Наука о прочности: метод сечений

Лекция №1 Основные понятия, метод сечений. Цели и задачи курса. История развития науки о прочности. Силы внешние и внутренние. Метод сечений. Внутренние силовые факторы. Напряжение. Связь напряжений с внутренними силовыми факторами. Деформации и перемещения. Объекты расчета и расчетные схемы. Основные гипотезы и допущения. При проектировании сооружений и машин инженеру приходится выбирать материал и поперечные размеры каждого элемента конструкции так, чтобы он вполне надежно, без риска разрушиться или исказить свою форму, сопротивлялся действию внешних сил, передающихся на нее от соседних частей и элементов конструкции, т.е. чтобы была обеспечена полноценная работа этого элемента. Основание для правильного решения этой задачи дает инженеру дисциплина «Сопротивление материалов». Эта дисциплина изучает поведение различных материалов при действии на них сил и указывает, как подобрать для каждого элемента конструкции надлежащий материал и поперечные размеры при условии полной надежности работы и наибольшей дешевизны конструкции. Иногда приходится решать видоизмененную задачу – проверять достаточность размеров элементов уже спроектированной конструкции. Целью изучения дисциплины является расчет деталей и конструкций на прочность, жесткость и устойчивость; Наука о прочности имеет свою историю. Первое исследование в этой области принято отождествлять с именем Галилео Галилея. Он впервые поставил вопрос о необходимости проведения аналитических расчетов стержней при действии внешних силовых факторов. В 1676 г. Р.Гук установил пропорциональную зависимость между усилием и удлинениями в стержне при растяжении. Эта зависимость стала известна под названием закона Гука, одного из фундаментальных законов науки о прочности. Дальнейшее развитие науки о прочности шло параллельно развитию техники строительства и машиностроения и связано с целым рядом работ выдающихся ученых – математиков, физиков и инженеров. Среди них значительное место занимают русские и советские ученые, такие как Леонард Эйлер, Д.И. Жуковский, Х.С. Головин, Ф.С. Ясинский, И.Г. Бубнов, С.П. Тимошенко и др. Все твердые тела в той или иной мере обладают свойствами прочности и жесткости, т.е. способны в определенных пределах воспринимать воздействия внешних сил без разрушения и существенного изменения геометрических размеров. Под прочностью материала или детали конструкции понимается их способность сопротивляться действию внешних усилий не разрушаясь. При этом разрушение в одних случаях наступает после стадии малых деформаций, более или менее точно следующих закону Гука (хрупкое состояние материала); в других – между стадией малых деформаций и окончательным разрушением материал проходит через стадию значительных остаточных деформаций (вязкое или пластичное состояние материала). Под жесткостью материала или детали сооружения понимается их способность сопротивляться действию усилий с небольшими деформациями. Перемещения могут быть как линейными, так и угловыми. Под устойчивостью конструкции понимается ее способность сохранять первоначальную форму равновесия при воздействии внешних сил. Основными задачами курса является: - определение геометрических размеров конструкции при заданных внешних нагрузках и материале; - определение материалы при заданных внешних нагрузках и геометрических размерах; - определение внешних нагрузок при заданных материале и геометрических размерах При работе конструкций и машин их элементы воспринимают внешние нагрузки и передают их друг другу. Силовые факторы бывают двух видов: - Сила – мера взаимодействия между двумя телами - Момент – пара сил или сила, умноженная на «плечо» (кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой относительно которой находится момент) По различным классификациям силовые факторы подразделяются на: 1. внешние и внутренние: – внешние – это силовые факторы, приложенные к конструкции «из вне» (от соседних элементов конструкции, от внешних воздействий). – внутренние – это силы, возникающие в элементах конструкции (как следствие сопротивления внешним силам). 