Начальные сведения об электромагнитном поле

1. Начальные сведения об электромагнитном поле 1.1. Общие положения электронной теории Многие явления, с которыми сталкивается человек в повседневной жизни, имеют электромагнитную природу, т.е. основаны на существовании электромагнитного взаимодействия. Электромагнитное взаимодействие - одно из четырех фундаментальных физических взаимодействий1, лежащих в основе всех известных сил и явлений в природе. Изучая в течение ряда столетий различные вещества, физики добрались до элементарных частиц, являющихся исходным строительным материалом любого вещества, и установили, что благодаря электромагнитному взаимодействию этих частиц вещество на атомном и молекулярном уровне существует как целое. Элементарные заряженные частицы электроны и протоны входят в состав атомов и молекул вещества, но могут находится и в свободном состоянии. Электромагнитные взаимодействия элементарных частиц изучаются на основе квантовой механики, физика элементарных частиц объясняет существование и свойства атомов молекул и твердых тел. Но элементарные частицы и их взаимодействия определяют явления не только микромира, но и макромира, в котором существуем мы сами2. Для понимания электрических и магнитных явлений, которые использует электротехника, необходимо вспомнить некоторые разделы классической физики. Однако при описании электромагнитных явлений понадобятся новые понятия, которые не рассматриваются механикой и принципиально не могут быть определены только через массу, длину и время. Применяемая система единиц МКСА является частью системы СИ (система интернациональная) и использует для измерения электромагнитных величин четыре основные единицы: метр - единица длины (м), килограмм - единица массы (кг), секунда - единица времени (с) и ампер - единица электрического тока (А). Единицей электрического заряда (количества электричества) является кулон (Кл). Для характеристики электромагнитных явлений пользуются скалярными и векторными величинами.  скалярная величина характеризуется только численным значением. Для нее не определено направление. Скалярными величинами являются температура, количество вещества, масса, поток, энергия, мощность, заряд и т.д.  векторная величина характеризуется как численным значением, так и направлением. Как правило, она изображается направленным отрезком 1 Четыре основных типа взаимодействия, лежащих в основе всех известных сил и взаимодействий в природе: гравитационное (взаимодействие масс), слабое (взаимодействие элементарных частиц), электромагнитное (взаимодействие электрический зарядов), ядерное или сильное (взаимодействие протонов, нейтронов , мезонов). 2 Примером проявления электромагнитного взаимодействия являются так называемые контактные силы сила трения и сила реакции. Если прижать брусок к столу или стенке, то атомы на поверхности бруска будут сближаться с атомами поверхности стола или стенки, электронные оболочки двух атомов начнут перекрываться и между атомами возникает сила отталкивания. Результирующая сила отталкивания (реакция опоры) будет направлена противоположно приложенной силе и равна ей по величине. (вектором), длина которого в определенном масштабе выражает числовое значение, направление показывает стрелка. К векторным величинам относятся сила, скорость, напряженность электрического поля, магнитная индукция и т.д. Векторные величины будем обозначать F , E , H и т. д. Несмотря на разнообразие окружающего мира, все сложные вещества состоят из простых элементов. Сегодня известно 118 химических элементов (94 обнаружено в природе, остальные 24 получены искусственно). Каждый элемент состоит из мельчайших частиц - атомов. Атомы различных элементов отличаются друг от друга и обладают определенными, присущими только им свойствами. Сочетание однотипных атомов образует простое вещество, сочетание разнотипных атомов образует сложное вещество. Группа химически соединившихся атомов называется молекулой. Согласно современной теории строения вещества каждый атом состоит из ядра и электронов. Ядро состоит из протонов и нейтрально заряженных частиц нейтронов. Элементарные частицы электрон и протон обладают массой3 и электрическим зарядом, численно заряд электрона равен заряду протона ( 1,6 1019 Кл), но заряд электрона принят отрицательным, а заряд протона - положительным. Атомы различных химических элементов отличаются друг от друга своим весом, величиной положительного заряда ядра и числом электронов, расположенных на определенных орбитах. Кроме протона, нейтрона и электрона в состав атома входят и другие частицы (положительные и отрицательные мезоны, позитроны, нейтрино и т.д.). Современная физика продолжает изучение элементарных частиц, их свойств и взаимодействий. Атом не проявляет никаких электрических свойств, если он нейтрален, т.е. количество протонов и электронов в нем одинаково. Если количество электронов меньше количества протонов (например, в результате электризации тела трением), или количество электронов больше количества протонов, то нейтральный атом становится заряженным и называется ионом. Известно, что источником гравитационной силы является масса. Мы постоянно испытываем проявление гравитационной силы как силы тяжести вблизи поверхности Земли. Если вычислить силу гравитационного притяжения между электроном и протоном, находящимся на расстоянии, равном радиусу атома водорода, то получим Fграв  3,611047 Н (Ньютон). Но между электроном и протоном существует еще одна сила притяжения, которая в 2,27×1039 раз больше гравитационной силы - электрическая (или электростатическая) сила как проявление электромагнитного взаимодействия зарядов этих частиц. Эта сила является определяющей при взаимодействии элементарных частиц. Почему же в таком случае гравитационное взаимодействие больших тел значительно больше их электрического взаимодействия и для использования электрических и 3 Масса электрона me  9,11031 кг, масса протона mp  1,67 1027 кг. Масса электрона в 1838 раз меньше массы атома самого легкого газа - водорода. магнитных явлений необходимы определенные условия и устройства? Во-первых, гравитационная и электрическая сила действуют независимо друг от друга, между зарядом тела и его массой не существует определенного соотношения. Но масса всегда положительна и масса большого объекта определяется массой всех составляющих его частиц, сила взаимодействия любых масс - сила гравитационного притяжения. В отличии от массы заряд может быть как положительным, так и отрицательным. Два заряда противоположных знаков притягиваются, а два заряда, имеющих одинаковые знаки отталкиваются. Электростатическое отталкивание двух электронов или двух протонов равно электростатическому притяжению электрона и протона, расположенных на таком же расстоянии друг от друга. В больших объемах количество электронов и протонов примерно одинаково, поэтому силы электростатического притяжения и отталкивания взаимно компенсируются и остается только гравитационная сила. Однако при определенных условиях электрические силы как проявление электромагнитного взаимодействия могут быть очень и очень значительными. При движении зарядов возникают магнитные силы, имеющие ту же электромагнитную природу. Электрические и магнитные явления неразрывно связаны между собой, деление на отдельные составляющие проявлений электромагнитного взаимодействия условно, т.е. определяется условиями, в которых наблюдаются эти явления.  элементарный электрический заряд ( e или р) - свойство электрона и протона, характеризующее их взаимосвязь с собственным электрическим полем и взаимодействие с внешним электрическим полем, определяемое для электрона и протона равными числовыми значениями ( 1,6 1019 Кл) с противоположными знаками. Условно отрицательный знак приписывают заряду электрона, а положительный - заряду протона  носитель (электрического) заряда - частица, содержащая неодинаковое число элементарных электрических зарядов разного знака  (электрический) заряд тела (q или Q) - скалярная величина, равная алгебраической сумме числовых значений элементарных электрических зарядов в теле 1.2. Электромагнитное поле. Электрические явления. Основные характеристики электрического поля. Основным понятием при изучении электромагнитного взаимодействия является понятие электромагнитного поля. Всякая электрически заряженная частица окружена электромагнитным полем, составляющим с ним одно целое. Электромагнитное поле может существовать и в свободном состоянии, отдаленном от заряженных частиц, в виде электромагнитных волн.  электромагнитное поле - вид материи, определяемый во всех точках двумя векторными величинами, которые характеризуют две его стороны, называемые соответственно "электрическое поле" и "магнитное поле", оказывающий силовое воздействие на электрически заряженные частицы, зависящее от их скорости и электрического заряда Отличительным свойством электромагнитного поля является его силовое воздействие на заряженные частиц. Электрическое поле характеризуется воздействием на электрически заряженную частицу с силой, пропорциональной заряду частицы и не зависящей от ее скорости. Магнитное поле характеризуется воздействием на электрически заряженную частицу с силой, пропорциональной заряду частицы и ее скорости. Таким образом, на неподвижную частицу действуют электрическое силы, а на движущуюся - и электрические и магнитные силы. Наиболее простой для описания и количественной оценки взаимодействия заряженных частиц является задача электростатики, любое изменение во времени (движение частицы с постоянной или переменной скоростью, излучение электромагнитных волн и т.д.) существенно усложняет решение задачи электродинамики. Аналогично задачам механики различают источник силового действия (и соответственно поля) и пробник, на который рассматривают действие силы. Только в механике источником и пробником гравитационного взаимодействия и гравитационного поля является масса, а в задачах электростатики и электродинамики - электрически заряженная частица или тело. В механике источник и пробник могут быть точечными (в условиях данной задачи не имеющий размера) и протяженными (имеющими размеры и ненулевой объем). Для протяженных тел определяется плотность массы, в случае равномерного распределения плотность   m V [кг/м3], где m - масса тела [кг], V - объем тела [м3]. Источником электростатических сил и, соответственно, "пробником" в задачах электростатики также может быть точечный заряд q [Кл] и распределенный заряд. Аналогично понятию плотности массы вводят понятие объемная плотность заряда   q [Кл/м3]4. Если рассматривать задачу статики в V механике, то это всегда задача о равновесии сил: силы тяжести, реакции опоры, силы натяжения нити и т.д. В замкнутой системе результирующая всех сил должна быть равна нулю. Аналогично для задач электростатики результирующая электрическая сила, действующая в замкнутой системе электрически заряженных частиц должна быть равна нулю. Сложение сил проводится по принципу суперпозиции по правилам сложения векторных величин, как и в задачах механики. Но при этом действует еще один фундаментальный закон - закон сохранения заряда: в замкнутой системе полный заряд (разность величин положительного и отрицательного зарядов) остается постоянным. Чтобы определить наличие гравитационного поля достаточно поместить в любую точку пространства некоторую массу m (пробник) и по действию на эту массу гравитационной силы мы убедимся в наличии поля. Вблизи поверхности Земли пробник упадет на Землю при отсутствии каких - либо других противодействующих сил. Аналогично можно увидеть проявление электромагнитного взаимодействия и говорить о наличии электрического поля: потереть два воздушных шарика шерстяной тканью и приблизить их друг к другу. Шарики будут отталкиваться даже не коснувшись друг друга. При исследовании электрических явлений и их количественном описании в некоторую точку пространства мысленно помещают единичный пробный заряд. Если на 4 При равномерном распределении в объеме. него действует сила, то в данной точке пространства есть электрическое поле, созданное некоторым источником. Интенсивность электрического поля определяется по механической силе Fэ, действующей на точечный заряд q; отношение электрической силы к величине заряда называется напряженностью электрического поля E (E =Fэ /q). При этом источник поля может быть заряжен как положительно, так и отрицательно, а пробник считается заряженным положительно. В задачах электростатики источник и пробник являются неподвижными. Сила взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2 в электростатическом поле определяется по закону Кулона: Fэ  k q1q2 , где r – расстояние между зарядами, r2 коэффициент k  9 10 [Н∙м2/Кл2]5. В соответствии с представлениями теории поля закон Кулона понимается так: на заряд q1 (пробник) действует сила Fэ, потому что в 9 точке его расположения существует электрическое поле другого заряда q2 (источник). Напряженность поля точечного заряда - вектор E  k равна E  k q2 0 r , модуль (величина) которого r2 q2 , направление совпадает или противоположно направлению вектора r , 2 r который направлен из точки расположения заряда (источника) в точку, для которой определяется напряженность (точка наблюдения). Единица электрической напряженности является [Н/Кл] или [В/м] (Вольт на метр). 5 В воздухе или вакууме. В системе СИ электрическая постоянная, k 1 1 109  8,85 1012 [Ф/м] , где 0  36 4 r 0  r - относительная диэлектрическая проницаемость характеризует среду, в которой находятся заряды (для вакуума r  1 ). Направление напряженности электрического поля изображают непрерывными силовыми линиями. Соответственно положительный заряд определяют как исток (силовые линии направлены от заряда) поля, а отрицательный заряд как сток (силовые линии направлены к заряду). Силовые линии всегда направлены от истока к стоку.  силовая линия - воображаемая линия, в каждой точке которой касательная совпадает по направлению с действием силы Электрическое поле называется однородным (равномерным), если напряженность во всех точках поля одинакова по величине и направлению. Равномерное поле получается между двумя параллельными заряженными пластинами, размеры которых велики по сравнению с расстоянием между ними. Однородное электрическое поле изображается параллельными линиями , расположенных на одинаковом расстоянии одна от другой. Картина силовых линий дает наглядное представление об электрическом поле и позволяет характеризовать величину Е в любой точке пространства, используя понятие потока вектора электрической напряженности через некоторую поверхность S .  поток вектора сквозь поверхность S - скалярная величина, определяемая как число силовых линий, проходящих через эту поверхность нормально (перпендикулярно) этой поверхности. По определению, поток - число силовых линий, пронизывающих выбранную поверхность перпендикулярно. Выберем площадку S , перпендикулярную направлению линий напряженности однородного электрического поля Е. Тогда поток через эту поверхность N  E  S - число линий напряженности электрического поля, пересекающих эту поверхность. Но площадка может быть расположена по отношению к силовым линиям под некоторым углом. Возьмем площадку S  , повернутую на некоторый угол α. В таком случае вводят понятие проекции вектора напряженности En на нормаль к поверхности S  6 и поток определяют числом проекций: N  En  S . Если поверхность параллельна силовым линиям, то поток через такую поверхность равен нулю. 6 Под нормалью к поверхности понимается вектор, перпендикулярный поверхности и выходящий из нее. Длина вектора численно равна единице (единичный вектор) или величине площади . Максимальным поток будет в том случае, если поверхность расположена перпендикулярно силовым линиям поля, т.е. когда En  E . В случае неоднородного поля поток также определяют через проекции вектора напряженности. Полный поток через поверхность S, составленную из разных просуммировав все S, получим, N : N   N   En  S . Если En  E одинакова во всех точках поверхности, то N  E  S . Математически при увеличении числа площадок и уменьшении их размера получаем: S  dS , N   EndS   EdS S (интеграл от S скалярного произведения векторов7 Е и dS ). Таким образом, поток и есть число силовых линий, пронизывающих выбранную поверхность перпендикулярно. Если поверхность замкнута, то число силовых линий будет пропорционально количеству полного заряда, охваченного этой поверхностью: N  4k  qвнутр . Это равенство - математическая формулировка теоремы Гаусса. Покажем это на примере поля точечного заряда q. Мысленно окружим точечный заряд сферой радиусом r, так что центр сферы совпадает с положением точечного заряда. Напряженность электрического поля в любой точке на поверхности сферы одинакова и равна E  k q 2 , площадь поверхности сферы радиусом r - Sсферы  4r , линии 2 r напряженности направлены по направлению радиуса и выходят перпендикулярно из поверхности сферы. 7 Скалярное произведение векторов определяют как произведение длин векторов, умноженное на косинус угла между этими векторами. Тогда число силовых линий, пересекающих поверхность сферы, равно произведению напряженности электрического поля на площадь сферы и пропорционально величине  q  4r 2  4k  q . 2   r  заряда q: N  E  Sсферы  E  4r   k 2 Теорема Гаусса справедлива при любой форме замкнутой поверхности и независимо от присутствия зарядов вне замкнутой поверхности. Удобно использовать теорему Гаусса для определения напряженности электрического поля в случае, если имеется пространственная симметрия (поле точечного заряда, заряженной сферы, поле плоских равномерно заряженных пластин, поле равномерно заряженного проводника цилиндрической формы и т.д.). Одним из следствий теоремы Гаусса является то, что внутри проводника полный заряд равен нулю. Проводник электрически нейтрален из-за огромного количества свободных электронов, не связанных с какими-либо конкретными атомами, эти электроны всегда перемещаются хаотически (образуют так называемый "электронный газ") или направленно (явление электрического тока) внутри проводника. Напряженность электростатического поля внутри проводника равна нулю. Использование теоремы Гаусса объясняет явление электростатической индукции разделение зарядов на поверхности проводника под влиянием заряженного тела. Возьмем металлическую сферу с внутренней полостью. Полный заряд внутри проводника должен равняться нулю. Поместим внутрь полости положительно заряженное тело. Тогда согласно теоремы Гаусса на поверхности полости появится (индуцируется) заряд равной величины, но противоположного знака (в примере на рисунке - избыток электронов). При этом полный заряд, охваченный мысленной поверхностью внутри проводящей сферы, будет равен нулю, и электростатическое поле внутри проводника будет отсутствовать. На внешней поверхности возникнет заряд, равный по величине и противоположный знаку заряда, индуцированного на поверхности полости (в примере на рисунке - недостаток электронов). Появление избытка свободных электронов на одной поверхности проводника (отрицательно заряженная поверхность), соответственно недостаточное количество электронов на другой поверхности проводника (положительно заряженная поверхность) - реакция на воздействие внешнего электрического поля. Если заряженное тело поместить не во внутренней полости проводника, а вне проводника, то большая часть зарядов будет скапливаться в месте, наиболее приближенном к источнику поля. Электростатическое поле при этом будет неоднородным. Если проводник вынести из электрического поля, то поверхность проводника снова станет незаряженной. Посредством электростатической индукции электрически нейтральному проводнику можно придать заряд, Индуцированные заряды, образовавшиеся в результате влияния на проводник заряженного тела, можно разделить, если после зарядки отделить одну часть проводника от другой. Можно зарядить поверхности двух разделенных проводников, если между ними приложить разность потенциалов. Такое устройство называется конденсатор. Так как свободный заряд распределен по поверхности проводника, то электростатическое поле создается этими распределенными зарядами и существует вне проводника, в окружающем его воздухе или диэлектрике. При расчетах таких электростатических полей используют понятия поверхностной плотности заряда  q q [Кл/м2] и линейной плотности заряда   [Кл/м] (как правило, для проводов S l цилиндрической формы)8. Явлением электростатической индукции объясняется наведение заряда по поверхности земли9 под линиями электропередачи или под заряженными грозовыми тучами. 8 9 При равномерном распределении по поверхности и длине. Почва земли является проводником, проводимость зависит от состава почвы и условий окружающей среды. Электростатика постоянно имеет дело с заряженными поверхностями; свойство индуцирования (наведения или "накопления") зарядов используется в электрических конденсаторах, но металлические поверхности линий электропередачи, кабелей, антенн и других устройств, используемых в электроэнергетике и электротехнике, также являются заряженными поверхностями. Наличие зарядов на поверхности необходимо учитывать при использовании этих устройств; часто возникает необходимость оградить проводник от влияния внешних электрических полей. Количественная характеристика способности системы заряженных проводников накапливать электрический заряд определяется как электрическая емкость системы. Явление индуцирования зарядов связано не только с проводниками. Если во внешнее электрическое поле внести диэлектрик, то на его поверхности также появляется заряд. Однако между явлением электростатической индукции в проводниках и появлением заряда на поверхности диэлектрика имеется существенная разница. При внесении проводника (даже в случае "плохого" проводника) во внешнее электрическое поле внутри проводник остается электрически нейтрален, свободные электроны продолжают перемещаться по всему объему проводника. В диэлектрике свободного перемещения зарядов практически нет, электроны перемещаются по своим орбитам. Разделение, смещение зарядов происходит в пределах молекулы. Это явление носит название поляризации диэлектрика. Более подробно о разных типах диэлектриков рассказано в 3 главе. Под действием внешнего электрического поля поляризованные молекулы стремятся повернуться так, чтобы их оси совпали с направлением внешнего магнитного поля. Появляется ненулевое поле внутри диэлектрика; как правило, это внутреннее поле направлено против внешнего электрического поля и результирующая напряженность внутри диэлектрика становится меньше (на этом основаны изолирующие свойства диэлектриков). На поверхности диэлектрика появляется отрицательный или положительный связанный заряд10. 10 На поверхности диэлектрика индуцируется связанный заряд, на поверхности проводника - свободный. Для количественного описания явления электрической индукции в проводниках используют характеристику D - вектор электрического смещения, для диэлектриков P - вектор электрической поляризации. Величины D и P определяются количеством индуцированного заряда в единице площади, соответственно свободного и связанного, т.е. по размерности совпадают с поверхностной плотностью заряда [Кл/м2]. В линейных изотропных диэлектриках направление векторов совпадает с направлением напряженности внешнего электрического поля E . В отличие от индуцированных зарядов на проводнике поляризованные заряды диэлектрика нельзя отделить один от другого. Как правило, с устранением внешнего электрического поля поляризация исчезает. С увеличением напряженности внешнего электрического поля может произойти разрушение межмолекулярных связей - пробой диэлектрика. В таком случае появляются свободные заряды и, соответственно, электрические токи, вызывающие нагрев диэлектрика. 1.3. Магнитные явления. Основные характеристики магнитного поля. Помимо электростатической силы на заряд действует также магнитная сила, которая пропорциональна скорости заряда. Магнитные явления возникают при движении зарядов или при наличии электрических токов. В первую очередь это ток проводимости. Подробно о проводниках будет рассказано в 3 главе, но если говорить кратко, то в металлическом проводнике положительные заряды (ядра атомов) образуют кристаллическую решетку; электроны проводимости, не привязанные к определенным орбитам, могут свободно перемещаться в объеме проводника. При отсутствии внешнего электрического поля электроны проводимости непрерывно и хаотически перемещаются во всех направлениях . Под действием внешнего электрического поля (приложенной электродвижущей силы, ЭДС) движение электронов проводимости приобретает направленный характер и появляется электрический ток11. В некоторых проводниках, например, в газах, в направленном движении могут принимать участие положительно заряженные ионы. Любой электрический ток является источником магнитного поля, на любой проводник с током действует магнитное поле. Если к прямолинейному проводнику с электрическим током поднести магнитную стрелку, то стрелка будет стремиться стать перпендикулярно плоскости, проходящей через ось и центр вращения стрелки. Это и указывает на то, что на магнитную стрелку действует магнитная сила, а проводник с током окружен магнитным полем. 11 Необходимо отметить несоответствие положений классической электротехники "физической природе" токов проводимости. За направление электрического тока в электротехнике принято направление движения положительных зарядов, исходя из этого показывается "стрелка" направления тока и напряжения, составляются уравнения для расчета токов и напряжений. Такого несоответствия не возникло бы, если бы электрону был приписан положительный, а не отрицательный заряд. Но так исторически сложилось, поэтому в электротехнике всегда говорят об условно-положительном направлении тока. Для численных расчетов показаний приборов, мощностей не так уж важна "физическая природа" токов проводимости, главное - правильный расчет. Направление магнитных индукционных линий изменится, если изменить направление тока в проводнике, но всегда при любом направлении тока в прямолинейном проводнике магнитные индукционные линии будут иметь вид концентрических окружностей и чем ближе к проводнику, тем гуще будут располагаться эти линии. Магнитное поле - одно из важнейших проявлений электрического тока и не может быть получено отдельно от тока12. Аналогично электрическому полю характеристика, определяющая интенсивность магнитного поля определяется по механической силе, действующей на пробник проводник с током (или движущийся заряд). Эта векторная величина называется магнитная индукция B и имеет размерность [Н/А∙м]; этой единице присвоено специальное наименование тесла [Тл]. Направление вектора B определяется по правилу правой руки: большой палец правой руки ориентируют по току, остальные пальцы в согнутом положении укажут направление силовых линий магнитного поля. Для характеристики магнитного поля в вакууме (воздухе) используют также векторную величину напряженность магнитного поля Н, имеющую размерность [А/м]. Силовые линии магнитной индукции и напряженности магнитного поля совпадают. Необходимость введения двух силовых характеристик магнитного поля обусловлено магнитными свойствами некоторых материалов, способностью к 12 Наличие магнитного поля постоянных магнитов обусловлено замкнутыми внутриатомными токами, магнитное поле Земли определяется наличием токов в жидком металлическом ядре, токов в ионосфере. намагничиванию за счет внутренних элементарных токов, называемых токами Ампера 13. Напряженность магнитного поля обусловлено токами проводимости и определяет поле в окружающем проводник воздухе, а магнитная индукция учитывает также магнитное поле элементарных токов и определяет магнитное поле в любой среде14. Аналогично определению электрического потока, или числа силовых линий электрического поля, вводится понятие магнитного потока  (греческая "фи"). Поскольку почти все количественные соотношения и характеристики магнитных систем определяются через магнитный поток, единице магнитного потока присвоено специальное наименование вебер [Вб]. Магнитный поток - число силовых линий магнитной индукции, пронизывающих выбранную поверхность перпендикулярно (или число проекций вектора магнитной индукции на нормаль к поверхности). Для расчета магнитной индукции магнитного поля системы проводников с токами, используют закон Био-Савара. Для определения напряженности и индукции магнитного поля прямолинейного проводника с током используют закон Ампера или закон полного тока. Вводится понятие циркуляции вектора напряженности магнитного поля или вектора магнитной индукции вдоль контура, стягивающего некоторую площадку. Алгебраическую сумму токов, пронизывающих поверхность, ограниченную этим контуром, называют полным током. Циркуляция напряженности магнитного поля равна полному току, а циркуляция магнитной индукции пропорциональна полному току. Закон Ампера играет такую же роль, как и теорема Гаусса для электростатического поля. Но в отличии от теоремы Гаусса, в случае замкнутой поверхности количество силовых линий, входящих внутрь поверхности равно количеству силовых линий, выходящих из нее, т.е. магнитный поток будет равен нулю. Это означает, что силовые линии магнитного поля всегда замкнуты. В случае прямолинейного проводника с током силовые линии имеют вид концентрических окружностей, при наличии магнитов или намагниченных тел всегда есть два полюса - "северный" и "южный", соответственно "начало" и "конец" силовых линий. Для определения направления силовых линий также используют правило правой руки или правило правого винта ("буравчика"). Магнитные индукционные линии внутри магнита идут от "южного" полюса к "северному", вне магнита от полюса "северного" к "южному". Магнитные индукционные линии никогда не пересекаются, имеют стремление укоротиться по своей длине, т.е. продольно вытянуты. Вдоль силовых линий выстраиваются магнитные стрелки. 13 В природе встречается железная руда (магнитный железняк), которая обладает свойством притягивать к себе стальные или чугунные предметы. Такая руда называется природным магнитом. Если приложить к магниту стальные или чугунные предметы, то они также становятся магнитными. Предметы из углеродистой стали сохраняют магнитные свойства и после воздействия на них магнита. Такие стальные предметы называются искусственными магнитами. Более подробно о материалах с сильно выраженными магнитными свойствами см. в главе 3. 14 Для воздуха (вакуума) количественная связь между магнитной индукцией В и напряженностью магнитного поля Н устанавливается через размерный коэффициент 0  4107 Гн/м. Катушку с большим количеством витков, плотно прилегающих друг к другу, называют соленоидом. Если по виткам катушки пропустить электрический ток, то магнитное поле внутри соленоида будет почти однородным. Соленоид, внутри которого находится сердечник из углеродистой стали, называется электромагнитом. Магнитное поле внутри электромагнита усиливается и только небольшая часть силовых линий выходит за сердечник (так называемое "рассеивание"). Для определения полюсов магнитного поля соленоида используют правило "буравчика": если расположить буравчик вдоль оси соленоида и вращать его по направлению тока, то поступательное движение буравчика покажет направление силовых линий магнитного поля. Можно также воспользоваться правилом "правой руки", располагая пальцы по виткам соленоида. В системе проводников с токами всегда есть некоторая площадка, через которую проходят линии магнитной индукции, число которых определяет магнитный поток. В двухпроводной линии передачи это площадка между проводами, для кабеля - площадка между жилой и оболочкой. Важнейшая количественная характеристика, определяющая связь магнитного потока и тока - индуктивность системы. Необходимо учитывать, что на проводник с током, находящимся во внешнем магнитном поле действует механическая сила - сила Ампера. Если рассмотреть два параллельных проводника с токами 1 А, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, на каждый метр длины будет действовать сила 2∙10-7 Н. Эти силы приходится учитывать при расчете электрических аппаратов, проектировании распределительных устройств электростанций и т.д. В основе принципа действия тяговых и подъемных электромагнитов, реле, электроизмерительных приборов лежит силовое действие магнитного поля. 1.4. Электромагнитная индукция Связь между электрическими и магнитными явлениями устанавливает закон Фарадея: любое изменение магнитного поля, в которое помещен проводник произвольной формы, вызывает в проводнике ЭДС электромагнитной индукции, т.е. приводит к появлению в замкнутом проводнике электрического тока. Если прямоугольную рамку, помещенную в магнитное поле, вращать каким-либо механическим способом, то мы получим электрический генератор. Явление электромагнитной индукции положено в основу принципа действия генераторов, двигателей и т.д. Причина изменения числа линий магнитной индукции, пронизывающих площадку, ограниченную проводящим контуром, может быть разной: проводящий контур движется в магнитном поле; проводящий контур покоится, но движется источник магнитного поля; проводящий контур и источник магнитного поля неподвижны, но меняется во времени ток, создающий магнитное поле. Согласно правилу Ленца индуктируемый вследствие явления электромагнитной индукции ток создает собственный магнитный поток, который препятствует изменению исходного магнитного потока. Аналогом этого явления в механике является явление инерции: изменение состояния механической системы возможно только за счет действия внешних сил и механическая система всегда препятствует изменению ее состояния. Так и в случае магнитных систем - при увеличении линий магнитной индукции внешнего потока индуктированный ток создаст магнитный поток, направленный навстречу исходному. Любой проводник при внесении его в переменное магнитное поле будет испытывать противодействие. Индуктированные в теле проводника токи называются вихревыми. В случае, если изменение магнитного поля происходит за счет изменения во времени тока в самом проводнике, то индуктируется ЭДС (напряжение) самоиндукции. Количественная связь между изменением тока во времени и наведенной ЭДС самоиндукции (или напряжения самоиндукции) определяется через собственную индуктивность. В случае, если изменение тока в контуре приводит к индуктированию ЭДС (напряжения) в другом контуре, то говорят о взаимной индукции, определяется взаимная индуктивность контуров с током. Явлении взаимоиндукции лежит в основе действия трансформаторов, генераторов, двигателей и т.д. Взаимоиндукцию необходимо учитывать при проектировании линий электропередачи, линий связи, электроизмерительных устройств. Как уже было сказано, под действием внешнего электрического поля (приложенной электродвижущей силы, ЭДС или приложенной разности потенциалов) в проводниках появляется электрический ток проводимости. Если приложена ЭДС, не изменяющая своего значения во времени, то в проводниках появляется постоянный ток, при переменной ЭДС - переменный ток. Но в любом случае явление электрического тока всегда сопровождается явлением электрического сопротивления. Сопротивление различных материалов в разных условиях объясняется квантовой теорией твердого тела. Согласно этой теории, электроны проводимости могут проходить в веществе расстояния, во много раз превышающие размеры атомов, но при столкновении с атомом электрон передает часть своей кинетической энергии, которая переходит в тепловую энергию. Иначе говоря, проводник нагревается. Электрическая энергия переходит в тепло или свет. Согласно закону Ома ток в металлах пропорционален приложенной разности потенциалов при условии, что температура проводника остается неизменной. Отношение приложенной разности потенциалов к току называют сопротивлением проводника. Особенности проявления электрических и магнитных полей в веществах, применяемых в электротехнических и электроэнергетических устройствах, требуют углубленного изучения теории электромагнитного поля. Уравнения электромагнитного поля (уравнения Максвелла) достаточно сложны, но в частном случае расчет электростатического поля, поля постоянных токов - электрического и магнитного (стационарного поля) проводится стандартными методами. 2. Основные понятия теории электрических и магнитных цепей Электрическая цепь – совокупность устройств, образующих пути для электрического тока, электромагнитные процессы в которой могут быть описаны с помощью понятий об электродвижущей силе, токе и напряжении. Уравнения электрической цепи с использованием интегральных величин могут быть записаны при условии, что цепь рассматривается как совокупность элементов, которые характеризуются интегральными параметрами, устанавливающими количественную связь между величинами. Основой такого описания служит способность элемента к накоплению (концентрации) электрической или магнитной энергии и преобразованию ее в другие виды. Основными элементами электрических цепей являются источники электромагнитной энергии, устройства для передачи и преобразования электромагнитной энергии и приемники этой энергии. Источниками электромагнитной энергии являются различные устройства для генерации электромагнитной энергии, т.е. преобразования различных видов энергии в электрическую. К химическим источникам относятся гальванические элементы и батареи, аккумуляторные элементы и батареи, электрохимические генераторы (топливные элементы). Физическими источниками являются электромашинные генераторы (турбо –, гидро –, дизель – генераторы), МГД –генераторы, термоэлектрические генераторы и генераторы, преобразующие энергию солнечного излучения, атомного распада и другие виды энергии. Приемники осуществляют преобразование электромагнитной энергии в энергию другого вида: в электродвигателях – в механическую, в электролизерах и заряжаемых аккумуляторах – в химическую, в электрических печах и нагревательных устройствах – в теплоту, в радиоприемниках – в акустическую энергию и т.д. В электрической цепи источники и преемники соединяются с помощью линий электропередачи, кабелей, шин (проводов), которые обеспечивают передачу электромагнитной энергии. Магнитная цепь - система устройств, содержащих ферромагнитные тела, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий магнитодвижущей силы, магнитного потока и магнитного напряжения. Магнитная цепь предназначена для усиления, надлежащего направления и концентрации магнитного потока, который создается токами обмоток или постоянными магнитами. Общие понятия, относящиеся к электрическим и магнитным цепям:  элемент (электрической) цепи Отдельное устройство, входящее в состав электрической цепи, выполняющее в ней определенную функцию  параметр элемента электрической цепи Величина, характеризующая какое-либо свойство элемента электрической цепи в качественном и в количественном отношениях  линейный элемент электрической цепи Элемент электрической цепи, у которого электрические напряжения и электрические токи или(и) электрические токи и магнитные потокосцепления, или(и) электрические заряды и электрические напряжения связаны друг с другом линейными зависимостями.  линейная электрическая цепь Электрическая цепь, у которой электрические напряжения и электрические токи или(и) электрические токи и магнитные потокосцепления, или(и) электрические заряды и электрические напряжения связаны друг с другом линейными зависимостями.  вольт-амперная характеристика Зависимость электрического напряжения на выводах элемента электрической цепи от электрического тока в нем  вебер-амперная характеристика Зависимость потокосцепления элемента или участка электрической цепи от электрического тока в этом или в другом элементе цепи  кулон-вольтная характеристика Зависимость заряда конденсатора от приложенного к нему электрического напряжения  активная (электрическая) цепь или участок электрической цепи Электрическая цепь, содержащая источники электрической энергии. Примечание  Аналогичное определение может быть отнесено к участку электрической цепи  пассивная (электрическая) цепь или участок электрической цепи Электрическая цепь, не содержащая источников электрической энергии 2.1. Электрическое сопротивление Резистор - элемент электрической цепи, предназначенный для использования его электрического сопротивления. Термину "сопротивление" соответствует несколько понятий: 1. Явление электрического сопротивления в проводящих материалах связано с явлением электрического тока проводимости; вследствие этого явления проводник нагревается, часть электромагнитной энергии поглощается и выделяется в виде тепла. Способность какого-либо участка цепи поглощать электромагнитную энергию при прохождении по нему электрического тока характеризуют электрическим сопротивлением этого участка. 2. Скалярная величина, коэффициент пропорциональности между напряжением и током при записи закона Ома, параметр линейного резистора. Определяется отношением напряжения на участке цепи к току в нем. Единицей Вольт сопротивления является Ом= , [Ом]. Ампер 3. Иногда в литературе "сопротивлением" называют устройство для регулирования, ограничения тока в цепи (например, реостат с плавной или ступенчатой регулировкой сопротивления). Поглощение электромагнитной энергии и выделение тепла происходит при постоянном и при переменном токе. При действии постоянных ЭДС на неподвижные проводники ток пропорционален разности потенциалов (или напряжению) на концах проводника, коэффициент пропорциональности - сопротивление проводника определяется геометрическими размерами проводника и физическими свойствами его материала. Схемное изображение резистивного участка - прямоугольник, буквенное обозначение сопротивления R. В старой литературе допускалось также использование r . Для проводника цилиндрической формы сопротивление может быть найдено по формуле: l R   l [Ом] S  - удельное сопротивление материала [Ом∙м] l - длина проводника [м] S - площадь поперечного сечения [м2] ρ S При действии переменных ЭДС сопротивление проводника сильно зависит от частоты благодаря скин-эффекту (вытеснение тока из центральной части на периферию). В теории линейных электрических цепей сопротивление идеального резистора принимается не зависящим от частоты источника и интенсивности электромагнитных процессов. Сопротивление изоляции коаксиального кабеля (в случае реального диэлектрика и наличия токов утечки между жилой и оболочкой) может быть рассчитано по формуле l R2 R1 R изоляции  l [Ом] 2 ln  R1  - удельная проводимость изоляции [См∙м] l - длина проводника [м] R1 - радиус жилы [м] R2 - внутренний радиус оболочки [м] R2 Сопротивление растекания (заземлителя) при растекания тока по земле (почве) с погруженных в нее металлических электродов рассчитывают методами теории поля. В случае полусферического заземлителя I R R0 заземлителя  1 [Ом] 2R0  - удельная проводимость почвы [См∙м] R0 - радиус полусферического заземлителя [м]  2.2. Емкость простейших систем Электрический конденсатор - элемент электрической цепи, предназначенный для использования его электрической емкости. Линейная емкость С численно равна отношению заряда на обкладках конденсатора к напряжению (разности потенциалов) Кулон между ними. Единицей емкости является Фарад= , [Ф]. Вольт  (электрическая) емкость проводника (С) Скалярная величина, характеризующая способность проводника накапливать электрический заряд, равная отношению электрического заряда проводника к его электрическому потенциалу в предположении, что все другие проводники бесконечно удалены и что электрический потенциал бесконечно удаленной точки принят равным нулю  электрический конденсатор Устройство для накопления электрических зарядов, система проводников (обкладок), разделенных между собой диэлектриком. У плоского конденсатора обкладками являются две плоскопараллельные металлические пластины  (электрическая) емкость конденсатора (С) Скалярная величина, равная отношению электрического заряда на обкладках конденсатора к разности электрических потенциалов обкладок (напряжению между обкладками) при условии, что эти обкладки имеют одинаковые по значению, но противоположные по знаку заряды и что все другие проводники бесконечно удалены Емкость конденсатора зависит как от вида материала, образующего диэлектрик конденсатора, так и от геометрических размеров и формы конденсатора. Относительная диэлектрическая проницаемость воздуха (вакуума) равна 1, для всякого диэлектрического материала больше 1. Пусть С0 - емкость конденсатора произвольной формы и размеров; если не меняя формы, размеров конденсатора заполнить пространство между обкладками материалом с диэлектрической проницаемостью  r , то емкость конденсатора увеличится в  r раз: C  r C0 . Рассмотрим пример, поясняющий расчет емкости для плоского конденсатора (системы двух металлических параллельных пластин, разделенных между собой слоем диэлектрика). Возьмем произвольную замкнутую поверхность вокруг одной из заряженных пластин (обкладок) конденсатора. По тереме Гаусса поток вектора напряженности, проходящий через любую S замкнутую поверхность, внутри которой расположен  r электрический заряд, равен: D  ES  Q .  r 0 Пренебрегая искажением поля у краев пластин конденсатора, напряженность d однородного электрического поля E  U , где U - напряжение d между Q обкладками. Тогда U Q , S d  r 0 заряд пропорционален напряжению  r 0 S Q S U . Емкость плоского конденсатора C   r 0 . d U d Линии передачи высокого напряжения можно рассматривать как обкладки конденсатора. Емкость провода определяют не только относительно других проводов, но и относительно земли, стен помещений и других поверхностей. Значительной емкостью обладают кабельные линии ввиду близкого расположения токоведущих жил между собой. Схемное изображение емкостного участка приведено ниже на рисунке, буквенное обозначение емкости участка С. Электрические емкости простейших систем Название Геометрия Электрическая емкость l Цилиндрический конденсатор (кабель с изоляцией) r R1 Название C R2 Геометрия Электрическая емкость 2r0 Двухпроводная линия передачи длиной l (при r0 d , r  1) C d Название Геометрия C h 0 l d ln r0 Электрическая емкость 2r0 Провод длиной l вблизи поверхности земли h , r  1) (при r0 2 r 0l R ln 2 R1 20 l 2h ln r0 2.3. Индуктивность простейших систем Индуктивная катушка - элемент электрической цепи, предназначенный для использования его индуктивности и [или] его магнитного поля. Линейная индуктивность L численно равна отношению потокосцепления к току. Единицей Вебер индуктивности является Генри= , [Гн]. Взаимная индуктивность M 12 равна Ампер отношению потокосцепления первой катушки к току второй катушки, обусловившим это потокосцепление вследствие явления взаимоиндукции. При этом M12  M 21  M . Коэффициент магнитной связи k  M . L 1 L2 Цепями с большой индуктивностью являются обмотки генераторов, электродвигателей, трансформаторов и индукционных катушек со стальными сердечниками. Меньшей индуктивностью обладают прямолинейные проводники. Лампы накаливания, электронагревательные приборы индуктивностью почти не обладают. Рассмотрим пример, поясняющий расчет индуктивности для тороида (кольцевого сердечника) с равномерной обмоткой на сердечнике в форме тора. Напряженность магнитного поля в сердечнике (по закону iw , где l - средняя длина l сердечника, i - ток в обмотке сердечника, w - число витков полного тока) равна H сердечника. Магнитная индукция зависит от магнитной проницаемости материала сердечника  r и равна iw , магнитный поток, сцепленный с l iw   BS   r 0 S . каждым витком обмотки равен Потокосцепление l iw2  w2 , собственная индуктивность торроида .   N   r 0 S L    r 0 S l i l B   r 0 H   r 0 Формула справедлива в предположении, что магнитное поле равномерно распределено по площади сечения магнитопровода. Более точная формула учитывает неравномерность распределения магнитного поля и приведена в таблице. Схемное изображение индуктивного участка приведено ниже на рисунке, при учете явления взаимоиндукции используют обозначения индуктивно-связанных элементов. Буквенное обозначение индуктивности участка L, взаимной индуктивности М. Индуктивности простейших систем Название Геометрия Индуктивность системы l Концентрический кабель с тонким цилиндрическим обратным проводом L h  r ‒ магнитная R1 Название Двухпроводная линия передачи длиной l l R  (0 ln 2  r 0 ) , 2 R1 4 проницаемость материала жилы (прямого провода) R2 Геометрия Индуктивность системы 2r0 d Lвозд  при r0 Название Геометрия Тороид с равномерно распределенной обмоткой d r0 l,  d , r  1 Индуктивность системы  r  0 w2 L S, l D 2 S D ,l 4 Соленоид Название 0 ln Геометрия Индуктивность системы  r 0 w2 R2 L ln , 2 R1  r ‒ магнитная проницаемость материала сердечника Название Трансформатор Геометрия Индуктивность системы  r 0 w12 L1  S, l  r 0 w22 L2  S l   ww M  r 0 1 2 S , k 1 l 3. Линейные цепи постоянного тока Основные понятия, относящиеся к расчету электрического тока (напряжения, мощности) в электрических цепях при действии постоянных ЭДС:  анализ электрической (магнитной) цепи Аналитическое или численное описание процессов в электрической (магнитной) цепи и ее свойств при заданной схеме и значений параметров элементов; расчет токов и напряжений в ветвях электрической цепи, расчет показаний приборов (амперметров, вольтметров, ваттметров)  второй закон Кирхгофа Алгебраическая сумма напряжений на всех участках любого замкнутого контура равна нулю u0   закон Ома Закон, устанавливающий пропорциональную зависимость между напряжением и током для резистивного элемента  первый закон Кирхгофа Алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю i0   постоянный (электрический) ток Электрический ток, не изменяющийся во времени.  установившийся режим (в электрической цепи) Режим электрической цепи, при котором электродвижущие силы, электрические напряжения и электрические токи в цепи являются постоянными или периодическими Основные понятия, относящиеся к топологии электрической цепи:  ветвь (электрической цепи) Участок электрической цепи, с одним и тем же электрическим током  вывод (электрической цепи) Точка электрической цепи, предназначенная для выполнения соединений с другой электрической цепью  двухполюсник Часть электрической цепи с двумя выделенными выводами  контур (электрической цепи) Последовательность ветвей электрической цепи, образующая замкнутый путь, в которой один из узлов одновременно является началом и концом пути, а остальные встречаются только один раз  многополюсник Часть электрической цепи, имеющая более двух выделенных выводов  параллельное соединение (участков электрической цепи) Соединение, при котором рассматриваемые участки цепи присоединяются к одной паре узлов  последовательное соединение (участков электрической цепи) Соединение, при котором через рассматриваемые участки электрической цепи возможен только один и тот же электрический ток  смешанное соединение (участков электрической цепи) Сочетание последовательного и параллельного соединений участков электрической цепи  схема (электрической цепи) Графическое изображение электрической цепи, содержащее условные обозначения ее элементов и показывающее соединения этих элементов  схема замещения (электрической цепи) Схема электрической цепи, отображающая свойства цепи при определенных условиях  узел (электрической цепи) Место соединения ветвей электрической цепи  участок (электрической) цепи Часть электрической цепи, содержащая выделенную совокупность ее элементов  эквивалентная схема (электрической цепи) Схема замещения, в которой величины, подлежащие рассмотрению, имеют те же значения, что и в исходной схеме замещения  (электрическое) соединение Соединение участков электрической цепи, с помощью которого образуется электрическая цепь 3.1 Элементы цепей постоянного тока Элементами электрических цепей постоянного тока являются линейные резисторы и линейные источники, не изменяющие значения ЭДС во времени. Резистор является пассивным элементом, линейный источник - активным элементом электрической цепи. Обозначают постоянные токи и напряжения, ЭДС в виде источников напряжения и тока как I [А], U [В], E [В], J [А]. Резистор – элемент электрической цепи, предназначенный для использования его электрического сопротивления. Для линейного резистора компонентное уравнение (зависимость между напряжением и током) определяется законом Ома: U=R∙I. Параметром резистивного элемента является значение сопротивления R [Ом]. В качестве параметра резистивного элемента может быть задано как сопротивление R [Ом], так и величина ему обратная – проводимость G = 1/R [См] – (Сименс). Компонентное уравнение I=G∙U. В пассивном элементе за условно-положительное направление электрического тока I принято направление от большего потенциала к меньшему потенциалу. При расчетах электрических цепей условно-положительные направления токов и напряжений на каждом резисторе принимают совпадающими. Это правило позволяет правильно и одинаково формировать уравнения для токов и напряжений в соответствии выбранным направлением тока ветви, направлением обхода контура и т.д. Направление тока в элементе выбрано от a к b , следовательно a  b . Напряжение на резисторе принимается, что U  U ab  a  b . Направление тока в элементе выбрано от b к следовательно принимается, что резисторе U  U ba  b  a . a, b  a . Напряжение на Зависимость напряжения от тока U(I) или тока от напряжения I(U) (вольт-амперная характеристика, ампер-вольтная характеристика, ВАХ) для резистора – прямая линия, проходящая через начало координат. При увеличении сопротивления увеличивается угол наклона прямой U(I) относительно оси абсцисс ( I ). Резистор – пассивный элемент, при нулевом токе и конечном сопротивлении напряжение на резисторе также равно нулю. При R   проводимость G  0 , ток на этом участке равен нулю при любом напряжении. Пассивный участок с нулевой проводимостью называют «разомкнутый» и изображают с разрывом. При R=0 (идеализированный случай, на данном участке пренебрегают его электрическим сопротивлением) напряжение равно нулю при любом токе в элементе. Пассивный участок с нулевым сопротивлением называют «короткозамкнутый» и изображают как провод, при этом a  b . В схемах электрических цепей используют два типа идеальных источников энергии – идеальный источник напряжения (ЭДС) и идеальный источник тока. Для исследования свойств активного элемента двухполюсника построим внешнюю характеристику U(I) источника при изменении сопротивления нагрузки (приемника) – нагрузочную характеристику. Для идеального источника напряжения (ЭДС) напряжение на его зажимах не зависит от тока в источнике и равно значению ЭДС Е. Нагрузочная характеристика – прямая, параллельная оси тока. Сопротивление участка с идеальным источником напряжения равно нулю. Компонентное уравнение U=Е. Условное обозначение при выбранном условно-положительном направлении тока и напряжения имеет вид: Внутренняя стрелка источника ЭДС Е однозначно определяет больший потенциал («+») соответственно напряжение на идеальном источнике a  b , U  U ab  a  b  E . Напряжение численно равно Е, направлено от большего потенциала к меньшему, т.е. против стрелки ЭДС. Внешняя характеристика реального источника характеристики идеального источника напряжения: напряжения отличается от Только при нулевом токе U(0)=Е, это напряжение называют напряжением холостого хода, все переменные, соответствующие холостому ходу помечают индексом «хх» или «0»: обозначают Uхх или U0. При ненулевом токе напряжение на элементе отличается от Е на ΔU, чем больше ток, тем меньше напряжение на элементе. В качестве модели реального источника можно принять идеальный источник ЭДС, последовательно соединенный с резистором. Сопротивление резистора схемы замещения называют внутренним сопротивлением реального источника напряжения Rвн. При этом ΔU= Rвн∙ I. Компонентное уравнение реального источника: U= Е–ΔU, U= Е– Rвн∙ I. Для идеального источника тока ток не зависит от напряжения на его зажимах. Нагрузочная характеристика – прямая, параллельная оси напряжения. Ток в ветви с источником тока равен току источника J. Сопротивление участка с идеальным источником тока равно "бесконечности". Компонентное уравнение идеального источника тока I = J. Условное обозначение при выбранном условно-положительном направлении тока и напряжения имеет вид: Напряжение U на идеальном источнике тока численно равно разности потенциалов U  U ab  a  b (направление от "+" к "-") и может быть рассчитано по второму закону Кирхгофа или по обобщенному закону Ома. Внешняя характеристика реального источника тока отличается от характеристики идеального источника тока: При ненулевом напряжении ток на элементе отличается от J на ΔI, чем больше напряжение, тем меньше ток. В качестве модели реального источника можно принять идеальный источник тока, параллельно соединенный с резистором. Сопротивление резистора схемы замещения называют внутренним сопротивлением реального источника тока Rвн. При этом ΔI= U/ Rвн = Gвн∙ U. Компонентное источника: уравнение реального I = J –Δ I , I = J – Gвн∙ U. При нулевом напряжении I(0)=J, такой ток называют током короткого замыкания, все переменные, соответствующие короткому замыканию, помечают индексом «кз» или «к»: обозначают I кз или I к. Для идеального источника напряжения Rвн=0, схема замещения нулевого источника напряжения (Е=0) – короткозамкнутая ветвь (провод). Для идеального источника тока Gвн=0 ( Rвн   ), схема замещения нулевого источника тока (J =0) – разомкнутая ветвь (разрыв). Если при изменении сопротивления приемника сохраняется условие Rвн<< Rн, то для реального источника напряжения режим короткого замыкания является аварийным (недостижимым); для реального источника тока при выполнении условия Rвн>> Rн недостижимым является режим холостого хода. Для идеальных источников это условие выполняется автоматически. Любая часть электрической цепи, содержащая источники ЭДС и рассмотренная относительно двух зажимов (полюсов) представляет собой активный двухполюсник. Внешняя характеристика линейного источника (активного двухполюсника) имеет вид: В этом случае напряжение холостого хода и ток короткого замыкания связаны соотношением Uхх= Rвн∙ I кз и находятся в диапазоне изменения напряжения и тока (граничные значения). Используют две схемы замещения такого реального источника или активного двухполюсника: последовательную и параллельную. Эти схемы замещения являются эквивалентными (т.