Начертательная геометрия и инженерная графика

Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ–ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ _________________________________________ Г.А. Красильникова, М.С. Кокорин, Н.С. Иванова НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Учебное пособие Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета 2015 1 УДК 514.181.22 (075.8) ББК 22.151.3я73 К Красильникова Г.А. Начертательная геометрия и инженерная графика. Краткий курс лекций по начертательной геометрии: учебное пособие / Г. А. Красильникова, М. С. Кокорин, Н. С. Иванова. — СПб. : Изд-во Политехн. ун-та , 2015. — 87 стр. Соответствует содержанию учебных программ дисциплин «Начертательная геометрия и инженерная графика», «Инженерная графика» «Инженерная и компьютерная графика» государственного образовательного стандарта направлений бакалаврской подготовки 13.03.03 «Энергетическое машиностроение», 15.03.01 «Машиностроение», 15.03.02 «Технологические машины и оборудование», 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», 22.03.01 «Материаловедение и технологии металлов», 22.03.02 «Металлургия» и др. Содержит краткое изложение теории по разделам курса «Начертательная геометрия», алгоритмы решения основных задач. В приложениях представлены задания для самоконтроля знаний студентов. Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся в области техники и технологии, при самоподготовке к контрольным работам, зачету и экзамену. Может быть использовано при дистанционной форме обучения.  Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2015 2 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ............................................................................................................. 5 1. Отображение пространственных объектов на плоскость ................... 6 1.1. Операция проецирования .... …………………………………………6 1.2. Метод Монжа ........................ …………………………………………8 1.3. Моделирование точки на эпюре Монжа ……………………………9 1.4. Моделирование декартовой пространственной системы координат на эпюре Монжа ... …………………………………9 2. Моделирование линии на эпюре Монжа ............................................... 13 2.1. Моделирование прямой линии ......................................................... 13 2.2 Моделирование кривой линии ........................................................... 17 3. Моделирование плоскости на эпюре Монжа ....................................... 22 4. Моделирование поверхностей на эпюре Монжа.................................. 26 4.1. Моделирование линейчатых поверхностей ..................................... 27 4.2. Моделирование поверхностей вращения......................................... 36 5. Пересечение прямой с плоскостью......................................................... 42 5.1. Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения ............................................................. 42 5.2. Пересечение прямой общего положения с проецирующей плоскостью ................................................................... 43 5.3. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения ............................................................. 43 6. Пересечение прямой с поверхностью .................................................... 47 6.1. Пересечение проецирующей прямой с поверхностью общего положения......................................................... 48 6.2. Пересечение прямой общего положения с проецирующей поверхностью ............................................................... 48 6.3. Пересечение прямой общего положения с поверхностью общего положения......................................................... 49 3 7. Пересечение поверхностей ....................................................................... 53 7.1. Пересечение плоскостей. Способ вспомогательных секущих плоскостей .................. …………………………………………53 7.2. Пересечение плоскости общего положения с проецирующей поверхностью…………………………………………55 7.3. Пересечение плоскости общего положения с поверхностью общего положения. ……………………………………56 7.4. Пересечение проецирующей поверхности с поверхностью общего положения. ……………………………………59 7.5. Пересечение поверхностей общего положения. Способ вспомогательных концентрических сфер...................... ………62 7.6. Частные случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка ........................................................... ………69 8. Способы преобразования чертежа . ……………………………………70 8.1. Способ дополнительного ортогонального проецирования (ДОП) ................................................................. ………71 8.2. Решение позиционных и метрических задач способом ДОП .............................................................................. ………72 9. Аксонометрические проекции......... ……………………………………80 9.1. Аксонометрические проекции как частный случай метода двух изображений ............................................... ………80 9.2. Теорема Польке ...................................................................... ………83 9.3. Классификация аксонометрических проекций ................... ………84 9.4. Стандартные аксонометрические проекции ........................ ………84 Библиографический список .................... ……………………………………87 4 ВВЕДЕНИЕ «Начертательная геометрия и инженерная графика» — одна из учебных дисциплин, составляющих основу инженерного образования. Целью изучения раздела «Начертательная геометрия» является развитие у студентов пространственного представления, геометрического мышления, способности к анализу форм, размеров и взаимного расположения пространственных объектов на основе их проекционных моделей. Ввиду неравномерности объема тем материал пособия не разбит по лекциям, а представлен в виде последовательности тем в соответствии с содержанием разделов учебных программ инженерно-графических дисциплин. Пособие содержит краткое изложение теории по рассматриваемым темам, алгоритмы решения основных задач начертательной геометрии с разбивкой их графической реализации на отдельные составляющие, что значительно облегчает восприятие их решения. Задачи, на которые в тексте пособия даются ссылки, пронумерованы. В приложениях представлены задания в тестовой форме для самоконтроля знаний студентов в процессе изучения разделов дисциплины и для подготовки к экзамену. Пособие может быть использовано в качестве дополнительной литературы для самоорганизации учебной деятельности, а также при подготовке к контрольным работам, зачету и экзамену. Для более полного освоения теоретических аспектов курса рекомендуется использовать литературу [2, 3, 7], а для подготовки к промежуточным и итоговым контрольным работам — учебные пособия [1, 4, 5, 6]. В пособии используются общепринятые обозначения геометрических элементов пространства [1]: точки обозначены прописными буквами латинского алфавита (A, B, C…) или арабскими цифрами (1, 2, 3…); прямые, кривые линии — строчными буквами латинского алфавита (a, b, c…); 5 плоскости — строчными буквами греческого алфавита (α, β, γ…); поверхности — прописными буквами греческого алфавита (Σ, Ψ, Ω…), а также следующие символы: = — результат операции;  — пересечение элементов; ≡ — тождественное совпадение элементов; — принадлежность элементов;  — перпендикулярность; || — параллельность. 1. ОТОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОБЪЕКТОВ НА ПЛОСКОСТЬ Начертательная геометрия изучает методы отображения объектов трехмерного пространства на плоскость и способы графических решений позиционных и метрических задач, связанных с этими объектами, по их плоским отображениям (моделям). Простейшим объектом (элементом) пространства является точка. Точки могут быть собственными и несобственными (бесконечно удаленными). На модели стрелкой будем обозначать направление на несобственную точку. Все остальные геометрические объекты (линия, плоскость, поверхность…) можно представить как множество точек. Для моделирования объектов трехмерного пространства будем использовать операцию проецирования. 1.1. Операция проецирования Выберем в пространстве точку S1 — центр проецирования и плоскость 1 — плоскость проекций (рис. 1).1 Центр S1 и плоскость проекций 1 представляют собой аппарат проецирования. Для построения проекции произвольной точки А исходного пространства выполним следующие операции: 1). через центр S1 и точку А проведем прямую a; 2). Отметим точку пересечения прямой a с плоскостью 1: A1=a1. Полученная точка A1 называется проекцией точки A на плоскость 1 из центра S1. Аналогично строятся проекции других точек пространства. 1 Рисунки приведены в авторской редакции. 6 Рис. 1 Рис. 2 Прямая линия — a, проходящая через центр S1, называется проецирующей прямой и на плоскости проекций отображается (проецируется) точкой. В зависимости от положения центра S1 проецирование может быть центральным или параллельным. Когда S1 является собственной точкой пространства, получаем аппарат центрального проецирования (см. рис. 1.). При центральном проецировании проекцией несобственной точки (D) в общем случае является собственная точка (D1). Удалив центр проецирования S1 в бесконечность, получим аппарат параллельного проецирования (рис. 2). При параллельном проецировании проекцией несобственной точки (D) всегда будет несобственная точка (D1). Если направление параллельного проецирования составляет с плоскостью 1 угол   90, то получаем аппарат косоугольного проецирования. В частном случае параллельного проецирования, когда угол  = 90, т. е. проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций, получаем аппарат прямоугольного (ортогонального) проецирования. Свойства параллельного проецирования: 1. Проекция точки есть точка. 2. Проекцией прямой является прямая линия. Проекция проецирующей прямой вырождается в точку. 7 3. Инцидентность (взаимопринадлежность) точек и линий сохраняется. Из этого свойства вытекает следствие: проекции пересекающихся между собой линий пересекаются в точке, которая является проекцией точки пересечения этих линий. 4. Проекции параллельных прямых параллельны между собой. 5. Отношение длин проекций двух параллельных отрезков равно отношению длин проецируемых отрезков. 6. Параллельная проекция фигуры, расположенной в плоскости, параллельной плоскости проекций, конгруэнтна (равна) самой фигуре. 7. При параллельном ортогональном проецировании прямой угол проецируется прямым на плоскости проекций, если одна из его сторон является линией уровня, а другая не перпендикулярна этой плоскости. Рассмотренные модели, полученные методом центрального или параллельного проецирования, являются необратимыми. Множеству точек, расположенных на проецирующей прямой a, на плоскости проекций соответствует одна точка — A1. Из этого следует, что одной и той же проекции объекта на картине 1 будет соответствовать в пространстве множество объектов. Для получения обратимой модели, по которой можно восстановить форму, размеры и положение объекта в пространстве, используют метод двух изображений. 1.2. Метод Монжа Французский математик Гаспар Монж (1746–1818) предложил получать отображения предметов пространства, используя прямоугольное проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости. На рис. 3, а изображены две взаимно перпендикулярные плоскости — 12. Плоскость 1 называется фронтальной плоскостью проекций, а 2 — горизонтальной плоскостью проекций. Линия пересечения плоскостей проекций x12 называется осью проекций. Проецирование на плоскости 1 и 2 из соответствующих центров S1 и S2 — ортогональное. Для перехода к плоской модели эпюру Монжа будем поворачивать плоскость 2 вокруг оси x12 до совмещения с плоскостью 1. 8 1.3. Моделирование точки на эпюре Монжа Модель точки А на эпюре Монжа представляет собой пару точек А1 и А2, расположенных на одной линии связи, перпендикулярной оси x12 (рис. 3, б). Рассмотрим возможные положения проекций точек на эпюре Монжа относительно оси x12 в зависимости от их положения в исходном пространстве относительно плоскостей проекций 1 и 2. На рис. 4 показано расположение точек А, В, С, D соответственно в I, II, III и IV четвертях пространства, а на эпюре Монжа (рис. 5, а) даны возможные варианты расположения их проекций относительно оси x12. а) б) Рис. 3 Все точки биссекторной плоскости II и IV четверти моделируются тождественно совпавшими проекциями (рис. 5, б). Эта плоскость называется тождественной плоскостью. 1.4. Моделирование декартовой пространственной системы координат на эпюре Монжа Для определения местоположения точки в пространстве будем использовать прямоугольную декартову систему координат (xyz), которая представляет собой три взаимно перпендикулярные оси. На рис. 6 стрелками показано положительное направление осей координат. Оси координат образуют следующие координатные плоскости: 9 (xOz) — фронтальная координатная плоскость; (xOy) — горизонтальная координатная плоскость; (yOz) — профильная координатная плоскость. В этой системе точка A задается координатами (xA, yA, zA). Координаты точки могут быть как положительными, так и отрицательными. Рис. 4 а) б) Рис. 5 Для моделирования системы координат на эпюре Монжа выполним следующие операции: 10 совместим координатную плоскость (xOz) с фронтальной плоскостью проекций 1, а координатную плоскость (xOy) с горизонтальной плоскостью проекций 2 — (рис. 7); осуществим переход к одной плоскости — эпюру Монжа. На рис. 8 отображены проекции осей координат x, y, z, а также проекции точки А. Рис. 6 Очевидно, что фронтальная проекция А1 точки А будет определяться координатами (xA, zA), а горизонтальная проекция А2 — координатами (xA, yA,). Положительные значения (xA, yA, zA) будут отмечаться от точки O(О1,О2) влево, вниз и вверх на проекциях x1, y2 и z1 соответственно, отрицательные же значения (xA, yA, zA) — от точки O(О1,О2) вправо, вверх и вниз на проекциях x2, y2 и z1 соответственно. Рис. 7 Рис. 8 На рис. 9 представлены проекции точек А, В, С, D с координатами: А(30, 40, 30); В(60, -40, 20); С(40, -20, -20); D(10, 10, -30). Как известно, две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве. Однако при решении задач начертательной геометрии, а также при построении технических чертежей объектов часто используют 11 профильную плоскость 3 (132). Проецирование на плоскость 3, так же как и на плоскости 1 и 2 ортогональное. При моделировании прямоугольной системы координат будем совмещать плоскость 3 с координатной плоскостью (yOz) (рис. 10), тогда профильная проекция А3 точки А определится координатами (yA, zA). При переходе к плоской модели будем поворачивать плоскость 3 вокруг оси x13 до совмещения с плоскостью 1. Так как координата zA будет общей для проекций А3 и Рис. 9 А1, а координата yA — для проекций А3 и А2 , то положение проекции А3 на плоской модели можно определить следующим образом: Рис. 10 Рис. 11 через точку А1 провести прямую (линию связи) перпендикулярно прямой z1(x13) (рис. 11); 12 на линии связи от прямой z1(x13) отложить расстояние, равное по значению координате yA, или, другими словами, измерить расстояние от проекции А2 до оси x12 и отложить это значение по линии связи от оси x13. 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНИИ НА ЭПЮРЕ МОНЖА В этом разделе рассмотрим моделирование прямой и кривой линии, способы их задания на чертеже и свойство инцидентности точек и линий. 2.1. Моделирование прямой линии Прямая в общем случае моделируется двумя парами точек (рис. 12, а) или парой прямых (рис. 12, б). Прямую линию, не параллельную и не перпендикулярную плоскостям проекций, будем называть прямой общего положения. Задача 1 На эпюре Монжа построить модель произвольной точки М, принадлежащей прямой a. Алгоритм решения 1. Отметим произвольно на a1 проекцию M1 (см. рис. 12, б). 2. Проведем через M1 линию проекционной связи, которая при пересечении с a2 определит вторую проекцию М2 точки М. а) б) Рис. 12 13 Прямые частного положения Различают две группы прямых частного положения: 1. Проецирующие прямые — прямые, проходящие через один из центров проецирования. Одна из проекций проецирующей прямой вырождается в точку (рис. 13). Прямая a — фронтально-проецирующая прямая. Прямая b — горизонтально-проецирующая прямая. Две точки, лежащие на одной проецирующей прямой, называются конкурирующими. На эпюре Монжа с помощью проекций конкурирующих точек можно определять взаимную видиРис. 13 мость геометрических объектов. На рис. 14, а представлены две пары конкурирующих точек A, B (АВ1) и C, D (CD2). Стрелками показано направление взгляда наблюдателя из центров проецирования на плоскости проекций. Видимой считают ту точку, которая находится ближе к центру проецирования. При проецировании на плоскость 1 видимой будет точка A, а при проецировании на плоскость 2 — точка С. На рис. 14, б представлены модели конкурирующих точек на эпюре Монжа. В скобках указаны проекции невидимых точек при проецировании на соответствующую плоскость проекций. а) б) Рис. 14 14 2. Линии уровня — прямые, параллельные одной из плоскостей проекций (рис. 15, а). Прямая f(f1, f2), параллельная плоскости проекций 1, называется фронталью. Вторая проекция фронтали параллельна оси проекций (f2 || x12) (рис. 15, б). Прямая h(h1, h2), параллельная плоскости проекций 2, называется горизонталью. Первая проекция горизонтали параллельна оси проекций (h1 || x12) (рис. 15, в). а) б) в) Рис. 15 Прямая d, параллельная плоскости проекций 3 (132), называется профильной прямой (рис. 16, а). Обе проекции этой прямой лежат на линии проекционной связи, перпендикулярной x12. Наличие проекций двух точек С и D, принадлежащих этой прямой, делает ее модель однозначной. Для построения произвольной точки M, принадлежащей профильной прямой d, можно воспользоваться проекцией прямой на плоскость 3 (рис. 16, б) или пятым свойством параллельного проецирования — свойством пропорциональности (рис. 16, в). Взаимное положение прямых Рассмотрим три варианта взаимного положения прямых в пространстве. 1) Пересекающиеся прямые (рис. 17, а). Проекции пересекающихся между собой прямых пересекаются в 15 точке, которая является проекцией точки пересечения этих прямых, т. е., если K = a  b , то K1 = a1  b1, K2 = a2  b2 (рис. 17, б). а) б) в) Рис. 16 а) б) Рис. 17 2) Параллельные прямые (рис. 18, а). Проекции параллельных прямых параллельны между собой, т. е., если a||b , то a1 || b1, a2 || b2 (рис. 18, б). 3) Скрещивающиеся прямые (рис. 19, а) Проекции скрещивающихся между собой прямых пересекаются в точке, которая является проекцией конкурирующих точек, принадлежащих этим прямым (рис. 19, б). 16 а) б) Рис. 18 а) б) Рис. 19 По расположению горизонтальных проекций 12 и 22 конкурирующих точек 1 и 2 можно сделать вывод, что прямая b находится за прямой a, а по расположению фронтальных проекций 31 и 41 конкурирующих точек 3 и 4 можно сделать вывод, что прямая b находится под прямой a. 2.2. Моделирование кривой линии Кривую линию можно рассматривать как траекторию движущейся точки или как совокупность точек, обладающих каким-либо общим для них свойством. Кривая линия может являться результатом взаимного пересечения поверхностей. Кривая линия может быть плоской или пространственной. Если все точки кривой расположены в одной плоскости, то такая линия называется 17 плоской. Кривая линия, которая не может быть совмещена с плоскостью всеми своими точками, называется пространственной, например винтовая линия. Моделью кривой линии в общем случае является пара кривых линий f ( f1 , f2 ) (рис. 20, а). В частном случае, когда плоская кривая принадлежит проецирующей плоскости, она моделируется прямой и кривой линиями (рис. 20, б). а) б) Рис. 20 Построение произвольной точки M, принадлежащей кривой линии f, выполняется по тем же правилам, как и для прямой линии (см. рис. 20). Моделирование замкнутой кривой При моделировании замкнутой кривой линии нужно учитывать то, что порядок следования точек на проекциях сохраняется. Кривая на эпюре Монжа задается двумя проекциями и точкой B (рис. 21, а) или двумя проекциями и направлением обхода (рис. 22, а). На рис. 21, б и 22, б показано построение произвольной точки R, принадлежащей замкнутой кривой линии f. Порядок кривой линии Наибольшее число точек пересечения плоской кривой с прямой линией определяет порядок плоской кривой. Наибольшее число точек пересечения пространственной кривой линии с плоскостью определяет порядок 18 пространственной кривой. В общем случае порядок проекции кривой равен порядку самой кривой. В частном случае проекция может иметь меньший порядок, как, например, для плоской кривой, лежащей в проецирующей плоскости (рис. 20, б). а) б) Рис. 21 а) б) Рис. 22 Рассмотрим некоторые кривые линии, наиболее широко применяемые на практике. Кривые второго порядка Кривые второго порядка называются коническими сечениями, так как они могут быть получены при пересечении поверхности прямого кругового конуса плоскостью. В зависимости от положения секущей плоско19 сти σ по отношению к образующим конуса получаются различные кривые второго порядка: эллипс или окружность, когда плоскость пересекает все образующие (рис. 23, а); парабола, когда секущая плоскость параллельна одной образующей (рис. 23, б); гипербола, когда плоскость параллельна двум образующим (рис. 23, в). а) Эллипс б) Парабола в) Гипербола Рис. 23 Когда плоскость проходит через вершину конуса, кривая распадается на пару прямых. При параллельном проецировании проекцией эллипса и окружности является эллипс или, в частном случае, окружность, проекцией параболы является парабола, проекцией гиперболы — гипербола. Винтовая линия Из пространственных кривых линий широкое применение в инженерной практике получила цилиндрическая винтовая линия, представляющая собой траекторию движения точки, которая равномерно вращается вокруг некоторой оси i и одновременно перемещается вдоль этой оси с постоянной скоростью (рис. 24). Величина перемещения точки в направлении оси i, соответствующая одному полному обороту вокруг оси, называется шагом винтовой линии. 20 Репер винтовой линии состоит из величины шага p и радиуса R. Рассмотрим пример построения модели винтовой линии f (f1, f2) на эпюре Монжа. Пример Построение модели винтовой линии f (f1, f2 ). Порядок построения 1. Проведем ось вращения i (i1, i2) перпендикулярно плоскости проекций 2. Рис. 24 2. В первом поле на i1 отложим величину шага p, а во втором поле из центра — проекции оси i2 — проведем окружность радиуса R, которая является второй проекцией f2 винтовой линии f. 3. Разделим окружность f2 на одинаковое количество равных частей (в данном случае — на 8); интервал шага p также разделим на 8 равных частей. 