Начертательная геометрия

Министерство транспорта Российской федерации Федеральное агенТство железнодорожного транспорта Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Самарский государственный университет путей сообщения Кафедра «инженерная графика» Начертательная геометрия Курс лекций для студентов специальности 190701 «Организация перевозок и управление на транспорте (ж.д. транспорт), 181400«Электрический транспорт железных дорог» очной и заочной форм обучения Самара 2010 УДК 514.18 Н Рецензенты: К.т.н, доцент кафедры «Инженерная графика» Самарского государственного аэрокосмического университета им. акад.С.П.Королева В.И.Иващенко К.т.н., доцент кафедры «Инженерная графика» В.Л. Береснев Авторы: В.А. Антипов ( 1- 5 главы), Г.В. Изранова (6 - 9 главы), Т.Ю.Зиновьева (10, 11 главы), Г.В.Лазуткин(12, 13 главы) Начертательная геометрия: курс лекций для студентов специальности 190701 «Организация перевозок и управление на транспорте (ж.д. транспорт)», 181400 «Электрический транспорт железных дорог» очной и заочной форм обучении/ В.А.Антипов [и др.]: – Самара: СамГУПС, 2010. – 88 с. Настоящее издание предназначено для студентов, изучающих дисциплину «Начертательная геометрия». Курс лекций имеет своей целью помочь студенту в освоении теоретических основ начертательной геометрии. Изложение разделов курса построено по принципу «от простого к сложному». Все разделы иллюстрированы чертежами и наглядными рисунками, что призвано облегчить восприятие студентами приведенного материала. С помощью настоящего курса лекций студент сможет получить необходимый минимум знаний по указанному курсу, достаточный для использования при решении практических задач. Под редакцией доктора технических наук, профессора кафедры «Инженерная графика» Самарского государственного университета путей сообщения Мулюкина О.П. Подписано в печать Формат 60х90 1/16 Усл.печ.л. 5,5. Заказ N © Самарский государственный университет путей сообщения, 2010 ПРЕДИСЛОВИЕ В любой отрасли промышленности для изготовления отдельных деталей и составных частей машин создаются их геометрические (идеальные) образы, которые называются чертежами. Под чертежами понимают плоское изображение геометрических очертаний и размеров технического объекта, выполненное таким образом, чтобы можно было представить его объёмные формы. У будущего инженера важно выработать и развить пространственное (объемное) «видение» плоского изображения. Это позволяет не только правильно читать и понимать плоские чертежи, но и, используя целый ряд правил и положений, грамотно их выполнять. Все эти вопросы рассматриваются студентами вузов при изучении первой общепрофессиональной дисциплины «Инженерная графика». Важнейшей составной частью является курс начертательной геометрии, который в силу его большой значимости во многих образовательных стандартах выделен в отдельную дисциплину. Изучение этого курса преследует следующие основные цели: • ознакомить студента с различными методами проецирования объекта на плоскость для получения изображения; • развить пространственное представление об объёмных формах технических объектов и составляющих их частей по изображению этих объектов на плоскостях; • сформировать и закрепить в сознании человека систему правил для решения графическими методами технических задач проектирования; В отличие от других изданий лекционный курс минимизирован до объема, предусмотренного рабочей программой по начертательной геометрии для студентов специальности 190701 и 181400, достаточного для самостоятельной работы студента, выполнения им графических заданий. Рекомендуется для студентов родственных специальностей, изучающих курс начертательной геометрии и обучаемых в ВУЗах министерства транспорта Российской Федерации. 1. ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ При изучении курса приняты следующие обозначения: 1.1 Плоскости проекций: горизонтальная — П1; фронтальная — П2; профильная — П3; дополнительная — П4, П5 … аксонометрическая — П1. 1.2 Точки: А, В, С, Д... или 1, 2, 3, 4 ... 1.3 Проекции точек на плоскость: П1— А1,В1,С1,Д1 ... или 11, 21, 3,1 ,41; П2 — А2,В2,С2,Д2 ... или 12 ,22, 3,2 ,42; П3 — А3,В3,С3,Д3 ... или 13 , 23, 33, 43; П1 — А1,В1,С1,Д1 ... или 11, 21, 31, 41 1.4 Точки на развертках: А0, В0, Со, Д0- - - или 10, 20, З0, 40 ... 1.5 Последовательный ряд точек: ... 1.6 Линии: a, b, c, d... 1.7 Проекции линий на плоскость: П1— a1, b1, c1, d1 ... П2 — a2, b2, c2, d2 ... П3 — a3, b3, c3, d3 ... 1.8 Линии уровня: горизонтальная (горизонталь) — h; фронтальная (фронталь) — f; профильная — р. 1.9 Координатные оси проекций: абсцисс — x; ординат — y; аппликат — z. 1.10 Новые оси абсцисс, полученные при замене плоскостей проекций: х1, x2 . 1.11 Аксонометрические оси координат: x1,y1,z1. 1.12 Последовательный ряд линий: ... 1.13 Прямая, проходящая через точки А и В: АВ. 1.14 Плоскости (поверхности): … 1.15 Знак принадлежности 1.16 Знак совпадения ≡ 2. ОБРАЗОВАНИЕ ПРОЕКЦИЙ. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ Плоский чертеж какого-либо технического объекта может состоять из нескольких изображений, по которым и создается представление об объемных формах объекта. Такие плоские изображения называются проекциями рассматриваемого объекта. Под проекцией любой точки понимают ее как бы «теневое» отображение на какой-либо плоскости. Так, если поместить материальную точку 1 между источниками света (световых лучей) 2 и какой-либо плоскостью 3 (рис. 2.1), на этой плоскости увидим тень 4 этой точки, которую и принято называть проекцией точки. Рис. 2.1 Взаимное положение источника света и плоскости может быть произвольным. В зависимости от величины угла между лучом 2-1-4 и плоскостью 3 возможны два принципиально отличных варианта проекций точки: • значение угла не равно 90°, тогда проекция точки называется косоугольной; • значение угла равно 90° (прямой угол), тогда проекция называется прямоугольной, или ортогональной (от греч. orthogonios - прямо­угольный). Курс начертательной геометрии рассматривает два основных метода проецирования: центральный и параллельный. 2.1. Метод центрального проецирования Суть метода заключается в следующем: пусть даны в пространстве треугольник ABC, плоскость П1 и произвольная точка S (рис. 2.2). Проведя из точки S прямые линии (лучи) через вершины треугольника ABC до пересечения их с плоскостью П1, получают точки А1, В1, С1. Эти точки называют центральными проекциями точек А, В, С. Соединив прямыми линиями точки А1, В1, С1, получают центральную проекцию треугольника ABC. Точка S называется центром проецирования, плоскость П1 - плоскостью проекций, лучи SA1, SB1, SC1 - проецирующими лучами. Рис. 2.2 2.2. Метод параллельного проецирования Если точку S удалить от плоскости П1 в бесконечность, проецирующие лучи будут практически параллельны между собой. Тогда они пересекутся с плоскостью проекций П1 в точках А1, В1, С1, которые называются параллельными проекциями точек А, В, С. Соединив, как и в предшествующем случае, точки А1, В1, С1 между собой, получают треугольник А1В1С1, который будет уже параллельной проекцией треугольника ABC. На рис. 2.3 стрелкой s обозначено направление проецирования. Если направление s перпендикулярно к плоскости П1, то проекция треугольника называется параллельной прямоугольной или ортогональной. Если направление луча s не перпендикулярно к плоскости П1, то проекция треугольника называется косоугольной. 2.3. Система плоскостей проекций в практике решения инженерных задач Наибольшее практическое применение нашёл метод параллельного ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, одна из которых расположена горизонтально, а другая - вертикально. Они соответственно получили обозначения: горизонтальная плоскость проекций – П1, и фронтальная — П2. Эти плоскости пересекаются между собой под прямым углом, образуя линию пересечения — ось х, и делят пространство на четыре четверти (квадранты), которые принято обозначать римскими цифрами I, II, III и IV (рис. 2.4). В случае недостаточной информативности об объекте по двум проекциям на указанные плоскости П1 и П2 используют третью плоскость П3, перпендикулярную плоскостям П1 и П2. Она называется профильной плоскостью проекций. Плоскость П3 пересекается с плоскостью П1 образуя ось у, и с плоскостью П2, образуя ось z. Указанные плоскости делят всё пространство вокруг уже на восемь частей, которые называются октантами и обозначаются римскими цифрами от I до VIII. 3. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ 3.1. Проецирование точки на две и три плоскости проекций Если из точки А, находящуюся в пространстве, относительно двух плоскостей проекций П1 и П2, опустить из нее перпендикуляры на эти плоскости, получают проекции точки А - А1 и А2, которые являются ортогональными проекциями относительно плоскостей про­екций П1, и П2. Они характеризуются координатами, которые численно равны расстоянию от точки А до соответствующих плоскостей проекций. Координаты обозначаются теми же буквами, что и оси вдоль которых измеряется расстояние, с присвоением индекса самой буквы. Так, для точки А: [A A1]=[A2Ax]=zA; [AA2]=[A1 Ax]=yA. Плоскость прямоугольника А1АА2Аx, перпендикулярна к: оси x, а линии пересечений плоскостей П1П2 и плоскости А1АА2Аx являются прямыми А1Аx и А2Аx, перпендикулярными к оси х. Изображение точки и её проекций на рис.3.1 является пространственным чертежом, что не всегда удобно для практики. Чтобы получить плоский чертёж, поворачивают плоскость П1, вокруг оси х и совмещают её с плоскостью П2 (рис. 3.1), получая таким образом. комплексный чертеж (эпюр Монжа) Рис. 3.1 Рис. 3.2 Проекции а1 и А2 оказываются на одной линии, которая называется линией проекционной связи. Она перпендикулярна к оси х (рис. 3.2). При проецировании точки А на три плоскости проекций от плоскости П3 она отстоит на расстоянии АА3 (рис. 3.3). При этом, аналогично вышесказанному: [АА3]=[0Ах]=xА; [A3Az]=[AA2]=[0AY]=yA; [A3Ay]=[AA1]=0AZ]= za. Для получения плоского чертежа в этом случае уже две плоскости П1 и П3 совмещаются с плоскостью П2 путём поворота их соответственно вокруг осей х и z. При этом ось у как бы раздваивается (как бы разрезается вдоль), и положение плоскостей будет таким, как показано на рис. 3.3. Профильная проекция А3 точки А находится на пересечении линий связи A2AZA3 и A1AуA3 (расстояние 0Ау=0Ау). Перенос точки Ау в точку (Aу) - понятен из чертежа, а сам отрезок есть не что иное, как координата ya. На плоском трёхмерном чертеже положительное направление оси х совпадает с отрицательным направлением оси у, а отрицательное направление оси y - с положительным направлением оси z. Pис. 3.4 Это не означает, что модули этих величин обязательно равны между собой, т.е. (в частном случае это равенство может быть). Те же рассуждения будут справедливы и в отношении направлений осей z и y (рис. 3.4). Таким образом, горизонтальная и фронтальная проекции точки А на плоском чертеже лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси x, а фронтальная и профильная проекции точки А на линии проекционной связи, перпендикулярной к оси z. 3.2. Определение по плоскому чертежу принадлежности точки тому или другому октанту пространства Точка, например А, принадлежит: • I или V октанту, если её проекция А1(лежит под осью х, а А2 - над осью х; • II или VI октанту, если и А1 и А2 лежат над осью х; • III или VII октанту, если A1 лежит над осью х, а А2 - под осью х; • IV или VIII октанту, если и А1 и А2 лежат под осью х. 3.3. Определение по плоскому чертежу принадлежности точки плоскостям проекций Точка А принадлежит: - горизонтальной плоскости проекций П1 если А1≡ А, а А2оси х и A3 y; - фронтальной плоскости проекций П2, если А2≡ А, а А1 оси х и A3 z; - профильной плоскости проекций П3, если , а А1оси y и A2оси z; Любая точка лежит на оси проекций, если её смежные две проекции совпадают. Так, точка А лежит на оси х, если А1 совпадает с А2; на оси у, если A2 совпадает с А3, и оси z, если А2 совпадает с А3. 