е. во внешней части цепи токи и напряжения будут одинаковыми при использовании последовательной или параллельной схем замещения). Компонентное уравнение U=Uхх – Rвн∙ I соответствует последовательной схеме замещения, а I = I кз – U/Rвн или I = I кз – Gвн ∙U параллельной схеме замещения. 3.2 Методы расчета цепей постоянного тока. При расчете токов и напряжений используют разные методы, в зависимости от того, необходимо ли рассчитать токи во всех ветвях, чтобы составить уравнение баланса активных мощностей; рассчитать ток (напряжение) в одной ветви или составить уравнение, показывающее изменение значения тока (напряжения) ветви при изменении значения какого - либо параметра (величины ЭДС, сопротивления участка и т.д.). При этом схема электрической цепи, параметры элементов (диапазон изменения параметров) заданы. Основными методами расчета токов (составления расчетных уравнений) в линейных электрических цепях при действии постоянных ЭДС являются: 1. 2. 3. 4. Уравнения на основе законов Кирхгофа. Метод наложения или суперпозиции. Метод контурных токов. Метод узловых потенциалов. Для проверки найденных значений токов и напряжений составляется уравнение энергетического баланса (баланс активных мощностей). 3.3 Эквивалентные преобразования в цепях постоянного тока. Обобщенный закон Ома. "Формула разброса". Теорема компенсации. При решении задач часто используют эквивалентные преобразования какой-либо части схемы, не изменяющие в общем случае токи и напряжения в оставшейся части схемы. Так, две схемы замещения активного двухполюсника являются эквивалентными для расчета токов и напряжений в оставшейся части схемы. При определении входных и взаимных проводимостей, коэффициентов передачи по току пользуются входными сопротивлениями, расчет которых производится с помощью последовательнопараллельных преобразований резисторов, преобразованием «треугольник-звезда». Последовательным соединением участков электрической цепи называют соединение, при котором через все участки цепи проходит один и тот же ток. Последовательное соединение пассивных участков (резисторов) и активных участков (источников ЭДС) может быть эквивалентно преобразовано: R  R1  R2 G  G1G2 G1  G2 E  E1  E2 Параллельным соединением участков (ветвей) электрической цепи называют соединение, при котором все участки (ветви) цепи присоединяются к одной и той же паре узлов и на всех участках (ветвях) имеется одно и то же напряжение. Параллельное соединение пассивных участков (резисторов) и активных участков (источников тока) может быть эквивалентно преобразовано: G  G1  G2 R  R1R2 R1  R2 J  J1  J 2 При расчете входного сопротивления, могут понадобиться эквивалентные преобразования трехполюсников. Пассивные трехполюсники в цепях постоянного тока представляют собой соединение резисторов «треугольник» и «звезда». Формулы эквивалентного перехода: Rab  Ra  Rb  Ra  Rb R R R R , Rbc  Rb  Rc  b c , Rca  Rc  Ra  c a ; Rc Ra Rb Ra  Rab  Rca Rbc  Rab Rbc  Rca , Rв  , Rc  . Rab  Rca  Rbc Rab  Rca  Rbc Rab  Rca  Rbc Для ветви, представляющей собой последовательное соединение источников ЭДС и резисторов, уравнение, связывающее ток и напряжение ветви, имеет вид обобщенного закона Ома: Напряжение ветви U  a  b в соответствии с выбранным направлением тока (от a к b) и компонентными уравнениями участков равно: U  IR1  E1  IR2  E2  IR3 , следовательно I  a  b  E1  E2 . R1  R2  R3 Если a  b , то для одноконтурной (неразветвленной цепи) I  E1  E2 . R1  R2  R3 Это выражение соответствует составленному по второму закону I En R k  схемы уравнению, Кирхгофа: E1  E2 . R1  R2  R3 Токи в двух параллельных пассивных ветвях могут быть найдены через суммарный ток ("формула разброса"): I  IA  IB , IA  I RB RA , IB  I RA  RB RA  RB Значительно упрощает расчет сложных цепей использование теоремы компенсации. В сложной электрической цепи любой двухполюсник с известным током может быть заменен ветвью с источником тока, равным исходному и совпадающим с ним по направлению. В оставшейся части схемы токи после замены останутся неизменными. В сложной электрической цепи любой двухполюсник с известным напряжением (или известным сопротивлением и током) может быть заменен ветвью с источником ЭДС, равным этому напряжению и направленным противоположно напряжению ветви. В оставшейся части схемы напряжения после замены останутся неизменными. Компенсация тока источника тока введением эквивалентных ЭДС уменьшает количество узлов, следовательно, число неизвестных узловых потенциалов. При расчете цепей МУП это преобразование позволяет сократить число решаемых уравнений и является целесообразным. 3.4 Законы Кирхгофа Законы Кирхгофа устанавливают соотношения для токов и напряжений в разветвленных электрических цепях. На базе законов Кирхгофа формируются уравнения электрических цепей. При составлении уравнений по законам Кирхгофа необходимо задаться условно-положительными направлениями токов во всех ветвях, обозначив выбранное направление стрелками. Уравнения составляются для узлов и контуров схемы электрической цепи. Ветвью электрической цепи и, соответственно, ее схемы называют участок электрической цепи, в котором ток имеет одно и то же значение вдоль всего участка. Особая ветвь – ветвь с идеальным источником тока J, ток в этой ветви считается известным и равным току источника. Узлом электрической цепи и, соответственно, ее схемы называют место соединения ветвей. Место соединения элементов в одной ветви называют «устранимый» узел. Контуром электрической цепи и, соответственно, ее схемы называют любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. Независимый контур должен содержать ветвь, входящую только в данный контур и не входящую в другие контуры. Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в одном узле, равна нулю. Уравнение, составленное по этому закону, имеете вид: I k  0, причем токи, выходящие из узла, записывают в уравнении с положительным знаком, а токи, входящие в узел – с отрицательным знаком. Необходимое и достаточное количество уравнений по первому закону Кирхгофа равно кI=у-1, у – число узлов. Для составления минимального количества уравнений в расчетное число узлов не входят «устранимые» узлы, «расщепленный» узел считается за один. Пример 1. Для схемы электрической цепи количество узлов 7. Но узлы 1 и 6 расщепленные, они имеют одинаковый потенциал, узлы 2 и 7 также расщепленные и имеют одинаковый потенциал (соединены короткозамкнутыми ветвями). Узлы 3, 4 и 5 являются устранимыми и в расчетное число могут не входить. Объединяя «расщепленные» узлы в 1 и 2 получаем расчетное количество узлов у=2. Таким образом, число уравнений по первому закону Кирхгофа кI=у-1=1. В соответствии с выбранным направлением токов в ветвях составим уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 1:  I1  I 2  I3  I 4  0 . Так как в четвертой ветви есть идеальный источник тока, то I 4  J . Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений ветвей вдоль любого контура равна нулю. Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа, имеете вид: U k  0, причем напряжения, направления которых совпадают с направлением обхода контура, берутся с положительным знаком, а напряжения, направления которых противоположны направлению обхода контура – с отрицательным знаком. Напряжение ветвей состоит из напряжений отдельных элементов, входящих в ветвь. Часто пользуются еще одной формулировкой второго закона Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений в пассивных элементах (резисторах) любого контура равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре. R I  E k k n . В таком случае контур не должен содержать ветви с источником тока (особые ветви), только ветви с резистивными элементами и источниками ЭДС (RE – ветви). Необходимое и достаточное количество уравнений по второму закону Кирхгофа равно кII=в-(у-1), где в – число ветвей. Для составления минимального количества уравнений в расчетное число ветвей не входят короткозамкнутые и особые ветви. Таким образом, число неизвестных в уравнениях, составленных по первому и второму закону Кирхгофа, будет равно числу RE – ветвей с неизвестными токами или напряжениями. Если в число ветвей включены особые ветви, то неизвестными являются также напряжения на источниках тока UJ, но в таком случае записывать уравнения по второму закону Кирхгофа надо в первой формулировке. Алгоритм составления уравнений и расчета токов по законам Кирхгофа 1) Произвольно выбирают условно-положительные направления всех токов во всех ветвях электрической цепи. 2) Определяется количество ветвей и узлов в схеме. При подсчете количества ветвей в схеме не учитывают ветви с идеальными источниками тока и «короткозамкнутые» ветви. Определяются кI и кII. Составляют уравнения по первому закону Кирхгофа. 3) Количество уравнений по второму закону Кирхгофа равно числу независимых контуров, отличающихся хотя бы одной ветвью. Произвольно выбирают контура (не захватывая ветвь с источником тока) и направления обходов независимых контуров. 4) Составление уравнений по второму закону Кирхгофа осуществляется по следующим правилам знаков: а) Если направление ЭДС совпадает с обходом контура, то в уравнении она записывается с «+», если нет – с «-». б) Если направление тока в резисторе совпадает с обходом контура, то напряжение IR в уравнении записывается со знаком «+», если нет – с «-». 5) Любым методом решается система уравнений относительно неизвестных токов ветвей. Проверка осуществляется с помощью составления уравнения баланса мощностей и подстановкой в уравнение полученных численных значений. Пример 2. Схема электрической цепи содержит 7 ветвей, из них одна –особая ветвь с известным током I4=J и две короткозамкнутые с токами I6 и I7. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа для RE – ветвей в расчетное количество ветвей эти ветви не входят, т.е. в=3, соответственно, число уравнений по второму закону Кирхгофа кII=в-(у-1)=2. Для двух контуров, состоящих из RE – ветвей, уравнения имеют вид: I контур: R1I1  R2 I 2  E1  E2    Rk I k   En . II контур:  R2 I 2  R3 I 3   E2  При составлении уравнений для контуров, содержащих ветви с источником тока, количество ветвей в=4, соответственно, число уравнений по второму закону Кирхгофа кII=в-(у-1)=3. В таком случае в число неизвестных войдет напряжение на источнике тока U J  4  1 . I контур: R1I1  R2 I 2  E1  E2  0   II контур:  R2 I 2  R3 I 3  E2  0  U k  0 . III контур:  U J  R4 I 4  E1  R1I1  0  Полное количество уравнений, составленных по законам Кирхгофа: 1) кI+кII=3 (число неизвестных токов I1, I2 и I3, исключая токи в короткозамкнутых ветвях): для 1 узла:  I1  I 2  I 3  I 4  0, I 4  J I контур: R1I1  R2 I 2  E1  E2 ; II контур:  R2 I 2  R3 I 3   E2 2) кI+кII=4, если в число неизвестных включено напряжение на источнике тока: для 1 узла:  I1  I 2  I 3  I 4  0, I 4  J I контур: R1I1  R2 I 2  E1  E2  0 II контур:  R2 I 2  R3 I 3  E2  0 III контур:  U J  R4 I 4  E1  R1I1  0 Для определения токов I6 и I7 необходимо составить уравнения по первому закону Кирхгофа для узла 1 или 6 и узла 2 или 7:  I1  I 4  I 6  0 I1  I 4  I 7  0 . 3.5 Метод контурных токов Использование метода контурных токов и метода узловых потенциалов позволяет сократить число решаемых уравнений. Метод узловых потенциалов лежит в основе многих программ расчета токов и напряжений с использованием ЭВМ. Количество уравнений, составленных по методу контурных токов равно числу уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа кII=в-(у-1) и равно числу взаимно независимых контуров. При этом искомыми являются введенные «контурные токи», которые замыкаются по выбранным контурам. Таким образом, в основе метода используется прием, называемый в математике «замена переменных». После определения контурных токов, ток в любой ветви может быть найден как алгебраическая сумма контурных токов. Контурные уравнения – уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа для контурных токов. Алгоритм составления уравнений и расчета токов методом контурных токов (МКТ) 1) Произвольно выбираются направления токов во всех ветвях и изображаются на схеме. 2) Определяют количество узлов (у) и количество ветвей (в) цепи. Количество неизвестных контурных токов равно кII=в-(у-1). Выбирают контура и соответствующие им основные (неизвестные) контурные токи. 3) Если в схеме есть ветви с источниками тока J, то для каждой "особой" ветви вводятся дополнительные "особые" контурные токи, которые замыкаются по произвольному пути. "Особый" контур может содержать только одну "особую" ветвь. 4) Выбирается направление неизвестных контурных токов. Направление обхода основных контуров совпадает с направлением контурных токов; выбранные направления изображаются на схеме. 5) По правилу знаков второго закона Кирхгофа составляют уравнения для неизвестных контурных токов. 6) Любым методом решается система уравнений, определяются неизвестные контурные токи. 7) Ток в каждой ветви определяется как результат наложения (алгебраическая сумма) контурных токов. Если направление тока ветви совпадает по направлению с контурным током, то слагаемое берется со знаком «+», в противном случае со знаком «-». Проверка правильности расчета токов ветвей осуществляется подстановкой найденных значений в уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, или по балансу активных мощностей. Пример 3. Схема электрической цепи содержит три ветви с токами I1 , I 2 и I 3 . Определить токи методом контурных токов. Рассчитаем число узлов и ветвей: у=2, в=3. Число уравнений по законам Кирхгофа: кI=1, кII=2. Число независимых контуров определяет число неизвестных контурных токов II и III (чтобы отличать от токов ветвей, примем нумерацию римскими цифрами). Первый (I) контур включает из 1 и 3 ветви, второй (II) контур включает 2 и 3 ветвь. 3 ветвь является взаимной, т.е. принадлежащей и первому и второму контуру. Составим контурные уравнения: I контур: ( R1  R3 ) I I  R3 I II  E1    Rконт I конт   Eконт II контур: R3 I I  ( R2  R3 ) I II  E2  Или в более компактной форме записи: I контур: RI I I I  RI II I II  EI II контур: RII I I I  RII II I II  EII где RI I =R1+R3 – контурное (собственное) сопротивление контура I, RII II =R2+R3 – контурное (собственное) сопротивление контура II, RI II = RII I =R3 – взаимное (или общее) сопротивление, т.е. сопротивление ветви, принадлежащее контурам I и II, EI=E1 – контурная ЕДС контура I, EII=E2 – контурная ЕДС контура II. Токи ветвей определяют после решения системы, т.е. численного определения контурных токов: ток первой ветви совпадает по направлению с первым контурным током II, ток второй ветви совпадает по направлению со вторым контурным током, ток третьей ветви есть результат наложения второго контурного тока со знаком «+» и первого со знаком «-»: I1  I I ; I 2  I II ; I3  I II  I I . Пример 4. Схема электрической цепи содержит ветви с неизвестными токами I1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 и две ветви с источниками тока J 6 и J 7 . Определить неизвестные токи методом контурных токов. Рассчитаем число узлов и ветвей: у=4 (один - "расщепленный"), в=5 (без учета короткозамкнутых ветвей и ветвей с источниками тока). Число уравнений по законам Кирхгофа: кI=3, кII=2. Число независимых контуров кII=2 определяет число неизвестных контурных токов II и III. Для известных контурных токов "особые уравнения" I III  J 6 , I IV  J 7 . Контурные уравнения с учетом направления всех контурных токов (включая IIII и IIV) в взаимных ветвях, принадлежащих разным контурам, имеют вид: I контур: I I  R1  R3  R4   I II R3  I III R1  I IV R4  E1 II контур:  I I R3  I II  R2  R5  R3   I IV R5  E2 После решения уравнений относительно неизвестных контурных токов можно определить токи ветвей: I1  I I  I III ; I 2  I II ; I3  I II  I I ; I 4  I IV  I I ; I 5  I IV  I II . 3.6 Метод узловых потенциалов Метод узловых потенциалов основан на первом законе Кирхгофа и обобщенном законе Ома. При составлении узловых уравнений вводят расчетное понятие «узловой потенциал». Потенциал одного из узлов (как правило, с большим порядковым номером) принимают равным нулю. Рассчитывают относительно этого узла потенциалы остальных узлов, которые и называют «узловые потенциалы». Количество узловых уравнений равно числу уравнений по первому закону Кирхгофа кI =у-1. Порядок составления уравнений и расчета токов ветвей по методу узловых потенциалов: 1) Произвольно задаемся направлениями токов в ветвях и изображаем их на схеме. 2) Определяем количество узлов в схеме и количество необходимых узловых уравнений, которое равно кI=у-1. 3) Потенциал одного из узлов принимаем за нулевой. Удобно за нулевой потенциал выбирать потенциал узла, имеющего больший порядковый номер, или в котором сходятся наибольшее количество ветвей. Если в схеме есть ветвь с ЭДС, но без резисторов (ветвь с нулевым сопротивлением), то за нулевой потенциал берется один из потенциалов этой ветви. 4) Составляются уравнения для каждого из узлов. для 1 узла: для 2 узла: для m узла: G111 – G122 – G133   J1 у узловой ток 1 узла G211  G222 – G233  J2 у узловой ток 2 узла Gm11  Gm 22  Gmmm  Jm у узловой ток m узла Коэффициенты узловых уравнений Gmm (по главной диагонали) и Gmn (вне главной диагонали) определяются следующим образом: собственная узловая проводимость Gmm как сумма проводимостей ветвей, соединенных с m узлом, взаимная узловая проводимость Gmn как сумма проводимостей ветвей, соединяющих m и n узлы. Как видно из уравнений, в левой части все слагаемые записываются со знаком «-» ( Gmnn ), кроме слагаемых, расположенных по главной диагонали ( Gmmm ). В правой части уравнения рассчитывается "узловой ток" (в некоторой литературе "задающий"), определяемый заданными значениями ЭДС и токов источников: Jm у узловой ток m узла   для m узла Ek Gk   Jn для m узла Правило знаков для расчета «узлового тока»: если ЭДС ветви направлена к рассматриваемому узлу, то произведение Ek Gk записывается со знаком «+», если от узла с «-»; если ток источника тока J n направлен к рассматриваемому узлу, то этот ток записывается со знаком «+», если от узла с «-». 5) Решаем полученную систему уравнений и определяем потенциалы узлов. 6) По обобщенному закону Ома и найденным потенциалам рассчитываем токи в ветвях. Проверка полученных результатов осуществляется по первому закону Кирхгофа для токов ветвей или составлением уравнения баланса мощностей. Пример 5. Рассмотрим схему электрической цепи с тремя узлами (3 узел "расщепленный"), неизвестными токами ветвей I1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 и две ветви с источниками тока J 6 и J 7 . Число уравнений по законам Кирхгофа: кI=2, кII=5. Число неизвестных узловых потенциалов кI=2. Пусть 3 =0. Неизвестные узловые потенциалы 1 и 2. Составим узловые уравнения: G111  G122  J1 у   EG   J 1 1 1G21  G222  J 2   EG   J у 2 или G111  G122  E1G1  E5G5  J 6 1G21  G222  E5G5  E3G3  J 7 , 2 где G11=(G1+ G2+ G4+ G5) – сумма проводимостей всех ветвей, соединенных с узлом 1, проводимости ветвей G1=1/R1, G2=1/R2, G3=1/(R3+R6), G4=1/R4, G5=1/R5, аналогично G22=(G4+ G5+ G3) – сумма проводимостей всех ветвей, соединенных с узлом 2; G12=G21= (G4+G5) - сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы 1 и 2; J1у и J2у – «узловые токи» соответственно 1 и 2 узлов (токи источников). После решения узловых уравнений относительно 1 и 2 токи ветвей определяют по обобщенному закону Ома: I1  [3  1  E1 G1  0  1  E1 ]G1 ; I 2  (1  3 )G2  (1  0)G2 ; I3  (2  3  E3 )G3  (2  0  E3 )G3 ; I 4  (1  2 )G4 ; I5  (1  2  E5 )G5 . Если число узлов в схеме равно двум, то количество уравнений, составленных по методу узловых потенциалов кI=1. Формула двух узлов для определения, к примеру, потенциала 1 имеет вид: G111  J1(у) или 1  G  E   J G и часто используется при расчете токов и напряжений. При этом путем разных эквивалентных преобразований (преобразование пассивных и активных двухполюсников, применение теоремы компенсации и т.д.) исходная схема приводится к схеме с двумя узлами. Пример 6: Дано:R1 = 100 Ом, R2 = 2 КОм, R3 = 500 Ом, Е1 = 25 В, J2 = 125 мA. Определить токи ветвей методом контурных токов и методом узловых потенциалов. Составим контурные уравнения. Пусть II – неизвестный контурный ток I-го контура, состоящего из первой ветви (R1 и Е1) и третьей ветви (R3), III – неизвестный контурный ток II-го контура, состоящего из второй ветви (R2) и третьей ветви (R3). Для учета тока источника J введем “особый контур” с известным контурным током IIII= J. “Особый контур” включает ветвь с источником тока J и ветвь с резистором R2. I I ( R1  R3 )  I II R3  E1 I II ( R2  R3 )  I I R3  I III R2  0 I III   J Решение контурных уравнений: I II  0,11 А, I I  0,05 А. Определим токи ветвей из найденных контурных токов: I1  I I  0,05 А; I 2   I III  I II  0,015 А; I3  I I  I II  0,06 А. Решим задачу методом узловых потенциалов. Пусть 2  0 . Тогда E1 25  J2  0,125 R1 100 1    30 В. 1 1 1 1 1 1     R1 R2 R3 100 500 2000 Токи ветвей найдем по обобщенному закону Ома: I1  2  1  E1 0  30  25   2 30   0,05 А; I 2  1   0,015 А; R1 100 R2 2000 I3  1  2 30   0,06 А. R3 500 Токи определены верно, т.к. решения совпадают. Пример 7. Дано: R1= 40 Ом, Е1 = 220 В, R2 = 200 Ом, Е2 = 100 В, R3 = 100 Ом, Е3 =120 В. Определить токи ветвей. Решим задачу методом узловых потенциалов. Пусть 0  0 . Тогда для 1 составим узловое уравнение (формула двух узлов): E1 E2 E3 220 100 120     R1 R2 R3 1   40 200 100  155 В. 1 1 1 1 1 1     R1 R2 R3 40 200 100 Токи ветвей определим по обобщенному закону Ома: I1  0  1  E1 0  155  220 65    1,625 А; R1 40 40 I2  1  0  E2 155  0  100 255    1, 275 А; R2 200 200 I3  0  1  E3 0  155  120 35    0,35 А R3 100 100 Проверка по первому закону Кирхгофа I 2  I1  I3 : определены верно. 1,275  1,625  0,35 . Токи 3.7 Принцип наложения и метод наложения Для линейных электрических цепей справедлив принцип наложения, согласно которому ток (напряжение) любой ветви равен сумме частичных токов (напряжений), создаваемых в этой ветви каждым из источников в отдельности. Этот принцип лежит в основе метода наложения. Метод наложения применим только для расчета линейных цепей. Частичный ток – ток в ветви от действия только одного источника энергии, когда все остальные источники приняты нулевыми. Пусть в цепи действуют n идеальных источников ЭДС и m идеальных источников тока. Тогда ток в i-ой ветви может быть определен как Ii  Ii( E1 )  Ii( E2 )   Ii( En )  Ii( J1 )  Ii( J2 )   Ii( Jm ) . Для удобства использования принципа наложения вводят коэффициенты gij и kij, определяющие связь тока Ii со значениями источников, так как при действии одного источника ток в линейной цепи пропорционален величине источника: Ii  gi1E1  gi 2 E2   gin En  ki1J1  ki 2 J 2   kim J m , где gij – взаимная проводимость ветвей i и j (при j=i gij = gii называют входной проводимостью ветви i), а kij – коэффициент передачи по току между ветвями i и j. Взаимная проводимость (коэффициент передачи по напряжению) gij определяется как отношение тока в ветви i, обусловленного действием ЭДС Ej к величине этой ЭДС (E ) Ii j при условии, что остальные ЭДС и токи источников тока цепи равны нулю: gij  . Ej Коэффициент передачи по току kij определяется как отношение тока в ветви i, обусловленного действием источника тока Jj к току источника при условии, что (J ) Ii j остальные источники ЭДС и токи источников тока равны нулю: kij  . Определить Jj частичные токи и соответственно коэффициенты можно по частичным схемам. Используя расчетные коэффициенты можно решать не только задачи прямого анализа электрических цепей, но и обратные задачи, в которых часть параметров цепи с известной топологией неизвестна и подлежит определению, а в число известных параметров могут быть включены токи и напряжения некоторых ветвей цепи. Пример 8. Определить ток I5, применив метод наложения. Определить значение ЭДС Е1, при котором I5=0. По методу наложения I5  I5( E1 )  I5( E5 )  I5( J6 )  g51E1  g55 E5  k56 J 6 . Частичная схема для расчета частичных токов от источника Е1 (Е5=0, J6=0): Применим эквивалентные преобразования: R34  R3  R4 (параллельное соединение R3  R4 резисторов), R345  R34  R5 (последовательное соединение), R3452  соединение). Входная проводимость 1-ой ветви g11  1 Rвх ( E1 ) R345  R2 (параллельное R345  R2 , где входное сопротивление 1- ой ветви Rвх( E1 )  R3452  R1 . Частичный ток в ветви с источником I1( E1 )  формуле разброса I 5( E1 )  I1( E1 )  См. Лекцию №3.  R2 R2    g11  E1  g51E1 . R345  R2  R345  R2  E1 Rвх( E1 )  g11E1 . По Частичная схема для расчета частичных токов от источника Е5 (Е1=0, J6=0): Применим эквивалентные преобразования: R12  R1  R2 R R , R34  3 4 (параллельное R1  R2 R3  R4 соединение резисторов). Входная проводимость 5-ой ветви g55  сопротивление Rвх ( E5 )  R12  R34  R5 , тогда I 5( E5 )  g55 E5  1 Rвх ( E5 ) , где входное 1 E5 . R12  R34  R5 Частичная схема для расчета частичных токов от источника J6 (Е1=0, Е5=0): Применим эквивалентные преобразования: R12  R1  R2 R R , R34  3 4 (параллельное R1  R2 R3  R4 соединение резисторов), R125  R12  R5 (последовательное соединение). Напряжение на источнике I 5( J6 )   тока U  J 6  Rвх ( J6 ) , где Rвх ( J6 )  R125  R34 , R125  R34 тогда частичный ток U R34  J  k56 J . R125 R125  R34 Сумма частичных токов: I5  I5( E1 )  I5( E5 )  I5( J6 ) , коэффициенты передачи g51  0 , g55  0 , k56  0 . Результат наложения частичных токов равен нулю, т.е. I5  g51E1  g55 E5  k56 J 6  0 , если при неизменности параметров остальных элементов значение ЭДС будет равно E1   g55 E5  k56 J 6 . g51 3.8 Уравнение баланса активных мощностей По закону сохранения энергии для замкнутой цепи вся мощность, которая вырабатывается источником энергии, должна полностью поглощаться потребителями энергии. Равенство мощностей генераторов (источников) и приемников (нагрузок) называют балансом мощностей: P  P г пр . Активная мощность потребителя (приемника): Активная мощность источников (источников напряжения и источников тока): Если направление тока ветви совпадает с направлением ЭДС источника напряжения Е, активная мощность участка (ветви) учитывается в уравнении баланса со знаком «+». Если направление тока ветви не совпадает с направлением ЭДС, такой участок (ветвь) рассматривается как активный потребитель, активная мощность источника ЭДС учитывается в уравнении баланса со знаком «-». Для источника тока J знак, с которым мощность источника тока входит в уравнение баланса определяется тем, как рассчитано напряжение U J на участке с источником тока. Таким образом, должно выполняться равенство (уравнение баланса активных мощностей)  E I  U n n n m Jm J m   I k2 Rk . k Пример 9. Дано: R1= 40 Ом, Е1 = 220 В, R2 = 200 Ом, Е2 = 100 В, R3 = 100 Ом, Е3 =120 В. Составить уравнение баланса активных мощностей. Токи ветвей (см. Пример 7, Лекция №4): I1  1,625 А; I 2  1, 275 А; I3  0,35 А. Составим уравнение баланс а активных мощностей: Активная мощность источников: P E E1I1  E2 I 2  E3I3  220 1,625  100 1,275  120  (0,35)  443 Вт. Активная мощность приемников: P R I12 R1  I 22 R2  I 32 R3  1,6252  40  1,2752  200  (0,35)2 100  443 Вт Уравнение баланса активных мощностей выполняется. 3.9 Метод эквивалентного генератора При анализе сложных электрических цепей часто требуется определить ток и напряжение только в одной ветви. В этом случае используют метод эквивалентного генератора. Выделяют исследуемую ветвь (активную или пассивную), присоединенную к сложной цепи. Остальная часть цепи с двумя выделенными узлами представляет собой активный двухполюсник. По отношению к выделенной ветви активный двухполюсник можно преобразовать в эквивалентный генератор. Теорема Тевенена – Гельмгольца: если активный двухполюсник, к которому присоединена выделенная ветвь, заменить источником с ЭДС, равной напряжению на зажимах разомкнутой ветви и сопротивлением, равным входному сопротивлению, то ток в этой ветви не изменится. Математическая формулировка теоремы для нахождения тока пассивной ветви ab выражается формулой Тевенена: I ( ab )  U ххab . Rвхab  Rab Этому равенству соответствует расчетная схема: Применение теоремы об эквивалентном генераторе позволяет свести расчет сложной цепи к расчету одноконтурной схемы по закону Ома. Если выделенная ветвь содержит источник ЭДС, тогда расчетная схема будет иметь вид: I ( ab )  U ххab  Eab . Rвхab  Rab Алгоритм расчета по методу эквивалентного генератора: 1. Находят напряжение холостого хода U õõab на зажимах разомкнутой ветви ab. 2. Определяют входное сопротивление двухполюсника, преобразуя его в пассивный (все внутренние источники ЭДС и тока принимают равными нулю). 3. Определяют искомый ток по формуле Тевенена. Можно использовать формулу Нортона, соответствующую параллельной схеме замещения активного двухполюсника: U ( ab )  I кзab . Gвхab  Gab 3.10 Передача энергии от активного двухполюсника к пассивному Определим условия, при которых мощность пассивного двухполюсника (приемника) максимальна. По теореме об эквивалентном генераторе ток и напряжение в приемнике R можно определить по расчетной схеме эквивалентного генератора. Напряжение U ab  U хх  IRвх , мощность приемника Pпр  I R или 2 Pпр  U ab I  U хх  IRвх  I  U хх I  I 2 Rвх , мощность эквивалентного генератора Pг  U хх I . Если мощность приемника максимальна, то ток приемника должен быть I  dPпр dI  U хх  2 IRвх  0 , следовательно, U хх U хх . По формуле Тевенена I  , максимальная 2 Rвх R  Rвх мощность выделяется в приемнике при R  Rвх . Максимальная мощность равна 2 Pпрmax  U хх  U хх 2  .  Rвх  4 Rвх  2 Rвх  Отношение мощности Pпр к мощности Pг называется к.п.д. эквивалентного активного двухполюсника:  При R  Rвх к.п.д.   0,5 . Pпр Pг  U хх  IRвх  I U хх I  R . Rвх  R Графики зависимости Pпр(I), Pг(I), U(I), η(I): Режим, при котором в нагрузке будет выделяться максимальная мощность, называется режимом естественно передаваемой мощности или режимом согласованной работы активного двухполюсника и нагрузки. Пример 10. Дано : R1 = 6 Ом, Е1 = 24 В, R2 = 6 Ом, R3 = 12 Ом, R4 = 4 Ом, R5 = 3 Ом, Е5 = 12 В, J6= 2 А. Определить ток I5, применив метод эквивалентного генератора. При какой величине источника E5 ток I5 = 0? Выделим ветвь с током I5. Оставшаяся часть схемы (выделена пунктиром) представляет собой активный двухполюсник. Последовательная схема замещения активного двухполюсника состоит из эквивалентного источника ЭДС ЕЭ=Uхх и резистора RЭ=Rвх. По схеме эквивалентного генератора I 5  U хх  E5 Rвх  R5 Расчет параметров эквивалентного генератора: 1) напряжение холостого хода: I1х  I 2 х  I3 х  J 6 E1  2 А, R1  R2 R4  0,5 А, R3  R4 U хх  I 2 х  R2  I3 х  R3  6 В. 2) входное сопротивление: Rвх  По методу эквивалентного генератора ток в ветви: I 5  R1  R2 R R  3 4  6 Ом R1  R2 R3  R4 U хх  E5 6  12   2 А. Rвх  R5 63 Как видно из формулы эквивалентного генератора, при E5  6 В, включенным в ветвь в обратной полярности ток I5 = 0. 4. Расчет однофазных цепей синусоидального тока Основные понятия, относящиеся к расчету электрического тока (напряжения, мощности) в электрических цепях при действии синусоидальных ЭДС:  активная мощность Среднее арифметическое мгновенной мощности за период  действующее значение напряжения (тока, ЭДС) Величина, равная среднеквадратичному значению напряжения (тока, ЭДС) за период  емкостное сопротивление Абсолютное значение реактивного сопротивления, обусловленного емкостью цепи, равное значению величины, обратной произведению этой емкости и угловой частоты  индуктивное сопротивление Реактивное сопротивление, обусловленное индуктивностью цепи и равное произведению индуктивности и угловой частоты  компонентные уравнения Уравнения, связывающие ток и напряжение элемента электрической цепи с заданными параметрами этого элемента (математическая модель элемента)  комплексное мгновенное значение (синусоидального электрического тока) Комплексная величина, зависящая от времени, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и аргументу синусоидального электрического тока  комплексная амплитуда (синусоидального электрического тока) Комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе данного синусоидального электрического тока.  комплексное действующее значение (синусоидального электрического) тока Комплексная величина, модуль которой равен действующему значению синусоидального электрического тока, и аргумент которой равен начальной фазе этого электрического тока.  комплексное (электрическое) сопротивление Комплексная величина, равная отношению комплексного действующего значения электрического напряжения на выводах данной пассивной электрической цепи или ее элемента к комплексному действующему значению электрического тока в этой цепи или в этом элементе  комплексная (электрическая) проводимость Комплексная величина, равная отношению комплексного действующего значения электрического тока в данной пассивной электрической цепи или в ее элементе к комплексному действующему значению электрического напряжения на выводах этой цепи или на этом элементе  комплексная мощность (двухполюсника) Комплексная величина, равная произведению комплексного действующего значения электрического напряжения и сопряженного комплексного действующего значения электрического тока  коэффициент мощности Скалярная величина, равная отношению активной мощности к полной  мгновенная мощность (двухполюсника) Произведение мгновенных значений напряжения и тока двухполюсника p(t )  u(t )  i(t )  мгновенное значение (электрического) тока  Аналогичные термины и определения соответствуют электрическому напряжению, магнитному потоку, электрическому заряду и т.д. Значение электрического тока в рассматриваемый момент времени.  многофазная система электрических цепей Совокупность электрических цепей, в которых действуют синусоидальные ЭДС одной и той же частоты, сдвинутые друг относительно друга по фазе, создаваемые общим источником электрической энергии  многофазная электрическая цепь Многофазная система электрических цепей, в которой отдельные фазы электрически соединены друг с другом  начальная фаза (синусоидального электрического тока) Значение фазы синусоидального тока в начальный момент времени. Примечание – Подобные термины и определения соответствуют электрическому напряжению, магнитному потоку и т.д.  периодический (электрический) ток Электрический ток, мгновенные значения которого повторяются через равные промежутки времени в неизменной последовательности.  период (электрического тока) Наименьший интервал времени, по истечении которого мгновенные значения периодического электрического тока повторяются в неизменной последовательности.  переменный (электрический) ток Электрический ток, изменяющийся с течением времени.  полная мощность (двухполюсника) Величина, равная произведению действующих значений напряжения и тока двухполюсника  прямая, обратная, нулевая последовательность Симметричная составляющая трехфазного напряжения (тока, ЭДС) основной частоты  реактивная мощность (двухполюсника) Величина, равная при синусоидальном напряжении и токе произведению действующих значений на синус сдвига фаз между напряжением и током  резонанс Явление в электрической цепи, содержащей индуктивные и емкостные участки, при котором разность фаз между напряжением и током на входе равна нулю  резонанс напряжений Явление резонанса в участке электрической цепи, содержащей последовательно соединенные индуктивный и емкостный элементы  резонанс токов Явление резонанса в участке электрической цепи, содержащей параллельно соединенные индуктивный и емкостный элементы  резонансная частота Частота электрического тока и электрического напряжения при резонансе в цепи  сдвиг фаз между напряжением и током Алгебраическая величина, определяемая вычитанием начальной фазы тока из начальной фазы напряжения  симметричная многофазная электрическая цепь Многофазная электрическая цепь, в которой комплексные сопротивления составляющих ее фаз одинаковы  синусоидальный (электрический) ток Периодический электрический ток, являющийся синусоидальной функцией времени .  Аналогичные термины и определения соответствуют электрическому напряжению, магнитному потоку и т.д.  сопротивление короткого замыкания четырехполюсника Комплексное или операторное сопротивление пассивного четырехполюсника со стороны одной пары выводов, когда другая пара замкнута накоротко  сопротивление холостого хода четырехполюсника Комплексное или операторное сопротивление пассивного четырехполюсника со стороны одной пары выводов, когда другая пара разомкнута  трехфазная система электрических токов Многофазная система электрических токов при числе фаз, равном трем.  угловая частота (синусоидального электрического тока) Скорость изменения фазы тока, равная частоте синусоидального электрического тока, умноженной на 2.  фаза (многофазной системы электрических цепей) Часть многофазной системы электрических цепей, в которой может протекать один из электрических токов многофазной системы электрических токов  фаза (синусоидального электрического) тока Аргумент синусоидального электрического тока, отсчитываемый от точки перехода значения тока через нуль к положительному значению.  частота (электрического тока) Величина, обратная периоду электрического тока. 4.1 Основные элементы, понятия и уравнения цепей синусоидального тока Основную роль в электроэнергетике и промышленной электротехнике играет переменный ток (напряжение), что объясняется преимуществом его производства и распределения. Переменный ток (напряжение) можно получить с помощью машинного генератора, электронного генератора, инверторов (устройство, преобразующее постоянный ток в переменный). Основные преимущества использования переменного тока: 1) генераторы переменного тока более просты по устройству, надежней в работе и проще в эксплуатации по сравнению с машинами постоянного тока; 2) в двигателях переменного тока более просто и надежно электрическая энергия преобразуется в механическую; 3) возможность просто и с минимальными потерями преобразовывать напряжение (повышать и понижать, преобразовывать частоту). В современной электротехнике используются разнообразные по форме переменные токи и напряжения. Мгновенные значения тока, напряжения, ЭДС обозначаются малыми строчными буквами: i(t), u(t), e(t). Токи и напряжения, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени в неизменной последовательности, называются периодическими, а наименьший промежуток времени, по истечении которого мгновенные значения повторяются называется период Т: i(t) = i(t+nТ), u(t) = u(t+nТ), где n – целое число. В установившемся режиме в линейных цепях периодические токи и напряжения могут быть вызваны только действием источников периодических ЭДС и токов: e(t) = e(t+nТ), J(t) = J(t+nТ). Синусоидальные токи, напряжения, ЭДС При описании процессов в линейных электрических цепях все токи, напряжения и ЭДС которых изменяются по синусоидальному закону, т.е. имеют вид i(t )  I m sin(t  i ) , u(t )  U m sin(t  u ) , e(t )  Em sin(t  e ) используются следующие понятия:  Im, Um, Em, – амплитуды (максимальные значения) величин i(t), u(t) и e(t);  аргументы синусоидальных функций (t  i ) , (t  u ) , (t  e ) – фазы  синусоидального тока, напряжения и ЭДС; начальные значения аргументов (начальные фазы) i , u , e тока, напряжения и ЭДС. Величину   2f , представляющую собой скорость изменения фаз, называют угловой частотой, а f – частотой тока, напряжения, ЭДС. За период T  1 колебаний f этих величин их фазы увеличиваются на 2 , т.е. T  2 . В отечественной электроэнергетике: f=50 Гц, =314 рад/с. На рисунке показаны кривые мгновенных значений синусоидальных токов и напряжений, наблюдаемые на экране двухлучевого осциллографа (осциллограммы тока и напряжения) и период (минимальный временной интервал между двумя повторяющимися значениями синусоидальной величины). период Т осциллограмма тока осциллограмма напряжения Временная диаграмма синусоидального тока (напряжения, ЭДС), т. е. зависимость значения тока (напряжения, ЭДС) от времени представляет синусоиду. График синусоидальной величины строится по заданному уравнению для мгновенного значения или по рассчитанным значениям амплитуды и начальной фазы. Частота тока (напряжения) равна частоте ЭДС, период отмечается в [с] (секундах), [мс] (миллисекундах), [мкс] (микросекундах), в угловых единицах период определяет изменение фазы на 2 [рад/с] или [1/с]. Начальная фаза синусоидального тока (напряжения, ЭДС) i ( u , e ) определяет мгновенное значение тока при t=0, i(0)  I m sin(i ) и на графике отсчитывается от начала координат до точки перехода значения тока (напряжения, ЭДС) через ноль к положительному значению. Если две синусоидальные величины одной и той же частоты отличаются начальными фазами, то говорят, что они сдвинуты по фазе. При этом под сдвигом фаз понимают разность начальных фаз. Так, под сдвигом фаз напряжения u(t )  U m sin(t  u ) и тока i(t )  I m sin(t  i ) понимается угол   u  i . Этот угол определяет связь колебаний напряжения и тока, т.е. взаимное расположение их временных графиков. Если >0, то напряжение опережает ток на угол , если  <0, то напряжение отстает от тока на угол . Пример 11. а) Мгновенные значения напряжения и тока: u(t )  7,07sin(628t  17,5) В, i(t )  0,112sin 628t А. Построить графики мгновенных значений тока и напряжений, указать амплитуду и сдвиг фаз. Начальная фаза синусоидального тока i  0 , синусоидального напряжения u  17,5 , сдвиг фаз   u  i  17,5 , кривая напряжения сдвинута влево относительно кривой тока, так как напряжение опережает по фазе ток. амплитуда напряжения амплитуда тока сдвиг фаз б) Мгновенные значения напряжения и тока u(t )  7,07sin(628t  34,7) В, i(t )  0,182sin 628t А. Построить графики мгновенных значений тока и напряжений, указать амплитуду и сдвиг фаз. Начальная фаза синусоидального тока i  0 , синусоидального напряжения u  37,4 , сдвиг фаз   u  i  37,4 , кривая напряжения сдвинута вправо относительно кривой тока, так как напряжение отстает по фазе от тока. амплитуда напряжения амплитуда тока сдвиг фаз Действующее значение тока, напряжения, ЭДС Действующее значение переменного тока (напряжения, ЭДС) - важнейшее расчетное понятие, так как связано с определением активной мощности. Действующее значение переменного тока численно равно постоянному току, который в одном и том же сопротивлении за один и тот же отрезок времени, равный периоду, выделяет одинаковое количество тепла (токи равны по тепловому действию). На практике синусоидальные токи и напряжения электротехнических устройств характеризуют, как правило, их действующими значениями. Под действующим значением переменного тока (напряжения, ЭДС) понимают T 1 2 i dt . среднее квадратичное его значение за период: I  T 0 На рисунке показаны мгновенное значение синусоиды с единичной амплитудой, квадрат синусоиды, среднее за период значение квадрата синусоиды, равное 0,5 и 1 среднеквадратичное значение синусоиды, равное 0,5   0,707 . 2 Im . Аналогично определяется 2 U E действующее значение синусоидального напряжения или ЭДС: U  m , E  m . 2 2 Для синусоидального тока действующее значение I  Приборы (вольтметры и амперметры) электромагнитной, электродинамической системы, предназначенные для измерения в цепях синусоидального тока, дают показания действующих значений соответственно напряжения и тока. Элементы цепей синусоидального тока Элементами цепей переменного (синусоидального) тока и напряжения являются источники и приемники электромагнитной энергии: потребитель – резистор и накопители – катушка и конденсатор. Для упрощения исследования процессов реальную электрическую цепь переменного тока, как и цепь постоянного тока, представляют схемой замещения, составленной из идеализированных линейных элементов – приемников (резистор, индуктивный элемент, емкостной элемент) и идеальных (или реальных) источников ЭДС и тока. Параметры R, L и С идеализированных резистивного, индуктивного и емкостного элементов отражают основные свойства и параметры соответственно резисторов, индуктивных катушек и конденсаторов, обусловленные физическими процессами необратимого рассеяния энергии (активные потери) и обратимого накопления энергии, связанной с магнитным и электрическим. При определенных условиях в моделях реальных элементов необходимо учитывать свойства и параметры, отражающие другие процессы. Например, у резистора следует учитывать явление поверхностного эффекта. У индуктивной катушки в ряде случаев требуется учесть потери энергии в обмотке и сердечнике, межвитковую емкость; у конденсатора – потери энергии в несовершенном диэлектрике, индуктивность выводов. С помощью элементов с параметрами R, L и С можно составить модели резисторов, индуктивных катушек и конденсаторов, учитывающих реальные процессы в этих элементах в зависимости от диапазона частот, в котором производится анализ процессов . В линейных цепях токи и напряжения во всех идеализированных элементах представляют собой синусоидальные функции времени с амплитудой, частотой (период) и начальной фазой. Для синусоидальных источников значения амплитуды (действующего значения), частоты и начальной фазы, как правило, заданы. На пассивных элементах связь между током и напряжением определяется компонентным уравнением, задающим отношение амплитуд напряжения и тока, сдвиг фаз между напряжением и током (Таблица 1 и Таблица 2). Частота источника задает частоту синусоидальных токов и напряжений во всех элементах. При этом полагается, что в цепи действуют источники одинаковой частоты. Таблица 1 Элемент Изображение на схеме Компонентное уравнение Резистор u  R i учет активных потерь R – сопротивление [Ом] Идеальный конденсатор накопление электрической энергии Идеальная катушка накопление магнитной энергии Источник синусоидального напряжения генерация электромагнитной энергии iC  C duC dt C – емкость [Ф] uL  L diL dt L – индуктивность [Гн] e(t )  Em sin(t  e ) u(t )  e(t ) Кривые мгновенных значений Источник синусоидального тока J (t )  J m sin(t  J ) i(t )  J (t ) генерация электромагнитной энергии Таблица 2 Элемент Синусоидальные токи и напряжения на элементе Связь амплитуд (действующих значений) и сдвиг фаз Резистор u  R i учет активных потерь i(t )  I m sin(t  i ) u(t )  U m sin(t  u ) Um U  R Im I Идеальный конденсатор накопление электрической энергии) Изображение на схеме iC  C duC dt накопление магнитной энергии U Cm U C 1   I Cm I C C uC (t )  UCm sin t i  u   2 iC (t )  CUCm cos t , u  i   2  iC (t )  I m sin(t  ) 2 Идеальная катушка i  u uL  L diL dt XC  1 C U Lm U L   L I Lm IL iL (t )  I Lm sin t u  i   2 uL (t )  LI Lm cos t , i  u   2  uL (t )  U Lm sin(t  ) 2 X L  L Мгновенная, активная, полная мощность Для двухполюсника с напряжением u(t )  U m sin(t  u ) и током i(t )  I m sin(t  i ) , сдвигом фаз между напряжением и током   u  i мгновенной мощностью называется произведение мгновенных значений напряжения и тока p  p(t )  u(t )  i(t ) , а полной мощностью – произведение действующего напряжения и Um I , I  m . Единицей мгновенной и активной мощности 2 2 3 6 является Ватт [Вт], Киловатт [КВт] ( 10 ), Мегаватт [МВт] ( 10 ); полной мощности тока S  U  I , где U  Вольт-ампер или Киловатт-ампер [В∙А], [КВ∙А], Мегаватт-ампер [МВ∙А]. Активной мощностью двухполюсника называют среднее значение мгновенной мощности за период: T 1 P   p(t )dt  UI cos   S cos  . T0 Множитель cos называют коэффициентом мощности. Коэффициент мощности показывает, какая часть полной мощности является активной, т. е. потребляемой. Мгновенная мощность дает более полную характеристику энергетических процессов в цепи по сравнению с активной мощностью. Графически полная мощность характеризует амплитуду колебаний мгновенной мощности относительно средней (активной) мощности (амплитуда пульсации мгновенной мощности). Полная мощность является важной расчетной величиной для электрических установок (генераторов, трансформаторов и др.), она указывается в качестве номинальной. Например, для генератора его номинальная мощность равна его максимальной активной мощности, которая может быть получена при cos   1 . Мгновенная мощность резистора с напряжением u(t )  U m sin(t  u ) и током i(t )  I m sin(t  i ) , i  u   имеет постоянную составляющую и составляющую, изменяющуюся с удвоенной частотой: p(t )  U m I m sin 2 (t  )  Um Im 1  cos(2t  2)  UI 1  cos(2t  2) . 2 Активная мощность определяется как среднее за период: T 1 U I U I P   p(t )dt  m m cos(u  i )  m m  UI  I 2 R . T0 2 2 Мгновенная мощность идеальной катушки с напряжением u(t )  U m sin(t  u ) и током i(t )  I m sin(t  i ) ,   u  i   2 не имеет постоянной составляющей: p(t )  U m I m cos(t  i )sin(t  i )  UI sin(2t  2i ) . Когда p(t )  0 энергия от источника поступает в катушку и накапливается, когда p(t )  0 , накопленная в магнитном поле энергия отдается источнику. Активная мощность, поступающая в идеальную катушку, равна нулю. Энергия, запасенная в каждый момент в магнитном поле катушки: diL (t ) iL2 (t ) . Wм   p(t )dt   uL (t )iL (t )dt   L i(t )dt  L dt 2 Мгновенная мощность идеального конденсатора с напряжением u(t )  U m sin(t  u ) и током i(t )  I m sin(t  i ) ,   u  i   2 не имеет постоянной составляющей: p(t )  U m I m cos(t  u )sin(t  u )  UI sin(2t  2u ) . Когда p(t )  0 энергия от источника поступает в конденсатор и накапливается в его электрическом поле, когда p(t )  0 , накопленная энергия отдается источнику. Активная мощность идеального конденсатора равна нулю. Энергия, запасенная в каждый момент в электрическом поле конденсатора: duC (t ) uC2 (t ) Wэ   p(t )dt   uC (t )iC (t )dt   C uC (t )dt  C . dt 2 В общем случае для пассивного двухполюсника сдвиг фаз между синусоидальным напряжением и синусоидальным током   u  i не превышает по модулю  2 . Во временных промежутках, когда напряжение и ток имеют одинаковые знаки, мгновенная мощность положительна, энергия поступает от источника в приемник (потребляется резистором, запасается в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора). В промежутках времени, когда ток и напряжение имеют разные знаки, мгновенная мощность отрицательна и энергия частично возвращается от приемника к источнику. u(t )  U m sin(t  u ) i(t )  I m sin(t  i ) Реактивная мощность. Для характеристики энергии, которой обмениваются источник энергии и приемникнакопитель пользуются понятием реактивной мощности. Реактивная мощность накапливается в магнитном поле системы проводников с переменным током при возрастании тока, при уменьшении тока энергия, накопленная в магнитном поле, преобразуется в электрическую и возвращается к источнику. Реактивная мощность не потребляется приемником энергии и не участвует в процессе преобразования электрической энергии в другие виды энергии. Реактивная мощность в цепях синусоидального тока определяется как Q  UI sin   S sin  и выражается в Вольт-амперах реактивных [Вар], [КВар], [МВар]. Реактивная мощность может быть как положительна, так и отрицательна в зависимости от знака  . Положительный сдвиг фаз  между напряжением и током пассивной ветви соответствует индуктивному характеру приемника. Отрицательный  между напряжением и током пассивной ветви соответствует емкостному характеру приемника. Следовательно, положительная реактивная мощность пассивной ветви также соответствует индуктивному характеру приемника, а отрицательная реактивная мощность пассивной ветви соответствует емкостному характеру приемника. Потребление реактивной мощности нагрузкой (потребителем) определяется через активную мощность потребителя по формуле tg   Q . Основными потребителями P реактивной мощности являются асинхронные двигатели ( tg   0,75 1,3 ), индукционные печи ( tg   1  2,7 ), вентильные преобразователи ( tg   0,75 1,2 ) и т. д. В промышленных предприятиях основная доля потребляемой реактивной мощности относится к асинхронным двигателям (до 70%). В городских электрических сетях потребление реактивной мощности меньше, потребление зависит от количества электробытовой техники и типа плит (газовая или электрическая). Основные потери реактивной мощности происходят в трансформаторах и воздушных линиях электропередачи. Потери реактивной мощности в ВЛ зависят от параметров линии и величины тока в ней. Реактивная мощность циркулирует между источником и приемником энергии, нагружая провода обмоток и линий, соединяющих приемник энергии с источником, и увеличивая потери энергии в них. Поэтому столь важен расчет и компенсация реактивной мощности в энергетических системах. Основными источниками реактивной мощности являются генераторы электростанций. При этом номинальный коэффициент мощности генератора cos г  Pг  0,85  0,9 , следовательно, Sг tg г  0,62  0,48 . Так как генераторы электростанций не могут обеспечить всей потребности в реактивной мощности, применяются дополнительные источники реактивной мощности (например, синхронные компенсаторы -синхронные генераторы, работающие в режиме холостого хода). Реактивная мощность Q = 0 при  = 0, т.е. при условии, что напряжение и ток совпадают по фазе и, следовательно, в цепи отсутствуют периодические процессы накопления и последующего возвращение энергии, связанной с магнитным или электрическим полем, т.е. в резисторе. Равенство Q = 0 может быть также при резонансе, когда периодические процессы накопления и последующего возвращение энергии компенсируют друг друга. Измерение мощности. Величину активной мощности можно измерить с помощью ваттметра, величину реактивной мощности - с помощью специального электроизмерительного прибора. Формулы для расчета: iW  I W 2 sin(t  i ) А, uW  U W 2 sin(t  u ) В, PW  U W I W cos(u  i )  U W I W cos  Вт. В трехфазных цепях измерение активной и реактивной мощности проводится с помощью нескольких ваттметров, включенных по определенной схеме. 