4. Через точки деления окружности 12, 22, ..., 82 проводим линии проекционной связи. 21 5. Находим первые проекции точек деления окружности 11 – 81. 6. Соединяем последовательно точки 11 – 81 и получаем первую проекцию винтовой линии f1. 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ НА ЭПЮРЕ МОНЖА Плоскость является простейшей поверхностью. Способы задания плоскости общего положения (произвольно расположенной относительно плоскостей проекций) представлены на рис. 25: три точки, не лежащие на одной прямой, — (A, B, C); прямая и точка, не принадлежащая этой прямой, — (N, a); две пересекающиеся или две параллельные прямые — (m, n), (c, d). Рис. 25 Задача 2 На эпюре Монжа построить модель какой-либо прямой, принадлежащей плоскости (А, В, С). Предпосылка для решения задачи: прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки этой плоскости. Алгоритм решения 1. Проводим произвольно проекцию l1 прямой l (рис. 26, а). 2. Соединяем между собой соответствующие проекции точек A и B, B и C (рис. 26, б). 3. Отмечаем точки 11 и 21 пересечения проекции прямой l1 с проекциями прямых В1А1 и В1С1. 22 4. Находим горизонтальные проекции точек 12 и 22, проводим через них проекцию l2 прямой l. Задача 3 На эпюре Монжа построить модель точки, принадлежащей плоскости (А, В, С). а) б) Рис. 26 Построение недостающей проекции точки, принадлежащей плоскости, основано на условии принадлежности этой точки прямой, лежащей в плоскости. а) б) Рис. 27 Алгоритм решения 1. Отмечаем произвольно проекцию К1 точки К (рис. 27, а). 23 2. Через К1 проводим первую проекцию l1 прямой l, принадлежащей плоскости . 3. Строим вторую проекцию l2 прямой l (см. задачу 2). 4. Через точку К1 проводим линию проекционной связи и, при пересечении ее с прямой l2, отмечаем искомую проекцию K2 точки К, принадлежащей прямой l, а следовательно и плоскости . Плоскости частного положения Проецирующие плоскости Плоскость, проходящая через проецирующую прямую, называется проецирующей плоскостью. Очевидно, что фронтально-проецирующая плоскость перпендикулярна плоскости проекций 1 (рис. 28), а горизонтально-проецирующая плоскость — плоскости проекций 2. Одна из проекций проецирующей плоскости вырождается в прямую. Эта прямая обладает собирательным свойством. Видно (см. рис. 28, что фронтальные проекции всех элементов плоскости (a,b) расположены (собраны) на одной пряРис. 28 мой a1. а) б) в) Рис. 29 24 На рис. 29, а , б представлены проекции фронтально-проецирующей плоскости (ab), перпендикулярной 1, и горизонтально-проецирующей плоскости (a||b), перпендикулярной 2. Чаще всего проецирующие плоскости задаются на эпюре Монжа своими вырожденными проекциями (рис. 29, в). Плоскости уровня Плоскость уровня — плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций. На рис. 30 изображена плоскость , параллельная горизонтальной плоскости проекций. Треугольник ABC, принадлежащий плоскости , будет проецироваться на плоскость 2 без искажения, т. е. по Рис. 30 горизонтальной проекции треугольника можно судить о его истинных размерах. а) б) Рис. 31 На рис. 31, а представлены проекции плоскости уровня , параллельной плоскости 2, а на рис. 31, б — плоскости , параллельной плоскости 1. 25 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ НА ЭПЮРЕ МОНЖА В начертательной геометрии при моделировании поверхностей преимущественно используют кинематический и каркасный способы их образования. При кинематическом способе поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных положений некоторой линии — образующей, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Линия, которую пересекают все образующие поверхности, называется направляющей. Упорядоченное множество линий, принадлежащих поверхности, называется ее каркасом. Обычно в качестве линий каркаса используют семейство образующих или семейство направляющих. При каркасном способе поверхность рассматривается как совокупность некоторого числа линий, образующих каркас. Основное отличие каркасных поверхностей от кинематических состоит в том, что для первых задается определенное число линий каркаса — дискретный каркас, а у вторых в любой точке поверхности может быть построена линия каркаса, т. е. поверхность имеет непрерывный каркас. При моделировании поверхности важную роль играет ее определитель. Определитель поверхности Совокупность условий, задающих поверхность, называется определителем поверхности. Определитель состоит из двух частей: геометрической и алгоритмической. Геометрическая часть определителя включает в себя геометрические элементы, участвующие в образовании поверхности. Такой набор элементов называется репером (от французского слова repere — метка, ориентир). Алгоритмическая часть определителя содержит перечень операций, позволяющих реализовать переход от репера к остальным точкам поверхности. 26 При моделировании поверхности необходимо: 1) промоделировать репер; 2) реализовать алгоритм, посредством которого осуществляется переход от модели репера к модели произвольной точки, принадлежащей данной поверхности. На эпюре Монжа поверхность задается проекциями ее репера. Построение произвольной точки, принадлежащей поверхности, осуществляется с помощью простейших линий каркаса поверхности, проходящих через эту точку. При моделировании поверхности возникает понятие очерка поверхности. Очерк поверхности Совокупность точек касания проецирующих прямых поверхности образует контурную линию k (рис. 32). Очерк k1 — проекция контурной линии на плоскость проекций. Контурная линия делит поверхность на две части — видимую и невидимую. При моделировании поверхности по методу Монжа различают фронтальный (k1) и горизонтальный очерк поверхности (h2 и g2). Все поверхности можно разделить на два класса: линейчатые поверхности и нелинейчатые поверхности [7]. В каждом классе поверхностей можно выделить подклассы: поверхности вращеРис. 32 ния; поверхности параллельного переноса; винтовые поверхности и др. 4.1. Моделирование линейчатых поверхностей Линейчатая поверхность образуется движением прямой линии (образующей), которая в общем случае пересекает три направляющие, в частном случае — две или одну направляющую. 27 Линейчатые поверхности с одной направляющей Линейчатые поверхности с одной направляющей образуются движением прямой линии, которая пересекает направляющую (кривую или ломаную линию) и вершину (собственную или несобственную точку). В табл. 1 представлены различные формы поверхности с одной направляющей в зависимости от вида направляющей и вершины. Таблица 1 Поверхность Направляющая Вершина Коническая Кривая Собственная точка Цилиндрическая Кривая Несобственная точка Пирамидальная Ломаная Собственная точка Призматическая Ломаная Несобственная точка Моделирование конической поверхности Для построения модели конической поверхности необходимо задать на эпюре Монжа проекции ее репера — направляющей (кривая линия) и вершины (собственная точка), а также решить задачу построения произвольной точки поверхности. Задача 4 На эпюре Монжа построить произвольную точку M, принадлежащую конической поверхности (f, S) (рис. 33). Алгоритм решения 1. Отмечаем произвольно проекцию M1 точки M (см.рис. 33, а). 2. Через проекцию S1 вершины S и M1 проводим проекцию l1 образующей l, принадлежащей поверхности  (см. рис. 33, б), 3. Отмечаем проекцию 11 точки пересечения образующей l с направляющей f. 4. Находим проекцию 12 из условия принадлежности точки 1 линии f. 5. Строим вторую проекцию l2, соединяя точки S2 и 12 (см. рис. 33, в). 28 а) б) в) Рис. 33 6. Через точку M1 проводим линию проекционной связи и, при пересечении ее с прямой l2, отмечаем искомую проекцию M2 точки M, принадлежащей образующей l, а следовательно, и поверхности . Моделирование цилиндрической поверхности Для построения модели цилиндрической поверхности необходимо задать на эпюре Монжа проекции ее репера — направляющей f (кривая линия) и вершины S (несобственная точка), а также решить задачу построения произвольной точки поверхности. Задача построения произвольной точки цилиндрической поверхности будет решаться аналогично задаче 4 (рис. 34). Рис. 34 29 Моделирование пирамидальной поверхности Для построения модели пирамидальной поверхности необходимо задать на эпюре Монжа проекции ее репера — направляющей f (ломаная линия) и вершины S (собственная точка), а также решить задачу построения произвольной точки поверхности. Задача построения произвольной точки пирамидальной поверхности будет решаться аналогично задаче 4 (рис. 35). Рис. 35 Моделирование призматической поверхности Для построения модели призматической поверхности необходимо задать на эпюре Монжа проекции ее репера — направляющей f (ломаная линия) и вершины S (несобственная точка), а также решить задачу построения произвольной точки поверхности. Задача построения произвольной точки призматической поверхности будет решаться аналогично задаче 4 (рис. 36). Следует отметить, что, умея строить одну точку поверхности, можно построить проекции любой линии, принадлежащей заданной поверхности, рассматривая эту линию как совокупность отдельных точек. Пример Построение линии l, принадлежащей цилиндрической поверхности (f, S) (рис. 37, а). 30 Порядок построения 1. Построение очерковых линий и определение видимости направляющей f (рис. 37, б). Рис. 36 Для определения видимости линии f используются конкурирующие точки M и N. По расположению фронтальных проекций этих точек можно сделать вывод, что точка N, принадлежащая направляющей f, находится под точкой M, принадлежащей образующей m. Следовательно, участок линии f, содержащий точку N при проецировании на плоскость 2, будет невидимым. На проекции f2 этот участок отмечен штриховой линией. а) б) в) Рис. 37 31 2. Определение проекций точек изменения видимости линии l при проецировании на плоскость 2 (рис. 37, в). Проекция l1 проведена произвольно. Построение начинается с горизонтальной проекции — с точек касания (12 и 22) очерковых прямых с кривой f2. Стрелками показана последовательность действий определения искомых проекций A2 и B2. 3. Построение точек С и D (рис. 38, а). Построение начинается с фронтальных проекций C1 и D1. Проекции C2 и D2 определяются по алгоритму решения задачи 4. 4. Построение проекций точек A*, B*, T и T* (рис. 38, б). Построение начинается с фронтальной проекции: точка T1(T1*) отмечается произвольно на l1 , проекция T2 (T2*) определяется по алгоритму решения задачи 4. Аналогично строятся остальные точки заданной линии. 