3.4. Правила знаков координат проекции точки При построении проекции точки координата x всегда откладывается от начала координат (точка 0). Положительное значение координаты у будут иметь точки, находящихся перед фронтальной плоскостью проекций П2, отрицательное - расположенная за ней. Координату у можно откладывать непосредственно от оси х, от точки пересечения осей 0 (вниз - положительное значение, вверх - отрицательное). Положительное значение координаты z будут иметь точки, расположенные выше горизонтальной плоскости проекций П1, а отрицательное - точки находящиеся ниже П1. Координату z на чертеже также можно откладывать от оси x, от точки пересечения осей 0 (вверх - положительное значение, вниз - отрицательное). Если рассматривать все восемь октантов пространства, то знаки для всех трёх координат точки (х, у, z) приведены в табл. 3.1 Таблица 3.1 Координаты Октанты I II III IV V VI VII VIII x + + + + — — — — y + — — + + — — + z + + — — + + — — 4. ПРЯМАЯ в пространстве и ее изображение на комплексном чертеже. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ 4.1. Задание прямой в пространстве Любая прямая в пространстве может быть задана: • двумя точками, принадлежащими этой прямой; • одной точкой, принадлежащей данной прямой, и ее направлени­ем. В первом случае задаются координаты двух заданных точек, во втором — координаты точки и направляющим вектором. 4.2. Положение прямой в пространстве Положение прямой в пространстве оценивается расположением ее относительно трех плоскостей проекций. При этом возможны сле­дующие варианты. 4.2.1 Прямая не параллельная и не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций называется прямой общего положения (рис. 4.1). Все точки прямой имеют различные координаты х, у, z, и ее проекции не параллельны и не перпендикулярны осям проекций х, у, z. 4.2.2 Прямая параллельная одной из плоскостей проекций. Все точки прямой имеют одну постоянную координату x, y или z. При этом одна из проекций прямой параллельна какой-то оси проекции. Такую прямую называют линией уровня (рис. 4.2). На рис. 4.2, а прямая h (горизонталь) параллельна плоскости П1, (ее фронтальная проекция h2 параллельна оси х), координата z для всех точек прямой постоянна, горизонтальная проекция прямой h1 проецируется в натуральную величину. На рисунке 4.2, б прямая f (фронталь) параллельна плоскости П2, ее горизонтальная проекция f1 параллельна оси x:, координата у для всех точек постоянна, фронтальная проекция прямой (f2) проецируется в натуральную величину. На рисунке 4.2, в прямая р параллельна плоскости П3, в этом слу­чае ее горизонтальная проекция р1 параллельна оси у, фронтальная проекция р2 параллельна оси z, координата x для всех точек прямой постоянна, а профильная проекция прямой проекция прямой р3 проецируется в натуральную величину. Рис. 4.2 4.2.3 Прямая перпендикулярна к одной из плоскостей проекций и параллельна двум другим плоскостям проекций. Если все точки прямой имеют две постоянные координаты то на одну из плоскостей проекций прямая проецируется в точку. Такую прямую называют проецирующей прямой (рис. 4.3). На рис. 4.3, а прямая а перпендикулярна к плоскости П1 и параллельна плоскостям П2 и П3. Координаты x и у всех точек прямой постоянны. На горизонтальную плоскость проекции П1 прямая а проецируется в точку (горизонтально-проецирующая прямая). На рис. 4.3, б прямая b перпендикулярна к плоскости проекции П2 и параллельна плоскостям П1 и П3. Координаты х и z всех точек по­стоянны. На фронтальную плоскость П2 прямая b проецируется в точку (фронтально-проецирующая прямая). На рис. 4.3, в прямая с перпендикулярна к плоскости проекции П3 и параллельна плоскостям П1 и П2. Координаты у и z всех точек прямой постоянны. На профильную плоскость П3 прямая с проецируется в точку (профильно-проецирующая прямая). 4.3. Принадлежность точки прямой Признаком принадлежности точки некоторой прямой является принадлежность проекций точки одноименным проекциям этой прямой. Так на рис. 4.4 точка А принадлежит отрезку прямой СВ, так как проекции точки А расположены на одноименных проекциях отрезка прямой СВ (). 4.4. Следы прямой Следом прямой называется точка пересечения прямой с плоскостью проекции. Горизонтальным следом прямой называют точку пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций (рис. 4.5). Горизонтальный след обозначают обычно буквой М. При этом координата z точки М равна нулю. Следовательно, для нахождения горизонтального следа прямой на ней определяют точку с нулевой координатой z (рис. 4.5). Фронтальным следом прямой называют точку пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекции (рис. 4.5). Обозначают фронтальный след чаще всего буквой N. Координата у точки N равна нулю. Следовательно, для нахождения фронтального следа N прямой на ней определяют точку, имеющую нулевую координату у. Профильным следом прямой называют точку пересечения прямой с профильной плоскостью проекции. Обозначают профильный след обычно буквой Р. Координата х точки Р равна нулю. Пересекая плоскости проекции, прямая переходит из одной четверти (квадранта) пространства в другую. Линия общего положения и линия уровня может пройти через три четверти пространства; линия уровня и проецирующая линия — через две четверти. 4.5. Длина отрезка прямой и углы наклона прямой к плоскостям проекции. Способ прямоугольного треугольника Отрезок прямой, параллельной какой-либо плоскости проекции, проецируется на данную плоскость без искажения (в натуральную величину) (рис. 4.6, а и 4.6, б). Так, отрезок АВ параллелен плоскости П1 (рис. 4.6, а), следовательно, длина отрезка равна его горизонтальной проекции A1B1. Угол β между осью х и горизонтальной проекцией отрезка определяет угол наклона отрезка АВ к плоскости П2. Рис. 4.6 Отрезок CD параллелен плоскости П2 (рис. 4.6, б), следовательно, длина отрезка равна длине его фронтальной проекции C2D2. Угол α опреде­ляет угол наклона отрезка CD к плоскости П1. Отрезок KF параллелен плоскости П3 (рис. 4.6, в), следовательно, длина отрезка равна длине его профильной проекции K3F3. Углы наклона отрезка к плоскостям П1 и П2 определяют соответственно углы α и β. Если отрезок не параллелен плоскостям проекций, то для определения его натуральной величины и угла наклона к плоскостям проекций необходимо выполнить дополнительные построения: построить вспомогательный прямоугольный треугольник, один катет которого равен проекции отрезка на плоскость П1 или П2, а другой - разности координат концов отрезка с другой проекции. Так на рис. 4.7 один катет вспомогательного треугольника равен горизонтальной проекции отрезка A1B1 а другой – В1B0 - разности координат z концов отрезка (точек А и В) В2В1. Гипотенуза А1В0 определяет действительную длину отрезка АВ. Угол α при вершине A1 определяет угол наклона отрезка АВ к плоскости П1. Теорема о проецировании прямого угла. Для того чтобы прямой угол проецировался на плоскость проекций в натуральную величину необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, одна его сторона была параллельна этой плоскости проекции, а вторая сторона не перпендикулярна к ней. На рис. 4.8 дано: a b ; плоскость П1, b||П1 . Доказать, что a1 b1. Для доказательства через прямую а (проекции а1 и а2) проводим дополнительную плоскость Σ. Прямая b перпендикулярна к плоскости Σ и параллельна плоскости П1. Плоскости П1 принадлежит проекция прямой b1. Отсюда следует, что прямая b1 тоже перпендикулярна к плоскости Σ. Прямая а принадлежит плоскости Σ, следовательно, а1 перпендикулярна к b1, т.е. прямой угол проецируется без искажения. 4.6. Взаимное положение прямых в пространстве Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися. Если две прямые пересекаются, то точки пересечения одноименных проекций лежат на линии проекционной связи (рис. 4.9, а). Если две прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны (рис. 4.9, б). Это утверждение справедливо, если прямые занимают общее положение. Если две прямые не параллельны и не пересекаются, тоесть не лежат в одной плоскости, то они являются скрещивающимися (рис. 4.9, в). Взаимное положение двух прямых, в том случае, если одна из них является профильной прямой, устанавливается при помощи третьей проекции. На рис. 4.10 изображены две скрещивающиеся прямые, хотя их горизонтальные и фронтальные проекции пересекаются, а профильные — параллельны между собой. 5. ПЛОСКОСТЬ 5.1. Задание плоскости Плоскость на комплексном чертеже можно задать: • тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 5.1, а); • прямой и не принадлежащей ей точкой (рис. 5.1, б); • двумя пересекающимися прямыми (рис. 5.1, в); • двумя параллельными прямыми (рис. 5.1, г); • любой плоской фигурой (рис. 5.1, д); • следами (рис.5.2) Часто применяется способ задания плоскости с помощью прямых линий (взаимно пересекающихся или параллельных), по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций П1 П2, П3. Это задание плоскости следами сохраняет наглядность изображения (рис. 5.2). 5.2. Следы плоскости Линия пересечения какой-либо плоскости с плоскостью проекций (П1, П2, П3) называется следом плоскости. Следу присваивается наименование той плоскости проекций, которой он принадлежит. Например, горизонтальный след получен при пересечении заданной плоскости с плоскостью П1 и обозначается Р1, фронтальный — с плоскостью П2 (Р2), профильный — с плоскостью П3 (Р3). Два следа одной и той же плоскости пересекаются на оси проекции в точке, называемой точкой схода следов. Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, остальные проекции оказываются лежащими на осях координат. Например, горизонтальный след плоскости Р (рис. 5.2) совпадает со своей горизонтальной проекцией Р1, фронтальная его проекция находится на оси x, а профильная на оси у. По расположению следов плоскости можно судить о положении данной плоскости в пространстве. 