4.2 Комплексный метод расчета, векторные диаграммы Комплексный (символический) метод представления периодических синусоидальных процессов в виде комплексных чисел был предложен американским инженером Штейнмецом в 1893 году. Он предложил представлять синусоидально изменяющиеся величины, характеризуемые тремя параметрами: амплитудой, угловой частотой и фазным углом, векторами на комплексной плоскости с двумя параметрами: модулем вектора и аргументом (фазным углом). При этом математические операции с изменяющимися по синусоидальному закону токами и напряжениями заменяются математическими операциями над векторами (комплексными числами), что существенно упростило расчеты цепей переменного тока. Расположим вектор длиной (модулем) М в координатной плоскости X0Y под углом  к оси X, как показано на рисунке. Из курса математики известно, что при вращении вектора против часовой стрелки с угловой скоростью  его координаты меняются по закону x(t )  M cos(t  ) и y(t )  Msin(t  ) . При t=0 x(0)  M cos  , y(0)  M sin  . Поместим вектор на комплексную плоскость, образованную вещественной (Real) и мнимой (Jmage) осями. Начальный угол  определим по отношению к действительной оси на комплексной плоскости. Координату вектора на вещественной оси обозначим a, на мнимой оси b. Вектор на комплексной плоскости – комплексное число M  a  jb , где j – мнимая единица, определяемая как единичный вектор на мнимой оси. Единичный вектор на действительной оси принято обозначать за 1. Запись комплексного числа в виде M  a  jb соответствует алгебраической форме записи (Rec), где a  Re  M  , b  Im M  . Полярная форма записи (Pol) M  Me j , где М – модуль, e поворота. По формуле Эйлера e j  cos   j sin  . При вращении j – оператор вектора – комплексного числа М против часовой стрелки с угловой скоростью  координаты меняются по закону a  Re M   M cos(t  ) , b=Im M   M sin(t  ) . Для прямоугольного треугольника с гипотенузой М и катетами a и b выполняются соотношения: M 2  a 2  b2 , M  a 2  b 2 a  M  cos  , b  M  sin  , tg   M sin  b  . M cos  a Эти соотношения определяют правила перехода из полярной в алгебраическую форму записи комплексного числа и наоборот ( Pol Rec ). Комплексная амплитуда тока (напряжения, ЭДС), комплексы действующего значения тока (напряжения, ЭДС). Векторные диаграммы Мгновенному значению тока i  I m sin(t  i ) с амплитудой I m и начальной фазой i в любой фиксированный момент времени t соответствует комплексное число, изображаемое вектором, длина которого равна амплитуде I m , образующим угол t  i с вещественной осью (комплексная амплитуда тока). Аналогично определяют комплексную амплитуду напряжения для синусоидального напряжения u  U m sin(t  u ) с амплитудой U m и начальной фазой u . Комплексная амплитуда тока (напряжения, ЭДС) - вектор на комплексной плоскости, изображенный в выбранном масштабе [А/см] ([В/см]), одинаковым по обеим осям1. При вращении этого вектора против часовой стрелки значения координат вектора по мнимой оси (Jmage) будут меняться по синусоидальному закону. Для i(t )  I m sin t ( i  0 ): Положительный отсчет фаз происходит от действительной оси против часовой стрелки. Отрицательный – по часовой: 1 Это обязательное требование при изображении векторов на комплексной плоскости, построении векторных диаграмм. Переменному току (напряжению, ЭДС), изменяющемуся во времени по синусоидальному закону, можно поставить в соответствие комплексное число. Комплексные числа Im  I me ji , U m  U me ju , Em  Eme je называют комплексными амплитудами соответственно тока, напряжения и ЭДС, а комплексные числа I  Im , 2 E Um , E  m – комплексными действующими значениями тока, напряжения и 2 2 ЭДС. Введенные комплексы Im , U m , Em ( I , U , E ) однозначно описывают переменные U i(t), u(t), e(t) (существует взаимно-однозначное соответствие). Каждому комплексу Im , U m , Em ( I , U , E ) соответствует мгновенное значение синусоидального тока, напряжения и ЭДС: амплитуда равна длине (модулю) комплексной амплитуды или в 2 раз больше длины (модуля) комплекса действующего значения, а начальная фазы равна углу комплексной амплитуды и комплекса действующего значения. Поскольку все синусоидальные токи, напряжения, ЭДС имеют одинаковую частоту и вращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью , то взаимное расположение этих векторов в любой момент времени остается неизменным, в любой момент времени между векторами угол   u  i . Поэтому можно разместить два вектора - комплексные напряжения и ток (комплексные амплитуды напряжения и тока) на одной комплексной плоскости и получить векторную диаграмму, отражающую взаимное расположение этих векторов. Масштаб для тока и напряжения должен быть выбран таким, чтобы векторная диаграмма была понятна и удобна для восприятия. Пример 12. а) Мгновенные значения напряжения и тока: u(t )  7,07sin(628t  17,5) В, i(t )  0,112sin 628t А. Записать соответствующие комплексы амплитудного значения тока и напряжения, комплексы действующих значений. Построить на комплексной плоскости в масштабе векторную диаграмму комплексных напряжения и тока. Комплексы амплитудного значения напряжения (комплексная амплитуда напряжения) U m  7,0717,5 В, комплекс амплитудного значения тока (комплексная амплитуда U тока) Im  0,1120 А. Комплексы действующих значений 7,0717,5 0,1120  517,5 В, I   0,07950 А. 1, 41 1, 41 Векторная диаграмма имеет вид: б) Мгновенные значения напряжения и тока u(t )  7,07sin(628t  34,7) В, i(t )  0,182sin 628t А. Записать соответствующие комплексы амплитудного значения тока и напряжения, комплексы действующих значений. Построить на комплексной плоскости в масштабе векторную диаграмму комплексных напряжения и тока. Комплексы амплитудного значения напряжения (комплексная амплитуда напряжения) U m  7,07  34,7 В, комплекс амплитудного значения тока (комплексная амплитуда U тока) Im  0,1820 А. Комплексы 7,07  34,7 0,1820  5  34,7 В, I   0,1290 А. 1, 41 1, 41 Векторная диаграмма имеет вид: действующих значений Формы записи комплексной амплитуды и комплексов действующего значения тока. 1. Показательная или полярная: Im  I me ji , I  Ie ji или Im  I mi , I  I i . 2. Алгебраическая или декартовая форма записи: Im  a  jb  Re Im   jIm Im   I m cos i  jI m sin i , I  a  jb  Re I   jIm I   I cos i  jI sin i . Re   – действительная часть комплексной амплитуды или действующего значения (координата на вещественной оси), Im   – мнимая часть комплексной амплитуды или действующего значения (координата на мнимой оси). Аналогичные формы записи используют для комплексной амплитуды и комплексов действующего значения напряжения, ЭДС. Математические операции над комплексными числами  Сложение (вычитание) проводится в алгебраической форме записи:  Умножение (деление) проводится в показательной (полярной) форме записи: Im1  Im 2  (a1  a2 )  j (b1  b2 ) Im1  Im 2  I m1e j1  I m 2e j2  I m1  I m 2e j ( 12 ) Im1 I m1e j1 I m1 j ( 12 )   e I m 2 I m 2 e j 2 I m 2 Пример 13. Даны комплексные числа M 1 и M 2 . Провести математические операции над комплексными числами. M1  5  30  5cos30  j3sin 30  4,33  j 2,5 M1 1 a1 b1 M 2  4 120  4cos(120)  j 4sin(120)  2  j (3,464)  2  j3,464 2 M2 a2 b2 а) сложение комплексных чисел M 1  M 2  (4,33  j 2,5)  (2  j (3, 464))  a1 b1 a2 b2  (4,33  (2))  j (2,5  (3, 464))  2,33  j (0,964)  2,52 22, 4 a1 a2 b1 b2 a a1  a2 bb1 b2 a 2 b 2 arctg b a На векторной диаграмме эта операция соответствует нахождению векторной суммы комплексных чисел: Сумма комплексных чисел (векторов) построена по "правилу параллелограмма" б) вычитание комплексных чисел M 1  M 2  (4,33  j 2,5)  (2  j (3, 464))  a1 b1 a2 b2  (4,33  (2))  j (2,5  (3, 464))  6,33  j 5,964  8,7  43,3 a1 a2 b1 a a1  a2 b2 b b1 b2 a 2 b 2 arctg b a На векторной диаграмме эта операция соответствует нахождению векторной разности комплексных чисел, при необходимости вектор - результат вычитания - переносится в начало координат: Разность комплексных чисел (векторов) построена по "правилу треугольника". Вектор M1  M 2 перенесен в начало координат. Также можно определить результирующий вектор как сумму векторов M1  (M 2 ) в) умножение комплексных чисел M1  M 2  ( 5  30)  ( 4 120)  20 90   j 20 M1 1 M2 2 M1M 2 1 2 г) деление комплексных чисел ( 5  30) M1 M1 1   1, 25 150  1,083  j 0,625 M 2 ( 4  120) 1 2 M1 2 M2 M2 Мнимая единица – единичный вектор по мнимой оси в показательной форме записи j  1 j 90  190 , тогда  j  1 j ( 90)  1  90 . Для мнимой единицы ( j )2  ( j )  ( j )  1 j ( 90) 1 j ( 90)  1 j ( 180)  1 , 1   j . Умножение на мнимую единицу j означает изменение угла на 90 , т.е. поворот вектора против часовой стрелке на 90 , умножение на  j означает изменение угла на 90 , т.е. поворот вектора по часовой стрелке на угол 90 . Умножение на j означает поворот вектора на 2 180 . Закон Ома в комплексной форме. Компонентные уравнения резистивного, емкостного и индуктивного элементов в комплексной области описываются алгебраическим уравнением для комплексных токов и напряжений: U ZI, где Z - комплексное сопротивление участка [Ом]. Комплексное сопротивление Z  Ze j  Z cos   j Z sin   R  jX , где   u  i . При активно-индуктивном X R характере участка Z  R  jX L (   0 ), при активно-емкостном характере Z  R  jX C (   0 ). Комплексная проводимость Y 1  Y cos()  jY sin()  Y cos   jY sin  Z G B [См]. При активно-индуктивном характере участка Y  G  jBL , при активно-емкостном Y  G  jBC . Для идеальных элементов Z  R (для резистивного элемента), Z   jX C (для емкостного элемента), Z  jX L (для индуктивного элемента). Компонентные уравнения представляют собой запись закона Ома в комплексной форме для резистивного, емкостного и индуктивного элементов. На векторной диаграмме эта связь выражается взаимным расположением векторов напряжения и тока: на резисторе вектора сонаправлены, на реактивных элементах вектор тока перпендикулярен вектору напряжения: на катушке вектор тока отстает от напряжения, на конденсаторе вектор тока опережает вектор напряжения. Связь комплексных токов и напряжений на идеальных элементах, включая источники, отражена в Таблице 3. Таблица 3 Временная область изображение Комплексная область уравнение u  R i iC  C duC dt uL  L diL dt изображение уравнение U  R I U C   jX C  IC XC  1 C U L  jX L  I L X L  L ue U E iJ I J векторная диаграмма Составляют комплексную схему замещения цепи и математическое описание всех ее элементов в комплексной области. Используя уравнения Кирхгофа в комплексной форме I j 0 и j U j j  0 (  Em   Z n In ) можно получить полное математическое m n описание цепи в комплексной форме. 4.3 Двухполюсник в цепи синусоидального тока Цепь синусоидального тока, содержащая активное и индуктивное сопротивление (RL - цепь) Рассмотрим цепь синусоидального тока, содержащую реальную индуктивную катушку (обмотку). Электромагнитные процессы определяются изменением энергии в магнитном поле катушки (электромагнитная индукция) и необратимым преобразованием энергии в проводах катушки (нагрев, выделение теплоты). Процесс преобразования электрической энергии в теплоту характеризуется активной мощностью P , изменение энергии в магнитном поле - реактивной мощностью Q . В схеме замещения реальная катушка представляется резистором (R - сопротивление катушки) и реактивным элементом (L - индуктивность катушки). Деление реальной катушки на два элемента расчетный прием, конструктивно их выделить нельзя. Уравнение Кирхгофа R  i (t )  L di  u (t ) dt Пусть к катушке приложено синусоидальное напряжение с частотой   2f , амплитудой U m и начальной фазой u : u(t )  U m sin(t  u ) . Ток в катушке синусоидальный Im  Um R 2  (L)2 i(t )  I m sin(t  i ) той же частоты с амплитудой , сдвиг фаз между напряжением и током   u  i  arctg L , ток R отстает от напряжения на угол 0     2 . В комплексной форме для комплексов действующих значений уравнение Кирхгофа и комплексная схема замещения имеют вид U  R  I  j L  I  ( R  jX L )  I  Z  I . XL Полное комплексное сопротивление Z  R  j L  R 2  (L)2  Re Z  Im Z  (комплексный импеданс), модуль комплексного сопротивления (импеданс), реактивное индуктивное сопротивление Z Z  R 2  (L)2 X L  L (реактанс). По показаниям приборов (ваттметра, вольтметра и амперметра) можно определить параметры последовательной схемы замещения реальной катушки. Векторная диаграмма показывает взаимное расположение комплексов напряжения и тока, соответствующее сдвигу фаз на временной диаграмме: Пример 13. Показание ваттметра P  0,379 Вт, вольтметра U  5 В, миллиамперметра I  79,5 мА. Определить параметры схемы замещения катушки. Записать мгновенные значения напряжения и тока в катушке, приняв i  0 . Частота синусоидального источника f  100 Гц. U 5 Полное сопротивление Ом. Z   62,89 I 0,0795 Эквивалентное активное сопротивление двухполюсника P 0,379 R 2   59,96 Ом. I 0,07952 Эквивалентное реактивное сопротивление двухполюсника X L  Z 2  R 2  359,95  18,97 Ом. Эквивалентная индуктивность L X L 18,97   0,0302 2f 628 Гн. P 0,379   0,9535 , S 0,3975   arccos(0,9535)  17,5 . Так как ток отстает от напряжения (напряжение опережает ток) Полная мощность S  U  I  5  0,0795  0,3975 ВА. Тогда cos     u  i  0 . Мгновенные значения напряжения и тока в катушке: u(t )  5 2 sin(628t  17,5)  7,07sin(628t  17,5) В, i(t )  0,0795 2 sin 628t  0,112sin 628t А (кривые мгновенных значений см. Пример 11.а). Параметры схемы замещения катушки можно определить через комплексные напряжения и ток. Пусть i  0 , тогда u  17,5 . Комплексные напряжение и ток двухполюсника U  517,5 В, I  0,07950 А. Комплексные напряжение и ток Векторная диаграмма U  517,5 В, I  0,07950 А Комплексное сопротивление двухполюсника Z  U  62,893 17,5  59,98  j 18,91 I  R XL Z Ом. Это параметры последовательной схемы замещения. Используя рассчитанное комплексное сопротивление, можно определить 1 комплексную проводимость участка: Y   0,0159 17,5  0,0152  j 0,00478 См и Z Y  G B L перейти к параллельной схеме замещения реальной катушки: Rпарал  X парал  1  65,96 Ом, G X 1  208,77 Ом, Lпарал  парал  332, 4 мГн.  BL Показания приборов Последовательная схема замещения Параллельная схема замещения Треугольник напряжений соответствует комплексной последовательной схеме замещения и векторной сумме U  U а  U р . Проекция вектора напряжения U на вектор тока называется активной составляющей вектора напряжения и обозначается U а . Проекция вектора напряжения U на направление, перпендикулярное вектору тока называется реактивной составляющей вектора напряжения и обозначается U р . Последовательная схема замещения Треугольник напряжений Uа  R  I U р  X L  I Треугольник сопротивлений - прямоугольный треугольник с катетами, длины которых пропорциональны значениям R , X и гипотенузой, длина которой пропорциональна значению Z . Треугольник сопротивлений подобен треугольнику напряжений. Из треугольника сопротивлений коэффициент мощности cos   R R  Z R2  X 2 Так как реактивные сопротивления зависят от частоты, то полное сопротивление и коэффициент мощности также зависят от частоты: Z ()  R  j (L  1 C ) , Z ()  R 2  (L  1 C )2 , X ( ) cos   R R 2  (L  1 C )2 . Треугольник токов соответствует параллельной схеме замещения и векторной сумме I  Iа  I р . Проекция вектора тока I на вектор напряжения называется активной составляющей вектора тока и обозначается Iа . Проекция вектора тока I направление, перпендикулярное вектору напряжения составляющей вектора тока и обозначается I р . называется на реактивной Параллельная схема замещения, Треугольник токов I а  G U I р  BL U Активная мощность участка может быть определена по формулам P  S cos   UI cos   U а  I  U  I а или P  I 2 R  U 2G . Реактивная мощность участка Q  S sin   UI sin   U р  I  U  I р или Q  I X L  U BL . 2 2 Треугольник проводимостей - прямоугольный треугольник с катетами, длины которых пропорциональны значениям G , B и гипотенузой, длина которой пропорциональна значению Y . Треугольник проводимостей подобен треугольнику токов. Пример 14. Электродвигатель с номинальными значениями Uном = 127 В, Pном = 2 кВт и cos ном  0,8 включается в сеть с напряжением U = 220 В. Найти сопротивление резистора R, при котором двигатель будет работать в номинальном режиме, параметры RД и X Д последовательной схемы замещения двигателя, а также полную, активную и реактивную мощности всей установки. При последовательной схеме замещения двигателя с параметрами RД (активное сопротивление) и X Д (индуктивное сопротивление) комплексная схема замещения будет иметь вид: Так как Pном  U ном  I ном  cos ном , следовательно I ном  Pном 2000   19,685 A, U ном  cos ном 127  0,8 ток отстает от напряжения на двигателе на угол ном  arccos0,8  36,87 . Пусть Iном  19,6850 A, тогда U ном  12736,87 . Параметры последовательной схемы замещения Z Д  RД  jX Д  U ном 12736,87   6, 45236,87  5,161  j 3,871 Ом. Iном 19,6850 RД XД Модуль входного сопротивления последовательно соединенных резистора и двигателя равен Z  ( R  RД )2  X Д2  U 220   11,176 Ом. I ном 19,685 Тогда ( R  RД )  Z 2  X Д2  11,1762  3,8712  10,484 Ом, R  10,484  5,161  5,232 Ом. Активная мощность цепи (всей установки): P  I 2 ( R  Rд )  19,6852 10,46  4,063 кВт , реактивная Q  I 2 X д  19,6552  3,871  1,5 кВар , полная S  P 2  Q 2  4,33 кВA . Цепь синусоидального тока, содержащая активное и емкостное сопротивление (RС - цепь) Рассмотрим цепь синусоидального тока, содержащую реальный конденсатор. Электромагнитные процессы определяются изменением энергии в электрическом поле конденсатора (электрическая индукция) и необратимым преобразованием энергии в изоляции (несовершенный диэлектрик, нагрев изоляции). Процесс преобразования электрической энергии в теплоту характеризуется активной мощностью P , изменение энергии в электрическом поле - реактивной мощностью Q . В схеме замещения реальный конденсатор представляется резистором ( R - сопротивление или G - активная проводимость) и реактивным элементом (С - емкость). Деление реального конденсатора на два элемента - расчетный прием, конструктивно их выделить нельзя. Используют последовательную и параллельную схемы замещения реального конденсатора Уравнения Кирхгофа: R  i (t )  1 i (t )dt  u (t ) C Gпарал  u (t )  Cпарал du  i (t ) dt Пусть к конденсатору приложено синусоидальное напряжение с частотой   2f , амплитудой U m и начальной фазой u : u(t )  U m sin(t  u ) . Ток в конденсаторе синусоидальный Im  i(t )  I m sin(t  i ) Um R 2  (1 C )2   u  i   arctg , сдвиг фаз той же между частоты с напряжением и током 1 , ток опережает напряжение на угол 0     2 . CR Полное комплексное сопротивление Z  R  j 1 C  Re Z  R 2  (1 C ) 2  Im Z  X C Z (комплексный импеданс), модуль комплексного сопротивления Z  (импеданс), амплитудой реактивное емкостное сопротивление X C  1 C R 2  (1 C )2 (реактанс). По показаниям приборов (ваттметра, вольтметра и амперметра) можно определить параметры последовательной и параллельной схемы замещения реального конденсатора. Векторная диаграмма показывает взаимное расположение комплексов напряжения и тока, соответствующее сдвигу фаз на временной диаграмме: В комплексной форме для комплексов действующих значений уравнение Кирхгофа и комплексная схема замещения имеют вид: Параллельная схема замещения I  Iа  I р I  G  U  j Cпарал  U  Y  U BC Последовательная схема замещения U  Uа  U р U  R  I  j (1 C )  I  Z  I XC Активная мощность может быть определена по формулам P  S cos   UI cos   U а  I  U  I а или P  I 2 R  U 2G . Реактивная мощность Q  S sin   UI sin   U р  I  U  I р или Q  I 2 X C  U 2 BC . 4.4 Комплексная мощность. Уравнение баланса мощностей Для участка цепи с комплексным напряжением U  U u и комплексным I  I i током вводят понятие комплексной * * мощности: S  U  I , где I  I   i комплексно-сопряженный вектор комплексного тока. Модуль комплексной мощности равен полной мощности S  UI , активная и реактивная мощности P  Re S   UI cos  , Q  Im S   UI sin  ,   u  i . Вектор M  a  jb  M  и комплексносопряженный вектор * M  a  jb  M    Полная мощность приемника Z  R  jX может быть определена через действующее значение тока в приемнике и модуль полного сопротивления: S  I Z , 2 активная мощность приемника как P  U a I  UI a  I R , реактивная мощность 2 приемника Q  U p I  UI p  I X . 2 Величины полной S , активной P , реактивной мощностей Q в цепях синусоидального тока связаны соотношением: S 2  P2  Q2 . Треугольник мощностей синусоидального тока: Баланс мощностей выражается равенствами: определяет это соотношение мощностей в цепях генераторов и приемников электромагнитной  P   P , Q  Q ,  S   S г пр г пр г пр энергии . Замечание. Для комплексной мощности также используют обозначение S , для * * комплексных токов и напряжений I и I , U и U . Пример 15. Разветвленная цепь синусоидального тока содержит два источника, три приемника, два активно-индуктивного характера и один приемник активноемкостного. Дана комплексная схема цепи, комплексы действующего значения источников, активные и реактивные сопротивления приемников. Составить баланс активных и реактивных мощностей. E1  224  26  201,3  j98,2 В, E2  141  45  100  j100 В, R1  R3  X 2  10 Ом, R2  X1  X 3  20 Ом. Выполним расчет комплексных токов в ветвях методом узловых потенциалов (напряжений). Расчетные направления токов ветвей показаны на схеме. Комплексные сопротивления ветвей: Z1  R1  jX1  10  j 20  22,3663,4 Ом, Z2  R2  jX 2  20  j10  22,3626,6 Ом, Z3  R3  jX 3  10  j 20  22,36  63,4 Ом Так как схема содержит два узла, определим разность комплексных потенциалов по формуле двух узлов: E1 E2 224  26 141  45   Z1 Z 2 22,3663, 4 22,3626,6 1  2    1 1 1 1 1 1     Z1 Z 2 Z 3 22,3663, 4 22,3626,6 22,36  63, 4  16,14  82,5  195,64  68,5  71,7  j182 B 0,0825  14 По обобщенному закону Ома комплексные токи ветвей: I1  I2  I3  (1  2 )  E1 Z1 (1  2 )  E2 Z2 1  2 Z3   224  26  195,64  68,5  6,9  30,5  5,95  j3,5 А, 22,3663, 4  141  45  195,64  68,5  3,8944,6  2,77  j 2,73 А, 22,3626,6 195,64  68,5  8,75  5  8,71  j 0,78 А. 22,36  63, 4 Проверка: I1  I2  I3 . Векторная диаграмма комплексных токов и ЭДС: На диаграмме показан сдвиг фаз между синусоидальными ЭДС и током первой ветви, между ЭДС и током второй ветви, определяемый по разности фазных углов комплексных ЭДС и токов: 1  E1   I1  26  (30,5)  4,5 , 2  E2  I2  45  44  89 . Вычислим комплексные мощности источников ЭДС. Комплексно-сопряженные токи * * ветвей: I1  6,930,5 А, I2  3,89  44,6 А. Комплексная мощность источников E1 и E2 : * SE1  E1 I1  224  26  6,930,5  1545,64,5  1540,83  j121,27  PE1  jQE1 ВА, * SE2  E2 I2  141  45  3,89  44  548,49  89  9,57  j548,41  PE2  jQE2 ВА. Активная мощность источников: PE1  1540,83 Вт, PE2  9,57 Вт, Pг  1540,83  9,57  1550,4 Вт. Второй источник E2 работает практически без нагрузки по активной мощности. Реактивная мощность источников: QE1  121,27 Вар, QE2  548,41 Вар, Qг  121,27  548,41  427,14 Вар. Активная мощность приемников: Pпр   RI 2  R1I12  R2 I 22  R3I32  10  6,92  20  3,892  10  8,752  1544,37 Вт. Реактивная мощность приемников: Q пр   ( X L  X C ) I 2  X1I12  X 2 I 22  X 3I 32  20  6,92  10  3,892  20  8,752  427,73 Вар. Источник E2 работает практически без нагрузки по активной мощности. Реактивную мощность отдают в цепь источник E1 и конденсатор емкостью С3 (X3 = 20 Ом). Приемниками реактивной мощности являются катушки с индуктивностями L1 (X1 = 20 Ом) и L2 (X2 = 10 Ом), а также источник E2 . Баланс активных и реактивных мощностей выполняется: Pг  1550,4  Pпр  1544,37 (Вт), Qг  427,14,4  Qпр  427,73 (Вар). Баланс комплексной мощности: Sг  1550,4  j 427,14  1608,16  15,4  Sпр  1544,37  j 427,73  1602,51  15,5 (ВА). 4.4 Резонанс в электрической цепи Резонанс напряжений. Рассмотрим последовательное соединение резистора с сопротивлением R , идеальной катушки с индуктивностью L и идеального конденсатора с емкостью C ( RLC контур).Пусть напряжение на входе u (t )  U m sin t , частота   2f . Для мгновенных значений напряжений на участках, напряжения и тока u(t )  uR (t )  uL (t )  uC (t ) , uR (t )  Ri(t ) , uL (t )  L di 1 , uC (t )   idt . C dt Применим комплексный метод расчета. Комплексная схема замещения на заданной частоте ( X L  L , X C  1 C ) имеет вид: U  U R  U L  U C  Z  I Полное (входное) комплексное сопротивление: Z U  R  jX L  jX C  R  j ( X L  X C ) . I X Векторные диаграммы комплексов напряжения и комплекса тока: При X L  X C ток отстает от При X L  X C ток опережает При X L  X C ток и входное входного напряжения (индуктивный характер входного сопротивления) входное напряжение (емкостной характер входного сопротивления) напряжение совпадают по фазе (резистивный характер входного сопротивления) При изменении частоты входного синусоидального напряжения проводятся измерения действующих значений тока, напряжения на отдельных элементах, строятся частотные характеристики Z () , () и резонансные кривые I () , U R () , U L () , U C () . Действующее значение напряжения на входе в таком случае поддерживается неизменным. При равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений в цепи наблюдается резонанс напряжений. В таком случае в любой момент времени мгновенные значения напряжений на реактивных элементах равны, сдвинуты по фазе на половину периода и, следовательно, противоположны по знаку. Входное напряжение совпадает с напряжением на резисторе, т.е. совпадает по фазе с током. Реактивные мощности также равны и противоположны по знаку, увеличение энергии магнитного поля в катушке происходит в результате уменьшения электрической энергии, запасенной в конденсаторе; увеличение электрической энергии из-за уменьшения магнитной энергии. Происходит обмен энергии между реактивными элементами, генератор расходует энергию на активном сопротивлении. Коэффициент мощности в условиях резонанса cos   R  1 , так как Z X  X L  X C  0 и Z  R . Угловая частота 0 (  р ), при которой наблюдается резонанс находится из условия 0 L  1 . Для исследования LC 1 , т.е равна 0  0C резонансных явлений вводят расчетные величины: характеристическое сопротивление   0 L  U 1 и добротность конура Q  L U 0C  0 UC U  0  . R Резонансные кривые тока и напряжения также строят в относительных единицах; для разных значений добротности контура кривые Резонансные кривые напряжений: I () имеют вид: Ip Замечание: Для цепи с добротностью Q  1 2 возрастание UL от нуля до значения U происходит монотонно, а для цепи с добротностью Q  1 2 напряжение UL при некоторой частоте L   p достигает максимального значения ULmax>U, а затем уменьшается до значения U. Для цепи с добротностью Q  1 монотонно убывает от U до нуля, а для цепи с добротностью Q  1 2 напряжение UС 2 напряжение UС при некоторой частоте C   p достигает максимального значения UCmax >U, а затем уменьшается до нуля. Частотные характеристики последовательного контура: Резонансные кривые и частотные характеристики показывают, что цепь обладает избирательными свойствами: обладает наименьшим сопротивлением для тока той частоты, которая наиболее близка к резонансной. Избирательные свойства широко используются в электротехнике и радиотехнике. При этом режим резонанса является нормальным режимом работы устройства. Наоборот, в устройствах, где резонансный режим не предусмотрен, значительные токи и напряжения могут быть опасными. Для оценки избирательных свойств цепи вводят условное понятие ширины резонансной кривой или полосы пропускания контура, которую определяют как разность частот, между которыми ток превышает значение линии I  Ip 2 ( Ip 2 ( I 1  ). Пересечение горизонтальной Ip 2 I 1  ) с резонансными кривыми определяет граничные частоты 1 и Ip 2 2, между которыми расположена полоса пропускания. Чем выше добротность, тем уже полоса пропускания: Q  p 1 2 . Модуль комплексного сопротивления цепи 2     p  1  1   2 2 2 2 Z ()  R 2   L   R   L   R 1  Q      p     LC  C     p p p     Ip Действующее значение тока I ()  . 2   p  1  Q2       p  2 2 Пример 16. На осциллографе представлены резонансные кривые RLC -контура для U=10 В, L=10 мГн, С=100 мкФ, R=10 Ом. Резонансная частота 0=1000 рад/с, добротность Q=1. U C () U L () U R () 0 0 Пример 17. На осциллографе представлены резонансные кривые RLC -контура для U=10 В, L=10 мГн, С=100 мкФ, R=20 Ом. Резонансная частота 0=1000 рад/с, добротность Q=0,5. U C () U R () U L () 0 Параллельное соединение активных и реактивных элементов. Резонанс токов. Рассмотрим параллельное соединение двух активно-индуктивных приемников. Активное сопротивление и индуктивность первого приемника R1 и L1 , второго приемника R2 и L2 . Требуется определить коэффициент мощности каждого приемника и всей цепи. Пусть действующее значение синусоидального источника напряжения U , угловая частота   2f . Полные сопротивления (импедансы) первой и второй ветви Z1  R12  (L1 )2  R12  X12 и Z 2  R22  (L2 )2  R22  X 22 . Действующие значения токов первой и второй ветви I1  U R X 2 1 2 1 и I2  U R X 2 2 2 2 . Токи в ветвях отстают от приложенного напряжения на углы 1 и 2 , определяемые из равенства R1 R и cos 2  2 (коэффициенты мощности приемников). Примем начальную Z1 Z2 фазу приложенного напряжения за нулевую ( U  U 0 ), векторная диаграмма комплексных токов I1  I11 и I2  I 22 будет иметь вид: cos 1  Ток в ветви с источником I представляет собой векторную сумму токов I  I1  I2 . Геометрически каждый вектор может быть представлен как сумма двух составляющих: активной (направлена по вектору напряжения) и реактивной (перпендикулярна вектору напряжения): I  Iа  I р , I1  I1а  I1 р , I2  I2 а  I2 р . Активная и реактивная составляющие могут быть определены как I1а  I1 cos 1 , I 2 а  I 2 cos 2 , I1 р  I1 sin 1 , I 2 р  I 2 sin  2 . Активная составляющая суммарного тока I а  I1а  I 2а , реактивная составляющая I р  I1 р  I 2 р . Действующее значение тока I  мощности всей цепи cos   Iа . I I а2  I р2 , коэффициент Рассмотрим параллельное соединение двух ветвей, одна из которых содержит активное сопротивление R и индуктивность L , другая - конденсатор емкостью С. Пусть начальная фаза приложенного напряжения принята за нулевую ( U  U 0 ), тогда ток в ветви с индуктивностью и активным сопротивлением отстает от напряжения на угол 1 и содержит активную и реактивную составляющие, а ток в ветви с идеальным конденсатором опережает напряжение на угол 2   2 и содержит только реактивную составляющую. Подключение ветви с идеальным конденсатором к активно-индуктивному приемнику уменьшает реактивную составляющую суммарного тока, т.е. увеличивает коэффициент мощности всей цепи. Кроме того, действующее значение суммарного тока становится меньше, что приводит к уменьшению потерь в соединительных проводах и обмотках генераторов. Чтобы повысить экономичность энергетических установок используют батареи конденсаторов, подключаемые параллельно активно-индуктивной нагрузке. Можно подобрать величину емкости так, чтобы реактивная составляющая суммарного тока равнялась нулю, тогда действующее значение тока будет минимальным и равным активной составляющей. В таком случае I 2  I 2 р  I1 р  I1 sin 1 , I2  U L1 U L1 U   2  U C , I1 sin 1  , 2 2 2 2 2 R  (  L ) XC R1  (L1 ) R1  (L1 ) 1 1 следовательно, C  L1 L1 C  и . Ток на входе цепи и напряжение R12  (L1 )2 R12  (L1 )2 будут совпадать по фазе и в цепи будет наблюдаться резонанс токов. Обмен энергий при резонансе. Определим сумму энергий электрического и магнитного полей цепи W=WЭ+ WМ. Пусть ток в контуре i(t )  I m sin t , напряжение на емкостном элементе при резонансной частоте uC (t )  1  idt  U Cm sin( pt  )  U Cm cos  pt .  C 2 2 CU Cm Li 2 CuC2 LI m2   sin 2  pt  cos 2  pt , но 2 2 2 2 2 CU Cm LI 2 1 L  Im  I m , откуда  m . Следовательно, суммарная энергия  pC C 2 2 Суммарная U Cm энергия W 2 2 LI m2 CU Cm LI m2 CU Cm 2 2 W sin  pt  cos  pt    const (не изменяется с течением 2 2 2 2 времени). Уменьшение энергии магнитного поля сопровождается увеличением энергии электрического поля и наоборот. Энергия, поступающая в цепь от источника питания, целиком переходит в теплоту. Максимальная активная мощность достигается при U2 . Для частот в полосе пропускания  1; 2  активная R  Pp  мощность P   ; Pp  . 2  резонансе: Pp  I p R  2 Резонанс в сложных разветвленных цепях. В разветвленных цепях, содержащих реактивные элементы, условием резонанса является равенство нулю мнимой части комплексного входного сопротивления или проводимости: Im  Z вх   0 или Im Yвх   0 . У разветвленной цепи с несколькими реактивными элементами может быть несколько резонансных частот. Для чисто реактивных участков может быть обеспечен резонанс токов или резонанс напряжений. Условие резонанса для цепей, содержащих активные сопротивления, определяет также условие максимальной активной мощности, т.к. в таком случае входное сопротивление оказывается чисто активным, ток и напряжение на входе совпадают по фазе, cos   1 . Пример 18. Известны параметры элементов цепи, действующее значение напряжения на входе U = const. Определить резонансные частоты. Решение.  p1L  Резонанс токов будет наблюдаться, если I1  I2  I3  0 . Тогда 1 1 и резонансная частота  p1  . Для резонанса напряжений или  p1C2 LC2  1  j p 2 L   j   C  1 p2 2   j 0  C   1 p2 1  j p 2 L  j   p 2 C2    L     C2   1  0 , т.е. такой резонанс  p 2C1  1    p 2 L    C p2 2   1 возможен при условии, что  p 2 L  ,  p 2   p1 . При резонансе напряжений  p 2C2 модуль тока I1 будет максимален, комплексные ток I1 и напряжение U будут совпадать по фазе, т.к. Im  Z вх   0 . Передача энергии от активного двухполюсника к пассивному в цепи синусоидального тока Рассмотрим соединение активного двухполюсника (А) с пассивным (П). Представим активный двухполюсник последовательной схемой замещения с параметрами U хх , Z вх , а пассивный как Z н . По I методу эквивалентного U xx ( Rвх  Rн )  ( X вх  X н ) 2 2 генератора действующее значение тока: , где Zвх  Rвх  jX вх , Zн  Rн  jX н . Условия передачи максимальной мощности: 1) X вх  X н  0 (сумма реактивных составляющих равна нулю); 2)так как U xx , то I ( Rвх  Rн ) наблюдается при условии должно равняться 2 RнU хх , максимум мощности P  Rн I  ( Rвх  Rн )2 2 dP  0 , т.е Rн  Rвх (активное сопротивление нагрузки dRн активному сопротивлению источника). Следовательно,  Zн  Rн  jX н  Rвх  jX вх  Z вх . К. п. д. при передаче максимальной мощности равен =0, 5. Пример 19. Для цепи известны параметры R1  100 Ом, L  318 мГн. ЭДС источника элементов активного двухполюсника: e(t )  200 2 sin 314t В. Нагрузкой служат сопротивление нагрузки Rн и конденсатор емкостью С, выполняющего роль компенсатора. Найти: 1) При каких значениях Rн и С в нагрузке выделяется максимальная мощность Pmax . 2) Сравнить Pmax с мощностью Р0 в нагрузке при отсутствии компенсатора. Решение: 1) Условие согласования генератора (активного двухполюсника) и нагрузки – входная проводимость генератора равна комплексно-сопряженной проводимости  нагрузки генератора: Yвх.Г  Y н , 1 1   1 1 1    1 j  j где Yвх.Г      См. 3  314  31,8 10   100 100   R jX L   100   1  1 1  1   1 1  Так как Yн    , следовательно Y     j  См. н  XC   Rн ( jX C )   Rн ( jX C )   Rн  Из условия равенства Yвх.Г  Y н получим Rн  100 Ом, X C  100 Ом и C 1  3,18 105 Ф. X C 2) Расчет тока в нагрузке при наличии компенсатора можно провести методом узловых потенциалов. 1  E jX L 200 j100   100  90 1 jX L  1 R1  1 ( jX C )  1 Rн 1 j100  1 100  1 ( j100)  1 100 В, ток в нагрузке Iн  1  90 А. Мощность в сопротивлении нагрузки при согласовании равна: Pmax  I н2 Rн  12 100  100 Вт. 3) Мощность в сопротивлении нагрузки при отсутствии компенсатора: 1  E jX L 200 j100   89,4  63,4 А, ток в нагрузке 1 jX L  1 R1  1 Rн 1 j100  1 100  1 100 Iн  0,894  63,4 А, P0  0,8942 100  80 Вт. Выигрыш по мощности в нагрузке при наличии компенсатора составил 100/80 = 1,25 раза или 25%. 4.5 Расчет цепей с индуктивно-связанными Линейный трансформатор элементами. Явления самоиндукции и взаимоиндукции наблюдаются при изменении тока в проводниках и наличии замкнутых контуров, образованных этими проводниками. В таком случае возникают индукционные токи и ЭДС (напряжения) самоиндукции, при наличии индуктивной связи (общего магнитного поля) - ЭДС (напряжения) взаимоиндукции. Количественная связь между изменением тока во времени и наведенной ЭДС самоиндукции (или напряжения самоиндукции) определяется через собственную индуктивность. В случае, если изменение тока в контуре приводит к индуктированию ЭДС (напряжения) в другом контуре, то определяется взаимная индуктивность контуров с током. Явление взаимоиндукции лежит в основе действия трансформаторов, генераторов, двигателей и т.д. В ряде случаев явление взаимоиндукции негативно влияет на процессы, например, вызывает помехи, перенапряжения в линиях связи. При наличии индуктивно- связанных элементов расчет цепей синусоидального тока усложняется. Рассмотрим две катушки с числом витков w1 и w2 . Пусть в первой катушке ток i1 , тогда 11  w111 – собственное потокосцепление первой катушки ( 11 – магнитный поток в одном витке первой катушки). Пусть часть потокосцепления Ψ11 пронизывает витки второй катушки, 12 – потокосцепление взаимоиндукции, сцепленная с витками второй катушки. Потокосцепление взаимоиндукции Ψ12 создается током первой катушки, пронизывает витки второй. Пусть во второй катушке ток i2 ,  22  w222 – собственное потокосцепление второй катушки (  22 - магнитный поток в одном витке второй катушки),  21 – потокосцепление взаимоиндукции (создается током второй катушки, пронизывает витки первой). В таком случае катушки являются индуктивно-связанными элементами. Параметры индуктивно-связанной системы элементов1: L1  1 11 – собственная индуктивность первой катушки [Генри], i1 При условии линейности индуктивных катушек, т.е. линейной связи между потокосцеплением и током L2   22 – собственная индуктивность второй катушки [Генри], i2 M  M12  M 21 – взаимоиндуктивность [Генри] Для количественной оценки влияния одной катушки на другую вводят понятие коэффициента связи kсв  M12 M 21 M  . L1L2 L1L2 Коэффициент связи зависит от геометрии катушек, от взаимного расположения, от среды, в которой расположены эти катушки (от магнитопровода). Коэффициент связи всегда 0  kсв  1 , т.к. практически всегда присутствует рассеяние магнитного потока. Одноименные зажимы индуктивно связанных катушек. Два зажима разных катушек называют одноименными, если при одинаковых направлениях токов катушек относительно этих зажимов магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции направлены одинаково (суммируются). Одноименные зажимы обозначаются одинаковыми значками (,  или ). На рисунке показан пример разметки катушек (определения одноименных зажимов). a и с одноименные зажимы b и с одноименные зажимы Положительные направления ЭДС и напряжения взаимной индуктивности За положительные направления ЭДС и напряжения само- и взаимоиндукции принято направление, совпадающее с направлением соответствующего тока по отношению к одноименным зажимам. По закону электромагнитной индукции Фарадея, напряжения на индуктивно связанных катушках определяются соотношениями: uL1  d11 di d 22 di  L1 1 , uL 2   L2 2 , dt dt dt dt uM 12  d12 di di d 21 di di  M12 2  M 2 , uM 21   M 21 1  M 1 . dt dt dt dt dt dt Перейдем в комплексную расчетную область, т.е. от мгновенных значений токов и напряжений к соответствующим комплексным токам и напряжениям. Тогда напряжения самоиндукции, U L1  jL1 I1  jX L1 I1 , U L 2  jL2 I2  jX L 2 I2 - U M 12  jM12 I2  jX M I2 - напряжение взаимоиндукции в первой катушке от второго тока, U M 21  jM 21 I1  jX M I1 - напряжение взаимоиндукции во второй катушке от первого тока, X M  M - комплексное сопротивление взаимоиндукции. Последовательное соединение индуктивно-связанных катушек. Если катушки соединены последовательно, то различают согласное и встречное включение индуктивно-связанных катушек. При согласном включении потоки самоиндукции и взаимоиндукции складываются (напряжения самоиндукции и взаимоиндукции суммируются). При встречном включении потоки самоиндукции и взаимоиндукции направлены противоположно (напряжения самоиндукции и взаимоиндукции вычитаются). Рассмотрим согласное включение индуктивно-связанных катушек. Напряжение на катушках имеет три составляющие: напряжение самоиндукции U L , напряжение U R , обусловленное активными потерями, и напряжение взаимоиндукции U M . При последовательном соединении катушек все напряжения определяются одним и тем же током ветви I . При согласном включении катушек напряжение самоиндукции и напряжения складываются. При согласном включении: U ab  U кат1  U кат2   R1  jX L1  jX M  I   R2  jX L 2  jX M  I U кат1 U кат2 U ab   R1  jX L1  jX M  R2  jX L 2  jX M  I Z согл . При встречном включении напряжение на катушках также имеет три составляющие, но напряжения самоиндукции и взаимной индукции вычитаются: При встречном включении: U ab  U кат1  U кат2   R1  jX L1  jX M  I   R2  jX L 2  jX M  I U кат1 U кат2 U ab   R1  jX L1  jX M  R2  jX L 2  jX M  I Z встр . Таким образом, при согласном включении комплексное сопротивление участка ab: Zсогл  R1  jX L1  R2  jX L2  2 jX M  Zсогл согл , при встречном включении: Zвстр  R1  jX L1  R2  jX L2  2 jX M  Zвстрвстр . Если напряжение на участке ab U ab  U  const , то при согласном включении действующее значение тока I согл  I встр , а согл  встр . По результатом измерений действующих значений токов и сдвига фаз межу напряжением и током можно определить сопротивление взаимоиндукции и провести разметку катушек: X согл  X L1  X L 2  2 X M  Z согл sin согл  U sin согл , I согл X встр  X L1  X L 2  2 X M  Z встр sin встр  U sin встр , I встр тогда X M  M  X согл  Х встр 4 . Замечание: При встречном включении катушек возможен вариант, когда напряжение на одной из катушек может отставать от тока, однако суммарное напряжение на обеих катушках будет все равно опережающим по отношению к току. Понятия согласного и встречного включения могут быть применены только для последовательного соединения индуктивно связанных катушек. Трансформатор в линейном режиме. В простейшем случае трансформатор представляет собой две индуктивно связанные катушки, которые называют обмотками (см. §5.2). Как правило, обмотки расположены на общем сердечнике. Воздушный трансформатор не имеет сердечника и системой уравнений. Расчетная схема воздушного трансформатора имеет вид: описывается линейной Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для первичной и вторичной обмотки: U1  U R1  U L1  U M12  ( R1  jX L1 ) I1  jX M I2 0  U R2  U L2  U н  U M 21  ( R2  jX L 2 ) I2  jX M I1  Z н I2 U 2  Z н I2 Определим входное сопротивление первичной обмотки, выразив из уравнений отношение напряжения и тока первичной обмотки: U1 XM2 XM2 Z вх   Rвх  jX вх  R1  2 R22  j ( X L1  2 X 22 ) , 2 I1 R22  x22 R22  X 222 где R22  R2  Rн , X 22  X 2  X н . Рассчитывают Rвнос XM2  2 R22 R22  X 222 и X внос XM2  2 X 22 R22  X 222 - вносимое сопротивление в первичную цепь от вторичной, характеризующее влияние вторичной ветви на режим в первичной ветви. Условие передачи максимальной мощности из первичной во вторичную цепь Rвнос  R1 и X внос  X1  0 . В режиме холостого хода Z н   , ток I2  0 и уравнения имеют вид: U1  U L1  U R1  ( R1  jX 1 ) I1 U M 21  jX M I1  U 2 Измерив действующее значение напряжения и тока первичной обмотки, угол сдвига фаз между напряжением и током можно определить параметры первичной катушки, измерив действующее значение напряжения вторичной обмотки ‒ сопротивление взаимной индукции. Расчетная схема линейного трансформатора с разомкнутой вторичной обмоткой имеет вид: Так как ток I2  0 , то в зависимости от разметки катушек напряжение на вторичной обмотке U 2   jX M I1   Z М I1 , напряжение на первичной обмотке U1  ( R1  jX1 ) I1  Z1 I1 : Действующие значения напряжений U1 и U2, тока I1 будут одинаковыми для вариантов а) и b); при построении векторной диаграммы необходимо учитывать знак U 2   jX M I1 . Векторная диаграмма комплексных токов и напряжений в режиме холостого хода: Аналогично можно определяются параметры второй катушки при подключении ее к выходу генератора. Коэффициент трансформации 1. Коэффициент трансформации положительное число n= w1 / w2, где w1 - число витков первичной обмотки, w2 - число витков вторичной обмотки. 2. Комплексный коэффициент трансформации по напряжению KU  3. Комплексный коэффициент трансформации по току K I  U1 . U2 I2 . I1 Требования к идеальному трансформатору 1. Активное сопротивление первой и второй обмоток должно бать как можно меньше, т.е. R1 0, R2 0. 2. Коэффициент связи kсв  1 или M  L1L2 . 3. Реактивное сопротивление первой и второй обмоток должно максимально большим, т.е. L1, L2. 4. Для идеального трансформатора KU  U1 I w  KI  2  n  1 . U2 I1 w2 5. Комплексная мощность первичной цепи равна комплексной мощности вторичной цепи: S1  S2 , P1  P2 , Q1  Q2 . 6. Идеальный трансформатор преобразует сопротивление нагрузки пропорционально квадрату коэффициента трансформации без изменения аргумента: Z вх.ид.тр  ра  U1 nU 2   n2 Z н I2 I1 n Замечание: Идеальный трансформатор преобразует только модуль сопротивления нагрузки, без изменения аргумента или характера этой нагрузки. 5. Трехфазные цепи переменного тока Условия получения, передачи и потребления электрической энергии существенно улучшаются при объединении однофазных цепей в трехфазные системы. Преимущества использования трехфазных систем: 1. Легко получается вращающееся магнитное поле в генераторах и двигателях переменного тока. 2. Мгновенная мощность, которая определяет момент на валу генератора и двигателя, в трёхфазной симметричной цепи является величиной постоянной, а не пульсирующей, как в однофазной цепи. 3. Для передачи одной и той же мощности в трехфазной цепи требуется меньшее суммарное сечение проводов, чем в однофазной цепи. 4. Без каких-либо преобразований легко получается два различных напряжения: линейное и фазное (Uл и Uф). Многофазной системой электрических цепей называется совокупность электрических цепей, в которых действуют синусоидальные электродвижущие силы одной и той же частоты, сдвинутые друг относительно друга по фазе, создаваемые общим источником энергии. Совокупность подобных ЭДС, равно как и совокупность синусоидальных электрических токов или напряжений одной частоты, сдвинутых друг относительно друга по фазе, называется многофазной системой соответственно ЭДС или напряжений (токов). Число фаз многофазной системы электрических цепей принято обозначать буквой m. При m = 2, 3, 4 и т.д. многофазные системы электрических цепей называют соответственно двух-, трех-, четырехфазными и т.д. системами электрических цепей. Многофазные системы ЭДС, токов и напряжений принято подразделять на симметричные и несимметричные системы. Симметричной m – фазной системой ЭДС (токов, напряжений) называется система, в которой максимальные значения всех ЭДС (токов, напряжений) одинаковы, но по фазе каждая последующая ЭДС (ток, напряжение) отстает от предыдущей ЭДС (предыдущего тока, напряжения) на угол q 2 , m где q = 0, 1, ..., m-1. Трехфазная цепь представляет собой совокупность трехфазных источников, трехфазной нагрузки и трехпроводной (или четырехпроводной) системы проводов, связывающих источники и нагрузку. Создателем трехфазной системы является выдающийся русский инженер и ученый М.О. Доливо-Добровольский. В 1891 г. на Франкфуртской электротехнической выставке была представлена система передачи энергии на трехфазном токе из Лауфена на реке Некар (приток Майна) во Франкфурт на Майне. Длина линии составляла 170 км, провода воздушные, расстояние между опорами около 60 м. В состав системы входили: • • • • водяная турбина мощностью 304 л.с.; трехфазный синхронный генератор 230 кВА, 95 В, соединение обмоток статора в «звезду», частота 30-40 Гц, 150 об/мин; повышающий и понижающий трансформатор; трансформаторы для питания освещения и асинхронный короткозамкнутый двигатель мощностью 100 л.с. с числом полюсов, равным восьми, что соответствовало синхронной скорости 450-600 об/мин. Двигатель приводил во вращение гидронасос. На выставке имитировался водопад на реке Некар, приводивший во вращение турбину. Напряжение в линии передачи вначале было 15 кВ, а затем после установки новых трансформаторов оно было доведено до 28,3 кВ. В трёхфазных цепях используют два понятия фазы: 1. Фаза – фаза синусоидального колебания и начальная фаза синусоидального колебания. 2. Фаза – как составная часть многофазной системы, в которой один и тот же ток с определенной начальной фазой. Каждая фаза имеет буквенное обозначение. В России фазы обозначаются заглавными буквами А, В, С. Концы обмоток обычно маркируют буквами: А – начало, х – конец обмотки фазы А. Соответственно для фазы В: (В – y), для фазы С: (С – z). В качестве трехфазных источников чаще других применяются синхронные генераторы. На статоре синхронного генератора помещены три обмотки, расположенные в пространстве относительно друг друга на 120о. Между неподвижными катушками расположен укрепленный на оси подвижный электромагнит. Если электромагнит привести в движение во вращение с угловой скоростью, близкой к ω, то он будет продолжать вращаться и достигнет частоты вращения равной ω. В обмотках индуцируются ЭДС, изменяющиеся по синусоидальному закону и образующие симметричную систему прямой последовательности (q = 1): eA (t )  Em sin(t   A ) , eB (t )  Em sin(t   A  eC (t )  Em sin(t   A  2 ), 3 4 2 )  Em sin(t   A  ) 3 3 Если q = 2 , то система ЭДС обратной последовательности имеет вид: eA (t )  Em sin(t   A ) , eB (t )  Em sin(t   A  eC (t )  Em sin(t   A  4 2 )  Em sin(t   A  ) , 3 3 8 2 )  Em sin(t   A  ) 3 3 Если q = 0 , то рассматривается система ЭДС нулевой последовательности: eA (t )  eB (t )  eC (t )  Em sin(t  ) . Для симметричного трехфазного генератора прямой и обратной последовательности выполняется соотношение eA (t )  eB (t )  eC (t )  0 . Для нулевой последовательности eA (t )  eB (t )  eC (t )  3eA (t ) . Участки цепи, где индуцируются ЭДС, изменяющиеся по синусоидальному закону, могут быть обозначены как фазные ЭДС eA (t ), eB (t ), eC (t ) или как фазные напряжения u A (t ), uB (t ), uC (t ) . При использовании комплексного метода расчета определяют комплексы (вектора) фазных ЭДС или комплексы фазных напряжений: E A , EB , EC и U A , U B , U C . Действующее значение фазного напряжения U ф  Em / 2 . Как правило, при использовании комплексной плоскости для задач расчета трехфазных систем, ее «поворачивают» на 90° против часовой стрелки, чтобы фаза А располагалась вертикально: Действующая в цепи система ЭДС (токов и напряжений) может быть несимметрична. Для расчета и характеристики несимметричных напряжений и токов используют метод симметричных составляющих. Несимметричная система любых трех синусоидальных напряжений (токов, зарядов, магнитных потоков) может раскладывается на три симметричные системы (прямой, обратной и нулевой последовательностей). Так как синусоидальные величины (токи, напряжения, ЭДС) на комплексной плоскости представляются комплексами (векторами), то несимметричная система трех векторов на комплексной плоскости может быть представлена суммой трех симметричных систем векторов. Фазные напряжения трехфазной системы могут быть представлены выражением (разложение Фортескью): U A U1 U 2 U 0 U B  a 2U 1  aU 2  U 0 U C  aU 1  a 2U 2  U 0 , 2 где а и а являются фазными множителями, равными: a  1e j120  1120  0,5  j 0,866 , a 2  1e j 240  1240  1  120  0,5  j 0,866 , 2 причем а + а + 1 = 0. Для любой тройки векторов U A , U B , U C можно определить соответствующие разложению Фортескью симметричные составляющие: 1 U 1  (U A  aU B  a 2U C ), 3 1 U 2  (U A  a 2U B  aU C ), 3 1 U 0  (U A  U B  U C ). 3 Пример 24. В результате аварии фазные напряжения трехфазного генератора U A  2100 В, U B  210  120 В, U C  0 . Определить симметричные составляющие фазных напряжений. Рассчитаем симметричные составляющие для заданной несимметрии: 1 U 1  (210  1120 210  120  0)  140 В, 3 1 U 2  (210  1  120 210  120  0)  35  j 60,62  7060 В, 3 1 U 2  (210  210  120  0)  35  j 60,62  70  60 В. 3 Проверка расчета: U A  U 1  U 2  U 0  140  7060  70  60  210 U B  a 2U 1  aU 2  U 0  140  120  70180  70  60  105  j181,87  210  120 U C  aU 1  a 2U 2  U 0  140120  70  60  70  60  0 На рисунках показаны векторные диаграммы несимметричной системы и ее симметричные составляющие прямой, обратной и нулевой последовательности. Метод симметричных составляющих используют для характеристики несимметрии напряжений (токов). Любая несимметричная нагрузка трехфазной системы приводит к тому, что токи и напряжения в ее элементах несимметричны. Типичным видом таких нагрузок является бытовая аппаратура, освещение и т.д. В промышленности несимметричными электроприемниками является сварочное оборудование, индукционные печи, тяговые подстанции железнодорожного транспорта. До 85% суммарной нагрузки является причиной несимметрии. Несимметрия напряжений характеризуется коэффициентом несимметрии напряжения по обратной последовательности K 2U и по нулевой последовательности формулам: K 2U K 0U для основной частоты1. Расчет проводится по U 2(1) U 0(1)  (1) 100% , K 0U  (1) 100% , где U1(1) , U 2(1) , U 0(1) - действующие U1 U1 значения напряжения прямой, обратной и нулевой последовательности для основной частоты. При соединении обмотки фаз генераторов и фаз нагрузки "звездой" нейтральные точки соединяются нулевым проводом (четырехпроводная система). Если нулевой провод не является идеальным (короткозамкнутым), то в несимметричном режиме напряжение нулевой последовательности U 0 представляет собой напряжение смещения нейтрали, ток в нулевом проводе представляет собой ток нулевой последовательности. Обрыв нулевого провода приводит к перенапряжениям на фазах нагрузки и появлению напряжения смещения нейтрали (напряжения прикосновения). Виды соединений обмоток генератора Существуют два основных способа соединения обмоток генераторов, двигателей, трансформаторов и приемников в трехфазных цепях – соединения «звездой» и соединения «треугольником». 1. Соединение «звездой» – концы обмоток x, y, z соединены в одну точку 0 (или N). Точка 0 называется нулевая или нейтральная точка генератора. Фазные напряжения источника - напряжения между началами и концами фазных обмоток. В симметричной системе они изображаются на комплексной плоскости тремя равными по длине векторами, сдвинутыми относительно друг друга на Фазные напряжения могут отличаться от фазных ЭДС на величину падения напряжения в обмотках. 120 . Если сопротивлением обмоток можно пренебречь, то фазные ЭДС равны фазным напряжениям. Для симметричного U A  U B  UC  0 . 1 Понятие основной частоты будет дано в §6.5. источника EA  EB  EC  0 и Обозначим действующее значение фазного напряжения U Ф , тогда для комплексов фазных напряжений (фазных ЭДС): EA  U A  U Ф0 , EB  U B  U Ф  120  a 2U A , EC  UC  U Ф120  aU A . К началам фазных обмоток подсоединяют провода, соединяющие трехфазный генератор с электроприемниками. Такие провода называют линейные. Напряжения между двумя линейными проводами - линейные напряжения. Линейные напряжения определяют как разность фазных напряжений: Из векторной диаграммы можно определить комплексы линейных напряжений: U AB  U A  U B  U Л30 , U BC  U B  UC  U Л  90 , UCA  UC  U A  U Л150 , где U Л - действующее значение линейного напряжения. Для симметричной системы прямой последовательности U Л  3U Ф . При фазном напряжении U Ф  220 В линейное напряжение U Л  3  220  380 В. Линейные напряжения источника U AB  38030 В, U BC  380  90 В, U CA  380150 В. 2. При соединении обмоток генератора «треугольником» конец одной обмотки подсоединен к началу другой. Три фазы генератора образуют замкнутый контур, в котором действует ЭДС, равная сумме ЭДС, индуцированных в фазах генератора. Для симметричной системы прямой последовательности сумма фазных ЭДС или фазных напряжений равна нулю, ток в замкнутом контуре треугольника равен нулю 2. Линейные провода при соединении треугольником подключаются к точкам соединения начала одной фаз и конца другой. Напряжение между линейными проводами равно напряжению между началом и концом одной фазы, т.е. при соединении треугольником U Л  U Ф . При U Ф  220 В, линейные напряжения образуют симметричную тройку прямой последовательности: U AB  2200 В, U BC  220  120 В, UCA  220120 В. Виды соединения нагрузки Для трехфазной нагрузки используют соединения фаз "звездой" и соединения фаз "треугольником". При соединении фаз нагрузки "звездой" нулевую точку нагрузки обозначают 0' ( N  или n ). Для симметричной нагрузки Z A  Z B  ZC  Z и Z AB  Z BC  ZCA  Z . 2 Для симметричной системы нулевой последовательности фазный ток генератора IГ  3EФ , линейное 3Z Г напряжение U AB  U BC  UCA  EФ  IГ Z Г  0 . При несимметричной системе фазных ЭДС в фазах генератора появляется ток нулевой последовательности, система линейных ЭДС также будет несимметричной. Способы соединения генератора и нагрузки На практике используют различные комбинации соединения обмоток генератора и приемника: "звезда"-"звезда", "звезда"-"треугольник", "треугольник" - "звезда", "треугольник" - "треугольник". При соединении обмоток генератора и приемника "звезда"-"звезда" возможно четырехпроводное и трехпроводное соединения генератора и нагрузки. В четырехпроводной системе потребитель (нагрузка) одним проводом подключается к линейному проводу, другим - к нулевому. При соединении обмоток генератора и нагрузки звездой ток в линейном проводе (линейные ток в линейных проводах) равен току в фазах генератора и нагрузки (фазные токи в фазах генератора и нагрузки): I Л  I Ф . Фазные напряжения на нагрузке U A0 , U B0 , U C0 меньше фазного напряжения на источнике за счет падения напряжения в линейных проводах, если принять Z Л  0 , то фазные напряжения на приемнике считаются равными фазным напряжениям источника. Ток в нейтральном проводе равен сумме фазных токов нагрузки I N  I A  IB  IC . В случае симметричной нагрузки фазные токи представляют собой симметричную тройку прямой последовательности и сумма токов равна нулю. При симметричной нагрузке ток в нейтральном проводе не равен нулю и наличие нулевого провода является обязательным3. В случае отсутствия нулевого провода (трехпроводная система) при несимметричной нагрузке возникает несимметрия напряжений и потенциал точки 0' "смещается" относительно потенциала точки 0. Появляется "напряжение смещения нейтрали" U 00 . Поэтому отключение нулевого провода при неравномерной (например, бытовой, осветительной) нагрузке недопустимо. Для безопасности нулевой провод заземляют 4, в нем нельзя устанавливать предохранители, выключатели и т.д. Трехфазный двигатель переменного тока включается в сеть "звездой" без нулевого провода. Основным преимуществом четырехпроводной системы является возможность включения электроприемников на разные напряжения. Так для снабжения смешанных осветительно-силовых нагрузок осветительные нагрузки включаются на фазное напряжение, а силовые нагрузки (электродвигатели) - на линейное. 3 4 Как правило, сечение нулевого провода меньше, чем сечение линейных проводов. Система PEN, международное обозначение линейных проводов L1, L2, L3 Схема зануления в сети с глухозаземленной нейтралью Обозначения: 1 – болт присоединения заземления или зануления; 2 – защитный аппарат; 3 – светильник; 4 – однофазный электроприемник; 5 – выключатель; 6 – повторное заземление При соединении фаз приемника или генератора "треугольником" возможно только трехпроводное соединение. В таком случае I Л  I Ф , сумма линейных токов I A  IB  IC  0 . В случае симметричной нагрузки I Л  3I Ф . Если Z Л  0 , то линейные напряжения на приемнике считаются равными линейным напряжениям источника, токи в фазах приемника определяются через линейные напряжения, а токи в линейных проводах - по первому закону Кирхгофа через фазные токи. При отсутствии нулевого провода для безопасной работы трехфазной системы все электроприемники должны иметь защитное заземление. Схема заземления электроустановки с изолированной нейтралью Обозначения: 1 – пробивной предохранитель; 2 – магистраль заземления; 3 – болт присоединения заземления или зануления; 4 – защитный аппарат в металлическом корпусе; 5 – однофазный электроприемник; 6 – выключатель; 7 – светильник; 8 – заземляющая шина 5.1 Расчет трехфазных цепей при соединении фаз нагрузки "звезда" для четырехпроводной системы При симметричном режиме Z A  Z B  ZC  Z . Тогда составляют расчетную схему на одну фазу, т.к. линейные токи образуют симметричную систему прямой последовательности. 1. Для расчета токов применяют закон Ома: IA  UA UB UC , IB   I A  120 , IC   I A120 . Zл  Z Zл  Z Zл  Z 2. Ток в нейтральном проводе: IN  I A  IB  IC  I A  I A  120  I A120  0 . Векторная диаграмма для случая, когда Z имеет активно-индуктивный характер (ток в фазах нагрузки отстает от приложенного фазного напряжения на угол  ) имеет вид: Расчет несимметричного режима при Z N  0 (идеальная нейтраль) проводят по закону Ома, так U 00  0 . При этом линейные токи и токи в фазах приемника: IA  UA ; Zл ZA IB  UB ; Zл  ZB IC  UC . Z л  ZC Ток в нейтральном проводе I N  I A  I B  I C . Расчет несимметричного режима при ZN  0 (неидеальная нейтраль) целесообразно осуществлять в следующем порядке: 1. Находят напряжение смещения нейтрали U 00 . Это напряжение между общей точкой источника и общей точкой нагрузки: U 00 UA UB UC   Z л  Z A Z л  Z B Z л  ZC  . 1 1 1 1    Z л  Z A Z л  Z B Z л  ZC Z N 2. Линейные токи, как и фазные в приемнике, определяются из выражений: IA  U A  U 00 ; Zл ZA IB  Ток в нейтральном проводе: I N  U B  U 00 ; Zл  ZB IC  U C  U 00 . Z л  ZC U 00 . ZN Проверка решения осуществляется по первому закону Кирхгофа: I N  I A  IB  IC. Пример 25. Определить показания амперметров, если фазное напряжение U Ф  220 В, а R  L  1 C  55 Ом. Построить векторную диаграмму токов. В данной трехфазной цепи несимметричная нагрузка, линейные провода и нейтральный (нулевой) провод – идеальные. Токи в линейных проводах (фазные в приемнике) определяются фазными напряжениями на источнике, т.к. U 00  0 . Ток в фазе А I A  U A U A 2200    4 А, ZA R 55 ток в фазе В I B  U B U B 220  120    4  210 А, Z B jX L j 55 ток в фазе С IC  UC UC 220120    4210 А, ZC  jX C  j 55 ток в нулевом проводе I N  I A  I B  I C  4  4  120  4120  2,92180 А. Векторная диаграмма: Показания амперметров: IА1 = 4 А, IА2 = 4 А, IА3 = 4 А, IА4 = 2,92 А. 5.2 Расчет трехфазных цепей при соединении фаз нагрузки "звезда" для трехпроводной системы При отсутствии нейтрального (нулевого) провода I A  IB  IC  0 . На рисунке показана схема трехфазной цепи без соединения общих точек 0 и 0' . Для симметричного режима Z A  Z B  ZC  Z . Напряжение смещения нейтрали в таком случае для симметричного источника прямой последовательности U 00 UA UB UB 1   (U A  U B  U B ) Z Z Z Z    0 , т. к. (U A  U B  U B  0 ). 1 1 1 3   Z Z Z Z 1. Для расчета токов применяют закон Ома: IA  UA UB UC , IB   I A  120 , IC   I A120 . Zл  Z Zл  Z Zл  Z 2. Сумма линейных токов равна нулю: I A  IB  IC  I A  I A  120  I A120  0 . Расчет несимметричного режима без нейтрального провода проводят в следующем порядке: 1. Находят напряжение смещения нейтрали U 00 . Это напряжение между общей точкой источника и общей точкой нагрузки: U 00 UA UB UC   Z  Z A Z л  Z B Z л  ZC  л . 1 1 1   Z л  Z A Z л  Z B Z л  ZC 2. Линейные токи, как и фазные в приемнике, определяются из выражений: IA  U A  U 00 ; Zл ZA IB  U B  U 00 ; Zл  ZB IC  U C  U 00 . Z л  ZC Проверка решения осуществляется по первому закону Кирхгофа: I A  I B  I C  0 . Пример 26. Определить показания вольтметров, если линейное напряжение источника U Л  380 В, R  L  1 C  76 Ом. Построить векторную диаграмму напряжений. Фазное напряжение источника U Ф  U Л 380   220 B . Рассчитаем напряжение 3 3 смещения нейтрали с учетом Z Л  0 : 2200 220  120 220120   76 j 76 ( j 76) U 0'0   220  220  210  220210  1 1 1   76 j 76 ( j 76)  160, 6  160, 6180 B. Фазные напряжения на нагрузке: U A0  U A  U 00  220  (160,6)  380,6 В, U B 0  U B  U 00  220  120  (160,6)  196,6  75 В, U C 0  U C  U 00  220120  (160,6)  196,675 В. Показания вольтметров: UV1 = 380,6 В, UV2 =UV3 = 196,9 В. Топографическая диаграмма: Пример 27. Фазное напряжение источника. Uф=220 В. Рассчитать токи в трехпроводной трехфазной системе при соединении фаз приёмника "звезда". Решение: 1. В симметричном режиме Z A  Z B  ZC  5  j 4,5  6,7342 Ом. В симметричном режиме U 00  0 , расчет проводим на одну фазу А ( принимаем 0  0 ) IA  UA 2200   32,7  42 А, I B  I A  120  32,7  162 А, Z 6,7342 I C  I A120  32,778 А. Проверка: I A  I B  I C  0 . 2. Несимметричный режим Z A  5  j 4,5  6,7342 Ом, Z B  3,5  j5  6,155 Ом, ZC  5 Ом. Найдем напряжение смещения нейтрали: U 00 U A U B UC 2200 220  120 220120     Z A Z B Z C 6,7342 6,155 5    1 1 1 1 1 1     Z A Z B ZC 6,7342 6,155 5 32,69  42  36,066  175  44120  0,1486  42  0,16393  55  0, 2 (24, 293  j 21,874)  (35,929  j3,143)  (22  j38,105)   (0,1104  j 0,0994)  (0,09403  j 0,13428)  0, 2 33,636  j13,088 36,06158,7    77, 22231,7  76,311  j11,716 B 0, 4044  j 0, 2336 0, 467  55  Напряжения на фазах приемника (нагрузки): U A0  U A  U 00  220  (76,311  j11,716)  296,311  j11,716  296,542,3 B U B 0  U B  U 00  (110  j190,5)  (76,311  j11,716)   33,689  j178,784  181,93  100,6 B U C 0  U C  U 00  (110  j190,5)  (76,311  j11,716)   33,689  j 202, 216  20599,5 B Фазные (линейные) токи: IA  U A0 296,542,3   44,08  39,7  33,907  j 28,173 A , ZA 6,7342 IB  U B 0 181,93  100,6   29,81  155,6  27,163  j12, 276 A , ZB 6,155 IC  U C 0 20599,5   4199,5  6,738  j 40, 443 A . ZC 5 Проверка: I A  IB  IC  0,006  j 0,006  0 3. В несимметричном режиме произошел обрыв линейного провода в фазе С. В этом случае I A  IB  0 , т.к. IC  0 . Найдем напряжение смещения нейтрали: U 00 UA UB 2200 220  120   32,69  42  36,066  175 Z Z B 6,7342 6,155  A    1 1 1 1 0,01486   42   0,16393   55    Z A ZB 6,7342 6,155 (24, 293  j 21,874)  (35,929  j3,143)  (0,1104  j 0,0994)  (0,09403  j 0,13428) 11,636  j 25,017 27,59  114,9    88,86  66,1  35,968  j81, 26 B 0, 20443  j 0, 23368 0,3105  48,8  Напряжения на фазах приемника (нагрузки): U A0  U A  U 00  220  (35,968  j81,26)  184,032  j81,26  198,424,2 B U B 0  U B  U 00  (110  j190,5)  (35,968  j81, 26)   145,968  j109, 24  182,32  143, 2 B U C 0  U C  U 00  (110  j190,5)  (35,968  j81, 26)   145,968  j 271,76  308, 48118, 2 B Фазные (линейные) токи: IA  U A0 198, 424, 2   29, 48  17,8  28,069  j9,012 A , ZA 6,7342 IB  U B 0 182,32  143, 2   29,88  198, 2  28,385  j9,333 A . ZB 6,155 Проверка: I A  IB  0,316  j 0,321  0 . 4. В несимметричном режиме произошел короткое замыкание нагрузки в фазе С. В этом случае 0  C , токи в фазах А и В определяются линейными напряжениями U A0  U AC  U Л  30 В, U B 0  U BC  U Л  90 В. Фазные (линейные) токи: IA  U A0 380  30   56, 46  72  17, 448  j53,7 A , ZA 6,7342 IB  U B 0 380  90   62,3  145  51,092  j35,731 A . ZB 6,155 Ток в фазе С можно определить по первому закону Кирхгофа: IC  ( I A  IB )  33,604  j89,431  95,5469,4 А. Мощность трехфазной цепи. Как известно, мгновенная мощность однофазной цепи изменяется в двойной частотой. Из-за пульсации на валах генераторов и двигателей однофазного тока возникает пульсирующий крутящий момент. Мгновенная мощность трехфазной цепи при симметричном режиме p(t )  pA (t )  pB (t )  pC (t )  3U Ф IФ cos   const . Мгновенная мощность трехфазной системы в симметричном режиме не зависит от времени, всегда постоянна и равна активной мощности цепи. Это одно из преимуществ трехфазной цепи, т.к. в любой момент времени нагрузка генераторов постоянна и привод (турбина, двигатель) также испытывает одинаковую нагрузку. Трехфазная цепь, мгновенная мощность которой неизменна, называется уравновешенной системой. Так как в электроэнергетике чаще имеют дело с линейным напряжением, выразим мощность через линейные токи и напряжения. Так при соединении звездой U Л  3U Ф , I Л  I Ф , то P  3U Л I Л cos  . Здесь  - угол сдвига фаз между фазным напряжением и фазным током. Аналогично определяются реактивная и полная мощности трехфазной цепи: Q  3U Л I Л sin  и S  3U Л I Л . При несимметричном режиме мгновенная мощность содержит составляющую, трехфазная цепь не является уравновешенной системой. переменную 5.3 Измерение мощности трехфазной цепи. 1. Четырехпроводная система. В четырехпроводной системе токовая обмотка ваттметра включается последовательно в один из линейных проводов, а обмотка напряжения - между тем же линейным и нулевым проводом. При таком включении показание ваттметра определить активную мощность одной фазы, активная мощность системы равна сумме показаний всех ваттметров P  PW1  PW2  PW3 . Для симметричной нагрузки активную мощность можно измерять одним ваттметром, включенным в любую фазу. Мощность системы будет равна P  3PW . Трехпроводная система. В симметричном режиме измерение активной мощности трехфазной системы может быть измерена одним ваттметром. Токовая обмотка ваттметра включается последовательно в один из линейных проводов, а обмотка напряжения - между 2. линейными проводами. Мощность трехфазной системы P  3PW . В трехпроводной трехфазной цепи при несимметричной и симметричной нагрузке для измерения активной мощности применяют схему двух ваттметров. В этом случае обмотки напряжения каждого ваттметра соединены с входным зажимом токовой обмотки и линейным проводом, оставшимся свободным5. 5 На практике для измерения мощности применяют один ваттметр и специальный переключатель, который дает возможность включать ваттметр как в один, так и в другой линейные провода. Активная мощность трехфазной цепи равна алгебраической сумме показаний ваттметров P  PW1  PW2 . При больших углах сдвига между фазным напряжением и током показания ваттметра в одной из фаз могут оказаться отрицательными. На практике для измерения мощности необходимо будет изменить направление тока в токовой обмотке ваттметра, мощность системы будет равна разности показаний ваттметров после переключения токовой обмотки ваттметра. В симметричном режиме по показаниям двух ваттметров можно определить реактивную мощность трехфазной цепи: Q  3( PW1  PW2 ) . В симметричном режиме для измерения реактивной мощности можно использовать схему с одним ваттметром, при этом Q  3PW . Пример 28. В цепь асинхронного двигателя АD с линейным напряжением 380 В включены два одинаковых ваттметра, показания которых 2670 и 398 Вт. Определить активное и реактивное сопротивления обмотки двигателя, соединенной звездой. Активная мощность трехфазной системы Р = Р W1 + Р W2 = 398 + 2670 = 3068 Вт, реактивная мощность трехфазной системы Q = Р W1 – Р W2 = (2670 – 398) 3 = 3930 Вар. Q 3930 Q  3U Л I Л sin  , то tg=   1, 281 и   52 . Так как P  3U Л I Л cos  , P 3068 Действующее значение фазного (линейного) тока I Л  IФ  (обмотки P 3068   7,58 А, 3U Л cos  3  380cos52 двигателя) Z комплексное сопротивление нагрузки UФ 220   52  2952  17,87  j 22,87 Ом, IФ 7,58 активное сопротивление обмотки двигателя R  17,87 Ом, реактивное сопротивление обмотки двигателя X  22,87 Ом. Энергия в трехфазной системе измеряется как однофазными, так и трехфазными счетчиками электрической энергии. Однофазные счетчики включают в трехфазную цепь также, как и ваттметры. Трехфазные счетчики составляются из двух или трех однофазных, размещенных в одном корпусе и имеющих общее счетное устройство. В трехпроводной системе используют двухэлементные счетчики, в четырехпроводной - трехэлементные. 6. Линейные цепи несинусоидального тока 6.1. Общие понятия, интегральные коэффициенты. Использование ряда Фурье характеристики и Периодические несинусоидальные токи и напряжения изменяются во времени по периодическому несинусоидальному закону. Периодические несинусоидальные токи и напряжения достаточно типичны для практической электротехники. Прежде всего, достижение идеальных синусоидальных кривых ЭДС не возможно из-за несовершенства конструкций синхронных генераторов. Наиболее распространенными источниками нелинейных искажений являются преобразователи. Форма кривой тока в преобразователе отличается от синусоидальной и имеет трапецеидальную форму. Источниками гармонических искажений являются приемники, обладающие нелинейными характеристиками: дуговые сталеплавильные печи, трансформаторы с нелинейными характеристиками, индукционные печи и т.д. Бытовая аппаратура во многом также оснащена устройствами с нелинейными характеристиками. Искажение синусоидальности возможно также за счет внешних несинусоидальных воздействий на цепи через магнитные связи. С другой стороны, во многих электротехнических и радиотехнических устройствах генераторы конструируют так, чтобы напряжения и электрических цепях были заведомо несинусоидальными. Импульсная форма необходима для функционирования многих устройств. Форма кривых токов и напряжений может быть самой различной (кусочно-линейной, кусочно-синусоидальной и т.д.), но все они – периодические, т. е. выполняется условие x(t )  x(t  T ) . К основным понятиям периодической функции x(t ) относится: период T (в секундах), основная (первая) частота f  1 (в Герцах) и основная круговая T частота   2f (в радиан в секунду). На рисунках представлены примеры кусочнолинейных и кусочно-синусоидальных напряжений. В данных примерах период отмечен как 2 в радианах. Кусочно-линейные периодические напряжения. Кусочно-синусоидальные периодические напряжения. Другим основным понятием является понятие гармоники (гармонической составляющей). Гармоникой называется синусоидальная функция вида: Akm sin(k t  k ) , k  1, 2, - номер гармоники. Здесь Akm - амплитуда k-ой гармоники, k - круговая частота (в дальнейшем будем говорить просто частота), k - начальная фаза k-ой гармоники. Если k  k  , то  основная или первая гармоника (k  1) , гармоника с номером k  2 называют второй гармоникой и т.д. Гармоники с номером k  2 называют высшими гармониками. Различают нечетные (5, 7, ...), четные (2, 4, 8...) и гармоники, кратные трем (3, 6, 9...). В бытовых приборах (цветные телевизоры, радиоприемники, зарядные устройства и т. д.) генерируются токи, содержащие гармоники с нечетными номерами. Наибольшее значение при этом имеет третья гармоника. Существенным источником таких гармоник являются также люминесцентные лампы. При этом гармоники практически совпадают по фазе и суммируются, создавая существенные искажения синусоидальности. Распространение гармоник тока по сети зависит от конфигурации и параметров сети. (1) Форма кривой напряжения, содержащая первую u , третью u гармоники. (3) и пятую u (5) Ранее был рассмотрен комплексный метод расчета синусоидальных токов и напряжений, т.е. функций, описываемых только одной гармоникой. Замечательное свойство периодических функций – возможность представления их как суммы гармоник (тригонометрического ряда Фурье) и использование для линейных цепей принципа наложения (суперпозиции) дают возможность расчета токов и напряжений в рассматриваемых цепях с несинусоидальными ЭДС, токами и напряжениями. В справочной литературе приведены таблицы разложений в ряд Фурье основных периодических функций, используемых в задачах электротехники. 6.2. Интегральные показатели периодических процессов Периодический ток, значениями: напряжение, интенсивности и ЭДС принято характеризовать с следующими - максимальным значением тока Imax, напряжения Umax, ЭДС Emax; - действующим значением тока I, напряжения U, ЭДС E, где T качества T T 1 1 1 2 2 2 I i ( t ) d t U  u ( t ) d t E  e ( t ) dt ; , ,       T 0 T 0 T 0 - средним по модулю значения тока Iср, напряжения Uср, ЭДС Eср: T T 1 1 I ср   i (t ) dt , U ср   u (t ) dt , T0 T0 T 1 Eср   e(t ) dt . T0 Замечание: Действующее значение характеризует интенсивность периодических процессов, сопоставляя последние с интенсивностью процессов в цепях постоянного тока. Действующее значение периодического тока i (t ) численно равно постоянному току I , который давал бы точно такое же выделение теплоты за период. Действительно, среднее значение мгновенной мощности p(t )  i (t ) R за период Т, определяющее выделение 2 T T T 1 1 2 1 2 2 теплоты P   pdt   i Rdt  R  i dt  RI . T0 T0 T0 Формы периодических несинусоидальных кривых токов, напряжений, ЭДС принято оценивать специальными коэффициентами. В Таблице 1 такие коэффициенты даны применительно к периодическому напряжению u (t ) . Таблица 1 Название коэффициента Обозначение Выражение Коэффициент формы kф U U ср Коэффициент амплитуды ka U max U Коэффициент n-й гармоники n2 kn Un U1 Коэффициент искажения kи U1 U Коэффициент гармоник kг   U i2 i 2 U1 В электроэнергетике для оценки качества электроэнергии используют коэффициент искажения синусоидальности, учитывая весь ряд гармоник от второй до сороковой: 40 kи  U i 2 U1 2 i . Коэффициент искажения синусоидальности по сути совпадает (с точностью до 40 гармоник) с коэффициентом гармоник kг из Таблицы 5, используемым в электронике и радиотехнике для оценки формы любых сигналов. В совокупности эти значения и коэффициенты позволяют оценить разные аспекты интенсивности, «несинусоидальности» рассматриваемых процессов, т. е. дают интегральные оценки качества процессов. Если известны разложения Фурье для функций i(t), u(t), e(t), то действующие значения периодического тока, напряжения и ЭДС можно выразить через действующие значения их гармоник  I  I  I  I  ...  I   I , 2 2 1 2 2 2 k 1 2 k  U  U  U  U  ...  U  U k2 , 2 2 1 2 2 2 k 1  E  E02  E12  E22  ...  E02   Ek2 , где I0, U0, E0 – постоянные составляющие k 1 рядов Фурье, а I k  I km U E , U k  km , Ek  km – действующие значения k–х гармоник 2 2 2 (k1) соответствующих рядов. 6.3. Расчет цепей с несинусоидальными периодическими токами и напряжениями Расчет линейных цепей при действии периодических несинусоидальных ЭДС проводится по методу наложения. Представив все ЭДС и токи источников в виде рядов Фурье, можно затем произвести расчет цепи отдельно по каждой из гармоник – по нулевой гармонике (постоянному току), когда ЭДС и токи источников тока учитываются только их постоянными составляющими, по первой гармонике, когда источники считаются синусоидальными с частотой ω и т.д. В результате определяются постоянная и гармонические составляющие токов и напряжений цепи, которые затем в соответствии с принципом суперпозиции суммируются. Так, для некоторого тока имеем i(t )  I 0  i (1)  i (2)   i(k )   I 0  i (1)  i (2)   i(N ) , I0 – постоянная, а i(k), k>1 – гармонические составляющие тока i ( k ) (t )  I km sin(k t  k ) , N – номер гармоники тока, обеспечивающий требуемую где точность его вычисления. Расчет первой и высших гармоник удобно проводить комплексным методом, при этом обязательно переводя его результат в вещественную (временную) область, т.к. суммировать гармоники можно только в этой области. Как правило, при решении задач воздействующие функции заданы гармоническим рядом, N число гармоник для расчета определено и операция разложения e(t) и J(t) в ряд Фурье исключается. При использовании комплексного метода необходимо пересчитывать комплексные сопротивления индуктивного X L (k )  k L  kX L (1) и емкостного X C (k ) 1 X C (1)   k C k элементов для каждой гармоники k = 1,2,…N. Таким образом, сопротивление резистора R принимается независящим от номера гармоники, индуктивное сопротивление растет по величине пропорционально номеру k, а емкостное уменьшается обратно пропорционально. При простоте выражений для комплексных сопротивлений идеальных конденсаторов и катушек на k-ой гармонике расчет комплексных сопротивлений при соединении элементов требует аккуратности составления аналитических выражений и соответствующих вычислений. На отдельных гармониках комплексные сопротивления отличаются не только знаками, но величинами, возможны резонансные явления. Действующие значения периодического тока, напряжения (показания соответствующих приборов) находят через действующие значения гармоник и постоянную составляющую: N I  I 02  I12  I 22  ...  I N2  I 02   I k2 , k 1 N U  U 02  U12  U 22  ...  U N2  U 02  U k2 , k 1 Показание ваттметра определяют как сумму показаний при действии постоянной и всех гармонических составляющих тока и напряжения: PW  P0  N P . k 1 k 6.4. Измерения в цепях периодических токов и напряжений В зависимости от исполнения прибора (вольтметра или амперметра) и устройства его входного преобразователя он может показывать действующее значение измеряемой величины, ее среднее по модулю значение, усредненным за период положительным (отрицательным) значением и т.д. Магнитоэлектрические приборы показывают постоянную составляющую измеряемой величины, электромагнитные, электродинамические, электростатические и тепловые – ее действующее значение. Показания электронных приборов в зависимости от устройства входного преобразователя могут определяться действующим значением измеряемой величины, средним по модулю, максимальным или минимальным значением измеряемой величины. Прибор индукционной системы и электронный прибор с конденсатором на входе определяет действующее значение переменной составляющей измеряемой величины. 6.5. Мощности в цепях с периодическими несинусоидальными ЭДС, напряжениями и токами. Мгновенную мощность на участке цепи с периодическим током и напряжением определяют как произведение мгновенных значений напряжения и тока на этом участке: p(t )  u(t )i(t ) . При этом гармонический состав напряжения и тока может быть разным. Исходя из общего определения, активная мощность в цепи с периодическими несинусоидальными токами и напряжениями может быть найдена как средняя за период T 1 Т от мгновенной мощности, т.е. P   pdt . Активная мощность при периодических T0 несинусоидальных токах и напряжениях может быть также определена как сумма активных мощностей постоянной и всех гармонических составляющих тока и напряжения: P  P0   P k 1 k Полная мощность двухполюсника в рассматриваемых цепях определяется как произведение действующих значений: S  UI    (U  U )( I   I k2 ) . 2 k 1 2 k 2 k 1 Активная мощность меньше полной (P < S); исключение – мощность чисто резистивного двухполюсника, для которого P = S. Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности   P  UI P0   Pk k 1   k 1 k 1 ,   1. (U 02  U k2 )( I 02   I k2 ) Для цепей с периодическими несинусоидальными токами и напряжениями также вводится понятие реактивной или обменной мощности. Общепринятого определения реактивной мощности для цепей с периодическими несинусоидальными токами и напряжениями не существует. Формально его можно ввести как сумму реактивных мощностей отдельных гармоник   k 1 k 1 Q   Qk  U k I k sin k . При таком определении реактивной мощности для нее, также как и для активной мощности, будет соблюдаться баланс мощностей в цепи, т.е. сумма активных мощностей всех элементов цепи, как и сумма реактивных мощностей всех элементов цепи будет равна нулю. При этом для каждого отдельного двухполюсного элемента S 2  P 2  Q2 , в отличие от равенства S 2  P 2  Q2 , синусоидальных токов и напряжений. Иногда справедливого для цепей D  S 2  P 2  Q 2 называют мощностью искажения. В цепях, токи и напряжения которых близки к синусоидальным (коэффициенты искажения по напряжению и kи 1 и по току kи1), принимают Q  Q1  U1I1 sin 1 (реактивной мощности первой гармоники). Баланс мощностей при этом почти сходится. Такая ситуация характерна для электроэнергетики с хорошим качеством передаваемой электроэнергии. Реактивную мощность, определенную по первой гармонике, называют реактивной мощностью по Будяну, впервые предложившему такое определение и обозначают Q = QB. В цепях, токи и напряжения которых сильно отличаются от синусоидальных, используют другое определение реактивной мощности чаще Q  S  P2 , 2 2 называемой мощностью по Фризе Q = QF . При определении мощности по Фризе мгновенный периодический ток i (t ) раскладывают на две составляющие - активную и реактивную i(t )  ia (t )  i p (t ) . Активная составляющая iа (t ) по форме совпадает с напряжением u (t ) и полностью определяет активную мощность элемента. Реактивная составляющая i р (t ) , дает нулевую мощность T T T на элементе с напряжением u (t ) . Тогда 1 1 1 P   uidt   uia dt , ui p dt  0 . Активная и реактивная составляющая может T0 T0 T 0  P  u , i p  i  ia . Тогда реактивная мощность по 2  U   быть определены по формулам ia   T 1 2 i p dt . Фризе определяется как: QF  UI p , где I p  T 0 T 1 2 ia dt . При этом I a2  I p2  I 2 , S 2  P2  QF2 1. Активная мощность P  UI a , I a   T0 Существуют и другие определения реактивной мощности для цепей с несинусоидальными токами и напряжениями. Разложение тока на две составляющие оказывается очень важным для практики, т.к. представляется возможным компенсация реактивной мощности через компенсацию реактивной составляющей тока. 1 N Q i 1 Fi При этом реактивная мощность по Фризе не дает баланса реактивных мощностей для всей цепи: 0 7. Электрические цепи с четырехполюсными элементами Ранее рассматривались элементы с двумя выводами – двухполюсники. Любой пассивный двухполюсник может быть представлен схемой замещения с одним эквивалентным параметром - входным сопротивлением (проводимостью), активный двухполюсник - схемой замещения с двумя параметрами – эквивалентной ЭДС и входным сопротивлением. Однако рассмотренный ранее трансформатор – четырехполюсный элемент, имеющий два входных и два выходных вывода. Широкое использование элементов - четырехполюсников, к классу которых относится трансформатор, обусловливает необходимость рассмотрения особенностей анализа цепей, содержащих четырехполюсные элементы. 7.1. Четырехполюсники. Основные понятия. Четырехполюсники - часть электрической цепи, подключенная к остальным участкам цепи двумя парами выводов (рис. 7.1): первичных 1 – 1′ и вторичных 2 – 2′. Рис. 7.1 Если четырехполюсник не содержит зависимых или независимых источников энергии или эти источники взаимно компенсируются, то его называют пассивным, в противном случае – активным четырехполюсником. Активные четырехполюсники принято подразделять на автономные, содержащие независимые источники ЭДС и тока, и неавтономные, содержащие зависимые источники. Будем рассматривать пассивные четырехполюсники с неизменными линейными параметрами при действии в цепи синусоидальных источников ЭДС или тока. Активный четырехполюсник может быть приведен к пассивному с вынесенными за его выводы эквивалентными источниками ЭДС или тока. Выбор первичных и вторичных выводов весьма условен, обычно полагают, что в качестве первичных выводов берутся те, от которых идет поток энергии (подсоединенных к источнику питания), в качестве вторичных – выводы, к которым движется этот поток энергии (подсоединенных к приемнику). Будем обозначать токи и напряжения первичных выводов I1 и U1 , вторичных выводов I2 и U 2 . Условно-положительное направление токов и напряжений показано на рис. 7.1. Выбор направления для тока I2 возможен в двух вариантах, выбор конкретного направления оговаривается при использовании того или иного типа уравнений четырехполюсника. Уравнения 7.2. четырехполюсника. Экспериментальное определение его параметров Уравнения четырехполюсника связывают значения входных и выходных токи и напряжения с помощью четырех констант, три из которых являются независимыми. Наиболее распространенной являются уравнения, в которых в качестве известных (заданных) считаются ток и напряжения вторичных выводов, а в качестве неизвестных (определяемых) – ток и напряжение первичных. Такие уравнения называют «уравнения в А-параметрах», направление выходного тока I2 выбирают слева направо (на рис. 7.1 в скобках). Уравнения имеют вид: U1  A11U 2  A12 I2 . I1  A21U 2  A22 I2 Коэффициенты, входящие в запись уравнения, называют А-параметрами, причем A11 и A22 из них безразмерны, A12 - имеет размерность сопротивления, A21 - проводимости. Если в качестве известных (заданных) считаются токи первичных и вторичных выводов, а в качестве неизвестных (определяемых) – напряжения, то коэффициенты в записи уравнений имеет одинаковую размерность сопротивления, направление выходного тока I2 выбирают справа налево. Уравнения в Z - параметрах имеют вид: U1  Z11 I1  Z12 I2 . U 2  Z 21 I1  Z 22 I2 Если в качестве известных (заданных) считаются напряжения первичных и вторичных выводов, а в качестве неизвестных (определяемых) – токи, то коэффициенты в записи уравнений имеет одинаковую размерность проводимости, направление выходного тока I2 выбирают справа налево. Уравнения в Y - параметрах имеют вид: I1  Y11U1  Y12U 2 . I2  Y21U1  Y22U 2 Коэффициенты уравнений четырехполюсника называются его параметрами. Для А-параметров справедливо уравнение первичными A11 A22  A12 A21  1 , для Z - параметров Z12  Z 21 , Y - параметров Y12  Y21 . Таким образом, из четырех только три параметра являются независимыми. В некоторых случаях направление тока I2 задают одинаковым для всех типов уравнений (например, слева направо), тогда Z и Y параметры при токе I2 имеют обратный знак, Z12  Z 21 , Y12  Y21 . Используют также гибридные уравнения ( H и G - параметры), в матричном виде уравнения имеют вид: U 1  I1  I1  U 1   I   H U  и U   G  I  .  