Начисление сложных процентов

Лекция 3. Начисление сложных процентов 3.1. Сложные проценты (compound interest). Наращение по схеме сложных процентов означает, что очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. В этом случае размер инвестированного капитала через n лет можно определить по формуле: (3.1) При одном и том же значении процентной ставки: 1) темпы наращения сложных процентов выше темпов наращения простых, если период наращения превышает стандартный интервал начисления дохода; 2) темпы наращения сложных процентов меньше темпов наращения простых, если период наращения меньше стандартного интервала начисления дохода. Областью применения сложных процентов являются долгосрочные операции (со сроком, превышающем год), в том числе предполагающие внутригодовое начисление процентов. Рис. 3.1. Области применения сложных процентов В первом случае применяется обычная формула начисления сложных процентов (ф. 2.1). Во втором случае применяется формула начисления сложных процентов с учетом внутригодового начисления. В случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения будет иметь следующий вид: (3.2) В целях оценки своих перспектив кредитору или должнику важно знать, через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при данной процентной ставке. Это требуется при прогнозировании своих инвестиционных возможностей. С целью решения этой задачи необходимо множитель наращения приравнять N. Тогда: - для простых процентов откуда (3.3) - для сложных процентов откуда (3.4) Особенно часто используется случай, когда N=2. Тогда формулы (3.3) и (3.4) называются формулами удвоения и принимают следующий вид: - для простых процентов (3.5) - для сложных процентов (3.6) Областью одновременного применения простых и сложных процентов являются долгосрочные операции, срок которых составляет дробное количество лет. При этом начисление процентов возможно двумя способами: 1) начисление сложных процентов с дробным числом лет; 2) начисление процентов по смешанной схеме. В первом случае вычисления ведутся по следующей формуле: (3.7) где: f – дробная часть срока вложения средств. Во втором случае расчеты ведутся по следующей формуле: (3.8) Под внутригодовым начислением процентов понимается выплата процентного дохода более одного раза в год. В зависимости от количества выплат дохода (m) внутригодовое начисление может быть: 1) полугодовым (m=2); 2) поквартальным (m=4); 3) ежемесячным (m=12); 4) ежедневным (m=365 или 366); 5) непрерывным (m=∞). Формула наращения при полугодовом, поквартальном, ежемесячном и ежедневном начислении сложных процентов имеет следующий вид: (3.9) При одинаковой величине исходной суммы, одинаковом сроке вложения денежных средств и значении процентной ставки возвращаемая сумма оказывается больше в случае использования формулы внутригодовых начислений, чем в случае использования обычной формулы начисления сложных процентов: (3.10) Если доход, полученный при использовании внутригодовых начислений, выразить в процентах, то полученная процентная ставка окажется выше той, которая использовалась при обычном начислении сложных процентов. Поэтому первоначально заявленная годовая процентная ставка для начисления сложных процентов, называемая номинальной, не отражает реальной эффективности сделки. Процентная ставка, отражающая фактически полученный доход, называется эффективной. Для каждой номинальной процентной ставки и на ее основании можно рассчитать эффективную процентную ставку (). Из формулы наращения сложных процентов можно получить формулу эффективной процентной ставки: (3.11) Приведем формулу наращения сложных процентов с внутригодовыми начислениями, при которых каждый год начисляется процента: (3.12) Тогда эффективная процентная ставка находится по формуле: (3.13) где: – эффективная процентная ставка; r – номинальная процентная ставка; m – количество внутригодовых выплат. Величина эффективной процентной ставки зависит от количества внутригодовых начислений (m). При m=1номинальная и эффективная процентные ставки равны, а чем больше количество внутригодовых начислений, тем больше эффективная процентная ставка. При дисконтировании решается задача обратная наращению по сложным процентам. Тогда (3.14) где (3.15) дисконтный множитель. Если проценты начисляются m раз в году, то получим (3.16) Величину PV, полученную дисконтированием FV, называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной FV. Суммы PV и FV эквивалентны, так как платеж в сумме FV через n лет равноценен сумме PV, выплачиваемой в настоящий момент. Разность D=FV-PV называется дисконтом. В банковском учете используется сложная учетная ставка. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле: PV=FV×(1-d)n (3.17) Дисконт в этом случае равен D=FV-PV=FV-FV×(1-d)n=FV×[1-(1-d)n] (3.18) Если дисконтирование применяют m раз в году, используют номинальную учетную ставку d. При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной на величину дисконта. Процесс дисконтирования по сложной учетной ставке m раз в год описывается формулой: (3.19) При дисконтировании m раз в год величина дисконта снижается быстрее. Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную номинальной. Тогда (3.20) отсюда следует, что (3.21) Эффективная учетная ставка всегда меньше номинальной. Наращение по сложной учетной ставке является задачей обратной дисконтированию. При учете один раз в год , (3.22) а при учете m раз в год . (3.23) Процентный доход при непрерывном начислении процентов рассчитывается по следующей формуле: (3.24) где: - множитель наращения, который используется как при целом, так и при дробном значении n; - специальное обозначение процентной ставки при непрерывном начислении процентов (непрерывная процентная ставка, «сила роста»). Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при . Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле: (3.25) Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществлять переход от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить путем приравнивания соответствующих множителей наращения , тогда , (3.26) В ряде практических задач начальная (PV) и конечная (FV) суммы заданы контрактом, и требуется определить либо срок платежа, либо процентную ставку, которая может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. При разработке параметров соглашения и оценивании сроков достижения желательного результата требуется определить продолжительность операции через остальные параметры сделки: - при наращении по сложной годовой ставке r. Из исходной формулы наращения следует, что (3.27) где логарифм можно взять по любому основанию, поскольку он имеется и в числителе и в знаменателе; - при наращении по номинальной ставке процентов m раз в году из получим ; (3.28) - при дисконтировании по сложной годовой учетной ставке из получим (3.29) - при дисконтировании по номинальной учетной ставке раз в году из получим . (3.30) - при наращении по постоянной силе роста из получаем . (3.31) Аналогично можно получить величину процентных и учетных ставок. Норма доходности не является постоянной величиной и зависит от риска, связанного с вложением денежных средств. Чем выше риск вложений, тем больше норма доходности и наоборот. Одной из проблем при использовании метода дисконтированных денежных потоков, которую необходимо учитывать, является проблема роста цен. Предположим, инвестор хотел бы вложить 1000 д.е., так, чтобы его капитал каждый год увеличивался бы 10%. Вкладывая 1000 д.е. он ожидает получить через год 1100 д.е., тогда покупательная способность его денег будет выше на 10%, так как через год он сможет купить товаров на 10% больше. Значит реальная ставка дохода =10%. Предположим, что темп инфляции 5%. Значит, если инвестор хочет получить реальный доход 10% он должен защитить свои вложения от инфляции. Для этого доход в денежном выражении должен быть выше, чем первоначальный. Во-первых, потребуется 50 д.е.=10000,05 для защиты инвестиций и, во-вторых, - 5 д.е.=1000,05 для защиты реального дохода. Таким образом, фактический доход, который инвестор должен получить через год должен составить 1155 д.е. Денежная ставка дохода составит =15,%, 155 д.е. на 1000 д.е. инвестиций. Тогда в общем виде это можно записать следующим образом. Темп инфляции равен: (3.32) где: - сумма денежных средств, для которой рассматривается покупательная способность без инфляции; - сумма денег, покупательная способность которой с учетом инфляции равна покупательной способности суммы при отсутствии инфляции. Тогда: (3.33) Величину называют индексом инфляции. Инфляционное обесценение денег в случае схемы простых процентов учитывается следующим образом. Пусть уровень инфляции за период равен . Тогда: или . (3.34) Отсюда: (3.35) . Именно под такую простую ставку ссудных процентов нужно положить первоначальную сумму на срок , чтобы при уровне инфляции за рассматриваемый период обеспечить реальную доходность в виде годовой процентной ставки . Если , то . Это соотношение называется формулой Фишера, а величина называется инфляционной премией. Если из выразить , то получим формулу реальной доходности . (3.36) Инфляционное обесценение денег в случае схемы сложных процентов учитывается следующим образом. . (3.37) Отсюда , , . Тогда . (3.38) Именно под такую сложную ставку ссудных процентов нужно положить первоначальную сумму на срок , чтобы при уровне инфляции за рассматриваемый период обеспечить реальную доходность в виде сложной годовой ставки . Если из (3.30) выразить , то получим формулу реальной доходности в виде сложной годовой ставки ссудных процентов: . (3.39)