5.3. Положение плоскости относительно плоскостей проекций Любая произвольно взятая в пространстве плоскость может занимать общее или частное положение. Плоскостью общего положения называется плоскость, которая не перпендикулярна и не параллельна ни к одной из плоскостей проекций (см. рис. 5.2). Все остальные плоскости относятся к плоскостям частного положения и подразделяются на проецирующие плоскости и плоскости уровня. Проецирующей называется плоскость, перпендикулярная к одной из плоскостей проекций. Например, горизонтально-проецирующая плоскость перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекции П1 (рис. 5.3). Рис. 5.3 Горизонтальные проекции всех геометрических объектов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с горизонтальным следом 1. Угол β, который образуется между плоскостями Σ и П2, проецируется на П1 без искажения. Фронтальный след 2 перпендикулярен к оси x. Фронтально-проецирующая плоскость () перпендикулярна к фронтальной плоскости П2 (рис. 5.4). Фронтальные проекции всех геометрических объектов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с фронтальным следом плоскости 2. Угол α, который образуется между заданной плоскостью и П1, проецируется на П2 без искажения. Горизонтальный след плоскости 1 перпендикулярен к оси x. Рис. 5.4 Профильно - проецирующая плоскость Т (T1, T2) перпендикулярна к профильной плоскости проекции П3 (рис. 5.5). а) б) Рис. 5.5 Профильные проекции всех геометрических объектов, лежащих в этой плоскости, совпадают с профильным следом плоскости Т3. Углы α и β, которые образуются между заданной плоскостью и плоскостями проекций П1 и П2 (угол α = углу наклона плоскости T к плоскости проекции П1; угол β = углу наклона плоскости Т к плоскости проекций П2), плоскость Т проецируются на плоскость П3 без искажений. Горизонтальный и фронтальный следы плоскости параллельны оси х. Профильно-проецирующая плоскость может проходить через ось x (рис. 5.6). Следы такой плоскости 1 ≡ 2 совпадают друг с другом и с осью x, поэтому не определяют положение плоскости в системе двух плоскостей проекций. Необходимо кроме следов задать в плоскости точку (рис. 5.6). В частном случае эта плоскость может быть биссекторной плоскостью, если угол α = β, а точка А равноудалена от плоскостей проекций П1 и П2. Рис. 5.6 Плоскостью уровня называется плоскость, перпендикулярная одновременно к двум плоскостям проекций и параллельная третьей. Таких плоскостей может быть три разновидности (рис. 5.7): • горизонтальная плоскость параллельна плоскости П1 и перпендикулярна к П2, П3 (рис. 5.7, а); • фронтальная плоскость параллельна плоскости П2 и перпендикулярна к П1, П3 (рис. 5.7, б); • профильная плоскость параллельна плоскости П3 и перпендикулярна к П1, П2 (рис. 5.7 в). а) б) в) Рис. 5.7 Из определения плоскостей уровня следует, что одна из проекций точки, линии, фигуры, принадлежащих этим плоскостям, будет совпадать с одноименным следом плоскости уровня, а другая проекция будет натуральной величиной этих геометрических образов 5.4. Признаки принадлежности точки и прямой плоскости. Главные линии плоскости Для определения принадлежности точки и прямой плоскости, следует руководствоваться следующими положениями: • точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести линию, лежащую в плоскости; • прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости; • прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку данной плоскости и параллельна прямой, принадлежащей этой плоскости. Через одну точку на плоскости можно провести бесконечное множество прямых. Это могут быть произвольные линии и линии, занимающие особое положение по отношению к плоскостям проекций П1 П2, П3. Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью плоскости. Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно фронтальной плоскости проекций, называется фронталью плоскости. Горизонталь и фронталь являются линиями уровня плоскости. Горизонталь плоскости следует начинать строить с фронтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости. Все горизонтали плоскости параллельны между собой, можно считать горизонтальный след плоскости нулевой горизонталью (рис. 5.8). Фронталь плоскости следует начинать строить с горизонтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу. Фронтальный след плоскости -нулевая фронталь. Все фронтали плоскости параллельны между - собой (рис. 5.9). Рис. 5.8 К линии уровня относится и профильная прямая, лежащая в заданной плоскости и параллельная П3. а) б) \ а) б) Рис. 5.9 К линиям уровня плоскости относятся и профильные прямые, лежащая в заданной плоскости и параллельные П3. К главным линиям плоскости, кроме линии уровня, относятся линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций. 5.5. Определение угла наклона плоскости к плоскостям проекций Плоскость общего положения наклонена к плоскостям проекций. Для определения величины угла наклона заданной плоскости к какой-либо плоскости проекции используются линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций: к П1 - линия ската, к плоскости проекций П2 - линия наибольшего наклона плоскости к плоскости П2. Линии наибольшего наклона плоскости - это прямые, образующие с плоскостью проекций наибольший угол, проводятся в плоскости перпендикулярно к соответствующим линиям уровня. Линии наибольшего наклона и ее соответствующая проекция образуют линейный угол, которым измеряется величина двухгранного угла, между данной плоскостью и плоскостью проекций (рис. 5.10). Рис. 5.10 6. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ Две плоскости в пространстве по отношению друг к другу могут занимать два положения: • плоскости пересекаются, при этом линия их пересечения всегда прямая; • плоскости параллельны друг другу. 6.1. Условия пересечения плоскостей Две произвольные плоскости в пространстве всегда пересекаются по прямой линии. Как известно, две точки вполне определяют положение прямой в пространстве. Следовательно, задача по построению линии пересечения плоскостей сводится к определению положения двух принадлежащих обеим плоскостям точек. 6.2 Условия параллельности плоскостей Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости: • если плоскости заданы пересекающимися прямыми, то они будут параллельны в случае, когда одноименные проекции прямых, лежащих в разных плоскостях, будут параллельны; • если плоскости заданы линиями уровня (фронталями и горизонталями), то они будут параллельны в случае, когда одноименные проекции линий уровня параллельны между собой; • если плоскости заданы следами, то они параллельны тогда, когда параллельны их одноименные следы; • если плоскости заданы любым другим способом, то в них необходимо построить пересекающиеся прямые (общего положения, уровня или следы) и сравнить одноименные их проекции. У параллельных плоскостей одноименные проекции пересекающихся прямых взаимно параллельны. 7. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ 7.1. Определение взаимного положения прямой линии и плоскости Прямая линия и плоскость в пространстве относительно друг друга могут занимать следующие положения: • прямая параллельна плоскости (частный случай — прямая лежит в плоскости); • прямая пересекается с плоскостью (частный случай — прямая перпендикулярна к плоскости). Иногда на чертеже нельзя непосредственно установить взаимное положение прямой линии и плоскости (рис. 7.1). В этом случае прибегают к некоторым вспомогательным построениям, в результате которых от вопроса о взаимном положении прямой линии и плоскости переходят к вопросу о взаимном положении двух прямых. В задачах такого типа используют метод введения вспомогательной плоскости. Заключается он в следующем: - через данную прямую m проводят вспомогательную плоскость . Подбор вспомогательной плоскости производится с учетом построений в ходе решения задачи, чтобы решение задачи было наиболее простым; Строят линию пересечения плоскостей - заданной и вспомогательной ; устанавливают взаимное положение прямой m и линии пересечения плоскостей n. • При этом возможны следующие случаи: • прямая m параллельна прямой n, следовательно, прямая m параллельна плоскости Σ; • прямая m пересекает прямую n, следовательно, прямая m пересекает плоскость Σ. 7.2. Пересечение прямой линии и плоскости Если одна из пересекающихся фигур занимает частное положение, то точка пересечения находится значительно проще. 7.2.1. Задание: найти точку пересечения отрезка прямой АВ с проецирующей плоскостью Р (рис. 7.2). Рис. 7.2 Решение: проанализировав чертеж, легко заметить, что плоскость Р занимает проецирующее положение (плоскость Р перпендикулярна к плоскости П2.) В первую очередь определяем фронтальную проекцию С2 точки пересечения отрезка прямой АВ с плоскостью Р. Горизонтальная проекция С1 искомой точки находится с помощью линии связи на горизонтальной проекции отрезка прямой АВ. На плоскость П2 плоскость Р проецируется в линию, сов­падающую с фронтальным следом Р2 , следовательно прямая видима по обе стороны от следа Р2. При определении видимости горизонтальной проекции прямой необходимо установить, какой участок прямой находится над плоскостью Р, т.е. будет видимым на горизонтальной проекции. Таким участком является часть проекции отрезка, расположенная левее проекции С1. 7.2.2. Задание: найти точку пересечения проецирующей прямой т с плоскостью (АВС) (рис. 7.3). Решение: из чертежа видно, что плоскость, заданная треугольником ABC, занимает общее положение относительно плоскостей про­екции, прямая m является горизонтально проецирующей, m. В первую очередь определяется горизонтальная проекция k1 искомой точки пересечения прямой m с плоскостью . Для нахождения фронтальной проекции точки К2 в плоскости треугольника ABC проводится вспомогательная прямая 1-2. Построение начинается с горизонтальной проекции. В пересечении её фронтальной проекции 12-22 с фронтальной проекцией прямой m находят фронтальную проекцию К2 искомой точки К. 7.2.3. Задание: найти точку пересечения прямой m общего положения с плоскостью общего положения Σ (ABC) (рис. 7.4). Решение: в данной задаче прямая m и плоскость Σ занимают общее положение относительно плоскостей проекции. Задача решается по следующей схеме: • прямую m заключают в плоскость . В данном случае плоскость является горизонтально проецирующей (); • находят линию DE пересечения плоскостей Σ (АВС) и ; • определяют точку К пересечения прямой m с плоскостью Σ в пересечении прямых DE и т.д. Видимость прямой m относительно плоскости (АВС) определяется с помощью метода конкурирующих точек. Метод конкурирующих точек заключается в следующем: Для определения видимости прямой m на горизонтальной плоскости выбирается пара точек 1 и D (см.рис.7.4). У этих точек координаты у одинаковы у1=уD, координаты z различны (zD > z2) , точка D выше точки 1 (координата точки D больше координаты точки 1). Следовательно, на горизонтальной проекции точка D видима, а 1 невидима.Tак как точка 1 принадлежит прямой m, то левее проекции точка K1 прямая m находится ниже плоскости треугольника ABC, то есть она не видима (должна быть проведена штриховой линией). Для определения видимости на фронтальной проекции можно воспользоваться парой точек 2 и 3 и рассмотреть вопрос видимости аналогично точкам 1 и D. 7.3. Параллельность прямой и плоскости Прямая и плоскость параллельны, если в плоскости имеется прямая, параллельная заданной прямой. 7.3.1 Задание: построить проекции прямой, проходящей через точку А и параллельной прямой m, принадлежащей плоскости Σ (BCD) (рис. 7.5). Рис. 7.5 Решение: в условии задачи задана фронтальная проекция m2 прямой m. Находим горизонтальную проекцию m1 прямой m. Условия параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-то прямой, расположенной в данной плоскости. Используя это условие, строят проекции искомой прямой, проходящие через точку А; n1 проводятся параллельно m1, n2 — параллельно m2. 8. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ К ПЛОСКОСТИ 8.1. Основные положения Обратимся к рисунку 8.1, на котором изображена плоскость и перпендикулярная к ней прямая n. Прямая n перпендикулярна к любой прямой плоскости , т.е.. Каждый такой прямой угол проецируется на плоскость проекций в виде некоторого угла, но угол между прямой n и горизонталью плоскости h проецируется на горизонтальную плоскость проекций в виде прямого угла, так как его сторона параллельна плоскости П1 (h||П1). Если , то . Угол между прямой n фронталью f плоскости проецируется на фронтальную плоскость проекций прямым углом (его сторона || П2). Если , то . Если прямая перпендикулярна к плоскости, то ее проекции перпендикулярны к одноименным проекциям линий уровня этой плоскости. На рисунке 8.2 через точку N проведена прямая m, перпендикулярная к плоскости Σ. Для этого в плоскости Σ (а^b) определены горизонталь h и фронталь f, и горизонтальная проекция перпендикуляра проведена перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция — перпендикулярно к фронтальной проекции фронтали: . Действительно, из чертежа следует, что прямая m перпендикулярна к прямой h, так как угол между горизонтальными проекциями сторон угла прямой и одна сторона его (h) параллельна плоскости П1. Точно так же прямая m перпендикулярна к прямой f. Но если прямая линия перпендикулярна к двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Рис. 8.2 В том случае, когда плоскость задана следами (рис. 8.3), проекции перпендикуляра располагаются перпендикулярно к одноименным следам плоскости:. Плоскость, перпендикулярную к данной прямой, определяют с помощью пересекающихся линий уровня. На рисунке 8.4 (а - условие, 6 - решение) через точку А проведена плоскость , перпенди­кулярная к заданной прямой m. Горизонталь h плоскости проходит через точку А ). Фронталь этой плоскости может быть также проведена через точку А, но может пересекать горизонталь и в любой другой точке, поскольку все они находятся в искомой плоскости. На рисунке 8.4 фронталь f2 проходит через точку В . Рис. 8.3 Рис. 8.4 На рисунке 8.4 фронталь f2 проходит через точку В . На рисунке 8.5 показана прямая n перпендикулярная горизонтально проецирующей плоскости. Эта прямая является горизонталью. На рисунке 8.6 изображена прямая n, перпендикулярная к фронтально проецирующей плоскости. Эта прямая n является фронталью. На рисунке 8.7 изображен отрезок прямой (MN), перпендикулярный к профильно проецирующей плоскости . Заметим, что, проведя проекции М1N1Σ1 (Σ1≡h1) M2N2 Σ2 (Σ2≡f2) мы еще не определим величину искомого перпендикуляра. Это не должно нас удивлять, так как (h≡f), а перпендикулярность прямой и плоскости обеспечивается перпендикулярностью этой прямой к двум пересекающимся прямым плоскости. Для решения задачи нужно построить профильный след. Тогдa M3N3 Σ3 . Если требуется определить, перпендикулярна ли некоторая прямая т к заданной плоскости Σ, то через какую-нибудь точку М этой прямой следует провести перпендикуляр n к плоскости Σ (рис. 8.8). При совпадении линии m и n прямая m перпендикулярна к плоскости Σ . Рис. 8.5 Рис. 8.6 Рис. 8.7 Рис. 8.8 8.2. Примеры решения задач 8.2.1. Задание: Построить перпендикуляр из точки А на плоскость () и найти точку пересечения перпендикуляра с плоскостью. Решение: исходя из принципа перпендикулярности прямой и плоскости (прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости), необходимо в плоскости провести две пересекающиеся прямые: горизонталь h и фронталь f (рис. 8.9). Рис.8.9 Затем из точки А проводим нормаль n к плоскости Σ. На основании теоремы о проецировании прямого угла и . Если плоскость задана следами, то и (рис. 8.10). Основание перпендикуляра определяется как точка пересечения его с плоско­стью. Для этого нужно провести через нормаль проецирующую плоскость , найти линию пересечения l(l1,l2)-2(21,22) плоскостей Σ и и на пересечении проекции этой линии с проекцией нормали отметить общую точку В для нормали и плоскости. 9. Методы ПРЕОБРАЗОВАНИЯ проекций 9.1. Метод замены плоскостей проекций Суть метода заключается в замене одной плоскости проекции на другую. При этом сам объект четко зафиксирован в пространстве. При такой замене величина координаты любой точки на вводимой плоскости будет такой же, как координаты той же точки на заменяемой плоскости. Индексы при обозначении плоскости меняются с заменой самой плоскости проекций (четный индекс - на ближайшую четную цифру, нечетный индекс - на ближайшую нечетную). На комплексном чертеже преобразование выглядит следующим образом: например, если заменить фронтальную плоскость проекций П2 на новую плоскость П4 (рис. 9.1, а), то последняя должна быть перпендикулярна к плоскости П1 а расстояние от проекции точки A4 до оси x1,4 будет равно расстоянию от проекции точки А2 до оси х1,2. Новая ось проекции x1,4 проводится так, как этого требует решение задачи. В рассматриваемом случае она проведена произвольно. При замене горизонтальной плоскости П1 на новую плоскость П5 (рис. 9.1, б) сохраняется неизменная координата Δу. При решении конкретной задачи таких замен может быть выполнено последовательно несколько (как правило, не более двух). Главные условия этих действий — сохранение ортогонального проецирования в новой системе плоскостей проекций и величин соответствующих координат. Линии проекционной связи всегда должны быть перпендикулярны к оси координат, как в первоначальной, так и в новой системе плоскостей проекций. Задание: Дана прямая общего положения АВ (рис. 9.2). Необходимо преобразовать чертеж таким образом, чтобы прямая стала проецирующей, т.е спроецировалась на одну из плоскостей проекции в точку. Решение: Преобразование выполняется в два этапа. На первом этапе новую плоскость, например (П4), вводят взамен фронтальной плоскости П2, параллельно прямой АВ. Новую ось проекций x1,4 проводят параллельно горизонтальной проекции прямой (A1B1). Далее проводят от горизонтальной проекции линии связи, перпендикулярные к новой оси проекций, и на них откладывают координаты z, т.е. расстояние от оси проекций до фронтальных проекций точек. Новая проекция А4В4 будет определять натуральную длину отрезка АВ. Одновременно определяется угол наклона прямой к плоскости проекций, в рассматриваемом примере к горизонтальной плоскости П1 – угол α. Аналогично определяется угол наклона прямой АВ к плоскости П2 и обозначается угол - β. На втором этапе в системе плоскостей П1/П4 плоскость проекций П1 заменяют на П5. При этом ось х5,4 проводят перпендикулярно к проекции А4В4. В новой системе плоскостей проекций П4/П5 прямая заняла проецирующее положение, т.е. она стала перпендикулярна к плоскости П5, и на нее прямая спроецировалась в точку, а проекции концов отрезка АВ совпали (А5 ≡В5). Способ применяется для определения расстояния между параллельными и скрещивающимися прямыми, величины двугранного угла, натуральной величины плоской фигуры. В том случае, если прямые являются прямыми уровня, т.е. прямые параллельны одной из плоскостей проекций, первый этап решения опуска­ется и преобразование начинается со второго этапа. 9.2. Метод вращение вокруг проецирующей оси Этот метод заключается в том, что любая точка вращается вокруг какой-либо оси, перпендикулярной к одной из плоскостей проекции. При этом точка в пространстве движется по траектории - окружности, которая лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Система плоскостей проекций остается неизменной. Например, при вращении точки А вокруг оси i (рис. 9.3), перпендикулярной к П1, она движется по траектории, которая проецируется на плоскость П1 в виде окружности (точки А1 A1', А1", a1'" и т.д.), а на плоскость П2 - в виде горизонтальной линии. Все фронтальные проекции точки А (А2, А2', А2" и т.д.) находятся на фронтальном следе горизонтальной плоскости. Точка i1 горизонтальная проекция оси i, а прямая i2 — ее фронтальная проекция. Если вращать точку А вокруг оси i, перпендикулярной к фронтальной плоскости проекций П2 (рис. 9.4), то фронтальные проекции А2, А2', А2" и т.д. точки А будут лежать на окружности, плоскость которой перпендикулярна к оси i и горизонтальной плоскости проекции. При этом горизонтальные проекции А2 А2', А2" и т.д. точки А будут расположены на прямой линии параллельной оси х и проходящей через горизонтальную проекцию точки А (А1). 9.3. Метод плоскопараллельного перемещения Применение метода вращения вокруг проецирующей оси при преобразовании нередко приводит к наложению на исходную новых проекций. При этом чтение чертежа представляет определенные сложности. Избавиться от указанного недостатка позволяет метод плоскопараллельного перемещения. Суть метода заключается в том, что все точки фигуры перемещаются в пространстве параллельно некоторой плоскости проекций. Это означает, что каждая точка объекта перемещается в плоскости уровня. Например, прямая общего положения АВ, заданная своими проек­циями A1 B1 и А2В2 (рис. 9.5), перемещается таким образом, чтобы го­ризонтальная проекция АВ стала параллельной оси х. При этом фронтальная проекция прямой АВ (А2В2) перемещаются параллельно оси х (фронтальные проекции концов отрезка займут новое положение А2и В2). При перемещении длина горизонтальной проекции отрезка АВ остается постоянной, а величина фронтальной проекции А2В2 станет равной натуральной величиной отрезка. При этом угол α - угол наклона прямой АВ к горизонтальной плоскости проекции П1. При перемещении прямой АВ во фронтальной плоскости уровня можно достичь положения прямой, перпендикулярного плоскости П1. Этот метод применяется для определения натуральной величины отрезка, его угла наклона к плоскостям проекций, расстояния между параллельными прямыми и натуральной величины плоской фигуры. 9.4. Метод вращения вокруг линии уровня (частный случай метода вращения) Суть метода заключается в том, что осью вращения выбирается одна из линий уровня - горизонталь или фронталь. Таким образом, плоскость как бы поворачивается вокруг некоторой оси, принадлежащей этой плоскости, до положения, параллельного одной из плоскостей проекций. Например, повернем плоский угол, образованный пересекающимися прямыми а и b (рис. 9.6). Для решения поставленной задачи проводят в плоскости угла линию уровня (в данном случае горизонталь h) и используют ее как ось вращения, вокруг которой будут вращаться прямые а и b и вершина К. Все точки вращаются в плоскостях, перпендикулярных к горизонтали, при этом положение точек 1 и 2 остается неизменным, а точка К вращается вокруг горизонтали. Из горизонтальной проекции К1 точки К проводят линию, перпендикулярную к оси вращения h1. Отрезок K1O1- горизонтальная проекция радиуса вращения точки К. Находят натуральную величину этого радиуса (например способом прямоугольного треугольника). На продолжении проекции прямой O1K1 откладывают натуральную величину радиуса Ок и получают положение т.К после поворота (К0). Соединив точки 11 и 21 с точкой К0, получают натуральную величину угла при вершине К. Этим методом находится натуральная величина любой плоской фигуры, занимающей общее положение в пространстве. 9.5. Метод совмещения плоскостей Этот метод является частным случаем способа вращения вокруг линии уровня. В качестве оси вращения выбирается какой-либо след плоскости в которой лежит та или иная фигура. При этом каждая точка, принадлежащая рассматриваемой фигуре, при вращении перемещается в плоскости, перпендикулярной к следу той плоскости, в которой она лежит. Например, плоскость P, заданную своими следами P1 и P2, необходимо совместить с горизонтальной плоскостью проекций П1 (рис. 9.7). Для решения поставленной задачи берут на фронтальном следе P2 плоскости P произвольную проекцию точки A и находят ее горизонтальную проекцию A1, которая лежит на оси х. Из проекции A1 точки А проводят луч, перпендикулярный к горизонтальному следу плоскости P1 (любая точка при вращении должна перемещаться в плоскости, перпендикулярной к оси поворота). На нем находят совмещенное положение точки A — точку A0, как точку пересечения луча с дугой окружности радиусом РхА2=Rвр (Rвращения - радиус поворота проекции точки А). Точка A0 принадлежит одновременно и плоскости П1 и новому (совмещенному) положению плоскости P. Через точку A0 проводят новый фронтальный след P0 плоскости P. Следы P1 и P0 характеризуют новое (совмещенное) положение плоскости P. 9.6. Примеры решения задач Ниже приведены решения одной и той же задачи вышеописанными методами. 