Начертательная геометрия. Аксонометрическое проецирование

Министерство образования Республики Беларусь ФИЛИАЛ БЕЛОРУССКОГО НАЦИОНАЛЬНОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Кафедра «Технологии и оборудования разработки месторождений полезных ископаемых» ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС Синькевич Екатерины Валерьевны по дисциплинам «ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА», «ИНЖЕНЕРНАЯ И ГОРНАЯ ГРАФИКА» для студентов заочной формы получения образования Часть I Начертательная геометрия Солигорск, 2017 г. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ…..…………………………………………………………….…..3 УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЕ НА ЧЕРТЕЖЕ.....………………..………….4 Тема 1.1 Введение в предмет начертательной геометрии и образование проекционного чертежа………………………………………………………………5 Тема 1.2 Проекции отрезка прямой линии, положение прямой относительно плоскостей проекций, взаимное положение двух прямых, проецирование прямого угла………………………………………………………………………….14 Тема 1.3 Проекции плоскости, положение плоскости относительно плоскостей проекций, характерные линии плоскости…………………………………….22 Тема 1.4 Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей……31 Тема 1.5 Преобразование чертежа заменой плоскостей проекций, вращением и плоскопараллельным перемещением…………………………………………38 Тема 1.6 Поверхности – образование, изображение на чертеже, сечения плоскостями………………………………………………………………………….46 Тема 1.7 Пересечение поверхностей………………………………………...58 Тема 1.8 Развертки поверхностей……………………………………………66 Тема 1.9 Аксонометрическое проецирование………………………………73 ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………….77 СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ…………………………….78 ВВЕДЕНИЕ Инженерная графика и инженерная и горная графика является первой инженерной дисциплиной, изучаемой студентами технических вузов. Цель курса инженерной графики – дать студентам знания, умения и навыки, которые понадобятся инженеру любой специальности для изложения технических мыслей с помощью чертежа, а также для понимания по чертежу конструкций и принципа действия изображенного технического изделия. Теоретическая часть курса инженерной графики базируется на положениях начертательной геометрии. Отдельные работы по проекционному черчению являются примерами практического применения методов начертательной геометрии. В процессе изучения курса инженерной графики студенты получают представление о деталях, сборочных единицах и их чертежах, а также знакомят с элементами конструирования деталей и элементами технологии их обработки. Инженерная графи3ка – первая ступень, на которой изучаются основные правила выполнения и оформления конструкторской документации. Приобретение устойчивых навыков в выполнении чертежей достигается в результате усвоения всего комплекса технических дисциплин соответствующего профиля, подкрепленного практикой курсового и дипломного проектирования. УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ НА ЧЕРТЕЖЕ 1. Точки, расположенные в пространстве, обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, D, …, L, N… 2. Линии общего положения обозначаются строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, d, … l, n… 3. Линии уровня обозначаются: h – горизонталь, f – фронталь. 4. Поверхности обозначаются прописными буквами греческого алфавита A, B, Г, …, Р, Т… 5. Углы обозначаются строчными буквами греческого алфавита: α, β, γ, δ, φ… 6. Плоскости проекций обозначаются: П1 – горизонтальная плоскость проекций; П2 – фронтальная плоскость проекций; П3 – профильная плоскость проекций. 7. Проекции точек, линий, поверхностей обозначаются теми же буквами, что и оригинал, с добавлением индекса плоскости проекций: A1, B1…, a1, b1… – горизонтальные проекции; A2, B2…, a2, b2… – фронтальные проекции; A3, B3…, a3, b3… – профильные проекции. Тема 1.1 Введение в предмет начертательной геометрии и образование проекционного чертежа 1.1.1 Введение в предмет начертательная геометрия Начертательная геометрия возникла в глубокой древности. Потребность в изображениях пространственных форм на плоскости, развитие изобразительного искусства, техники предопределили появление начертательной геометрии. Ученые всего мира внесли большой вклад в развитие методов построения изображений пространственных форм на плоскости. Это великий греческий геометр Эвклид (III в. до н.э.), римский архитектор Витрувий (I в. до н.э.). Значительные труды по методам изображений были написаны в эпоху Возрождения: итальянскими архитекторами Леоном Батиста Альберти (1404 – 1472 гг.), Леонардо да Винчи (1455 – 1519 гг.), немецким живописцем и архитектором Альбрехтом Дюрером (1471 – 1528 гг.). Математическую трактовку перспективы дал итальянский ученый Гвидо Убальди (1545 – 1607 гг.), а французский архитектор Жерар Дезарг (1593 – 1662 гг.) в своем труде заложил теоретический фундамент перспективы. В России практические приемы построения графических изображений были известны еще в давние времена. Рисунки домов, крепостей в различных древних летописях сохранили для нас достаточно совершенные для своего времени примеры изображений. Работы таких великих русских мастеров, как иконописец Рублев, механик-самоучка И.П. Кулибин, зодчие Д.В. Ухтомский, В.И. Баженов, М.Ф. Казаков и многие другие, являются образцами правильных проекционных изображений. Таким образом, методы построения графических изображений постоянно развивались в различных странах независимо друг от друга, но только французский инженер и ученый Гаспар Монж (1746 – 1818 гг.) смог сформулировать главные элементы теории построения графических изображений, используя прямоугольное проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости. В 1798 году Гаспар Монж опубликовал свой главный научный труд «Начертательная геометрия». В России курс начертательной геометрии впервые стал изучаться в 1810 году. Первым русским профессором начертательной геометрии и крупным ученым в этой области стал Я.А. Севастьянов (1796 – 1849 гг.). Значительный вклад в развитие начертательной геометрии внесли русские ученые: Н.И. Макаров, В.И. Курдюмов, Н.А. Рынин, А.И. Добряков, Н.Ф. Четверухин и многие другие. Позднее продолжили свои исследования такие ученые, как В.О. Гордон, С.А. Фролов, А.В. Бубенников, Н.Н. Крылов и др. 1.1.2 Метод проецирования. Центральное и параллельное проецирование. Основные свойства. Прямоугольное (ортогональное) проецирование Для отображения геометрической фигуры на чертеже применяют операцию проецирования. Она заключается в том, что через точку пространства проводят проецирующую прямую до пересечения с плоскостью проекций. Точку пересечения проецирующей прямой с плоскостью проекций называют проекцией данной точки на данную плоскость проекций. Различают следующие методы проецирования: центральное, параллельное (косоугольное и ортогональное), перспективное, аксонометрическое и др. Центральное и перспективное проецирование нашло широкое применение в архитектуре и строительстве, ортогональное (прямоугольное) и аксонометрическое – в машино- и приборостроении. Чертежи, построенные по методу проецирования, называются проекционными. Центральное проецирование Пусть в пространстве задана плоскость α, которую будем называть плоскостью проекций. Выберем какую-либо точку S, не лежащую на плоскости проекций. Эту точку будем называть центром проецирования. Заданные точки А, В, С пространства будем проецировать на плоскость проекций α. Для этого через точки А, В, С из центра проекций S проведем прямые. Эти прямые будет называться проецирующей прямой. Затем находим точку пересечения А1, В1, С1 проецирующей прямой SA, SB, SC с плоскостью проекций α. Точка А1, В1, С1 будет называться проекцией точек А, В, С (рисунок 1). Рисунок 1 – Центральное проецирование Очевидно, что каждой точке пространства будет однозначно соответствовать своя собственная проекция. Однако на рисунке 2 мы видим, что проекцией точки А и точки В является точка пересечения их общей проецирующей прямой с плоскостью проекций. Рисунок 2 – Центральное проецирование Следовательно, такое изображение не является взаимно однозначным, и судить о положении точек А и В в пространстве по одной проекции нельзя, потому что одним из требований, предъявляемых к чертежам, является точное определение положения пространственного объекта по его изображению, по его проекциям. Параллельное проецирование Если центр проецирования S∞ удален в бесконечность (рисунок 3), то проецирующие лучи станут параллельны друг другу. Такое проецирование называется параллельным. Рисунок 3 – Параллельное проецирование Проецирующие лучи, исходящие из бесконечного далека, могут быть наклонены под любым углом к плоскости проекций. При заданном аппарате проецирования можно построить параллельную проекцию любой точки пространства. Для этого через заданные точки А и В проведем проецирующие прямые, параллельную направлению s, и найдем точки А1, В1 – точки пересечения этой прямой с плоскостью проекций П1. Через точки А и В параллельно заданному направлению в пространстве можно провести только одну прямую, следовательно, каждая точка пространства имеет одну и только одну параллельную проекцию. Точки А и В принадлежат одному и тому же проецирующему лучу, параллельному направлению s. Поэтому проекции этих точек В1 и А1 совпадают. Отсюда следует, что по одной заданной проекции положение в пространстве точек В и А определить невозможно. Свойства центрального и параллельного проецирования Параллельное и центральное проецирование обладает следующими основными свойствами: 1. Общие свойства 1) проекция точки на плоскость есть точка; 2) проекция прямой в общем случае является прямая (рисунок 4); 3) если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции прямой (рисунок 5); Рисунок 4 Рисунок 5 Рисунок 6 4) точка пересечения прямых проецируется в точку пересечения их проекций (рисунок 6). Свойства характерные только для параллельного проецирования: 1) отношение отрезков прямой равно отношению их проекций (рисунок 5); Середина отрезка прямой проецируется в середину его проекции. 2) проекцией прямой, параллельной направлению проецирования, является точка (рисунок 7), она называется вырожденной проекцией; Рисунок 7 Рисунок 8 3) если отрезок прямой параллелен плоскости проекции, то его проекция на эту плоскость равна натуральной величине отрезка (рисунок 8); 4) прямая может быть проекцией не только прямой, но и любой кривой, если последняя находится в проецирующей плоскости (рисунок 9); Рисунок 9 Рисунок 10 5) проекции параллельных прямых параллельны (рисунок 10); АпВп // СпDп 6) отношение отрезков параллельных прямых равно отношению их проекций (рисунок 11). Рисунок 11 – Отношение отрезков параллельных прямых Рассмотренные свойства (инварианты) параллельного проецирования сохраняются при любом направлении проецирования. Ортогональное (прямоугольное) проецирование Ортогональное (прямоугольное) проецирование является частным случаем параллельного проецирования, при котором направление проецирования s выбирается перпендикулярным плоскости проекций П1, т.е. s ⊥ П1 (рисунок 12). Такое проецирование является наиболее простым и удобным из всех других существующих видов проецирования. Оно обеспечивает простоту определения проекций геометрических объектов, а также позволяет сохранить на проекциях их форму и размеры. Рисунок 12 – Изображение ортогональной (прямоугольной) проекции Прямоугольное проецирование имеет те же недостатки, что и центральное и параллельное проецирование: одна прямоугольная проекция не дает возможности определить положение геометрического объекта в пространстве. Для того чтобы получить так называемый «обратимый чертеж», который позволит определить любые геометрические параметры объекта, надо иметь хотя бы две связанные между собой прямоугольные проекции. 1.1.3 Точка в системе двух и трех плоскостей проекций. Ортогональные проекции точки и система прямоугольных координат ( система координат Декарта) Проекцией точки называется точка пересечения проекционного луча, проходящего через точку, с плоскостью проекций. Одна проекция точки не определяет положение точки в пространстве. Для получения обратимого чертежа ортогональное проецирование осуществляется на две (и более) перпендикулярные плоскости проекций (рисунок 13), которые затем совмещаются в одну (метод Монжа). Рисунок 13 – Изображение ортогонального (прямоугольного) проецирования на плоскостях проекций П1 – горизонтальная плоскость проекций; П2 – фронтальная плоскость проекций; П3 – профильная плоскость проекций. Линии пересечения плоскостей называют осями проекций (координатными): ОХ – ось абсцисс; ОУ – ось ординат; ОZ – ось аппликат и рассматривают как систему прямоугольных декартовых координат с центром О. Положение точки в пространстве определяется тремя координатами: А (X, Y, Z), например А(10, 45, 39). Для получения прямоугольных проекций точки А необходимо из этой точки опустить перпендикуляры на плоскости проекций. Основания перпендикуляров и будут являться проекциями данной точки: А1 – горизонтальная проекция точки; А2 – фронтальная проекция точки; А3 – профильная проекция точки. Для получения более удобного чертежа необходимо совместить плоскости проекций П1 и П3 вместе с изображением на них данной точки А с плоскостью проекций П2 поворотом их вокруг осей ОХ и ОZ в направлении, указанном стрелкой (рисунок 14). Рисунок 14 – Совмещение плоскостей проекций П1 и П3 Из чертежа видно, что горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на одном перпендикуляре к оси ОХ, а фронтальная и профильная проекции – на одном перпендикуляре к оси ОZ. Прямая, которая соединяет на чертеже две проекции одной и той же точки, называется линией связи. Линия связи А2А1 – всегда перпендикулярна оси ОХ; линия связи А2А3 – всегда перпендикулярна оси ОZ. Расстояния от заданной точки А до плоскостей проекций определяются ее координатами: АА3 – абсцисса точки А (X); АА2 – ордината точки А (Y); АА1 – аппликата точки А (Z). Каждая проекция точки определяется двумя координатами: А1 (X, У); А2 (X, Z); А3 (У, Z), а две любые проекции определяются тремя координатами, следовательно, для задания точки достаточно двух проекций. Если все три координаты точки отличны от нуля, точка находится в пространстве (рисунок 14). Если одна из координат равна нулю, точка находится в плоскости проекций, например, точка В лежит в плоскости П1, поэтому координата z = 0. Если точка лежит на оси, то нулю равны две ее координаты (точка С лежит на оси ОZ). Координаты x и y равны 0. Если все три координаты равны нулю, точка совпадает с началом ко-ординат. По двум известным проекциям всегда можно построить третью (рисунок 15). Например, чтобы построить профильную проекцию А3 точки А по данным горизонтальной А1 и фронтальной А2 проекциям, необходимо: 1) из точки А1 провести прямую, перпендикулярную ОУ, до пересечения с ней в точке Ау1; 2) из точки Ау1 провести прямую под углом 45° к оси проекций ОУ1 до пересечения с осью ОУ3; 3) из полученной точки Ау3 восстановить перпендикуляр к оси ОУ3; 4) из фронтальной проекции А2 провести прямую, перпендикулярную оси ОZ, и продолжить ее до пересечения с построенной ранее прямой из точки Ау3. На пересечении этих прямых находится искомая проекция А3 точки А. Рисунок 15 – Построение третьей проекции по двум известным Часто для решения задач бывает достаточно иметь на чертеже только две прямоугольные проекции предмета. В этом случае для получения чертежа берут две взаимно перпендикулярные плоскости проекций – горизонтальную П1 и фронтальную П2. Такой метод был изложен Г. Монжем, поэтому иногда называется методом Монжа. Пересекаясь между собой, плоскости П1 и П2 делят пространство на четыре части, которые называются четвертями. Их нумеруют в порядке, указанном на рисунок 16. Рисунок 16 – Изображение четвертей Ось проекций делит каждую из плоскостей проекций на две полу-плоскости (полы): плоскость проекций П1 – на переднюю и заднюю полы, плоскость П2 – на верхнюю и нижнюю полы. Фронтальная проекция точки А, находящейся в первой четверти, окажется над осью ОХ, горизонтальная – под осью ОХ. Фронтальная проекция точки, находящейся в третьей четверти, окажется под осью ОХ, а горизонтальная – над осью ОХ, фронтальная и горизонтальная проекции точки, находящейся в четвертой четверти, – под осью ОХ (рисунок 16). Три плоскости проекций делят пространство на восемь октантов. Нумера-ция октантов дана на рисунке 17. Рисунок 17 – Нумерация октантов Совмещая плоскости проекций так же, как было показано ранее, можно получить чертеж точки, расположенной в любом из восьми октантов. Считают, что наблюдатель, рассматривающий предмет, находится в I-ом октанте. Приняв для отсчета координат точки систему, показанную на рисунке 9, составляют таблицу знаков координат во всех восьми октантах (рисунок 9). Любая точка пространства А, заданная координатами, будет обозначаться: А (X, У, Z). Тема 1.2 Проекции отрезка прямой линии, положение прямой относительно плоскостей проекций, взаимное положение двух прямых, проецирование прямого угла 1.2.1 Прямая. Положение прямой относительно плоскостей проекций (прямые общего и частного положений). Определение натуральной величины отрезка прямой. Точка на прямой. Следы прямой Положение прямой линии в пространстве определяется двумя точками или точкой и направлением. Прямая по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения. Прямая общего положения Прямая общего положения не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций. На эпюре проекции прямой общего положения составляют с осями проекций произвольные углы, поэтому величина каждой проекции меньше истинной величины самой прямой (рисунок 18). Рисунок 18 – Изображение прямой общего положения Прямые частного положения Прямые, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций, называют прямыми частного положения. Прямые частного положения делятся на прямые уровня и проецирующие прямые. Прямая, параллельная какой-либо плоскости проекций, а с двумя другими плоскостями образующая произвольные углы, называется прямой уровня. Различают три линии уровня: 1) прямую, параллельную горизонтальной плоскости проекций; называют горизонтальной или горизонталью h (рисунок 19, 20); 2) прямую, параллельную фронтальной плоскости проекций; называют фронтальной или фронталью f (рисунок 19, 20); 3) прямую, параллельную профильной плоскости проекций; называют профильной р (рисунок 19, 20). Рисунок 19 – Изображение линий уровня Рисунок 20 – Изображение линий уровня Каждая линия уровня будет проецироваться в натуральную величину на ту плоскость проекций, которой она параллельна, углы наклона (α, β, γ), которые эта прямая образует с двумя другими плоскостями проекций, также будут проецироваться на эту плоскость без искажения. Прямые уровня могут принадлежать плоскостям проекций. Такие прямые называют нулевой горизонталью и нулевой фронталью. Прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, а двум другим параллельные, называются проецирующими: 1) горизонтально-проецирующая – прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (рисунок 21); 2) фронтально-проецирующая – прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (рисунок 22); 3) профильно-проецирующая – прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций (рисунок 23). Рисунок 21 Рисунок 22 Рисунок 23 На рисунках 21-23 видно, что проекции прямых, перпендикулярных плоскостям проекций, на этих плоскостях представляют собой точки, а на тех плоскостях, которым прямые параллельны, проекции прямых будут перпендикулярны осям и равны по величине самим прямым. Определение натуральной величины отрезка и угла ее наклона прямой к плоскостям проекций Так как прямая общего положения проецируется на плоскости проекций с искажением, то задача определения натуральной величины (НВ) прямой по её проекциям является важной. С целью определения НВ прямой разработан метод прямоугольного треугольника, сущность которого понятна из пространственного чертежа (рисунок 24а). Для того, чтобы определить натуральную величину прямой по её проекциям, необходимо на одной из её проекций (на любой) построить прямоугольный треугольник, одним катетом которого является сама проекция, а другим катетом – разность недостающих координат концов отрезка прямой. Тогда гипотенуза треугольника будет являться НВ прямой (рисунок 24б). Рисунок 24 – Определение натуральной величины отрезка Недостающей координатой здесь названа та координата, которая не участвует в построении той или иной проекции прямой. Так, например, горизонтальная проекция прямой строится по координатам X и Y её концов. Координата Z в построениях не участвует и называется недостающей координатой. Таким образом, при построении прямоугольного треугольника на горизонтальной проекции прямой на катете откладывают разность аппликат, а при построении на фронтальной проекции – разность ординат. При определении НВ прямой методом прямоугольного треугольника одновременно можно определить углы наклона прямой к плоскостям проекций (углы αο и βο). Они определятся как углы между гипотенузой и соответствующей проекцией прямой. Точка на прямой. Следы прямой На рисунке 25 дан пример деления отрезка прямой линии в некотором заданном отношении. Рисунок 25 – Деление отрезка прямой линии в некотором заданном отношении Отрезок CD разделен в отношении 2:5. Из точки С’ проведена вспомогательная прямая, на которой отложено семь (2+5) отрезков произвольной длины, но равных между собой. Проведя отрезок D’7 и параллельно ему через точку 2 прямую, получает точку К’, причем С’K’:K’D’=2:5. Затем находим точку K”. Точка К делит отрезок CD в отношении 2:5. Рисунок 26 – Следы прямой Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следами прямой. В точках следов прямая переходит из одного октанта в другой. Различают горизонтальный, фронтальный и профильный следы прямой и их соответствующие проекции. На рисунке 26 показаны пространственные чертежи прямых общего и частного положения и образование их следов. Прямые, параллельные плоскостям проекций, имеют только два следа, а прямые, перпендикулярные плоскостям проекций – один след, совпадающий с той проекцией прямой, на которой она проецируется в точку. Из пространственных чертежей следует методика построения проекций следов прямой на эпюре (рисунок 27). Рисунок 27 – Построение следов прямой 1.2.2 Взаимное положение прямых (параллельные, пресекающиеся, скрещивающиеся). Конкурирующие точки Прямые в пространстве могут занимать различное взаимное положение. Они могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися (рисунок 28). Рисунок 28 – Расположение прямых в пространстве (три случая) Если прямые в пространстве пересекаются, то на эпюре их одноименные проекции пересекаются, и точки пересечения проекций этих прямых лежат на одной линии связи (рисунок 29). Рисунок 29 – Пересекающиеся прямые Если прямые в пространстве параллельны, то на эпюре их одноименные проекции параллельны. На рисунке 30 изображены прямые общего положения а и b, их горизонтальные и фронтальные проекции параллельны между собой. Можно утверждать, что и в пространстве эти прямые параллельны. Рисунок 30 – Параллельные прямые Если прямые в пространстве не