Направляющие системы и направляемые электромагнитные волны

Лекция 9 Направляющие системы и направляемые электромагнитные волны 9.1 Направляющие системы Направляемые волны в отличие от свободно распространяющихся в пространстве электромагнитных волн могут существовать только при наличии каких-либо направляющих элементов: металлических, диэлектрических или полупроводящих поверхностей, трубок, стержней и др. Совокупность направляющих элементов образует направляющую систему. Направляющие системы служат для передачи энергии электромагнитной волны от источника (генератора) к потребителю, например, от передатчика к антенне, из приемной антенны ко входу приемника и т.д. В связи с этим направляющие системы называют также линиями передачи энергии. На рисунке 9.1 изображен ряд используемых на практике линий передачи: двухпроводная линия, ленточная линия, полосковая линия, коаксиальная линия, прямоугольный волновод, Н-волновод, П-волновод, круглый волновод, эллиптический волновод. Все линии передачи можно разделить на два больших класса: линии передачи открытого типа и линии передачи закрытого типа. В линиях передачи закрытого типа вся энергия сосредоточена в пространстве, экранированном от внешней среды металлической оболочкой той или иной формы. В линиях передачи открытого типа электромагнитное поле, строго говоря, распределено во всем пространстве, окружающем линию. Однако, открытые линии выполняются таким образом, что подавляющая часть энергии электромагнитного поля сосредотачивается в непосредственной близости от линии. Тем не менее, открытые линии подвержены влиянию окружающей среды. Параметры таких линий существенно зависят от метеорологических условий (дождь, снег, гололед), что ограничивает их применение в диапазоне СВЧ. Для всех рассмотренных выше направляющих систем, характерно то, что все их сечения плоскостями z=const тождественны. Такие системы будем называть однородными в направлении Z. Рисунок 9.1 – Направляющие системы Направляющие системы, применяемые на радиочастотах принято называть линиями передачи. Линия передачи СВЧ – устройство, ограничивающее область распространения электромагнитных колебаний и направляющее поток СВЧ электромагнитной энергии в заданном направлении. Все линии передачи (ЛП) делятся на ЛП открытого и закрытого типов (рисунок 9.2). Рисунок 9.2 – Классификация линий передачи Открытые линии передачи (ЛП) выполняются так, что подавляющая часть энергии электромагнитного поля сосредотачивается в непосредственной близости от линии. Открытые ЛП подвержены влиянию окружающей среды, их характеристики существенно зависят от метеорологических условий (дождь, снег, гололед), что ограничивает их применение в диапазоне СВЧ. В ЛП закрытого типа вся энергия сосредоточена в пространстве, экранированном от внешней среды металлической оболочкой той или иной формы. Волноводы используются на сверхвысоких частотах (сантиметровые (10-1) см или миллиметровые волны (10-1) мм). К линиям передачи предъявляются разнообразные требования в зависимости от условий их эксплуатации. Основными из них являются - малый коэффициент затухания и высокий КПД; - малое излучение в окружающее пространство; - стойкость к метеоусловиям; - электрическая прочность – линия должна