собственным значениям . Далее, , и, поскольку собственные векторы для различных собственных значений симметричной матрицы являются ортогональными, а различные векторы ортонормированные. В силу А 2.3 и А 2.4 существует ортонормированный базис пространства . Но и , так что ортогональная матрица размера . Поэтому и . Наконец, где матрица, образованная первыми столбцами матрицы , и . А 11. Некоторые результаты из математической статистики. 1. Утверждение. Для всякой случайной величины выполняется неравенство . Доказательство. Пусть . Тогда имеют место соотношения и . 2. Пусть неотрицательная невырожденная (т.е. не равная тождественно постоянной) случайная величина. Если соответствующие математические ожидания существуют, то . Доказательство. Пусть и (, так как не равняется тождественно нулю). Используя формулу Тейлора, получаем , где лежит между и . Далее, , так что . Поэтому . Лекция вступительная от 18 марта 2020. 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ СИНТЕЗА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ОПЕРАЦИЯМИ С ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ Рассматриваются модели для управляемых динамических объектов, используемых для синтеза управлений при моделировании операций. 1. Модели для вычисления управлений при программной стабилизации объектов в пространстве вектор-функций. Пусть динамика управляемого по Р. Калману линейного динамического объекта в пространстве вектор-функций задана линейным дифференциальным оператором где классы вектор-функций заданы равенствами а числовые матрицы в (7) определены условиями Для синтеза управлений, стабилизирующих положение равновесия и программных движений, далее использован обратный оператор для (1.а) в виде интегрального оператора Коши Для координации операций будут использоваться модели объектов в функциональных пространствах. Тогда вектор управлений может быть определен в заданном классе алгебраических структур. Примером такой структуры, в частности, например, для задач оптимальной стабилизации положения равновесия может использоваться линейное пространство вектор функций, интегрируемых с квадратом на заданном интервале. Функционалы качества также могут быть заданы с помощью нормы этого пространства следующим образом заданного вектором на траекториях (2). Задача синтеза управлений для программной стабилизации программного движения, заданного вектором формулируется на основе минимизации функционала при ограничениях типа равенств, образующих в этом пространстве линейное многообразие и соответствующий шар, которые имеют вид Эти ограничения в пространстве определяют допустимое множество в виде пересечения линейного многообразия и шара. При этом в пространстве обобщенных вектор-функций линейное многообразие определено в силу (2) следующим равенством конечномерном пространстве вектор-функций. Шар ограничений-неравенств, аппроксимирующий параллелепипед или эллипсоид этого пространства, определен квадратичным неравенством Тогда квадратичный функционал качества, определенный на обобщенных векторах для задачи локально оптимальной программной стабилизации примет вид где целевой стабилизируемый обобщенный вектор задачи локально оптимальной программной стабилизации. Если вектор-функция программного воздействия удовлетворяет условию то задача (7.а) для объекта (2) преобразуется из «задачи квадратичной программной стабилизации» в задачу «оптимальной стабилизации нулевого положения равновесия» динамического объекта (2) с функционалом (7.б) для системы с обратной связью. Результаты использованы в задачах оптимизации управления частотой и активной мощностью энергосистем, в гидромеханике при оптимизации передачи углеводородов по магистральным трубопроводным сетям, при анализе теплопроводности в твердых многослойных объектах и др. 2. Математические прямые и обратные модели для синтеза управлений операциями в дискретных системах. Задачи управления дискретными объектами могут иметь вид: вычислить интервально допустимые и оптимальные прогнозируемые управления для минимизации суммарного функционала качества заданных программных траекторий и управлений системы с линейным объектом на основе прогнозирования координат на интервале Задача Коши имеет вид где область притяжения, а векторы и матрицы имеют вид Пусть система (8) управляема по Р. Калману по выходным координатам , а прогнозы на интервале для выходов и управлений заданы соответствующим линейным многообразием Эквивалентное представление (9) имеет соответствующий вид Прогнозы (10) для задают «множество моделей» где в силу (10) матрицы следуют из (10), а векторы определяют уравнение в следующей форме Тогда векторы множества моделей (11) определяются равенствами а матричные параметры имеют согласованную структуру: Блочная матрица и вектор параметров в (11) определены равенствами Определение 1. Продолженные решения уравнений объекта (8) на основе моделей (11), (12) для управляемых по Р. Калману векторов выходов из текущего состояния на интервал определяют прогнозируемые выходы на этом интервале как функции состояния и управлений Аналогично вычисляются прогнозы состояний. Таким образом, в (11) определены «множество моделей» как линейное многообразие для прогнозирования координат и управлений на интервал на основе продолжения решений (8) для выходов (состояний). Множество-параллелепипед задает смешанные ограничения-неравенства на выходы и управления, аппроксимированные шарами В связи с этим данное выше определение решения (8) обобщается на случай допустимых ограниченных продолженных решений. Таким образом, методы исследования операций используют комплекс моделей функционального анализа. ЛИТЕРАТУРА 1. Козлов В.Н. Метод нелинейных операторов в автоматизированном проектировании динамических систем. Л.: Изд-во Ленингр. гос. ун-та им. А. А. Жданова, 1986. – 166 с. 2. Kozlov V.N. The Metod of Minimization of Linear Functionals Based on Compakt Sets. Proceedings of the international workshop on computer science and information technologies (CSIT 2010), Russia, Moskov-Saint-Petersburg, Russia, 2010. Volume 2. pp. 157–159. 3. Козлов В.Н. Негладкие системы, операторы оптимизации и устойчивость энергообъединений. Изд-во Санкт-Петербургского политех-нического университета. СПб.: 2012. 177 с. 4. Козлов В.Н. Проекционный метод оптимизации оптимальных ограниченных управлений динамических систем. СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского Политехн. ун-та. 2019.–190 с. 5. Козлов В.Н., Ефремов А.А. Введение в функциональный анализ. Издательско-полиграфическая ассоциация вузов. СПб.: 2018. – 79 с. лекция «исследование операций» от 25.03.2020 системы стабилизации положения равновесия с заданным убыванием ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА Рассмотрен аналитический метод синтеза асимптотически устойчивых локально оптимальных систем с устойчивым линейным дискретным объектом и заданным убыванием функции А.М. Ляпунова на основе необходимых условий для адекватного решения задачи конечномерной оптимизации. 1. Математическая формулировка задачи. Задача синтеза управлений формулируется в виде: вычислить вектор управлений как решение задачи (1) на основе метода функций Лагранжа, где матрица не имеет нулевых собственных чисел. При невыполнении этого условия можно применить метод модального управления, а также локально-оптимального управления на основе результата раздела 3.2. Синтез на основе решения задачи (1) будет выполнен с помощью уравнения Ляпунова для устойчивого объекта. Функция Лагранжа для задачи (1) принимает вид В результате система необходимых условий (2) преобразуется к виду Далее синтез управлений выполнен на основе (3) – (8). На первом этапе условие (4) в силу (3) и (5) преобразовано к виду где в силу уравнения Ляпунова как «матричного аннулятора» во второй группе уравнений в (9.а). С учетом уравнения Ляпунова равенство (9.а) примет вид На втором этапе вычисляется вектор множителей Лагранжа из (6), которое является функцией вектора состояний и управлений Если (7) умножить на матрицу то можно получить уравнение Если далее сложить (8) и (11.а), то полученное уравнение примет вид Из (11.б) следует оператор управления с обратной связью где матрицы равны: Тогда вектор множителей Лагранжа в силу (10) можно определить следующим равенством Подстановка (12) в (9.б) при условии определяет из квадратного уравнения поскольку имеют место следующие соотношения для используемых параметров: Таким образом, метод синтеза задан соотношениями для управлений (12) – (14), которые в аналитической форме задают локально оптимальное управление с заданным убыванием функции А.М. Ляпунова. 2. Динамика системы ЛОУ с заданным убыванием функции Ляпунова. Динамика системы управления с заданным убыванием функции Ляпунова на траекториях системы с обратной связью определена управлениями (1) исследована для объекта, где параметры равны , Управления (12) – (14) определяют динамику системы с заданным убыванием функции Ляпунова данными табл. 4.1. На рис. 4.1 приведены процессы изменения фазовых координат объекта (1) при условии: а также для синтезированной локально оптимальной системы с обратной связью с объектом (1) и управлениями, соответствующим (12), (14). Таблица 4.1 -2.29 1.00 2.61 1.62 -0.64 -0.14 1.31 -1.17 0.47 0.09 1.41 0.85 -0.34 -0.06 1.39 -0.61 0.24 0.04 1.39 0.44 -0.17 -0.03 1.39 -0.32 0.12 0.02 1.39 При этом можно отметить качественное изменение динамики фазовых траекторий при использовании синтезированной обратной связи. Рис. 4.1. Динамика объекта (1) при и системы локально оптимального управления с заданным убыванием функции А.М. Ляпунова и операторами управления (12), (14) Исследуемый подход к синтезу локально оптимальных управлений, основанный на методе функций Ляпунова, реализуется с помощью выбора матрицы что обеспечивает заданное убывание функции Ляпунова на траекториях динамической системы с разностным оператором (1) и управлениями (12) – (14), которые синтезированы на основе преобразования необходимых условий оптимальности для исследуемой задачи управления. При этом сформулированные необходимые условия иллюстрируют возможности рассмотренного подхода к синтезу ограниченных управлений, обобщающего известные методы стабилизации положения равновесия на основе операторов оптимизации (раздел 3). Таким образом, аналитический синтез систем локально оптимальных ограниченных управлений с заданным убыванием функции Ляпунова реализуется в системах с обобщенными целевыми условиями. При этом совместность и разрешимость ограничений экстремальных задач для синтеза управлений в обобщенной задаче подтверждает адекватность результатов, которые соответствуют сущности рассматриваемых задач и предлагаемых методов их решения. Лекция «ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ» 01.04.2020 ОПЕРАТОРЫ ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ СИСТЕМ С МАТЕМАТИЧЕСКИМ ПРОГРАММИРОВАНИЕМ ЦЕЛЕЙ И ОГРАНИЧЕНИЙ Современные системы управления характеризуются сложностью задач и ограничений в связи с расширением функциональных требований. В лекции сформулированы модели и стратегии управления, реализованные на основе обобщенных ортогональных и неортогональных (косых) проекционных операторах оптимизации [1-5]. Модели и стратегии сетевого управления К предлагаемым моделям и стратегиям сетевого типа относятся стратегии управления связанными объектами на основе физических или информационных связей. Первый класс моделей и стратегий сетевого типа реализует оптимальное управление автономными системами с учетом смешанных ограничений на координаты и управления. Указанные модели и стратегии реализуются на основе квазианалитических проекционных операторов оптимизации с программированием в математической форме ограничений задач оптимальной стабилизации [1-3]. Модели и стратегии реализованы в двух формах - оптимальной стабилизации положения равновесия; - оптимальной стабилизации программных движений автономных подсистем или системы в целом. Математическая форма программируемых функционалов качества и ограничений подсистем реализуется в классе ограничений задач оптимизации как пересечений семейства линейных многообразий и неравенств, которые удовлетворяют требованиям достаточной универсальности; Второй класс моделей и стратегий сетевого типа реализует управление выделенной совокупности подсистем на основе заданной степени убывания функции Ляпунова автономных подсистем с оптимизацией качества управления для функционалов на траекториях выделенных групп подсистем объектов. Указанная стратегия также реализуется на основе квазианалитических проекционных операторов указанного выше типа. Для вычисления управлений используется «погружение» обобщенных задач в базовые задачи оптимизации, сформулированные в [1–4]. Ограничения и функционалы базовых задач оптимизации используются в качестве математической программируемой среды, расширяющей возможности приложений базовых проекционных операторов оптимизации для задач синтеза управлений. Базовые задачи моделей и стратегий первого класса, реализуемые на основе операторов условной оптимизации Обобщения задач и операторов оптимизации выполнены на примере обобщения базовой задачи квадратичной условной минимизации [1, 3, 4]: вычислить вектор Квазианалитические проекторы определяют решения задач, аналогичных (1), c линейными или квадратичными функционалами. Обобщения задач оптимизации типа (1) и их аналогов, а также проекционных операторов далее могут быть ориентированы на задачи синтеза систем управления двух классов: 1. Системы обобщенной оптимальной «стабилизации положения равновесия» для координат управления на основе минимизации квадратичных функционалов и ограничений, которые программируются в математической форме в базовой задаче типа (1). Системы этого класса предназначены для стабилизации координат объектов в стационарных (неизменных во времени) положениях равновесия. 2. Системы с обобщенной оптимальной «программируемой динамикой» на основе минимизации квадратичных функционалов с программируемыми в математической форме ограничениями задачи (1). Системы данного класса стабилизируют отклонения координат и управления объекта от заданных программных вектор-функций времени. Далее рассмотрена методика оптимальной стабилизации систем управления с операторами, заданными в пространствах числовых векторов или в пространствах вектор функций [3–5]: а). Программные числовые векторы определяющие координаты, управления и операторы дискретных систем времени являются элементами евклидова пространства числовых векторов устойчивость (сходимость) которых исследована в [3], а также элементами пространства вектор-функций с квадратично суммируемыми координатами пространства, например, б). Программные вектор-функции координаты, управления и операторы непрерывных систем заданы в пространствах вектор-функций, интегрируемых с квадратом, т.