Некоторые основные приемы исследования устойчивости

2.3 Некоторые основные приемы исследования устойчивости 2.3.1 Устойчивость по начальным данным Простейшим примером разностной задачи для (2.2.9) может служить разностная схема Lh u(h) = f (h) :  n unm+1 − unm unm +1 − unm T   , n = 0,1,..., − , m      - 1, (2.3.1) (h )  L hu(h )   f  h   , m = 0,1,..., u0 ,  m  m Определим  U и  F : h нормы L hu(h ) = f (h ) . пространств h u(h ) Uh f (h ) = max max unm , n m Uh Fh Fh = max  m + max nm . Тогда условие устойчивости задачи (2.3.2) u(h )  C f (h ) Uh и (2.3.2) соответственно m Fh m,n , (2.3.3) примет вид T  max unm  Cmax  m + max nm  , для любого n = 0,1,...,  , (2.3.4) m m, n  m   где постоянная C  0 не зависит от h (и от  ,  = rh, r − константа). Условие (2.3.4) должно выполняться при произвольных  m и nm . В частности, для устойчивости необходимо, чтобы оно выполнялось при произвольных  m и nm  0 , т. е. чтобы решение задачи       unm+1 − unm unm +1 − unm T  − = 0 , n = 0,1,...,   - 1,   h    0 m = 0,1,..., um =  m , удовлетворяло условию m = 0,1,..., (2.3.5) T  max unm  C max um , для любого n = 0,1,...,  , (2.3.6) m m  = m . при произвольной ограниченной функции um Определение. Свойство (2.3.6), необходимое для устойчивости (2.3.4) задачи (2.3.2), называют устойчивостью задачи (2.3.2) относительно возмущения начальных данных. Оно означает, что возмущение u , m внесенное в начальные   данные задачи (2.3.2), вызовет возмущение unm решения задачи (2.3.2), которое в силу (2.3.6) не более чем в C раз превосходит возмущение начальных данных, причем C не зависит от h. 2.3.2 Необходимое спектральное условие устойчивости Для устойчивости задачи (2.3.2) по начальным данным необходимо, чтобы условие (2.3.6) выполнялось, в частности, если um есть какаянибудь гармоника: um = eim , m = 0,1,... , (2.3.7) где  – вещественный параметр. Решение разностной задачи (2.3.5) при начальном условие (2.3.7) имеет вид (2.3.8) unm = n eim , где  = ( ) определяется с помощью подстановки (2.3.8) в (2.3.5):   n+1eim − neim neimei − neim − = 0;  h i n im ( − 1) n im e − 1 . e = e  h Сократим обе части равенства на величину neim :     − 1 = ei − 1 и  = ( ) = 1 − + ei , h h h  а если r = , то h  = ( ) = 1 − r + rei  . ( ( ) ) Экскурс в теорию комплексного анализа: Рис. 2.3.1. Векторы на комплексной плоскости (2.3.9) Связь между экспоненциальной и тригонометрической формами комплексного числа: ei  = cos  + i sin ; e −i  = cos  − i sin ; ei m  = (cos  + i sin  )m = cos(m ) + i sin(m ) – формула Муавра; i2 = −1, i – мнимая единица,   R , R чисел. z = x + iy – множество вещественных координаты вектора на комплексной плоскости – алгебраическая форма комплексного числа (см. рис. 2.3.1); z = x − iy – сопряженный вектор (точка) к z на комплексной плоскости; 2 z = z  z – квадрат модуля (длины) вектора z; 2 z = z  z = ( x + iy )( x − iy ) = x 2 − xyi + xyi − i2 y 2 = x 2 + y 2 . Отметим. a  re i ,   R , – окружность на комплексной плоскости с центром в точке (а,0) и радиусом r. Выпишем некоторые «полезные соотношения»: ei + e −i cos  + i sin  + cos  − i sin  = = cos ; 2 2 ei − e − i cos  + i sin  − cos  + i sin  = = sin  ; 2i 2i ei − 2 + e − i cos  + i sin  − 2 + cos  − i sin  2(cos  − 1)  = = = − sin2 . 4 4 4 2 Для решения (2.3.8) справедливо равенство: max unm = ( ) max um . n m m Следовательно, для выполнения условия (2.3.6) необходимо, чтобы при всех вещественных  выполнялось неравенство n T  ( )  С, n = 1, 2 ,...,    или ( )  1 + C1 , (2.3.10) где C , C1 – некоторые положительные постоянные, не зависящая от  и  . Это и есть необходимое спектральное условие устойчивости Неймана. Спектральным оно называется по следующей причине. Существование решения вида (2.3.8) показывает, что гармоника eim является собственной функцией оператора перехода:   unm+1 = (1 − r ) unm + runm +1 . Число ( ) = 1 − r + rei является соответствующим этой гармонике собственным числом оператора перехода. Линия, которую пробегает точка ( ) на комплексной плоскости, когда  пробегает вещественную ось, вся состоит из собственных значений и является спектром оператора