Нечеткие множества

Лекция 2. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА (4 часа) 1. Основные понятия. 2. Операции на нечетких множествах. 3. Рациональный выбор на основе аддитивной свертки. 2.1. Основные понятия Понятие множество относится к числу интуитивно постигаемых понятий, содержательно эквивалентное понятию «совокупность», «набор», «семейство», «класс» и другим обобщающим понятиям. Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами. Множества могут задаваться следующими способами: 1. Перечислением элементов (интенсиональным путем): или , где ; - знак вхождения элементов во множество; 2. Путем указания некоторого характеристического свойства . Например, «множество натуральных чисел», «множество выпускаемой продукции данного завода» и т.д. В этом случае можно использовать запись следующего вида: {а: а есть товар, выпускаемый данным заводом}. На множествах могут быть выделены подмножества. Вхождение подмножества во множество записывается . Это означает, что все элементы подмножества являются одновременно элементами множества . Множество, в котором в данный момент нет ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают . Множество называется универсальным, если все рассматриваемые множества являются его подмножествами. При иллюстрации теоретико-множественных представлений, удобно применять диаграммы Эйлера-Венна. В этих диаграммах универсальное множество изображается в виде множества точек прямоугольника, а подмножества – в виде кругов внутри этого прямоугольника. Понятие множества можно заменить понятием характеристической функции, вводя ее следующим образом: Операциям пересечения , объединения и дополнения множеств, взаимно однозначным образом, ставятся в соответствие операции над их характеристическими функциями, определяемым поэлементно (для всех ): где , и – булевы функции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Для отношения включения множеств выполняется: , тогда и только тогда, когда для всех . Таким образом, вместо булевой алгебры множеств можно рассматривать алгебру характеристических функций. Основные операции логики высказываний, формы их описания и истинность в зависимости от логических операций приведены в табл.2.1, 2.2. Таблица 2.1 Т Таблица 2.2 Разработка теории нечетких множеств, созданная как расширение традиционной теории множеств, вызвана необходимостью моделирования таких явлений и понятий, в которых центральная роль отведена ЛПР. В настоящей главе представлены базовые понятия и определения теории нечетких множеств. Известно, что, в определенном экономическом контексте, премию за риск можно определить на основе экспертных оценок. Например, эксперт может высказать следующие утверждения: к множеству среднерискованных проектов принадлежат те, чьи премии за риск менее 6%, а проекты с премией за риск более 9% , можно отнести к множеству высокорискованных. В промежутке, от 6% до 9%, проект, с разными степенями уверенности, может быть отнесен экспертом как к множеству среднерискованных, так и к множеству высокорискованных. Но такая ситуация непримиримо противоречит классическому восприятию понятия “множество”, в соответствии с которым требуется дать однозначный ответ о принадлежности элементов к множеству: либо ”да”, либо ”нет”. Таким образом, размытость границ понятий человеческого языка вызвала необходимость изучения нового математического объекта - “нечеткое множество”. Из сказанного следует, что элементы нечеткого множества обладают некоторым общим свойством в различной степени. Поэтому для нечеткого множества характерна такая ситуация: а) необходимо указать такие элементы, которые точно принадлежат множеству; б) определить элементы ему однозначно не принадлежащие; в) выявить элементы, которые входят в данное множество с разными степенями принадлежности. Отметим основные особенности субъективного конструирования нечеткого множества “молодой” человек. 1. Задается универсальное множество – это возможный возраст человека. Обозначим универсальное множество через ; 2. В выделяем промежуток . Людей этого возраста мы однозначно относим к молодым; т.е. “да”, люди этого возраста принадлежат множеству молодых людей; 3. В выделяем промежуток . Людей этого возраста мы однозначно не относим к молодым; т.е. “нет”, люди этого возраста не принадлежат множеству молодых людей; 4. В промежуточных случаях каждому возрасту из этого промежутка ставится в соответствие степень принадлежности. Например, степень принадлежности 25-летнего человека к множеству молодых эксперт, исходя из собственного опыта и знаний предметной области, назначает равным числу 0.6. Аналогично, другим возрастам из эксперт приписывает соответствующие числа из промежутка . На рис.2.1 представлено построенное нечеткое множество. Таким образом, сконструировано нечеткое множество, для которого характерным являются следующие особенности: 1) множество обозначено словом молодой; 2) каждый элемент этого множества имеет свою степень принадлежности, которая изменяется от 0 до 1; 3) степень принадлежности интерпретируется как субъективная мера совместимости элемента с названием множества. Рис.2.1. Функция принадлежности нечеткого множества Для количественного выражения принадлежности элемента используется обобщение характеристической функции обычного, четкого множества. Применяя этот прием, Л.