Нечеткие знания и рассуждения

13 Нечеткие знания и рассуждения. Поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных рассуждений и использование их в интеллектуальных компьютерных системах представляет одно из перспективных направлений развития науки об искусственном интеллекте. Довольно часто оптимальное решение практической задачи трудно найти, используя классические математические методы. Причины этого состоят в следующем. Во-первых, не всегда возможно сделать приемлемое с точки зрения точности и лаконичности аналитическое описание решаемой задачи. Во многих случаях затраты на его разработку превысили бы эффект от решения. Кроме того, время, необходимое для получения аналитического описания, как правило, неприемлемо велико. Такое точное описание и не всегда требуется, ведь человек способен находить решения, пользуясь лишь субъективными представлениями о задаче. Во-вторых, в жизни нам постоянно приходится оперировать неточными значениями и не вполне ясными понятиями, которые невозможно описать на языке традиционной математической логики. Осознание этих проблем привело к появлению новой математической дисциплины - нечеткой логики, претендующей на устранение противоречий между математикой и нашими неточными знаниями о реальном мире. Нечеткая логика (fuzzy logic) – это надмножество классической булевой логики. Она расширяет возможности классической логики, позволяя применять концепцию неопределенности в логических выводах. Употребление термина «нечеткий» применительно к математической теории может ввести в заблуждение. Более точно еѐ суть характеризует название «непрерывная логика». Аппарат нечѐткой логики столь же строг и точен, как и аппарат классической булевой логики, но вместе со значениями «ложь» и «истина» он позволяет оперировать значениями в промежутке между ними. Часто для иллюстрации связи нечеткой логики с естественными представлениями человека об окружающем мире приводят пример о пустыне. Определим понятие «пустыня» как «бесплодная территория, покрытая песком». Теперь рассмотрим простейшее высказывание: «Сахара - это пустыня». Это утверждение следует признать истинным, принимая во внимание данное выше определение пустыни. Предположим, что с поверхности Сахары удалена одна песчинка. Осталась ли Сахара пустыней? Скорее всего, да. Продолжая удалять песчинки одну за другой, всякий раз оцениваем справедливость приведенного высказывания. По прошествии определенного времени песка в Сахаре не останется и высказывание станет ложным. Но после какой именно песчинки его истинность меняется? В реальной жизни с удалением одной песчинки пустыня не исчезнет. Пример показывает, что традиционная логика не всегда согласуется с представлениями человека. Для оценки степени истинности высказываний естественный язык имеет специальные средства (некоторые обороты, например: «в некоторой степени», «почти», «очень» и др.). С появлением нечеткой логики возникает возможность сопоставить этим понятиям строгие математические формулировки. Нечеткая логика как новая область математики была представлена в трудах профессора Калифорнийского университета (Беркли) Лотфи Заде (Lotfi A. Zadeh). Первоначально она разрабатывалась как средство моделирования неопределѐнности естественного языка, однако впоследствии круг задач, в которых нечѐткая логика нашла применение, значительно расширился. В настоящее время она используется для управления линейными и нелинейными системами реального времени, при решение задач анализа данных, распознавания, исследования операций. В последнее десятилетие началось использование нечѐтких методов и моделей в промышленности. Наиболее интенсивно такие системы управления внедряются в Японии. Спектр приложений широк: от управления процессом отправления и остановки поезда метрополитена, управления грузовыми лифтами и доменной печью до стиральных машин, пылесосов и СВЧ-печей. При этом нечеткие системы позволяют повысить качество продукции при уменьшении ресурсов и энергозатрат и обеспечивают более высокую устойчивость к воздействию мешающих факторов по сравнению с традиционными системами автоматического управления. Таким образом, новые подходы позволяют расширить сферу приложения систем автоматизации за пределы применимости классической теории управления. Нечѐткое управление оказывается особенно полезным, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов, или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределѐнно. Нечѐткая логика, на которой основано нечѐткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечѐткая логика, в основном обеспечивает эффективные средства отображения неопределѐнностей и неточностей реального мира. Смешение центра исследований нечѐтких систем в сторону практических приложений привело к постановке целого ряда проблем таких, как новые архитектуры компьютеров для нечетких вычислений, элементная база нечѐтких контроллеров, инструментальные средства разработки, инженерные методы расчета и разработки нечѐтких систем управления и многое другое. 14 Математические основы нечѐткой логики. 14.1 Нечѐткие множества. Одно из базовых понятий традиционной логики - понятие подмножества. Подобно этому в основе нечѐткой логики лежит теория нечѐтких подмножеств (нечѐтких множеств). Эта теория занимается рассмотрением множеств, определяемых небинарным отношением вхождения. Это означает, что принимается во внимание не просто факт - входит элемент во множество или не входит, но и степень его вхождения, которая может изменяться от 0 (ложь, т.е. не входит) до 1 (истина, т.