передавать мощность без нагрева линии; - экологическая целесообразность – умеренные параметры и вес, доступность материалов, простота конструкции и технологии; Одновременное выполнение всех этих требований невозможно, поэтому при выборе типа линий передачи необходимо руководствоваться приоритетными параметрами радиотехнических систем, в которых они применяются 9.2 Классификация направляемых волн Направляемые волны делятся на поперечные T, электрические Emn, магнитные Hmn, гибридные HEmn, EHmn. Поперечными, или волнами Т (Т-первая буква английского слова transvers, что означает «поперечный»), называются волны, у которых в продольном направлении, т.е. в направлении распространения энергии, отсутствуют составляющие векторов напряженности электрического Ez=0 и магнитного Hz=0 полей. Векторы ⃗ 𝐸⃗ и 𝐻 лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Электрическими, или волнами Emn называются волны, у которых вектор электрического поля 𝐸⃗ помимо поперечных составляющих, имеет продольную составляющую 𝐸𝑧 ≠ 0. Продольная составляющая магнитного поля равна нулю Hz=0. Волны Emn иногда называют поперечными магнитными волнами или волнами ТМmn. Магнитными, или волнами Hmn, называют волны, у которых вектор ⃗ помимо поперечных составляющих, имеет продольную магнитного поля 𝐻 составляющую Н𝑧 ≠ 0. Продольная составляющая вектора электрического поля равна нулю Ez=0. Волны Emn иногда называют поперечными электрическими волнами, или волнами ТЕmn. Смешанными (гибридными) называют волны, у которых векторы ⃗ полей имеют как продольную, так и электрического 𝐸⃗ и магнитного 𝐻 поперечную составляющие, т.е. 𝐸𝑧 ≠ 0, Н𝑧 ≠ 0. 9.3 Коэффициент распространения направляемых волн Уравнения Максвелла для монохроматического поля при временной зависимости 𝑒 𝑖𝜔𝑡 в системе единиц СИ ⃗ = 𝑖𝜔𝜀𝑎 𝐸⃗ , 𝑟𝑜𝑡𝐸⃗ = −𝑖𝜔𝜇𝑎 𝐻 ⃗ 𝑟𝑜𝑡𝐻 ⃗ : ∆𝐸⃗ + позволяют перейти к уравнениям Гельмгольца для векторов поля 𝐸⃗ и 𝐻 ⃗ + 𝑘2𝐻 ⃗ = 0, где 𝑘 = 𝜔√𝜀𝑎 𝜇𝑎 = 2𝜋/𝜆𝑘 2 𝐸⃗ = 0, ∆𝐻 волновое число свободного пространства. Это значит, что любая составляющая поля удовлетворяет уравнению Δ𝑈 + 𝑘 2 𝑈 = 0 Для определенности, рассмотрим декартову систему координат и предположим, что решение U произведения𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑈0 (𝑥, 𝑦)𝑍(𝑧). В можно представить результате в виде подстановки этого представления в исходное уравнение и разделов все члены его на U0*Z, получим 1 𝜕 2 𝑈0 𝜕 2 𝑈0 1 𝑑2𝑧 2 + + 𝑘 𝑈0 ) + = 0. ( 𝑈0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝑍 𝑑𝑧 2 В этом равенстве разделены переменные: оба слагаемых-функции разных аргументов. Обозначим Z’’/Z=-γ2, тогда получим два уравнения 𝜕2 𝑍 𝜕2 𝜕2 𝜕𝑍 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 ⃗ 2⊥ 𝑈0 + 𝑘⊥2 𝑈0 = 0, где ∇ ⃗ 2⊥ = + γ2Z=0, ∇ 2 + 2 , 𝑘⊥2 = 𝑘 2 − 𝛾 2 . Вид решения первого уравнения известен: 𝑍 = 𝐴𝑒 −𝑖𝛾𝑧 + 𝐵𝑒 𝑖𝛾𝑧 , где А и В – постоянные коэффициенты. Если γ- вещественная величина, то она играет такую же роль как и k. При комплексном γ, имеем γ=β-iα (β>0, α>0), 𝛽= 𝜔 𝑈ф = 2𝜋 𝜆с - фазовая постоянная, 𝜆с - длинна волны в системе, 𝑈ф - ее фазовая скорость, α – коэффициент затухания. Величина γ называется продольным волновым числом, а также, постоянной распространения. Введенный выше параметр 𝑘⊥ - называют поперечным волновым числом. 