пересекаются и не параллельны между собой, то такие прямые называются скрещивающимися. На эпюре точки пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых не лежат на одной линии связи. Рисунок 31 – Скрещивающиеся прямые Эти точки не являются общими для прямых (рисунок 31). Точка пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых является на эпюре проекцией двух конкурирующих точек, принадлежащих заданным прямым. Конкурирующие точки Конкурирующие точки используются для определения видимости геометрических фигур на плоскости проекций. Где видимые объекты отображают сплошной основной линией, не видимые – тонкой пунктирной линией. Конкурирующие точки – это точки, лежащие на одном перпендикуляр к плоскости проекций. На рисунке 32а приведен комплексный чертеж точек А и В. Они расположены так, что проекции их совпадают на плоскости П1 [А1 = В1]. Такие точки называются горизонтально конкурирующими. Если проекции точек A и В совпадают на плоскости П2 (рисунок 32б), они называются фронтально конкурирующими. И если проекции точек А и В совпадают на плоскости П3 [А3 = B3] (рисунок 32в), они называются профильно конкурирующими. Рисунок 32 – Определение конкурирующих точек По конкурирующим точкам определяют видимость на чертеже. У горизонтально конкурирующих точек будет видима та, у которой больше высота, у фронтально конкурирующих – та, у которой больше глубина, и у профильно конкурирующих – та, у которой больше широта. На эпюре (рисунок 33) горизонтальные проекции конкурирующих точек 11 и 21 совпадают, но точка 1 принадлежит прямой АВ, а точка 2 – прямой СD. Рисунок 33 – Определение конкурирующих точек Из чертежа видно, что расстояния от плоскости П1 до точек 1 и 2 различны. Фронтальная проекция перпендикуляра, обозначенная стрелкой, позволяет определить, какая из точек расположена ниже. В данном примере точка 2, лежащая на прямой CD, расположена ниже, чем точка 1, лежащая на прямой АВ. Следовательно, прямая CD проходит под прямой АВ. Точке пересечения фронтальных проекций соответствуют точки 3 и 4, расположенные на прямых АВ и CD. Горизонтальная проекция перпендикуляра, отмеченная стрелкой, позволяет определить, какая из этих точек ближе к наблюдателю. Из чертежа видно, что точка 3 расположена ближе к наблюдателю, чем точка 4. Поэтому прямая АВ проходит перед CD. Тема 1.3 Проекции плоскости, положение плоскости относительно плоскостей проекций, характерные линии плоскости 1.3.1 Задание плоскости на чертеже различными способами. Следы плоскости. Характерные прямые плоскости – линии уровня и линии наибольшего наклона плоскости Задание плоскости на чертеже различными способами Что такое плоскость? Из геометрии известно, что плоскость представляет собой бесконечную поверхность, которая на всем своем протяжении имеет одинаковое направление. Примером получения плоскости в пространстве может служить параллельное перемещение одной прямой по второй неподвижной прямой. Простейшими плоскостями считаются плоские геометрические фигуры (треугольник, круг и т.п.) Плоскость на чертеже может быть задана (рисунок 34): – проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рисунок 34, 1); – проекциями отрезка прямой и точкой, не лежащей на прямой (рисунок 34, 2); – проекциями двух пересекающихся отрезков прямых (рисунок 34, 3); – проекциями двух отрезков параллельных прямых (рисунок 34, 4); – проекциями плоской фигуры (треугольника) (рисунок 34, 5); – следами (рисунок 34, 6). Рисунок 34 – Способы задания плоскости на чертеже Соединяя проекции точек на первых четырех рисунках, можно перейти к изображению в виде треугольника или других плоских фигур. Следы плоскости Плоскость Ʃ (рисунок 35,а) образует с плоскостями проекций П2 и П1 трехгранный угол, вершина которого находится в пересечении следов. Две грани этого угла совпадают с плоскостями проекций и находятся между осью х и следами плоскости (Ʃ1 и Ʃ2), а третий угол – между следами Ʃ1 и Ʃ2, – всегда меньше суммы двух других углов. Это значит, что на чертеже угол, заключенный между следами Ʃ1 и Ʃ2 (рисунок 35, б), всегда больше угла, заключенного между этими следами в пространстве (рисунок 35, а). Рисунок 35 – Определение следа прямой На рисунке 35 показаны горизонтальный Ʃ1 и фронтальный Ʃ2 следы. Точка пересечения следов, расположенная на оси х, называется точкой схода следов (Ʃх). Так как след плоскости является прямой, лежащей в плоскости проекций, то горизонтальная проекция фронтального следа Ʃ2 будет находиться на оси х. Здесь же будет находиться и фронтальная проекция Ʃ1 горизонтального следа плоскости Ʃ. Обычно эти проекции следов не используются при решении задач и поэтому их можно не изображать и не обозначать. Целесообразно следы плоскости обозначить на чертежах по наименованию самих плоскостей проекций (П1, П2) или по обозначению их индексов, например, Ʃп1 и Ʃп2, или же Ʃ1 и Ʃ2 (рисунок 35). Такое обозначение более удобно при решении задач. Следует иметь в виду, что со следами плоскости совпадают (сливаются) их проекции. Так, с горизонтальным следом плоскости П1 совпадает горизонтальная проекция этого следа, а с фронтальным следом плоскости П2 совпадает фронтальная проекция этого следа. Характерные прямые плоскости – линии уровня и линии наибольшего наклона плоскости К главным линиям (характерным прямым) плоскости относятся линии уровня и линии наибольшего наклона (рисунок 36). Рисунок 36 – Классификация главных линий плоскости Горизонталью h (h1 и h2) плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (рисунок 37). Так как горизонталь плоскости параллельна горизонтальной плоскости проекций П1, то фронтальная ее проекция будет параллельна оси Х. Для построения проекций горизонтали проводим через точку А2 прямую, параллельную оси Х. Это будет фронтальная проекция горизонтали (h2). Горизонтальную проекцию горизонтали (h1) находим по линии связи. Рисунок 37 – Горизонталь плоскости Фронталью плоскости f (f1 и f2) называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция фронтали на чертеже параллельна оси Х, а фронтальную проекцию фронтали находим при помощи линии связи (рисунок 38). Рисунок 38 – Фронталь плоскости Профильной прямой р (р1, р2, р3) называется прямая линия, принадлежащая плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (рисунок 39). Рисунок 39 – Профильная прямая В этом случае фронтальная и горизонтальная проекции профильной прямой р (р1 и р2) параллельны П3, а профильная проекция р3 равняется натуральной величиной. Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций (ЛНН) называются линии, проведенные в плоскости и определяющие наибольший угол между плоскостью и плоскостью проекций, т.е. величину образованного двугранного угла. Различают линию наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций H (горизонтальная плоскость) – ЛНН(Н), к плоскости проекций V (фронтальная плоскость) – ЛНН(V) и к плоскости проекций W (профильная плоскость) – ЛНН(W). Рассмотрим подробнее первые две линии. Линия наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций H проводится перпендикулярно к горизонтальному следу плоскости или к горизонтали плоскости. Линия наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций V проводится перпендикулярно к фронтальному следу плоскости или к фронтали (рисунок 40). Рисунок 40 – Построение проекций линий наибольшего наклона Принцип методики построения проекций ЛНН основывается на теореме прямого угла: если один из катетов прямого угла параллелен какой-либо плоскости, то на эту плоскость прямой угол проецируется в натуральную величину. 1.3.2 Положение плоскости относительно плоскостей проекций (плоскости общего и частного положения). Точка и прямая в плоскости (построение их недостающих проекций) Положение плоскости относительно плоскостей проекций (плоскости общего и частного положений) Плоскость в пространстве может занимать относительно плоскостей проекций П1, П2, П3 следующие положения: – наклонно ко всем плоскостям проекций – плоскость общего положения (рисунок 41); Рисунок 41 – Плоскость общего положения – перпендикулярно к одной из плоскостей проекций – проецирующая плоскость; – перпендикулярно одновременно к двум плоскостям проекций, т.е. параллельно третьей плоскости проекций – плоскость уровня. Проецирующие плоскости: горизонтально-проецирующая, фронтально-проецирующая, профильно-проецирующая. Плоскость перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально проецирующей плоскостью. Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию, которая одновременно является её горизонтальным следом. Горизонтальные проекции всех точек любых фигур в этой плоскости совпадают с горизонтальным следом (рисунок 42). Рисунок 42 – Горизонтально проецирующая плоскость Плоскость перпендикулярная фронтальной плоскости проекций – фронтально-проецирующая плоскость. Фронтальной проекцией плоскости является прямая линия, совпадающая с фронтальным следом следом (рисунок 43). Рисунок 43 – Фронтально проецирующая плоскость Профильно-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций, задается профильным следом плоскости (рисунок 44). Рисунок 44 – Профильно-проецирующая плоскость Плоскости уровня: горизонтальная плоскость – параллельная П1, фронтальная – параллельная П2 и профильная – параллельная П3. Эти плоскости уровня перпендикулярны одновременно двум другим плоскостям проекций. Горизонтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций и перпендикулярна одновременно фронтальной и профильной плоскостям проекций. Горизонтальная плоскость, заданная треугольником АВС (рисунок 45), изображена проекциями А1В1С1, А2В2С2 и А3В3С3. При этом фронтальная и профильная проекции изображаются отрезками прямых линий, а горизонтальная – треугольником, который равняется истинной величине треугольника АВС, т.к. он в пространстве занимает параллельное положение относительно плоскости проекций П1. Рисунок 45 – Горизонтальная плоскость уровня Фронтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций и перпендикулярна одновременно горизонтальной и профильной плоскостям проекций. Фронтальная плоскость, заданная треугольником АВС (рисунок 46), изображена проекциями А1В1С1, А2В2С2 и А3В3С3. При этом горизонтальная и профильная проекции изображаются отрезками прямых линий, а фронтальная – треугольником, который равняется истинной величине треугольника АВС, т.к. он в пространстве занимает параллельное положение относительно плоскости проекций П2. Рисунок 46 – Фронтальная плоскость уровня Профильная плоскость уровня – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций и перпендикулярна одновременно горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций. Профильная плоскость, заданная треугольником АВС (рисунок 47), изображена проекциями А1В1С1, А2В2С2 и А3В3С3. При этом горизонтальная и фронтальная проекции изображаются отрезками прямых линий, а профильная – треугольником, который равняется истинной величине треугольника АВС, т.к. он в пространстве занимает параллельное положение относительно плоскости проекций П3. Рисунок 47 – Профильная плоскость уровня Точка и прямая в плоскости (построение их недостающих проекций) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, находящиеся в этой плоскости, или если она проходит через одну точку плоскости и параллельна прямой, принадлежащей данной плоскости (рисунок 48). Рисунок 48 – Точка и прямая в плоскости Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, находящейся в этой плоскости. Тема 1.4 Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей Прямая линия относительно плоскости может занимать следующие положения: находиться в плоскости, быть параллельной плоскости и пересекаться с плоскостью. 1.4.1 Параллельность прямой и плоскости, двух плоскостей Прямая линия параллельная плоскости Из геометрии известно, что прямая линия параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, находящейся в этой плоскости. На рисунке 49 показано построение прямой параллельной заданной плоскости треугольника АВС и проходящей через точку К. Через заданную точку в пространстве можно провести бесчисленное множество прямых линий параллельных заданной плоскости. Для получения единственного решения требуется какое-нибудь дополнительное условие. Например, искомая прямая должна быть параллельна плоскости треугольника АВС и параллельна плоскости проекций П1 (дополнительное условие). Рисунок 49 – Прямая параллельная заданной плоскости Для решения задачи в плоскости треугольника АВС проведена одна из горизонталей и затем через точку К проведена прямая, параллельная этой горизонтали. Взаимно параллельные плоскости Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Рассмотрим параллельность плоскостей на примере. Пусть дается точка К, через которую надо провести плоскость, параллельную некоторой плоскости, заданной пересекающимися прямыми AF и BF (рисунок 50). Очевидно, если через точку К провести прямые СК и DK, соответственно параллельные прямым AF и BF, то плоскость, определяемая прямыми СК и DK, окажется параллельной заданной плоскости. Рисунок 50 – Взаимно параллельные плоскости На рисунке 51 изображены две параллельные между собой плоскости — одна из них задана треугольником АВС, другая – параллельными прямыми DE и FG. Чем же устанавливается параллельность этих плоскостей? Тем, что в плоскости, заданной прямыми DE и FG, оказалось возможным провести две пересекающиеся прямые KN и КМ, соответственно параллельные пересекающимся прямым АС и ВС другой плоскости. Рисунок 51 – Взаимно параллельные плоскости 1.4.2 Перпендикулярность прямой и плоскости: позиционные и метрические задачи на использование построения перпендикуляра к плоскости Из стереометрии известна теорема об условии перпендикулярности прямой к плоскости: прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости. Известно также, что прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в этой плоскости, в том числе к её линиям уровня. Взаимно перпендикулярные плоскости Две плоскости взаимно перпендикулярны: – если одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости; – если одна из плоскостей проходит перпендикулярно прямой, расположенной в другой плоскости. Для получения единственного решения требуются дополнительные условия. На рисунке 52 показано построение плоскости, перпендикулярной к плоскости, заданной треугольником CDE. Дополнительным условием здесь служит то, что искомая плоскость должна проходить через прямую АВ. Следовательно, искомая плоскость определяется прямой АВ и перпендикуляром к плоскости треугольника. Для проведения этого перпендикуляра к плоскости CDE в ней взяты фронталь CN и горизонталь СМ: если B"F"⊥C"N" и B'F'⊥C'M', то BF⊥ плоскости CDE. Рисунок 52 – Взаимно перпендикулярные плоскости Образованная пересекающимися прямыми АВ и BF плоскость перпендикулярна к плоскости CDE, так как проходит через перпендикуляр к этой плоскости. 1.4.3 Пересечение прямой и плоскости, двух плоскостей в частных случаях и в общем случаи Прямая линия, пересекающаяся с плоскостью частного положения Точку пересечения (встречи) прямой линии с плоскостью частного положения определяют непосредственно из чертежа, без дополнительных построений, так как известно, что следы плоскостей частного положения обладают собирательным свойством, и любая точка, находящаяся в плоскости, обязательно проецируется на один из следов плоскости; вторая проекция точки находится по линии связи. На рисунке 53 изображена плоскость частного положения, заданная треугольником cde и фронтально-проецирующая прямая ab, пересекающая плоскость в точке k. Фронтальная проекция точки – k/ совпадает с точками a/ и b /. Для построения горизонтальной проекции точки пересечения проведем через точку k в плоскости cde прямую (например, 1-2). Построим ее фронтальную проекцию, а затем горизонтальную. Точка k является точкой пересечения прямых ab и 1-2. То есть точка k одновременно принадлежит прямой ab и плоскости треугольника и, следовательно, является точкой их пересечения. Рисунок 53 – Пересечение прямой с плоскостью частного положения Пересечение прямой с плоскостью общего положения На рисунке 54 дано построение на чертеже проекций точки пересечения прямой, заданной проекциями d'e', de, с плоскостью общего положения, заданной проекциями a'b'c', abc треугольной пластины. Рисунок 54 – Пересечение прямой с плоскостью общего положения Проекции точки пересечения строят в следующем порядке: – через прямую de проводят вспомогательную плоскость, например фронтально-проецирующую Р; – строят проекции 1'2', 12 линии пересечения этой плоскости с плоскостью треугольника, заданной проекциями a'b'с', abc; при этом по фронтальным проекциям точек 1' и 2' находят горизонтальные проекции точек 1 и 2; – находят проекции т', т точки пересечения заданной прямой с плоскостью треугольника. Для этого в пересечении проекций de и 12 отмечают горизонтальную проекцию т искомой точки и с помощью линии связи строят ее фронтальную проекцию т' на проекции d'e' прямой. Прямые de и 12 пересекаются, так как принадлежат одной плоскости Р; определяют видимые участки прямой de. Пересечение плоскости частного положения с плоскостью общего положения Пусть нам дана плоскость частного положения a и плоскость общего положения, заданная треугольником АВС. Требуется построить линию пересечения плоскости a с плоскостью АВС. Рассмотрим сначала пространственную модель (рисунок 55), на которой даны плоскость a, плоскость АВС и плоскость проекций П1. Спроецируем плоскости a и ABC на П1. Плоскость общего положения АВС проецируется на плоскость П1 в виде треугольника А1В1С1, а плоскость частного положения a – в виде прямой a1. На плоскости П1 прямая a1 и АВС пересекаются в точках K1 (K1 принадлежит А1В1) и N1 (N1 принадлежит А1C1). Если через точки K1 и N1 провести проецирующие прямые до пересечения с плоскостью АВС, то получатся две точки K (K принадлежит АВ) и N (N принадлежит АC). Соединив точки K и N, мы получим прямую KN. Прямая KN – линия пересечения плоскости a с плоскостью АВС. Рисунок 55 – Пересечение плоскостей Рисунок 56 – Пересечение плоскостей общего и частного положения общего и частного положения Теперь обратимся к комплексному чертежу (рисунок 56). K1 принадлежит a1, следовательно K принадлежит a. K1 принадлежит A1B1, а K2 принадлежит A2B2, следовательно K принадлежит AB. Из этих утверждений следует, что K – точка пересечения прямой АВ с плоскостью a. Возьмем точку N и проделаем те же действия. Теперь рассмотрим ABС (заданный пересекающимися прямыми АВ, АС). КN – линия пересечения плоскости ABС с плоскостью a. Пересечение двух плоскостей общего положения Линия пересечения двух плоскостей – это прямая, принадлежащая как одной, так и другой плоскости. Но положение любой прямой в пространстве определяется положением двух ее точек. Поэтому для построения линии пересечения двух плоскостей надо найти две точки, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям. Итак, даны две плоскости, заданные треугольниками АВС и DEF. Метод сводится к тому, что бы поочередно найти две точки пересечения двух ребер одного треугольника с плоскостью другого. Рассмотрим поэтапное построение линии пересечения треугольников АВС и DEF (рисунок 57): – заключим прямую ac во фронтально-проецирующую плоскость и перенесем по линиям связи на горизонтальную проекцию точки пересечения этой плоскости с прямыми de и df – точки 1 и 2; – на горизонтальной проекции соединим проекции точек 1 и 2 и найдем точку пересечения получившейся линии с горизонтальной проекцией той прямой, которую мы заключали во фронтально-проецирующую плоскость, в этом случае – с прямой AC. Мы получили точку M. – заключим прямую BС во фронтально-проецирующую плоскость и перенесем по линиям связи на горизонтальную проекцию точки пересечения этой плоскости с прямыми EF и DF – точки 3 и 4. Рисунок 57 – Пересечение двух плоскостей общего положения Соединим их горизонтальные проекции и получим точку пересечения этой прямой с прямой ВС – точку N.  – соединив точки M и N мы получим линию пересечения плоскостей заданных треугольниками. – осталось лишь определить видимость ребер треугольников. Это делается методом конкурирующих точек. Тема 1.5 Преобразование чертежа заменой плоскостей проекций, вращением и плоскопараллельным перемещением Решение многих пространственных задач (позиционных и метрических) на эпюре часто усложняется из-за того, что заданные геометрические объекты (оригиналы) расположены произвольно относительно плоскостей проекций и, следовательно, проецируются на эти плоскости в искажённом виде. Задание на эпюре прямых и плоскостей частного положения значительно упрощает решение задач и делает их выполнимым при помощи простейших графических построений. 1.5.1 Метод замены плоскостей проекций (замена одной и двух плоскостей проекций, четыре основные задачи преобразования чертежа) При решении задач на определение истинной (натуральной) величины отрезка прямой линии, плоской фигуры или наклона их к плоскостям проекций, а также на определение расстояний между точкой и прямой или плоской фигурой значительно упрощается, когда геометрические фигуры занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Для этого существуют различные способы преобразования комплексного чертежа. Каждый из них основан на одном из следующих принципов: 1. На изменении положения плоскостей проекций относительно неподвижных геометрических фигур; 2. На изменении положения заданных геометрических фигур относительно неподвижных плоскостей проекций. Рассмотрим некоторые из них. Сущность способа состоит в том, что заданные геометрические фигуры неподвижны в заданной системе плоскостей проекций (П1 , П2). Последовательно вводятся новые плоскости проекций (П4, П5), относительно которых геометрические фигуры займут частное положение. Новая плоскость проекций выбирается с таким расчетом, чтобы она была перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций. Большинство задач решается с применением одного или двух последовательных преобразований исходной системы плоскостей проекций. Одновременно можно заменять только одну плоскость проекций П1 (или П2), другая плоскость П2 (или П1) должна оставаться неизменной. На рисунке 58 представлено наглядное изображение метода замены плоскостей проекций. Фронтальная плоскость П2 заменяется на новую фронтальную плоскость П4. Новые проекции точки А (А1 А4), при этом, как видно из рисунка 58, высота точки А осталась прежней. Необходимо запомнить правило построения новых проекций точек при методе замены: 1. линии связи всегда перпендикулярны новым осям проекций; 2. расстояние от новой оси проекций до новой проекции точки всегда берется с той плоскости, которую заменяют. Рисунок 58 – Наглядное изображение метода Рисунок 59 – Метод замены плоскостей замены плоскостей проекций проекций на эпюре На рисунке 59 изображен метод замены плоскостей проекций на эпюре. Большинство задач в начертательной геометрии решаются на базе четырех задач: 1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня. 2. Преобразовать прямую общего положения в проецирующую прямую. 3. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую плоскость. 