9.6.1. Задание: определить натуральную величину треугольника ABC (рис. 9.8), а также угол наклона плоскости треугольника к плоскости П1. 1) Решение методом замены плоскостей проекций (рис. 9.9). Плоскость треугольника спроецируется в натуральную величину в том случае, если она будет параллельна одной из плоскостей проекций. Одним преобразованием задачу решить невозможно. Она решается в два этапа: при первой замене плоскостей проекций получают плоскость треугольника ABC, перпендикулярную к новой плоскости проекций, при второй замене - получают плоскость треугольника, параллельную новой плоскости проекций. Первый этап. Одним из условий перпендикулярности двух плоскостей является наличие прямой, принадлежащей одной из плоскостей, перпендикулярной к другой плоскости. Используя этот признак, проводят через точку А в плоскости треугольника горизонталь (h). Затем на произвольном расстоянии от горизонтальной проекции треугольника A1B1C1 проводят ось x1,4 новой системы плоскостей проекций П1/П4 перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали h1. В новой системе треугольник ABC стал перпендикулярен к новой плоскости проекций П4. На линиях проекционной связи в новой системе откладывают координаты z точек А, В, С с фронтальной проекции исходной системы плоскостей П1/П2. При соединении новых проекций А4,B4, С4 получают прямую линию, в которую спроецировался треугольник ABC. На этом этапе определяется угол наклона плоскости треугольника к горизонтальной плоскости проекции П1 – угол α . На чертеже это угол между осью x1,4 и проекцией С4А4В4. Второй этап. Выбираем новую плоскость проекции П5, параллельную плоскости треугольника, т.е. новую ось x4,5 проводят параллельно С4А4В4 на произвольном расстоянии. Получают новую систе­му П4/П5. Полученный треугольник А5В5С5 и есть искомая натуральная величина треугольника ABC. 2) Решение методом вращения вокруг проецирующей оси (рис. 9.10). Задача решается в два этапа. На первом этапе выполняют вращение так, чтобы плоскость треугольника ABC преобразовалась в проецирующую плоскость, т.е. стала перпендикулярна к одной из плоскостей проекций. Для этого проводят горизонталь h (h1,h2) через точку А. (построение начинают с фронтальной проекции h2, она проходит через проекцию точки A2 и проекцию точки 12 при этом h2 параллельна оси х). Далее находят горизонтальную проекцию h1 горизонтали h (через проекции A1 и 11). Через точку А проводят ось i - ось вращения треугольника так, чтобы она была перпендикулярна к П1. На фронтальной проекции через вершины А2 и В2 проводят следы горизонтальных плоскостей уровня Δ и Σ в которых при вращении будут перемещаться точки А и В. Вершина С принадле­жит плоскости П1 поэтому ее плоскостью вращения будет плоскость проекций П1. На горизонтальной проекции, взяв за центр вращения проекцию i1 поворачивают горизонталь А так, чтобы на плоскость П2 она спроецировалась в точку. На чертеже это выразится тем, что h'1 займет новое положение - перпендикулярно к оси х. При этом на фронтальной проекции А2 остается неизменной, находясь на следе плоскости Σ2 и ее обозначим a2'. На гори­зонтальной проекции поворачиваем оставшиеся вершины В и С во­круг оси i так, чтобы . На фронтальной проекции вершина В перемещается по следу плоскости 2, а вершина С - по оси х. Соединив новые положения проекций всех вершин треугольника ABC, получают проекцию А'2В'2С'2, сливающуюся в линию. Плоскость треугольника ABC заняла проецирующее положение. На данном этапе, при необходимости, находят угол наклона плоскости треугольника ABC к П1 – угол α . На втором этапе проводят ось j через вершину С так, чтобы ось была фронтально проецирующая. При этом С'2 ≡ j'2, а горизонтальная проекция j'1 пройдет через проекцию С'1. Вокруг оси поворачивают треугольник так, чтобы он стал параллелен горизонтальной плоскости проекций. В данной задаче вращают точки А'2 и В'1, вокруг j2 до совмещения с осью х, при этом проекции B'1 и A'1 будут перемещаться параллельно оси х и займут новое положение В"1, и А"1 вершина С оста­нется на месте. Соединив точки между собой, получают новое положение плоскости (оно соответствует натуральной величине треугольника ABC). 3) Решение методом плоскопараллельного перемещения (рис. 9.11). Задача решается в два этапа. На первом этапе преобразуют чертеж так, чтобы плоскость треугольника ABC стала перпендику­лярна к одной из плоскостей проекций. Для этого проводят в плоскости треугольника горизонталь h (фронтальная проекция А212║х,). Каждую вершину треугольника заключают в свою плоскость уровня, параллельную плоскости П1. В рассматриваемом примере вершина С принадлежит плоскости проек­ций П1, А принадлежит плоскости Σ, В — плоскости Δ. Плоскость треугольника перемещается в пространстве до тех пор, пока горизонталь h1 треугольника не станет перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций П2. Для этого на свободном поле чертежа вычерчивают горизонтальную проекцию треугольника A1′B1′C1′ с условием, чтобы А111П2, а значит А1′11′х. При этом вершины треугольника, перемещаясь каждая в своей плоскости, займут новое положение – (фронтальная проекция А2В2С2 заменится А'2В'2С'2). Соединив эти точки, получают новое положение треугольника ABC, спроецированного в линию, т.е. перпендикулярного к плоскости П2. На втором этапе, чтобы получить натуральную величину треугольника ABC, его плоскость поворачивают до тех пор, пока она не будет параллельна одной из плоскостей проекций. В рассматриваемом решении фронтальную проекцию треугольника А2'В2'С2' располагают на произвольном расстоянии от оси х параллельно плоскости П1. При этом вершины А, В и С треугольника заключают в горизонтально проецирующие плоскости θ, Т, Р. По следам этих плоскостей будут перемещаться горизонтальные проекции вершин А1'В1'С1'. От нового положения фронтальной проекции А2"В2"С2" проводят линии проекционной связи до пресечения с соответствующими следами плоскостей, в которых они перемещаются (θ1,T1,P1), и получая проекции точек А1" В1" C1". Соединив эти проекции, получают тре­угольник ABC в натуральную величину. 4) Решение методом вращения вокруг линии уровня (рис.9.12) Для решения задачи этим способом необходимо повернуть плоскость треугольника вокруг линии уровня, в данном случае вокруг горизонтали, до положения, параллельного горизонтальной плоскости проекции. Через точку А в плоскости треугольника ABC проводят горизонталь h, фронтальная проекция которой будет параллельна оси х. Отмечают точку 12 и находят ее горизонтальную проекцию 11. Прямая A111 является горизонтальной проекцией h1 горизонтали h. Вокруг горизонтали будут вращаться точки В и С. Определяют натуральную величину радиуса вращения точки С . Для определения натуральной величины радиуса вращения используют любой метод (в данном случае способ прямоугольного треугольника) строят прямоугольный треугольник, в котором O1C1 - один из катетов. Вто­рой катет - разность координат Δz отрезка О2С2, взятого с фронталь­ной проекции. В построенном треугольнике гипотенуза O1C0 - нату­ральная величина радиуса вращения. На продолжении перпендикуляра O1C1 откладывают |RBp.| и полу­чают новое положение вершины С после вращения — С0. Проекция вер­шины В0 получается пересечением луча C011 и перпендикуляра к горизонтальной проекции h1 проведенного через проекцию точки В1. Треугольник A0B0C0 есть искомая натуральная величина тре­угольника ABC. 5) Решение методом совмещения (рис. 9.13). Для решения задачи методом совмещения необходимо построить следы плоскости Σ, которой принадлежит треугольник ABC. Для этого проводят в плоскости треугольника ABC фронталь f и находят горизонтальный след этой фронтали – N1. По условию задачи вершина С треугольника принадлежит горизонтальной плоскости проек­ций П1. Тогда горизонтальный след Σ1 плоскости Σ проводят через проекции N1 и C1. Соединив эти две точки и продлив отрезок до пересечения с осью х, находят точку схода следов Σх. Учитывая, что все фронтали плоскости параллельны ее фронтальному следу, фронтальный след Σ2 плоскости Σ проводят через точку Σх параллельно проекции фронтали f2 . Для нахождения натуральной величины треугольника ABC необходимо построить совмещенное положение плоскости Σ с горизонтальной плоскостью проекций П1. Для этого через вершину А проводят горизонталь h1. На фронтальном следе Σ2 фиксируют точку 22. Ее горизонтальная проекция - точка 21. Точка 2 вращается в плоскости, перпендикулярной к горизонтальному следу плоскости Σ. Поэтому, чтобы построить точку 2 в совмещенном положении 20, проводят из 21 перпендикуляр к горизонтальному следу Σ, а из центра Σх дугу окружности радиусом Σх22 до пересечения с направлением перпендикуляра. Соединив Σх с 20, получают совмещенное положение фронтального следа Σ0 - Далее через точку 20 проводят горизонталь h0 в совмещенном положении. На этой горизонтали находят точку А0, проведя перпендикуляр из точки A1 к горизонтальному следу Σ1. По такой же схеме строят совмещенное положение точки В0. Совмещенное положение точки С совпадает с ее горизонтальной проекцией С1 т.е. С1≡С0. Соединив построенные точки, получают треугольник А0В0С0 - это и есть натуральная величина треугольника ABC. 10. МНОГОГРАННИКИ. СЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ ПЛОСКОСТЬЮ. РАЗВЕРТКИ МНОГОГРАННИКОВ 10.1. Сечение многогранников плоскостью Многогранник есть геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками - (гранями, пересекающимися по прямым линиям-рёбрам). Фигура сечения многогранника есть плоский многоугольник, сторонами которого являются линии пересечения заданной плоскости с плоскостями граней, а вершинами — точки пересечения рёбер многогранника с заданной плоскостью. К многогранникам относятся призмы, пирамиды и более сложные объекты. Призма – это многогранник, основания которого являются n-угольник, а боковые ребра взаимно параллельны. Пирамида – многогранник, основанием которого является n-угольник, а боковые грани - треугольники. Построение фигуры сечения многогранника плоскостью может выполняться двумя способами: • путем определения линии пересечения заданной плоскости с каждой из плоскостей (граней), ограничивающих геометрическое тело многогранника (эти линии - стороны фигуры сечения); • путем нахождения точек пересечения всех ребер с заданной плоскостью (эти точки - вершины фигуры сечения). Первый способ называется способом граней, второй - способом ребер. Выбор способа построения фигуры сечения зависит от положе­ния секущей плоскости, рёбер и граней многогранника относительно плоскостей проекций. 10.1.1. Способ граней Суть способа сводится к последовательному определению линий пересечения двух плоскостей, одна из которых является заданной, а другая - какой-либо гранью многогранника (см. разд. 6). Для построения же самой фигуры сечения определяют точки пресечения найденных прямых, которые являются вершинами многоугольника сечения. 10.1.2. Способ ребер Этот способ заключается в определении точек встречи прямых (ребер) с заданной плоскостью (см. разд. 7). Установив последовательно для всех ребер точки встречи их с секущей плоскостью, соединяют эти точки отрезками прямых и получают многоугольник сечения. 10.2. Развертки многогранников В инженерном деле многогранники чаще всего реализуются как оболочки заданных форм и размеров. Для их изготовления необходимо уметь выполнить развертку (выкройку) таких оболочек. Развёртка многогранника представляет собой плоскую фигуру, полученную последовательным совмещением всех граней многогранника с плоскостью чертежа таким образом, чтобы грани примыкали друг к другу по линиям сгиба (рёбрам). Для построения развёртки многогранника необходимо знать натуральные величины всех его граней, поэтому задача построения развертки многогранника решается в два этапа: 1) определяют натуральную величину каждой грани (см. разд. 9); 2) потом путем вращения вокруг соответствующей линии (ребра) (см. разд. 9) совмещают грани с плоскостью чертежа. 10.3. Примеры решения задач 10.3.1. Задание: определить сечение трёхгранной призмы (рис. 10.1) плоскостью P(P1P2). Построить полную развёртку поверхности призмы и нанести на ней линию сечения. Рис. 10.1 Решение: секущая плоскость Р является фронтально проецирующей и пересекает все рёбра прямой призмы АА', ВВ', СС'. Для решения задачи используют свойство проецирующей плоскости, следуя которому фронтальная проекция 122232 сечения 1, 2, 3 совпадает с фронтальным следом Р2 плоскости Р (рис. 10.2). Рёбра призмы АА', ВВ', СС' являются горизонтально проецирующими прямыми и на плоскость П1 проецируются в точки А1, В1, С1 поэтому горизонтальная проекция 11 21 31 фигуры сечения совпадает с горизонтальной проекцией призмы, т.е. 11 А1А′1; 21 В1В′1; 31С1С′1. В рассматриваемом примере основание призмы проецируется на горизонтальную плоскость проекций П1 в натуральную величину, рёбра призмы параллельны фронтальной плоскости проекций П2. Из этого следует, что фронтальные проекции рёбер А2А'2, В2В'2, С2С'2 являются натуральными величинами. Рис. 10.2 Для построения развёртки призмы совмещают ее боковые грани с фронтальной плоскостью проекций П2. На совмещенных положениях граней А0А'0, В2В'2, С2С'2 развертки призмы отмечают точки 10, 20, 30 и последовательно соединяют их отрезками прямых линий. Верхнее А'В'С' и нижнее ABC основания и натуральную величину фигуры се­чения 102030 пристраивают к развёртке, как треугольники по трём известным сторонам. 11. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ Поверхностей вращения существует множество: цилиндр, конус, сфера, эллипсоиды, торы и др. Поверхность вращения общего вида образуется вращательным перемещением образующей линии вокруг неподвижной оси. Каждая точка образующей линии при вращении вокруг неподвижной оси описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называются параллелями. Наибольшую из параллелей (окружностей) поверхности вращения называют экватором поверхности, а наименьшую - горлом (шейкой) поверхности. Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными, а линии, по которым они пересекают поверхность, - меридианами. Меридиональная плоскость, параллельная плоскости проекции, называется плоскостью главного меридиана, а линия пересечения этой плоскости с поверхностью вращения называется главным меридианом. 11.1. Пересечение поверхностей вращения плоскостью При пересечении поверхности вращения плоскостью получается линия сечения - плоская фигура. Построение проекций линии пересечения необходимо начинать с определения опорных точек. К ним относятся точки, расположенные на очерковых образующих поверхности (точки, определяющие границы видимости проекций кривой), и точки, удаленные на экстремальные (максимальное и минимальное) расстояния от плоскостей проекций. После этого определяют произвольные (промежуточные) точки линии пересечения. Для определения точек, принадлежащих линии пересечения, можно использовать различные методы. Один из них - метод вспомогательных секущих плоскостей. Суть его заключается в том, что заданные плоскость и поверхность вращения пересекают вспомогательными плоскостями. Находят линии пересечения этой плоскости с заданными плоскостью и поверхностью вращения. Затем отмечают точки, в которых пересекаются полученные линии пересечения. Построенные точки фигуры сечения соединяют плавной кривой линией. 11.2. Развертки поверхностей вращения Построение разверток поверхностей вращения имеет большое значение, особенно при конструировании из листового материала мо­делей различных сооружений, форм для металлических отливок, со­судов, трубопроводов, резервуаров и т.п. 11.2.1. Приближенные развертки Поверхности, которые можно совместить с плоскостью без разрывов и складок, называют развертывающимися поверхностями. Фигуру, полученную при совмещении развертывающейся поверхности с плоскостью, называют разверткой. Для развертывающихся поверхностей можно построить приближенную развертку (условно-развертываемые поверхности). При построении приближенной развертки поверхность аппроксимируют поверхностями вписанных или описанных многогранников, имеющих грани в форме прямоугольников или треугольников. Поэтому при графическом выполнении разверток поверхности всегда приходится производить разгибание или спрямление кривых линий, принадлежащих поверхности, что неизбежно приводит к потере точности. 11.2.2. Условные развертки Неразвертывающиеся поверхности не могут быть совмещены с плоскостью без разрывов и складок, т.е. теоретически они не имеют своей развертки. Поэтому говорят лишь об условном решении задачи по построению разверток неразвертывающихся поверхностей. На практике для получения развертки неразвертываемой поверхности, выполненной из листового материала, приходится кроме изгибания производить растяжение и сжатие определенных участков листа. Построение условной развертки неразвертывающейся поверхности состоит в том, что отсеки заданной поверхности аппроксимируются отсеками развертывающихся поверхностей — гранными, цилиндрическими или коническими. 11.2.3. Задание: построить проекции и натуральный вид фигуры сечения поверхности цилиндра плоскостью Р (рис. 11.1). Построить развёртку боковой поверхности усечённой части цилиндра. Решение: на рисунке 11.1 изображены прямой круговой цилиндр, основание которого принадлежит горизонтальной плоскости проекций П1 и секущая плоскость Р общего положения. Поскольку секущая плоскость наклонена к оси цилиндра, то боковая поверхность цилиндра пересекается по эллиптической кривой. Форма сечения в этом случае зависит от того, пересекает ли плоскость Р основания цилиндра. В рассматриваемом случае секущая плоскость Р не пересекает оснований цилиндра. Это видно из того, что горизонтальная проекция нижнего основания не пересекается с горизонтальным следом плоскости Р, а горизонтальная проекция горизонтали h1, по которой плоскость Р пересекается с плоскостью верхнего основания, не пересекает его горизонтальную проекцию. Для нахождения эллипса сечения плоскости Р с боковой поверхностью цилиндра находят сначала его низшую А (А1 А2) и высшую В (В1 В2) точки. Эти точки являются концами большой оси эллипса сечения и лежат на линии наибольшего наклона плоскости Р к горизонтальной плоскости проекций. Следовательно, прямая АВ перпендикулярна к горизонтальному следу плоскости Р и пересекает ось цилиндра. Для нахождения точек А и В проводят плоскость Σ, перпендикулярную к горизонтальному следу P1 и проходящую через ось цилиндра. Для нахождения точек А и В проводят плоскость Σ, перпендикулярную к горизонтальному следу P1 и проходящую через ось цилиндра. Эта плоскость перпендикулярна к плоскости П1. Затем находят линию пересечения плоскостей Р и Σ. Боковая поверхность цилиндра является горизонтально проецирующей и поэтому проецируется на горизонтальную плоскость про­екций в окружность. Так как отрезок АВ является частью линии пересечения плоскостей Р и Σ, а точки А и В лежат на боковой поверхности цилиндра, то горизонтальные проекции точек А и В должны лежать на одной окружности и на горизонтальной проекции прямой пересечения плоскостей Р и Σ. По горизонтальным проекциям точек А и В находят их фронтальные проекции, исходя из условия, что точки А и В лежат на найденной прямой пересечения плоскостей Р и Σ. Для определения остальных точек эллипса сечения на цилиндрической поверхности выбирают ряд образующих. За первую образующую выбирают ту, на которой лежит точка А. Остальные образующие получают делением окружности (горизонтальной плоскости цилиндрической поверхности) на 12 равных частей (можно делить на другое количество частей). Затем находят точки пересечения образующих с плоскостью Р. В рассматриваемом примере все образующие перпендикулярны к горизонтальной плоскости проекций. Следовательно, горизонтальные проекции точек пересечения образующих с плоскостью Р совпадают с горизонтальными проекциями самих образующих. Далее наносят горизонтальные проекции точек пересечения образующих с плоскостью Р (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) и находят фронтальные проекции этих точек, проводя через них горизонтали в плоскости. Кривая линия, ограничивающая фронтальную проекцию фигуры сечения, включает видимые и невидимые участки. Точки, являющиеся границей видимости кривой, лежат на очерковых образующих. Отмечают горизонтальные проекции этих точек (111 и 121) и находят фронтальные проекции (112 и 122), проводя через эти точки в плоскости Р горизонтали. Полученные точки соединяют плавной кривой линией. Кривая от точки 12 через точки 10, А, 1, 2, 3, 4 до точки 11 на фронтальной плоскости проекций является видимой, а остальная часть - невидимой. Видимую часть кривой обводят сплошной линией, а невидимую - штриховой. Малой осью эллипса сечения является отрезок 3 - 8, проецирующийся в натуральную величину на горизонтальную плоскость проекций. Натуральная величина малой оси эллипса в рассматриваемом примере равна диаметру цилиндра. Натуральную величину эллипса сечения строят путём совмещения плоскости Р с горизонтальной плоскостью проекций. Развёртка боковой поверхности прямого кругового цилиндра, не усечённого плоскостью, представляет собой прямоугольник с основанием, равным длине окружности основания цилиндра, и высотой, равной высоте цилиндра. При построении развёртки боковой поверхности цилиндра, пересечённого плоскостью, на развёртке необходимо наносить точки, принадлежащие линии пересечения, и затем эти точки соединять плавной кривой линией (рис. 11.1). Для этого на развёртке боковой поверхности цилиндра проводят 12 образующих, отстоящих друг от друга на равном расстоянии. За первую образующую рекомендуется выбирать ту, на которой лежит точка А. Затем наносят на все образующие последовательно точки А, 1, 2, 3, 4, 11, 5, В, 6, 7, 8, 9, 12, 10. Расстояние от этих точек до нижнего (или верхнего) основания проецируется на фронтальную плоскость проекций в натуральную величину. Соединив полученные точки плавной кривой линией, получают развёртку боковой поверхности усечённой части цилиндра. 