Аппроксимация функций

Лекция 4. Аппроксимация функций. 4.1. Постановка задачи. Пусть функция y = f (x) задана таблицей x x1 x2 . . . xm y y1 y2 . . . ym Требуется найти формулу y = F (x), выражающую эту зависимость аналитически. Существует два способа решения этой задачи. 1) Метод интерполяции. Аппроксимирующая кривая y = F (x) проходит через все узловые точки таблицы. Однако требование точного совпадения значений приближающей F и приближаемой f функций в узлах является неоправданным, т.к. 1) значения yi функции f получаются в результате измерений и уже сами являются приближенными; 2) величина y зависит не только от x, но и от других случайных факторов, которые от опыта к опыту колеблются по своим собственным случайным законам. 2) Сглаживание опытных данных. Табличные данные аппроксимируют кривой y = F (x), которая не обязательно должна пройти через все узловые точки, а должна "сгладить" все случайные помехи табличной функции. Задача. Найти функцию y = F (x) заданного вида, которая в точках x1 , x2 , . . . , xm принимает значения, как можно более близкие к табличным y1 , y2 , . . . , ym . На практике вид приближающей функции F (x) определяют путем сравнения вида приближенно построенного графика функции y = f (x) с графиками элементарных функций. По таблице строится точечный график функции y = f (x), затем проводится плавная кривая, по возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек. По полученной таким образом кривой устанавливается вид приближающей функции F (x). На рисунке 1 изображены три ситуации: а) взаимосвязь x и y близка к линейной; прямая линия близка к точкам наблюдений, последние отклоняются от нее несущественно. 1 y 6 y 6 @ @r r r @ @r r @ а) O r r @ @r @ y 6 r - x б) r rr r r rr r r r r @ @ r r r @ r r @ r r r@ r @ r r r r @ @ - O x в) r - O x Рис. 1: б ) взаимосвязь x и y описывается нелинейной функцией, и какую бы мы ни провели прямую линию, отклонение точек наблюдения от нее будет существенным. В то же время, проведенная ветка параболы достаточно хорошо отражает характер зависимости между величинами. с) взаимосвязь x и y отсутствует; какую бы мы ни выбрали формулу связи, результаты будут неудачными. В частности, обе выбранные прямые одинаково плохи для того, чтобы делать выводы об ожидаемых значениях переменной y по значениям переменной x. 4.2. Метод наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов – метод определения параметров приближающей функции y = F (x) (заданного вида), минимизирующий величину Φ= m P
2 yi − F (xi ) i=1 – сумму квадратов отклонений наблюдений yi зависимой переменной от значений F (xi ) искомой приближающей функции. Будем искать приближающую функцию в виде многочлена степени n: Fn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 или Fn (x) = n P as x s . s=0 Тогда Φ является функцией n+1 переменных a0 , a1 , . . . , an , и задача сводится к нахождению ее минимума. Необходимые условия экстремума функции Φ: ∂Φ = 0, ∂aj j = 0, 1, . . . , n. 2 (1) Находим частные производные функции Φ:  m m  n