4. Преобразовать плоскость общего положения в плоскость уровня. Задача №1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня. Дана прямая АВ – общего положения, преобразуем ее в прямую уровня (рисунок 60). Для этого вводим новую фронтальную плоскость проекций П4, ось Х1,4 проводим параллельно А1В1. Строим новую проекцию прямой АВ – А4В4. В новой системе плоскостей проекций прямая АВ – фронталь. Рисунок 60 – Преобразование прямой общего положения в плоскость уровня Задача №2. Преобразовать прямую общего положения в проецирующую прямую. Дана прямая АВ – общего положения, преобразуем ее в проецирующую прямую (рисунок 61). Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательно два преобразования: 1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня, то есть решить сначала задачу №1; 2. Преобразовать прямую уровня в проецирующую прямую. Вычертить условие задачи №1, самостоятельно решить ее, затем приступить к выполнению второго преобразования. Вводим новую горизонтальную плоскость проекций П5, для этого проводим новую ось проекций Х4,5 перпендикулярно проекции А4В4 и строим новую проекцию прямой А5В5. В системе плоскостей П4,П5, прямая АВ является горизонтально проецирующей прямой. Рисунок 61 – Преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую Задача №3. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую плоскость. Дана плоскость АВС – общего положения, преобразуем ее в проецирующую плоскость (рисунок 62). Для решения этой задачи необходимо в плоскости провести линию уровня, если такая отсутствует. Новую ось проекций проводим перпендикулярно линии уровня. В треугольнике АВС проводим горизонталь h. Ось проекций Х14 проводим перпендикулярно h1,новую проекцию плоскости А4В4С4, строим по правилам, разобранным в предыдущих задачах. Рисунок 62 – Преобразование прямой общего положения в проецирующую плоскость В системе плоскостей проекций П1,П4, плоскость треугольника является фронтально-проецирующей плоскостью. Задача №4. Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня. Дана плоскость АВС – общего положения, преобразуем ее в плоскость уровня (рисунок 62). Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательно два преобразования: 1. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую плоскость, то есть решить сначала задачу №3; 2. Преобразовать проецирующую плоскость в плоскость уровня. Вычертить условие задачи №3, самостоятельно решить ее, затем приступить к выполнению второго преобразования. Вводим новую горизонтальную плоскость проекций П5, для этого проводим новую ось проекций Х4,5 параллельно проекции А4В4С4 и строим новую проекцию треугольника А5В5С5. В системе плоскостей П4,П5, треугольник АВС является горизонтальной плоскостью уровня. 1.5.2 Метод вращения (вращение вокруг проецирующих прямых и прямых уровня – ось вращения, центр вращения, радиус вращения, плоскость вращения) Метод вращения вокруг проецирующей прямой Метод заключается в том, что геометрический объект (прямую или плоскость) вращают вокруг проецирующей оси до положения параллельности какой-либо плоскости проекций. Перемещение точки при её вращении вокруг проецирующей прямой является частным случаем параллельного перемещения и подчиняется следующим правилам. 1. Траектория движения точки – дуга окружности с центром, расположенным на оси вращения. Радиус окружности равен расстоянию между точкой и осью вращения. 2. При вращении точки вокруг прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости проекции, фронтальная проекция точки перемещается по дуге окружности, а горизонтальная – параллельно оси X. 3. При вращении точки вокруг прямой, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекции, горизонтальная проекция точки перемещается по дуге окружности, а фронтальная – параллельно оси X. Руководствуясь рассмотренными правилами, повернем отрезок CD в положение, параллельное фронтальной плоскости проекции (рисунок 63). В качестве оси вращения и будем использовать горизонтально проецирующую прямую, проведенную через точку D. Рисунок 63 – Перемещение отрезка в положение, параллельное фронтальной плоскости проекции При повороте отрезка положение точки D не изменится, поскольку она лежит на оси i. Точку C' переместим по дуге окружности радиусом C'D' в положение C'1 так, чтобы выполнялось условие C'1D'1 || X. Для нахождения точки C''1 из C'' проведем прямую, параллельную оси X, до пересечения её с линией связи, восстановленной из точки C'1. На рисунке 64 показан способ перевода отрезка в горизонтально проецирующее положение. Построения выполнены в два этапа и описаны ниже. Сначала вращением вокруг оси i1 C’D’ перемещают в положение C1’D1’, параллельное фронтальной плоскости проекции. После этого вращением вокруг оси i2 отрезок переводится в искомое положение C2’D2’, где он перпендикулярен горизонтальной плоскости проекции. Расположение осей вращения выбирают исходя из удобства дальнейших построений. В нашей задаче горизонтально проецирующая прямая i1 проходит через точку D, а проекция i''2 фронтально проецирующей прямой i2 лежит на продолжении отрезка. Рисунок 64 – Способ перевода отрезка C''1D''1 в горизонтально проецирующее положение Способ вращения вокруг линии уровня Действенным и наиболее рациональным приемом решения задач, в которых требуется определить натуральную величину угла, является способ вращения вокруг линии уровня. Метод вращения вокруг горизонтали или фронтали заключается в том, что объект, например, плоскую фигуру вращают вокруг горизонтали или фронтали, проведенной в плоскости, до положения параллельности какой-либо плоскости проекций. После окончания вращения объект проецируется на плоскость проекций в натуральную величину (рисунок 65). Рисунок 65 – Метод вращения вокруг линии уровня Главным вопросом метода вращения вокруг линий уровня является вопрос о параметрах вращения. Параметры вращения – это аппарат для решения задач с использованием этого метода. Параметрами вращения являются (рисунок 66): 1) Объект вращения – это точка на геометрическом теле (точка А). Поэтому в каждой задаче важно определить точки, которые будут вращаться и конечное положение которых надо определить, чтобы получить решение; 2) Ось вращения – прямая, неподвижная относительно вращающегося вокруг нее твердого тела (ось i); 3) Плоскость вращения объекта – это плоскость, проведенная перпендикулярно оси вращения (плоскость α); 4) Центр вращения объекта – это точка пересечения оси с плоскостью вращения (точка О); 5) Радиус вращения объекта – это расстояние между точкой и центром вращения (радиус RA). 6) Новое положение объекта вращения (выбирается такое, чтобы геометрический объект занял частное положение). Рисунок 66 – Параметры вращения Основные правила построения: 1. Радиус вращения точки равен расстоянию между точкой и линией уровня, выполняющей роль оси. Натуральную величину радиуса определяют методом прямоугольного треугольника. 2. При вращении вокруг горизонтали h точка перемещается по окружности, которая проецируется на горизонтальную плоскость в отрезок прямой, перпендикулярный горизонтальной проекции горизонтали h'. На фронтальную плоскость окружность, по которой движется точка, проецируется в эллипс. Строить его нет необходимости. 3. При вращении вокруг фронтали f точка перемещается по окружности, которая проецируется на фронтальную плоскость в отрезок прямой, перпендикулярный фронтальной проекции фронтали f''. Вместе с тем горизонтальная проекция линии перемещения представляет собой эллипс, строить который не обязательно. 1.5.3 Плоскопараллельное перемещение Плоскопараллельное перемещение – это вид механического движения объекта, когда каждая его точка перемещается в плоскости, параллельной какой-либо плоскости проекций, в результате чего объект перемещается на новое место и ему придаётся новое положение (рисунок 67). Рисунок 67 – Плоскопараллельное перемещение Различают плоскопараллельное перемещение относительно горизонтальной плоскости и относительно фронтальной плоскости. Тема 1.6 Поверхности – образование, изображение на чертеже, сечения плоскостями 1.6.1 Термины и определения. Способы задания поверхности на чертеже. Образование и обзор кривых поверхностей (линейчатые и нелинейчатые, развертываемые и неразвертываемые) Общие сведения. Термины и определения Поверхности широко применяются в различных областях техники, архитектуры, строительства и т.д. Начертательная геометрия изучает кривые поверхности, способы их образования, позиционные, метрические и другие их свойства. Под поверхностью подразумевают непрерывное множество точек, если между координатами точек может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида F (x, y, z) = 0, где F (x, y, z) – многочлен n-ой степени или в форме какой-либо трансцендентной функции. При кинематическом способе задания поверхность рассматривается как совокупность всех положений движущейся линии. Линию, производящую поверхность, в каждом ее положении называют образующей. Образующая линия может быть прямой или кривой. Поверхность на чертеже может быть задана ее определителем, очерком, каркасом. Определитель поверхности – это совокупность условий, однозначно определяющих данную поверхность. Определитель поверхности состоит из двух частей: геометрической, задающей форму образующей и направляющей, и алгоритмической, определяющей условия перемещения или же изменения образующей. Очерк поверхности – это линия пересечения плоскости проекций с проецирующей на данную плоскость проекций цилиндрической поверхностью, огибающей заданную поверхность. Каркас поверхности – это совокупность линий, принадлежащих поверхности. Способы задания поверхности на чертеже 1. Аналитический Поверхность рассматривается как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют некоторому заданному уравнению вида F(x,y,z)=0 (рисунок 68 а, б, в).    Рисунок 68 – Аналитические поверхности а – эллипсоид б – гиперболоид однополостный в – гиперболический цилиндр Аналитический способ задания поверхности находит широкое применение в практике, особенно если требуется исследовать свойства поверхности. 2. Кинематический Кинематическую поверхность можно рассматривать как непрерывную совокупность последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по некоторым неподвижным линиям. Рассмотрим формирование конической поверхности (рисунок 69). Такая поверхность образована движением прямой образующей l, постоянно проходящей через точку S и во всех своих положениях пересекающей некоторую направляющую кривую m. Если направляющая m – окружность, каждая точка которой равноудалена от вершины S, образуется прямой круговой конус. Рисунок 69 – Образование конической поверхности 3. Каркасный Поверхности, к которым нельзя применить математические закономерности или поверхности с произвольными образующими называются скульптурными или поверхностями произвольных форм (рисунок 70). Такие поверхности обычно задают достаточно плотной сетью линий и точек, принадлежащих этим поверхностям. Рисунок 70 – Скульптурная поверхность Одним из наиболее распространенных в промышленности методов конструирования поверхностей является метод конструирования с помощью непрерывного каркаса. Метод каркасного конструирования используется при изготовлении кузовов автомобилей, самолетов и в судостроении, для выполнения штампов при изготовлении поверхностей из листового материала, в топографии, горном и дорожном деле. Образование и обзор кривых поверхностей (линейчатые и нелинейчатые, развертываемые и неразвертываемые) В зависимости от формы образующей и закона ее перемещения в пространстве поверхности можно разделить на отдельные группы. Линейчатые поверхности – поверхности, которые могут быть образованы с помощью прямой линии. Нелинейчатые поверхности – поверхности, которые могут быть образованы только с помощью кривой линии. Развертывающиеся поверхности – поверхности, которые после разреза их по образующей могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок. Неразвертывающиеся поверхности – поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок. Поверхности с постоянной образующей – поверхности, образующая которых не изменяет своей формы в процессе образования поверхности. Поверхности с переменной образующей – поверхности, образующая которых изменяется в процессе образования поверхности.  1.6.2 Многогранники: правильные и полуправильные. Их сечения проецирующими плоскостями Многогранниками называются тела, ограниченные плоскими n-угольниками, которые называются гранями. Линии пересечения граней называются ребрами, точки пересечения ребер – вершинами. Для всех многогранников справедлива формула Эйлера: сумма граней и вершин за минусом числа ребер есть величина постоянная: Г + В – Р = 2. На рисунке 71 приведена классификация многогранников. Большую группу многогранников составляют правильные и полуправильные многогранники. Правильные многогранники характеризуются одинаково правильными гранями, одинаковым числом ребер, сходящихся в вершинах, и одинаковыми многогранными углами при вершинах. Полуправильные многогранники – это правильные многогранники со срезанными вершинами. Выпуклыми многогранниками называются многогранники, располагаемые по одну сторону каждой грани. Если это не соблюдается, то многогранники называются вогнутыми или выпукло-вогнутыми. Приведем примеры некоторых правильных многогранников. Тетраэдр – это четырехгранник, все грани которого равносторонние треугольники. Гексаэдр (куб) – шестигранник, все грани которого квадраты. Октаэдр – восьмигранник, все грани которого равносторонние треугольники. Додекаэдр – двенадцатигранник, все грани которого правильные пятиугольники. Икосаэдр – двадцатигранник, все грани которого равносторонние треугольники. Рисунок 71– Классификация многогранников Наиболее распространенными в технике многогранниками являются правильные и неправильные, прямые и наклонные призмы и пирамиды. Призмой называется многогранник, в основаниях которого находятся плоские n-угольники, а остальные грани являются в общем случае параллелограммами (рисунок 72). Пирамидой называется многогранник, в основании которого находится плоский n – угольник, а боковыми гранями являются треугольники с общей вершиной (рисунок 73). Рисунок 72 –Изображение призмы (прямая и наклонная) Рисунок 73 – Изображение пирамиды На эпюре многогранники задаются проекциями ребер, так называемой сеткой ребер. Поверхность многогранников считается геометрически непрозрачной, в связи с чем на эпюре следует определить видимость ребер методом конкурирующих точек (прямых). На рисунке 74 показан пример задания многогранников на эпюре и определения видимости ребер. Рисунок 74 – Задание многогранника на эпюре Пересечение многогранников плоскостями При пересечении многогранника плоскостью в общем случае получается плоский многоугольник АВСD (рисунок 75). Этот многоугольник можно построить или по точкам пересечения с плоскостью ребер многогранника, или по линиям пересечения граней многогранника с плоскостью. Рисунок 75 – Пересечение многогранника с плоскостью Следовательно, задача сводится к определению точек пересечения прямой с плоскостью или к определению линий пересечения плоскостей. Первый способ на практике применяется чаще второго. Плоскую фигуру, полученную от пересечения многогранника плоскостью, называют сечением. Рассмотрим несколько примеров. На рисунке 76 построены проекции фигуры сечения наклонной трехгранной призмы фронтально проецирующей плоскостью Φ (Φ2). Фронтальными проекциями точек встречи ребер призмы с секущей плоскостью (фронтальными проекциями вершин фигуры сечения) являются точки 122232. Их горизонтальные проекции 112131 определены при помощи линий связи. Фронтальной проекцией фигуры сечения в данном примере является отрезок 122232, совпадающий с фронтальным следом плоскости Ф, а горизонтальной – треугольник 112131. Рисунок 76 – Пересечение наклонной трехгранной призмы фронтально проецирующей плоскостью На рисунке 77 построены проекции фигуры сечения четырехгранной пирамиды фронтально проецирующей плоскостью. Здесь, как и в предыдущем примере, фронтальная проекция сечения 12223242 изображается отрезком прямой, совпадающим с фронтальным следом плоскости Г. Горизонтальная проекция сечения 11213141 находится по линиям связи. Рисунок 77 – Пересечение четырехгранной пирамиды фронтально проецирующей плоскостью Если многогранник пересекает плоскость общего положения, то для определения линии пересечения необходимо воспользоваться некоторыми дополнительными вспомогательными построениями. Эти построения можно выполнять двумя способами: а) метод ребер – нахождение точек пересечения ребер многогранника с плоскостью, т.е. нахождение вершин многогранника, получающегося в сечении; б) метод граней – нахождение линий пересечения граней многогранника с секущей плоскостью, т.е. нахождение сторон сечения. Взаимное пересечение многогранников Многогранные поверхности пересекаются друг с другом по замкнутым ломаным линиям, для построения которых сначала находим точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого, а затем – ребер второго с гранями первого. Соединяя в определенной последовательности полученные точки, строим искомую ломаную, каждое звено которой представляет собой прямую пересечения двух граней – грани первого многогранника с гранью второго. Итак, построение линии пересечения двух многогранников сводится к решению задачи на пересечение прямой линии с многогранником (или на взаимное пересечение двух плоскостей – граней многогранников). На рисунке 78 приведен пример построения линии взаимного пересечения прямой четырехугольной призмы с пирамидой SABC. Рисунок 78 – Пересечение прямой четырехгранной призмы с пирамидой SABC Основание призмы совмещено с плоскостью П1. Горизонтальные проекции вертикальных ребер преобразуются в точки. Грани боковой поверхности призмы представляют собой отсеки горизонтально-проецирующих плоскостей. Линия пересечения многогранников определяется по точкам пересечения ребер каждого из них с гранями другого многогранника. Так, ребро SA (S1A1, S2A2) пирамиды пересекает две вертикальные грани призмы: одну в точке 1(1112), вторую – в точке 2 (21 22). Ребро SB (S1B1, S2B2) пирамиды пересекает две вертикальные грани призмы в точках 3(31 32) и 4(41 42); ребро SC (S1C1, S2C2) – в точках 5(51 52) и 6 (61 62). Из четырех вертикальных ребер призмы только одно пересекает пирамиду. Находим точки его пересечения с гранями пирамиды. Через это ребро и вершину S (S1, S2) пирамиды проводим вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость Ф. Она пересекает пирамиду по прямым DS (D1S1, D2S2) и ES (E1S1, E2S2). Эти прямые пересекают ребро призмы в точках 7(71 72) и 8(81 82) – в точках пересечения ребра призмы с гранями пирамиды. Соединяя каждые пары таких точек одних и тех же граней отрезками прямых, получаем две линии пересечения многогранников. Одна из них представляет собой пространственный многоугольник 138571(113181517111, 123282527212), другая – треугольник 246(214161, 224262). Видимыми являются только те из отрезков многоугольников пересечения, которые принадлежат видимым граням многогранников; невидимые отрезки обозначаем на эпюре штриховыми линиями. Отрезки 24(2141, 2242) и 26(2161, 2262) линии пересечения 246(214161, 224262) видимы на фронтальной проекции. Они принадлежат видимым граням призмы и пирамиды. Отрезок 46(4161, 4262) является невидимым на фронтальной проекции. Этот отрезок принадлежит видимой на этой проекции грани призмы и невидимой грани пирамиды. На фронтальной проекции видимы отрезки 13(1131, 1232) и 17(1171, 1272) второй линии пересечения, а отрезки 38(3181, 3282), 85(8151, 8252) и 75(7151, 7252) этой линии невидимы. 1.6.3 Поверхности вращения. Примеры поверхностей вращения В числе кривых поверхностей – линейчатых и нелинейчатых – имеются широко распространенные в практике поверхности вращения. Поверхностью вращения называют поверхность, полученную от вращения какой-либо образующей линии l вокруг неподвижной прямой i – оси поверхности (рисунок 79). Рисунок 79 – Поверхность вращения При вращении вокруг оси каждая точка образующей l описывает окружность, которую называют параллелью поверхности вращения. Плоскости параллелей перпендикулярны оси поверхности. Наибольшую из параллелей поверхности вращения называют экватором поверхности, а наименьшую – горлом (шейкой). Линии, получаемые при пересечении поверхности вращения плоскостями, проходящими через ось, называют меридианами поверхности. Меридиан, расположенный во фронтальной плоскости Г, называется главным меридианом. Различают поверхности вращения с прямолинейной и криволинейной образующей. К поверхностям вращения с прямолинейной образующей относятся цилиндрическая и коническая поверхности вращения. Цилиндрической поверхностью вращения называется поверхность, образованная прямой линией (образующей), которая перемещается, оставаясь параллельной оси вращения. Боковая поверхность прямого кругового цилиндра (рисунок 80) образована движением отрезка АВ вокруг вертикальной оси i. Рисунок 80 – Цилиндрическая поверхность вращения Коническая поверхность вращения представляет собой поверхность, образующая прямая которой пересекает ось вращения в точке, называемой вершиной конуса. Боковая поверхность прямого кругового конуса (рисунок 81) образована вращением образующей SC вокруг оси конуса по направляющей – окружности. Рисунок 81 – Коническая поверхность вращения Сферой называется поверхность, образованная вращением окружности вокруг одного из ее диаметров. На все плоскости проекций сфера проецируется в круг с радиусом, равным радиусу сферы (рисунок 82). Эллипсоидом вращения называется поверхность, образованная вращением эллипса вокруг одной из его осей. Рисунок 82 – Сфера Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси. Однополостной гиперболоид вращения образуется при вращении гиперболы вокруг ее мнимой оси, а двухполостной – при вращении вокруг действительной оси. Тором называется поверхность, образованная вращением вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не проходящей через ее центр. Тор относится к поверхностям вращения четвертого порядка. Винтовой называется поверхность, которая описывается какой-либо линией (образующей) при ее винтовом движении. Винтовое движение линии характеризуется ее вращением вокруг определенной оси i и поступательным перемещением, параллельным оси i. Винтовые поверхности с образующими прямыми линиями называют геликоидами. Геликоид называют прямым или наклонным в зависимости от того, перпендикулярна образующая линия оси геликоида или нет. На рисунке 83 изображен прямой геликоид, а на рисунке 84 – наклонный геликоид. Рисунок 83 – Прямой геликоид Рисунок 84 – Наклонный геликоид Тема 1.7 Пересечение поверхностей 1.7.1 Сечение поверхностей плоскостями Сечение поверхностей плоскостями частного и общего положения является одной из главных тем начертательной геометрии. Основой этой темы являются конические, цилиндрические, сферические и торовые сечения. Наглядное изображение сечений упомянутых поверхностей представлено на рисунке 85. Самой интересной поверхностью, с точки зрения разнообразия сечений, является поверхность прямого кругового конуса. Если секущая плоскость проходит параллельно основанию, то в сечении получается окружность, радиус которой равен расстоянию от оси конуса до образующей вдоль следа секущей плоскости. Если секущая плоскость не параллельна основанию и пересекает обе очерковые образующие, то в сечении получается эллипс. Плоскость, параллельная оси конуса, в сечении образует гиперболу. Если секущая плоскость пересекает одну из образующих и угол её наклона равен углу наклона образующей, то в сечении образуется парабола. Плоскость, проходящая через вершину конуса, в сечении образует треугольник. Рисунок 85 – Сечение поверхностей 1.7.2 Пересечение прямой с поверхностью Задача пересечения прямой с поверхностью решается аналогично задаче о пересечении прямой с поверхностью многогранников. Отличие состоит в том, что в сечении кривой поверхности вспомогательной плоскостью в большинстве случаев образуются кривые линии. Общая методика решения задачи представлена на рисунке 86, а. Рисунок 86 – Пересечение прямой с поверхностью 1.7.3 Пересечение поверхностей Задача о пересечении поверхностей является наиболее значительной в курсе начертательной геометрии как с теоретической, так и с практической точек зрения. Линия, общая для обеих пересекающихся поверхностей, называется линией пересечения. Построение линий пересечения и их разметка на различных металлоконструкциях является одной из главных и сложных инженерных задач. Существуют различные частные случаи пересечения поверхностей, обусловленные геометрическими и математическими закономерностями (рисунок 87). Две цилиндрические поверхности с параллельными осями пересекаются по прямым линиям, соединяющим точки пересечения оснований цилиндров. Две конические поверхности с общей вершиной пересекаются по прямым линиям, соединяющим вершину и точки пересечения оснований. Соосные поверхности вращения второго порядка пересекаются по окружностям, фронтальная проекция которых является прямыми линиями. Рисунок 87 – Частные случаи пересечения поверхностей (а) и построение линии пересечения методом секущих вспомогательных плоскостей (б) В начертательной геометрии разработано множество методов построения линий пересечения поверхностей. Самыми распространенными методами являются метод секущих вспомогательных плоскостей и метод концентрических сфер. Сущность метода вспомогательных секущих плоскостей заключается в том, что при помощи секущих плоскостей находятся общие точки, принадлежащие пересекающимся поверхностям. Наглядно суть метода представлена на рисунке 87, б. Он содержит общий порядок решения: 1) Поиск характерных точек и построение их проекций (точки K и L); 2) Ввод секущей вспомогательной плоскости. В качестве вспомогательных плоскостей берут плоскости частного положения, которые образуют в сечениях поверхностей простые фигуры (принцип простых сечений); 3) Строят сечения поверхностей вспомогательной плоскостью (Сеч.I и Сеч.II); 4) Находят общие точки обоих сечений (точки 1 и 2); 5) Пункты 2, 3, 4 повторяют несколько раз (в учебных чертежах 5-7 раз) c новыми вспомогательными плоскостями; 6) Полученные точки соединяют плавной линией с учетом видимости проекций. В качестве вспомогательных поверхностей выбирают такие, линии пересечения которых с заданными поверхностями проецируются в графически простые линии – прямые, окружности, т.к. при этих условиях задача решается проще и точнее. В качестве вспомогательных поверхностей можно использовать плоскости или сферы. Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения сферы с конусом вращения (рисунок 88). Рисунок 88 – Метод вспомогательных секущих плоскостей При построении точек линии пересечения поверхности вначале находят те точки, которые называют характерными или опорными. Основания заданных поверхностей, представленных окружностями, принадлежат горизонтальной плоскости проекций П1. В пересечении окружностей основания получаем опорные точки 11 и 1'1. По линии связи переносим эти точки на фронтальную проекцию. Проведенная фронтальная плоскость уровня ∆ (∆1), проходящая через ось конической поверхности и центр сферы, пересекает коническую поверхность по контурным образующим SA и SB, а сферу – по окружности, совпадающей с проекцией главного меридиана. В пересечении контурной образующей SB и главного меридиана получим опорную точку 2(21, 22) – наивысшую точку линии пересечения. Промежуточные точки найдем при помощи горизонтальных плоскостей уровня Ф и Г, которые пересекают заданные поверхности по окружностям. При взаимном пересечении этих окружностей получают промежуточные точки искомой линии. Вначале находим горизонтальные проекции 31 и 3'1 точек 3 и 3' на пересечении окружностей m1 и n1, получающихся от пересечения плоскостью Ф конуса и сферы. Затем, используя линии связи и принадлежность этих точек плоскости Ф, находим их фронтальные проекции 32 и 3'2. Число вспомогательных секущих плоскостей, а, следовательно, и промежуточных точек линии пересечения зависит от требуемой точности решения. Относительно горизонтальной плоскости проекций видимой является заданная половинка сферы и коническая боковая поверхность. Следовательно, видима и вся горизонтальная проекция линии пересечения этих поверхностей. Относительно фронтальной плоскости проекций видимой является часть 1, 4, 3, 2, фронтальная проекция линии пересечения, расположенная на видимых (передних) участках заданных поверхностей, а часть 1', 4', 3', 2' невидима. Заданные поверхности симметричны относительно фронтальной плоскости уровня ∆, проходящей через оси их вращения, следовательно, симметрична и линия их пересечения относительно этой же плоскости. Значит, на фронтальной плоскости проекций П2 проекции видимой и невидимой частей линии пересечения совпадут и будут кривой второго по рядка. На чертеже одноименные проекции точек 11, 41, 31, 21, 3'1, 4'1, 1'1 и 121'2, 424'2, 323'2 и 22 соединяем плавной сплошной основной линией и получаем искомые проекции линии пересечения. Метод концентрических сфер основан на частном случае пересечения поверхностей (пересечение тел вращения со сферой, когда ось тел проходит через центр сферы). С помощью вспомогательных сферических поверхностей удобно строить линии пересечения двух поверхностей вращения с общей плоскостью симметрии, параллельной одной из плоскостей проекций. При этом возможны два случая: 1) если оси поверхностей вращения пересекаются, то для построения линии пересечения этих поверхностей применяют семейство концентричных сфер; 2) если оси поверхностей вращения не пересекаются, то используют эксцентрические сферы. План решения задачи способом концентрических сфер следующий: 1) принимая точку пересечения осей заданных поверхностей за центр, строим вспомогательные сферы – посредники; 2) определяем окружности, по которым пересекаются сферы-посредники с каждой из заданных поверхностей; 3) находим общие точки пересечения полученных окружностей. Эти точки и принадлежат искомой линии пересечения поверхностей. На рисунке 89 построена линия пересечения двух конусов вращения, оси которых пересекаются, образуя общую фронтальную плоскость симметрии. Рисунок 89 – Метод концентрических сфер В данном случае применены вспомогательные сферы, проведенные из одного и того же центра – точки О (О2) пересечения осей конусов. Диапазон радиусов сфер определяется минимальным и максимальным радиусами. Минимальный радиус секущей сферы назначается из условия касания сферы одной и пересечения другой пересекающейся поверхности. Максимальным радиусом является отрезок прямой от центра сферы до наиболее удаленной точки пересечения очерков пересекающихся поверхностей. Окружности, по которым сферы пересекают одновременно две поверхности, проецируются на фронтальную плоскость проекций в виде прямолинейных отрезков. Точки пересечения фронтальных проекций очерковых образующих 12223242 являются высшими и низшими точками линии пересечения. Точки 5262 на фронтальной проекции, наиболее близко расположенные к оси вертикального конуса, определены с помощью сферы радиуса Rmin, вписанной в этот конус. Промежуточные точки 728292 получены при помощи сферы радиуса R, очерк которой на фронтальной проекции изобразится в виде окружности этого же радиуса. Сфера радиуса R пересечет горизонтальный конус по окружности диаметра АВ и CD, а вертикально расположенный конус – по окружности EF и MN. В пересечении полученных проекций окружностей – отрезков А2В2 и C2D2 с E2F2 и M2N2 – получаем искомые точки 728292 линии пересечения. Пример построения линии пересечения двух поверхностей вращения способом эксцентрических сфер приведен на рисунке 90 (открытый тор пересекается с конусом вращения). Рисунок 90 – Метод эксцентрических сфер Поверхности имеют одну общую плоскость симметрии. Оси пересекающихся поверхностей вращения между собой не пересекаются. Поверхности заданы фронтальными отрезками. При построении линии пересечения поверхностей прежде всего определяем точки 1 и 2 пересечения очерковых образующих поверхностей. Затем через ось вращения тора проводим фронтально-проецирующую плоскость Ф. Она пересекает тор по окружности. Центры сфер, пересекающих тор по окружности, находятся на перпендикуляре, восстановленном в центре окружности к плоскости Ф. Пересечение этого перпендикуляра с осью конуса вращения даст центр О (О2) вспомогательной секущей сферы с радиусом R. Такая сфера пересекает как тор, так и конус вращения по окружностям, фронтальные проекции которых – отрезки А2В2 и C2D2 прямых. Точки 32 и 3'2 пересечения окружностей принадлежат фронтальной проекции линии пересечения поверхностей. Аналогично определяют другие промежуточные точки линии пересечения поверхностей. Вспомогательные сферы имеют различные центры, находящиеся на оси конуса вращения. Тема 1.8 Развертки поверхностей 1.8.1 Построение развертки поверхности простейших геометрических тел Построение разверток имеет большое практическое значение, так как позволяет изготавливать разнообразные изделия из листового материала путем изгибания. Разверткой поверхности называется фигура, полученная совмещением поверхности без складок и разрывов с плоскостью чертежа. Не все поверхности можно совместить с плоскостью чертежа, поэтому те поверхности, которые можно совместить без разрывов и складок с плоскостью, называются развертывающимися, а поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью, называются неразвертывающимися. К развертывающимся поверхностям относятся все многогранники, конические и цилиндрические поверхности. Построение развертки поверхностей прямых призмы, цилиндра, конуса выполняется просто, без применения каких-либо специальных приемов. Для построения их разверток надо знать натуральную величину ребер, образующих и оснований. На рисунках 91-94 показано построение разверток поверхностей простейших геометрических тел. Развертка поверхности прямой трехгранной призмы (рисунок 91) состоит из трех прямоугольников, которые являются боковыми гранями, и двух треугольников – оснований призмы. Рисунок 91 – Развертка поверхности прямой трехгранной призмы Развертка поверхности прямого кругового цилиндра (рисунок 92) состоит из прямоугольника, высота которого равна высоте цилиндра, а ширина – длине окружности, равной окружности оснований цилиндра. Рисунок 92 – Развертка поверхности прямого кругового цилиндра Развертка поверхности трехгранной пирамиды (рисунок 93) представляет собой три треугольника – боковые грани – и еще один треугольник – основание пирамиды. Рисунок 93 – Развертка поверхности трехгранной пирамиды Развертка поверхности прямого кругового конуса (рисунок 94) представляет собой сектор, радиус которого равен длине образующей конуса. Рисунок 94 – Развертка поверхности прямого кругового конуса Угол α = 1800D/l, где D – диаметр окружности основания, l – длина образующей конуса). 