е. или в пространствах непрерывных функций с равномерной нормой, например, где Для указанных выше типов пространств могут использоваться математические модели в виде прямых и обратных операторов динамических систем, прообразы и образы которых принадлежат алгебраической структуре одного типа. Это соответствует «принципу сохранения алгебраических структур» в функциональном анализе. Таким образом, обобщения могут отличаться по классам. Обобщения первого класса связаны с переходом от линейных моделей в пространствах числовых векторов к линейным моделям в пространствах вектор-функций. Обобщения могут также использовать «текущую линеаризацию» нелинейных моделей процессов в темпе управления. При этом линейные математические модели объектов задаются линейными многообразиями задач оптимизации типа (1). Обобщения второго класса связаны с дополнительными требованиями к динамике объектов, которые можно учесть в «расширениях» линейного многообразия задачи (1) за счет математических дополнений, реализующих технологические требования. В результате можно утверждать, что обобщения математических моделей и дополнительных требований к объекту включаются в структуру линейных многообразий, которые в «математической форме» программируются при сохранении класса задач оптимизации. Таким образом, обобщения второго типа связаны с обобщением параметров функционала качества и ограничений. Модели объектов, используемые для синтеза управлений в функции программных движений, заданных в отмеченных выше функциональных пространствах с учетом ограничений в виде пересечения линейного многообразия и эллипсоида задач оптимизации. Обобщение задачи второго типа, основанное на обобщении ограничений-равенств и функционала качества, в конечномерном евклидовом пространстве имеет вид: вычислить числовой вектор При этом обобщенная задача для задачи (2) с расширенными свойствами функционала и ограничений-неравенств имеет вид: вычислить вектор Функционал и ограничения в задачах оптимизации типа (3) определены квадратичными формами общего вида, которые обобщают базовые задачи типа (1). Программируемые цели, ограничения и операторы для реализации сетевых операций оптимальной стабилизации в конечномерных пространствах Программируемые математические модели для реализации «обобщенной управляющей среды управления» в сетевых системах иллюстрированы для задач, в которых управления, вычисляются на основе решения задач типа (1), (2) и (3). Обобщенные задачи условной оптимизации с квадратичными функционалами общего вида могут быть сведены к базовым задачам минимизации нормы элементов в пространстве более высокой размерности на основе расширения ограничений-равенств типа (3). Для этой задачи можно ввести два (или конечное число) дополнительных вектора которые с учетом вектора образуют обобщенный числовой блочный вектор Тогда базовая задача вычисления управлений для оптимальной стабилизации состояния равновесия с учетом (3) (4.а) и (4.б) примет вид: вычислить числовой вектор С учетом обобщенных переменных ограничения-неравенства в базовой задаче оптимизации (5) представляются неравенствами следующего вида где может использоваться обобщенный скалярный параметр Таким образом, иллюстрируемый «принцип математического программирования целей и ограничений» реализуется в конечномерном пространстве, определяет обобщенные требования к системам управления при сохранении класса операторов оптимизации. При этом управления могут быть вычислены на основе базовых проекционных методов для задач с квадратичным функционалом качества. Обобщенная задача (5), (6) может быть решена оператором минимизации типа (1) [2]. Обобщенные модели и стратегии операций в пространстве числовых вектор-функций Модели и стратегии сетевого управления в пространстве вектор-функций иллюстрируются на примере следующей задачи оптимизации. Пусть динамика управляемого по Р. Калману объекта при ограничениях на координаты и управления [1, 2] в пространстве вектор-функций задана линейным дифференциальным оператором где класс вектор-функций задан включениями вида где числовые матрицы в (7) заданы двумя числовыми матрицами и Требуется синтезировать вектор оптимальных управлений в заданном классе функций для оптимальной стабилизации положения равновесия данной системы в смысле минимума локального функционала заданном на расширенном векторе включающем вектор координат состояний и управлений модели динамического объекта типа (7). Утверждение. Пусть (7) – (8) – корректная задача, пересечение линейного многообразия с шаром – не пусто и выполнены условия [3,4]: 1. Решение задачи в силу «принципа граничных лагранжевых экстремумов» и «сужения допустимой области» задано выпуклой линейной комбинацией образов для регуляризованных ортогональных проекторов 2. Лагранжевы векторы и в (18.а) принадлежат пересечению линейного многообразия (подпространства) и сферы как границы шара в (17), и определены ортогональными проекционными операторами (проекторами) [3-5] Тогда для оптимальности решения (9.а), (9.б) необходимо и достаточно, чтобы оптимальный параметр в (9) был задан равенством где Для задачи локально оптимальной стабилизации равновесия функцио-нал определен при условии: а вектор оптимальных управлений имеет вид Базовые сетевые модели и стратегии второго класса Этот класс моделей и стратегий для систем сетевого типа реализует управление выделенной совокупности подсистем на основе заданной степени убывания функции Ляпунова автономных подсистем с оптимизацией качества управления для функционалов на траекториях выделенных групп подсистем объектов. Указанная стратегия также реализуется на основе квазианалитических проекционных операторов указанного выше типа, для которых базовые задачи рассмотрены далее. Математическая формулировка задачи. Задача синтеза управлений формулируется в виде: вычислить вектор управлений как решение задачи (10) на основе классического метода функций Лагранжа в конечномерном пространстве. Управления для задачи (10) синтезированы при введении уравнения Ляпунова для асимптотически устойчивого объекта [1-4]. Таким образом, в рамках базовых моделей и стратегий второго класса предлагается аналитический синтез систем локально оптимальных управлений с заданным убыванием функции Ляпунова реализуется в системах с обобщенными целевыми условиями. Применение предлагаемых сетевых моделей и стратегий Предлагаемые в статье результаты использованы в задачах оптимизации управления частотой и активной мощностью в сетевых структурах крупных энергосистем, в гидромеханике для оптимизации передачи углеводородов по сетевым магистральным трубопроводам энергосистем, при анализе теплопроводности в твердых многослойных объектах и в других объектах. ЛИТЕРАТУРА 1.  Козлов В.Н. Метод нелинейных операторов в автоматизированном проектировании динамических систем. Л.: Изд-во Ленингр. гос. ун-та им. А. А. Жданова, 1986. – 166 с. 2. Kozlov V.N. The Method of Minimization of Linear Functionals Based on Compact Sets. Proceedings of the international workshop on computer science and information technologies (CSIT 2010), Russia, Moskov-Saint-Petersburg, Russia, 2010. Volume 2. pp. 157–159. 3. Козлов В.Н. Негладкие системы, операторы оптимизации и устойчивость энергообъединений. Изд-во Санкт-Петербургского политехнического университета. СПб.: 2012. 177 с. 4. Козлов В.Н. Проекционный метод оптимизации оптимальных ограниченных управлений динамических систем энергетики. Изд-во Санкт-Петербургского Политехн. ун-та.-СПб.: 2019.–190 с. 5. Козлов В.Н., Ефремов А.А. Введение в функциональный анализ. Издательско-полиграфическая ассоциация вузов. СПб.: 2018. – 79 с. ЛЕКЦИЯ 2 «ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ» 08.04.2020 проекционные ОПЕРАТОРЫ УСЛОВНОЙ МИНИМИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ ОПЕРАЦИЯМИ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ Операторы конечномерной оптимизации для задач минимизации или максимизации линейных функционалов на компактных множествах конечномерного пространства преобразуют параметры функционала и ограничений задач оптимизации в оптимальные решения [15, 25, 28 – 33, 35]. Эти операторы действуют в факторизованных пространствах, и определяются проекторами, сохраняющими алгебраическую структуру евклидова пространства. Определение 1. Операторы конечномерной оптимизации (ОКО) – это проекционные операторы конечномерной минимизации или максимизации в евклидовом пространстве для задач: вычислить Эти операторы отображают целевой вектор функционала с учетом параметров допустимого множества в оптимальные решения или на множестве, заданном непустым выпуклым пересечением линейного многообразия и эллипсоида-шара [28]. 1. Постановки задач условной оптимизации для линейных функционалов. Эта задача при ограничениях-равенствах и двухсторонних (интервальных) неравенствах имеет вид: вычислить вектор В задаче (1.а) интервальные ограничения в виде параллелепипеда аппроксимируются эллипсоидом Взаимно однозначная замена переменных преобразует эллипсоид в шар Это позволяет сформулировать две преобразованные задачи минимизации и максимизации, имеющие вид: вычислить Задачи (1.а) и (1.б) можно решать на основе необходимых и достаточных условий теоремы Куна-Таккера о седловой точке. Далее операторы оптимизации синтезированы на основе необходимых условий Лагранжа и принципов «экстремальных граничных вектторов», «сужения допустимой области» и «одномерной оптимизации». 2. Метод синтеза оператора условной оптимизации линейных функционалов на основе «принципа граничных экстремумов». Задачи решены в два этапа на основе проекционного метода. Для решения применены «классические необходимые условия Лагранжа» для задач (1.б) и (1.в), из которых следует структура проекционных операторов при ограничениях в виде пересечения линейного многообразия и шара, задающие «граничные экстремальные элементы» как решения классических задач математического программирования. Граничные экстремальные лагранжевы элементы определяют выпуклое «однопараметрическое сужение допустимого множества» как пересечения линейного многообразия и шара, что позволяет обобщить метод Лагранжа для неклассических задач условной минимизации. Таким образом, проекционный оператор решения задачи оптимизации отображает параметры функционала и ограничений в оптимальное решение. Свойства ортогональных проекторов на многообразия и подпространства конечномерных пространств дана в лемме. Лемма 1. Пусть задача минимизации имеет вид: вычислить где Тогда решение задачи минимизации в виде проекционного оператора на линейное многообразие имеет вид [15] Лемма 2. Ортогональные проекторы на линейные многообразия и подпространства обладают идемпотентностью, симметричностью, ортогональностью и обратимостью специальных линейных комбинаций: Доказательства утверждений cледуют из равенств 1) – 5) для матриц проекторов [15]. Идемпотентность, симметричность, суперпозиция, ортогональность и обратимость следуют из соотношений: Идемпотентность и симметричность Суперпозиция проекторов: Обратимость специальной линейной комбинации: Эти свойства использованы для преобразования необходимых условиях оптимальности, из которых следуют операторы оптимизации, данные в [15, 25, 33]. Утверждение 1. Пусть выполнены условия: 1. Невырожденные задачи условной оптимизации для линейных функционалов типа определены в (1.б), (1.в). Тогда для оптимальности решений этих задач необходимо и достаточно выполнение условий: 3. В равенствах (2.а) и (2.б) введены обозначения: 4. Оптимальные множители Лагранжа в (2.а) и (2.б), равные являются решениями квадратного уравнения 5. Ограничения задач (2.а), (2.б) совместны, если: Доказательство необходимости. На первом этапе определяется структура оператора оптимизации, а на втором – значения параметров оптимальности для задач на минимум и максимум линейного функционала. Структура и параметры оператора следуют из необходимых условий для классической задачи на основе функции Лагранжа которые представляются системой уравнений Система (3) решается методом исключения. Умножение первого уравнения в (3) на матрицу учет неособенности (в силу рангового условия) и второго уравнения (3), определяют классический множитель Лагранжа Подстановка в (3) определяет «проекционное уравнение» в виде задающим операторы оптимизации с параметром [5, 6, 25, 33, 35, 51] где операторы обладают свойствами, данными в леммах 1 и 2. Равенство (4) определяет оператор, который при вычислении параметров задает оператор, проецирующий векторы из на пересечение линейного многообразия и сферы в (2.a). На втором этапе определяются параметры проекционного оператора (4). Множитель вычисляется из уравнения, получаемого подстановкой параметризованного вектора типа (4) в третье уравнение необходимых условий (3). С учетом лемм 1 и 2 третье уравнение системы (3) представляется в виде Преобразования с учетом леммы 2 определяют квадратное уравнение для вычисления двух множителей Лагранжа [28] Из этих уравнений следуют операторы, образы которых на элементе в силу (4) задают решения задач (2.2.а) и (2.2.б) в виде где оптимальные множители Лагранжа равны: Справедливость операторов (5) следует из сравнения функционалов на векторах (5), которые определяют неравенство Из (6) следует и оптимальные множители Лагранжа Таким образом, необходимость доказана, первое решение (6) соответствует минимуму, а второе – максимуму функционала, что совпадает с утверждениями о седловой точке теоремы Куна-Таккера. Доказательство достаточности. Подставновка решений (5) в условия (3) приводит к выполнению ограничения типа равенства: и ограничения-неравенства как равенства при в виде С учетом равенства и значения можно представить полученные выше соотношения в виде Эти соотношения завершают доказательство достаточности. Из теории линейного программирования известно, что экстремумы линейных функционалов достигаются на границах компактного множества. Операторы (5) соответствуют этому положению, т. к. операторы условной минимизации и максимизации линейных функционалов (2.а), (2.б) в силу (2.в) определяют граничные точки множества. Следствие 1 об эквивалентных формах операторов оптимизации. Операторы оптимизации имеют две формы, одна из которых имеет вид где Вторая форма может быть получена из (7) с помощью элементарных преобразований. Результаты утверждения 1 имеют геометрическую интерпретацию. Вектор в (7) включает первое слагаемое – проекцию начала координат на линейное многообразие, а второе – вектор, пропорциональный антиградиенту линейного функционала. Параметр определяет проектор вектора на шар. Следствие 2. Приближенное решение задачи (1.а) имеет вид где вектор определен в утверждении 1. Таким образом, операторы оптимизации определяют условные экстремальные векторы, которые является допустимыми решениями. Следствие 3. Допустимые решения задач (1.а) и (1.