9.4 Связь между продольными и поперечными составляющими векторов поля направляемых волн Любая направляемая плоская волна, распространяющаяся, например, вдоль оси z, представляет собой неоднородную волну особого вида: комплексная амплитуда каждый из шести проекций векторов 𝐸⃗ и ⃗⃗⃗⃗ 𝐻 такой волны зависит от пространственных координат по закону 𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑈0 (𝑥, 𝑦)𝑒 −𝑖𝛾𝑧 . Начальную фазу волны всегда можно подобрать так, чтобы амплитудная функция 𝑈0 (𝑥, 𝑦) была действительной. Производные по z от проекций векторов поля вычисляются просто 𝜕𝑈⁄𝜕𝑍 = −𝑖𝛾𝑈. Пусть электромагнитный процесс в некоторой области пространства, свободной от источников, описывается уравнениями Максвелла ⃗ = 𝑖𝜔𝜀𝑎 𝐸⃗ , 𝑟𝑜𝑡𝐸⃗ = −𝑖𝜔𝜇𝑎 𝐻 ⃗. 𝑟𝑜𝑡𝐻 В развернутой координатной форме эти уравнения выглядят так: 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐻𝑦 − = 𝑖𝜔𝜀𝑎 𝐸𝑥 , 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝐻𝑥 𝜕𝑧 − 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝑥 = 𝑖𝜔𝜀𝑎 𝐸𝑦 , 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝐻𝑥 − = 𝑖𝜔𝜀𝑎 𝐸𝑧 , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Если теперь выразить 𝜕𝐸𝑧 𝜕𝐸𝑦 − = −𝑖𝜔𝜇𝑎 𝐻𝑥 , 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝐸𝑥 𝜕𝑧 − 𝜕𝐸𝑧 𝜕𝑥 = −𝑖𝜔𝜇𝑎 𝐻𝑦 , (9.1) 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸𝑥 − = −𝑖𝜔𝜇𝑎 𝐻𝑧 , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 производные по в z соответствии с вышеизложенным, то эти системы уравнений упростятся: 𝜕𝐻𝑧 + 𝑖𝛾𝐻𝑦 = 𝑖𝜔𝜀𝑎 𝐸𝑥 , 𝜕𝑦 −𝑖𝛾𝐻𝑥 − 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐻𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = 𝑖𝜔𝜀𝑎 𝐸𝑦 , = 𝑖𝜔𝜀𝑎 𝐸𝑧 , 𝜕𝐸𝑧 𝜕𝑦 + 𝑖𝛾𝐸𝑦 = −𝑖𝜔𝜇𝑎 𝐻𝑥 , − 𝑖𝛾𝐸𝑥 − 𝜕𝐸𝑧 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸𝑥 𝜕𝑥 − 𝜕𝑥 𝜕𝑦 = −𝑖𝜔𝜇𝑎 𝐻𝑦 , (9.2) = −𝑖𝜔𝜇𝑎 𝐻𝑧 , Принципиально важно то, что в этих уравнениях поперечные проекции 𝐸𝑥 , 𝐸𝑦 , 𝐻𝑥 , 𝐻𝑦 представляются в виде линейных комбинаций из производных от продольных проекций 𝐸𝑧 и 𝐻𝑧 по поперечным координатам x и y. Действительно, рассматривая, например, совместно первое уравнение из системы левого столбца, получаем систему из двух линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных 𝐸𝑥 и 𝐻𝑦 , причем в правой части этой системы окажутся производные 𝜕𝐸𝑧 ⁄𝜕𝑥 и 𝜕𝐻𝑧 ⁄𝜕𝑦 . Аналогично составляется вторая система уравнений относительно неизвестных 𝐸𝑦 и 𝐻𝑥 . Решая эти две системы уравнений, приходим к следующему результату: 𝐸𝑥 = − 𝐻𝑥 = 𝑖 𝜕𝐸𝑥 𝜕𝐻𝑧 𝑖 𝜕𝐸𝑧 𝜕𝐻𝑧 (𝛾 + 𝜔𝜇 ) ; 𝐸 = − (𝛾 − 𝜔𝜇 ) , (9.3) 𝑎 𝑦 𝑎 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑘⊥2 𝑘⊥2 𝑖 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐸𝑧 𝑖 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐸𝑧 (−𝛾 + 𝜔𝜀 ) ; 𝐻 = − (𝛾 + 𝜔𝜀 ) , (9.4) 𝑎 𝑦 𝑎 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑘⊥2 𝑘⊥2 Здесь k - поперечное волновое число исследуемого процесса, определяемое как k  = √𝑘 2 − 𝛾 2 = √𝜔𝜀𝑎 𝜇𝑎 − 𝛾 2 . Полученные соотношения могут рассматриваться как формулы перехода от продольных к поперечным проекциям векторов направляемого электромагнитного поля. Роль их состоит в том, что достаточно найти лишь две функции 𝐸𝑧 (𝑥, 𝑦) и 𝐻𝑧 (𝑥, 𝑦); остальные Система уравнений (9.3), (9.4) связывает поперечные и продольные составляющие