Натуральные числа и нуль

Лекция 10. Тема: Натуральные числа и нуль. Цель: рассмотреть аксиоматическое определение системы натуральных чисел, построить ее теоретико - множественную модель, изучить способы записи и действия над ними. План лекции: 1.Аксиоматическое построение теории натуральных чисел. 2.Теоретико- множественный подход к построению теории натуральных чисел.. 3.Теоретико-множественный смысл арифметических операций. 1.Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления). Существуют два подхода к определению натуральных чисел: аксиоматический и теоретико – множественный. В работах двух математиков итальянского ученого Пеано и немецкого Грассмана была предложена аксиоматика, в которой натуральное число обосновывалось как элемент неограниченно продолжающейся последовательности. В аксиоматической теории аксиомы не доказываются , но система аксиом должна удовлетворять определенным требованиям. Назовем основные из них. Система аксиом должна быть : а)непротиворечивой:делая выводы из системы аксиом, мы не должны придти к противоречию; б)независимой:никакая аксиома не должна быть следствием другой. В качестве основного неопределяемого отношения в некотором множестве N было выбрано отношение «непосредственно следовать за». Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают аi. Отношение «непосредственно следовать за» удовлетворяет следующим аксиомам: Аксиома 1. Во множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей и обозначать символом 1. Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент аi , непосредственно следующий за а. Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а. Аксиома 4. Всякое подмножество М множества N совпадает с N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что а содержится в М, следует, что и аi содержится в М. Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за…», удовлетворяющее аксиомам 1 – 4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы – натуральными числами. Если в качестве множества N выбрать некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредствен следовать за…», удовлетворяющее аксиомам 1 – 4, то получим различные интерпретации (модели) данной системы аксиом. По правилам аксиоматической теории, основываясь на основные понятия и отношение «непосредственно следовать за…», определяются арифметические операции. Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, определенная на множестве N и обладающая свойствами: 1)( а∈ N) а+1=а1 2) )( а, в ∈ N) а+в1=(а+в)1 Число а+в называется суммой чисел а и в,а сами числа а и в-слагаемыми. Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, определенная на множестве N и обладающая свойствами: 1) (а∈ N) а ∙1=а; 2) (а,в∈ N) а ∙в1 = a.b+a Число а ∙b называется произведением чисел а и b, а сами числа а и b- множителями. Разностью натуральных чисел а и в называется натуральное число с= а -в , удовлетворяющее условию в+с=а. Действие, с помощью которого находится разность чисел а и в, называется вычитанием, число а- уменьшаемым, число в- вычитаемым. Разность натуральных чисел а –в существует тогда и только тогда, когда в(c (а∈ N) а + с = b. Если а < b, то это означает, что отрезок натурального ряда Na является собственным подмножеством отрезка Nb, т.е Na Nb и Na≠ Nb. Справедливо и обратное утверждение: если Na - собственное подмно­жество Na Nb, то а < b. Тем самым отношение «меньше» получает теоре­тико-множественное истолкование: а < b в том и только в том случае, когда отрезок натурального ряда Na является собственным подмноже­ством отрезка Nb, а < b <=> Na Nb и Na≠ Nb Если воспользоваться терминологией, принятой в школьном курсе математики, то последнее определение отношения «меньше» можно сформулировать так: «Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда при счете число а называют раньше числа b». Данная трактовка отношения «меньше» позволяет сравнивать числа,опираясь на знание их места в натуральном ряду. Однако срав­нение чисел (особенно неболь­ших) часто выполняют иначе, ис­пользуя связь чисел с конечными множествами. Свойства отношения «меньше» для натуральных чисел также получают теоретико-множественное истолкование: транзитивность и симметричность этого отношения связаны с тем. что транзитивно и асимметрично отношение «быть подмножеством». Теоретико-множественный смысл неравенства 0 < а, истинного для любого натурального числа а, связан с тем, что пустое множество является подмножеством отрезка Na (или любого такого множества А, для которого а = n(А)). Заметим, что приведенные трактовки отношения «меньше» основываются на понятии подмножества конечного множества. Так как в реальной жизни мы, как правило, имеем дело с конечными множествами, то наш опыт говорит о том, что и любое подмножество конечного множества - конечно. Однако с математической точки зрения этот факт нуждается в доказательстве. 3. Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств. Если a = n(A), b = n(B) и AB = , то суммой целых неотрицательных чисел а и b называется число элементов в объединении множеств А и В, т.е. a + b = n(A) + n(B) = n(AB). Доказательство. Докажем сначала, что если a и b - натуральные числа, то существует взаимно однозначное отображение отрезка натурального ряда N на множество Х таких чисел, что а + 1 х  a + b. Действительно, если поставить в соответствие числу с  Nb, число с + а, то в силу монотонности сложения этим будет задано взаимно однозначное отображение отрезка Nb на множество Х. Пусть a = n(A), b = n(B). Тогда существует взаимно однозначные отображения А на Na и В на  Nb,. Но, согласно доказанному выше, отрезок Nb  можно взаимно однозначно отобразить на множество Х таких чисел, что а + 1 х  a + b. Тем самым множество В взаимно однозначно отображается на Х. Отображая взаимно однозначно А на Na и В на Х, получаем взаимно однозначное отображение множества AВ  на отрезок Nа+в. Поскольку нет элементов, одновременно принадлежащих А и В, то это отображение определено на всем множестве AB. Значит, в множестве AB имеется a + b элементов, что и требовалось доказать. Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественных позиций сумма натуральных чисел a и b представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств A и B таких, что a=n(A),b=n(B): a+b=n(A)+n(AB),если AB=Ø В аксиоматической теории вычитание натуральных чисел было определено как операция, обратная сложению: a-b=c<=>(c N)b+c=a Вычитание целых неотрицательных чисел определяется аналогично. Выясним, каков смысл разности таких чисел, если a=n(A),b=n(B) Теорема . Пусть А- конечное множество и В – его собственное подмножество. Тогда множество А/В1 тоже конечно, причем выполняется равенство n(A/B)=n(A)-n(B) Из данной теоремы следует, что с теоретико- множественных позиций разность натуральных чисел a и b представляет собой число элементов в дополнении множества B множества А,, если a=n(A), b=n(B) и B c A a-b=n(A)-n(B)=n(A/B),если В с А. Аналогичное истолкование получает вычитание нуля а также вычитание а из а.Так так А\ Ø=А,А\А = Ø,то а-0=а и а-а=0 Определение умножения натуральных чисел в аксиоматической теории основывается на понятия отношения«непосредственно следовать за» и сложении.В школьном курсе математики используется другое определение умножения, оно связано со сложением одинаковых слагаемых.Покажем, что оно вытекает из первого. Теорема .Если b>1,то произведение числа a и b равно сумме b слагаемых, каждое из которых равно a. Итак, если а и b- натуральные числа и b>1, то произведение а∙b можно рассматривать как сумму b слагаемых, каждое из которых равно а Умножение на 1 определяется так:a∙1=a Если умножение рассматривается на множестве целых неотрицательных чисел, то к этим двум случаем надо добавить третий- определение В аксиоматической теории деление определятся как операция, обратная умножению , поэтому между делением и умножением устанавливается тесная взаимосвязь. Если а∙b=с, то зная произведение с и один из множителей, можно при помощи деления найти другой множитель. Выясним теоретико-множественный смысл полученных частных с:b и c:a. Произведение a∙b=c с теоретико-множественной точки зрения представляет собой число элементов в объединении b попарно непересекающихся множеств, в каждом из которых содержится а элементов, т.е. с=a∙b=n(A1A2…Ab), где n(A1)=n(A2)=…=n(Ab). Так как множества A1,A2…Ab попарно не пересекаются, а при их объединении получается множество- назовем его А,- в котором с элементов, то можно говорить о разбиении множества А на равночисленные подмножества А1,A2 …Ab.Тогда частное с:a - это число подмножеств в разбиении множества А, а частное c:b – число элементов в каждом подмножестве этого разбиения. Итак, с теоретико-множественной точки зрения деление чисел оказывается связанным с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и с его помощью решают две задачи: отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения( деление на равные части) и отыскание числа подмножеств(деление по содержанию) Таким образом , если a=n(A) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если: b- число элементов в каждом подмножестве, то частное a:b – это число таких подмножеств; b- число подмножеств, то частное a:b – это число элементов в каждом подмножестве. Взаимосвязь деления натуральных чисел с разбиением конечных множеств на классы позволяет обосновывать выбор действия деления при решении задач. Вопросы для самоконтроля: 1.Назовите аксиомы Пеано. 2.Каково аксиоматическое определение суммы натуральных чисел? 3.Теоретико-множественный смысл произведения? 4.Что значит деление по содержанию? 5.Какова трактовка деления с остатком? Рекомендуемая литература: