Начисление простых процентов

Лекция 2. Начисление простых процентов 2.1. Формула наращения простых процентов (simple interest). Наращение простых процентов означает, что инвестируемая сумма ежегодно возрастает на величину . В этом случае размер инвестированного капитала через n лет можно определить по формуле: (2.1) Множитель является множителем наращения. Он показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы. Областью применения простых процентов чаще всего являются краткосрочные операции (со сроком до одного года) с однократным начислением процентов (краткосрочные ссуды, вексельные кредиты) и реже - долгосрочные операции. При краткосрочных операциях используется промежуточная процентная ставка, под которой понимается годовая процентная ставка, приведенная к сроку вложения денежных средств. Математически промежуточная процентная ставка равна доле годовой процентной ставки. Формула наращения простых процентов с использованием промежуточной процентной ставки имеет следующий вид: (2.2) где ; t – срок вложения денежных средств (при этом день вложения и день изъятия денежных средств принимается за один день); T - расчетное количество дней в году. При долгосрочных операциях начисление простых процентов осуществляется по формуле (2.1). Процентные ставки не остаются неизменными во времени, поэтому в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. Тогда формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид: (2.3) где ni – продолжительность периода начисления по ставке ri . Сумма депозита, полученная в конце обозначенного периода вместе с начисленными на нее процентами, может быть вновь инвестирована, в том числе и под другую процентную ставку. Тогда в случае многократного инвестирования в краткосрочные депозиты и применения простой процентной ставки наращенная сумма для всего срока инвестирования N находится по следующей формуле: (2.4) 2.2. Дисконтирование и учет по простым ставкам В практике часто приходится решать задачу обратную наращению процентов, когда по заданной сумме FV, соответствующей концу финансовой операции, требуется найти исходную сумму PV. Такой расчет называется дисконтированием. Величину PV, найденную дисконтированием, называют современной величиной (текущей стоимостью) суммы FV. Проценты в виде разности называются дисконтом или скидкой. Процесс начисления и удержания процентов вперед (в виде дисконта) называют учетом. Таким образом, в практике используют два принципа расчета процентов: - путем наращения суммы ссуды; - устанавливая скидку с конечной суммы долга. В большинстве случаев фактор времени учитывается в финансовых контрактах именно с помощью дисконтирования. Известны два вида дисконтирования математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. При использовании простых процентов эти операции выглядят следующим образом. При математическом дисконтировании , (2.5) Простая годовая учетная ставка находится как (2.6) Тогда (2.7) Учетная ставка может использоваться для наращения. В этом случае из (2.7) следует, что (2.8) В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, предусматривающее начисление простых процентов на первоначальную сумму долга необходимо решить две задачи: - определить конечную сумму долга на момент его погашения; - рассчитать сумму, получаемую при учете, путем дисконтирования конечной суммы долга, применяя учетную ставку, действовавшую в момент учета. Решение этих двух задач можно записать в виде одной формулы, содержащей наращение по ставке простых процентов, фигурирующей в долговом обязательстве, и дисконтирование по учетной ставке: (2.9) где n1 – общий срок платежного обязательства, в течение которого начисляются проценты; n2 – срок от момента учета до погашения долга. Иногда задача ставится таким образом, что требуется найти временной интервал, за который исходная сумма при заданной ставке процентов вырастет до нужной величины, или срок, обеспечивающий определенный дисконт с заданной величины. При использовании простой ставки наращения r (2.10) а при учетной ставке d имеем (2.11) Уровень процентной ставки может служить мерой доходности операции, критерием сопоставления альтернатив и выбора наиболее выгодных условий. Ставка наращения будет равна (2.12) а учетная ставка будет равна (2.13) Напомним, что срок n в первом случае обозначает весь срок операции , а во втором – оставшийся срок до погашения. Иногда размер дисконта в контрактах фиксируется за весь срок ссуды в виде доли от суммы погасительного платежа. Т.е. уровень процентной ставки задается в неявном виде. Пусть FV размер погасительного платежа, dn – доля этого платежа, определяющая величину дисконта за весь срок ссуды n. Требуется определить, каким уровням годовых ставок r и d эквивалентны такие условия. Итак, FV – сумма возврата в конце ссуды, - реально выдаваемая сумма в момент заключения договора. , (2.14) . (2.15)