2. сосредоточенные и распределенные: – сосредоточенные – силы, передающиеся на элемент конструкции через площадку, размеры которой несоизмеримо малы по сравнению с размерами всего элемента. – распределенные – силы, приложенные непрерывно на протяжении некоторой длины или площади элемента конструкции. 3. поверхностные и объемные: – поверхностные – силы, приложенные к малым участкам поверхности (сосредоточенные) или к конечным участкам поверхности (распределенные). Они характеризуют взаимодействие конструкции с другими конструкциями или внешней средой (например, поток воздуха). – объемные – силы, распределенные по объему тела. Это силы тяжести, магнитного притяжения, силы инерции при ускоренном движении конструкции. 4. статические и динамические: – статические – силы, нагружающие конструкцию постепенно; будучи приложенными к сооружению, они не меняются или меняются незначительно. – динамические – силы, при приложении которых ускорения и изменение скоростей элементов машины или другой конструкции происходит за сравнительно небольшой период времени. Исследование любого реального объекта или конструкции следует начинать с выбора расчетной схемы. Приступая к расчету проектируемой конструкции, следует, прежде всего, установить, что в данном случае существенно и что несущественно; провести схематизацию объекта и отбросить все факторы, которые мало влияют на решение задачи. Такие упрощения необходимы, так как решение с полным учетом всех свойств реального объекта является очень трудоемким, а в ряде случаев, и невозможным. Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, носит название расчетной схемы. Для одного и того же объекта может быть предложено несколько расчетных схем, в зависимости от требуемой точности и особенностей расчета. Основными объектами расчетов в технической механике являются: 1. Стержень, брус – это тело, поперечные размеры которого, значительно меньше продольного (рис. 1.1, а), т.е. l>>b, l>>h. Рис. 1.1 2. Пластина – это тело, толщина которого много меньше других размеров (рис. 1.1, б), т.е., например, d>>δ или a,b>>δ. 3. Оболочка – это пластина, имеющая начальное искривление в одной или двух плоскостях (рис. 1.1, в). Рассмотрим стержень, показанный на рис.1.2 Внутренние силы в стержне можно наглядно представить, если мысленно рассечь его на две части. Такой прием выявления внутренних сил в технической механике носит название метода сечений. Наиболее удобно рассматривать сечения, ортогональные осевой линии стержня. Метод сечений основан на следующем принципе: если конструкция под действием внешних сил находится в равновесии, то и любая ее часть также находится в равновесии. Этот принцип позволяет установить связь между внешними и внутренними силами. Рис. 1.2 Q = F1 ; N = F2 . Чтобы охарактеризовать распределение внутренних сил по сечению, необходимо ввести для них числовую меру. За такую меру принимается напряжение. Рассмотрим сечение В некоторого тела (рис. 1.3). В окрестности точки К выделим элементарную площадку ∆А, в пределах которой выявлена внутренняя сила ∆Q. За среднее напряжение на площадке ∆Q . Будем уменьшать площадку ∆А, ∆А принимаем отношение pcp = ∆A стягивая ее в точку К. Поскольку среда непрерывна, возможен предельный переход при ∆А→0. В пределе получим: ∆Q = p. (1.1) lim ∆A→ 0 ∆A  Векторная величина p представляет собой полное напряжение в точке К сечения В. Рис. 1.3 Полное напряжение может быть разложено на три составляющих по нормали к плоскости сечения и по двум осям в плоскости сечения (рис. 1.4). Рис. 1.4 Составляющую вектора полного напряжения по нормали обозначают через σ и называют нормальным напряжением. Составляющие в плоскости сечения называются касательными напряжениями и обозначаются через τ. В зависимости от расположения и наименования осей обозначения σ и τ снабжают системой индексов. Если через точку К в теле провести другую секущую площадку, напряжение р в той же точке будет другим. Совокупность напряжений для всего множества площадок, проходящих через точку, образует напряженное состояние в точке. Напряженное состояние определяется шестью числовыми величинами и является в технической механике одним из наиболее важных понятий. Ни один из существующих в природе материалов не является абсолютно твердым; под действием внешних сил все тела в той или иной степени меняют свою форму (деформируются). Изменение формы напряженного тела существенно влияет на распределение в нем внутренних сил, хотя само по себе это изменение формы, как правило, является незначительным и обнаруживается в большинстве случаев только при помощи чувствительных приборов и аппаратуры. Под действием внешних сил точки тела меняют свое положение в пространстве. Вектор, имеющий свое начало в точке недеформированного тела, а конец – в соответствующей точке деформированного, называется вектором полного перемещения точки. Его проекции на оси координат носят название перемещений по осям. Они обозначаются через u, v и ω соответственно осям x, y и z. Кроме линейного перемещения введем понятие углового перемещения. Если рассмотреть отрезок прямой между двумя близкими точками до и после изменения формы, то легко установить, что этот отрезок поворачивается в пространстве на некоторый угол. Этот угол поворота является угловым перемещением и также характеризуется вектором, который может быть разложен по плоскостям x0y, y0z и x0z. Если на систему наложены связи, достаточные для того, чтобы исключить ее перемещение в пространстве как жесткого целого, то система называется кинематически неизменяемой. Для того, чтобы охарактеризовать интенсивность изменения формы и размеров, рассмотрим точки А и В недеформированного тела, расположенные одна относительно другой на расстоянии l (рис. 1.5). Пусть в результате изменения формы тела это расстояние увеличится на ∆l. Отношение приращения длины отрезка ∆l к его начальной длине назовем средним удлинением на отрезке l: ∆l = ε AB . l (1.2) Рис. 1.5 Будем далее уменьшать отрезок l, приближая точку В к точке А. В пределе получим: ∆l = ε AB , lim l l →0 (1.3) величина εАВ называется линейной деформацией (или просто деформацией) в точке А по направлению АВ. В той же точке в другом направлении будет другой. Если рассматривают деформации в направлении координатных осей x, y и z, в обозначение ε вводятся соответствующие индексы εx, εy и εz. При этом вводятся обозначения для деформаций: ∆l – абсолютная деформация; ε – относительная деформация. Кроме линейной деформации введем понятие угловой деформации. Предел разности углов COD и C ′O ′D ′ : γ COD = lim (COD − C ′O′D′) называется угловой деформацией или OC → o , OD → 0 углом сдвига в точке О в плоскости COD. В координатных плоскостях углы сдвига обозначаются через γyz, γzx и γxy. Совокупность линейных деформаций по различным направлениям и угловых деформаций в различных плоскостях для одной точки образует деформированное состояние в точке. Сложная форма и разнообразие физико-механических свойств материала, присущих реальному телу, составляют серьезное препятствие при изучении напряженного состояния теоретическим путем. В сопротивлении материалов исследование вопроса о прочности реального элемента конструкции начинается с выбора расчетной схемы. Выбор расчетной схемы заключается в устранении второстепенных факторов, незначительно влияющих на работу конструкции и схематизации рассматриваемого объекта. При схематизации сложные конструкции можно считать комбинациями, состоящими из более простых элементов: стержней, пластин и оболочек. Для облегчения решения вопросов инженерной практики с известной степенью приближения к действительности сопротивление материалов пользуется рядом гипотез и допущений: 1. Гипотеза плоских сечений – предположение о том, что плоские сечения, проведенные в теле до деформации, остаются плоскими и после деформации (гипотеза Я. Бернулли). 2. Допущение о малости деформаций – при расчете жестких тел допускается, что тело по отношению к своим общим размерам незначительно изменяет свою геометрическую форму. 3. Допущение об однородности и непрерывности материала – физико-механические свойства тела во всех точках его одинаковы, и материал равномерно, без пустот, заполняет весь объем тела. 4. Допущение об изотропности и ортотропности материала. 5. Принцип суперпозиции или принцип независимости действия сил.