Наилучшее среднеквадратичное приближение

ЛЕКЦИЯ №4. НАИЛУЧШЕЕ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ Процедура интерполяции функции подразумевает построение некоторой новой функции, совпадающей с заданной в фиксированных узлах. В ряде случаев целесообразно приближать функции не по точкам, а в среднем, например, когда значения функции в узлах определены неточно. Пусть имеется множество функций  ( x ) , принадлежащих линейному пространству функций. Под близостью в среднем исходной y и аппроксимирующей  функций будем понимать результат оценки суммы N I   i [ y ( xi )   ( xi )]2 (4.1) i 1 где  i - вес точки. Суммирование выполняется по всем N узлам заданной функции. Такой вид аппроксимации называют среднеквадратичным приближением. Можно рассмотреть две задачи: 1 - подобрать функцию  ( x ) так, чтобы выполнялось неравенство I  ; 2 - найти наилучшее приближение, т.е. такую функцию  ( x ) , чтобы было справед- ливым соотношение N  i 1 i [ y( x i )  ( x i )] 2  min (4.2) Далее займемся отысканием наилучшего приближения, которое применительно к таблично заданным функциям называется методом наименьших квадратов. Разложим функцию  ( x ) по системе линейно независимых функций  k ( x ) : n  ( x )   ak  k ( x ) . (4.3) k 0 В дальнейшем для сокращения записи будем пользоваться определением скалярного произведения в пространстве дискретно заданных функций N ( f , )   i f ( xi )  ( xi ), i  0 . i 1 Несложно установить, что имеют место следующие равенства, справедливые для обычного скалярного произведения элементов линейного пространства 1. ( f , )  ( , f ) 2. ( f   ,  )  ( f ,  )  ( ,  ) (4.4) Подставляя (4.3) в условие (4.2), получим с учетом (4.4.) n n n (( y   ), ( y   ))  ( y, y )  2 ak ( y, k )   ak am ( k , m )  min . k 0 k 0 m0 Дифференцируя это выражение по a k и приравнивая производные нулю, найдем n  ( , m0 k m ) a m  ( y ,  k ), 0k n . (4.5) Определитель этой системы в силу линейной независимости функций  k (x ) не равен нулю. Следовательно, из системы (4.5) можно найти коэффициенты a k , определяющие функцию  ( x ) согласно (4.3) и минимизирующие (4.1). Таким образом, наилучшее средне- квадратичное приближение существует и оно единственно. В качестве  k ( x ) чаще всего используют полиномы Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита, ортогональные с заданным весом. Наиболее употребительный вариант метода наименьших квадратов соответствует случаю степенного вида функций  k ( x ) , т.е.  k ( x )  x k , причем 0  k  n . Обычно в сумме (4.3) берут не более пяти-шести членов. Система уравнений (4.5) при этом принимает вид n  (x k m 0 где , x m ) a m  ( y, x k ) , 0  k  n , N (4.6) N ( x k , x m )    i xik  m , ( y, x k )    i y i xik . i 1 i 1 Пример 2.1. Методом наименьших квадратов аппроксимировать функцию линейной зави- ( x )  a 0  a 1 x . симостью вида В данном случае n  1. В итоге система уравнений (4.6) имеет вид ( x 0 , x 0 ) a0  ( x 0 , x 1 ) a1  ( y , x 0 ), ( x 1 , x 0 ) a0  ( x 1 , x 1 ) a1  ( y , x 1 ). Скалярные произведения в полученной системе записываются следующим образом: N N N ( x , x )    i , ( x , x )    i x i , ( x , x )    i xi2 1 1 i 1 1 i 1 i 1 N N i 1 i 1 ( y , x 0 )    i y i , ( y , x 1 )    i y i xi . Окончательно N a0  N i 1 i 1 N N i 1 N   x i i 1 N a1  N   i yi   i xi2    i xi   i xi yi i i 1 N   x y i i 1 i i 1 N i i i 1 i ,  (   i xi ) 2 i 1 N    i xi   i y i i 1 N i 2 i N   x i 1 i 1 N i 1 . N 2 i  (   i xi ) 2 i 1 k Система функций x не ортогональна, поэтому при больших n задача (4.5) плохо обусловлена, в связи с чем на практике ограничиваются значениями n  5 . На рис.1 представлен результат применения метода наименьших квадратов для аппроксимации данных (черные точки) полиномами степеней 1, 2, 4 и 6. Веса всех точек приняты равными 1. Рис. 1. Аппроксимация функции методом наименьших квадратов. Несколько замечаний о введенных выше (4.1) весах точек  i . Чем больше вес точки, тем ближе к точке проходит аппроксимирующая кривая. Под весом можно понимать, например, величину, обратную относительной погрешности задания функции, т.е. чем более точное значение имеет табличная функция в некоторой точке, тем больше ее вес и тем ближе к ней пройдет график аппроксимирующей функции. Подведем итоги. Для применения метода наименьших квадратов в случае аппроксимации полиномом следует действовать следующим образом. 1. Выбирается степень полинома n<