б), формируемые на основе выпуклой комбинации экстремальных векторов типа (5), определяются выпуклой комбинацией Полученные результаты иллюстрируются примером. Пример. Рассматривается решение задачи минимизации и максимизации линейного функционала на компактном множестве заданном пересечением линейного многообразия и шара двумерного пространства. На рис. 2.1 даны линейное многообразие, шар и допустимая область (жирная линия), точки минимума и максимума , направление вектора для функционала. Рис. 2.1. Образы операторов минимизации и максимизации на элементе для линейного функционала на компактном множестве Как доказано в утверждении 1, оператор для вычисления векторов, обеспечивающих минимум и максимум линейного функционала, имеют вид (5). Алгоритм для экстремальной задачи, иллюстрируемой на рис. 2.1, на основе квазианалитических операторов оптимизации имеет вид: Шаг 1. Вычисление матрицы ортогонального проектора на линей- ное подпространство евклидова пространства и симметричной квадра- тичной формы с матрицей, которая соответствует указанному проектору Шаг 2. Вычисление параметров уравнения где Шаг 3. Вычисление корней квадратного уравнения Шаг 4. Вычисление векторов обеспечивающих условные минимум и максимум линейного функционала поскольку Векторы и определяют минимум и максимум линейного функционала, подтверждаемые линейными формами на каждом из этих векторов. Иллюстрации оптимальных решений задачи даны на рис. 2.1. Лекция 3 ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ 15.04.2020 ПРОЕКЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ ОГРАНИЧЕННЫХ УПРАВЛЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Современные технологические процессы и системы управления ими характеризуются сложностью задач и ограничений в связи с расширением функциональных требований. В статье сформулированы обобщенные проекционные операторы оптимизации фазовых координат и управлений, которые используются для оптимизации ограниченных управлений и координат, синтезируемых на основе операторных решений задач математического программирования динамики объектов в векторно-функциональных пространствах. Операторы используют «погружение» задач вычисления управлений в базовые задачи оптимизации [1 – 4]. 2. Метод вычисления управлений для программной стабилизации объектов в пространстве вектор-функций. Пусть динамика управляемого по Р. Калману объекта при ограничениях на координаты и управления [1, 2] в пространстве вектор-функций задана линейным дифференциальным оператором где классы вектор-функций заданы равенствами а числовые матрицы в (7) определены условиями Для синтеза управлений, стабилизирующих положение равновесия и программных движений, далее использован обратный оператор для (1.а) в виде оператора Коши Требуется синтезировать вектор управлений в заданном классе функций для оптимальной стабилизации положения равновесия системы данной системы в смысле минимума локального функционала заданного вектором на траекториях (2). Задача синтеза управлений для программной стабилизации формулируется на основе минимизации функционала при ограничениях типа равенств и неравенств Эти ограничения в пространстве определяют допустимое множество в виде пересечения линейного многообразия и шара. При этом в пространстве обобщенных вектор-функций линейное многообразие определено в силу (2) следующим равенством конечномерном пространстве вектор-функций. Шар ограничений-неравенств, аппроксимирующий параллелепипед или эллипсоид этого пространства, определен квадратичным неравенством Тогда квадратичный функционал качества, определенный на обобщенных векторах для задачи локально оптимальной программной стабилизации примет вид где целевой стабилизируемый обобщенный вектор задачи локально оптимальной программной стабилизации. Если вектор-функция программного воздействия удовлетворяет условию то задача (7.а) для объекта (2) преобразуется из «задачи квадратичной программной стабилизации» в задачу «оптимальной стабилизации нулевого положения равновесия» динамического объекта (2) с функционалом (7.б) для системы с обратной связью. Таким образом, на основе приведенных соотношений (2) – (7.б) можно формулировать две основные задачи вычисления управлений: 1. Задача синтеза управлений для локально оптимальной системы программной стабилизации, которая конструируется с помощью задачи минимизации функционала (7.а). 2. Вычисление управлений для оптимальной стабилизации нулевого положения или программного вектора , которые конструируются на основе минимизации функционала (7.б). Оптимальные управления вычисляются на основе оператора объекта, который для кусочно-постоянных управлений и с учетом свойства аддитивности интеграла в (6.а) принимает вид В результате задача синтеза как задача конечномерной условной минимизации имеет вид: вычислить счетное множество управлений в виде кусочно–постоянных вектор-функций которые на дискретном интервале прогноза обеспечивают минимум функционала где «фильтрующая» матрица «выделяет» из вектор управлений Задача (10) может быть решена операторами оптимизации, сформулированными в утверждении. Утверждение. Пусть (10) – корректная задача, пересечение линейного многообразия с шаром – не пусто и выполнены условия [3,4]: 3. Решение задачи (10) в силу «принципа граничных лагранжевых экстремумов» и «сужения допустимой области» задано выпуклой линейной комбинацией образов для регуляризованных ортогональных проекторов [ ] где лагранжевы векторы и принадлежат пересечению линейного многообразия (подпространства) и сферы как границы шара в (10), и определены ортогональными проекторами [3, 4] Тогда для оптимальности решения (11.а), (11.б) необходимо и достаточно, чтобы оптимальный параметр в (18) был задан равенством где Для задачи локально оптимальной стабилизации положения равновесия функционал качества следует из (17.а) при а вектор оптимальных управлений имеет вид т.к. второе слагаемое в (17.б) равно нулю в силу Результаты использованы в задачах оптимизации управления частотой и активной мощностью энергосистем, в гидромеханике при оптимизации передачи углеводородов по магистральным трубопроводным сетям, при анализе теплопроводности в твердых многослойных объектах и др. ЛИТЕРАТУРА 1. Козлов В.Н. Метод нелинейных операторов в автоматизированном проектировании динамических систем. Л.: Изд-во Ленингр. гос. ун-та им. А. А. Жданова, 1986. – 166 с. 2. Kozlov V.N. The Method of Minimization of Linear Functionals Based on Compact Sets. Proceedings of the international workshop on computer science and information technologies (CSIT 2010), Russia, Moskov-Saint-Petersburg, Russia, 2010. Volume 2. pp. 157–159. 3. Козлов В.Н. Негладкие системы, операторы оптимизации и устойчивость энергообъединений. Изд-во Санкт-Петербургского политех-нического университета. СПб.: 2012. 177 с. 4. Козлов В.Н. Проекционный метод оптимизации оптимальных ограниченных управлений динамических систем. СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского Политехн. ун-та. 2019.–190 с. 5. Козлов В.Н., Ефремов А.А. Введение в функциональный анализ. Издательско-полиграфическая ассоциация вузов. СПб.: 2018. – 79 с. ЛЕКЦИЯ-4 + ПРАКТИКА 22.04.2020 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ КООРДИНИРОВАННОГО ДВИЖЕНИЯ БЕСПИЛОТНЫХ АВТОМОБИЛЕЙ ЛИТЕРАТУРА В.Н. Козлов «Проекционный метод синтеза ограниченных оптимальных управлений динамических систем энергетики». Изд-во Санкт-Петербургского Политехн. ун-та. СПб.: 2019.- 190 с. 2. Козлов В.Н. , Куприянов В.Е. Вычислительные методы синтеза САУ. Изд-во Ленингр. ун-та им. А.А. Жданова. Л.: 1989.- 190 с. 3. Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Теория автоматического управления. Изд-во СПбПУ. Сб.: 2007. 170 с. 1. Методы оптимизации для синтеза управлений движущимися беспилотными автомобилями 1.1. Квазианалитические операторы квадратичной оптимизации для стабилизации группы автомобилей Операторы условной минимизации функционалов, заданных квадратом евклидовой нормы, представлены обобщенными проекторами на выпуклое пересечение линейного многообразия и шара. Эти операторы конечномерной оптимизации (ОКО) также отображают параметры экстремальных задач в оптимальные решения. Операторы для неклассических задач, формируемые на основе «принципа двух экстремумов», обобщают операторы допустимых решений, заданных на основе решений классических задач минимизации и максимизации нормы на пересечении линейного многообразия и сферы [25, 29, 33, 35]. Исследованы эквивалентные формы, инварианты и параметры оптимальности ОКО, применяемые для управления энергосистемами с регулярной или хаотической динамикой [34, 36], передачей нефтепродуктов [20], теплофизическими процессами и др. 1. Постановки задач и принципы формулировки квазианалитических операторов для минимизации квадратичных функционалов. Оператор минимизации будут сформулированы для решения конечномерной неклассической экстремальной задачи 1: вычислить где целевой вектор квадрат евклидовой нормы, а допустимое множество определено непустым пересечением линейного многообразия и шара, аппроксимирующего параллелепипеда [29]. Основные принципы для решения задач типа (1) не используют традиционные необходимые и достаточные условия Куна-Таккера теории выпуклого программирования, формулируемые в терминах знаковой определенности множителей Лагранжа для ограничений-неравенств. В данной работе квадрат нормы в задаче (1) минимизируется операторами конечномерной минимизации (ОКМ) на непустом компактном множестве в (1), которые определяются конечными квазианалитическими соотношениями в два этапа. На первом этапе решения формируются операторы допустимых решений на основе «принципа граничных экстремумов» классических задач, следующих из (1). Классические граничные экстремальные решения задач типа (1) вычисляются как классические лагранжевы решения для задач: вычислить экстремальные векторы где допустимое множество как пересечение линейного многообразия и сферы имеет следующий вид На основе операторов для задач (2.а) и (2.б) определены операторы для вычисления граничных (лагранжевых) векторов, которые позволяют минимизировать квадрат нормы на пересечении многообразия и сферы в (2.а), (2.б). Далее формируется однопараметрическое множество допустимых решений, определяемое множителями Лагранжа как выпуклая линейная комбинация граничных элементов, имеющая вид определяет выпуклое однопараметрическое сужение параметра допустимой области и оператор допустимых решений для (2.а), (2.б), отображающий вектор в отрезок с граничными векторами в (2.а) и в (2.б) на указанное выпуклое сужение. На втором этапе вычисляется оптимальный параметр как решение задачи условной одномерной минимизации по параметру . Интервальное ограничение реализуется кусочно-линейным липшицевым проектором на указанный интервал, что позволяет получить решение в квазианалитической форме. Конечномерные операторы оптимизации допускают обобщение на более широкие классы задач, в частности, на задачи минимизации нормы на пересечении линейного многообразия и параллелепипеда, который аппроксимируется эллипсоидом или шаром. Аппроксимация параллелепипеда эллипсоидом или шаром приводит к задаче с одним множителем Лагранжа, что существенно сокращает вычисления, сохраняя качественные свойства ограничений. Минимизирующий скалярный множитель Лагранжа в задаче 1, как параметр оптимальности в задаче на минимум, является положительным в силу непосредственно вычисляемых знаковых ограничений без использования теоремы Куна-Таккера. Форма задания оптимальных решений является конструктивной для анализа систем управления, поскольку явно определяет обратные связи линейного и нелинейного типа, которые по структуре соответствуют законам управления, формируемым в функции координат состояний или выходных координат. Это позволяет выполнить качественный анализ устойчивости замкнутых систем с ограниченными ресурсами для локально или интервально оптимальных систем с ограничениями на управления и координаты без трудоемкой операции решения классического матричного квадратичного уравнения Риккати. 2. Операторы оптимизации для классических задач. Определение операторов можно представить в форме. Определение 1. ОКО – это проекционный квазианалитический оператор конечномерной минимизации (или максимизации) для задачи: вычислить вектор отображающий вектор функционала в оптимальное решение или с учетом параметров задачи оптимизации. Свойства операторов для классических задач минимизации с ограничениями-неравенствами рассмотрены в лемме. Лемма 1 [15, 29]. Ортогональный проекционный оператор на линейное подпространство и матрица которые определяют для вектора функционала проекцию на линейное многообразие обладают свойствами (леммы 1, 2 в п. 2.1): 4)  Эквивалентные формы операторов конечномерной оптимизации, следующие из необходимых условий для задач (2.а) и (2.б), даны ниже. Утверждение 1. Операторы оптимизации, параметризованные множителем Лагранжа, имеют три эквивалентные формы где векторы и определены в лемме 1, а инвариантами для трех форм операторов являются квадратное уравнение для множителей Лагранжа и его корни как параметры оптимальности. Доказательство. Эквивалентные формы ОКО, следующие из необходимых условий для (2.а), (2.б) и функции Лагранжа формируются из условий, представленных системой уравнений Метод исключения для системы (4) с учетом второго уравнения этой системы позволяет вычислить из первого уравнения вектор множителей Лагранжа, преобразовав первое уравнение (4) к виду Тогда с учетом второго уравнения (3) вектор множителей Подстановка (5) в первое уравнение (4) определяет для вектора параметризованное уравнение откуда для следует линейное алгебраическое уравнение Первая форма оператора минимизации как однопараметрическое семейство множителя Лагранжа определяет из (6) вектор Вторая форма оператора оптимизации также параметризованная множителями Лагранжа, вытекающая из (7.а), имеет вид т. к. справедливы равенства как результат преобразования (7.а) в (7.б) Третья форма оператора, следующая из (7.б) и зависящая от множителя Лагранжа , определена равенствами Эквивалентные формы проекционных операторов оптимизации, зависящие от множителя Лагранжа как параметра, приведены в табл. 2.1. Таблица 2.1 Эквивалентные формы проекционных операторов оптимизации с параметром в виде множителя Лагранжа 1 2 3 Третья форма оператора оптимизации Эквивалентность операторов будет доказана «по цепочке»: Первый переход определен соотношениями В результате определена структура второй формы операторов, поскольку приведенные преобразования определяют однопараметрическое семейство соотношений для эквивалентного задания третьей формы ОКО: Продолжая доказательство эквивалентности, можно иллюстрировать переход 3) приведенными далее соотношениями Таким образом, эквивалентность форм операторов оптимизации доказана на основе трех аксиом эквивалентности: рефлексивности симметрии и транзитивности Проекционные операторы (7.а), (7.б), (7.в) определены «целевыми векторами», параметрами задач (2.а), (2.б) и множителями Лагранжа. Утверждение 2 об операторах для классических задач с параметрами. Пусть выполнено утверждение 1 и ортогональные проекционные операторы оптимизации приведены в табл. 2.1. Тогда для оптимальности решения классической задачи: вычислить вещественные векторы необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: Векторы условных экстремумов и для функционалов типа евклидовой нормы в классических задачах на компактном множестве в виде пересечения линейного многообразия и сферы (2.а), (2.б) определены операторами, данными в утверждении 1, с параметрами такими, что Квадратное алгебраическое уравнение для оптимальных параметров операторов имеет вид где коэффициенты определяют корни, равные двум значениям множителей Лагранжа 3. При этом уравнение (9.а) и его корни (9.б) являются инвариантами трех форм операторов оптимизации (8.а), (8.