е. входит). Пусть S - множество с конечным числом элементов, S = {s1, s2, …, sn}, где n - число элементов (мощность) множества S. В классической теории множеств подмножество U множества S может быть определено как отображение элементов S на множество B = {0, 1} : U: S B (рисунок 16) Рисунок 16 - Отображение элементов множества S на множество B = {0, 1} Это отображение может быть представлено множеством упорядоченных пар вида: { si , mUi }, i [1, n] где si - i-й элемент множества S n - мощность множества S mUi - элемент множества B = {0, 1} Если mUi = 1, то si является элементом подмножества U. Элемент «0» множества В используется для обозначения того, что si не входит в подмножество U. Проверка истинности предиката «sk U» осуществляется путем нахождения пары, в которой sk – первый элемент. Если для этой пары mUk = 1, то значением предиката будет «истина»; в противном случае «ложь». Если U-подмножество S, то U может быть представлено n-мерным вектором: (mU1 . mU2 , …, mUn), где i-тый элемент вектора mUi = 1, если соответствующий элемент si множества S входит и в U, и mUi = 0, если si не входит в U. Таким образом, подмножество U может быть однозначно представлено точкой в n-мерном бинарном гиперкубе Вn, B= {0, 1} Пример: Пусть S = {s1, s2, s3} - подмножество из трѐх элементов (n = 3) U = {s1, s3} - подмножество S, тогда U может быть представлено трѐхмерным вектором ( mU1 . mU2 , mU3 ) = (1, 0, 1) где mU1 = mU3 = 1, т.к. s1 и s3 входит в подмножество U, a mU2 = 0, т.к. s2 не входит в подмножество U. Тогда множество S и его подмножество U могут быть представлены точками в трѐхмерном бинарном кубе В3 (рисунок 17). 1 m mU2 S v2 1 m m v2 m v2 U3 mU1 1 m v2 U Рисунок 17- Графическое представление традиционного множества и его подмножества. Точка, отображающая любое подмножество U множества S будет находиться всегда в одной из вершин гиперкуба Вn. Нечѐткое подмножество А может быть представлено как отображение элементов множества S на интервал I = [0, 1] (рисунок 18). Это отображение определяется множеством упорядоченных пар: {si, А(si)}, si - i-тый элемент множества S; где i [1, n], n - мощность множества S; [0, 1] - степень вхождения элемента si в подмножество А А(si) Значение А(si)=0 А(si) = 1 означает полное вхождение элемента si в А, Значение указывает на то, что элемент si не принадлежит подмножеству А, кроме того возможны значения 0 < А(si) < 1 указывающие на частичную степень принадлежности элемента si подмножеству А. Рисунок 18 - Отображение элементов множества S на интервал I = [0, 1]. Отображение может быть задано функцией А(x) принадлежности значений х к нечѐткому множеству А. В силу этого термины «нечѐткое подмножество» и «функция принадлежности» употребляются как синонимы. Степень истинности предиката «sk A» определяется путем нахождения парного элементу sk значения А(sк), определяющего степень вхождения sk в А. Обобщая геометрическую интерпретацию традиционного подмножества на нечѐткий случай, получаем представление А точкой в гиперкубе I n , I = [0, 1] Пример: Пусть S = {s1, s2, s3} - множество из трех элементов (n = 3) Нечѐткое подмножество А определяется на S тремя парами : А = {(s1; 0,8), (s2; 0,6), (s3; 0,5)}, где значения А(si) определяют степень вхождения элемента si в подмножество А. Тогда множество S и его подмножество (нечеткое) А могут быть представлены точками в трѐхмерном кубе I 3(рисунок 19). А(s2) 1 m S v2 0,6 1 m v2 0,8v2 0,5 m 1 m А(s1) A v2 А(s3) Рисунок 19 - Графическое представление нечѐткого подмножества. Точка, отображающая нечеткое подмножество А может находиться не только в вершинах гиперкуба I n , но и в любой точке внутри него. Чаще всего для определения нечѐткого множества используют характеристическую функцию принадлежности (или просто функцию принадлежности ), позволяющую задать нечеткое множество в компактной и наглядной форме. Пусть Е - обычное чѐткое множество, называемое универсальным, х элемент Е, а R - некоторое свойство. Обычное (чѐткое) подмножество U универсального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар: U={ U(х)- U(х)/ х}, где характеристическая функция, принимающая значение 1, если х удовлетворяет свойству R, и 0 - в противном случае. Пример: Пусть Е- универсальное множество действительных чисел, подмножество U составляют числа удовлетворяющие свойству R: 5 x 8, тогда характеристическая функция U(х) будет иметь вид (рисунок 20) U(х) 1 x 3 8 Рисунок 20 - Характеристическая функция чѐткого подмножества. Нечѐткое подмножество отличается от обычного (чѐткого) подмножества тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да» или «нет» относительно свойства R (х удовлетворяет или не удовлетворяет свойству R). В связи с этим, нечѐткое подмножество А универсального множества Е определяется как множество упорядоченных пар: А={ А(х)- А(х)/x }, где функция принадлежности, принимающая значения в некотором упорядоченном множестве I (чаще вcего I = [0, 1]). Функция принадлежности указывает степень принадлежности элемента х подмножеству А. Множество I называют множеством принадлежностей. Тогда обычное (четкое) подмножество U множества Е можно рассматривать как частный случай нечѐткого подмножества, для которого множество принадлежностей состоит из двух элементов I = B = {0, 1}. Примеры записи нечѐткого множества: Пусть Е = {х1, х2, х3, х4, х5}, I = [0, 1], А - нечеткое множество на Е или иначе нечѐткое множество А, заданное на универсальном множестве Е, для которого А(x1) = 0,3; А(х2) = 0; А(х3) = 1; А(х4) = 0,5; А(х5) = 0,9 Тогда А можно представить любым из трех способов: 1) А = {0,3/х1; 0/х2; 1/х3; 0,5/х4; 0,9/х5 } 2) А = 0,3/х1+ 0/х2+ 1/х3+ 0,5/х4+ 0,9/х5 , где знак «+» не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения. 3) А = х1 х2 х3 х4 х5 0,3 1 0,5 0,9 14.2 Основные характеристики нечѐтких множеств. Пусть I = [0, 1] и А - нечѐткое множество с элементами из универсального множества Е и множеством принадлежностей I. Тогда можно ввести следующие характеристики А: - Высотой нечѐткого множества А называется величина sup А(х) - верхняя граница его функции принадлежности х Е - При этом нечѐткое множество А является нормальным, если sup А(х) = 1, х Е при sup А(х) < 1, нечѐткое множество называется субнормальным. х Е - Нечѐткое множество пусто, если х Е А(х) =0 - Непустое субнормальное множество можно нормализировать по формуле А (х) := ( х) sup A ( x) x E А - Нечеткое множество унимодально, если А(х) = 1 только на одном x E - Носителем нечѐткого множества А является обычное подмножество со свойством А(х) > 0, т.