5. Определение видимости линии l при проецировании на горизонтальную плоскость проекций. а) б) Рис. 38 32 Видимость линии l определяется по конкурирующим точкам C и F цилиндрической поверхности. По расположению фронтальных проекций этих точек можно сделать вывод, что точка F выше точки C. Следовательно, часть линии l, содержащая точку C, будет невидимой от точки A до точки B. Линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма Такие поверхности образуются движением прямой, которая движется параллельно некоторой плоскости  и пересекает при этом две направляющие m и n. В табл. 2 представлены различные формы поверхности с двумя направляющими в зависимости от вида направляющих. Таблица 2 Поверхность Направляющая m Направляющая n Цилиндроид Кривая Кривая Коноид Кривая Прямая Косая плоскость Прямая Прямая Наибольшее применение из приведенных (см. Табл. 2) поверхностей в инженерной практике нашла косая плоскость. Косую плоскость также называют гиперболическим параболоидом, так как ее каркас состоит не только из прямых линий, но также из семейств кривых второго порядка — гипербол и парабол. Моделирование косой плоскости Для построения модели косой плоскости необходимо задать на эпюре Монжа проекции направляющих m и n, а также проекции плоскости параллелизма , и решить задачу построения произвольной точки поверхности. З а д а ч а. На эпюре Монжа построить недостающую проекцию M1 точки M, принадлежащей косой плоскости (m, n, ) (рис. 39). Проекция M2 выбрана произвольно. 33 Плоскостью параллелизма в данной задаче является горизонтальнопроецирующая плоскость . а) б) в) Рис. 39 Алгоритм решения 1. Через M2 параллельно проекции 2 плоскости параллелизма проводим горизонтальную проекцию l2 образующей l, принадлежащей поверхности  (см. рис. 39, а). 2. Строим фронтальную проекцию l1, используя для построения проекции точек пересечения A и B образующей l с направляющими m и n. 3. Через точку M2 проводим линию проекционной связи и, при пересечении ее с прямой l1, отмечаем искомую проекцию M1 точки M, принадлежащей образующей l, а следовательно, и поверхности . На рис. 39, б, в показано построение недостающей проекции M2 точки M, принадлежащей косой плоскости. Проекция M1 выбирается произвольно (см. рис. 39, б). Далее строятся проекции линий каркаса поверхности аналогично построению проекций прямой l (см. рис. 39, а). Через M1 проводится произвольно проекция k1 кривой k, принадлежащей поверхности . При построении k2 используются точки пересечения линии k с линиями каркаса. Искомая проекция M2 определяется на пересечении линии проекционной связи с горизонтальной проекцией линии k. 34 Линейчатые проецирующие поверхности Цилиндрическая и призматическая поверхности могут занимать проецирующее положение в том случае, если направление на вершину (несобственную точку) будет совпадать с направлением проецирования на одну из плоскостей проекций. Другими словами, образующие проецирующей поверхности будут перпендикулярны одной из плоскостей проекций. На рис. 40 приведен пример фронтально-проецирующей цилиндрической поверхности. Рис. 40 Рис. 41 Фронтальная проекция любой точки, принадлежащей поверхности (f, S ) будет находиться на вырожденной проекции 1, которая совпадает с проекцией f1 направляющей линии f. На рис. 40 также показано положение проекций точек M, N и линии m, принадлежащих цилиндрической поверхности. На рис. 41 приведен пример горизонтально-проецирующей призматической поверхности. Горизонтальная проекция любой точки, принадлежащей поверхности ( f, S ), будет находиться на вырожденной проекции 2, которая совпадает с проекцией f2 направляющей линии f. На рис. 41 также показано положение проекций точек M, N и линии m, принадлежащих призматической поверхности. 35 4.2. Моделирование поверхностей вращения Поверхность вращения образуется вращением какой-либо линии (образующей) вокруг неподвижной оси (рис. 42). Как правило, ось вращения располагается перпендикулярно одной из плоскостей проекций. Если образующая поверхности вращения — прямая линия, то образуется линейчатая поверхность. Если образующая — кривая, поверхность вращения будет относиться к классу нелинейчатых поверхностей. Репер поверхности вращения включает в себя ось вращения i и образующую линию f. Каждая точка образующей линии вращается по окружности, которая называется параллелью. Плоскость этой параллели перпендикулярна оси вращения, а центр принадлежит оси вращения. Параллель наибольшего радиуса называется экватором, а параллель наименьшего радиуса — горлом. Меридиан — линия на поверхности, расположенная в одной плоскости с осью вращения. Главный меридиан — меридиан, плоскость которого параллельна плоскости проекций. Если ось вращения перпендикулярна плоскости 2, то главный меридиан параллелен 1. Если же ось вращения перпендикулярна плоскости 1, то главный меридиан параллелен 2. Один из очерков поверхности вращения определяется главным меридианом, а второй — экватором или экватором и горлом. Моделирование поверхности вращения общего вида Для построения модели поверхности вращения необходимо задать на эпюре Монжа проекции ее репера: оси вращения i и образующей линии f (рис. 43, а), а также решить задачу построения произвольной точки поверхности. Дополним эпюр фронтальным и горизонтальным очерками поверхности. На рис. 43, б основной линией изображены очерки поверхности, а также отмечены проекции точек A, B и C, принадлежащих главному меридиану, горлу и экватору соответственно. 36 а) Рис. 42 б) Рис. 43 Задача 5 На эпюре Монжа построить произвольную точку M, принадлежащую поверхности вращения (i, f). Алгоритм решения 1 1. Отмечаем произвольно проекцию M1 точки M (рис. 44, а). 2. Через M1 перпендикулярно i1 проводим проекцию m1 параллели m, принадлежащей поверхности . 3. Находим проекцию 11 точки пересечения параллели m с образующей f. 4. Строим горизонтальную проекцию параллели m — окружность, проходящую через точку 12 и с центром в точке i2. 5. Через точку M1 проводим линию проекционной связи и, при пересечении ее с окружностью m2, отмечаем две точки — проекцию M2 точки M видимой части поверхности и M2* точки M*, принадлежащей невидимой части поверхности . Алгоритм решения 2 1. Отмечаем произвольно проекцию M2 точки M (рис. 44, б). 37 а) б) Рис. 44 2. Через M2 строим окружность m2 с центром в точке i2. 3. Находим проекцию 12 точки пересечения параллели m с образующей f. 4. Строим проекции m1 и m1* — прямые, перпендикулярные i1, проходящие через точки 11 и 11* соответственно. 5. Через точку M2 проводим линию проекционной связи и, при пересечении ее с прямыми m1 и m1*, отмечаем точки M1 и M1* — проекции точек M и M* видимой и невидимой частей поверхности  соответственно. Приведенные алгоритмы решения подобной задачи применимы для любой поверхности вращения. В зависимости от формы образующей линии f могут получаться различные виды поверхности вращения. Моделирование сферы Сфера образуется вращением окружности вокруг одного из ее диаметров (рис. 45, а). Один из реперов сферы — ось вращения i и образующая окружность f (рис. 45, б). Сфера также может быть задана экватором h и главным меридианом f (рис. 45, в). 38 а) б) в) г) Рис. 45 На рис. 45, г показано построение точки M, принадлежащей сфере (i, f ). Построение выполнено по первому алгоритму задачи 5. Моделирование торовой поверхности Торовая поверхность образуется вращением окружности вокруг оси, которая расположена в плоскости окружности, но не проходит через ее центр (рис. 46). а) Открытый тор (кольцо) б) Закрытый тор Рис. 46 Репером торовой поверхности будут ось вращения i и образующая окружность f. На рис. 47 изображены три модели торовой поверхности в зависимости от взаимного положения оси вращения и образующей окружности, а также модели точек, принадлежащих контурным линиям торовой поверх39 ности. Если ось вращения i не пересекает образующую окружность f, то образуется открытый тор (кольцо) (см. рис. 47, а). Если же ось вращения i касается образующей окружности f или пересекает ее, то образуется закрытая торовая поверхность (см. рис. 47, б, в). а) б) в) Рис. 47 а) б) Рис. 48 40 На рис. 48, а показано построение произвольной точки M, принадлежащей торовой поверхности (i, f). Построение выполняется по первому алгоритму задачи 5. На рис. 48, б показано построение точки M по второму алгоритму задачи 5. Линейчатые поверхности вращения При вращении прямой линии, которая пересекает ось вращения в собственной или несобственной точке, образуются, соответственно, коническая или цилиндрическая поверхности. Если прямая линия f скрещивается с осью вращения i, образуется поверхность, называемая однополостным гиперболоидом вращения. а) б) Рис. 49 Эта поверхность также может быть получена путем вращения гиперболы вокруг ее мнимой оси. На рис. 49, а показано построение произвольной точки M, принадлежащей поверхности однополостного гиперболоида вращения(i, f ), а на рис. 49, б — построение фронтального очерка заданной поверхности. Через точку 1, принадлежащую образующей прямой f, проводится параллель k поверхности вращения, после чего определяется точка 2, принадлежащая главному меридиану. Аналогично строятся все остальные точки гиперболы. 41 5. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ Рассмотрим три варианта, а соответственно и три алгоритма решения задачи по определению точки пересечения прямой с плоскостью: 1). прямая — проецирующая, плоскость — общего положения; 2). прямая — общего положения, плоскость — проецирующая; 3). прямая и плоскость — общего положения. 5.1. Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения При решении задач на определение точки пересечения проецирующей прямой с плоскостью общего положения используется собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей прямой. Вырожденная проекция прямой совпадает с одноименной проекцией искомой точки. Другая проекция точки пересечения прямой с плоскостью определяется по принадлежности точки заданной плоскости. З а д а ч а. На эпюре Монжа построить проекции точки пересечения проецирующей прямой l с плоскостью общего положения  (a || b) (рис. 50). Алгоритм решения Рис. 50 1. Так как прямая l — горизонтальнопроецирующая, то вторая проекция точки пересечения заданной прямой с плоскостью совпадает с вырожденной проекцией прямой l. Отметим горизонтальную проекцию K2 ≡ l2. 2. Фронтальную проекцию K1 определим по принадлежности точки K плоскости  (задача 3). Видимость прямой l относительно плоскости  при проецировании на фронтальную плоскость проекций определим с помощью конкурирующих точек 3 и 4. 42 5.2. Пересечение прямой общего положения с проецирующей плоскостью При решении задач на определение точки пересечения проецирующей плоскости с прямой общего положения используется собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей плоскости. Одна из проекций искомой точки определяется на пересечении вырожденной проекции плоскости с одноименной проекцией заданной прямой. Другая проекция точки пересечения прямой с плоскостью определяется по принадлежности точки заданной прямой. З а д а ч а. На эпюре Монжа построить проекции точки пересечения прямой общего положения l с проецирующей плоскостью  (рис. 51). Алгоритм решения 1. Так как точка K — общий элемент прямой и плоскости, а плоскость  — фронтальнопроецирующая, следовательно, проекция K1 определится на пересечении фронтальных проекций прямой и плоскости (K1 = l1  1). 2. Горизонтальную проекцию K2 определим по принадлежности точки K прямой l (задача 1). Видимость прямой l относительно плоскости  при проецировании на горизонтальную плоскость проекций определим с помощью конкурирующих точек 1 и 2. Рис. 51 5.3. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения Для построения точки пересечения прямой общего положения l с плоскостью общего положения выполним следующие операции: 1. Заключим прямую l во вспомогательную плоскость  (рис. 52). Как правило, плоскость  — проецирующая плоскость. 43 2. Строим линию пересечения заданной плоскости  и вспомогательной плоскости  — прямую m. 3. Определим точку пересечения K прямой линии l с построенной линией m. Так как линия m принадлежит заданной плоскости , следовательно, точка K будет искомой точкой пересечения прямой l с плоскостью . Перед решением задачи по определению точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения рассмотрим отРис. 52 дельно реализацию на эпюре Монжа п. 2 — построение линии пересечения проецирующей плоскости с плоскостью общего положения рис. 53, а. Задача 6 На эпюре Монжа построить проекции линии пересечения плоскости общего положения  (ABC) с проецирующей плоскостью . а) б) Рис. 53 При решении этой задачи используем собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей плоскости. 44 Алгоритм решения 1. Определим фронтальную проекцию линии m. Так как плоскость  — фронтально-проецирующая, то первая проекция линии m совпадает с вырожденной (фронтальной) проекцией плоскости  (m1 ≡ 1) (рис. 53, б). 2. Горизонтальную проекцию линии m построим, учитывая ее принадлежность плоскости  (задача 2). Задача 7 На эпюре Монжа построить проекции точки пересечения прямой общего положения l с плоскостью общего положения  (ABC) (рис. 54, а). Алгоритм решения 1. Заключим прямую линию l во вспомогательную проецирующую плоскость . Так как плоскость  — фронтально-проецирующая, то первая проекция линии l совпадет с вырожденной проекцией плоскости  (l1 ≡ 1) (рис. 54, б). а) б) Рис. 54 45 2. Построим проекции линии пересечения m заданной плоскости  и вспомогательной плоскости  в соответствии с алгоритмом решения задачи 6 (см. рис. 53). 3. Определим проекции точки пересечения K прямой линии l с построенной линией m (рис. 55, а) следующим образом: отметим проекцию K2 (K2 = l2  m2); на пересечении l1 и линии проекционной связи отметим проекцию K1 (рис. 55, б). 4. Определим видимость прямой l относительно плоскости . Точка K делит прямую l на две части — видимую и невидимую (плоскость  считаем бесконечной и непрозрачной). Невидимая часть прямой может находиться за плоскостью при проецировании на 1 и под плоскостью при проецировании на 2 (рис. 56, а). Невидимая часть прямой отмечается на эпюре Монжа штриховой линией. а) б) Рис. 55 Определим видимость прямой l при проецировании на плоскость 1 по конкурирующим точкам 1 и 3 (рис. 56, б). По расположению горизонтальных проекций 12 и 32 можно сделать вывод, что точка 3, принадлежа46 щая l, — видимая (ближе к центру проецирования), следовательно, часть прямой, содержащая точку 3, тоже видимая. На плоскости проекций 1 эту часть прямой l отметим основной линией, а другую часть прямой (за точкой пересечения K) — штриховой линией. а) б) Рис. 56 Видимость прямой l при проецировании на плоскость 2 определим по конкурирующим точкам 4 и 5. По расположению фронтальных проекций 41 и 51 можно сделать вывод, что точка 4, принадлежащая l, — видимая, следовательно, часть прямой, содержащая точку 4, тоже видимая. На плоскости проекций 2 этот участок прямой l отметим основной линией. 6. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ Рассмотрим три варианта, а соответственно и три алгоритма решения задачи по определению точки пересечения прямой с поверхностью: 1). Прямая — проецирующая, поверхность – общего положения; 2). Прямая — общего положения, поверхность – проецирующая; 3). Прямая и поверхность — общего положения. 47 6.1. Пересечение проецирующей прямой с поверхностью общего положения При решении задач на определение точек пересечения проецирующей прямой с поверхностью общего положения используется собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей прямой. З а д а ч а. На эпюре Монжа построить проекции точек пересечения проецирующей прямой l с поверхностью общего положения (f, h) (рис. 57). При решении задачи используется алгоритм построения точки, принадлежащей поверхности. Алгоритм решения Рис. 57 1. Так как прямая l горизонтальнопроецирующая, то вторые проекции точек пересечения прямой с поверхностью совпадают с вырожденной проекцией прямой l. Отметим горизонтальные проекции K2, L2 ≡ l2. 2. Фронтальные проекции K1, L1 определим из условия принадлежности точек K, L поверхности (i, f) (задача 5). Видимость прямой l относительно поверхности  при проецировании на фронтальную плоскость проекций определим с помощью конкурирующих точек 2 и 3. 6.2. Пересечение прямой общего положения с проецирующей поверхностью При решении задач на определение точек пересечения прямой общего положения с проецирующей поверхностью используется собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей поверхности. 48 З а д а ч а. На эпюре Монжа построить проекции точек пересечения прямой общего положения l с проецирующей поверхностью (f, S) (рис. 58). Алгоритм решения 1. Так как точки K, L — общие для прямой и поверхности, а поверхность (f, S) —горизонтально-проецирующая, проекции K2, L2 определим на пересечении горизонтальных проекций прямой и поверхности (K2, L2 = l2   2). 2. Фронтальные проекции K1, L1 определим по принадлежности точек K, L прямой l (задача 1). Видимость прямой l относительно поверхности  при проецировании на фронтальную плоскость проекций определим с помощью конкурирующих точек 1, 2 и 3, 4. Рис. 58 6.3. Пересечение прямой общего положения с поверхностью общего положения Для построения точки пересечения прямой общего положения l с поверхностью общего положения  выполним следующие операции. 1. Заключим прямую l во вспомогательную плоскость  (рис. 59). Как правило, плоскость  — проецирующая плоскость. 2. Построим линию пересечения заданной поверхности  и вспомогательной плоскости  — линию m. 3. Определим точку (точки) пересечения прямой l с построенной линией m. 49 Так как линия m принадлежит заданной поверхности , точка K будет искомой точкой пересечения прямой l с поверхностью . Перед решением задачи по определению точки пересечения прямой общего положения с поверхностью общего положения рассмотрим отдельно реализацию на эпюре Монжа п. 2 — построение линии пересечения проецирующей плоскости с поверхностью общего положения. Рис. 59 Задача 8 На эпюре Монжа построить проекции линии пересечения проецирующей плоскости  с поверхностью общего положения (f, S) (рис. 60). При решении этой задачи используем собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей плоскости. Рис. 60 Рис. 61 50 Алгоритм решения 1. Определяем фронтальную проекцию линии m. Так как плоскость  — фронтально-проецирующая, то первая проекция линии m совпадает с вырожденной (фронтальной) проекцией плоскости  (m1 ≡ 1). 2. Горизонтальную проекцию линии m строим, исходя из условия принадлежности ее поверхности (f, S). Задача 9 Построить проекции точек пересечения прямой общего положения l с поверхностью общего положения (f, S) (рис. 61). Алгоритм решения 1. Заключим прямую линию l во вспомогательную проецирующую плоскость  (рис. 62, а). Так как плоскость  — фронтально-проецирующая, то первая проекция линии l совпадет с вырожденной проекцией плоскости  (l1 ≡ 1). 2. Строим линию пересечения m заданной поверхности (f, S) и вспомогательной плоскости  в соответствии с алгоритмом решения задачи 8. 3. Определим точки пересечения K, L прямой линии l с построенной линией m следующим образом (рис. 62, б): отметим проекции K2, L2 (K2, L2 = l2  m2); на пересечении l1 и линий проекционной связи отметим проекции K1 и L1. 4. Определим видимость прямой l относительно плоскости . Невидимая часть прямой может находиться за поверхностью при проецировании на 1 и под поверхностью при проецировании на 2. Для определения видимости прямой при проецировании на плоскость 1 используем конкурирующие точки 1 и 4, а также точки 3 и 5 (рис. 63). По расположению горизонтальных проекций 12 и 42 можно сделать вывод, что точка 3, принадлежащая l, — видимая. Следовательно, часть прямой от точки 4 до точки K — тоже видимая. На плоскости проекций 1 этот участок прямой l отметим основной линией. На основании рас51 положения горизонтальных проекций 32 и 52 можно сделать вывод, что точка 5, принадлежащая l, — невидимая. Следовательно, часть прямой l от точки K до точки 5 находится за поверхностью. На плоскости проекций 1 этот участок прямой l отметим штриховой линией. а) б) Рис. 62 Рис. 63 Рис. 64 52 Для определения видимости прямой при проецировании на плоскость 2 используем конкурирующие точки 6 и 7, а также точки 8 и 9 (рис. 64). По расположению фронтальных проекций 61 и 71 можно сделать вывод, что точка 6, принадлежащая l, — видимая. Следовательно, часть прямой l, содержащая точку 6, — тоже видимая. На плоскости проекций 2 этот участок прямой l отметим основной линией. Аналогично определим видимость участка прямой l, содержащего точку 8. 7. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ В этом разделе рассмотрим решение задач по определению линии пересечения: плоскостей как простейших видов поверхностей; плоскости с поверхностью; поверхностей. В зависимости от формы поверхностей, их взаимного положения и положения относительно плоскостей проекций используются различные способы построения их линии пересечения [3], [7]. В данном пособии рассмотрим следующие способы построения линии пересечения поверхностей: 1. Алгоритм построения линии, принадлежащей поверхности (плоскости). Этот способ используется, когда одна из двух заданных поверхностей — проецирующая. 2. Способ вспомогательных секущих плоскостей. Этот способ рационально применять тогда, когда есть возможность пересечь обе поверхности плоскостью по графически простым линиям (прямым, окружностям). 3. Способ вспомогательных концентрических сфер. Этот способ применяется для определения линии пересечения поверхностей вращения, оси вращения которых пересекаются. 7.1. Пересечение плоскостей. Способ вспомогательных секущих плоскостей Для построения линии пересечения плоскостей общего положения используется способ вспомогательных секущих плоскостей. 53 Рассмотрим общий алгоритм решения задачи по определению линии пересечения поверхностей (плоскостей) способом секущих плоскостей. З а д а ч а 10 Построить линию пересечения l поверхности  с поверхностью  (рис. 65). Алгоритм решения 1. Рассечем обе поверхности вспомогательной плоскостью . 2. Определим линию пересечения a плоскости  с поверхностью   a =   . 3. Определим линию пересечения b Рис. 65 плоскости  с поверхностью  (b =   ). 4. Построим точки пересечения линий a и b (K, L = a  b). Для построения других точек искомой линии повторим указанный алгоритм необходимое количество раз. При решении задачи на пересечение плоскостей линии a и b представляют собой прямые линии, а рассмотренный алгоритм построения общих точек пересекающихся поверхностей применяется дважды. З а д а ч а. На эпюре Монжа построить линию пересечения l плоскости  (a  b) с плоскостью  (f  h) (рис. 66). Решим эту задачу в соответствии с алгоритмом решения задачи 10. В качестве вспомогательных секущих плоскостей будем использовать, например, плоскости уровня  и ,параллельные 2. Алгоритм решения 1. Рассечем обе плоскости вспомогательной плоскостью  (см. рис. 66, а). 