поля в декартовой системе координат. Для выражения этой связи в произвольной системе координат перейдем к векторной форме уравнений. Введем вектор 𝐸⃗⊥ = 𝑥0 𝐸𝑥 + 𝑦0 𝐸𝑦 . Подставляя в это выражение вместо 𝐸𝑥 и 𝐸𝑦 их значения из (3), получаем −𝑘⊥2 𝐸𝑥 = 𝑖𝛾 𝜕𝐸𝑧 𝜕𝐻𝑧 + 𝑖𝜔𝜇𝑎 ; 𝜕𝑥 𝜕𝑦 −𝑘⊥2 𝐸𝑦 = 𝑖𝛾 −𝑘⊥2 𝑥0 𝐸𝑥 = 𝑖𝛾𝑥0 𝜕𝐸𝑧 𝜕𝐻𝑧 − 𝑖𝜔𝜇𝑎 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝐸𝑧 𝜕𝑥 + 𝑖𝜔𝜇𝑎 𝑥0 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝑦 ; (9.5) 𝜕𝐸𝑧 𝜕𝐻𝑧 − 𝑖𝜔𝜇𝑎 𝑦0 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝐸𝑧 𝜕𝐸𝑧 −𝑘⊥2 (𝑥0 𝐸𝑥 + 𝑦0 𝐸𝑦 ) = −𝑘⊥2 𝐸⃗⊥ = 𝑖𝛾(𝑥0 + 𝑦0 )+ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 −𝑘⊥2 𝑦0 𝐸𝑦 = 𝑖𝛾𝑦0 +𝑖𝜔𝜇𝑎 (𝑥0 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐻𝑧 − 𝑦0 ) = 𝑖𝛾𝑔𝑟𝑎𝑑⊥ 𝐸𝑧 − 𝑖𝜔𝜇𝑎 [𝑧0 , 𝑔𝑟𝑎𝑑⊥ 𝐻𝑧 ] 𝜕𝑦 𝜕𝑥 ⃗ ⊥ 𝐸𝑧 − 𝑖𝜔𝜇𝑎 [𝑧0 , ∇ ⃗ ⊥ 𝐻𝑧 ] , −𝑘⊥2 𝐸⃗⊥ = 𝑖𝛾∇ где знак ⊥ при градиенте означает, что производные берутся только по поперечным координатам. Аналогично, с помощью выражений (9.4) и представления ⃗ ⊥ = 𝑥0 𝐻𝑥 + 𝑦0 𝐻𝑦 , 𝐻 доказывается равенство ⃗ ⊥ = 𝑖𝛾∇ ⃗ ⊥ 𝐻𝑧 + 𝑖𝜔𝜀𝑎 [𝑧0 , ∇ ⃗ ⊥ 𝐸𝑧 ] −𝑘⊥2 𝐻 (9.6) Таким образом, для нахождения структуры полного поля необходимо решить с учетом граничных условий только два дифференциальных уравнения: ⃗ ⊥ 𝐸𝑧 + 𝑘⊥2 𝐸z = 0 (7) ⃗∇⊥ 𝐻𝑧 + 𝑘⊥2 𝐻z = 0 ∇ (9.7) и воспользоваться равенствами (9.5) и (9.6) для определения поперечных составляющих поля. Векторный характер (9.5) и (9.6) позволяет использовать любую обобщенно цилиндрическую систему координат. Аналогично в цилиндрической системе координат (𝜌, 𝜑, 𝑧) связь между поперечными и продольными составляющими имеет вид : 𝐸𝜌 = − 𝐻𝜌 = 𝑖 2 𝑘⊥ (𝛾 𝜕𝐸𝑥 𝜕𝜌 + 𝜔𝜇𝑎 1 𝜕𝐻𝑧 𝑖 𝜌 ⊥ 1 𝜕𝐸 ) ; 𝐸𝜑 = − 𝑘 2 (𝛾 𝜌 𝜕𝜑𝑧 − 𝜔𝜇𝑎 𝜕𝜑 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝜌 ), 𝑖 𝜕𝐻𝑧 1 𝜕𝐸𝑧 𝑖 1 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐸𝑧 + 𝜔𝜀 ; 𝐻 = − + 𝜔𝜀 (−𝛾 ) (𝛾 ). 𝑎 𝜑 𝑎 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝑘⊥2 𝑘⊥2 𝜌 𝜕𝜑 (9.8) 9.5 Критическая частота. Критическая длина волны Из соотношения 𝛾 2 = 𝑘 2 − 𝑘⊥2 = 𝜔𝜀𝑎 𝜇𝑎 − 𝑘⊥2 следует, что постоянная распространения 𝛾 является вещественной величиной 𝛾 = 𝛽, при 𝑘⊥ ≤ 𝜔√𝜀𝑎 𝜇𝑎 = 2𝜋𝑓√𝜀𝑎 𝜇𝑎 и мнимой величиной 𝛾 = −𝑖𝛼, при k>2𝜋𝑓 √𝜀𝑎 𝜇𝑎 . В первом случае фаза изменяется вдоль оси z по линейному закону, что является признаком распространения волны с постоянной фазовой скоростью вдоль этой оси. Во втором случае вдоль оси z фаза остается постоянной, а амплитуда убывает по экспоненциальному закону 𝑒 −𝛼𝑧 , что является признаком отсутствия переноса энергии вдоль направляющей системы. Частота, определяемая из условия 𝑘⊥ = 2𝜋𝑓кр √𝜀𝑎 𝜇𝑎 называется критической и обозначается 𝑓кр : 𝑓кр = 𝑘⊥ /(2𝜋√𝜀𝑎 𝜇𝑎 ). Соответствующая этой частоте критическая длина волны равна 𝜆кр = с⁄𝑓кр = 2𝜋/𝑘⊥ , где с – скорость света в среде с параметрами 𝜀𝑎 и 𝜇𝑎 . Подставляя в выражение 𝛾 2 = 𝜔2 𝜀𝑎 𝜇𝑎 − 𝑘⊥2 соотношение для 𝑘⊥ = 2𝜋/𝜆кр , получаем 𝑅𝑒𝛾 = √𝜔 2 𝜀𝑎 𝜇𝑎 − (2𝜋)2 𝜆кр = 𝑘 √1 − ( 𝜆 𝜆кр )2 = 𝛽. (9.9) где 𝑘 = 𝜔2 𝜀𝑎 𝜇𝑎 = 2𝜋⁄𝜆 и 𝜆 = с⁄𝑓 - волновое число и длинна волны среде с параметрами 𝜀𝑎 и 𝜇𝑎 . Согласно соотношению 𝑘⊥ ≤ 𝜔√𝜀𝑎 𝜇𝑎 = 2𝜋𝑓 √𝜀𝑎 𝜇𝑎 свободное распространение волны по направляющей системе имеет место лишь на частотах, превышающих критическую (𝑓 > 𝑓кр или 𝜆 > 𝜆кр ). По аналогии с обычным определением назовем длиной волны 𝜆с в направляющей системе минимальное расстояние между поперечными сечениями, соответствующими различным значениям координаты z, в которых колебания сдвинуты по фазе на 2𝜋. Так как зависимость всех составляющих поля от координаты z описывается выражением 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 , то 𝜆с = 2𝜋/𝛽. Подставляя сюда значение 𝛽, получаем 𝜆с = 𝜆/√1 − ( 𝜆 𝜆кр )2 . (9.10) 9.6 Поперечные электромагнитные волны Т (𝑬𝒛 = 𝑯𝒛 = 𝟎) Критическая длина волны У волн Т согласно определению отсутствуют продольные ⃗ . Из полученных выше соотношений между составляющие у векторов 𝐸⃗ и 𝐻 ⃗⃗⃗⃗ 𝐸⊥ , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻⊥ и 𝐸𝑍 , 𝐻𝑧 следует, что при 𝐸𝑧 = 𝐻𝑧 = 0 ⃗⃗⃗⃗ 𝐸⊥ ≠ 0, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻⊥ ≠ 0 возможно только при 𝑘⊥2 = 0. Этим значением 𝑘⊥ соответствует 𝜆кр = ∞ и 𝑓кр = 0 . Следовательно, в тех направляющих системах, где возможно распространение волн Т, эти волны существуют на любой частоте. Постоянная распространения. Фазовая скорость Находим постоянную распространения волн Т: 𝛾 = 𝜔√𝜀𝑎 𝜇𝑎 = 𝛽 = 𝑘 Фазовая скорость распространения волны Т в направляющей системе равна vф = 𝜔 𝑘 = 𝑐, т.е. совпадает со скоростью света в среде. Потенциальный характер поля Полагая 𝑘⊥2 = 0, 𝐸𝑧 = 𝐻𝑧 = 0 из уравнений Гельмгольца получаем ⃗ 2⊥ E ⃗⊥ =0и∇ ⃗ 2⊥ 𝐻 ⃗ ⊥ = 0. Это двумерные уравнения Гельмгольца. Поле, ∇ удовлетворяющее уравнению Гельмгольца является потенциальным. Это означает, что решения этих уравнений могут быть выражены через градиент ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜓, где функция 𝜓 является ⃗ ⊥ = −𝑔𝑟𝑎𝑑 некоторых функций. Например E скалярным потенциалом, также удовлетворяющим уравнению Гельмгольца. ⃗ ⊥ через градиент некоторой Аналогичное представление для вектора 𝐻 ⃗ ⊥ выражаются друг через функции можно не выписывать, поскольку ⃗E⊥ и 𝐻 друга. Действительно, полагая в (9.1) и (9.2) 𝐸𝑧 = 𝐻𝑧 = 0, приходим к соотношениям, которые можно записать в виде одного векторного равенства ⃗ ⊥ = 𝜔𝜀𝑎 [𝑧0 , ⃗E⊥ ], 𝐻 𝛾 т.е. векторы ⃗E⊥ и 𝐻 ⃗⊥ у волны Т взаимно перпендикулярны. Волновое сопротивление Подставляя в полученное выше выражение 𝛾 = 𝜔√𝜀𝑎 𝜇𝑎 = 𝛽 = 𝑘 приходим к равенству ⃗ ⊥ = √ 𝜀𝑎 [𝑧0 , ⃗E⊥ ] = 𝐻 𝜇𝑎 1 𝑍0 [𝑧0 , ⃗E⊥ ], 𝜇 где 𝑍0 = 𝑍Т = √ 𝑎 – волновое сопротивление волны Т, равное волновому 𝜀 𝑎 сопротивлению волны, распространяющейся в среде с параметрами 𝜀𝑎 и 𝜇𝑎 . 9.7 Независимость структуры поля волн Т от частоты ⃗ 2⊥ ⃗E⊥ = 0 и ⃗∇2⊥ 𝐻 ⃗ ⊥ = 0 не входит частота. Из этого можно В уравнения ∇ сделать вывод, что структура волн Т не зависит от частоты. В частности, структура электрического и магнитного полей, аналогичная структуре полей волны Т, должна существовать в направляющей системе при 𝜔 = 0, т.е. распределение электрического поля волны Т в поперечном сечении линии совпадает с распределением статического электрического поля в той же системе. Аналогичное соответствие существует и в отношении магнитных полей. На рисунке 9.3 показана структура электрических и магнитных полей в поперечном сечении двухпроводной и коаксиальной линий, проводники которых разноименно заряжены и по которым протекает постоянный ток противоположного направления. Такую же структуру поля будет иметь