е. носитель А = {х/ А(х)>0} x E - Точками перехода А называются элементы x E , для которых А(х) Примеры нечѐтких множеств: 1. Пусть Е = {0, 1, 2, …, 10} M = [0, 1] Нечѐткое множество «несколько» можно определить следующим образом: А”несколько” = {0,5/3; 0,8/4; 1/5; 1/6; 0,8/7; 0,5/8} Характеристики А”несколько”: Высота = 1 (нечѐткое множество нормально) Носитель = {3, 4, 5, 7, 8} Точки перехода = {3, 8} = 0,5 2. Пусть Е = [40, 250] рост человека (значения в сантиметрах). Тогда нечѐткое множество «высокий» (в смысле человек высокого роста) можно определить (рисунок 21) А”Высокий”(h) 0, h<150 h 150 , 150 h 200 50 1, h>200 = A(h) 1 h 40 100 150 200 250 Рисунок 21 - Нечѐткое множество А”Высокий” , определенное на Е. Нечѐткое множество «высокий»на универсальном множестве Е1 = {Иванов, Петров, Сидоров, …} задаѐтся с помощью функции принадлежности А”Высокий”(h) на Е (рост), называемой по отношению к Е1 функцией совместимости, при этом А ”Высокий”(Петров)= А ”Высокий”(h), где h - рост Петрова Пусть известен рост каждого человека из Е1 (рисунок 22) : Фамилия Рост (h) см Иванов 190 Петров 160 Сидоров 175 Рисунок 22 Тогда нечѐткое множество «высокий», заданное на универсальном множестве Е1 = {Иванов, Петров, Сидоров, …} будет выглядеть следующим образом (рисунок 23) A(h) 1 Иванов Сидоров Петров 0,2 h 150 160 170 180 190 200 Рисунок 23 - Нечеткое множество А1”Высокий” , определенное на Е1. Иначе говоря степень истинности высказывания «Сидоров - высокого роста» составляет 0,5. Аналогичным образом с помощью функций принадлежности можно определить нечѐткие множества: А”cреднего роста” , А”низкоростный” и т.п. 3. Пусть Е - множество целых чисел: E = {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9} Тогда нечѐткое подмножество чисел, по абсолютной величине близких к нулю можно определить например, так А = {0/-8 + 0.5/-5 + 0.6/-3 + 1/0 + 0.9/1 + 0.8/2 + 0.6/4 + 0.3/6 + 0/9} 15 Операции над нечѐткими множествами. 15.1 Логические операции. Пусть А и В – нечѐткие множества, заданные на универсальном множестве Е. М = [0, 1] - множество принадлежностей. Включение. Говорят, что А содержится в В (В включает А), если х Е Обозначение: А В (рисунок 24) А(х) В(х) (х) 1 В(х) А(х) х Рисунок 24 – Нечеткое множество А содержится в В. Иногда используется термин «доминирование», т.е. в случае когда А В, говорят, что В доминирует А. Равенство. А и В равны, если х Е А(х) = В(х) Обозначение : А = В Дополнение. А и В дополняют друг друга, если х Е А(х) =1- В(х) Обозначение : В = А или А = В (рисунок 25) (х) 1 А(х) 0,5 В(х) х Рисунок 25 – Нечеткие множества А и В дополняют друг друга. Очевидно, что А А Пересечение. Пересечение А и В – это наибольшее нечеткое подмножество содержащееся одновременно в А и В. А В ( х) min( А ( х), В ( х)) Обозначение: А В (рисунок 26) А(х) (х) В(х) 1 А В ( х) х Рисунок 26 - Пересечение нечетких множеств А и В. Объединение. Объединение А и В –это наименьшее нечѐткое подмножество, включающее как А, так и В. А В ( х) min( А ( х), В ( х)) Обозначение: А В (рисунок 27) (х) А В ( х) 1 А(х) В(х) х Рисунок 27 - Объединение нечетких множеств А и В. Разность. Разность А и В – это нечеткое множество, образованное в результате пересечения А и В . А В ( х) А В ( х) min( Обозначение: А В А В (рисунок 28) А ( х), 1 В ( х)) А(х) (х) В(х) 1 В ( х) х А В ( х) Рисунок 28 - Разность нечетких множеств А - В. Примеры: Пусть А = 0,4/х1 + 0,2/х2 + 0/х3 + 1/х4 ; В = 0,7/х1 + 0,9/х2 + 0,1/х3 + 1/х4 ; С = 0,1/х1 + 1/х2 + 0,2/х3 + 0,9/х4 ; 1. Включение. А В, т.е. А содержится в В или В доминирует А, С несравнимо ни с А, ни с В, т.е. {А, С} и {А, В}- пары недоминируемых нечетких множеств. 2. Равенство. А В С 3. Дополнение. А = 0,6/х1 + 0,8/х2 + 1/х3 + 0/х4 ; В = 0,3/х1 + 0,1/х2 + 0,9/х3 + 0/х4 ; 4. Пересечение. А В = 0,4/х1 + 0,2/х2 + 0/х3 + 1/х4 ; 5. Объединение. А В = 0,7/х1 + 0,9/х2 + 0,1/х3 + 1/х4 ; 6. Разность. А – В = А В = 0,3/х1 + 0,1/х2 + 0/х3 + 0/х4 ; В–А=В А = 0,6/х1 + 0,8/х2 + 0,1/х3 + 0/х4 ; 15.2 Свойства логических операций объединения и пересечения. Пусть А, В, С - нечѐткие множества. Тогда для них выполняются следующие свойства: Коммутативность: А А Ассоциативность: (А (А В В В) В) В В С С А А А А (В (В С) С) Идемпотентность: А А А А Дистрибутивность: А А (В (В Формулы де Моргана: А А С) С) (А (А В) В) А В А В А В А В (А (А С) С) А А О О О А , где О - пустое множество ( А А Е Е А Е , где Е- универсальное множество О(х) =0 х Е) Отличие свойств логических операций над нечѐткими множествами от свойств аналогичных операций над обычными множествами (рисунок 29): А А О А А Е (х) Ā A (х) (х) 1 A (х) 1 Ā(х) х Ā(х) х A (х) Ā A (х) Рисунок 29 а) - Объединение нечеткого Рисунок 29 - б) Пересечение нечеткого множества и его дополнения множества и его дополнения 15.3 Алгебраические операции над нечѐткими множествами. Алгебраическое произведение. Обозначение А В Определяется так: х Е Алгебраическая сумма Обозначение А ˆ В АВ ( х) А ( х) В ( х) Определяется так: х Е  А В ( х) А ( х) В ( х) А ( х) В ( х) 15.4 Свойства алгебраических операций. Пусть А, В, С - нечѐткие множества. Тогда для них выполняются следующие свойства: Коммутативность: А В В А АˆВ Вˆ А Ассоциативность: ( А В) С А ( В С ) ( А ˆ С) ˆ С А ˆ (В ˆ С) Формулы де Моргана: А О О АˆО А Е Аˆ Е А А В АˆВ Аˆ В А В А Е , где О - пустое множество Е - универсальное множество Для алгебраических операций над нечеткими множествами не выполняются свойства: А А А Аˆ А А Идемпотентность: Дистрибутивность: А (В ˆ С) А ˆ (В С) ( А В) ˆ ( А С ) ( А ˆ В) ( А ˆ С ) Кроме того А А 0, Аˆ А Е Замечания: а) Для примера докажем, что А В А ˆ В для сокращения записи обозначим: А(х)=а, В(х) =b. Тогда для левой части: 1-аb для правой части: (1-а)+(1-b)-(1-а)(1-b) = 1-а+1-b-1+а+b-аb = 1-ab б) Докажем, что свойство дистрибутивности не выполняется, т.е. А ( В ˆ С) ( А В) ˆ ( А С) для левой части: а(b+с-bс) = аb+ас-аbс правой части: аb+ас-(аb)(ас) = ав+ас-а2bс т.