11.2.4. Задание: построить проекции и натуральную величину линии пересечения поверхности конуса плоскостью Р (рис. 11.3). Решение: поверхность прямого кругового конуса относится к поверхностям вращения и является носителем кривых второго порядка: окружности, эллипса, параболы и гиперболы. Все эти кривые являются плоскими и, следовательно, могут быть получены в результате сечения конической поверхности плоскостью. а) б) в) Рис. 11.2 На рис. 11.2 приведены фронтальные проекции поверхности прямого кругового конуса, следы фронтально проецирующих секущих плоскостей и указан вид получаемой в сечении кривой. Можно установить признаки, обеспечивающие получение в сечении той или иной кривой второго порядка. Так, если обозначить угол наклона образующей конической поверхности к его оси через φ а угол между секущей плоскостью и той же осью через α , то можно утверждать, что при α > φ (рис. 11.2, а) в сечении получается эллипс (в частном случае, если α =90° - окружность), при α = φ (рис. 11.2, б) - парабола, и при α < φ (рис. 11.2, в) - гипербола. На рис. 11.3 изображен прямой круговой конус и пересекающая его фронтально проецирующая плоскость Р. Угол между секущей плоскостью и осью конической поверхности больше угла наклона образующей конической поверхности к его оси, поэтому в сечении получается эллипс, большая ось которого АВ будет проецироваться на плоскость - П2 без искажения в А2В2, а малая ось эллипса 1-2 спроецируется на плоскость П2 в точку 12≡22, расположенную в середине отрезка А2В2. Величина малой оси 1-2 определяется из условия принадлежности ее плоскости Р. Для построения горизонтальной проекции малой оси 1121 применяют способ секущих плоскостей. Поверхность конуса рассекают горизонтальной вспомогательной секущей плоскостью и строят на горизонтальной проекции конуса проекцию фигуры сечения — круг. Определяют горизонтальные проекции малой оси эллипса 1121, которые лежат на линии пересечения (окружности) плоскости А и поверхности конуса, и проводят ряд вспомогательных секущих плоскостей для нахождения промежуточных точек 3, 4, 5, 6, принадлежащих фигуре сечения (эллипсу). Натуральную величину эллипса находят совмещением плоскости Р с горизонтальной плоскостью проекции. Эллипс А0 50 10 30 В0 40 20 60 есть натуральная величина эллипса. 11.2.5. Задание: построить проекции и натуральную величину сечения конуса плоскостью Р (рис. 11.4). Построить развёртку усечённой части боковой поверхности конуса. Решение: на рис. 11.4 изображены прямой круговой конус и секущая плоскость Р общего положения. Ось конуса расположена перпендикулярно к плоскости П1 основание конуса лежит на плоскости П1. Рис. 11.3 Решение задачи значительно упростится, если секущая плоскость Р будет проецирующей. Для этого преобразуют чертеж методом перемены плоскостей проекций, чтобы секущая плоскость Р стала фронтально проецирующей. Построенная на П4 проекция показывает, что секущая плоскость пересекает только боковую поверхность конуса, не затрагивая его основания. Для нахождения проекций сечения необходимо найти проекции эллипса, получаемого от пересечения конической поверхности плоскостью. На фронтальную плоскость проекции П4 эллипс проецируется в виде отрезка А4В4. Точки А и В являются низшей и высшей точками эл­липса (линии пересечения плоскости поверхностью конуса, т. е. концами большой оси эллипса). А4В4 — натуральная величина большой оси эл­липса. Малая ось эллипса перпендикулярна к большой оси и делит её пополам. Большая ось эллипса А1B1 параллельна плоскости проекций П4, а малая ось перпендикулярна П4 и проецируется на неё в точку 1424. Рис. 11.4 Затем задают на эллипсе сечения ещё ряд точек (3, 4, 5, 6, 7, 8). По их фронтальным проекциям на плоскость П4 находят горизон­тальные проекции (проводя через точки на конической поверхности образующие). По горизонтальным проекциям находят фронтальные проекции на плоскость проекций П2 (проводя фронтали через проек­ции точек 11 З1 51 71). Для нахождения границы видимости кривой на фронтальной проекции находят проекции очерковых образующих, на которых лежат искомые точки, на фронтальную плоскость проекций П4. На пересе­чении этих образующих с плоскостью Р и будут искомые точки (проекции 94 и 104). По проекциям 94 и 104 находят горизонтальные проекции 91 и 101 а затем фронтальные проекции 92 и 102. Видимая часть кривой на фронтальной проекции - от точки 10 через точки А, 5, 1, 3, 7 до точки 9. Остальная часть невидимая. Развёртка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой сектор круга, радиус которого равен образующей конуса (рис. 11.5). Центральный угол сектора подсчитывается по формуле где φ - радиус окружности основания конуса; L - длина образующей конуса. Чтобы избежать вычислений, связанных с определением длины дуги сектора или угла φ, обычно вписывают в основание конуса правильный многоугольник (в данном случае 12-угольник) и затем, описывают из произвольной точки S дугу радиусом L, откладывают последо­вательно из любой её точки количество дуг, равное сторонам много­угольника. Таким образом, развёртку боковой поверхности прямого кругового конуса заменяют, с достаточной для практики точностью развёрткой правильной пирамиды, вписанной в данный конус. Для нанесения на развёртку боковой поверхности конуса линии сечения (рис. 11.5) переносят на развёртку точки пересечения с секущей плоскостью 12 образующих конуса, которые заменены рёбрами 12-угольной правильной пирамиды. Соединив полученные точки плавной кривой, получают развёртку усечённой части боковой поверхности конуса. 11.2.6. Задание: построить проекции линии пересечения сферы плоскостью Р (рис. 11.6). Решение: плоскость Р является фронтально проецирующей. На фронтальную плоскость проекций окружность (фигура сечения) про­ецируется в виде отрезка прямой, на горизонтальную - в виде эллипса. Эллипс строят по точкам. Точки 1 и 2 расположены на главном меридиане сферы, а точки 3 и 4 - на экваторе сферы. Для нахождения верхней и нижней (экстремальных) точек 5 и 6 определяют их фронтальные проекции 52 и 62, которые находятся в середине фронтальной проекции отрезка 1222. Через фронтальные проекции точек проводят фронтальную проекцию окружности n2 (на плоскость П2 она проецируется в прямую линию). Расстояние от оси сферы до очерко­вой образующей определяет радиус окружности R'. Этим радиусом строят горизонтальную проекцию окружности п1 и на ней находят проекции точек 5 и 6 - 51 и 61. Промежуточные точки 7 и 8 определя­ют аналогичным способом. 11.2.7. Задание: построить проекции и истинную величину линии пересечения сферы плоскостью общего положения Р (P1-Р2). (рис. 11.7). Решение: для решения задачи плоскость общего положения Р (Р1-Р2) преобразуют методом замены плоскостей проекций в проецирующую. Заменяют фронтальную плоскость проекции П2 на П4 - Проводят ось х1,4 перпендикулярно к горизонтальному следу Р1 плоскости Р. Строят плоскость Р в новой системе плоскостей П1/П4. Для этого берут на фронтальном следе Р2 плоскости Р произвольную точку Е (Е2). Находят горизонтальную проекцию Е1 точки Е, затем строят проекцию Е4 в системе П1/ П4. Через проекцию Е4 и точку схода следов на оси x проводят фронтальный след плоскости Р4. Проекцию сферы переносят в систему П1/II4. Для этого проводят через горизонтальную проекцию 01, центра 0 сферы линию проекционных связей перпендикулярно к оси x1 и отмечают на ней (на линии проекционных связей) координату z точки 0. Полученную проекцию обозначают 04. Затем строят проекцию сферы заданного радиуса в системе П1П4. После преобразования плоскости Р в проецирующее положение задача сводится к решению предыдущей задачи (см. п. 11.2.6), т. е. сначала строят горизонтальную проекцию фигуры сечения, а затем, используя признак принадлежности точки плоскости, строят фронтальную проекцию фигуры сечения сферы плоскостью общего положения. Для определения натуральной величины сечения сферы необходимо выполнить вторую замену (плоскость проекций П1 заменить на плоскость П5 (рис. 11.7). С этой целью преобразовывают плоскость сечения Р в плоскость уровня. Проводят ось x4,5 параллельно фронтальному следу Р4. Проецируют центр окружности 0 в систему П4 /П5. Рис. 11.7 Натуральная величина сечения окружности строится радиусом R, равным половине отрезка 1424. Поверхность сферы не может быть развёрнута точно. Для неразвертываемых поверхностей строят приближённую развёртку (рис. 11.8). Поверхность сферы разбивается на равное число частей (рис. 11.8, а), например, на 12 частей. Разбивку производят плоскостями, проходящими через один из диаметров сферы MN. Каждую часть поверхности сферы, находящуюся между двумя смежными плоскостями, заменяют частью цилиндрической поверхно­сти с осью, проходящей через центр сферы и перпендикулярной к диаметру MN. Диаметр поверхности принимают равным диаметру сферы. Для наглядности ниже рассмотрено построение только одной из частей поверхности сферы, расположенной между плоскостями Р и Σ . Выделенную часть поверхности сферы заменяют цилиндрической с осью О1О1 , которая перпендикулярна к диаметру MN и плоскости дуги 1-4. Дугу 1-4 делят на равные части (в каждом случае - на три). Для построения развёртки откладывают на вертикальной прямой отрезки, равные хордам данных дуг Δ1. Величины этих хорд с достаточной степенью точности можно считать равными величинам дуг. По горизонтальной прямой откладывают величины соответствующих образую­щих поверхности Δ2, Δ3 и т.д. Полученные точки соединяют кривой линией (рис. 11.8, б). 12. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ Для построения точки пересечения прямой с поверхностью через прямую следует провести вспомогательную плоскость и найти линию пересечения этой плоскости с поверхностью. Точка пересечения (или точка встречи заданной прямой и построенной линии или фигуры сечения) на поверхности и будет искомой точкой пересечения прямой с поверхностью. Сложность решения задачи зависит от трудоемкости нахождения линии пересечения, которая определяется следами поверхности и расположением прямой относительно как поверхности, так и плоскости проекций. Чтобы получить рациональное решение, следует пользоваться наиболее простым способом определения линии пересечения. Этого можно достичь двумя путями: • выбором положения вспомогательной секущей плоскости; • переводом секущей прямой в частное положение. Рис.11.8 12.1. Вспомогательная секущая плоскость -проецирующая 12.1.1. Задание: определить точки пересечения прямой т с поверхностью пирамиды SABC (рис. 12.1). Решение: для решения задачи прямую m заключают во фронтально проецирующую плоскость Σ ().Фронтальная проекция линии пересечения совпадает с фронтальной проекцией следа плоскости Σ 2. Отмечают проекции точек (12, 22, 32) пересечения плоскостью Σ ребер пирамиды (SA, SB, SC), в которых фронтальный след плоскости Σ пересекает эти ребра. Зная положение линии пересечения (12, 22, 32) на фронтальной проекции, определяют горизонтальную проекцию линии пересечения (11,21, 31). Соединив горизонтальные проекции (11,21,31) точек (1, 2, 3) прямолинейными отрезками ((1121), (2131), (З111)), получают фигуру сечения — треугольник 123. Далее определяют точки пересечения горизонтальной проекции фигуры сечения (112131) с горизонтальной проекцией m1 прямой m — точки M1 и N1. Затем строят фронтальные проекции (М2 и N2) точек пересечения прямой m с поверхностью пирамиды SABC. Рис.12.1 12.1.2. Задание: определить точки пересечения прямой m с поверхностью прямого кругового цилиндра (рис. 12.2). Рис.12.2 Решение: при решении задачи выделим проекции то­чек пересечения М и N прямой m с поверхностью цилиндра на горизонтальной проекции - точки m1 и N1. Так как образующие прямого кругового цилиндра являются горизонтально проецирующими прямыми, фронтальные проекции точек пересечения прямой т с поверхностью цилиндра М2 и N2 находят с помощью линий проекционной связи, как это показано на рисунке. 12.2. Вспомогательная секущая плоскость общего положения Вспомогательную секущую плоскость, проводимую через прямую, при пересечении ею какой-либо поверхности, следует выбирать так, чтобы в результате получилось простейшее сечение. Например, при пересечении конической поверхности прямой линией такой плоскостью является плоскость, проходящая через вершину и пересекающая эту поверхность по прямым линиям (образующим). При пересечении цилиндрической поверхности прямой линией вспомогательную плоскость целесообразно проводить через заданную прямую парал­лельно образующим цилиндра. 