б) и (8.в). Условие совместности ограничений экстремальных задач (2.а) и (2.б) (условие существования непустого пересечения линейного многообразия и сферы или шара) задано неравенством Операторы оптимизации в формах типа (8.а), (8.б), (8.в) задают операторы минимизации и максимизации нормы с параметрами оптимальности в виде корней инвариантного квадратного уравнения и соответственно, для задач (2.а) и (2.б) (табл. 2.2), имеющих содержательный смысл для различных классов приложений. Доказательство необходимости. П. 1) и 2) об инвариантности квадратных уравнений и их корней как параметров эквивалентных форм операторов доказывается прямыми вычислениями. Параметры первой формы оператора вычисляются подстановкой (7.а) в третье уравнение (4). Тогда для вычисления знакоопределенных множителей Лагранжа можно получить равенство где в силу леммы 1, п. 1. Преобразование этого равенства в силу свойств операторов проектирования (лемма 1) уравнение Из преобразований этого уравнения следует квадратное уравнение относительно параметров оптимальности совпадающее с (9.в). Тогда первая форма оператора (7.а) примет вид (10.а) Из (10.а) следует условие вещественности корней для совместности ограничений задач 1 и 2, доказывающее п. 2 утверждения. Уравнение (9.а) и корни совпадают для трех форм операторов в силу эквивалентности форм. Третья форма оператора примет вид Подстановка третьей формы оператора (7.в) в третье уравнение системы условий (4) определяет нелинейное уравнение для вычисления множителей Лагранжа, которое примет вид Тогда с учетом свойств матриц (лемма 1) можно получить равенство Из последних соотношений и леммы 1 следует равенство которое определяет инвариантное квадратное уравнение для трех форм операторов оптимизации, данных в табл. 2.2. Вторая форма оператора (7.б), данная в табл. 2.2, имеет вид Таблица 2.2 Эквивалентные формы операторов минимизации и максимизации квадрата нормы на пересечении линейного многообразия и сферы с параметрами оптимальности как корнями квадратного уравнения 1 2 3 Третья форма операторов Равенство (11) определяет структуру и параметры оператора, откуда следует эквивалентность второй и третьей форм операторов Третья форма оператора (7.в) имеет представление поскольку справедливы равенства где параметры как корни квадратного уравнения, равные а функция 3). П. 3 следует из вещественности корней (9.б) для (9.а). 4). В п. 4 надо показать, что положительный корень определяет минимум нормы, а отрицательный – максимум нормы на сфере, что соответствует утверждению теоремы Куна-Таккера. 3. Метод синтеза операторов минимизации нормы на основе «принципа граничных экстремумов и одномерной оптимизации». Синтезированные операторы условной оптимизации для задачи (1.а) сформулированы в утверждениях. Утверждение 3. Пусть справедливы утверждения 1 и 2. Тогда для задачи (1) оператор допустимых решений имеет вид где по утверждению 2 «граничные лагранжевы векторы», определяющие минимум и максимум нормы на пересечении линейного многообразия и сферы (как границы шара) имеют вид Доказательство (15) следует из выпуклости допустимого множества в (1), допустимости (12) и их выпуклой комбинации. Утверждение 4 о квазианалитическом проекционном операторе оптимизации для неклассической задачи. Пусть (1) – корректная задача и справедливы утверждения 1 – 3. Тогда для того, чтобы решение неклассической задачи в силу «принципа граничных лагранжевых экстремумов» представлял регуляризованный оператор минимизации с граничными экстремальными векторами на сфере необходимо и достаточно, чтобы в операторе (16) параметр Доказательство необходимости. Оператор минимизации, как обобщенный проектор, определяется равенством (16), если его параметры задают точки минимума нормы на границе или внутри «сужения» допустимого множества. Этому условию удовлетворяет проектор (16), следующий из оператора (15) при оптимальном выборе параметра на классе допустимых решений. Оператор (16) в форме с параметрами, данными в табл. 2.2, с учетом соотношений определяет семейство допустимых решений параметра решений на основе классических «лагранжевых векторов» В силу сказанного, оператор конечномерной оптимизации с оптимальным параметром должен доставлять минимум квадрата нормы на отрезке одномерного многообразия в пространстве определенном векторами и задающими классические лагранжевы решения задачи 2. Тогда минимизирующий параметр будет совпадать с проекцией на интервал для числового параметра который является точкой безусловного минимума нормы на прямой, включающей лагранжевы векторы и Оператор (16) с оптимальным параметром определяет решение задачи (1), которое является допустимым как выпуклая комбинация «граничных лагранжевых элементов». Внутренняя часть области соответствует параметрам в (16). Параметр вычисляется как точка минимума на «выпуклом сужении» при исходного допустимого множества, параметризованного параметром определяющим уравнения прямой и условия минимума квадрата нормы на прямой (17) по указанному параметру. Необходимые условия минимума функционала по параметру, преобразованного с учетом (16), имеют вид Параметр, минимизирующий функционал на прямой линии, содержащей точку классического минимума, равен В результате параметр «безусловного минимума на прямой» примет следующий вид где параметр «условного минимума на прямой» для принадлежности решения многообразию и шару в (1) задает проекцию на замкнутый на интервал вычисляемая с помощью проектора [16]: Равенство (19) определяет допустимый и оптимальный параметр в (16) как проекцию (18) на отрезок [0, 1] прямой с указанными границами. Таким образом, оператор минимизации (16) для задачи (1) в виде обобщенного проектора на пересечение линейного многообразия и шара на основе «принципа граничных экстремумов», представлен в табл. 2.3. Таблица 2.3 Оператор типа для минимизации нормы для неклассической задачи (1) с параметрами оптимизации 1 Структура оператора неклассической минимизации нормы 2 Параметры оптимального оператора Оператор минимизации в табл. 2.3 задан суперпозицией двух операторов. Первая составляющая оператора формирует ортогональную проекцию начала координат на линейное многообразие в задаче (1), а вторая (нелинейная) часть оператора задает проекцию вектора на линейное многообразие с параметром, определенным в (19). Обобщенный проектор (16), (19) определен на основе точек минимума и максимума нормы на пересечении многообразия и сферы как границы шара, что определяет необходимые условия для решений без неравенств седловой точки функции Лагранжа. При этом не требуется анализ свойств нормалей разделяющей плоскости в теореме Куна-Таккера. Пример. Пусть задача условной конечномерной минимизации квадратичного функционала имеет вид: вычислить числовой вектор на множестве – пересечении линейного многообразия и шара в двумерном евклидовом пространстве векторов где вектор минимизируемого функционала Решение. Решение на основе (16) имеет вид Шаг 1. Вычисление по табл. 2.3 проектора и квадратичной формы Шаг 2. Вычисление параметров оператора оптимизации: Шаг 3. Вычисление вектора и оптимального решения Квадратичное ограничение-неравенство данной задачи, имеющее вид также выполнено для вектора условного оптимального решения. Оптимальный вектор и геометрическая иллюстрация отображения вектора оператором оптимизации в оптимальное решение в задаче условной квадратичной оптимизации приведены на рис. 2.4, где указаны все параметры и линии равного значения функционала для сформулированной задачи условной минимизации. Рис. 2.4. Решение задачи неклассической минимизации нормы как образа проекционного оператора на элементе двумерного евклидова пространства. В результате оператор оптимизации (20) из табл. 2.3 имеет геометрическую интерпретацию на основе факторизации евклидова конечномерного пространства на линейное многообразие и ортогональное дополнение к нему. Сужение области позволяет свести исходную задачу к одномерной минимизации. Первая составляющая оператора (20) выполняет проектирование нулевого элемента на линейное многообразие в (1). Вторая составляющая оператора (16) есть проекция центра шара на линейное многообразие с весом, который определяет положение точки условного минимума на пересечение многообразия и шара. Таким образом, синтезированные квазианалитические проекционные операторы условной оптимизации, обеспечивающие экстремум функционала в виде нормы при ограничениях типа линейных равенств и квадратичных неравенств. Эти операторы образуют математическую программируемую среду, позволяющую «погружать» в нее широкий класс задач управления с универсальными разрешающими операторами. Домашнее задание. Составить задачу оптимизации в двумерном пространстве и решить ее с помощью примера из лекции. Передать решение преподавателю. ПРАКТИКА 1. ПРИМЕРЫ СИНТЕЗА ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ОПЕРАЦИЙ БЕСПИЛОТНЫМИ АВТОМОБИЛЯМИ Этапы синтеза формируются на основе формулировки задачи рассмотренной выше и определяются: - формулировкой задачи, которая может иметь различный вид - структурой проекционного оператора оптимизации. 1. Формулировка задач математического программирования траекторий группы автомобилей на основе заданных движений ведущего автомобиля, которые определены требованиями: задачи 1: дублирование траектории ведущего автомобиля; задачи 2: стабилизация относительных положений автомобилей-участников движения; задачи 3: другие требования к траекториям ведомых автомобилей. Пример. Оператор оптимизации имеет вид Параметры оптимального оператора заданы равенствами Задача 1 организации движения БПАМ по единому координирующему сигналу. Программное движение ведущего автомобиля (АМ) можно задать вектором для случая плоского перемещения автомобилей. Далее можно координировать движение ведомых БПАМ путем передачи этого вектора всем или части ведомых БПАМ. Тогда задача управления будет состоять в обеспечении движения всех АМ по заданному маршруту с сохранением дистанций между ними. Задача 2 организации движения группы БПАМ по траектории предыдущего автомобиля. Этот вариант стабилизации БПАМ на основе применения в качестве программного вектора в алгоритме траекторий предыдущих автомобилей. Для этого требуется информационная передача сигналов предыдущих БПАВ. Эти две простые задачи могут иметь некоторое решение на основе проекционного оператора. При этом возникает вопрос; каким образом выполнить программирование движений и обеспечить движения всех участников свойством устойчивости. Последнее свойство требует применения такого метода и алгоритма, которые гарантируют устойчивость программных движений с помощью критериев устойчивости программных движений. Однако требования «дистанции» остаются открытыми, т.е. не реализованными. Анализ проекционного метода и алгоритма показывает, что для описания программного и относительного движений можно использовать линейное многообразие, в которое можно «погружать» математические модели участников и требования к «дистанциям» между БПАМ. 1. Математические постановки и модели управления на основе проекционного метода и алгоритма. Рассмотрим возможности описания динамики с помощью матрицы А, размеры которой по строкам и столбцам могут быть выбраны достаточно большими в соответствии с требованиями задач управления. Тогда в эту матрицу можно «погрузить» модели динамики различных объектов, в том числе и модели всех БПАМ. Пусть эта «МАТРИЦА ОПЕРАЦИИ» имеет ИСХОДНЫЙ ВИД, данный ниже Диагональные блоки «МАТРИЦЫ ОПЕРАЦИИ» содержат не связанные модели БПАМ в виде разностных уравнений отдельных машин. Требуется вычислить: 1 Оптимальные управления для программирований движений группы автомобилей по заданной программе в виде вектора С. Можно видеть, что в данной матрице содержатся математические модели движения трех БПАМ, представленные эквивалентными разностными уравнениями в двух формах Эта система может быть дополнена функционалом качества, который задан квадратом евклидовой нормы Тогда классическая задача конечномерной оптимизации примет стандартный вид. Однако можно эту задачу обобщить за счет введения дополнительного ограничения-неравенства, которое можно использовать для учета ограничений на управления и прогнозируемые координаты. Тогда можно сформулировать общую задачу оптимизации. Кроме этого, можно ввести дополнительные связи между прогнозами координат и управлений, если это имеет смысл и не противоречит требованию реализуемости. Таким образом, классическая задача конечномерной оптимизации примет стандартный вид, на основе которого можно вычислять автономные управления для каждого БПАМ Однако часто по условиям безопасного движения часть требуется эту задачу обобщить за счет введения дополнительных ограничений-неравенств, которые можно использовать для учета ограничений на управления и прогнозируемые координаты. Тогда можно сформулировать обобщенную задачу оптимального управления. Кроме этого, можно реализовать эти дополнительные требования к прогнозам координат и управлений, если это имеет смысл и не противоречит требованию реализуемости. Обобщенная задача 2 оптимального управления. Цели управления движением можно обобщить, дополнив строки или столбцы матрицы «требованиями нестолкновения» отдельных автомобилей группы БПАМ. Это можно сделать, например, введением дополнительных ограничений. Ограничения могут быть заданы дополнительными «условиями различия положений», например, дополнив исходную модель (1) «дополнительными условиями отличия положений». Эти условия могут быть реализованы математическим программированием сдвигами от исходного положений БПАМ на заданные «дистанции» по продольным и боковым положениям БПАМ. Для обеспечения дистанции можно математически запрограммировать «требуемые дистанции для БПАМ». «Идея сдвига» реализуется введением «операций вычитания» (или добавления) некоторых «векторов сдвига» для «ЗАДАНИЯ СДВИГОВ» по продольным или боковым координатам всех БПАМ. Эта операция иллюстрируется преобразованием «МАТРИЦЫ ОПЕРАЦИЙ» (1) так, что она примет обобщенный вид. Для этого требуется сформировать расширенную матрицу операции, в которой будут представлены модели (1), дополненные, например, условиями-уравнениями «нестолкновения». Тогда новая матрица операции с учетом сдвигов БПАМ за счет управлений примет вид где введены дополнительные управления, обеспечивающие сдвиг траекторий за счет корректировки управления для БПАМ. Функционал задачи имеет вид Таким образом, можно обобщить цели управления другим способом за счет корректировки программного движения. Цели управления движением можно также обобщить, дополнив строки или столбцы матрицы «требованиями нестолкновения» или «требованиями дистанции» отдельных автомобилей группы БПАМ. Это можно сделать, например, введением дополнительных ограничений. Ограничения могут быть заданы дополнительными «условиями различия положений», например, дополнив исходную модель (1) «дополнительными условиями отличия положений». Эти условия могут быть реализованы математическим программированием «дистанций», предусмотрев их путем корректировки программного движения БПАМ по продольным и боковым положениям БПАМ. Для этого можно математически программировать «дистанций по положениям БПАМ». «Идея дистанционного движения» реализуется введением «операций вычитания» (или добавления) некоторых «векторов сдвига» для «ЗАДАНИЯ ПОЛОЖЕНИЙ» по продольным или боковым координатам всех БПАМ. Эта операция иллюстрируется преобразованием «МАТРИЦЫ ОПЕРАЦИЙ» (1) так, что она примет обобщенный вид в части корректировки программных векторов. Для этого требуется сформировать элементы обобщенной «МАТРИЦЫ ОПЕРАЦИЙ», в которой будут представлены модели (1), дополненные, например, условиями-уравнениями «нестолкновения» на основе корректировки программных векторов для каждого объекта.. ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ: 1). Составить задачу оптимизации и решить ее с помощью проекционного оператора, действующего в двумерном пространстве и привести геометрическую иллюстрацию решения задачи. 2). Предложите свой вариант корректировки программ движения для обеспечения «нестолкновений». Подготовить персональный ответ для дальнейшей пересылке преподавателю. 3). Какие другие типы «МАТРИЦ ОПЕРАЦИЙ» можно предложить для решения задачи управления группой БПЛА. Решения и ответы персональные. Подготовить персональный ответ для дальнейшей пересылке преподавателю. «ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ» ЛЕКЦИЯ-5: 29.04.2020 тЕМА: устойчивость ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ локально ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ ОБЪЕКТОВ Литература: 1. В.Н. Козлов «Проекционный метод синтеза ограниченных оптимальных управлений динамических систем энергетики». Изд-во Санкт-Петербургского Политехн. ун-та. СПб.: 2019.- 190 с. 2. Козлов В.Н. Негладкие системы, операторы оптимизации и устойчивость энергообъединений. Изд-во Санкт-Петербургского Политехн. ун-та. СПб.: 2019.- 160 с. 3. Козлов В.Н. , Куприянов В.Е. Вычислительные методы синтеза САУ. Изд-во Ленингр. ун-та им. А.А. Жданова. Л.: 1989.- 190 с. 4. Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Теория автоматического управления. Изд-во СПбПУ. Сб.: 2007. 170 с.4. Козлов В.Н., Ефремов А.А. Введение в Функцио-нальный анализ. СП. изд-во спбпу.2018.-80 С. тЕМА: устойчивость ЛИНЕЙНЫХ локально ОПТИМАЛЬНых систем УПРАВЛЕНИЯ (источники: [1, п. 3.1, 3.2],[3]) Уравнения динамических систем как «участников программируемых операций объектов» с линейными операторами локально оптимальных управлений (ЛОУ) следуют из общей формы разностных уравнений (19) и (20), сформулированных в п. 3.1 [1]. Спектральные условия устойчивости линейных систем ЛOУ по состоянию и управлению позволяют определить «запас устойчивости» на основе собственных чисел. Аналогичная задача может быть решена на основе оценок норм операторных числовых матриц линейной части разностных уравнений (операторов). В силу принципа сжимающих отображений (операторов) оценки нормы являются оценками сверху. Спектральные условия устойчивости (сходимости для разностных операторов) связаны с параметрами сжатия линейных операторов (матриц), нормы которых должны быть меньше единицы. Основные модели и этапы проекционного метода синтеза, сформулированные в п. 3.1 [1] задают аналитические проекционные операторы на линейные многообразия (подпространства). При этом важно выполнить конструктивный анализ устойчивости на основе моделей минимальных реализаций объектов управления, к которым относятся фробениусовы или жордановы формы матриц управляемых по Р. Калману линейных объектов в силу, например, рангового критерия, как одной из 5пяти форм представления критерия. Далее задача решена для случая одного управления по состоянию, что иллюстрирует существование непустого множества стабили-зирующих линейных проекционных управлений. Для векторных управлений используются адекватные канонические формы. Эту задачу можно обобщить для многих управлений на основе блочных фробениусовых матриц для аналогов структурно-инвариантных уравнений объекта в п. 4.1 [1]. Синтез управлений по выходным координатам может быть выполнен аналогично при выполнении «управляемости по Р. Калману для выходов» на основе соответствующего рангового критерия [3]. Проекционные методы могут реализовать различные формы линейных моделей, однако далее использована третья форма проекторов из п. 2.2, реализующих ЛОУ. Далее рассмотрены модели, следующие из (3.1.20) [1, 2] при условиях числовой вектор а линейный оператор управления соответствует третьей форме операторов, данных в п. 2.3, табл. 2.3. 1. Постановка задачи синтеза локально оптимального управления для стабилизации положения равновесия. Уравнения замкнутых систем с пропорциональными управлениями формируются проекционным методом синтеза на основе «погружения» моделей линейных разностных объектов систем (3.1.20) в линейные многообразия евклидова пространства состояний Пусть выполнены условия: 1). Динамика объекта в отклонениях от стационарного состояния описывается задачей Коши для аффинного разностного оператора где управляемая по Р. Калману пара матриц определяет управляемый устойчивый объект. Модель объекта для синтеза соответствует (1), где параметры модели и объекта совпадают так, что а локальный функционал качества Требуется синтезировать устойчивый оператор системы локально оптимального управления (ЛОУ) с проекционным оператором стабилизации программного движения, заданного программными векторами для состояний и управлений Задача синтеза формулируется следующим образом. Линейный оператор ЛОУ в силу (1.1) имеет вид где проекторы линейное многообразие, в которое «погружена» совпадающая с (1) модель оператор объекта, имеет вид Ортогональный проектор на многообразие (2.2) и на ортогональное дополнение к нему, «фильтрующая» матрица в (2.1) заданы равенствами В равенствах (2.1) – (2.3) использованы обозначения: ортогональный проектор для вектора программного движения на линейное многообразие (2.2); проектор на ортогональное дополнение для линейного многообразия (2.2). Таким образом, структура оператора (2.1) определяет аффинный оператор ЛОУ управлений в функции состояний и программного движения, необходимых для координации операций. На первом этапе исследования требуется исследовать условия устойчивости в спектральной форме для линейного оператора системы ЛОУ, на траекториях которой достигает минимума функционал типа нормы с параметром линейной обратной связи 2. Условия устойчивости линейных разностных операторов локально оптимального управления. Для анализа доказано утвер-ждение о свойствах сжимающего оператора линейной системы ЛОУ. Утверждение о спектральных условиях устойчивости. Пусть выполнены условия: 1). Динамика объекта в отклонениях от стационарных состояний описывается задачей Коши с разностным оператором (1.1). 2). Матрицы оператора (1.1) известны и определены в (1.2) так, что для вычисления управлений используется уравнения где 3). Функционал качества в виде квадрата евклидовой нормы 4). Тогда аффинный линейный проекционный оператор локально оптимальный оператор стабилизации программных движений имеет вид где проекторы на линейное многообразие, ортогональное дополнение и «фильтрующая» матрица определены равенствами: В равенстве (3) ортогональный проектор задает проекции вектора на линейное многообразие, в которое «погружена» модель объекта в виде линейного разностного оператора. Оператор (3) определяет аффинный оператор ЛОУ как сумму проектора на линейное многообразие для программного движения и проектора на ортогональное дополнение как функцию вектора состояния Требуется определить условия устойчивости в спектральной форме для линейных операторов систем ЛОУ, минимизирующих евклидову нормы с параметром обратной связи 1. Решение задачи стабилизации. Уравнения состояния линейного объекта заданы разностным оператором уравнениями в системе (1), (2), где пара матриц имеют фробениусову форму, а управления заданы в (2), где Пара матриц – управляема в силу рангового критерия Р. Калмана Локальный функционал для управлений (2) задан равенством 4. Характеристический полином соответствует фробениусовой форме матрицы объекта. 5. Скалярное управление, следующее из (2), соответствует уравнению возмущенного движения и имеет вид Тогда имеют место утверждения, обобщающие результаты [16]: 1. Динамика дискретной системы ЛОУ с проекционно-операторной обратной связью по состоянию описана линейным разностным уравнением следующим из (1), (2), где матрица оператора системы с обратной связью определена матрицей 2. При условии линейный оператор ЛОУ (4) равен где числовая матрица оператора ЛОУ в (6) определена проектором на ортогональное дополнение к линейному многообразию, в которое «погружен» управляемый по Р. Калману линейный разностный оператор объекта с различными собственными числами. 3. Характеристическое уравнение системы ЛОУ имеет вид где а параметр для ЛОУ по состоянию. В результате спектральное условие устойчивости оператора ЛОУ имеет вид Доказательство использует уравнение (1), а также на проекцию на линейное многообразие, задающее модель (1) в форме с вектором . Тогда линейное многообразие задает (1) с матрицей Фробениуса. На основе (2), (6), (8) оператор ЛОУ где матрицы оператора определены равенствами Матрица тогда управление (6) для формируется индукцией по размеру вектора, равного . База индукции: для скалярное ЛОУ имеет вид Для случая скалярное управление линейной системы ЛОУ (6) примет вид Тогда оператор системы локально оптимального управления с линейной обратной связью типа (5), имеющий вид при условии представляется в матричной форме Фробениусова матрица объекта определяет оператор системы (5) при Структура задает характеристический полином (7). Оператор для системы с обратной связью формируется сс помощью матриц и заданы равенствами Тогда оператор линейной системы ЛОУ для имеет матрицу Таким образом, база индукции для синтеза структуры линейного оператора системы ЛОУ для параметра доказана. Продолжение доказательства по индукции для и закона (2.а) представляет оператор ЛОУ в виде где матрица этого линейного проекционного оператора примет вид Далее доказано, что в операторе ЛОУ с обратной связью по состоянию типа (6) матрица задается равенством Фробениусова форма матрицы системы с обратной связью равна Фробениусова матрица оператора системы с обратной связью определяет характеристический полином типа (7). На данном этапе в Этим доказана база индукции для системы ЛОУ с обратной связью по состоянию (6). Индукционный переход обобщает структуры матриц системы ЛОУ введением матрицы Тогда вектор управления для В результате линейный оператор ЛОУ примет вид Из доказанного выше следует, что для векторного случая управления по состоянию матрица при а управление имеет вид Таким образом, метод синтеза определяет параметры обратной связи для оператора системы ЛОУ на основе характеристического полинома системы. Для управлений на основе «взвешенных» компонент вектора состояний линейные операторы допускают обобщения для квадратичных функционалов общего вида. При синтезе систем ЛОУ с интервальными ограничениями на параметры объекта для моделей данного раздела можно использовать теоремы проф. В.Л. Харитонова, например, для анализа интервальной устойчивости линейных систем ЛОУ. 3. К устойчивости линейных разностных операторов систем с динамическими законами ЛОУ. Пусть оператор линейной системы ЛОУ с дискретным динамическим регулятором имеет вид где приращения векторов локально оптимальных управлений равны Тогда для суммарного скалярного управления и фробениусовой матрицы объекта матрица оператора линейной системы ЛОУ равна Таким образом, разностный оператор системы ЛОУ с обратной связью имеет вид а характеристическое уравнение системы суммарным законом представляется в форме 4.Синтез линейных локально оптимальных систем стабилизации программных движений. Результаты п. 2.3 позволяют получить решение задачи: вычислить вектор Нетрудно видеть, что решение данной частной задачи оптимизации позволяет синтезировать локально оптимальное управление для стабилизации программных движений, заданных программным вектором При этом справедливы все соотношения для синтеза управлений, полученные в п. 2 данного раздела. Поэтому уравнение системы локально оптимальной стабилизации программных движений с обратной связью примет вид где вектор управлений формируется управление в функции программного вектора и вектора отклонений координат состояния от положения равновесия. Данная задача оптимизации может быть обобщена для аппроксимации динамики в пространстве с конечным временем прогнозов состояний или выходов (см. п. 3.5). В результате исследования показано, что уравнения линейных систем с операторами ЛОУ следуют из (3.1.16). Условия устойчивости линейных операторов систем ЛОУ (5), (6) дополняют результаты, полученные в [16, 17]. При этом должен быть выполнены ранговый критерий управляемости, устойчивости и минимальной фазовости линейных разностных уравнений динамического объекта. Таким образом, на основе проекционного метода для локально оптимальных систем стабилизации положения равновесия и программного движения с управляемыми по Р. Калману объектами определены характеристические полиномы замкнутых систем с учетом факторизации в проекционном методе пространства «координат-управлений» на многообразие (подпространство) и ортогональное дополнение к нему. Выводы: 1. Спектральные условия устойчивости линейных систем ЛОУ для управляемых по Р. Калману объектов сформированы методом индукции по размеру для разностных операторов и характеристических полиномов систем управления с обратной связью. 2. Аналитическая структура матриц разностных операторов систем ЛОУ позволяет качественно исследовать спектральные условия сжатия. 3. Характеристические полиномы замкнутых систем получены с учетом факторизации в проекционном методе пространства «координат-управлений» на многообразие и ортогональное дополнение к нему. 4. Методика обобщается в п. 3.5 естественным образом для синтеза интервально оптимальных управлений с «конечным горизонтом планирования» динамики системы в аппроксимации пространства , не используя процедуру решения уравнения Риккати. Вопросы: 1. Критерий управляемости по Р. Калману: определение управляемости, формулировка, сущность по смыслу, назначение и др. Пример неуправляемой системы вида: -эта система не управляема по управлениям и . 2. Основные этапы доказательства по индукции утверждения теоремы. Приведите примеры вычислений оператора системы ЛОУ в пространстве и 3. Сформулируйте пример системы локально оптимальной системы управления программным движением. «ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ» ЛЕКЦИЯ-7: 06.05.2020 на тему РАЗДЕЛ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ ПО КООРДИНАЦИИ ДВИЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ (продолжение) тЕМА: УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ЛОКАЛЬНО ДОПУСТИМЫМИ УПРАВЛЕНИЯМИ ДЛЯ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ ОБЪЕКТОВ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ НА ОСНОВЕ ЛОКАЛЬНО ДОПУСТИМЫХ УПРАВЛЕНИЙ Литература: 1. В.Н. Козлов «Проекционный метод синтеза ограниченных оптимальных управлений динамических систем энергетики». Изд-во Санкт-Петербургского Политехн. ун-та. СПб.: 2019.- 190 с. 2. Козлов В.