∂Fn (xi ) P P P ∂Φ s = − 2 yi − Fn (xi ) = −2 yi − as xi xji . ∂aj ∂aj s=0 i=1 i=1 Тогда система уравнений (1) для определения неизвестных параметров a0 , a1 , . . . , an примет вид: n m m P P P s+j as x i = xji yi , s=0 i=1 j = 0, 1, . . . , n, i=1 или a0 m P i=1 xji m P + a1 i=1 x1+j i + a2 m P i=1 x2+j + ...+ i + an m P i=1 xn+j = i m P i=1 xji yi , j = 0, 1, . . . , n. Запишем эту систему в развернутом виде:  m m m m P P P P  n 2  yi , = x + . . . + a a m + a x + a x n 1 i 2  i i   i=1 i=1 i=1 i=1  m m m m m    a0 P xi + a1 P x2 + a2 P x3 + . . . + an P xn+1 = P xi yi , i i i i=1 i=1 i=1 i=1 i=1   ...    m m m m m  P P n+1 P P P n  n+2 2n  xni yi . = x x x + a + a + . . . + a a x  0 1 2 n i i i i i=1 i=1 i=1 (2) i=1 i=1 Алгоритм метода наименьших квадратов. 1) По исходным данным xi , yi , i = 1, 2, . . . , m, вычисляем m m m P P P xi , x2i , . . . , x2n i , i=1 i=1 m P i=1 i=1 yi , m P xi yi ... , i=1 m P xni yi . i=1 2) Составляем и решаем систему уравнений (2) для определения неизвестных коэффициентов a0 , a1 , . . . , an . 3) Записываем приближающую функцию в виде Fn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 . Замечания. 1) Для оценки качества аппроксимации по методу наименьших квадратов вычисляют среднеквадратичную погрешность v u m u1 X
2 t yi − Fn (xi ) , δn = m i=1 3 где n – степень многочлена Fn (x). 2) Пусть известна погрешность ε, с которой заданы значения исходной функции y(x). Тогда: а) если δn  ε, то аппроксимация слишком груба, степень n мала и необходимо ее увеличить; б) если δn  ε, то приближающая функция слишком усложнена и степень n надо уменьшить; в) если δn ≈ ε, то степень n "оптимальна". Пример. Экспериментальные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице: xi 1 2 3 4 5 yi 5,3 6,3 4,8 3,8 3,3 Методом наименьших квадратов аппроксимировать эти данные линейной функцией F1 (x) = a1 x + a0 .  Система уравнений (2) в случае линейной аппроксимации примет вид (n = 1):  m m P P   yi ,  a0 m + a1 x i =    a0 m P i=1 x i + a1 i=1 m P i=1 x2i = m P (3) x i yi , i=1 i=1 В нашем примере m = 5. Заполняем таблицу для удобства вычисления сумм, которые входят в систему (3): i 1 2 3 4 5 5 P i=1 xi 1 2 3 4 5 15 yi 5,3 6,3 4,8 3,8 3,3 23,5 x2i 1 4 9 16 25 55 xi yi 5,3 12,6 14,4 15,2 16,5 64 Замечание. Заполнение таблицы удобно провести в Excel. Таким образом, получаем следующую систему:   5a0 + 15a1 = 23,5,  15a + 55a = 64, 1 4 откуда a0 = 6,65, a1 = −0,65. Следовательно, искомая аппроксимирующая функция F1 (x) = −0,65x + 6,65. Из всех линейных функций она лучше всего приближает исходные экспериментальные данные (в смысле метода наименьших квадратов). y6 r r r r r y = −0,65x + 6,65 1 O - x 1 Рис. 2: На рисунке 2 изображена найденная прямая y = −0,65x+6,65 и исходные данные (точки). Вычислим сумму квадратов отклонений между эмпирическими и теоретическими значениями. Геометрически – это сумма квадратов длин пунктирных отрезков (два из которых настолько малы, что их даже не видно). Вычисления сведем в таблицу: i 1 2 3 4 5 xi 1 2 3 4 5 yi 5,3 6,3 4,8 3,8 3,3 F1 (xi ) 6 5,35 4,7 4,05 3,4 5 P
2 yi − F1 (xi ) i=1
2 0,49 0,9025 0,01 0,0625 0,01 yi − F1 (xi ) 1,475 Найдем среднеквадратичную погрешность: v r u 5 u1 X
1,475 2 δ1 = t yi − F1 (xi ) = ≈ 0,5. 5 i=1 5 Так как погрешность исходных данных ε не превышает 0,1 (значения искомой функции заданы с точностью до десятых), т.е. имеет такой же порядок, что и δ1 , то линейную аппроксимацию в данном примере можно считать оптимальной.  5