1.8.2 Построение развертки наклонных призматических, цилиндрических и конических поверхностей Для построения развертки наклонных поверхностей применяют раз-личные способы: а) способ раскатки; б) способ нормального сечения; в) способ триангуляции (треугольников). Способ раскатки используют в том случае, когда основание призмы или цилиндра на одной из плоскостей проекций изображается в натуральную величину, а ребра или образующие поверхностей параллельны другой плоскости проекций, т.е. также имеют натуральную величину. Способ раскатки основан на последовательном совмещении всех граней призмы с плоскостью проекций. Для определения натуральной ве-личины граней используется вращение грани вокруг одной из ее сторон как линии уровня. На рисунке 95 дано построение развертки поверхности наклонной трехгранной призмы способом раскатки. Рисунок 95 – Построение развертки поверхности наклонной трехгранной призмы способом раскатки Ребра призмы параллельны плоскости проекций П2, поэтому на эту плоскость они проецируются в натуральную величину. Основание призмы принадлежит горизонтальной плоскости проекций и на нее проецируется в натуральную величину. Для построения развертки необходимо повернуть каждую грань призмы вокруг бокового ребра до положения, при котором она станет параллельной фронтальной плоскости проекций. Раскатка боковой поверхности призмы начата с грани АВВ'А'. Чтобы повернуть ее вокруг ребра АА', как оси вращения, до положения, параллельного плоскости проекций П2, из точек В2 и В2' проводят перпендикуляры и на них из точек А2 и А2' делают засечки раствором циркуля, равным натуральной величине стороны АВ основания призмы, т.е. ее горизонтальной проекции А1В1. Параллелограмм А0В0В0'А0' является натуральной величиной грани АВВ'А'. Далее вращают следующую грань ВСС'В' призмы. За новую ось вращения принимают ребро ВВ'. Для этого из точек С2 и С2' проводят перпендикуляры и на них из точек В2 и В2' делают засечки раствором циркуля, равным ВС = В1С1. Параллелограмм В0С0С0'В0' – натуральная величина грани ВСС'В'. Натуральная величина грани САА'С' построена аналогично. Соединив точки А0В0С0А0 и А0'В0'С0'А0' прямыми, получают развертку боковой поверхности и к ней пристраивают основания. Их строят как треугольники, по трем сторонам. Способ нормального сечения применим в том случае, когда ребра призмы или образующие цилиндра параллельны одной из плоскостей проекций, т.е. проецируются на нее в натуральную величину. На рисунке 96 дано построение развертки поверхности трехгранной наклонной призмы способом нормального сечения. Рисунок 96 –Построение развертки поверхности трехгранной наклонной призмы способом нормального сечения Построения выполняют в следующем порядке: 1) призму пересекают нормальной (перпендикулярной к ее ребрам) плоскостью Г. Так как ребра призмы параллельны фронтальной плоскости проекций и на нее проецируются в натуральную величину, то нормальная плоскость будет являться фронтально-проецирующей плоскостью; 2) строят проекции и определяют натуральную величину нормального сечения. На рисунке 96 фронтальная проекция фигуры нормального сечения 122232 совпадает со следом плоскости Г. Натуральную величину фигуры сечения 11'21'31' строят способом плоскопараллельного перемещения. Для этого плоскость Г располагают параллельно горизонтальной плоскости проекций, чтобы фигура сечения проецировалась на плоскость проекций П1 в натуральную величину; 3) натуральную величину фигуры нормального сечения на свободном поле чертежа разворачивают в прямую линию 1010 и через вершины сечения перпендикулярно линии 1010 проводят прямые; 4) на перпендикулярах по обе стороны откладывают длины соответствующих отрезков ребер призмы. Их величины измеряют от линии сечения до оснований в обе стороны и откладывают на перпендикулярах. Полученные точки А0В0С0А0 и А0'В0'С0'А0' соединяют отрезками прямых; 5) пристраивают к полученной фигуре основания. Их строят по трем сторонам. Сущность способа триангуляции (треугольников) состоит в том, что каждая грань многогранника разбивается диагональю на два треугольника, далее определяют натуральную величину всех сторон треугольников, которые последовательно в натуральную величину вычерчиваются на свободном поле чертежа. На рисунке 97 дано построение развертки поверхности наклонной призмы. Рисунок 97 – Построение развертки поверхности наклонной призмы способом триангуляции (треугольников) Построение выполняют в следующем порядке: 1) каждую грань АВВ'А', ВСС'В' и САА'С' разбивают диагоналями на два треугольника. Затем определяют натуральную величину всех сторон треугольников, одной из сторон любого треугольника будет являться ребро призмы, второй – диагональ, а третьей – сторона основания наклонной призмы. Основание призмы принадлежит плоскости проекций П1, поэтому проецируется на нее в натуральную величину; 2) все ребра призмы одинаковы, поэтому находят натуральную величину одного из ребер (АА') призмы любым из способов преобразования. В данном случае применяют способ вращения вокруг прямой, перпендикулярной плоскости проекций П1 и проходящей через точку А1; 3) находят натуральную величину диагоналей способом плоскопараллельного перемещения; 4) на свободном поле чертежа последовательно в натуральную величину вычерчиваются треугольники А0А0'В0', А0В0В0', В0В0'С0', В0С0С0', С0А0С0' и А0А0'С0' по трем сторонам; 5) для построения полной развертки поверхности наклонной призмы к любой грани пристраивают два основания. 1.8.3 Построение развертки поверхности сферы Построение развертки поверхности сферы выполняется способом вспомогательных цилиндров (рисунок 98). Этот способ заключается в следующем: заданная поверхность сферы разбивается с помощью меридианов на равные между собой части или доли. Каждая доля заменяется цилиндрической поверхностью, которая касательна к поверхности сферы в точках главного меридиана доли. Рисунок 98 – Построение развертки поверхности сферы Развертка поверхности сферы выполняется в следующем порядке: 1) поверхность сферы делят на 6 частей горизонтально-проецирующими плоскостями, которые являются меридианами; 2) описывают вокруг сферы цилиндрическую поверхность, ось которой проходит через центр сферы перпендикулярно П2, таким образом, часть сферы заменяют частью цилиндрической поверхности. На горизонтальную плоскость проекций она проецируется в виде треугольника 11, 61, 71, а на фронтальную – в виде дуги окружности; 3) делят фронтальную проекцию дуги окружности на 6 равных частей. Величина отрезков h1, h2, h3 будет натуральной на плоскости проекций П2. Строят горизонтальные проекции образующих, проходящих через соответствующие точки деления; 4) находят натуральную величину образующих 2131, 4151 и 61-71 на плоскости проекций П1, так как образующие параллельны горизонтальной плоскости проекций; 5) для построения развертки главный меридиан разворачивают в прямую линию и на ней откладывают вверх и вниз отрезки, равные h1, h2 и h3, а через полученные точки откладывают вправо и влево отрезки, равные у6 - у7, у4 - у5, у2 и у3; 6) соединив плавной кривой концы отрезков, получают развертку одной доли, т.е. 1/6 части поверхности сферы. Полная развертка поверхности сферы будет состоять из шести одинаковых долей. Тема 1.9 Аксонометрическое проецирование Аксонометрические изображения обладают большей наглядностью, чем ортогональные проекции, и являются дополнительными к основному проекционному чертежу. Аксонометрические изображения образуются путем проецирования геометрического объекта вместе с ортогональной системой плоскостей проекций и осей на некую аксонометрическую плоскость, называемую картинной. На рисунке 99 изображена схема получения аксонометрических проекций. Рисунок 99 – Образование аксонометрической проекции Размеры проецируемого тела на аксонометрической проекции искажаются, что учитывается коэффициентами искажения k, m и n. В зависимости от соотношения коэффициентов аксонометрии делятся на изометрию, диметрию и триметрию. Аксонометрических изображений может быть получено великое множество. Однако, стандартом (ГОСТ 2.317-69) предусмотрены только пять аксонометрических проекций: 1) Прямоугольная изометрия; 2) Прямоугольная диметрия; 3) Косоугольная фронтальная изометрия; 4) Косоугольная фронтальная диметрия; 5) Косоугольная горизонтальная изометрия. Самое широкое распространение в конструкторской практике получили прямоугольная изометрия, прямоугольная диметрия и косоугольная фронтальная диметрия. Рассмотрим прямоугольную изометрию. Она строится в аксонометрических осях OX, OY, OZ, располагаемых под углом 120 градусов. Коэффициенты искажения по осям одинаковы и равны 1:1. Это означает, что размеры детали переносятся с проекционного чертежа на аксонометрию без искажения и пересчета. В диметрических аксонометрических проекциях (прямоугольная диметрия, косоугольная фронтальная диметрия) оси ОХ, OY, OZ располагаются под различными углами друг к другу. Коэффициенты искажения по осям OX,OZ одинаковы и равны 1:1. Коэффициент искажения по оси OY равен 1:2. Это означает, что размеры детали по оси OY, взятые с проекционного чертежа, необходимо пересчитать, прежде чем переносить на аксонометрию. На рисунке 100 показано направление аксонометрических осей в различных видах аксонометрий и вычерчивание окружностей в аксонометрических плоскостях XOZ, XOY, и ZOY. Рисунок 100 – Виды аксонометрических проекций На рисунке 101 показано направление линий штриховки, если на аксонометрической проекции выполнен разрез (чаще всего на аксонометрической проекции выполняют вырез части детали, например, одной четверти). Рисунок 101 –Штриховка сечений в аксонометрических проекциях На рисунке 102 приведены примеры различных аксонометрических проекций детали. На рисунке 103 приведен пример чертежа узла в прямоугольной изометрии с вырезом одной четверти. Рисунок 102 – Примеры аксонометрических проекций Рисунок 103 – Аксонометрическая проекция узла ЗАКЛЮЧЕНИЕ В настоящем пособии в кратком доступном изложении даны основные темы курса начертательной геометрии и представлены примеры и задачи, в которых реализованы основные методики решения геометрических задач. Изложение курса начертательной геометрии подкреплено большим количеством пространственных чертежей, что позволяет лучше освоить излагаемый материал и решать геометрические задачи с полным осознанием хода и смысла проводимых построений. Это обстоятельство поможет студентам в самостоятельной работе над курсом. В пособии представлены практические примеры использования содержания курса начертательной геометрии в различных отраслях производства. Этим самым показана связь геометрии с жизнью. При возникновении затруднений при освоении некоторых тем начертательной геометрии по данному пособию необходимо обратиться к учебной литературе, где более полно рассмотрен учебный материал. СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Вальков, К.И. Начертательная геометрия. Инженерная и машинная графика: учеб. для студ. строит. спец. вузов / К.И. Вальков, Б.И. Дралин, В.Ю. Клементьев. – М.: Высшая школа, 1997. – 495 с. 2. Виноградов, В.Н. Начертательная геометрия / В.Н. Виноградов. – Мн.: Высшая школа, 1977. – 360 с. 3. Крылов, Н.Н. Начертательная геометрия / Н.Н. Крылов. – М.: Высшая школа, 1990. – 232 с. 4. Кузнецов, Н.С. Начертательная геометрия Н.С. Кузнецов. – 2-е изд. – М.: Высшая школа, 1981 – 258 с. 5. Локтев, О.В. Краткий курс начертательной геометрии: учеб. для втузов / О.В. Локтев. – 2-е изд. – М.: Высшая школа, 1985. – 136 с. 6. Тарасов, Б.Ф. Начертательная геометрия: учеб. для вузов / Б.Ф, Тарасов, Л.А. Дудкина, С.О. Немолотов. – СПб.: Лань, 2001. – 249 с.