волна Т в этих линиях на любой частоте. Из сказанного следует, что волна Т может распространятся только в тех направляющих постоянного системах, тока. Этому по которым возможна требованию передача удовлетворяют энергии направляющие системы, состоящие не менее чем из двух изолированных друг от друга металлических проводников (двухпроводная, коаксиальная, полосковая, экранированная двухпроводная линия и др.). Рисунок 9.3 – Силовые линии волны типа Т В полых металлических трубах, диэлектрических волноводах, линиях поверхностной волны и других аналогичных системах существование волны Т невозможно. Изложенная выше аналогия со статикой касалась лишь распределения поля в плоскости поперечного сечения. Закон распределения поля волны Т вдоль оси z существенно отличается от статического. Вместо однородного распределения вдоль оси Z, характерного для статического случая, распределения поля волны Т носит волновой характер. У волны Т поля в поперечной плоскости, совпадая по конфигурации силовых линий со статическими полями, не остаются неизменными во времени, как в статическом случае, а синусоидальному закону. непрерывно меняют свою амплитуду по При неидеальной проводимости металлических проводников, образующих линию, электромагнитное поле проникает в металл, появляется отличная от нуля касательная составляющая электрического поля, параллельная оси z, что делает невозможным существование волны Т, однако при достаточно высокой проводимости металла, структура распространяющейся волны Т в идеально проводящей системе, что этим различием во многих случаях можно пренебречь. 9.8 Электрические Emn волны (𝑬𝒛 ≠ 𝟎, 𝑯𝒛 = 𝟎) Связь между составляющими поля Полагая в (9.5) и (9.6) Hz = 0, получаем ⃗ ⊥ 𝐸𝑧 , −𝑘⊥2 ⃗H ⃗ ⊥ = 𝑖𝜔𝜀𝑎 [𝑧0 , ∇ ⃗ ⊥ 𝐸𝑧 ] −𝑘⊥2 ⃗E⊥ = 𝑖𝛾∇ (9.11) ⃗ ⊥ 𝐸𝑧 из первого уравнения во второе, Подставив выражение для ∇ ⃗ ⊥ = 𝜔𝜀𝑎 [𝑧0 , ⃗E⊥ ], т.е. векторы Н⊥ и 𝐸⊥ у волн 𝐸𝑚𝑛 так приходим к равенству ⃗H 𝛾 же, как у волн Т взаимно перпендикулярны. Волновое сопротивление Волновое сопротивление волн 𝐸𝑚𝑛 можно записать в виде 𝑍𝐸𝑚𝑛 = 𝛾 𝜔𝜀𝑎 = 𝑍0 √1 − ( 𝜆 𝜆кр )2 Как видим, в области волн короче критической, т.е. при 𝜆 < 𝜆кр , волновое сопротивление волн 𝐸𝑚𝑛 меньше волнового сопротивления волн Т. При 𝜆 = 𝜆кр волновое сопротивление равно нулю. При изменении длинны волны от 𝜆кр до нуля волновое сопротивление увеличивается, стремясь к Z0. В области волн длиннее критической (𝜆 > 𝜆кр ) волновое сопротивление является чисто мнимой величиной. Это значит, что поперечные составляющие векторов электрического и магнитного полей сдвинуты по фазе на 900. Очевидно, что при этом вектор Пойнтинга принимает чисто мнимое значение, и перенос активной энергии по линии передачи отсутствует. Поэтому отмеченное ранее экспоненциальное убывание амплитуды полей в линии при 𝜆 > 𝜆кр вызывается не потерями энергии в направляющей системе, а чисто реактивным характером электромагнитного поля в линии. Фазовая скорость. Дисперсия Подставляя в формулу vф = 𝜔⁄𝛾 выражение для 𝛾 (9.9) получаем vф = 𝜔⁄𝛾 = c , 𝜆 2 ⁄ √1 − ( 𝜆 ) кр т.е. у 𝐸𝑚𝑛 волн в отличие от Т волн, фазовая скорость зависит от частоты и всегда превышает скорость света С в данной среде. Зависимость vф от частоты имеет вид; показанный на Рисунок При 𝜆 = 𝜆кр vф равна бесконечности. По мере увеличения частоты vф приближается к скорости света с = 1⁄√𝜀𝑎 𝜇𝑎 (рисунок 9.4). Рисунок 9.4 – Дисперсия фазовой скорости Зависимость фазовой скорости от частоты называется дисперсией, а волны, для которых дисперсия имеет место называются диспергирующими волнами. Следовательно, волны 𝐸𝑚𝑛 – диспергирующие, тогда как волны Тнедиспергирующие ( если 𝜀𝑎 , 𝜇𝑎 не зависят от частоты). 9.9 Магнитные 𝑯𝒎𝒏 волны (𝑯𝒛 ≠ 𝟎, 𝑬𝒛 = 𝟎) Связь между составляющими поля Полагая в (9.5) и (9.6) 𝐸z = 0, получаем ⃗ ⊥ = 𝑖𝛾∇ ⃗ ⊥ 𝐻𝑧 , 𝑘⊥2 ⃗E⊥ = 𝑖𝜔𝜇𝑎 [𝑧0 , ∇ ⃗ ⊥ 𝐻𝑧 ] −𝑘⊥2 ⃗H (9.12) ⃗ ⊥ 𝐻𝑧 из первого уравнения во второе, Подставив выражение для ∇ 𝜔𝜇 ⃗ ⊥ ]. Умножая обе части этого приходим к равенству ⃗E⊥ = − 𝑎 [𝑧0 , ⃗H 𝛾 равенства векторно на орт 𝑧 0 и используя формулу для двойного векторного произведения [A[B,C]]=B(A,C)-C(A,B), получаем ⃗⃗ ⊥ = H 𝛾 𝜔𝜇𝑎 ⃗ ⊥] . [𝑧0 , E (9.13) Следовательно, как и в случае волн Т и 𝐸𝑚𝑛 , у волн Н𝑚𝑛 векторы Н⊥ и 𝐸⊥ взаимно перпендикулярны. Волновое сопротивление. Фазовая скорость Волновое сопротивление 𝐻𝑚𝑛 волн равно 𝑍𝐻𝑚𝑛 = 𝜔𝜇𝑎 𝛾 = 𝑍0 √1 − ( 𝜆 𝜆кр )2 . Как видим, волновое сопротивление 𝐻𝑚𝑛 волн больше 𝑍0 . В области волн, длиннее критической, 𝑍𝐻𝑚𝑛 как и 𝑍𝐸𝑚𝑛 – величина чисто мнимая, и перенос энергии по линии передачи отсутствует. Фазовая скорость у волн 𝐻𝑚𝑛 , как нетрудно проверить описывается формулой vф = 𝜔⁄𝛾 = 𝑐 . 𝜆 2 ⁄ √1 − ( 𝜆 ) кр Следовательно, волны 𝐻𝑚𝑛 , как и 𝐸𝑚𝑛 – диспергирующие. 9.10 Скорость распространения энергии. Групповая скорость До сих пор мы рассматривали исключительно монохроматические волны. Однако, реальные электромагнитные сигналы являются немонохроматическими, т.е. состоят из конечного, либо бесконечного числа монохроматических колебаний с различными частотами. В диспергирующих системах (диэлектрическая среда с потерями, линии передачи и др.) фазовая скорость зависит от частоты, т.е. проходя один и тот же путь, монохроматические волны получают различные по величине фазовые сдвиги. В результате изменяется сдвиг по фазе между колебаниями, образующими сигнал, соответственно меняется форма сигнала – сигнал искажается. Для характеристики перемещения немонохроматических сигналов вводят понятие групповой скорости, понимая под этим скорость перемещения максимума огибающей группы монохроматических волн, близких между собой по частоте. Пусть в диспергирующей системе распространяется соответствующая некоторому сигналу в общем случае бесконечная сумма монохроматических волн, которую можно записать в виде интеграла ∞ 𝐸(𝑧, 𝑡) = ∫ 𝐴𝑚 (𝜔)𝑒 𝑖[𝜔𝑡−𝛾(𝜔)𝑧] 𝑑𝜔, −∞ где 𝐴𝑚 (𝜔) – амплитуда каждой из монохроматических волн; 𝛾(𝜔) – постоянная распространения каждой из этих волн. Если спектр сигнала достаточно узкий и заключен в интервале частот 𝜔0 − ∆𝜔 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔0 + ∆𝜔, то 𝐴𝑚 (𝜔) ≈ 0 вне этого интервала. Поэтому 𝜔0 +∆𝜔 𝐸(𝑧, 𝑡) = ∫ 𝐴𝑚 (𝜔)𝑒 𝑖[𝜔𝑡−𝛾(𝜔)𝑧] 𝑑𝜔. 𝜔0 −∆𝜔 Разлагая постоянную распространения 𝛾(𝜔) в ряд Тейлора в окрестности частоты 𝜔0 , получаем: 𝜕𝛾 1 𝜕2𝛾 𝛾(𝜔) = 𝛾0 + ( )𝜔=𝜔0 (𝜔 − 𝜔0 ) + ( 2 )𝜔=𝜔0 (𝜔 − 𝜔0 )2 + ⋯ 𝜕𝜔 2! 𝜕𝜔 где 𝛾0 – постоянная распространения на частоте 𝜔0 . Поскольку спектр сигнала узок, то можно сохранить лишь два первых члена и поэтому 𝜔𝑡 − 𝛾(𝜔)𝑧 ≈ (𝜔 − 𝜔0 ) + (𝜔 − 𝜔0 )[𝑡 − ( 𝜕𝛾 ) ], 𝜕𝜔 𝜔=𝜔0 Подставляя в выражение для 𝐸(𝑧, 𝑡), получаем 𝐸(𝑧, 𝑡)= 𝑒 𝑖[𝜔0 𝑡−𝛾0 𝑧] ∙ 𝜔0 +∆𝜔 ∫𝜔 −∆𝜔 𝐴 (𝜔)𝑒 𝜕𝛾 )| ] 𝜕𝜔 𝜔=𝜔0 𝑖∙(𝜔−𝜔0 )∙[𝑡−( 𝑑𝜔. Чтобы не усложнять изложения, предположим, что у передаваемого сигнала 𝐴𝑚 (𝜔0 + ∆𝜔) = 𝐴𝑚 (𝜔0 − ∆𝜔). Тогда интеграл принимает вид 𝜔0 +∆𝜔 𝐴𝑚 (𝜔) cos[(𝜔 − 𝜔0 ) (𝑡 − ( 𝐸(𝑧, 𝑡) = {2 ∫ 𝜔0 𝜕𝛾 ) 𝑧)] 𝑑𝜔}𝑒 𝑖(𝜔0 𝑡−𝛾0 𝑧) 𝜕𝜔 𝜔=𝜔0 Величина в фигурных скобках представляет собой амплитуду сигнала, которая очевидно cos[(𝜔 − 𝜔0 ) (𝑡 − ( 𝜕𝛾 𝜕𝜔 достигает максимума, )𝜔=𝜔0 𝑧)] = 1 , т.е. когда 𝑡 − ( 𝜕𝛾 ) 𝑧) 𝜕𝜔 𝜔=𝜔0 если = 0. Следовательно, максимум сигнала непрерывно перемещается вдоль оси z, причем скорость перемещения максимума равна vгр = 𝜕𝑧 1 = . 𝜕𝑡 𝜕𝛾⁄𝜕𝜔 По определению эта величина и является групповой скоростью. Индекс 𝜔 = 𝜔0 у производной опущен, поскольку центральная частота 𝜔0 была выбрана произвольно. Так как в разложении 𝛾(𝜔) отображены члены порядка выше первого, то условием применимости полученной формулы для vгр является малая скорость изменения постоянной распространения 𝛾(𝜔) вблизи частоты 𝜔0 и узость спектра сигнала. При невыполнении этих условий влияние дисперсии становится весьма заметным, и сигнал в процессе распространения так сильно меняет свою форму, что само понятие групповой скорости теряет смысл. Подставляя постоянную распространения в формулу для vгр находим групповую скорость в линиях передачи vгр = 𝛾 𝜔𝜀𝑎 𝜇𝑎 = с · √1 − ( 𝜆 𝜆кр 2 ) , т.е. vгр < с для распространяющихся волн 𝐸𝑚𝑛 , Н𝑚𝑛 и vгр = с для волн Т. Сравнивая эту формулу с выражением vф = 𝜔⁄𝛾 = с⁄√1 − ( 𝜆 𝜆кр )2 , замечаем, что vгр vф = с2 = 1⁄𝜀𝑎 𝜇𝑎 . В окрестности максимума сигнала, очевидно, сосредоточена основная часть энергии. Поэтому скорость перемещения этого максимума, т.е. групповая скорость, характеризует скорость перемещения энергии сигнала по линии передачи. Как показывают расчеты по формуле ⃗⃗ 𝑑𝑠⁄∫ 𝑤ср 𝑑𝑠 в линиях передачи закрытого типа и некоторых vэ = ∫∆𝑠 𝑅𝑒П ∆𝑠 других направляющих системах без потерь vэ = vгр . Поэтому 2 𝜆 vэ = с ⁄𝜗ф = с√1 − ( ) . 𝜆кр 2 Как и следовало ожидать, vэ < с для волн 𝐸𝑚𝑛 , Н𝑚𝑛 и vэ = с для волн Т. Зависимость vэ от частоты представлена выше на графике. При 𝜆 = 𝜆кр vэ = 0 и по мере повышения частоты приближается к скорости света в среде. 9.11 Мощность, переносимая электромагнитной волной по линии передачи Средняя мощность, проходящая за период через элементарную ⃗⃗ 𝑧 𝑑𝑠, площадку dS в плоскости поперечного сечения линии, равна 𝑑𝑃ср = 𝑅𝑒П ⃗ 𝑧 – среднее значение за продольной составляющей вектора Пойтинга: где ⃗П ⃗П ⃗ 𝑧 = 1 (𝑧0 , [𝐸⃗ , 𝐻 ⃗ ∗ ]) = − 1 (𝐸⃗⊥ , [𝑧0 , 𝐻 ⃗ ⊥∗ ]) 2 2 Сравнивая равенства (9.2) и (9.4) можно заметить, что ⃗⊥ = 𝐻 1 [𝑧 , 𝐸⃗ ] 𝑍𝑐 0 ⊥ где 𝑍𝑐 = 𝑍0 для Т-волн, 𝑍𝑐 = 𝑍𝐸𝑚𝑛 для Е-волн и 𝑍𝑐 = 𝑍𝐻𝑚𝑛 для Н-волн. (9.14) ⃗ ⊥ в выражение для ⃗П ⃗ 𝑧 и учитывая, что продольные Подставляя 𝐻 составляющие электрического и магнитного полей сдвинуты по фазе на 90 относительно поперечных составляющих, получим ⃗⃗ 𝑧 = |𝐸⃗⊥ |2 ⁄2𝑍𝑐 . 𝑅𝑒П Тогда полная мощность, переносимая электромагнитной волной по линии передачи, равна 𝑃ср = 1 ∫ |𝐸⃗⊥ |2 𝑑𝑠, 2𝑍𝑐 𝑆⊥ где 𝑆⊥ - площадь поперечного сечения линии. ⃗⃗ 𝑧 выразить 𝐻 ⃗ ⊥ через 𝐸⃗⊥ , и выполнить Если в выражении для П обратную подстановку, то получим 𝑃ср = 𝑍𝑐 ⃗⃗ ⊥ |2 𝑑𝑠. ∫ |Н 2 𝑆⊥