Н. Негладкие системы, операторы оптимизации и устойчивость энергообъединений. Изд-во Санкт-Петербургского Политехн. ун-та. СПб.: 2019.- 160 с. 3. Козлов В.Н., Куприянов В.Е. Вычислительные методы синтеза САУ. Изд-во Ленингр. ун-та им. А.А. Жданова. Л.: 1989.- 190 с. 3. Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Теория автоматического управления. Изд-во СПбПУ. Сб.: 2007. 170 с. 4. Козлов В.Н., Ефремов А.А. Введение в Функцио-нальный анализ. СП. изд-во спбпу.2018.-80 С. Синтез нелинейных систем стабилизации программных движений выполнен на основе моделей с проекционными операторами локально допустимых (ЛДУ) и локально оптимальных (ЛОУ) управлений. Сходимость и условия сжатия операторов систем данного класса исследованы в евклидовом пространстве. Счетные последовательности образов нелинейных разностных операторов систем определяются нелинейными моделями, а также линейными моделями, введенными на прошлой лекции. Операторы систем учитывают нелинейности объекта и нелинейные особенности проекционных управлений. Устойчивость операторов исследуются на основе принципа сжимающих отображений, адекватных системам управления с адекватными проекционными проекторами для управлений. Полученные на первом этапе условия устойчивости операторов линейных систем ЛОУ (п. 3.2) определяют «запасы устойчивости», используемые при синтезе корректных нелинейных систем. На втором этапе исследуется устойчивость нелинейных систем ЛДУ и ЛОУ с вычислительной регуляризацией операторов управления. Регуляризация обеспечивает корректность операторов управления при различных состояниях объекта. В управлении также используются уравнения стационарных состояний объекта. Евклидова метрика для оценки норм возмущенного движения систем вычислена на основе разностных и стационарных уравнений. Условия устойчивости как условия сжатия разностных операторов систем ЛДУ и ЛОУ в областях притяжения учитывают смешанные ограничения-неравенства на координаты и управления. Для исследования устойчивости применяются элементы методов анализа операторных уравнений в банаховых пространствах [1, 2], представленные ранее. Как было отмечено, условия сжатия используют «запасы устойчивости» уравнений объекта или линейных частей операторов управления [1, 2]. При этом «обобщенные запасы устойчивости» включают «запасы объекта» или «запасы объекта и линейной части оператора управления». Устойчивость систем анализируется для операторов, которые реализуют статические законы управления. Единственные стационарные управления систем ЛДУ и ЛОУ принадлежат окрестности вектора определенного с учетом «фильтрующей матрицей» управлений. Состояния достижимы при наличии ресурсов управлений, определяющих общие для ЛДУ и ЛОУ «счетные условия совместности ограничений». Условия сжатия доказывают существование стабилизирующих управлений. Определение 1. Решение задачи Коши для операторов (3.1.19) и (3.1.20) является устойчивым (сходящимся) в некотором шаре D – области притяжения, если выполнены условия Определение 2. Решение задачи Коши для разностных операторов (3.1.19), (3.1.20) является асимптотически устойчивым (асимптотически сходящимся) в некотором шаре D, если выполнено условие Выпуклая комбинация классических «граничных экстремальных векторов» и с «параметром допустимости» в (1) и в силу (18) – (20) из п. 3.1 [1, 2], при одношаговом прогнозе и фильтрующей матрице задает счетное семейство векторов локально-допустимых управлений (ЛДУ) где граничные векторы как решения задач классической оптимизации Тогда модель системы с локально допустимыми управлениями (ЛДУ) типа (1.а) представлена задачей Коши с нелинейным объектом, где «параметр допустимости» ограничен «функция ограничений» для координат Оператор задает ограничения на управления, вносимые нелинейностями объекта, которые учтены при синтезе. Граничные (лагранжевы) векторы минимума и векторы максимума для функционала принадлежат пересечению линейного многообразия и сферы (п. 2.3). Вектор локально допустимых управлений в (1) формирует управления при нежестком учете ограничений на управления целевым вектором или а «функция ограничений» для координат равна 2. Модель системы локально оптимального управления (ЛОУ) с «функцией оптимальности» реализует минимальные отклонения выходов и управлений от вектора с «функцией ограничений» которая для координат состояний учтена в задаче Коши где а область область притяжения системы (2). В силу п. 2.2 для разностного оператора дискретной системы ЛОУ «функция оптимальности» определена проекцией на интервал [0, 1] прямой, принадлежащей счетному семейству пар граничных элементов для задач оптимизации, решаемых в реальном времени. Как отмечалось, «функция оптимальности» для оператора системы ЛОУ учитывает смешанные ограничения координат и управлений на основе одношагового прогноза. Для корректности управлений в (1) – (2) требуется отделимость от нуля вектора функционала, т. е. С может не быть нулевым вектором, а весьма малым по норме (длине) для задачи стабилизации программных движений, что очевидно следует из разностного оператора. Свойства «функции ограничения» параметров операторов (1) – (2) исследованы в лемме. Лемма 1. Пусть «функция ограничения» для систем ЛДУ и ЛОУ: заданная в (1), (2) и (4) суперпозициями квадратного корня, преобразо- вания сдвига, квадратичной формой и оператором проекции элемента на интервал корректно определена. При этом структура векторов определяются моделью объекта и законом управления в функции векторов состояния или выходных координат так, что Тогда образ кусочно-линейного проектора ограничивает квадратичную форму интервалом в (5.а), где проектор реализует неотрицательность аргумента для квадратного корня. Лемма 1 доказана. Эта лемма, используемая при анализе условий сжатия разностных операторов (8.а) и (8.б), определяет условия устойчивости систем при смешанных ограничениях на координаты и управления. Условия устойчивости разностных операторов дискретных систем локально допустимого управления. Оператор ЛДУ синтезируется с учетом ограничений на переменные на основе модели [48] где параметры модели и объекта совпадают, и могут быть заданы в произвольной форме или в форме Фробениуса так, что Как отмечено в п. 3.1, модель объекта (6) учитывается линейным многообразием, а ограничения – шарами, аппроксимирующими гиперкуб в проекционных операторах ЛДУ и ЛОУ. Определение 3. Оператор ЛДУ с регуляризацией (7.а) вида с числовым «параметром допустимости» или оператор ЛОУ с регуляризацией (7.б) вида с функциональным «параметром допустимости» и общей «функцией ограничения» определяют оператор управления ЛДУ с обратной связью и оператор управления ЛОУ с обратной связью Параметры и проекционные операторы имеют вид «Функция ограничения» для операторов (7.а) и (7.б) равны Лемма 2. Оператор (7), (8) обладает свойствами: 1). «Параметр допустимости» регуляризованный кусочно-линейным проектором реализует «включение»: как образ проектора для задает допустимый вектор управлений на основе выпуклости линейной комбинации граничных векторов. Параметр определяет интенсивность обратной связи. 2). Кусочно-линейный проектор типа (5.б) в силу п. 2 леммы 1 обеспечивает регулярность «функции ограничения» реализует ограниченное «включение» где в (5.а) и (5.б) Тогда функция квадратного корня с регуляризацией для операторов ЛДУ и ЛОУ имеет вид где функция квадратного корня, корректно определенная равенством и удовлетворяет условию Липшица. Доказательство п. 1 леммы 2 следует из определения выпуклой комбинации векторов в силу кусочно-линейного проектора для учета ограничения Доказательство п. 2 леммы 2 следует из комментариев, данных выше, поясняющих последовательные вычисления постоянных Липшица по аргументу для функции а затем – для проектора При этом отделено от нуля значений поэтому существует Лемма 2 доказана. Лемма 3. Пусть управления для состояний и систем ЛДУ и ЛОУ определены в (7), (8), где «функции ограничения» имеют вид Тогда для «функций ограничения», общей для операторов систем ЛДУ и ЛОУ, имеют место оценки где постоянные Липшица для функции «квадратного корня» и кусочно-линейного проектора, соответственно. Доказательство. Оценки Липшица в левой части (9) имеют следующий вид где аргументы функции соответственно, и постоянные Липшица для функции и проектора, используемого в этой функции для регуляризации квадратного корня (см. ранее). В силу известного неравенства в силу оценок оценок неравенства Коши-Буняковского следует неравенство При этом выполнены следующие неравенства Лемма 3 доказана. Следующая лемма справедлива для гильбертова пространства [1, т. 1, с. 8], однако далее в книге она используется в евклидовом пространстве. Лемма 4. Норма суммы двух векторов в евклидовом пространстве удовлетворяет неравенству треугольника для норм Доказательство. Квадрат евклидовой нормы можно представить равенством а из неравенства Коши-Буняковского: следует очевидная оценка из которой следует утверждение леммы. Лемма 4 доказана. Следствие. Из леммы 4 методом математической индукции по числу слагаемых в левой сумме можно доказать неравенство Далее доказаны условия сжатия и вычислены параметры ограниченных управлений систем ЛДУ в евклидовом пространстве. Утверждение 1. Пусть выполнены условия: 1). Динамика и стационарные состояния системы ЛДУ описываются разностным (8.а) и стационарным операторами типа (8.б): 2). Разностный оператор с регуляризацией (10.а) удовлетворяет определению (7.а) и леммам 2 и 4. 3).Линейный объект управления устойчивый, т.е. 4). Выполнены условия: Тогда имеют место следующие утверждения: 1). Для устойчивости нелинейной системы ЛОУ достаточно, чтобы оценка параметра сжатия разностного оператора (10.а) удовлетворял неравенству где параметры (11) даны в леммах 1-3. и выполнены условия Доказательство следует из оценки евклидовой нормы разности числовых векторов состояний где задан в (10.а), а вектор в – (10.б). Тогда в силу леммы 4 и (10) оценки метрики принимают вид где параметры операторов удовлетворяют условиям Нормы разности нелинейных операторов по условию Липшица определяют оценки метрики неравенством Тогда норма разности операторов в (12) оценивается следующим неравенством В силу леммы 3, соотношения (9.б), условия Липшица для данного выше, оценка модуля разности примет вид С учетом неравенства треугольника норма разности операторов в (11) оценивается неравенствами Тогда из оценки метрик (14) следует ограничение (11) на «оценку параметра сжатия» для разностного оператора системы ЛДУ. Из условий (13) и (14) следуют ограничения (11) на величину параметра обратной связи. Утверждение 1 доказано. Далее рассмотрено условие устойчивости для линейного разностного оператора и нелинейного оператора системы ЛДУ. Утверждение 2. Пусть выполнены условия: Линейный разностный оператор системы ЛДУ (10.а), имеющий вид учитывает линейный объект и линейную часть оператора ЛДУ. 2. Нелинейный оператор системы ЛДУ задан равенством где функции и параметры в (13.а) и (13.б), следующие из п. 3.1, равны: Для анализа устойчивости линейной части оператора (13.а) можно использовать спектральный критерий, доказанный в п. 3.2. Тогда достаточные условия устойчивости как ограничения оценок параметров сжатия операторов (13.а) и (13.б) имеют вид Тогда из (14.б) следует ограничение на параметр обратной связи Доказательство утверждения 2 содержит две части. 1). Анализ устойчивости разностного оператора (13.а) использует линейность оператора и условие его сжатия в виде где в силу устойчивости объекта норма его матрицы ограничена: Тогда из (15) следует достаточное условие устойчивости оператора линейной системы ЛОУ (13.а) в виде условия (14.а). 2). Условие (14.б) для нелинейного оператора системы использует «запас устойчивости» который вычислен в соответствии с [12] для линейной части нелинейного разностного оператора. Доказательство устойчивости этого оператора основано на непустом пересечении шара (9.в) и линейного многообразия Для оператора (13.б) исследуется устойчивость решения, заданного вектором стационарного состояния для которого при ограничениях на «составной вектор» справедливо соответствующее уравнение стационарного состояния Вычитание (16) из уравнения (13.б) определяет для отклонений вектора координат от стационарного состояния соответствующее разностное уравнение где «параметр допустимости» и вектор заданы с учетом (13.б), и постоянной Липшица Оценки нормы разности векторов переходных и стационарных состояний системы имеют вид где оценка модуля разности в (17) дана леммой 3, а параметры определены равенствами Таким образом, полученные оценки метрики определяют для оператора системы ЛДУ (13.б) ограничение (14.б) на параметр сжатия. При этом величина определяет «запас устойчивости по норме», заданный этим оператором. Утверждение 2 доказано. ПРИЛОЖЕНИЕ. АЛГОРИТМ СИНТЕЗА ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ АВТОМОБИЛЯ: ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ По дисциплине «ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ» 06.05.2020 ТЕМА: программирование маршрутов движения беспилотных автомобилей на прямой и плоскости ПРОГРАММИРОВАНИЕ МАРШРУТОВ ВОЗМОЖНО РАЗЛИЧНЫМИ СПОСОБАМИ. На занятии рассматривается один из вариантов решения задачи без учета ограничений на координаты и управления. В этом случае для синтеза управлений далее используется наиболее простой проектор, изученный на лекциях. Ограничения могут быть заданы дополнительными «условиями различия положений», например, дополнив исходную модель (1) «дополнительными условиями, например, заданным расстоянием между автомобилями, причем это требование должно быть записана в ограничениях задачи оптимизации управлений. Эти условия могут быть реализованы математическим программированием «сдвигов по положению», предусмотрев их путем корректировки программного движения по продольным и боковым положениям АМ. Для этого можно математически программировать «СДВИГИ ПОЛОЖЕНИЙ АМ». Метод решения задачи синтеза систем программной стабилизации для отдельного АМ. Этот метод рассмотрен далее по шагам. Шаг 0: для описания движения группы АМ можно сформировать расширенную матрицу операции, в которой будут на диагоналях матриц представлены модели (уравнения) всех автомобилей, которые не связаны между собой с учетом того, что матрицы H и F будут расположены на диагонали. Итак, матрицы H и F – для различных АМ будут расположены на диагонали общей матрицы моделей, т.е. В уравнения (1) введены управляющие воздействия, обеспечивающие движение, т.е. возможность изменения координат всех автомобилей за счет воздействия управлений на АМ. Функционал задачи может иметь стандартный вид квадрата нормы евклидова пространства Будем решать задачу на основе поэтапного усложнения. Для этого начнем с простых задач, усложняющихся постепенно по шагам. Шаг 1: разделение модели группы АМ на модели отдельных АМ. Тогда группа автомобилей будет описана, например, по продольной оси X отдельными уравнениями состояния. Другими словами, модель (1) на первом этапе можно разделить на несколько частей. После разделения моделей динамика « i-го» автомобиля будет описана, например, по продольной оси X одномерными уравнениями «вход-состояния» где подвекторы состояний имеют единичный размер для простоты. В случае необходимости можно использовать модель «вход-состояние-выход» . Шаг 2. Тогда в одномерном пространстве можно привести простой пример модели (без матриц, вместо которых имеются числа) вида Шаг 3. Рассмотрим пример модели АМ в двумерном пространстве Поэтому можно рассматривать эту модель как содержащую две координаты состояния, описывающие движение АМ по продольной оси, т.е. «ВПЕРЕД ИЛИ НАЗАД», а также динамику бокового движения АМ, т.е. «НАЛЕВО ИЛИ НАПРАВО». Шаг 4: в общем случае модель состояний АМ как объекта системы управления может быть описано разностным уравнением где подвекторы состояний имеют конечный размер. Шаг 5: поскольку в модели, данной выше, определены все компоненты вектора оптимальных управлений, а также квадратичный функционал типа «евклидовой нормы», то можно вычислить вектор управления с помощью известного из лекций проекционного оператора оптимизации общего вида Параметры оптимального оператора заданы равенствами Шаг 6: на первом этапе для простоты синтеза с учетом отсутствия ограничений-неравенств на координаты и управления можно использовать более простой проектор (также см. лекции), который имеет вид В результате «вектор или скаляр управления» требуется выделить из «составного вектора», что показано соотношениями Шаг 7: ЗАДАВАЯ РАЗЛИЧНЫЕ ВЕКТОРЫ УПРАВЛЕНИЯ МОЖНО ФОРМИРОВАТЬ РАЗЛИЧНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ВЕЛИЧИНЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ АВТОМОБИЛЯ ПО ОДНОЙ КООРДИНАТЕ, УВЕЛИЧИВАЯ ИЛИ УМЕНЬШАЯ ЧТОБЫ НАПРИМЕР, ЗАДАНИЯ ВЕКТОРОМ могут соответствовать движению «Вперед» или «назад» (по знаку приращения) ПО ПРОДОЛЬНОЙ ИЛИ БОКОВОЙ КООРДИНАТАМ. Для организации движения НА ПЛОСКОСТИ требуется ввести две координаты, движение по которым организуется аналогично. Можно далее увеличивать количество координат до трех, вводить ограничения и формировать требуемые траектории движения с помощью синтезированных управлений с учетом или без учета ограничений-неравенств. Таким образом, модель (1) на первом этапе разделена на несколько моделей. Тогда группа автомобилей будет описана, НАПРИМЕР, по продольной оси X уравнениями состояния с учетом начального положения и задания по программных управлений для движений, которые могут иметь вид В этой модели мы ввели программное движение поэтому управление имеет вид в силу которого автомобиль будет иметь изменяющуюся координату по оси Х, что соответствует движению по этой оси. Вариант 1 организации движения АМ по единому координирующему сигналу. Программное движение ведущего автомобиля (АМ) можно задать вектором С для случая плоского перемещения автомобилей. Далее можно координировать движение ведомых АМ путем передачи этого вектора всем или части ведомых АМ. Тогда задача управления будет состоять в обеспечении движения всех АМ по заданному маршруту с сохранением дистанций между ними. На первом этапе можно решить задачу движения одиночного автомобиля по прямой вдоль оси X. Тогда модель движения примет вид Вариант 2 организации движения группы БПАМ по траектории предыдущего автомобиля. Другими словами, этот вариант стабилизации АМ на основе применения в качестве программного вектора С в алгоритме траекторий предыдущих автомобилей. Эти две простые задачи могут иметь решение на основе проекционного оператора. При этом возникает вопрос: каким образом выполнить программирование движений и обеспечить движения всех участников свойством устойчивости. Последнее свойство требует применения такого метода и алгоритма, которые гарантируют устойчивость программных движений. Анализ проекционного метода и алгоритма показывает, что для описания программного и относительного движений можно использовать линейное многообразие, в которое можно «погружать» математические модели участников – АМ. Замечание. Сформулировав принцип программирования динамики с помощью матрицы А, размеры которой по строкам и столбцам могут быть выбраны достаточно большими в соответствии с требованиями задач управления. Тогда в эту матрицу можно «погрузить» модели динамики различных объектов, в том числе и модели всех АМ. Индивидуальные задания для студентов : синтезировать управления ДЛЯ ДВИЖЕНИЯ АМ «ВПЕРЕД» И «НАЗАД» ОТНОСИТЕЛЬНО НАЧАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ В СООТВЕТСТИИ С ПРИВЕДЕННЫМ АЛГОРИТМОМ И построить ГРАФИК ДВИЖЕНИЯ ПО ОДНОЙ КООРДИНАТЕ. ВСЕ ПАРАМЕТРЫ АМ МОЖНО СВЯЗАТЬ С НОМЕРОМ СТУДЕНТА ПО ГРУППОВОМУ ЖУРНАЛУ. Объект должен быть устойчивым. Рекомендации см. на след странице. Методические рекомендации к домашнему заданию Задавая Модель объекта ЗАДАЕТСЯ с помощью линейного многообразия. Мы можем ТАКЖЕ задать в этом многообразии требования к движению двух автомобилей для обеспечения «нестолкновений». Другими словами – в этом же многообразии мы можем задать «требования к дистанции между АМ по продольному и боковому движению в соответствующих уравнениях». Другими словами – мы должны математически (а не на языках программирования) запрограммировать такое движение, чтобы центры или границы автомобилей отличались на постоянный сдвиг. Как это сделать? – Ответ: если наш АМ имеет координату а чужой АМ – координату то условие «нестолкновения» (дистанции) будет иметь вид Для выполнения условия «дистанции» требуется в этой формуле иметь вектор Тогда для «нестолкновения» надо объединить эти уравнения. Тогда новое мноообразие будет иметь вид Вывод: для обеспечения «дистанции» можно использовать математическое программирование для положений автомобилей на основе их моделей движения. Задание: сформулировать ограничения задачи математического программирования «о безопасности движения»и соответствующую задачу для ее решения проекционным квазианалитическим методом. Объекты-АМ должны быть устойчивыми, т.е. УКАЗАНИЕ: пусть скорости автомобилей описываются уравнениями для «состояний и выходов» так, что ЛЕКЦИЯ И ПРАКТИКА По дисциплине «ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ» 13.05.2020 ТЕМА: ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ. 1. Введение и постановки задач синтеза. Рассмотрены элементы подходов к решению двух задач синтеза программных и стабилизирующих управлений для нескольких объектов. К объектам управления могут относиться энергосистемы, механизмы, элементы систем сборки, автомобили и др.): Задача 1: вычислить управления для стабилизации программных движений для отдельных объектов группы, обеспечивающих безопасность программного движения с учетом нелинейных ограничений на координаты и управления. Задача 2 состоит в синтезе управлений для стабилизации опасных программных движений группы объектов без учета нелинейных ограничений на координаты и управления. Синтез (вычисление) управлений будет выполнен с помощью проекционных операторов оптимизации двух типов. Синтез управлений в этих задачах выполнен при выполнении следующих условиях: а). Математические модели объектов заданы в виде разностных операторов. б) Заданы программные управления движения объектов как функции времени вектором , обеспечивающие безопасность движения всей группы. 2. Метод решения задачи 1. Синтез автономных управлений основан на математических моделях движения совокупности объектов с учетом ограничений на координаты и управления каждого объекта системы. Вычисление управлений может быть реализовано в автономном режиме с помощью проекционных операторов. Этот метод рассмотрен ранее, и, как отмечено ранее, позволяет вычислить управления для стабилизации движений совокупности объектов, которые далее описываются линейными или локально линеаризованными разностными операторами Для нескольких объектов модель операции управления можно представить в матричной форме, которая для трех объектов иллюстрируется уравнением линейного многообразия Нелинейный оператор для совокупности автономных объектов формируется как решение экстремальной задачи: вычислить вектор, доставляющий минимум функционалу в виде квадрата нормы евклидова пространства где составной вектор, включающий прогнозы координат состояний и управлений имеет вид где заданные программные движения для группы объектов, которые должны быть стабилизированы на траекториях движущихся объектов. Нелинейный проекционный оператор, введенный ранее, имеет вид где проектор на линейное многообразие равен Проектор на ортогональное дополнение к линейному многообразию, равный определяет оптимальное решение в виде составного вектора в соотношениях для нелинейного проекционного оператора (3). Таким образом, равенства (3) определяют метод вычисления совокупности автономных управлений для объектов с заданными программными безопасными движениями с точки зрения «несовпадения траекторий». Предполагается, что последнее условие гарантирует заданные безопасные расстояния между центрами масс для всех движущихся объектов. При этом должны быть выполнены условия устойчивости на этом на этом движении в силу условий, сформулированных ранее. 3. Метод решения задачи 2 при ограничениях на координаты и управления. Решение задачи 2 как задачи синтеза управлений для стабилизации программных управлений с учетом ограничений на координаты и управления будет получено на основе аффинного проекционного оператора, учитывающего положения объектов. При этом модель движущейся системы объектов должна определять динамику всех движущихся объектов. «Ограничения на положения» могут быть заданы различными способами. Один из способов реализует прямое задание «условий несовпадения маршрутов» объектов с помощью дополнительных ограничений-равенств, задающих дистанции между объектами. Для этого требуется дополнение модели типа (1) с помощью введения «ограничений-равенств» на относительное положение». Возможны другие способы ограничений, которые задают «менее жесткие» алгебраические ограничения-неравенства. Однако это усложняет задачу управления. Далее рассмотрены обобщенные формулировки задач вычисления оптимальных управлений для группы динамических объектов, которые описываются «линейными уравнениями моделей объектов», дополненные учетом линейных «ограничений на положения» объектов координируемой группы. Таким образом, «ограничения по положениям» для совокупности объектов могут быть реализованы математическим программированием указанных требований за счет введения «заданных сдвигов для положений». Эти «требования по положениям» естественным образом должны корректировать программные движения рассматриваемых динамических объектов. В результате реализации перечисленных выше требований на первом этапе можно сформулировать исходную модель для централизованного управления динамикой группы из 4-х динамических объектов, к которой далее будет введены ограничения на относительные положения объектов. При этом исходная модель группы динамических объектов имеет вид, представленный ниже. В этой модели должны быть учтены модели четырех несвязанных динамических объекта, описанных линейными разностными операторами. МОДЕЛЬ ГРУППЫ ИЗ 4-Х ОБЪЕКТОВ определена разностными уравнениями и представлена алгебраической системой состоящей из линейных разностных уравнений отдельных объектов управления как неизменяемой части системы управления: Далее представлена модель «жесткой координации» для прогнозов векторов состояний объектов на основе введения дополнительных точных равенств для гарантии несовпадения центров масс движущихся динамических объектов. При этом векторный характер ограничений позволяет реализовать векторную координацию по расстояниям между объектами, допуская реализацию пространственных «гарантируемых расстояний» между центрами масс объектов в жесткой форме. Соответствующие дополнительные ограничения на положения объектов как дополнительный блок ограничений задачи синтеза к ограничениям, реализующим модели объектов представлены далее и имеют вид При этом нелинейный проекционный оператор управления имеет следующий вид где параметры проекционного оператора определены ранее, а вычисления вектора выполняется в соответствии с алгоритмом и примером. Условия устойчивости рассмотренных систем координированного управления динамикой группы объектов исследуются на основе известной методики. Общая структура ограничений, учитывающих модель группы объектов и «координирующие ограничения, а также два варианта проекционных операторов управления имеет вид, приведенный далее. Таким образом, приведенные результаты иллюстрируют математические модели, которые определяют ограничения задач оптимизации для вычисления оптимальных управлений Примеры решения задач. Дополнения, комментарии и алгоритмы к вариантам задачи синтеза, необходимые для корректной формализации задач вычисления управлений Дополнительные сведения для синтеза рассматриваемого класса систем стабилизации программных движений могут включать ОГРАНИЧЕНИЯ по продольным и боковым положениям АМ. Для этого можно математически задать (запрограммировать) «СДВИГИ ПОЛОЖЕНИЙ между АМ». Эти ограничения, как и выше, будут введены для анализа вариантов формулировки задачи при некоторых типовых программах движения. Предупреждение ошибок: введение дополнительных требований не должно искажать исходную модель объекта управления. Поэтому дополнительные требования по дистанциям между объектами должны задаваться в виде дополнительных ограничений- равенств, которые должны включать требования к положениям, и не искажать модели объектов как неизменяемой части системы. Метод и алгоритм решения задачи синтеза системы стабилизации программных движений для отдельных АМ. Этот метод рассмотрен далее по шагам. Шаг 0: для описания движения группы АМ можно сформировать расширенную матрицу операций, в которой будут на диагоналях матриц представлены модели (уравнения) всех автомобилей, которые не связаны между собой по условиям задачи, что обеспечено положениями матриц объекта типа H и F на диагонали. Итак, матрицы H и F – для различных АМ будут расположены на диагонали В рамках таких ограничений можно программировать движения многих объектов. В уравнения (1) введены стабилизируемые программные воздействия где «i»- номер объекта, а также дополнительные управляющие воздействия на объекты в виде приращений , обеспечивающие «дистанцию для центров масс объектов движения». Функционал качества для задачи имеет стандартный вид квадрата нормы евклидова пространства Будем решать задачу на основе поэтапного усложнения. Для этого начнем с простых задач, усложняющихся постепенно по шагам. Шаг 1: разделение модели группы АМ на модели отдельных АМ. Тогда группа автомобилей будет описана, например, по продольной оси X отдельными уравнениями состояния. Другими словами, модель (1) на первом этапе можно разделить на несколько частей. После разделения моделей динамика «i-го» автомобиля будет описана, например, по продольной оси X одномерным уравнением «вход-состояния» где подвекторы состояний имеют единичный размер для простоты. В случае необходимости можно использовать модель «вход-состояние-выход», которая представлена соответствующими уравнениями Шаг 2. Тогда в одномерном пространстве можно привести простой пример модели без матриц, вместо которых заданы числа – матрицы первого порядка как предельно простые одномерные матрицы, задающие модели Шаг 3. Рассмотрим модели АМ в двумерном пространстве, где выделены уравнения продольного и бокового движений, имеющие вид Поэтому можно рассматривать эту модель как содержащую две координаты состояния, где координата описывающие движение АМ по продольной оси, т.