Заде ввел понятие функции принадлежности для нечетких множеств. Для нечеткого множества функция принадлежности обозначается как . Функция принадлежности нечеткого множества принимает любое значение из промежутка , в то время как характеристическая функция четкого множества принимает только два крайних значения: 0 или 1. Функцию принадлежности нечеткого множества молодой человек можно записать с помощью следующей формулы, которая позволяет количественно определять степени принадлежности элементов нечеткому множеству. Если - множество с конечным числом элементов , то нечеткое множество записывается в виде В данной записи элемент означает пару ; знак суммирования не означает операцию сложения, а интерпретируется как множественное суммирование элементов. Пример 2.1. Пусть имеется высказывание: нечеткое множество не содержит элемент , содержит в небольшой степени , в немного большей степени , в значительной мере , однозначно содержит элемент . Математический объект (нечеткое множество ), определяемый этим высказыванием, эксперт, исходя из своих предпочтений, может представить так . В “числителе” указывается степень принадлежности элемента нечеткому множеству . Графическое отображение этого нечеткого множества представлено на рис. 2.2. Рис.2.2. Функция принадлежности нечеткого множества. Дадим определение нечеткого множества. Определение 1. Нечетким множеством универсального множества называется отображение . Функция принадлежности приписывает каждому элементу степень его принадлежности нечеткому множеству , т.е. . Переменная - называется базовой переменной. Отметим, что значение является субъективной экспертной оценкой совместимости элемента с названием множества , при этом: означает полную принадлежность элемента к нечеткому множеству ; означает отсутствие принадлежности элемента к нечеткому множеству ; означает частичную принадлежность элемента к нечеткому множеству . Если - множество с бесконечным числом элементов, то нечеткое множество записывается в виде . Определение 2. Носителем (основанием) нечеткого множества называют множество тех элементов , у которых степени принадлежности не равны нулю: . В примере 2.1 , т.к. элемент имеет нулевую степень принадлежности и потому не входит в носитель нечеткого множества. Нечеткое множество пусто, , если . Определение 3. Высота нечеткого множества обозначается и определяется как . Определение 4. Нечеткое множество называют нормальным, если его высота равна 1, . В противном случае нечеткое множество называют субнормальным и его можно нормализовать с помощью преобразования . Определение 5. Нечеткое множество является выпуклым тогда и только тогда, когда для выполняется условие ; нечеткое множество является вогнутым, если ; Определение 6. -срезом нечеткого множества называют множество тех элементов , у которых степени принадлежности больше некоторого заданного числа , Заметим, что -срез является обычным множество и если , то . Пример 2.2. В примере 2.1, - срез (при ) представляет собой обычное четкое множество . Пример 2.3. На рис.2.1 -срез (при ) является отрезком , . Иллюстрация -срезов нечеткого множества представлена на рис 2.3. Рис.2.3. -срезы нечеткого множества Ясно, что при , -срез совпадает с носителем нечеткого множества , . В заключение отметим, что в определении нечеткого множества, по существу, заложены две фундаментальные идеи: • нечеткие понятия естественного языка предложено описывать функциями; • построение этих функций осуществляются с помощью экспертов. 2.2. Операции на нечетких множествах С нечеткими множествами производятся операции объединения, пересечения, дополнения и ряд других. Определение 7. Нечеткие множества и равны, , тогда и только тогда, когда ; . Чтобы учесть случай “ и почти равны ” вводится понятие степени равенства нечетких множеств . Определение 8. Нечеткое множество содержится в нечетком множестве , , тогда и только тогда, когда ; . Для определения количественной меры включения , вводится понятие степени включения (рис.2.4) , Рис.2.4. Степень включения Определение 9. Объединением нечетких множеств и универсального множества называется нечеткое множество , имеющее функцию принадлежности (рис.2.5) ; ; Определение 10. Пересечением нечетких множеств и называется нечеткое множество , имеющее функцию принадлежности (рис.2.5) ; . Определение 11. Дополнением нечеткого множества называется нечеткое множество , имеющее функцию принадлежности (рис.2.6) ; , Рис.2.5. Объединение и пересечение нечетких множеств Рис.2.6. Дополнение нечеткого множества Определение 12. Разностью нечетких множеств и называется нечеткое множество , имеющее функцию принадлежности ; . Приведем сводку свойств основных операций над нечеткими множествами. 1. ; ; Коммутативность 2. ; ; Ассоциативность 3. ; ; Идемпотентность 4. ; ; Дистрибутивность 5. ; ; ; ; 6. ; Законы Де Моргана 7. ; 8. и , ; Однако, в общем случае, . Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max и min. В теории нечетких множеств находят применение операции пересечения, объединения и дополнения, позволяющие учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок "и", "или", "не". В качестве модели операции пересечения используется треугольная норма. Треугольной нормой (-нормой) называется двуместная действительная функция :, удовлетворяющая следующим условиям: ; ; - ограниченность; , если , - монотонность; - коммутативность; - ассоциативность; Примеры -норм: . ; ; Произвольная -норма ограничена следующим образом: В качестве модели операции объединения используется треугольная конорма. Треугольной конормой (-конормой) называется двуместная действительная функция :, со свойствами: ; ; - ограниченность; , если , - монотонность; - коммутативность; - ассоциативность; Примеры -конорм: ; ; Произвольная -конорма ограничена следующим образом: 2.2.1. Специальные операции на нечетких множествах Приведем некоторые специальные операции. 1. Операция концентрирования . Ее функция принадлежности имеет вид . 2. Операция растяжения , . Пример 2.4. Пусть и , тогда ; 3. Декартово (прямое) произведение нечетких множеств. Пусть - нечеткие подмножества универсальных множеств , соответственно. Декартово (прямое) произведение является нечетким подмножеством множества , функция принадлежности которого имеет следующий вид , . Пример 2.5. Пусть , , , тогда . 4. Операция контрастной интенсивности нечеткого множества определяется соотношением 5. Операция осреднения. В качестве таковых применяются, например, среднее арифметическое и среднее геометрическое функций принадлежности . 2.2.2. Декомпозиция нечетких множеств и принцип обобщения Декомпозиция нечеткого множества. Нечеткое множество с функцией принадлежности может быть представлено как объединение уровневых множеств (срезов нечеткого множества ): , или в терминах функции принадлежности . Этим самым мы осуществляем операцию декомпозиции нечеткого множества. Пример 2.6. Запишем срезы нечеткого множества . При , мы имеем . Здесь в уровневое множество вошли все элементы нечеткого множества . При , получаем , а в случае , очевидно, что . Теперь, в соответствии с утверждением о декомпозиции, мы можем провести декомпозицию нечеткого множества и записать, что . Принцип обобщения. Данный принцип относится к одному из основополагающих положений теории нечетких множеств. Сущность этого принципа состоит в следующем. Предполагается заданной некоторая строго монотонная функция , и область определения и область значений этой функции. Принцип обобщения утверждает: пусть нам известно нечеткое множество с функцией принадлежности , . Тогда можно построить нечеткое множество функция принадлежности которого имеет следующий вид: , ; если же , то ; Таким образом, если мы имеем , , тогда можно сконструировать . Если нарушено условие строгой монотонности функции , то нечеткое множество где Пример 2.7. Пусть - четкое отображение, - нечеткие множества. Принцип обобщения гласит Здесь нечеткое множество сформировано как 2.3. Нечеткая и лингвистическая переменные Нечеткая переменная задается тройкой , здесь наименование нечеткой переменной; – область определения переменной; – нечеткое множество на , описывающее ограничения на значения переменной . Лингвистическая переменная -это кортеж вида , здесь - наименование лингвистической переменной; – множество ее значений, которые являются нечеткими переменными с областью определения ; называют базовым “терм – множеством” лингвистической переменной; – синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами и генерировать новые значения (термы); – семантическая процедура, позволяющая преобразовать новый терм в соответствующую нечеткую переменную. Пример 2.8. Пусть лингвистическая переменная “спрос” имеет терм – множество ={“высокий”, ”средний”, ”низкий”}. Каждый терм является нечетким множеством, который характеризуется функцией принадлежности, заданной на . Под процедурой будет пониматься образование новых термов с помощью логических связок “или”, ”и”, ”не”. Например, “не высокий или средний”. Под процедурой понимается процесс построения функции принадлежности нового нечеткого множества “не высокий или средний”. 2.4. Рациональный выбор на основе max-min свертки Элементы теории нечетких множеств успешно применяются в задачах принятия решений. Под принятием рационального решения мы будем понимать выбор допустимого решения (альтернативы), которая лучше или не хуже других, в некотором конкретном смысле, отражающем интересы лица принимающего решение. Пусть имеется множество альтернатив и множество критериев . При этом оценки альтернатив по каждому критерию представлены нечетким множеством . Правило выбора лучшей альтернативы определяется как пересечение . Тогда выбор альтернативы можно считать рациональным. При этом предполагается, что у лица принимающего решения не было никакой другой информации относительно множества альтернатив. Если критерии имеют различную важность, то их вклад в общее решение определяется как взвешенное пересечение ; Коэффициенты важности критериев вычисляются с помощью коэффициентов Саати , определяемых по методу Саати. Метод Саати. Рассмотрим основные положения метода в ходе решения следующей задачи. Пусть имеется три критерия , для которых следует определить их коэффициенты важности Саати , используя знания экспертов. Экспертом осуществляется попарное сравнение критериев относительно некоторой цели , а результаты сравнения записываются в опросную матрицу Процедура заполнения матрицы состоит в следующем. Эксперт должен ответить на вопрос: “Во сколько раз критерий превосходит критерий ?”. При этом при заполнении матрицы требуется соблюдение следующих соотношений: . Для количественной оценки ответа на поставленный вопрос используется эмпирическая шкала Саати: Значения шкалы 2, 4, 6, 8 отражают промежуточные степени превосходства. Обработка опросной матрицы проводится в соответствии со следующей вычислительной схемой: 1. Вычисляются коэффициенты важности критериев ; ; ; ; ; ; Замечание. Здесь – можно трактовать как степень совместимости критериев с поставленной целью , . То есть метод Саати позволяет строить функцию принадлежности нечетких множеств. 2. Для определения степени согласованности построенной матрицы вычисляется индекс согласованности , здесь – число рассматриваемых критериев, ; ; – случайный индекс, зависящий от количества сравниваемых критериев. Его значение берется из таблицы В случае согласованного опроса должно быть выполнено неравенство . Это будет означать, что процедура опроса успешно завершена. В случае не выполнения этого неравенства, опрос эксперта проводится повторно, либо проверяется корректность поставленной задачи. Пример 2.9. Разработаны три стратегии поддержки сбыта продукции (альтернативы): . Необходимо выбрать стратегию с учетом трех факторов (критериев): - реклама; - стимулирование продаж; - public relation. Использовать метод max–min свертки. Сначала рассчитаем весовые коэффициенты важности Саати для каждого из факторов. При этом будем использовать знания эксперта, отраженные в опросной матрице Обработку матрицы осуществим в соответствии с предложенной вычислительной схемой. Вычислим коэффициенты важности альтернатив ; ; ; ; ; ; ; Определим индекс согласованности опросной матрицы ; ; . , поэтому процедура опроса эксперта успешно завершена. Теперь перейдем к решению задачи многокритериального выбора на основе max-min свертки. Пусть оценки альтернатив по каждому критерию представлены следующими нечеткими множествами , , , Коэффициенты важности критериев находят путем умножения количества критериев на весовые коэффициенты Саати ; ; ; . Построим функцию принадлежности нечеткого множества в соответствии с приведенной выше формулой . Тогда выбор стратегии (альтернативы) можно считать рациональным. Следовательно, , и наиболее предпочтительным является третий инвестиционный проект. 2.5. Задания для самостоятельной работы Задача 1. Построить функции принадлежности двух нечетких множеств , . Отобразить функции графически и, если возможно, то записать их аналитические выражения. Носители нечетких множеств , , соответственно равны ; . № 1 Высокий банковский коэффициент покрытия (%) Низкий банковский коэффициент покрытия (%) 75 100 50 65 2 Высокий коэффициент финансовой независимости (%) Средний коэффициент финансовой независимости (%) 60 85 50 75 3 Высокая рентабельность (%) Низкая рентабельность (%) 25 30 10 15 Задача 2. Построить функции принадлежности нечетких множеств ; ; ; ; ; ; (использовать функции принадлежности нечетких множеств, , из задачи 1). Задача 3. Найти - срезы нечетких множеств и (использовать функции принадлежности нечетких множеств , , из задачи 1). Задача 4. Выбрать банк для размещения денежных средств. Имеются три банка (альтернативы): . Критериями оценки банков являются: - процентная ставка; - активы банка; - политика банка. Использовать метод max–min свертки. Задача 5. Имеются три инвестиционных проекта . Необходимо выбрать лучший с учетом пяти критериев : рентабельность; рынки сбыта; объем инвестирования; производственный риск, инвестиционный риск. Использовать метод max–min свертки. Задача 6. Выбрать вариант бюджета рекламы из трех разработанных (альтернативы): , учитывая, насколько в них приняты во внимание следующие цели: - оповещение; - убеждение; - напоминание. Использовать метод max–min свертки. Задача 7. Отобрать комплект характеристик товара из трех представленных для экспертной оценки (альтернативы): . Учитывать три критерия: - независимость характеристик товара; - ясная и однозначная воспринимаемость характеристик товара; - влияние характеристик на принятие решения о покупке товара. Использовать метод max–min свертки. Задача 8. Выбрать проект маркетинга из трех разработанных (альтернативы): , с учетом четырех взаимосвязанных секций: - рынок (сегментация рынка и описание конкурентной среды); - товар (анализ характеристик товара и организация продаж); - поддержка сбыта (анализ рекламы и поддержка сбыта); - бюджет (формирование прогноза продаж, бюджета рекламы и свободного бюджета). Использовать метод max–min свертки.