2. Определим линию пересечения a плоскости  с плоскостью a =   в соответствии с алгоритмом решения задачи 6. 54 3. Определим линию пересечения b плоскости  с плоскостью  (b =   ). 4. Определим проекции одной общей точки заданных плоскостей — точки K (K = a  b). 5. Рассечем обе плоскости вспомогательной плоскостью  (см. рис. 66, б). а) б) Рис. 66 6. Определим линию пересечения c плоскости  с плоскостью c =   . 7. Определим линию пересечения d плоскости  с плоскостью (d =   ). 8. Определим проекции еще одной общей точки заданных плоскостей — точки L (L = a  b). 9. Построим проекции искомой прямой линии, соединив соответствующие проекции точек K и L. 7.2. Пересечение плоскости общего положения с проецирующей поверхностью Для определения линии пересечения плоскости общего положения с проецирующей поверхностью будем использовать собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей поверхности и применять алгоритм построения линии, принадлежащей заданной плоскости. 55 З а д а ч а. На эпюре Монжа построить проекции линии пересечения l призматической проецирующей поверхности (f, S) с плоскостью  (m, n) (рис. 67, а). Алгоритм решения 1. Так как призматическая поверхность (f, S) — горизонтальнопроецирующая, то вторая проекция линии пересечения поверхности с плоскостью совпадает с вырожденной горизонтальной проекцией поверхности (рис. 67, б). а) б) Рис. 67 Отметим горизонтальную проекцию l2 ≡ 2 ≡ f2. 2. Фронтальную проекцию l1 определим по принадлежности линии l плоскости  (m, n) (рис. 67, б). 7.3. Пересечение плоскости общего положения с поверхностью общего положения В этом разделе рассмотрим задачу, при решении которой используется способ секущих плоскостей. З а д а ч а. На эпюре Монжа построить проекции линии пересечения l поверхности (f, h) с плоскостью  (m, n) (см. рис. 68, а). 56 Для решения этой задачи в качестве вспомогательных плоскостей используем плоскости уровня, так как одна из проекций линии пересечения такой плоскости со сферой представляет собой прямую, а вторая — окружность. Алгоритм решения 1. Определим проекции точек изменения видимости линии l. а) Строим проекции точек A и B, используя в качестве вспомогательной плоскости — плоскость  ( || 1) (рис. 68, б): определим проекции линии пересечения плоскости  со сферой  — окружность f (f1, f2); определим проекции линии пересечения плоскости  с плоскостью  в соответствии с алгоритмом решения задачи 6 — прямая k (k1, k2); отметим проекции точек A и B: A1, B1 = k1  f1; A2, B2 2 б) Строим проекции точек С и D, используя в качестве вспомогательной плоскости плоскость уровня  ( || 2): определим проекции линии пересечения плоскости  со сферой — окружность h (h1, h2); определим проекции линии пересечения плоскости  с плоскостью  — прямая c (c1, c2); отметим проекции точек C и D: C2, D2 = c2  h2; C1, D1 1 2. В соответствии с алгоритмом решения задачи 10 определим произвольные общие точки (K и L) заданных фигур, используя в качестве вспомогательной плоскости плоскость уровня  ( || 2) (рис. 68, в): определим проекции линии пересечения плоскости  со сферой в соответствии с алгоритмом решения задачи 8 – окружность a (a1, a2); определим проекции линии пересечения плоскости  с плоскостью  в соответствии с алгоритмом решения задачи 6 – прямая b (b1, b2); отметим проекции точек K и L: K, L = a  b; K2, L2 = a2  b2; K1, L1 1. Для построения других точек искомой линии l повторим последовательность построений пункта 2 данной задачи. 57 а) б) в) г) Рис. 68 58 3. Определим видимость линии l (рис. 68, г), используя точку K. При проецировании на плоскость 1 точка K принадлежит невидимой части сферы, следовательно, часть линии l от точки A до точки B, содержащая точку K, — невидимая. В поле проекций 1 этот участок (A1, K1, D1, B1) отметим штриховой линией. При проецировании на плоскость 2 точка K принадлежит видимой части сферы, следовательно, часть линии l от точки C до точки D, содержащая точку K, — видимая. В поле проекций 2 этот участок (C2, A2, K2, D2) отметим сплошной основной линией. 7.4. Пересечение проецирующей поверхности с поверхностью общего положения Для определения линии пересечения проецирующей поверхности с поверхностью общего положения будем использовать собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей поверхности и применять алгоритм построения линии, принадлежащей поверхности общего положения. З а д а ч а. На эпюре Монжа построить проекции линии пересечения l проецирующей призматической поверхности (f, S) с поверхностью общего положения (i, m) (рис. 69, а). Алгоритм решения 1. Так как призматическая поверхность (f, S) — горизонтальнопроецирующая, то вторая проекция линии пересечения поверхностей совпадает с вырожденной горизонтальной проекцией поверхности (рис. 69, б). 2. Отметим горизонтальную проекцию l2 ≡  2 ≡ f 2. 3. Фронтальную проекцию l1 определим по принадлежности линии l поверхности (i, m). Проецирующие плоскости (грани призматической поверхности) пересекают коническую поверхность по гиперболическим кривым, фронтальными проекциями которых также будут гиперболические кривые. 59 а) б) Рис. 69 З а д а ч а. На эпюре Монжа построить проекции линии пересечения l проецирующей цилиндрической поверхности (f, S) с торовой поверхностью (i, m) (рис. 70, а). Вначале определим характер линии пересечения этих поверхностей и ее проекций. На основании теоремы о пересечении алгебраических поверхностей порядков n и m [3] цилиндрическая поверхность второго порядка пересекается с торовой поверхностью четвертого порядка в общем случае по пространственной кривой восьмого порядка (2·4=8) (рис. 71, а). При частном взаимном расположении поверхностей линия их пересечения может распадаться на две или более составляющих кривых меньших порядков (рис. 71, б). В данной задаче линией пересечения являются две кривые четвертого порядка. 60 Алгоритм решения 1. Так как поверхность (f, S) — фронтально-проецирующая то первая проекция линии пересечения поверхностей совпадает с вырожденной фронтальной проекцией цилиндрической поверхности (рис. 70, б). Отметим фронтальную проекцию l1 ≡  1 ≡ f 1. 2. Горизонтальную проекцию l2 определим по принадлежности линии l поверхности тора (i, m). Горизонтальная проекция линии l представляет собой две кривые четвертого порядка. 3. Определение видимости. При проецировании на плоскость 1 видимая и невидимая части линии l совпадают. Видимость при проецировании на горизонтальную плоскость проекций а) б) ограничивает цилиндр. ПоРис. 70 это-му видимость линии при проецировании на плоскость проекций 2 определится, например, положением точки A. Точка A принадлежит видимой части цилиндра, следовательно, часть линии l от точки A до контурной линии цилиндрической поверхности — видимая. В поле проекций 2 этот участок отмечен сплошной основной линией. 61 а) б) Рис. 71 7.5. Пересечение поверхностей общего положения. Способ вспомогательных концентрических сфер В качестве первого примера рассмотрим решение задачи на основе способа секущих плоскостей. З а д а ч а. На эпюре Монжа построить проекции линии пересечения конической поверхности (i, t) со сферой  (f, h) (рис. 72). Рис. 72 Вначале определим характер линии пересечения этих поверхностей и ее проекций. Две поверхности второго порядка пересекаются в общем слу62 чае по кривой четвертого порядка. Горизонтальная проекция искомой линии l будет представлять собой кривую четвертого порядка. Фронтальная же проекция будет являться кривой второго порядка на основании следующей теоремы: если две поверхности порядка n и m имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения прямоугольно проецируется на эту плоскость или ей параллельную в кривую порядка (n×m)/2. Для решения этой задачи в качестве вспомогательных плоскостей используются плоскости уровня, параллельные 2, так как одна из проекций линии пересечения такой плоскости с заданными поверхностями представляет собой прямую, а вторая — окружность. Алгоритм решения 1. Определим проекции точек изменения видимости линии l (рис. 73, а). а) Строим проекции точек A и B, используя в качестве вспомогательной плоскость  ( || 1): определим проекции линии пересечения плоскости  со сферой — окружность f (f1, f2); определим проекции линии пересечения плоскости  с конической поверхностью вращения — прямая t (t1, t2); отметим проекции точек A и B: A1, B1 = t1  f1; A2, B2 2 б) Строим проекции точек С и D, используя в качестве вспомогательной плоскости плоскость уровня  ( || 2): определим проекции линии пересечения плоскости  со сферой — окружность h (h1, h2); определим проекции линии пересечения плоскости  с конической поверхностью вращения — окружность a (a1, a2); отметим проекции точек C и D: C2, D2 = a2  h2; C1, D1 1. 2. Определим произвольные общие точки (K и L) заданных фигур, используя в качестве вспомогательной плоскости плоскость уровня ( || 2) (рис. 73, б): определим проекции линии пересечения плоскости  с конической поверхностью вращения — окружность b (b1, b2); 63 б) а) в) Рис. 73 64 - определим проекции линии пересечения плоскости  со сферой — окружность с (с1, с2); - отметим проекции точек K и L: K, L = b  c; K2, L2 = b2  c2; K1, L1 1. Для построения других точек искомой линии l повторим последовательность построений п. 2 данной задачи. 3. Определим видимость линии l. При проецировании на плоскость 1 видимая и невидимая части линии l совпадают, так как общая плоскость симметрии поверхностей параллельна фронтальной плоскости проекций. Видимость при проецировании на горизонтальную плоскость проекций ограничивает сфера. Поэтому видимость линии на 2 определится, например, положением точки A. Точка A принадлежит видимой части сферы, следовательно, часть линии l от точки C до точки D, содержащая точку A, — видимая. В поле проекций 2 этот участок (C2, A2, D2) отмечен сплошной основной линией (рис. 73, в). В качестве второго примера рассмотрим решение задачи на основе способа вспомогательных концентрических сфер. Способ вспомогательных концентрических сфер Способ вспомогательных концентрических сфер основан на следующем определении: две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, плоскости которых перпендикулярны оси вращения ((i, f)  (i, m) = а(а*)) (рис. 74, а). Этот способ применяется только для определения линии пересечения поверхностей вращения, оси вращения которых пересекаются, а общая плоскость симметрии должна быть плоскостью уровня. В этом случае вспомогательные сферы с центрами в точке пересечения осей вращения заданных поверхностей пересекают обе поверхности по окружностям, которые проецируются в виде прямых на плоскость, параллельную общей плоскости симметрии (рис. 74, б). З а д а ч а. На эпюре Монжа построить проекции линии пересечения l поверхности (i, f) с поверхностью  (j, q) (рис. 75, а). 