о. дистрибутивность не выполняется при а а 2 При совместном использовании логических операций (объединение и пересечение) и алгебраических операций справедливы свойства А ( В С ) ( А В) ( А С ); А ( В С ) ( А В) ( А С ); А ˆ ( В С ) ( А ˆ В) ( А ˆ С ); А ˆ ( В С ) ( А ˆ В) ( А ˆ С ); Возведение в степень >0 Нечѐткое множество А определяется функцией принадлежности х Е А ( х) А ( х) Частные случаи возведения в степень: Концентрирование (уплотнение) (рисунок 30) CON(A) = A2 ( нечеткий модификатор типа «очень») Растяжение (рисунок 30) DIL(A) = A0.5 (нечеткий модификатор типа «почти») (х) А(х) 1 0,5 А (х) 2 А (х) х Рисунок 30 - Характеристические функции операций концентрирования и растяжения. Умножение на число Если >0, такое, что А(х) max х функцию принадлежности 1, то нечѐткое множество А имеет А А ( х) А ( х) . Нечѐткое множество Множеством -уровня. -уровня нечѐткого множества А универсального множества Е называется чѐткое подмножество А универсального множества Е, определяемое в виде А х/ А ( х) , где 1 Например: Пусть А = 0,2/х1+0/х2+0,5/х3+1/х4 Тогда А0,3 = {x3, x4}. A0.7 = {x4}. 16 Нечѐткие и лингвистические переменные. Понятие нечѐткой и лингвистической переменных используются при описании объектов и явлений с помощью нечѐтких множеств. Нечѐткая переменная характеризуется тройкой параметров , Е, А , где - наименование переменной, Е - универсальное множество (область определения ) А – нечѐткое множество на Е, описывающее ограничения значения нечѐткой переменной А(х) на . Лингвистическая переменная (ЛП) характеризуется набором параметров , Т , Е , G, M , где - наименование ЛП; Т – множество еѐ значений (терм-множество), представляющих наименования нечѐтких переменных, областью определения каждой из которых является универсальное множество Е. Множество Т называется базовым терммножеством ЛП; G – синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества Т, в частности генерировать новые термы (значения); Множество Т G(Т), где G(Т) - множество сгенерированных термов, называется расширенным терм- множеством ЛП; М – Семантическая процедура, позволяющая превратить, каждое новое значение ЛП, образуемое процедурой G, в нечѐткую переменную, т.е. сформировать соответствующее нечѐткое множество. Замечание: Один и тот же символ используется для обозначения терма и соответствующего нечѐткого множества. Например, в ЛП Т1 = «молодой» является одним из значений ЛП = «возраст», терм , одновременно есть и нечеткое множество А1, - «молодой». Пример: Пусть эксперт определяет высоту деревьев, растущих в лесу с помощью понятий «низкое», «среднее», «высокое». При этом минимальная высота дерева 2м, а максимальная - 70м. Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей ЛП , Т , Е , G, M , где = «высота дерева» (наименование ЛП); Т = { «низкое», «среднее», «высокое»}- базовое терм-множество; Е= [2, 70] - универсальное множество; G - процедура образования новых термов с помощью: - связок типа «и», «или»; - модификаторов типа «очень высокое»; М – процедура задания на Е = [2, 70] нечетких подмножеств: А1 – «низкое»; А2 – «среднее»; А3 – «высокое», а также нечетких множеств для термов из G(Т) в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов «и», «или» и др. в операции над нечѐткими множествами вида: «и» - А В ; (рисунок 31) «или» - А В ; (рисунок 32) «не» - А ; «очень» - CON(A) = A2; (рисунок 33) «почти» - DIL(A) = A0.5 и т.п. (рисунок 33) (х) А1 (х) А3 (х) 1 А2 (х) х 10 30 50 70 Рисунок 31 - Функции принадлежности нечетких множеств, соответствующих базовому терм-множеству ЛП. (х) (х) А4 (х) 1 А5 (х) 1 х 10 30 50 х 70 10 30 50 70 Рисунок 32 - Функции принадлежности нечетких множеств из расширенного терм-множества ЛП ( А4 (х) А1 А2 - «низкое или среднее», А5 А3 - «не высокое»). (х) А6 (х) 1 А7 (х) 1 х 10 30 50 70 х 10 30 50 70 Рисунок 33 - Функции принадлежности нечетких множеств из расширенного терм-множества ЛП (А6 = CON(A1) – «очень низкое», A7 = DIL(A3) – «почти высокое»). 16.1 Способы получения нечѐтких выводов. Используемые в различных рода экспертных и управляющих системах механизмы нечѐтких выводов в своей основе имеет базу знаний, формируемую специалистами предметной области в виде совокупности нечѐтких предикатных правил вида: П1: если х есть А1, то у есть С1 П2: если х есть А2, то у есть С2 ………………………………… Пn: если х есть Аn, то у есть Сn где х- входная переменная (имя для известных значений данных), у- переменная вывода (имя для значений данных, которое будет вычислено) А, С- функции принадлежности, определенные соответственно на х, у. Знание эксперта: А С отражает нечѐткое причинное отношение предпосылки и заключения, поэтому его можно назвать нечѐтким отношением и обозначать: R A где « C (А влечет С), » нечѐткая импликация. Отношение R можно рассматривать как нечѐткое подмножество прямого произведения X Y полного множества предпосылок X и заключений Y. Таким образом, процесс получения (нечѐткого) результата вывода «С» с использованием данного наблюдения А и знания А С можно представить в виде формулы: СI= А  R A I ( A C ) , где  - операция композиции (свѐртки) Как операцию композиции, так и операцию импликации в алгебре нечѐтких множеств можно реализовать по разному (при этом, естественно будет отличаться и итоговый получаемый результат), но в любом случае общий логический вывод осуществляется за следующие четыре этапа: 1. НЕЧЁТКОСТЬ (fuzzification, фаззификация). Функции принадлежности, определѐнные на входных переменных, применяются к их фактическим значениям для определения степени истинности каждой предпосылки каждого правила. 2. ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД. Вычисленное значение истинности для предпосылок каждого правила. Это приводит к одному нечѐткому подмножеству, которое будет назначено каждой переменной вывода для каждого правила. В качестве правил логического вывода обычно используются только операции: - min (минимум, т.е. - пересечение) - prod (алгебраическое умножение на число) В логическом выводе min функция принадлежности вывода «отсекается» по высоте , соответствующей вычисленной степени истинности предпосылки правила (нечѐткая логика «и») (рисунок 34). В логическом выводе prod функция принадлежности вывода масштабируется при помощи найденной степени истинности предпосылки правила (рисунок 34). 1 А(х) C(z) х0 min x C(z) prod z Предпосылки z Заключения Рисунок 34 – Нечеткий логический вывод. 3. КОМПОЗИЦИЯ. Все нечѐткие подмножества, назначенные каждой переменной вывода (во всех правилах), объединяются вместе, чтобы сформировать одно нечѐткое подмножество для каждой переменной вывода. При подобном объединении обычно используются операции: - max (максимум, т.е. - объединение); - sum (алгебраическая сумма). При композиции max комбинированный вывод нечѐткого подмножества конструируется как поточечный max по всем нечѐтким подмножествам (нечѐткая логика «или»). При композиции sum комбинированный вывод нечѐткого подмножества конструируется как поточечная сумма по всем нечѐтким подмножествам, назначенным переменной вывода правилами логического вывода. 4. ПРИВЕДЕНИЕ К ЧЁТКОСТИ (defuzzufication, дефаззификация). Используется для преобразования нечѐткого набора выводов в чѐткое число. Рассмотрим наиболее употребительные модификации алгоритма нечеткого вывода, полагая для простоты, что базу знаний образуют два нечетких правила, где Обозначения: Х, У – имена входных переменных; Z – имя переменной вывода; А1, А2 – заданные функции принадлежности для входных переменных Х; В1, В2 - заданные функции принадлежности для входных переменных У; С1, С2 - заданные функции принадлежности для переменных вывода Z. Задача: Четкое значение Z0 необходимо определить на основе приведенной информации (базы знаний) и четких значений Х0 и У0. Нечеткий комбинационный агент: (рисунок 35) Х0 У0 Х У Датчики Нечеткий База знаний Решатель (нечеткие правила) Z Исполнительные органы Z0 Рисунок 35 – Нечеткий агент. Способы Мамдани (Mamdani) и Ларсена (Larsen) База знаний состоит из двух правил. Правило 1: Если x есть А1 и y есть В1 , тогда z есть С1. Правило 2: Если x есть А2 и у есть В2 , тогда z есть С2. 1. Нечеткость (фаззификация). Находятся степени истинности для каждой предпосылки каждого правила: А1(х0), А2(х0), В1(у0), В2(у0). 2. Нечѐткий вывод. Находятся общие степени истинности для предпосылки каждого правила (для этого используется операция минимум (min – 1 А1 ( х 0 ) В1 ( у 0 ) 2 А2 ( х 0 ) В2 ( у 0 ) ), т.е. нечѐткое «и»). Затем находятся частные функции принадлежности нечетких множеств, соответствующих частному выводу по каждому правилу: Мамдани Ларсен С1I ( z ) 1 C1 ( z ) С1I ( z ) 1 С 2I ( z ) 2 C2 ( z) С 2I ( z ) 2 C1 ( z ) C2 ( z) 3. Композиция. Производится объединение найденных частных функций принадлежности (для этого используется операция максимум (max - ), т.е. нечеткое «или»), что приводит к получению итогового нечѐткого подмножества для переменной выхода с функцией принадлежности. ( z) C ( z) C1I ( z ) C 2I ( z ) 4. Приведение к чѐткости (дефаззификация). Проводится, как правило так называемым «центроидным» методом (z0 находится как «центр тяжести» для кривой z z0 (z ) ). ( z )dz ( z )dz Возможны варианты дефаззификации (рисунок 36): C(z) 1 ц.т. z0 som z0 z0 цт mom z0 lom z Рисунок 36 Методы приведения к четкости (дефаззификация). - метод наименьшего максимума (som - smallest of max); - метод наибольшего максимума (lom - largest of max); - метод среднего максимума (mom - mean of max). - метод «центроида» (цт). Способ Сугенo (Sugeno). База знаний состоит из двух правил: Правило 1: Если х есть А1 и у есть В1, тогда z1 = a1x + b1y + c1 Правило 2: Если х есть А2 и у есть В2, тогда z2 = a2x + b2y + c2 1. Нечеткость (фаззификация) как в способе Мамдани. Находятся степени истинности для каждой предпосылки каждого правила: А1(х0), А2(х0), В1(у0), В2(у0). 2. Нечѐткий вывод. Находятся общие степени истинности для предпосылки каждого правила (для этого используется операция минимум (min – ), т.е. нечѐткое «и»). 1 А1 ( х 0 ) В1 ( у 0 ) 2 А2 ( х 0 ) В2 ( у 0 ) Производятся частные выводы по каждому правилу: z1* = a1x0 + b1y0 + c1 ; аi=const; z2* = a2x0 + b2y0 + c2 ; bi=const; ci=const; 3-4. Композиция и приведение к четкости (дефаззификация). Определяется четкое значение переменной вывода: z0 * 1 1 z 1 если аi 0, bi * 2 2 z 2 0, то алгоритм называется алгоритмом Сугено 1 порядка, если аi =0, bi =0, сi 0, то алгоритм называется алгоритмом Сугено 0 порядка (рисунок 37). Предпосылки Правило1 1 А(х) Мамдани B(y) A1 Заключения Способы вывода по: Ларсену C(z) B1 Сугено C(z) C1 C1 C’1 C’1 1 x Правило2 1 А(х) B(y) A2 z Y C(z) B2 z*1 z z C(z) C2 C2 C’2 2 C’2 x0 x Y0 z z Y C(z) z*2 z C(z) 1 C z0 C z0 z z0 * 1 1 2 1 2 z z Рисунок 37 – Способы нечеткого логического вывода по Мамдани, Ларсену и Сугено. z 2* Общая структура системы управления, основанной на нечетной логике База знаний Лингвистические переменные Нечѐткие правила Блок фаззификации Блок нечѐтких выводов измеренные величины Объект управления (ОУ) Блок дефаззикации сигнал управления Рисунок 38 - Структура нечеткой системы управления. Блок фаззификации – преобразует четкие величины, измеренные на выходе объекта управления в нечеткие величины, описываемые ЛП в базе знаний. Блок нечетких выводов используют нечеткие условные (продукционные) правила (если…то…), заложенные в базе знаний для преобразования нечетких входных данных в требуемые управляющие воздействия, которые носят также нечеткий характер. Блок дефаззификации преобразует нечеткие данные с выхода блока нечетких выводов в четкую величину (сигнал управления), которая используется для управления ОУ. Нечеткие экспертные системы (ЭС) – отличаются от нечетких систем управления отсутствием ОУ. На вход ЭС поступает запрос – на выходе выдается ответ, представленный в нечеткой или четкой форме. 17 Нечѐткие числа. Нечѐткие числа – это нечѐткие переменные, определѐнные на числовой оси. Иначе говоря, нечѐткое число определяется как нечѐткое множество А на множестве действительных чисел R с функцией принадлежности А (х) 0,1 , где х R Нечѐткое число А нормально, если max х А ( х) 1 . R Чѐткое подмножество SA R называется носителем нечѐткого числа А, если SA = {x/ A(x) > 0}. Нечѐткое число А положительно, если х S A х > 0; и А отрицательно, если х S A х < 0. А1 - положительное НЧ А2 - отрицательное НЧ А(х) А1 (х) SА1 1 А2 (х) SА2 x Рисунок 39 – Положительное (А1) и отрицательное (А2) нечеткие числа. 17.1 Нечѐткие числа L-R типа. Нечѐткие числа (L-R)- типа (Left- Right) это разновидность нечѐтких чисел специального вида, задаваемых по определенным правилам с целью снижения объѐма вычислений при операциях над ними. Функции принадлежности нечѐтких чисел (L-R)- типа задаются с помощью не возрастающих на множестве неотрицательных действительных чисел функций действительного переменного L(х) и R(х), удовлетворяющих свойствам: 1) L(-х) = L(х); 2) R(-х) = R(х); 3) L (0) = R(0). К классу (L-R)-функций относятся функции следующего вида: (рисунок 40). (х) (х) (х) 1 x x x Рисунок 40 – Возможный вид функций (L-R) - типа. Пусть L(х) и R(х)- функции (L-R)- типа. Тогда: Унимодальное нечѐткое число А с модой а (условие А(а) = 1 справедливо только для одной точки действительной оси) с помощью L(х) и R(х) задаѐтся следующим образом: L А ( х) R где а - мода; a x , если x a ; x a , если x a, >0 – левый и правый коэффициенты нечѐткости. >0, Таким образом, при заданных L(х) и R(х) нечѐткое унимодальное число задаѐтся тройкой параметров (а, , ) (рисунок 41). (х) (х) (х) 1 L R a L x R a L x R a x Рисунок 41 - Характеристические функции унимодальных нечетких чисел (L-R)- типа. Толерантное нечѐткое число задаѐтся, соответственно, четвѐркой параметров (а1 , а2, , ). L А a ( х) x , если x 1, если a1 R x a , если x a1 ; x a2 ; a2 , где а1 и а2 – границы толерантности (на интервале [а1, а2] значение функции принадлежности А(х) = 1) (рисунок 42). (х) (х) 1 L R a1 a2 R L x a1 a2 x Рисунок 42 - Характеристические функции толерантных нечетких чисел (L-R)- типа. Моделирование сложных систем с применением аппарата нечѐтких множеств требует выполнения большого объѐма операций над разного рода лингвистическими и другими нечѐткими переменными. Для удобства исполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных желательно выбирать функций принадлежности стандартного вида. Нечѐткие множества, которыми приходится оперировать в большинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нормальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимодальных и толерантных нечѐтких множеств является аппроксимации с помощью функции (L-R)- типа. Примеры (L-R)- представлений некоторых типовых термов лингвистических переменных приведены в таблице 6 . Таблица 6. Терм ЛП Графическое представление (L-R)представление (х) «Средний» А = (а, , )LR тип “треугольник” 1 >0 a x (х) «Малый» 1 тип “Z” А = (а, , ) LR > 0, = a x (х) «Большой» А = (а, , ) LR > 0, 1 тип “S” = a x (х) Приблизительно в диапазоне 1 тип “трапеция” А = (а1, а2, , ) LR >0 a1 a2 x (х) Определѐнный 1 А = (а, 0, 0) LR =0 a x (х) Разнообразный (зона полной неопределенности) А=(а, , ) LR 1 = = x 17.2 Пример нечѐткого управления (перевѐрнутый маятник). Системы автоматического управления, построенные на принципах нечеткой логики (так называемые нечеткие контроллеры или fuzzyконтроллеры) – наиболее важное приложение теории нечѐтких множеств. Их функционирование отличается от работы обычных контроллеров тем, что для описания системы используются знания экспертов вместо дифференциальных уравнений. Эти знания могут быть выражены естественным образом с помощью лингвистических переменных, которые описываются нечѐткими множествами. Рассмотрим пример функционирования нечеткого контроллера. Задача состоит в балансировке вертикальной мачты, подвижно закрепленной нижним концом на тележке, которая может двигаться только в двух направлениях влево или вправо (рисунок 43).     V Рисунок 43 – Управление тележкой с перевернутым маятником. Нечѐткий контроллер, управляющий движением тележки можно представить устройством следующего вида (рисунок 44).  Входные величины   Fuzzyконтроллер  V Выходная величина (управление) Рисунок 44 – Нечеткий контроллер.  - угол отклонения мачты от вертикального положения,    - угловая скорость изменения угла ,  V - скорость движения тележки. Соответственно этим величинам необходимо ввести лингвистические переменные: ЛП1: «Угол»- (  ),  ЛП2: «Угловая скорость» - (  ),  ЛП3: «Скорость»- ( V ). Для каждой ЛП введѐм базовые терм-множества из пяти нечѐтких чисел стандартного вида (таблица 7): Таблица 7 Терм ЛП ЛП1 ЛП2 ЛП3 Angle - Angular Velocity - Speed - S A AV NHA NHAV NHS NLA NLAV NLS ZA ZAV ZS PLA PLAV PLS PHA PHAV PHS Отрицательная (ый) большая (ой) Negativ High – NH Отрицательная (ый) малая (ый) Negativ Low – NL Около нуля Zero – Z Положительная (ый) малая (ый) Positive Low – PL Положительная (ый) большая (ой) Positive High – PH Определим функции принадлежности для нечѐтких чисел в следующем виде для всех трѐх лингвистических переменных (рисунок 45). NH -max NL Z PL PH max Рисунок 45 – Общий вид функций принадлежности базовых термов трех лингвистических переменных («угол», «угловая скорость» и «скорость») . Далее определим некоторые правила, которые желательно применить к данной ситуации (рисунок 46).       (1)  V а) (2)  V 0 б) Рисунок 46 – Возможные варианты использования правил. (1) : Допустим, что мачта находится справа (угол - положительный малый PLA) и движется влево с низкой скоростью (отрицательной малой NLAV), то есть в направлении вертикали. Очевидно, что ничего предпринимать не надо (скорость тележки - около нуля ZS) (рисунок 46а). (2) : Рассмотрим другой случай (рисунок 46б). Мачта находится справа, как и прежде (угол - положительный малый PLA), но движется с низкой скоростью в положительном направлении (угловая скорость положительная малая PLAV) . Очевидно, что необходимо компенсировать движение мачты, передвигая тележку в том же направлении с низкой скоростью (положительной малой PLS). Таким образом, получим два правила, которые формально представляются в следующей форме: (1): Если угол положительный малый и угловая скорость отрицательная малая, тогда скорость около нуля. Иначе: Если угол PLA и угловая скорость NLAV, тогда скорость ZS (2): Если угол положительный малый и угловая скорость положительная малая, тогда скорость положительная малая. Иначе: Если угол PLA и угловая скорость PLAV, тогда скорость PLS Все правила можно свести в таблицу 8: Таблица 8 Угол NHA Угловая скорость NLA ZA PLA NHAV NHS NLAV NLS ZS NLS ZS PLS ZS PLS ZAV NHS PLAV PHA PHS PHS PHAV Рассмотрим одну из возможных ситуаций, когда угол (рисунок 47а) и угловая скорость (рисунок 47б) принимают конкретные численные значения. ( ) ( ) ZA 1 PLA PHA NHAV NLAV ZAV 1 0,6 0,7 0,4 0,3  Т Т а) б) Рисунок 47 – Сопоставление текущих значений угла и угловой скорости характеристическими функциям базовых термов. Т - текущее значение угла ;  Т - текущее значение угловой скорости  . Рассмотрим процесс получения значения VT (текущего значения скорости тележки) при выводе по нечѐтким правилам. Для получения нечѐткого вывода необходимо сопоставить текущее значения Т и Т с каждым из 25 правил, сделать 25 частных выводов и обобщить их, получив нечѐткое множество, соответствующее реакции нечѐткого контроллера - VT. Однако, можно заметить, что нечѐткие множества составлены таким образом, что в каждой ситуации будут работать только 4 правила (не более). В остальных правилах степень истинности предпосылки будет иметь нулевую величину за счет того, что пересечение значения Т и Т с характеристическими функциями нечѐтких множеств будет происходить на уровне 0. В рассматриваемой ситуации будет работать «окно» из следующих 4 правил (рисунок 48): 1: Если угол – ZA и угловая скорость ZAV, тогда скорость ZS. 2: Если угол – ZA и угловая скорость NLAV, тогда скорость NLS. 3: Если угол – PLA и угловая скорость ZAV, тогда скорость PLS. 4: Если угол – PLA и угловая скорость NLAV, тогда скорость ZS. ( ) ( ) (V ) 1 0,4 0,7 ZS 0,4 ZAV ZA  V 1 0,7 NLAV 0,6 NLS ZA 0,6  V 1 PLA 0,4 ZAV PLS 0,3 0,3  V 1 PLA 0,6 NLAV ZS 0,3 0,3  Т Т V 0,6 0,4 0,3 V VТ Рисунок 48 – Логический вывод по таблице правил. Нечѐткие отношения. 18 Пусть Е1, Е2, … Еn - универсальные множества М = [0, 1]- множество принадлежностей Е Е1 Е 2 ... Е n - прямое произведение Еi. Нечѐткое n-парное отношение определяется как нечѐткое подмножеств R на Е, принимающее свои значения в М. В случае n = 2, нечѐтким отношением R между множествами Х = Е1 и Y = Е2 будут называться функция: R: (x,y) [0, 1] которая ставит в соответствие каждой паре (х, у) X Y величину R ( x, y) [0,1] . Обозначение: Нечѐткое множество на Х Y запишется в виде х Х, у Y: xRy Частный случай: X = Y, тогда R(X, X) [0,1] нечеткое отношение на Х. Примеры: 1а. Пусть Х = Y = ( , ), т.е. множество всех действительных чисел. Функция принадлежности: R 0, 1 ( x, y ) 1 1 (x если x y; , если x y. у”) y) 2 1б. Пусть Х = Y = ( задаѐт отношение R: x>>y (“ х много больше , ), R ( x, y ) e k ( x y )2 , где k = const ( достаточно большая ). Тогда нечеткое отношение R можно интерпретировать как «х и у – близкие друг к другу числа». 2. Пусть Х = {x1, x2, x3}, Y = {y1, y2, y3, y4}. Нечѐткое отношение R = xRy может быть задано таблицей 9: Таблица 9 у1 у2 у3 у4 х1 0,1 0,3 х2 0,8 1 0,7 х3 1 0,5 0,6 1 Y1 X1 0,1 1 0,3 0,8 Y2 0,5 X2 Y3 1 0,7 0,6 1 Y4 X3 Рисунок 49 – Интерпретация нечеткого отношения в виде графа. В случае конечных или счѐтных универсальных множеств очевидна интерпретация нечеткого отношения в виде нечѐткого графа, в котором пара вершин, (хi, yi) в случае хRу соединяется ребром с весом R ( xi , y i ) . Нечѐткий граф задает нечѐткое отношение. В общем случае нечѐткий граф может быть определѐн на некотором G X Y , где G - множество упорядоченных пар (х,у) - не обязательно всех возможных. 18.1 Операции над нечѐткими отношениями. Используем обозначения : вместо операции max и вместо операции min . 1. Объединение двух отношений R1 и R2 (R1 R2) (рисунок 50). R1 R 2 ( x, y) R1 ( x, y) ( x, y) R2 max ( R1 ( x, y), R2 ( x, y)) Пример: R: xR1y - «числа х и у очень близкие», R: xR2y - «числа х и у очень различные». 1 R1 R2 R1 R 2 R2 ( x, y ) R1 ( x, y ), y x R2 ( x, y ), y x | x y | такое, что R1 R1 |y-x| R2 Рисунок 50 - Объединение двух нечетких отношений Таблица 10 R2 R1 у1 у2 у3 х1 0,1 0,8 0,7 х2 1 R1 y1 у2 у3 х1 0,7 0.9 1 х2 0.3 0,4 0.5 2. Пересечение двух отношений R1 R1 R 2 ( x, y) R1 ( x, y) R2 ( x, y) R2 у1 2. П х1 0,7 е х2 1 р R2 min ( R1 ( x, y), R2 ( x, y)) Пример: R: xR1y - «модуль разности | y – x | близок к », R: xR2y - «модуль разности | y – x | близок к ». R1 R2 1 R1 R2 R1 R 2 ( x, y ) R2 ( x, y ), y x R1 ( x, y ), y x | x y | такое, что |x-y| R1 R2 Рисунок 51 - Пересечение двух нечетких отношений. 3. Дополнение отношения R (рисунок 52). R ( x, y ) 1 R ( x, y ) у2 у3 0.9 1 0,7 0.5 R1 1 R |x-y| Рисунок 52 – Дополнение нечеткого отношения. Пример:R: xR1y - «модуль разности | y – x | близок к », тогда R: x R1 y «модуль разности | y – x| не близок к » 4. Алгебраическое произведение двух отношений R1 R2 . R1 R 2 ( x, y) R1 ( x, y) R2 ( x, y) 5. Алгебраическая сумма двух отношений R1 ˆ R2 . R1 ˆ R 2 ( x, y ) R1 ( x, y ) R2 ( x, y ) R1 ( x, y) R2 ( x, y) 6. Обычное отношение, ближайшее к нечѐткому R . Пусть R- нечѐткое отношение с функцией принадлежности R ( x, y) . Обычное отношение, ближайшее к нечѐткому , обозначается R и определяется функцией принадлежности: R ( x, y ) 0, если R 1, если R ( x, y ) 0,5 ; ( x, y ) 0,5 . по договорѐнности принимают R ( x, y) 0 , если R ( x, y) 0,5 . 18.2 Композиция двух нечѐтких отношений (свѐртка). Пусть нечеткое отношение R1 : ( X Y ) нечеткое отношение R2 : (Y Z ) [0,1] между Х и Y и [0,1] между Y и Z. Нечѐткое отношение между Х и Z, обозначаемое R1  R2 и определѐнное через R1 и R2 выражением для функции принадлежности R1 R 2 ( x, z ) y ( R1 ( x, y) R2 ( y, z )) max (min ( R1 ( x, y), R2 ( y, z ))) , y называется (max-min)-композицией или (max-min)-сверткой отношений R1 и R2, где - операция выбора наибольшего по у значения. y Пример: Таблица 11 R2 у1 у2 у3 х1 0,2 0,5 0,7 х2 0,4 0,9 R1 R 2 R1  R2 R1 ( x1 , z1 ) ( R1 ( x1 , y1 ) R2 z1 z2 z3 y1 0,9 0.4 0.2 y2 1 0.5 0.1 y3 0.8 0.6 0.3 ( y1 , z1 )) ( R1 ( x1 , y 2 ) min ( R1 ( x1 , y1 ), R2 ( y1 , z1 )) min(0.2, 0.9) = 0.2; min ( R1 ( x1 , y2 ), R2 ( y2 , z1 ) min(0.5, 1) = 0.5; min ( R1 ( x1 , y3 ), R2 ( y3 , z1 ) min(0.7, 0.8) = 0.8; max(min ( R1 ( x1 , yi ), ( R2 ( yi , z1 ))) ( y 2 , z1 )) ( z2 z3 х1 0,7 0.6 0.3 х2 0.8 0,6 0.3 R1 ( x1 , y3 ) R2 ( y3 , z1 )) max(0.2, 0.4, 0.7) = 0.7; R1 R 2 ( x1 , z 2 ) R1 R 2 ( x1 , z 2 ) max (min(0.2, 0.4), min(0.5, 0.5), min(0.7, 0.6) ) = max (0.2, 0.5, 0.6) = R1 ( x1 , y1 ) R2 z1 R2 ( y1 , z 2 )) ( R1 ( x1 , y 2 ) R2 ( y 2 , z 2 )) ( R1 ( x1 , y3 ) R2 ( y3 , z 2 )); 0.6; R1 R 2 ( x1 , z 3 ) ( R1 R 2 ( x1 , z 3 ) max (min(0.2, 0.2), min(0.5, 0.1), min(0.7, 0.3) ) = max (0.2, 0.1, 0.3) = R1 ( x1 , y1 ) R2 ( y1 , z 3 )) ( R1 ( x1 , y 2 ) R2 ( y 2 , z 3 )) ( R1 ( x1 , y3 ) R2 ( y3 , z 3 )); 0.3; R1 R 2 ( x2 , z1 ) = max (0, 0.4, 0.8) = 0.8 ; R1 R 2 ( x2 , z 2 ) = max (0, 0.4, 0.6) = 0.6 ; R1 R 2 ( x2 , z 3 ) = max (0, 0.1, 0.3) = 0.3 ; Замечание: в данном примере использован «аналитический» способ композиции отношений R1 и R2 , т.е. i-строка R1 «умножается » на i-столбец R2 с использованием операции , полученный результат «свертывается» с использованием операции в R1 R 2 ( xi , z j ). Операция композиции (свертки) может быть интерпретирована при помощи графов следующего вида (рисунок 53): а) б) Рисунок 53 – Интерпретация операции композиции. Графы R1 и R2 «склеены» по Y: Рассматриваются все возможные пути из xί в zj (в данном примере 3 пути) и каждому ставится в соответствие min “вeс” компонента составляющего путь. Затем определяем max по всем путям, который и дает искомое значение R1 R 2 ( xi , z j ). Свойства (max-min)-композиции: - ассоциативность R3 о (R1оR2) = (R3оR2) о R1 ; - дистрибутивность относительно объединения R3 о (R2  R1) = (R3 o R2)  (R3 o R1) . - дистрибутивность относительно пересечения не выполняется R3 o (R2  R1) (R3 o R2)  (R3 o R1) ; Кроме того выполняется важное свойство: Если R1 R2, то R o R1 R o R2 В выражении R1 R 2 ( x, z ) ( y R1 ( x, y) R2 ( y, z )) для max-min композиции отношений R1 и R2 операцию можно заменить операцией, для которой выполняются свойства, что и для : ассоциативность и монотонность (в смысле не убывания) по каждому аргументу. В частности можно заменить на алгебраическое умножение - (или иначе prod). Тогда говорят о (max-prod)-композиции: R1 R 2 ( x, z ) ( R1 ( x, y) R2 ( y, z )) . y 19 Система диагностики, использующая нечѐткие правила. Рассмотренные до сих пор нечѐткие выводы представляют собой восходящие выводы - от предпосылок к заключению. Они наиболее часто используются на практике. В последние годы в диагностических нечѐтких системах начинают применятся нисходящие выводы. По существу это метод моделирования с помощью уравнения нечѐтких отношений. Рассмотрим нисходящие нечѐткий вывод на примере диагностической системы (рисунок 54). Пусть - полное пространство предпосылок Х состоит из m факторов - полное пространство заключений Y состоит из n симптомов X = {x1, x2, … xm}; Y = {y1, y2, … yn}. Рассмотрим упрощѐнную модель диагностики неисправности автомобиля при m = 2, Х: n = 3. х1- неисправность аккумулятора; х2 – отработка машинного масла. Y: у1 – затруднения при запуске; у2 – ухудшение цвета выхлопных газов; у3 – недостаток мощности. Между Х и Y существует нечѐткое причинное отношение: Y, R: X 0,1 . ( x, y) Отношение R можно представить в виде матрицы: i = 1…m; R = [rij], j = 1…n, rij [0, 1], rij = xi yj. Конкретные входы (предпосылки) и выходы (заключения) системы можно рассматривать как нечѐткие множества А и В на пространствах Х и Y. Отношения этих множеств можно обозначить как В = А  R , где o - композиция нечѐтких выводов. Факторы Симптомы x1 y1 R=[rij] x2 y2 i = 1, m j = 1, n xm ym Рисунок 54 – Система диагностики, использующая нечеткие правила. Направление выводов является обратным к направлению выводов для правил. То есть, в случае диагностики: Имеются: Наблюдаются: Задача: R - знание эксперта. В - выходы или симптомы. найти А - входы или факторы. Пусть знание эксперта-автомеханика имеют вид: R 0.9 0.1 0.2 0.6 0.5 0.5 Результат осмотра автомобиля оценивается как В = {0.9/y1, 0.1/y2, 0.2/y3}. Требуется определить причину такого состояния: найти А = {а1/х1, а2/х2}, т.е. определить значения степеней принадлежности а1, а2 каждого фактора х1, х2. Решение: В = А R , В = [0,9, 0,1, 0,2] , А = [a1, a2], тогда [0,9 0,1 0,2] = [a1, a2] o 0,9 0,1 0,2 , 0,6 0,5 0,5 или в виде нечетких векторов-столбцов 0,9 0,1 0,2 0,9 0,6 а 0,1 0,5  1 а2 0,2 0,5 Раскрывая (max-min)-композицию получим следующую систему уравнений: 0,9 (0,9 а1 ) (0,6 а2 ) (1) 0,1 (0,1 а1 ) (0,5 а2 ) (2) 0,2 (0,2 а1 ) (0,5 а2 ) (3) Систему из трех уравнений с двумя неизвестными необходимо решить относительно а1 и а2. В уравнении (1) второй член правой части (0,6 а2 ) 0,6 а2 0,1 . Поэтому он не оказывает влияния на левую часть, следовательно можно записать: 0,9 (0,9 а1 ) , следовательно а1 0,9 . Подставив найденное решение в уравнение (2), получим : 0,1 0,1 (0,5 а2 ) ; 0,5 а2 0,1; а2 0,1 . Формула (3) справедлива при данном решении Таким образом, получаем решение: 1 а1 0,1 а 2 0,9 а1 – параметр неисправности аккумулятора Вывод: а2 – параметр отработки машинного масла Лучше заменить аккумулятор. На практике m и n принимают значения от нескольких единиц до нескольких десятков. Может использоваться нескольких правил композиции нечѐтких выводов. В данном примере решение получено как значение на отрезке. В результате чего можно рассматривать максимальное решение [1 , 0,1] – {1/x1, 0,1/x2}, и минимальное решение [0,9 , 0] – {0,9/x1, 0/x2}. В общем случае для композиции типа (max-min cвѐртки) существует одно максимальное и несколько меньших решений. На практике количество методов решения систем уравнений нечѐтких отношений значительно меньше, по сравнению с количеством методов прямого вывода по правилам.