перехода. Вывод. Таким образом, необходимое спектральное условие устойчивости (2.3.10) можно сформулировать так: спектр оператора перехода, соответствующему разностному уравнению задачи (2.3.5), должен лежать в круге радиуса 1 + C1 на комплексной плоскости. В нашем случае спектр (2.3.9) не зависит от  . Поэтому условие (2.3.10) равносильно требованию, чтобы спектр ( ) лежал в единичном круге ( )  1. (2.3.11) Спектр (2.3.9) представляет собой окружность с центром в точке (1− r , 0) и радиусом r на комплексной плоскости: а) r  1 – окружность лежит внутри единичного круга; б) r = 1 – окружность совпадает с единичной окружностью; в) r  1 – окружность лежит вне единичного круга. Соответственно необходимое условие устойчивости (2.3.11) выполнено при r  1 и не выполнено при r  1. Ранее, в подпункте 2.2.1 было показано, что разностная схема при r  1 устойчива, а при r  1 неустойчива. Вывод. Таким образом, необходимое спектральное условие устойчивости Неймана оказалось в данном случае достаточно чувствительным, чтобы в точности отделить случай устойчивости от случая неустойчивости. 2.3.3 Примеры Рассмотрим следующую дифференциальную задачу  u  u − = (x, t ), 0  t  T, −   x  + ,   t  x (2.3.12)  u( x,0) = (x ), −   x  + .  Пример 1. unm+1 − unm unm − unm −1 T  − =  nm , n = 0 ,1, 2 ,,   − 1, m = 0 ,  1,  2 ,   h    0 um =  m . Шаблон: (m,n) unm = n ei m Подставляем выражение в соответствующее однородное разностное уравнение (пусть  = r h, r − положительная ( ) = 1 + r − re -i . постоянная), после преобразований получаем Рис. 2.3.2. Взаимное расположение  ( ) и единичной окружности Вывод. Ни при каком r спектр не лежит в единичном круге (см. рис. 2.3.2). Условие устойчивости всегда не выполнено. Схема при всех r неустойчива. Пример 2. (Д.з) unm+1 − unm unm +1 − unm −1  − − unm −1 − 2unm + unm +1 = nm ,  2  2h  2h (2.3.13)  T   u0 =  , n = 0 ,1, 2 ,,   − 1, m = 0 ,  1,  2 ,. m  m  ( Шаблон: (m,n) ) Пример 3. Разностная схема unm+1 − unm unm +1 − unm −1 T  − = nm , n = 0 ,1, 2 ,,   − 1, m = 0 ,  1,  2 ,,   2h    0 um =  m . Шаблон: (m,n) Для той же задачи Коши (2.3.12) проделываем те же действия, что и в примерах 1 и 2, получим уравнение относительно  :  − 1 ei − e −i   − = 0 или ( ) = 1 + i  sin   .  2h h  Рис. 2.3.3. Взаимное расположение  ( ) и единичной окружности 2 (см. рис. h 2.3.3), проходящий через точку с координатами (1, 0 ) на комплексной плоскости. Теперь рассмотрим различные соотношения между пространственным – h и временным –  шагами: а)  = rh , то условие (2.3.11) не выполнено не при каком r ; Спектр  = ( ) заполняет вертикальный отрезок длины б)  = rh 2 , то самая далекая точка  = ( ) от точки (0,0) имеет длину ( ) 2 =  2 r  = 1 +   = 1 + r  1 +  . 2 h r . 2 Вывод. Надо понимать, что требование  = rh 2 – гораздо более жесткое условие на убывание h, чем требование  = rh . Условие ( )  1 + C выполнено при C = Рассмотрим задачу теплопроводности: 2  u 2  u − a = (x, t ), -   x  +, 0  t  T,  2  t x   -   x  . u(x,0 ) = (x ), (2.3.14) Пример 4 (явная разностная схема задачи (2.3.14)). n n n unm+1 − unm 2 um +1 − 2um + um −1 −a = nm ,  2   h  T  u0 =  , n = 0 ,1, 2 ,,   − 1, m = 0 ,  1,  2 ,. m m   Шаблон:  −1 −a  (m, n) −i ) 2 (e − 2 + e i  h 2 = 0, тогда  = 1 − 4a 2  h 2 sin2  . 2  . Число  ( ) пробегает отрезок 2 h вещественной оси (см. рис. 2.3.4): 1 − 4ra 2    1, следовательно, надо 1 чтобы 1 − 4ra 2  −1, r  2 . 2a Пусть r = , то 2  = 1 − 4ra 2 sin2 Рис. 2.3.4. Взаимное расположение  ( ) и единичной окружности Вывод. Необходимое спектральное условие устойчивости Неймана 1 1 (2.3.11) выполнено при 0  r  2 . Схема неустойчива при r  2 . 2a 2a Пример 5. (неявная разностная схема задачи (2.3.14)). n +1 n +1 n +1 unm+1 − unm 2 um +1 − 2um + um −1 −a = nm ,  2   h  T  u0 =  n = 0 ,1, 2 ,,   − 1, m = 0 ,  1,  2 ,. m m   Шаблон: (m, n+1)  − 1 2  ei − 2 + e − i   1 − a  = . ( ) Пусть тогда r = ,   =    h2 h2   1 + 4ra2 sin2 2 . Спектр заполняет отрезок 1 −1 0  =   1; тогда условие ( )  1 2 2  1 + 4ra sin 2 выполняется при любом r  0 . Вывод. Необходимое спектральное условие устойчивости Неймана выполнено при всех r  0 .