65 а) а) б) б) Рис. 74 Рис. 75 Вначале определим характер линии пересечения этих поверхностей и ее проекций. Две поверхности второго порядка пересекаются в общем случае по кривой четвертого порядка, поэтому горизонтальная проекция искомой линии l будет представлять собой кривую четвертого порядка. Фронтальная же проекция будет представлять собой кривую второго порядка, так как поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций. 66 Для определения общих точек поверхностей будем пересекать их сферами с центрами в точке пересечения осей вращения этих поверхностей (О = i  j). Алгоритм решения Общая плоскость симметрии заданных поверхностей параллельна фронтальной плоскости проекций (рис. 75, б), поэтому решение задачи начнем с построения фронтальных очерков вспомогательных сфер. 1. Строим фронтальный очерк сферы наименьшего радиуса. Сферой наименьшего радиуса (Rmin) является сфера, касательная к одной из поверхностей и пересекающая другую. На эпюре Монжа этой сфере соответствует окружность, касательная очерковых прямых конической поверхности (рис. 76). Рис. 76 Рис. 77 Сфера касается конической поверхности по окружности а и пересекает цилиндрическую поверхность по окружности b. При этом плоскости окружностей а и b перпендикулярны осям вращения i и j соответственно. 67 Первая пара общих точек поверхностей определится на пересечении этих окружностей — A(A*) = a  b. Фронтальные проекции общих точек определятся на пересечении отрезков прямых — A1(A*1) = a1  b1., а горизонтальные проекции — по условию принадлежности конической поверхноa2. сти, т.е. A2(A*2) 2. Строим фронтальный очерк сферы наибольшего радиуса. Радиусу наибольшей сферы (Rmax) на фронтальной проекции соответствует расстояние от точки О1 до наиболее удаленной точки пересечения очерков заданных поверхностей B1 (рис. 77). 3. Строим фронтальный очерк сферы произвольного радиуса из диапазона Rmin ≤ R ≤ Rmax (рис. 78). Рис. 78 Рис. 79 Сфера радиуса R пересекает коническую и цилиндрическую поверхности по окружностям с и d соответственно. На пересечении этих окруж68 ностей определится еще одна пара общих точек заданных поверхностей: D(D*) = c  d; D1 (D*1) = c1  d1; D2(D*2) c2. (D*1). Для построения других точек искомой линии l повторим последовательность построений п. 3 данной задачи. 4. Определим проекции точек изменения видимости линии l при проецировании на плоскость 2 (рис. 79). Отметим фронтальные проекции точек изменения видимости линии l: K1 (К*1) = l1  n1(n*1). Горизонтальные проекции К2 (К*2) будут принадлежать соответствующим горизонтальным очерковым прямым n2(n*2) цилиндрической поверхности. 5. Определим видимость линии l. При проецировании на плоскость 1 видимая и невидимая части линии l совпадают, так как общая плоскость симметрии поверхностей параллельна фронтальной плоскости проекций. Видимость при проецировании на горизонтальную плоскость проекций ограничивает цилиндр. Поэтому видимость линии на 2 определится, например, положением точки C. Точка C принадлежит видимой части сферы, следовательно, часть линии l от точки K до точки К*, содержащая точку C, — видимая. В поле проекций 2 этот участок (K2, C2, К*2) отмечен сплошной основной линией (рис. 79), а участок (K2, B2, К*2) — штриховой. 7.6. Частные случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка К поверхностям второго порядка относятся линейчатые поверхности вращения, а также поверхности, образованные вращением кривой второго порядка вокруг оси симметрии этой кривой. Теорема Монжа Если две поверхности второго порядка вписаны в третью поверхность второго порядка или описаны вокруг нее, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка. 69 На рис. 80, а изображены цилиндрическая и коническая поверхности вращения, описанные вокруг сферы. а) б) Рис. 80 Цилиндрическая и коническая поверхности касаются сферы по окружностям a и b, которые пересекаются в точках K и L. Через эти точки и будут проходить линии пересечения рассматриваемых поверхностей (рис. 80, б). 8. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА Способы преобразования чертежа применяются для приведения геометрических объектов в частное положение относительно плоскостей проекций, что позволяет упростить решение ряда позиционных и метрических задач. Способы преобразования чертежа можно разделить на две группы. 1. Способы дополнительного проецирования. Эти способы основаны на введении дополнительных плоскостей проекций и центров проецирования. При этом положение геометрических объектов по отношению к исходным плоскостям проекций 1 и 2 остается неизменным. 70 2. Способы перемещения или вращения геометрических объектов. Эти способы основаны на изменении положения геометрических объектов по отношению к исходным плоскостям проекций 1 и 2. В данном пособии для примера рассмотрим способ дополнительного ортогонального проецирования. 8.1. Способ дополнительного ортогонального проецирования (ДОП) Возьмем в пространстве дополнительную плоскость 3, перпендикулярную плоскости 2 (3  2) и составляющую с плоскостью 1 произвольный угол . Проецирование на плоскость 3 из несобственного центра S3 выберем ортогональным (аналогично проецированию на плоскости 1 и 2 из соответствующих центров S1 и S2) (рис. 81). Для построения проекции A3 произвольной точки А исходного пространства выполним следующие операции: 1). через центр S3 и точку А проведем прямую a; 2). отметим точку пересечения прямой a с плоскостью 3: A3 = a  3. Полученная точка A3 будет называться дополнительной ортогональной проекцией точки А на плоскость 3 из центра S3. Рис. 81 Рис. 82 71 Из рис. 81 видно, что расстояние от точки A до плоскости 2 равно расстоянию от точки А1 до оси x12, а также расстоянию от точки А3 до оси x23: | A , 2| = | A1, x12| = | A3, x13|. Для перехода к плоской модели повернем плоскость 3 вокруг оси x23 до совмещения с плоскостью 2, а затем — плоскость 2 вокруг оси x12 до совмещения с плоскостью 1. Положение проекции А3 точки А на плоской модели определим следующим образом: из точки А2 проведем линию связи перпендикулярно оси x23 (рис. 82); измерим расстояние от проекции А1 до оси x12 и отложим это значение по линии связи от оси x23. Если взять дополнительную плоскость 3 перпендикулярно плоскости 1, положение проекции А3 на плоской модели определится следующим образом: из точки А1 проведем линию связи перпендикулярно прямой x13 (рис. 83); измерим расстояние от проекции А2 до оси x12 и отложим это значение по линии Рис. 83 связи от оси x13. 8.2. Решение позиционных и метрических задач способом ДОП Рассмотрим ряд задач, связанных с приведением геометрических объектов в частное положение относительно плоскостей проекций и определением некоторых метрических характеристик этих объектов способом ДОП. З а д а ч а 11 Преобразовать прямую общего положения m в прямую уровня. Для решения этой задачи дополнительная плоскость проекций 3 выбирается параллельно прямой m и перпендикулярно одной из плоскостей 72 проекций. Если 32, на плоской модели ось x23 будет параллельна m2 (x23 || m2) (рис. 84). Алгоритм решения 1. Проведем ось x23 параллельно проекции m2 на произвольном расстоянии от нее. 2. Отметим на прямой m две точки — A(A1, A2) и B(B1, B2). 3. Определим проекции A3, B3 точек A и B в дополнительном поле проекций 3 в соответствии с рис. 82. Рис. 84 Рис. 85 В новой системе плоскостей (2 — 3) прямая m(m2, m3) преобразуется в линию уровня. Используя это преобразование можно измерить длину отрезка AB , а также углы между отрезком и плоскостями проекций (рис. 85). З а д а ч а 12 Преобразовать прямую уровня h в проецирующую прямую (рис. 86). Для решения этой задачи дополнительная плоскость 3 выбирается перпендикулярно прямой. Так как по условию задачи прямая h параллельна плоскости 2, очевидно, что плоскость 3 будет перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, а на плоской модели ось x23 перпендикулярна h2. 73 Алгоритм решения 1. Проведем ось x23 перпендикулярно проекции h2. 2. Отметим на прямой h две точки — A(A1, A2) и B(B1, B2). 3. Определим проекции A3, B3 точек A и B в дополнительном поле проекций 3 в соответствии с рис. 82. В новой системе плоскостей (2 — 3) прямая h(h2, h3) преобразуется в проецирующую прямую. Преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую осуществляется в два этапа. На первом этапе прямая общего положения преобразуется в прямую уровня (задача 11). Затем при введении еще одной дополнительной плоскости — 4 прямая уровня преобразуется в проецирующую прямую (задача 12). На рис. 87 приведен пример преобразования прямой общего положения m в проецирующую. Для построения проекций точек в поле 4 измерим расстояния в поле проекций 2 (от точек A2, B2 до оси x23) и отложим его в поле 4 от оси x34 по линии проекционной связи, перпендикулярной x34. Рис. 86 Рис. 87 74 З а д а ча 13 Преобразовать плоскость (А, В, С) общего положения в проецирующую (рис. 88). Исходя из определения проецирующей плоскости дополнительная плоскость проекций 3 должна быть перпендикулярна прямой, принадлежащей этой плоскости. Учитывая, что дополнительная плоскость перпендикулярна 1 или 2, 3 выберем перпендикулярно фронтали или горизонтали плоскости  соответственно. Возьмем плоскость 3 перпендикулярно горизонтали h плоскости . Очевидно, что при этом плоскость 3 будет перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, а на плоской модели ось x23 перпендикулярна h2 (см. рис. 88). Алгоритм решения 1. Построим горизонталь h (h1, h2) плоскости (А, В, С). 2. Проведем ось x23 перпендикулярно проекции h2. 3. Определим проекции горизонтали h и точки A в дополнительном поле проекций 3 — совпавшие проекции С3, D3 и проекцию A3. 4. Через точки A3 и С3(D3) проведем прямую 3 — вырожденную проекцию плоскости . Рис. 88 В новой системе плоскостей (2 — 3) плоскость  преобразуется в проецирующую плоскость. Используя это преобразование можно измерить угол  между плоскостью общего положения  и плоскостью проекций 2. Для определения угла между плоскостью общего положения и плоскостью 1 дополнительную плоскость 3 нужно задать перпендикулярно фронтали плоскости  и выполнить аналогичные преобразования. 75 На рис. 89 приведен пример использования способа ДОП для построения линии пересечения поверхности общего положения F (T, f) с плоскостью общего положения  (a, b). Преобразование плоскости общего положения в проецирующую позволит в данной задаче определить характер линии пересечения и точно построить ее экстремальную точку. Для преобразования плоскости  в проецирующую определим 3 перпендикулярной горизонтали b плоскости , следовательно, на плоской модели ось x23 будет перпендикулярна b2. При таком преобразовании чертежа очерк конической поверхности в поле 3 будет таким же, как и в поле 1 (см. рис. 89, а). По проекциям конической поверхности и плоскости  в поле 3 видно, что сечение представляет собой параболу с вершиной в точке A. Далее в системе плоскостей (2 — 3) строим горизонтальную проекцию l2 параболы (см. рис. 89, б). При построении фронтальной проекции l1 (см. рис. 89, в) используем расстояния от оси x23 до соответствующих проекций точек линии сечения в поле 3. Проекцию F1 точки изменения видимости параболы при проецировании на плоскость 1 определим на фронтальном очерке k1 конической поверхности. З а д а ч а 14 Преобразовать проецирующую плоскость (А, В, С) в плоскость уровня. Исходя из определения плоскости уровня дополнительная плоскость проекций 3 должна быть параллельна плоскости . Так как плоскость  по условию задачи является фронтально-проецирующей (рис. 90), очевидно, что плоскость 3 будет перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, а на плоской модели ось x13 параллельна 1. Алгоритм решения 1. Проведем ось x13 параллельно проекции 1 на произвольном расстоянии от нее. 2. Определим проекции A3, B3 и С3 точек A, B и С в дополнительном поле проекций 3 в соответствии с рис. 83. 