е. «координату движения «ВПЕРЕД-НАЗАД», т.е. боковую координату «налево-направо» относительно начала координат, а также динамику бокового движения АМ, т.е. координату движения «НАЛЕВО ИЛИ НАПРАВО». Шаг 4: в общем случае модель состояний АМ как объекта системы управления может быть описана разностным уравнением где подвекторы состояний имеют конечный размер. Шаг 5: поскольку в модели, данной выше, определены все компоненты вектора оптимальных управлений, а также квадратичный функционал типа «евклидовой нормы», то можно вычислить вектор управления с помощью известного из лекций проекционного оператора оптимизации общего вида Параметры оптимального оператора заданы равенствами Шаг 6: на первом этапе для простоты синтеза с учетом отсутствия ограничений-неравенств на координаты и управления можно использовать более простой проектор (также см. лекции), который имеет вид Шаг 7 посвящен исследованию задачи управления № 2: на первом этапе исследования для понимания процессов, которые может описывать модель объекта, далее приведены примеры исследования динамики процессов для простейших управлений. Как отмечено ранее, для этого «вектор или скаляр управлений» требуется выделить из «составного вектора», что показано соотношениями ЗАДАВАЯ РАЗЛИЧНЫЕ ВЕКТОРЫ УПРАВЛЕНИЯ МОЖНО ФОРМИРОВАТЬ РАЗЛИЧНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ВЕЛИЧИНЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ АВТОМОБИЛЯ ПО ОДНОЙ КООРДИНАТЕ, УВЕЛИЧИВАЯ ИЛИ УМЕНЬШАЯ вектор так, ЧТОБЫ НАПРИМЕР, ЗАДАНИЯ ВЕКТОРОМ могут соответствовать движению «Вперед», а значения - движению «назад» (по знаку приращения). Аналогичные управления существуют для движений ПО ПРОДОЛЬНОЙ ИЛИ БОКОВОЙ КООРДИНАТАМ. Для организации движения НА ПЛОСКОСТИ требуется ввести две координаты, движение по которым организуется аналогично. Можно далее увеличивать количество координат до трех, вводить ограничения и формировать требуемые траектории движения с помощью синтезированных управлений с учетом или без учета ограничений-неравенств. Таким образом, модель (1) на первом этапе разделена на несколько моделей. Тогда группа автомобилей будет описана, НАПРИМЕР, по продольной оси X уравнениями состояния с учетом начального положения и задания по программных управлений для движений, которые могут иметь вид В этой модели мы ввели программное движение поэтому управление имеет вид в силу которого автомобиль будет иметь изменяющуюся координату по оси Х, что соответствует движению по этой оси. Вариант 1 организации движения АМ по единому координирующему сигналу. Программное движение ведущего автомобиля (АМ) можно задать вектором С для случая плоского перемещения автомобилей. Далее можно координировать движение ведомых АМ путем передачи этого вектора всем или части ведомых АМ. Тогда задача управления будет состоять в обеспечении движения всех АМ по заданному маршруту с сохранением дистанций между ними. На первом этапе можно решить задачу движения одиночного автомобиля по прямой вдоль оси X. Тогда модель движения примет вид Вариант 2 организации движения группы БПАМ по траектории предыдущего автомобиля. Другими словами, этот вариант стабилизации АМ на основе применения в качестве программного вектора С в алгоритме траекторий предыдущих автомобилей. Эти две простые задачи могут иметь решение на основе проекционного оператора. При этом возникает вопрос: каким образом выполнить программирование движений и обеспечить движения всех участников свойством устойчивости. Последнее свойство требует применения такого метода и алгоритма, которые гарантируют устойчивость программных движений. Анализ проекционного метода и алгоритма показывает, что для описания программного и относительного движений можно использовать линейное многообразие, в которое можно «погружать» математические модели участников – АМ. Замечание. Сформулировав принцип программирования динамики с помощью матрицы А, размеры которой по строкам и столбцам могут быть выбраны достаточно большими в соответствии с требованиями задач управления. Тогда в эту матрицу можно «погрузить» модели динамики различных объектов, в том числе и модели всех АМ. Лекция 10 От 20.05.2020 ПО курсу «ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ» ТЕМА: ОПЕРАТОРЫ ЦИФРОВОЙ ДИНАМИКИ СИСТЕМ ОРГАНИЗАЦИОННОГО ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Литература 1. Первозванский А.А. Математические модели в управлении производством. М.: Наука. 1995.- 450 с. 2. Месарович М., Такахара С., Мако Д. Теория многоуровневых иерархических систем управления. М.: Наука. 1973. 3. Robert F. Stengel. Optimal control and estimations. Dover Publications. INC. Nev York. 1994. 4. Козлов В.Н. Проекционный метод синтеза ограниченных оптимальных управлений динамических систем энергетики. СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского Политехн. ун-та Петра Великого «ПОЛИТЕХ ПРЕСС». СПб. 2019. – 160 с. 5. Козлов В.Н. Негладкие системы, операторы оптимизации и устойчивость энергообъединений. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та. 2012.-170 с. В настоящее время актуальной задачей является создание цифровых моделей для описания динамики развития промышленности и экономики. В данной лекции сформулированы математические модели динамики развивающихся систем технического и организационного управления. Эти модели далее представлены в виде разностных нелинейных операторов оптимального управления. В связи с этим далее предложены канонические формулировки моделей и задач для синтеза оптимальных или допустимых управлений динамикой производства. Эти модели будут представлены совокупностью иерархических задач линейного программирования для математического задания стратегий цифрового управления, общая теория которых дана в [1 - 5]. Иерархические модели и стратегии могут быть реализованы на основе динамического программирования Р. Беллмана, принципа максимума Л.С. Понтрягина или методов математического программирования [3, 4], однако имеются ограничения на класс моделей, которые должны быть линейными. В данной работе предлагается иерархическая математическая программируемая среда, для которой в аналитической форме формируются управления, задающие оптимальные стратегии для различных уровней иерархии. Предполагаются различные уровни иерархии, однако изложение ведется с позиции управления предприятием с иллюстрацией внешней стратегии (требований по функционалу) как установочной в части функционала качества с возможностью моделей взаимодействия отдельных частей (производств). Эта стратегия может быть перенесена на уровень отраслей с соответствующими корректировками. Указанные задачи по стратегии управления предложено разрешать на основе проекционных операторов квазианалитического класса [3, 4]. 1. Постановки задач условной оптимизации для линейных функционалов. Пусть модели системы управления объектом управления в виде совокупности одно- или много продуктовых производств представлены обобщенным нелинейным разностным оператором где числовые матрицы: а координаты определяют количество создаваемых ресурсов, требуемых для создания одного или нескольких продуктов (изделий). Внутренние ограничения на ресурсы отдельных предприятий и управления учитываются нелинейными операторами Операторы управлений задают стратегии (алгоритмы) преобразования исходных ресурсов в модели результатов деятельности предприятий (отраслей) промышленности на основе оптимизации с помощью проекционных операторов. Операторы ограничений заданы координатными функциями интервальных ограничений вида учитывающими ресурсы кусочно-линейными функциями [2, 3] которые эквивалентны ограничениям-неравенствам на координаты и управления: Если для моделей производства многих продуктов динамика объекта управления описана моделью (1) с диагональными или блочно-диагональными матрицами то это соответствует несвязанным производствам (отраслей). При необходимости связывания линейных моделей процессов требуется ввести недиагональные элементы блочных матриц. Пример 1. Трехблочные разностные аффинные уравнения процессов с линейными аддитивными связями между функциями от координат состояний и аддитивными связями между управлениями для подпроцессов: Пример 2. Трехблочные разностные уравнения процессов с билинейными связями между координатами состояний и аддитивными связями между управлениями трех подпроцессов: При этом диагональные матрицы могут отражать различные уровни иерархии с учетом упомянутых выше ограничений и стратегий управления производством. В этом случае управляющие воздействия принимают соответствующий иерархический смысл. 2. Математическая модель динамики одно- или много продуктовых систем с проекционными операторами управления. С учетом сказанного выше система управления объектом для производства многих продуктов описывается разностными нелинейными уравнениями [3, 4] где матрицы в разностном нелинейном операторе системы (4) с учетом операторов ограничения ресурсов в объекте и в управлениях имеют вид Нелинейный «оператор ограничения» и «параметр оптимальности» используемые в проекционных операторах оптимизации будут определены далее. Оптимальный вектор , характеризует прогнозы произведенных продуктов и управлений , что определяет составной вектор используемый для вычисления оптимальных управлений. Вектор управлений минимизирует общий функционал стоимости с вектором «цен» на продукцию предприятий (отраслей) вида для стратегий производства, заданных операторами и управлениями, вычисленными с помощью проекционного оператора оптимизации [3, 4] откуда следует вектор управления В этом случае происходит «погружение задачи вычисления управлений» в «задачу конечномерной оптимизации». В формулировке задачи (5.а) интервальные ограничения типа параллелепипеда далее представляются эллипсоидом c параметрами, а множество Для аналитического решения задачи (5) с учетом замен переменных типа (6) и (7) используется замена переменных которая преобразует эллипсоид в шар евклидова пространства Это определяет вспомогательные задачи минимизации и максимизации, решения которых определяют граничные экстремальные векторы Лагранжа Задачи (10.а) и (10.б) можно решить на основе метода проекции градиента и необходимых и достаточных условий теоремы Куна-Таккера о седловой точке функции Лагранжа, в которой достигается минимум по основным переменным и максимум по двойственным переменным, т.е. по множителям Лагранжа. Далее синтезированы операторы оптимизации на основе необходимых условий Лагранжа и принципов «экстремальных граничных векторов», «сужения допустимой области» и «одномерной оптимизации» [4, 5]. 2. Метод вычисления управлений на основе проекционных операторов минимизации линейных функционалов. Для решения применены «классические необходимые условия Лагранжа» для задач (5). В результате определена аналитическая структура проекционных операторов при ограничениях в виде пересечения линейного многообразия и шара, включающего «граничные экстремальные элементы» как решения классических задач математического программирования. Граничные экстремальные элементы Ж. Лагранжа использованы для задания выпуклого «однопараметрического сужения допустимого множества» в виде пересечения линейного многообразия и сферы, что позволяет обобщить метод Лагранжа для неклассических задач условной минимизации функционалов или для задания допустимых решений. Таким образом, проекционный оператор решения задачи оптимизации отображает параметры функционала и ограничений в оптимальное решение. Свойства ортогональных проекторов на многообразия и подпространства конечномерных пространств заданы в утверждении [4, 5]. Утверждение. Пусть выполнены условия: 1. Невырожденные задачи условной оптимизации для линейных функционалов типа определены в (1.б), (1.в). Тогда для оптимальности решений этих задач необходимо и достаточно выполнение условий:3). В равенствах (11.а) и (11.б) использованы обозначения: 4). Оптимальные множители Лагранжа в (11.а) и (11.б), равные являются решениями квадратного уравнения 5). Ограничения задач (11.а), (11.б) совместны, если: Таким образом, цифровые математические модели могут использоваться для синтеза управляющих стратегий при управлении одно- и много продуктовыми системами. Ограничения типа равенств и неравенств можно использовать как программируемую математическую среду для задания моделей объекта и различных тактик рыночных стратегий, используемых при производстве продукции. Достаточные условия устойчивости могут быть получены на основе методов, изложенных в [4, 5], которые разработаны для задач управления с линейными или квадратичными функционалами. Литература 6. Первозванский А.А. Математические модели в управлении производством. М.: Наука. 1995.- 450 с. 7. Месарович М., Такахара С., Мако Д. Теория многоуровневых иерархических систем управления. М.: Наука. 1973. 8. Robert F. Stengel. Optimal control and estimations. Dover Publications. INC. Nev York. 1994. 9. Козлов В.Н. Проекционный метод синтеза ограниченных оптимальных управлений динамических систем энергетики. СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского Политехн. ун-та Петра Великого «ПОЛИТЕХ ПРЕСС». СПб. 2019. – 160 с. 10. Козлов В.Н. Негладкие системы, операторы оптимизации и устойчивость энергообъединений. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та. 2012.-170 с. ПРАКТИКА 8 ПО КУРСУ «ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ» 20.05.2020. Тема: программирование маршрутов движения беспилотных автомобилей на основе разностных уравнений динамики группы и операторов конечномерной оптимизации. Шаг 1: постановка задачи: имеется система управления тремя управляемыми АМ, динамика движения которой описана разностными нелинейными операторами управления (синий цвет) определяющими динамику системы с обратной связь по координатам состояния , что существенно сокращает проблемы анализа устойчивости. В связи с этим далее будет использовано «погружение» задачи синтеза управлений в задачу линейного программирования с вектором стоимости проезда в виде вектор-функция времени, а стоимость проезда равна длина пути. Шаг 2: математическая формулировки задачи о безопасном движении. Далее для формулировки задачи движения без столкновений требуется задать программу движения. Для этого воспользуемся «программируемой средой» в виде линейного многообразия . Таким образом, заданы требования к динамике объектов и условия «безопасного относительного движения». Шаг 3: вычислить траектории безопасного движения на заданном интервале при условии устойчивости матриц Н вида , используя результаты утверждения. Утверждение. Пусть выполнены условия: 1. Невырожденные задачи условной оптимизации для линейных функционалов типа определены в (1.б), (1.в). Тогда для оптимальности решений этих задач необходимо и достаточно выполнение условий: 3). В равенствах (11.а) и (11.б) использованы обозначения: 4). Оптимальные множители Лагранжа в (11.а) и (11.б), равные являются решениями квадратного уравнения 5). Ограничения задач (11.а), (11.б) совместны, если: