Нечеткие знания

1 Лекция 6 Нечеткие знания Знания не всегда могут быть описаны точно - часто встречаются так называемые "нечеткие знания". Люди повседневно решают проблемы и делают заключения в среде "нечетких знаний", а для того, чтобы экспертные системы обладали такими возможностями как гибкость, широкий кругозор, адаптируемость, необходимо представление и использование нечетких знаний. Все нечеткости, с которыми имеет дело инженерия знаний, можно классифицировать следующим образом: недетерминированность выводов; неоднозначность; ненадежность; неполнота; собственно нечеткость. Основные понятия и элементы теории нечетких множеств Когда мы говорим «Старик», то не ясно, что мы имеем в виду: старше 50? старше 60? старше 70? Одним из методов изучения множеств без уточнения их границ является теория нечетких множеств, которая была предложена Л. Заде в 1965 г. и продолжает развиваться. Эти исследования связаны также с нечеткими выводами, которые выполняются с использованием правил, представленных как нечеткие множества. В данном разделе мы ознакомимся с основными понятиями теории нечетких множеств и методами нечетких выводов. Определение Нечеткое подмножество F множества элементов U определяется функцией принадлежности  F (u). Эта функция отображает элементы u множества U на множество чисел в интервале [0,1], которые указывают степень принадлежности каждого элемента нечеткому подмножеству F. Если множество U состоит из конечного числа элементов {u1 , u2 , ..., un }, то нечеткое подмножество F можно представить следующим образом: n F   F (u1 ) / u1   F (u2 ) / u2  ...   F (un ) / un    F (ui ) / ui . i 1 2 Следует иметь в виду, что знак плюс в этой формуле означает не суммирование, а объединение или конъюнкцию, а символ « / » показывает, что значение  A (ui )  относится к элементу, следующему за ним. В случае непрерывного множества U вводится следующее обозначение подмножества F:  (u ) / u. U Следует иметь в виду, что знак «  » в приведенной выше формуле означает не интегрирование, а объединение. Заметим также, что если  A (u) принимает значение только 0 или 1, то множество А является обычным множеством. Запись  A (u)  1 означает, что элемент u U принадлежит множеству А, т.е. u  A. Запись  A (u)  0 означает, что u U не принадлежит множеству А, т.е. u U . Пусть U — множество людей в возрасте 0–100 лет, функции принадлежности нечетких множеств, означающих возраст: «Молодой», «Средний», «Старый» можно определить так: µ(u) 1 1,0 0,8 0,6 0,4 молодой средний старый 0,2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1 При дискретизации через 10 лет получим приблизительно следующее: молодой = 1/0 + 1/10 + 0,9/20 + 0,3/30, средний = 0,8/30 + 1/40 + 0,8/50, старый = 0,3/50 + 0,9/60 + 1/70 + 1/80 + 1/90+ 1/100. Здесь элементы множества с функцией принадлежности, равной 0, не записываются. 3 6.2. Операции на нечетких множествах Над нечеткими множествами выполняются те же операции, что и над обычными множествами. Понятие нечеткого подмножества Л. Заде определил следующим образом: нечеткое подмножество данного конечного множества U — это такое подмножество, значения степеней принадлежности элементов которого лежат в единичном интервале [0,1]. Пусть A   A(u) / u и B   B(u ) / u два нечетких множества, тогда U U нечеткое множество A является подмножеством нечеткого множество B( A  B), если для всех u справедливо неравенство  A (u)   B (u).  Равенство двух нечетких множеств определяется следующим образом: два нечетких множества A и B равны ( A  B), если для всех u справедливо   A (u)  B (u).  ОБЪЕДИНЕНИЕ нечетких множеств А и В: A  B   A(u )  B(u )  / u, U ПЕРЕСЕЧЕНИЕ нечетких множеств А и В: A  B   A(u )  B(u )  / u, U где A(u)  B(u)  min A(u), B(u).  ДОПОЛНЕНИЕ или ОТРИЦАНИЕ определяется следующей формулой: ~ A   1   A (u )  / u.  U Квантификатор не может интерпретироваться с помощью операции отрицания: не x  1   x (u) / u. РАЗНОСТЬ двух нечетких множеств определяется формулой A  B  A ~ B. ДИЗЪЮНКТИВНАЯ СУММА определяется соотношением A  B  ( A  B)  ( A  B). Например, ~(молодой) = 0,1/20+0,7/30+1/40+1/50+1/60+1/70+1/80+1/90+1/100. (молодой)  (средний) = 1/0+1/10+0,9/20+0,8/30+1/40+0,8/50. (молодой)  (средний) = 0,3/30. 4 ПРОИЗВЕДЕНИЕ нечетких множеств А и В определяется следующим соотношением: A  B    A (u )   B (u ) / u. U b A    A (u )  / u, где b  0. Операция возведения в степень b U Операция концентрирования нечеткого множества CON(A) = A2 . Эта операция уменьшает степень принадлежности элементов тем больше, чем меньше степень их принадлежности первоначальному множеству А. Квантификатор очень может интерпретироваться с помощью операции концентрации, то есть возведения в квадрат: очень x    x (u ) / u.  Операция растяжения нечеткого множества является противоположной концентрации и определяется соотношением DIL( A)  A0,5. Операция контрастной интенсивности определяется соотноше2  2  A , 0   A (u )  0.5; нием INT ( A)  ~ 2  (~ A) 2 , 0.5   (u )  1. A  Эта операция увеличивает значения  A (u), которые больше 0,5, и уменьшает те значения  A (u ), которые меньше 0,5, уменьшая тем самым нечеткость А. 2   Нечеткие отношения Пусть U и V — универсальные множества, на которых определены X и Y соответственно, тогда нечеткое отношение R: X → Y определяется как подмножество декартова произведения двух нечетких множеств X Y U  V, которое задается с помощью функции принадлежности двух переменных по формуле R   R (u, v) /(u, v). X Y В общем случае n-арное отношение или n-отношение определяется следующим образом. Пусть R — результирующее множество декартова произведения n множеств и μ — его функция принадлежности. Нечеткое n-отношение определяется как нечеткое подмножество R, принимающее какое-либо значение на интервале функции принадлежности в соответствии со следующей формулой: 5 R   R (u1, ..., un ) / (u1, ..., un ). X 1  ... X n xi  X i , i  1, ..., n. Пример Допустим, что Х = {Иван, Марья}; Y = {Петр, Дарья}, тогда Дружба = 0.6/(Иван, Петр) + 0.9/(Иван, Дарья) + 0.8/(Марья, Петр) + 0.1/(Марья, Дарья). Отношения удобно записывать с помощью матрицы отношений Петр Дарья Иван 0.6 0.9 Марья 0.8 0.1 Допустим, что существует нечеткое знание-правило типа если F, то G (если старый, то умный), использующее нечеткие множества F  U и G  V. Тогда один из способов построения нечеткого отношения из соответствующей области полного множества U в область полного множества V состоит в следующем: R  F  G    F (u )  G (v)  /(u, v) U V или   R  F  G    F (ui )  G (v j ) / (ui , v j ). i j Необходимо отметить, что есть и другие способы построения нечеткого отношения, о них будет сказано позже. Пусть U и V — это области натуральных чисел от 1 до 4, тогда определим следующим образом нечеткие множества: F = маленькие = 1/1 + 0.6/2 + 0.3/3 + 0/4, G = большие = 0/1 + 0.1/2 + 0.6/3 + 1/4. Если есть нечеткое знание-правило если u — маленькое, то v — большое, то, используя приведенную выше формулу, можно построить нечеткое отношение, определяющее данное знание-правило: 6 0 0.1 0.6 1 0 0.1 0.6 0.6 R = F  G = 0 0.1 0.3 0.3 Пусть R — нечеткое отношение из области U в область V, S — нечеткое отношение из области V в область W, тогда нечеткое отношение из области U в область W, определяется как свертка maxmin: n l   R  S      R (ui , v j )   S (v j , wk ) /(ui , wk ). i 1 k 1 v j V Здесь знак « »обозначает свертку max-min,  — взятие максимума для всех vj vj; — взятие минимума. Пример U = V = W = {1, 2, 3, 4}. F = маленькие = 1/1 + 0.6/2 + 0.3/3 + 0/4, G = большие = 0/1 + 0.1/2 + 0.6/3 + 1/4. ~F = не_маленькие = 0/1 + 0.4/2 + 0.7/3 + 1/4, G2= очень_большие = 0/1 + 0 .01/2 + 0.36/3 + 1/4 или, округлив, 0/1 + 0 /2 + 0.4/3 + 1/4. Тогда если есть знание-правило если v — не маленькое, то w — очень большое, то в соответствии с формулой S = ~F  G2 можно построить нечеткое отношение S из V в W 0 0 0 0 0.4 0.4 S = ~F  G 2 = 0 0 0.4 0.7 0 0 0.4 1 И далее можно построить нечеткое отношение из U в W. 0 0.1 0.6 1 0 0.1 0.6 0.6 RS=0 0.1 0.3 0 0 0 0 0.4 0.4  0.3 0 0 0.4 0 0 0.4 0 0 0.4 0 0 0.4 0.6 = 0.7 0 1 1 0 0.3 0.3 0 0 7 Вывод на нечетких знаниях. Композиционное правило Традиционный дедуктивный вывод, называемый также модус поненс, записывается следующим образом: P Q P ______ Q Что означает вывод Q из факта P по правилу P Q. Используя те же обозначения, можно определить нечеткий дедуктивный вывод следующим образом: P Q P` ______ Q` Однако эта формулировка имеет существенное отличие от традиционного модус поненс. Здесь не требуется совпадения высказывания P` в факте и высказывания P в правиле. В общем случае могут не совпадать и заключения Q и Q`. Л. Заде предложил нечеткий условный вывод в следующей форме: если х есть А, то y есть В, иначе y есть С х есть А' ___________________________________ y есть D Здесь x, y – имена объектов, A,A',B,C,D – нечеткие понятия, представленные нечеткими множествами, определенными на U,U,V,V,V соответственно. Предложено несколько правил, переводящих нечеткое условное высказывание «если х есть А, то y есть В, иначе y есть С» в нечеткое отношение U  V. Пусть А,В,С – нечеткие множества в U,V,V, заданные в виде А =   A (u)/u ; B =   B (v)/v; C =   C (v)/v ; U Тогда имеем. V V 8 А. Максиминное правило Rm': Rm' = (A  B)  ( ~A  C) =  ( A (u)   B (v))  ((1   A (u))  C (v))/(u,v) UV Б. Арифметическое правило Ra': Ra'= (~A  V + U  B)  (A  V + U  C) = 1(1  A (u)   B (v))  (( A (u)  C (v))/(u,v) UV В. Размытое бинарное правило Rb'= (~A  V  U  B)  (A  V  U  C)=  (1  A (u)  B (v))  (( A (u)  C (v))/(u,v) UV Г. Правила Танака-Мидзумото-Фуками Rgg'= (A  V G U  B)  (~A  V G U  C) = g g  ( A (u)   B (v))  ((1  A (u))  C (v))/(u, v) UV ,  где  A (u)  B (v) =  1,если  A   B  B , если  A   B  g Rss'= (A  V S U  B)  (~A  V S U  C) = s s ,  ( A (u)   B (v))  ((1  A (u))  C (v))/(u, v) UV 9 где 1, если    A B   A (u)  B (v) =  0, если  A   B  s Rsg'= (A  V S U  B)  (~A  V G U  C) = g s  ( A (u)   B (v))  ((1  A (u))  C (v))/(u, v) UV , Rgs'= (A  V G U  B)  (~A  V S U  C) = g s ,  ( A (u)   B (v))  ((1  A (u))  C (v))/(u, v) UV Таким образом, возвращаясь к исходной постановке задачи если х есть А, то y есть В, иначе y есть С х есть А' __________________________________________ y есть D используя max-min композицию, следствие D можно вывести следующим образом: Dm = А'  Rm', Da = А'  Ra', Db = А' Rb', Dss = А'  Rss', Dsg = А'  Rsg', Dgs = А'  Rgs' Dgg = А'  Rgg'. Пример. U = V = {1, 2, 3, 4}. маленькое = 1/1 + 0,6/2 + 0,2/3 + 0/4, большое = 0/1 + 0,1/2 + 0,7/3 + 1/4. Есть нечеткое знание-правило если u — маленькое, то v — большое, иначе v — маленькое Формализуем это знание-правило помощью максиминного правила 10 Rm' = (μ A(u) μ B(v)) ((1 μ A(u)) μC(v))/(u,v) = U V u1 u2 u3 u4 v1 0,0 0,1 0,7 1,0 v2 0,4 0,4 0,6 0,6 v3 0,8 0,6 0,2 0,2 v4 1,0 0,6 0,2 0,0 Пусть одиночная посылка в нечетком модус поненс: u — маленькое.  0,0  0,1 Тогда Dm = А'  Rm' =(1 0,6 0,2 0)    0,7  1,0 0,4 0,8 1,0  0,4 0,6 0,6  0,6 0,2 0,2   0,6 0,2 0,0  = (0,2 0,4 0,8 1), что может интерпретироваться как «похожее на большое», хотя ожидаемое значение было «большое».