76 а) б) в) Рис. 89 77 В новой системе плоскостей (1 — 3) плоскость  преобразовалась в плоскость уровня. По проекции треугольника в поле 3 можно определить все его метрические характеристики. Это преобразование используется в практике черчения для построения натуральной величины наклонного сечения детали. На рис. 91 приведен пример построения натуральной величины ортогонального сечения прямого кругового конуса плоскостью . Рис. 90 Рис. 91 Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня осуществляется в два этапа. На первом этапе плоскость общего положения преобразуется в проецирующую (задача 13). Затем, при введении еще одной дополнительной плоскости — 4, проецирующая плоскость преобразуется в плоскость уровня (задача 14). На рис. 92 приведен пример преобразования плоскости общего положения в плоскость уровня. Используя это преобразование, можно определить угол между пересекающимися прямыми m и n. 78 Рис. 92 Если плоскость общего положения будет задана некоторой фигурой (А, В, С, E, D) (рис. 93), то подобное преобразование позволит определить размеры и форму плоской фигуры. Рис. 93 79 Рис. 94 Рассмотрим пример использования способа ДОП для построения горизонтальной проекции окружности t по ее вырожденной фронтальной проекции t1 и проекции t3 (рис. 94). Так как плоскость окружности по условию задачи является фронтальнопроецирующей, очевидно, что на плоской модели ось x13 будет параллельна t1. В качестве оси отсчета x13 возьмем прямую, проходящую через центр окружности t3, а ось отсчета x12 — в произвольном месте чертежа (рис. 94). Для построения горизонтальных проекций точек окружности измерим расстояния от оси x13 до проекций точек в поле 3 и отложим эти расстояния на соответствующих линиях проекционной связи от оси x12. 9. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ Аксонометрические проекции наряду с эпюром Монжа являются частным вариантом метода двух изображений, получившим широкое распространение в практике технического черчения. Аксонометрические проекции служат для получения наглядных изображений, дающих более полное представление о конструкции изображаемых объектов (рис. 95). 9.1. Аксонометрические проекции как частный случай метода двух изображений Аксонометрические проекции как частный случай метода двух изображений получаются при использовании следующего аппарата проецирования. 80 Рис. 95 8 Плоскости π1 и π2 образуют произвольный, в частности прямой, угол (рис. 96). При проецировании на плоскость π1 используется параллельное проецирование – как косоугольное, так и ортогональное. При проецировании на плоскость π2 используется только ортогональное проецирование. S2 8 А S1       А1 A2 A21 B B2 B1 B21 Рис. 96 Рассмотрим построение аксонометрической проекции некоторой произвольной точки пространства А. В результате проецирования точки А на плоскости π1 и π2 получим соответственно проекции А1 и А2. Для пере81 хода к одной картинной плоскости точку А2 дополнительно проецируем на плоскость π1 из центра S1. В результате проецирования точки А2 на плоскость π1 получим точку А21, т.е. проекцию точки А2 на плоскость π1. Таким образом, плоской аксонометрической моделью точки А является пара точек А1 – А21. Точка А1 называется главной (первичной) аксонометрической проекцией точки А, точка А21 – вторичной проекцией. Обратим внимание на построение аксонометрической проекции точки В, принадлежащей плоскости проекций π2. Если точка В принадлежит плоскости π2, то проекция точки В1 совпадает с точкой В и, как следствие, главная и вторичная проекции точки В совпадают (В1 ≡ В21). Для решения метрических задач в аксонометрии исходную точку пространства А свяжем с декартовой системой координат Oxyz, расположенной так, что плоскость Oxy принадлежит плоскости π2 (рис. 97). Затем проецируем исходную систему координат совместно с точкой А на аксонометрическую плоскость проекций π1. Обратим внимание, что начало координат (точка О) и координатные оси x и y принадлежат плоскости проекций π2, следовательно, их главные и вторичные проекции совпадают, т.е. О1 ≡ О21, x1 ≡ x21, y1 ≡ y21. Главной аксонометрической проекцией оси z будет некоторая прямая линия z1, вторичная же проекция – z21 совпадает с проекцией О1 начала координат. Построение аксонометрической проекции точки А в аксонометрической проекции декартовой системы координат O1x1y1z1 включает в себя два этапа: построение вторичной проекции А21 точки А с использованием одной из ортогональных проекций; построение главной аксонометрической проекции А1 (восстановление по вторичной проекции) c использованием третьей координаты точки А. Необходимо отметить, что вторичные проекции могут быть горизонтальными, фронтальными и профильными, и их использование зависит от удобства построения каждого конкретного чертежа. Так, например, на рис. 97 используется горизонтальная вторичная проекция. 82 В исходной системе координат определим единичные отрезки по каждой оси – Еx, Ey, Ez. В аксонометрической системе координат проекциями единичных отрезков являются отрезки Еx1, Ey1, Ez1.   8 Zz1 S2 O1 Zz21 Ey1 Ex1 8 S1 Zz Ez   А1 Ez1 O;O2 Ex X x;x 2 А Z Yy1 A21 Xx1 z2 Ey A2 Yy;y2 Рис. 97 Искажения по аксонометрическим осям определяются коэффициентами искажения, равными отношениям длин аксонометрических единичных отрезков к натуральным масштабным единицам по соответствующим осям: Ky = Ey1 / Ey Kz = Ez1 / Ez . Kx = Еx1 / Еx 9.2. Теорема Польке При построении аксонометрических изображений необходимо знать, насколько произвольно могут быть выбраны аксонометрические оси и аксонометрические единичные отрезки. Ответ на этот вопрос дает основная теорема аксонометрии, сформулированная немецким ученым Карлом 83 Польке и соответственно именуемая теоремой Польке: три отрезка прямых произвольной длины, лежащих в одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на координатных осях от начала. Таким образом, на основании этой теоремы можно утверждать, что аксонометрические оси и коэффициенты искажения по осям могут выбираться произвольно, т.е. аксонометрий можно построить бесконечно большое количество. Однако доказано, что для любой произвольной аксонометрической проекции коэффициенты искажения связаны между собой соотношением, называемым основным уравнением аксонометрии: Kx2 + Ky2 + Kz2 = 2 + ctg φ, где φ – угол, характеризующий операцию параллельного проецирования. 9.3. Классификация аксонометрических проекций Классифицировать аксонометрические проекции возможно по двум признакам: по виду операции проецирования, используемой при построении аксонометрической проекции, и по показателям искажения. В зависимости от вида операции проецирования аксонометрии могут быть косоугольные (φ ≠ 90°) и прямоугольные (φ = 90°). В зависимости от соотношения показателей искажения аксонометрии могут быть: триметрические (все показатели искажения различны); диметрические (два показателя искажения равны, но не равны третьему; изометрические (все показатели искажения равны друг другу). 9.4. Стандартные аксонометрические проекции В соответствии с теоремой Польке выбор аксонометрических осей и коэффициентов искажения может быть произвольным. Выполнять чертежи, пользуясь произвольным видом аксонометрии, невозможно. Поэтому ГОСТ 2.317–69 устанавливает пять видов стандартных аксонометрических проекций (рис. 98). 84 а) Прямоугольная диметрия Кx = Kz = 1,0 б) Прямоугольная изометрия Кx = Ky = Kz = 1,0 Ky = 0,5 в) Косоугольная фронтальная изометрия г) Косоугольная горизонтальная изометрия Кx = Ky = Kz = 1,0 Кx = Ky = Kz = 1,0 д) Косоугольная фронтальная диметрия Кx = Kz = 1,0 Рис. 98 85 Ky = 0,5 Из стандартных аксонометрий наиболее часто используются две прямоугольные (изометрическая и диметрическая) и три вида косоугольных (фронтальная изометрическая, горизонтальная изометрическая, фронтальная диметрическая). При построении стандартных аксонометрических проекций используются приведенные коэффициенты искажения, равные, как правило, 1 или 0,5, т.е. большие, чем коэффициенты искажения, рассчитанные по основному уравнению аксонометрии. З а д а ч а. Построить стандартные аксонометрические проекции (прямоугольную изометрию и косоугольную фронтальную диметрию) отрезка АВ, заданного на эпюре Монжа координатами точек А (40; 10; 40) и В (10; 50; 20), рис. 99. Алгоритм решения 1. Строим вторичные аксонометрические проекции точек А и В – точки А21 и В21 в плоскостях xOy по соответствующим координатам с учетом коэффициентов искажения по осям. 2. По вторичным проекциям точек, строим главные аксонометрические проекции А1 и В1, откладывая значения координат точек А и В по оси z. В результате построений получим косоугольную фронтальную диметрию отрезка АВ, представленную на рис. 100, а, и прямоугольную изометрию, представленную на рис. 100, б. Сравнение изображений геометрических объектов на эпюре Монжа и на аксонометрическом чертеже позволяет сделать следующие выводы: изображения геометрических фигур на эпюре Монжа и на аксонометрическом чертеже принципиально ничем не отличаются, так как в основе этих чертежей лежит единая схема метода Рис. 99 86 двух изображений; фигуры на обоих чертежах изображаются двумя проекциями; эпюр Монжа проще и точнее аксонометрического чертежа, так как на эпюре Монжа все единичные отрезки изображаются без искажения, а в аксонометрии – с искажением; б) Прямоугольная изометрия а) Косоугольная фронтальная диметрия Рис. 100 аксонометрический чертеж нагляднее эпюра Монжа, так как проекции координатных плоскостей в аксонометрии являются невырожденными, а на двухкартинном эпюре Монжа изображение координатной плоскости zOy в обеих проекциях вырождается в прямую; алгоритмы графического решения позиционных задач на эпюре Монжа и на аксонометрическом чертеже одинаковы. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Волошинов В.А. Начертательная геометрия. Инженерная графика. Позиционные задачи на проекционных моделях трехмерного пространства : учеб. пособие / В.А. Волошинов. — СПб. : Изд-во СПбГПУ, 2003. — 30 с. 2. Волошинов В.А. Основы проекционного моделирования: учеб. пособие / В.А. Волошинов, М.Д. Половинкин, Л.Н. Шерешкова. — Обнинск, 1989. — 86 с. 87 3. Иванов Г.С. Начертательная геометрия : учеб. / Г.С. Иванов — М. : ГОУ ВПО МГУЛ, 2008. — 338 с. 4. Иванова Н.С. Начертательная геометрия. Инженерная графика. Позиционные задачи на инцидентность геометрических элементов : учеб. пособие / Н.С. Иванова. — СПб. : Изд-во Политехн. ун-та, 2003. — 78 с. 5. Начертательная геометрия. Инженерная графика. Позиционные задачи. Ч.1 : учеб. пособие / Л.Б. Иванова [и др.] — СПб. : Изд-во Политехн. ун-та, 2013. — 86 с. 6. Начертательная геометрия. Инженерная графика. Проекционные модели трехмерного пространства. Моделирование геометрических объектов: учеб. Пособие / Ю.Я. Андрейченко [и др.]. — СПб. : Изд-во Политехн. ун-та, 2008. — 36 с. 7. Фролов С.А. Начертательная геометрия: учебник для втузов / С.А. Фролов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Машиностроение, 1983. — 240 с. 88