12.2.1. Задание: определить точки пересечения прямой m с поверхностью прямого кругового конуса (рис. 12.3). Решение: прямую m заключают в плоскость Р, проходящую через вершину конической поверхности S. Плоскость Р задана пересекающимися прямыми m и n, проходящими через точку А, которая выбирается произвольно на заданной прямой m. Для определения горизонтального следа плоскости Р находят горизонтальные следы прямых m и n. Следы отмечают точками, например, М1 и М'1, в которых горизонтальный след P1 плоскости Р пересекает основание конической поверхности. Проекции S1E1 и S1F1 - образующие поверхности конуса, по которым она пересекается плоскостью Р. Точки K1 и N1 - горизонтальные проекции искомых точек пересечения. Зная положение K1 и N1 определяют фронтальные проекции К2 и N2. 12.3. Перевод прямой общего положения, пересекающей заданную поверхность в частное положение При пересечении поверхности сферы плоскостью в сечении получается окружность, которая проецируется на плоскости проекции в виде эллипсов или прямой и эллипса (если секущая плоскость - проецирующая). В случае, когда секущая плоскость параллельна плоскости проекции, окружность проецируется на эту плоскость проекции без искажения. Поэтому для упрощения решения задачи следует про­извольно расположенную прямую перевести в положение, параллельное какой-либо плоскости проекции. Тогда прямую можно заключить в плоскость, параллельную плоскости проекции. 12.3.1. Задание: определить точки встречи прямой m, заданной отрезком АВ, с поверхностью сферы (рис. 12.4). Решение: при решении этой задачи переводят прямую m общего положения в положение, параллельное плоскости проекции. Для этого вводят новую систему плоскостей П4/П1 в которой т||П4, и переходят от системы П2/П1 к системе П4П1. Новую ось проекций x1 проводят параллельно горизонтальной проекции прямой A1B1. Далее от концов горизонтальной проекции прямой, точек A1 и В1 проводят линии проекционной связи, перпендикулярные к новой оси проекций, и на них на плоскости П4 откладывают координаты zA и zB т.е. расстояния от оси проекций х до фронтальных проекций точек А2 и В2. Новая проекция А4В4 будет натуральной длиной отрезка прямой АВ. Рис. 12.4 Аналогично находят и центр сферы О4. В новой системе горизонтально проецирующая плоскость Р () пересечет поверхность сферы по окружности радиусом R, которая спроецируется на плоскость П1 в отрезок (1-2), а на плоскость П4 в окружность тем же радиусом R. Точки К4 и L4 -вспомогательные проекции точек пересечения, по которым определяют проекции точек K1 и L1 а затем К2 и L2. 12.4. Плоскость, касательная к поверхности Плоскость, касательная к поверхности в заданной на поверхности точке, есть множество всех прямых — касательных, проведенных к поверхности через заданную точку. Для задания плоскости, касательной к поверхности в заданной точке, достаточно провести через эту точку две произвольные линии, принадлежащие поверхности (желательно простые по форме) и к каждой их них построить касательные в точке пересечения этих линий. Построенные прямые (касательные) определяют касательную плоскость. 12.4.1. Задание: построить плоскость Р, касательную к поверхности сферы и проходящую через точку К (рис. 12.5). Решение: плоскость, касательная к сфере, перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Поэтому, проведя радиус ОК, строят плоскость, задавая ее горизонталью КВ и фронталью КС. При этом горизонтальная проекция К1B1 перпендикулярна к К1O1, а фрон­тальная проекция К2С2 перпендикулярна к К2О2. 13. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Предложенные задания охватывают задачи не на все методы построения линий пересечения поверхностей, а только наиболее распространенные. Ниже приведены решения типовых задач, когда применены различные способы в зависимости от формы и расположения пересекающихся поверхностей. 13.1. Одна из поверхностей занимает частное (проецирующее) положение 13.1.1. Задание: даны две поверхности: - тора и Р - цилиндра (рис. 13.1). Требуется построить линию их пересечения. Решение: поверхность цилиндра перпендикулярна к П2, следова­тельно, она проецирующая. В таком случае фронтальная проекция линии пересечения уже известна. Она совпадает с фронтальной проекцией цилиндра. Решение задачи, т.е. построение горизонтальной проекции линии пересечения, сводится к нахождению второй проек­ции линии, принадлежащей поверхности . Для достижения этой цели на фронтальной проекции фиксируют опорные (1, 2, 4, 9) и промежуточные точки и находят их положения на горизонтальной проекции (рис. 13.2). Ниже приводится построение горизонтальной проекции только одной точки 1 (рис. 13.1). Из этой точки вниз проводят линию проекционной связи. Одновременно из этой же точки радиусом 012 проводят дугу окружности, на которой лежит эта точка, как принадлежащая тору, и находят проекцию этой окружности на горизонтальной проекции тора - это прямая линия, параллельная оси x. Она проходит через точку L1 (точка пересечения окружности, проходящей через точку 1, с окружностью тора, лежащей на П1). Горизонтальная проекция точки 1 находится на пересечении линии проекционной связи, проведенной из точки 12, с горизонтальной проекцией окружности тора, на которой лежит точка 1. Остальные точки строят аналогично точке 1 (рис. 13.2). Точки 4 и 9 определяют видимость линии пересечения на горизонтальной проекции, а точки 1 и 2 наиболее удаленные от контура на горизонтальной проекции. Эту задачу можно решать и методом вспомогательных секущих плоскостей, который рассматривается далее. 13.2. Метод вспомогательных секущих плоскостей Этот метод применяется для построения линии пересечения двух поверхностей, когда секущие (параллельные) плоскости при пересечении с данными поверхностями образуют простые для построения линии (прямую или окружность). 13.2.1. Задание: даны поверхности конуса и цилиндра Ф (рис. 13.3). Требуется построить линию их пересечения. Решение: ось цилиндра перпендикулярна к плоскости П2, следовательно, поверхность цилиндра - проецирующая. В этом случае задача может быть решена так, как это было разобрано в предыдущем (п. 13.1.1) примере. Для этого определяют характерные - наивысшую и низшую точки линии пересечения 1 и 2, лежащие на пересечении фронтальной проекции цилиндра с очерковой образующей конуса. Их горизонтальные проекции 11 и 21 принадлежат горизонтальной проекции очерковой образующей конуса (l1 и 21, совпадают с осевой линией конуса). Точки 3 и 4 определяют видимость линий пересечения на горизонтальной проекции. Для определения их горизонтальных проекций через ось цилиндра параллельно П1 проводят вспомогательную секущую плоскость Г (ее фронтальный след Г2). Эта плоскость рассечет цилиндр по очерковым образующим, а конус по окружности радиуса R, которая на П1 будет проецироваться в натуральную величину. Пересечение этой окружности с очерковыми образующими цилиндра есть не что иное, как горизонтальные проекции характерных точек 31 и 41 (рис. 13.3). Построение промежуточных точек аналогично построению точек 3 и 4, только образующие, по которым вспомогательная плоскость будет рассекать цилиндр, не будут очерковыми (рис. 13.4). 13.3.1. Задание: Даны две поверхности вращения - конус и цилиндр, оси которых пересекаются и находятся в одной плоскости, параллельной П2 (рис. 13.5). Требуется построить линию их пересечения. Решение: на фронтальной проекции фиксируют точки пересечения заданных поверхностей вращения 12 и 22 - они при­надлежат искомой линии пересечения. Горизонтальные проекции этих точек находятся на осевой линии конуса и цилиндра – 11 и 21. Другие точки линии пересечения можно построить, используя концентрические сферические поверхности. Из точки пересечения осей фронтальных проекций, как из центра, проводятся сферы. Первая - касательная к проекции конуса, а последующие - большим радиусом (рис. 13.6). Каждая сфера пересекает обе поверхности по окружностям, фронтальные проекции которых изображаются отрезками прямых линий. Эти проекции пересекаются в точках, являющихся фронтальными проекциями точек искомой линии пересечения поверхностей. Горизонтальные проекции этих точек определяются по принадлежности одной из поверхностей. В данном случае удобнее их получать по принадлежности конусу. Например, точки 3 и 4 лежат на той же окружности, по которой вспомогательная сфера пересекает конус. Изменяя радиус вспомогательной секущей сферы, находят ряд точек линии пересечения, соединив которые, получают проекции искомой линии (рис. 13.6). Чтобы определить видимость горизонтальной проекции линии пересечения, на её фронтальной проекции отмечают точки, лежащие на проекции осевой линии цилиндра и принадлежащие линии пересечения. Затем по линиям проекционной связи переносят их на очерковые образующие горизонтальной проекции цилиндра. Точки, лежащие ниже указанных, будут находиться на не­видимой части цилиндра. 13.3. Метод эксцентрических сфер Метод эксцентрических сфер применяется для построения линии пересечении поверхностей вращения, у которых оси расположены в одной плоскости, являющейся плоскостью симметрии. При этом пересекающиеся поверхности должны иметь семейство круговых сечений. 13.4.1. Задание: даны две поверхности вращения - тор и конус, оси которых находятся в одной плоскости, параллельной П1 (рис. 13.7). Требуется построить линии их пересечения. Решение: прежде всего, фиксируют опорные точки пересечения очерковых меридианов 1 и 2. Затем через ось вращения поверхности кольца проводят фронтальный след Σ2 фронтально проецирующей плоскости Σ. Линия пересечения её с поверхностью тора - окружность. Центр сферы, пересекающей кольцо по окружности, находится на перпендикуляре, восстановленном из центра такой окружности к секущей проецирующей плоскости. Чтобы конус пересекался вспомогательной секущей сферой по окружности, её центр должен находиться на оси конуса. Точка пересечения перпендикуляра к проецирующей плоскости с осью конуса (O2) выбирается центром вспомогательной секущей сферы. Радиус ее равен расстоянию от центра до точки пересечения меридиана тора со следом плоскости Σ2 . Такая вспомогательная секущая сфера пересекает кольцо и конус вращения по окружностям, фронтальные проекции которых - проекции прямых. Точка пресечения этих отрезков 32 (рис. 13.7) принадлежит искомой линии пересечения поверхностей. Вспомогательные сферы имеют различные центры на оси конуса вращения; так, при построении проекции - точки 42 - О'2. Горизонтальные проекции точек пересечения строят по принадлежности этих точек к одной из поверхностей, используя параллели, например, конуса. Библиографический список 1. Гордон В.О. Курс начертательной геометрии / В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огиевский. — М.: Высшая школа, 2000. — 272 с: ил. 2. Гордон В.О. Сборник задач по курсу «Начертательная геометрия» / В.О. Гордон, Ю.Б. Иванов, Т.Е. Солнцева. - М.: Высшая школа,2000. – 320 с.: ил. 3. Чекмарев А.А. Инженерная графика. - М.: Высшая школа, 1998.-365с. 4. Фролов С.А. Начертательная геометрия. - М.: Высшая школа, 1983.-240 с. 5. Арустамов Х.А. Сборник задач по начертательной геометрии. - М.: Машиностроение, 1978. - 445 с. 6. Крылов Н.Н.. Начертательная геометрия. -6 изд. перераб. и доп. – М.: Высш.шк., 1990. 240 с.: ил. 7. Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия. Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: высшая школа.1981. – 252 с., ил. 8. Лукьянов Е.Ф. Начертательная геометрия: Курс лекций для студентов технических специальностей. – Самара: СамГУПС. 2002 -92 с.