2  2  2  2 При обратном питании в качестве известных (заданных) считаются ток и напряжения первичных выводов, а в качестве неизвестных (определяемых) – ток и напряжение вторичных (рис. 7.2). При выбранных направлениях токов уравнения будут иметь вид: U 2  A22U1  A12 I1 . I2  A21U1  A11 I1 Замечание: Уравнения получаются из уравнений в А-параметрах путем замены I2 на  I2 , I1 на  I1 , и с учетом связи А-параметров A11 A22  A12 A21  1 . Рис. 7.2 Четырехполюсник называется симметричным, если при прямом и обратном питании распределение токов и напряжений в оставшейся части цепи не изменится. Для симметричного четырехполюсника A11  A22 , т.е. только два параметра являются независимыми. Аналогично Z11  Z 22 и Y11  Y22 . Первичные параметры четырехполюсника определяют экспериментальным или расчетным путем. В последнем случае должна быть задана схема четырехполюсника. Наиболее просто определяют А-параметры по данным опыта холостого хода и короткого замыкания. Этот способ используют для измерения параметров мощных устройств, в которых режимы холостого хода и короткого замыкания не являются аварийными и мощность в этих режимах меньше мощности в номинальном режиме. В режиме холостого хода при прямом питании I2  0 . Уравнения типа А принимают вид: U1х  A11U 2х  A11  I1х  A21U 2х В режиме короткого замыкания U1х U 2х . I  A21  1х U 2х при прямом питании U 2  0 . Уравнения типа А принимают вид: Возможно определение А-параметров через входные сопротивления. Входные сопротивления четырехполюсника со стороны первичных выводов при нагрузке Z2н можно определить как Z 1вх  U 1 A11U 2  A12 I 2 (рис. 7.3,а).  I 1 A21U 2  A22 I 2 а) б) в) Рис. 7.3 Учитывая, что Z 2н  U2 A Z  A12 , получим Z 1вх  11 2н . I 2 A21 Z 2н  A22 В случае, когда Z2н = 0 входное сопротивление называют сопротивлением короткого замыкания четырехполюсника Z 1к  A12 (рис. 7.3,б). A22 В случае Z2н → ∞ входное сопротивление называют сопротивлением холостого хода четырехполюсника Z 1x  A11 (рис. 7.3,в). A21 Входное сопротивление четырехполюсника со стороны вторичных выводов при обратном Z 2вх  питании и нагрузке Z1н можно определить U 2 A22U 1  A12 I 1 A22 Z 1н  A12   (рис. 7.4,а): I2 A21U 1  A11 I 1 A21 Z 1н  A11 а) б) Рис. 7.4 в) как В случае, когда Z1н = 0 короткого замыкания Z 2к  A12 . A11 В случае Z1н → ∞ Z 2x  A22 A21 (рис. 7.4,б) входное сопротивление - сопротивление входное сопротивление - сопротивление холостого хода (рис. 7.4,в). Сопротивления холостого хода и короткого замыкания связаны соотношением: Z 1к Z 2к .  Z 1x Z 2x Для симметричного четырехполюсника Z 1к  Z 2к  Z к , Z 1x  Z 2x  Z x . А-параметры можно определить по входным сопротивлениям холостого хода и короткого замыкания: A11   Z1х Z A , A12  A11Z 2к , A21  11 , A22  A21Z 2х  A11 2х . Z 2х  Z 2к Z1х Z1х Аналогично по опытам холостого хода и короткого замыкания со стороны первичных и вторичных выводов определяют Z и Y -параметры. Замечание. Для выбора знака A11 дополнительно определяют этот параметр по опыту холостого хода: A11  U1х . U 2х 7.3. Эквивалентные схемы четырехполюсников Так как пассивный четырехполюсник определяется только тремя независимыми параметрами, простейшая эквивалентная схема замещения четырехполюсника должна содержать только три элемента. Две наиболее простые схемы замещения четырехполюсника называют Т – образной (рис. 7.5,а) и П – образной (рис. 7.5,б) схемами замещения. а) б) Рис. 7.5 Записав уравнения связи первичных тока I1 и напряжения U1 и вторичных тока I2 и напряжения U 2 для Т- и П- образных схем и сравнив эти связи с уравнениями в Апараметрах, можно выразить параметры Т- и П- образных схем замещения четырехполюсника через его А-параметры. Для Т-образной схемы замещения: Y0  A21 , Z1  A11  1 A 1 , Z 2  22 . A21 A21 Для П-образной схемы замещения: Z0  A12 , Y1  Для симметричного A22  1 A 1 , Y2  11 . A12 A12 четырехполюсника Z1  Z 2 , Y1  Y2 . Для симметричного четырехполюсника принято таким образом задавать Т- и П- образные схем замещения (рис. 7.6): Рис. 7.6 Связь А-параметров с параметрами схем замещения: A11  1   Z  Z1 1 для Т-образного;  A22 , A12  Z 1 1  1  , A21  2Z 2 Z2  4Z 2  A11  1  1  Z1  Z1  A22 , A12  Z 1 , A21  1   для П-образного. Z 2  4Z 2  2Z 2 Замечание. При составлении Т- и П-образных схем по заданным A-параметрам возможны отрицательные значения активных сопротивлений, что указывает на невозможность физической реализации указанных схем замещения с помощью пассивных элементов электрической цепи. 7.4. Схемы соединения четырехполюсников Основными типами соединений четырехполюсников являются каскадное (рис. 7.7,а), параллельное (рис. 7.7,б) и последовательное (рис. 7.7,в) соединения. а) б) в) Рис. 7.7 При замене каждого из этих соединений эквивалентным четырехполюсником его параметры могут быть определены как произведение А-параметров ( A  A1  A2 ) при каскадном, как сумма Y-параметров ( Y  Y1  Y2 ) при параллельном и как сумма Zпараметров ( Z  Z1  Z2 ) при последовательном соединении. Последовательность каскадных соединений называют цепной схемой (рис. 7.8). Рис. 7.8 Эквивалентные А-параметры цепи со схемой рис. 7.8, рассматриваемой как один четырехполюсник с выводами 1 –1′ и 2 – 2′ определятся как Aö  A1  A2  этом все четырехполюсники i=1,2,… n - имеют  An . Если при одинаковые А-параметры, т.е. A1  A2   An  A , то Aц  A  A   A  An . Отдельные четырехполюсники называют звеньями цепной схемы. 7.5. Вторичные параметры четырехполюсника Вторичными параметрами четырехполюсника называются его характеристические сопротивления Zс1 и Zс2 и постоянная передачи Г. Характеристическими называют входные сопротивления в режиме согласованной нагрузки, когда входное сопротивление численно равно нагрузочному: Z1вх = Z2н (при прямом питании) и Z2вх = Z1н (при обратном питании). питании Z1вх  Z 2вх  U2 I2 U1 I1  Z1н  Zc1  Z 2н  Zc2 A11U 2  A12 I2 A21U 2  A22 I2 A22U1  A12 I1 A21U1  A11 I1  Z1н  Zc1 В режиме согласованной нагрузки  Z 2н  Zc2 при прямом A11Z c2  A12  Z c1 и при обратном питании A21Z c2  A22 A22 Z c1  A12  Z c2 . A21Z c1  A11 Для симметричного четырехполюсника Zс1= Zс2 , в режиме согласованной нагрузки должно выполняется численное равенство Z1вх  при известных А-параметрах является U1 U 2   Z н . Т.е. условием согласования I1 I2 выполнение Сопротивление нагрузки, обеспечивающее это равенство, согласования, входное сопротивление - равенства A11Z н  A12  Zн . A21Z н  A22 называют сопротивлением характеристическим сопротивлением и обозначают Zс. В согласованном режиме сопротивление нагрузки должно быть согласовано с характеристическим сопротивлением четырехполюсника. Постоянной передачи Г называют безразмерную комплексную величину, характеризующую изменение напряжений и/или токов четырехполюсника в режиме согласованной нагрузки, т.е. когда выполняется условие численного равенства U1 U1u1 U 2 U 2u 2 . Постоянная передачи определяется как    I1 I1i1 I2 I 2i 2 Г  A  jB  ln U1 I 1 U I  ln 1  ln 1 1 . U2 I2 2 U2I2 Величину А называют постоянной ослабления, единицами измерения являются неперы [Нп] или белы [Б] (децибелы [дБ] 10 дБ=1Б): U I 1 UI A  ln 1 1  ln 1  ln 1 в [Нп] 2 U2 I2 U2 I2 или A  10  lg U1I1 U I  20lg 1  20lg 1 в [дБ], при этом 1дБ=0,115 Нп. U2 I2 U2 I2 Величину В, определяемую разностью фаз входных ψu1 и ψi1 и выходных ψu2 и ψi2 напряжений и токов - постоянной фазы: 1 1 B  (u1  u 2 )  (i1  i 2 )  u1  u 2  i1  i 2 в [рад] 2 2 . Пример 7.1 Симметричный четырехполюсник нагружен на сопротивление Zн  Zc . На входе четырехполюсника u1 (t )  100sin(t  30) В. Определить u2 (t ) на выходе четырехполюсника, если Решение: ln По Г  0,96  j 0,15 . условию ослабления A  0,96 постоянная Нп, следовательно U U1m U1 100  ln 1m  0,96 . Амплитуда выходного напряжения U 2 m  0,96   38, 29 В. U2 U 2m e 2, 612 Постоянная фазы B  0,15 рад или в градусной мере B  0,15  57  8,55 определяет сдвиг фаз входного и выходного напряжения u1  u 2  8,55 . Так как u1  30 , u 2  21, 45 . Мгновенное значение напряжения на выходе u2 (t )  38,92sin(t  21,45) . 7.6. Связь первичных и вторичных параметров симметричного четырехполюсника. Уравнения с гиперболическими функциями Для симметричного четырехполюсника характеристическое сопротивление может быть определено через А-параметры или входные сопротивления холостого хода и короткого замыкания: Zc  A12  Z х Zк . A21 Для симметричного четырехполюсника: Г  ln( A11  A12 A21 ) , th Г  Zк , Z к  Z c th Г , Zx Z x  Z ccth Г . Уравнения симметричного четырехполюсника, выраженные через его вторичные параметры, имеют вид: U 1  U 2ch Г  Z c I 2sh Г . sh Г I1  U 2  I 2ch Г Zc В режиме холостого хода I 2  0 , тогда U 1x  U 2 xch Г , I 1x  U 2 x sh Г . Zc При каскадном соединении n-одинаковых четырехполюсников (цепная схема) вторичные параметры эквивалентного четырехполюсника могут быть найдены через вторичные параметры Г и Zc одного звена: Гц = nГ, Zц = Zc, а уравнение цепи в гиперболических функциях примет вид U 1  U 2ch Г ц  Z ц I 2sh Г ц . sh Г ц I1  U 2  I 2ch Г ц Zц Замечание: Z c2  Для несимметричного четырехполюсника A22 A12  Z 2х Z 2к , Г  ln( A11  A22  A12 A21 ) . A21 A11 Z c1  A11 A12  Z1х Z1к , A21 A22 7.8. Электрические фильтры Электрический фильтр – четырехполюсник с избирательными свойствами. Правильно сконструированный фильтр должен пропускать к приемнику сигналы практически без изменения их амплитуды ( U1m  U 2m ; U1  U 2 ) в некотором диапазоне частот, называемой полосой пропускания или полосой прозрачности. Вне полосы пропускания фильтр пропускает сигналы с большим ослаблением ( U1m U 2m ; U1 U 2 ). Электрические фильтры обычно собирают из реактивных элементов, исключение составляют RC – фильтры, используемые в радиотехнике и технике связи. При высоких частотах индуктивные сопротивления катушек много больше их активных сопротивлений, активная проводимость конденсаторов практически равна нулю, поэтому примем, что реактивные фильтры составлены только из идеальных реактивных элементов. Фильтры обычно собираются по симметричной Т- и П-образной схеме и работают в согласованном режиме, т.е. сопротивление нагрузки должно быть согласовано с характеристическим сопротивлением фильтра. Для исследования фильтров в согласованном режиме пользуются вторичными параметрами – постоянной ослабления и постоянной фазы, передаточными функциями по напряжению и току для режима произвольной нагрузки. Для полосы пропускания U1  U 2 , постоянная ослабления A  ln Фильтрами низкой частоты (ФНЧ) U1 0. U2 называют фильтры, для которых полоса пропускания находится в интервале 0    c . Фильтрами высокой частоты (ФВЧ) называют фильтры, для которых полоса пропускания находится в интервале c     . Граничную частоту c называют частотой среза. Полосовые фильтры имеют полосу пропускания, ограниченную частотами среза c1 и c 2 : c1    c 2 , у заграждающих фильтров полоса пропускания разделена на две части: 0    c1 и c 2     . Фильтры, для которых произведение продольного сопротивления на соответствующее поперечное сопротивление представляет собой некоторое постоянное для данного фильтра число k2, не зависящее от частоты, называют k-фильтрами. Фильтры, для которых это произведение зависит от частоты, называют m-фильтрами. Низкочастотные k-фильтры. Низкочастотный k-фильтр собирается из реактивных элементов по двум схемам (рис. 7.9): 6.8.1. а) Т-образный б) П-образный Рис. 7.9. Низкочастотный фильтр (ФНЧ) Т-образный. Для частоты  определим комплексные поперечное и продольное сопротивления фильтра, собранного по Т-схеме: Z1  jL , Z 2   j 1 . Для согласованного режима C фильтра Zн  Zс (рис. 7.10). Рис. 7.10 Произведение продольного сопротивления сопротивление: Z1  Z 2  jL  ( j (фильтрующих) свойств 1 L )   k2. C C четырехполюсника на Для соответствующее исследования используем первичные поперечное избирательных А-параметры симметричного четырехполюсника, собранного по Т-схеме (рис. 7.10): L 1 Z1 I1х ( j j ) 2 U1х I1х ( 2  Z 2 ) 2 C  1   LC . A11    1 U 2х I1х Z 2 2 I1х ( j ) C Первичные параметры четырехполюсника связаны с вторичными параметрами: A11  ch( A  jB)  ch A cos B  j sh A sin B . Замечание: Использована формула гиперболического косинуса от суммы двух аргументов и ch jB  cos B , sh jB  j sin B . Рис. 7.11 Так как коэффициент A11  1   2 LC всегда 2 A11  ch( A  jB)  ch A cos B  j sh A sin B также действителен, должно то быть и выражение действительным. Следовательно,  2 LC  chA cos B  1  2  sh A sin B  0  (1) . (2) Уравнения (1) и (2) используют для определения границ полосы пропускания и характера изменения постоянной фазы В в полосе пропускания и постоянной ослабления А вне полосы пропускания. Так как в полосе пропускания U1  U 2 , постоянная ослабления A  ln U1  0 , то и sh A  0 . В силу того, что ch A  1, то уравнение (1) принимает вид U2 cos B  1  2 LC . Круговой косинус может изменять значения в пределах 1  cos B  1 , 2 следовательно, 1  1  2 LC 2 LC 1 и 0   2 . Частота среза определяет границу 2 2 полосы пропускания низкочастотного фильтра: 0    c , тогда c  частота среза f c  2 . Круговая LC c 1 . Зависимость постоянной фазы В в полосе пропускания от  2  LC  2 LC  частоты имеет вид: B()  arccos 1   . Вне полосы пропускания U1 2   A  ln U2 и U1  0 , тогда для выполнения (2) необходимо, чтобы sin B  0 , B   . Тогда для U2 2 LC  1 . Зависимость постоянной ослабления вне первого уравнения cos B  1 и ch A  2  2 LC   1 . полосы пропускания A()  arch   2  С изменением частоты меняются коэффициенты A12 и A21 реактивного четырехполюсника, следовательно, меняется и характеристическое сопротивление Zс  A12 . Характеристическое сопротивление может быть определено через входные A21 сопротивления холостого хода и короткого замыкания для четырехполюсника, собранного по Т-схеме: Z c  Z1  Z 2  A12 Z  Z 2  Z хZк   1  Z2   1  A21  2   2 Z  Z1 2  2 Так как Z1  jL , Z 2   j   .    2  1 L  2 LC  , то Z c ()  1   k 1  2  . Для частот в   C C  4   c  полосе пропускания 0    c характеристическое сопротивление – чисто активное (резистивное), вне полосы пропускания – чисто реактивное (индуктивное). Замечание: Недостаток фильтров типа k - существенная зависимость характеристического сопротивления Zс от, что затрудняет их применение в режиме близком к согласованию при работе на постоянную нагрузку фильтра. Для определения знака B   необходимо построить топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов для частоты 0    c при Zн  Zс (чисто активное) (рис. 7.12). В полосе пропускания 0  B   . Рис. 7.12 Вне полосы пропускания B   при Zн  Zс (чисто индуктивное) (рис. 7.13). Рис. 7.13 Итак, в полосе пропускания 0    c : A  ln  2   2 LC  U1 L  2 LC  ,  0 , B()  arccos 1  Z (  )  1   k 1  2  .  c   2  U2 C  4    c  Вне полосы пропускания c     :  2   2 LC  L  2 LC  A()  arch   1 , B   , Z c ()  j  1  jk  2  1 .  C  4  2    c  Также используют зависимости вторичных параметров от безразмерного аргумента   . В полосе пропускания 0    1 : c A  ln U1  0 , B()  arccos 1  22  , Z c ()  k U2 1    . 2 Вне полосы пропускания 1     : A()  arch  22  1 , B   , Zc ()  jk На рис. 7.14 изображены графики  зависимостей 2  1 . A() , B() и модуля характеристического сопротивления Z c () . Рис. 7.14 Низкочастотный фильтр (ФНЧ) П-образный. Для частоты  определим комплексные поперечное и продольное сопротивления фильтра, собранного по Т-схеме: Z1  jL , Z 2   j фильтра Zн  Zс (рис. 7.15). 1 . Для согласованного режима C Рис. 7.15 В режиме холостого хода (рис. 7.16) определим A11 : U1х U1х Z1  2Z 2 Z1 2 LC . A11     1  1 U1х  2Z 2 U 2х 2Z 2 2Z 2 2 ( Z1  2Z 2 ) Рис. 7.16 Так как выражение для A11 полностью совпадает с выражением, полученным для низкочастотного Т-фильтра, то и выражение для определения граничной частоты (частоты среза) c  2  1 ( fc  c  ), зависимости постоянной ослабления A() ( A() ) и 2  LC LC постоянной фазы B() ( B() ) также совпадают. Характеристическое сопротивление для четырехполюсника, собранного по П- схеме: L k C Zc  Z х Zк    2   LC   2  1   1  2  4    c  В полосе пропускания 0    1 : Z c ()  Вне полосы пропускания 1     : Z c ()  k 1    2 k j  2  1 k 1    2 . чисто вещественное (активное). чисто реактивное (емкостное). Векторная диаграмма токов и напряжений вне полосы пропускания имеет вид (рис. 7.17): Рис. 7.17 На рис. 7.18 изображен график зависимости модуля характеристического сопротивления Z c () . Рис. 7.18 Для синтеза ФНЧ используют следующие выражения: L  k 1 ;C . f c f c k Высокочастотные k-фильтры. Высокочастотный k-фильтр собирается из реактивных элементов по двум схемам (рис. 7.19): а) Т-образный б) П-образный Рис. 7.19 Для частоты  определим комплексные поперечное и продольное сопротивления фильтра, собранного по Т или П -схеме: продольного сопротивления на Z1   j соответствующее 1 , C Z 2  jL . Произведение поперечное сопротивление: Z1  Z 2  jL  ( j 1 L )   k 2 . Для исследования избирательных (фильтрующих) свойств C C четырехполюсника используем первичные А-параметры симметричного четырехполюсника, собранного по Т-схеме: A11  U1х  U 2х I1х ( 1 Z1  jL)  Z 2 ) I1х ( j 1 2  C 2 .   1 2 I1х Z 2 I1х ( jL) 2 LC Так как коэффициент A11 всегда действителен, то 1  (1) ch A cos B  1  2 2 LC  sh A sin B  0 (2) В полосе пропускания U1  U 2 постоянная ослабления A  ln U1  0 , и sh A  0 . В U2 силу того, что ch A  1, то уравнение (1) принимает вид cos B  1  косинус 1  1  может 1  1. 22 LC изменять Частота значения среза в пределах определяет высокочастотного фильтра: c     , тогда c  fc  1 . Круговой 22 LC 1  cos B  1 , границу полосы следовательно, пропускания 1 . Круговая частота среза 2 LC c 1 . Зависимость постоянной фазы В в полосе пропускания от частоты  2 4 LC 1   имеет вид: B()  arccos 1  2  . Вне полосы пропускания U1  2 LC  U 2 и A  ln U1  0, U2 тогда для выполнения (2 необходимо, чтобы sin B  0 , B   . Тогда для первого уравнения cos B  1 и ch A  1  1 . Зависимость постоянной ослабления вне полосы 22 LC  1  пропускания A()  arch  2  1 . При введении безразмерного аргумента  2 LC  полосе пропускания 1     : A  ln  2 U1  0 , B()  arccos 1  2  , U2      в c вне полосы  2  пропускания 0    1 : A()  arch  2  1 , B   .   Для определения знака B   необходимо построить топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов для частоты c     ( 1     ) при Zн  Zс . В полосе пропускания   B  0 . На рис. 7.20 показаны графики зависимостей A() , B() от безразмерного аргумента    . c Рис. 7.20 Характеристическое сопротивление зависит от частоты. Для высокочастотного фильтра, собранного по Т-схеме:  1 в полосе пропускания 1     Z c ()  k 1  2  чисто вещественное (активное);    1  вне полосы пропускания 0    1 Z c ()  jk  2  1 чисто реактивное (индуктивное).   Для высокочастотного фильтра, собранного по П- схеме: в полосе пропускания 1     Z c ()  вне полосы пропускания 0    1 Z c ()  k  1 1  2    чисто вещественное (активное); k 1  j  2  1   чисто реактивное (емкостное). На рис. 7.21 и 7.22 представлены графики зависимостей модуля характеристического сопротивления для Т- образного (рис. 7.21) и П-образного ФВЧ (7.22). Рис. 7.21. Т-схема Рис. 7.22. П- схема Для синтеза ФВЧ используют следующие выражения: L  k 1 ;C . 4f c 4f c k Пример 7.2 При заданной частоте среза f c  1,96 кГц и k  322 Ом рассчитать параметры L и С для а) ФНЧ, собранного по П- схеме; б) ФВЧ, собранного по Т-схеме. Решение: а) L  k 322 1 1   52,3 мГн, C    0,5 мкФ. 3 f c 3,14 1,96 10 f c k 3,14 1,96 103  322 П- образный ФНЧ при заданных параметрах фильтра может быть собран с использованием реактивных элементов: б) L  k 322 1 1   13,07 мГн; C    0,126 мкФ. 3 4f c 4  3,14 1,96 10 4f c k 4  3,14 1,96 103  322 Т- образный ФВЧ при заданных параметрах фильтра может быть собран с использованием реактивных элементов: 8. Нелинейные электрические цепи Цепи, содержащие хотя бы один нелинейный элемент, называются нелинейные цепи. Нелинейные цепи обладают рядом новых свойств, которые отсутствуют для линейных цепей. Особые свойства нелинейных цепей становятся ещё многообразнее при переменных токах и напряжениях. Говорить о линейных цепях можно только в том случае, если нелинейность выражена столь слабо, что при анализе процессов ею можно пренебречь. Теория линейных цепей является приближенной моделью, справедливой в достаточно малом диапазоне изменения электрических величин. В линейных цепях невозможна стабилизация тока или напряжения (т.е. нулевая чувствительность выходных параметров к изменению параметров входного сигнала), скачкообразное изменение амплитуды или частоты колебаний выходных токов и напряжений при относительно небольших изменениях параметров входного сигнала, инвертирование, преобразование частоты, бесконтактное переключение и т.д. Использование несимметричных нелинейных элементов, обладающих односторонней проводимостью, дает возможность осуществить выпрямление переменного тока. Весьма важным обстоятельством является возможность неустойчивых состояний в нелинейных цепях, которые при соответствующих условиях приводят к возбуждению незатухающих колебаний. Теоретическое исследование процессов в нелинейных цепях оказывается много сложнее исследования процессов в линейных цепях. Процессы в нелинейных цепях описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Общего метода решений таких уравнений не существует. Как правило, для исследования процессов в нелинейных цепях при действии постоянных ЭДС (источников напряжения или тока) применяют графические, графоаналитические, аналитические и численные методы расчета. При анализе нелинейных цепей при действии периодических ЭДС применяют различные методы линеаризации, графические и численные методы расчета, ряд специальных методов. Особенности применения методов при анализе процессов в нелинейных цепях:  невозможность применения принципа наложения;  не универсальны, каждый ориентирован не определенный класс задач;  ряд методов применим при определенных условиях;  необходимость нахождения решения не только для заданных параметров и характеристик элементов, но и исследования его поведения в некоторой окрестности изменения этих параметров и характеристик с тем, например, чтобы оценить его устойчивость;  численные методы не гарантируют сходимости. На выбор метода и характер решения оказывает характеристик нелинейных элементов – влияние и форма задания аналитическая, графическая, табличная, алгоритмическая. Для анализа процессов в нелинейных цепях должны быть заданы характеристики всех нелинейных элементов – пассивных (резистивных, емкостных, индуктивных) и активных. В данном курсе ограничимся анализом цепей, содержащих только пассивные нелинейные элементы. В таблице 8.1 представлены условные изображения пассивных нелинейных элементов. Таблица 8.1 № п/п Нелинейный элемент 1 Резистивный 2 Емкостной 3 Индуктивный 4 Индуктивный Графическое обозначение Замечание: Второе из двух возможных обозначений нелинейных индуктивных элементов (см. п.3 и п.4 табл. 8.1) используется в случае, когда элемент представляет собой катушку с ферромагнитным сердечником, нелинейность такого элемента – следствие зависимости магнитной проницаемости ферромагнитного материала от магнитной индукции. Для нелинейного резистора задается вольт-амперная характеристика u  u(i) или i  i(u ) ; для нелинейного индуктивного элемента вебер-амперная характеристика   (i) ; для нелинейного емкостного элемента кулон-вольтная характеристика q  q(u ) . При анализе электрических цепей с нелинейными элементами используют несколько типов характеристик одного и того же нелинейного элемента: 1) характеристики, связывающие мгновенные значения определенных величин; 2) вольтамперные характеристики для первых гармоник тока и напряжений; 3) вольтамперные характеристики для действующих значений; 4) характеристики для постоянных или медленно изменяющихся величин. При этом характеристика, снятая при медленном изменении тока или напряжения может отличаться от характеристики, снятой при быстром изменении. Характерной особенностью некоторых нелинейных элементов при переменном токе является значительная их инерционность. Такими инерционными нелинейными элементами являются лампы накаливания. При изменении тока в лампе, например, с частотой f  50 Гц, температура нити практически не меняется в течение одного периода, соответственно сопротивление лампы остается неизменным. Поэтому при неизменном действующем значении ток и напряжение на элементе - синусоидальные. Однако при изменении действующего значения тока температура нити накала изменяется и, следовательно, меняется сопротивление лампы. Отношение действующих значений напряжения и тока на элементе оказывается другим, но форма тока и напряжения по прежнему синусоидальные. Для лампы накаливания характеристика для действующих значений U  F ( I ) нелинейная. Безинерционные нелинейные элементы являются нелинейными как в отношении действующих значений, так и в отношении мгновенных значений тока и напряжения. При периодических процессах кривые тока и напряжения в них имеют различную форму. Поэтому нелинейная характеристика U  F ( I ) , связывающая действующие значения тока и напряжения в таких элементах зависит от формы кривых мгновенных значений тока и напряжения. Для безинерционных элементов статические характеристики (снятые при постоянных токах и напряжениях) практически совпадают с динамическими (снятыми при переменных токах и напряжениях). Пусть задана вольтамперная характеристика нелинейного элемента (рис. 8.1). Рис. 8.1 При расчете вводят понятие статического и динамического сопротивления статическое сопротивление (проводимости).  Режиму постоянного (проводимость). соответствует Статическое (U a , I a ) определяют как проводимость Gст   тока сопротивление Rст  Ua Ia в (пропорционально заданном tg  ), режиме статическая 1 . Rст Динамическое сопротивление вводят для описания режима работы нелинейного элемента при больших значениях переменных токов и напряжений. Динамическое сопротивление Rд  проводимость Gд  dU dI (пропорционально tg ), динамическая U U a , I  I a 1 . Динамическое сопротивление (проводимость) может быть Rд как положительной, так и отрицательной. Для нелинейных характеристик Rст  Rд . Аналогичным образом определяются статические и динамические кулон-вольтные и вебер-амперные характеристики, статические и динамические емкости и индуктивности, т.е. статические и динамические параметры для нелинейных емкостных и индуктивных элементов. Замечание: Если рабочий участок на нелинейной характеристике имеет сравнительно малую величину и расположен в окрестности статического режима (U a , I a ) удобно использовать понятие дифференциального сопротивления (проводимости) Rдиф  U I . U, I Характеристики нелинейных элементов может быть монотонной и немонотонной, симметричной и несимметричной, однозначной и неоднозначной. Некоторые нелинейные элементы имеют характеристики с падающими участками, на которых Rд  0 . Наличие падающих участков характеристик может привести к неустойчивым режимам в цепи. 8.1. Нелинейные резистивные цепи постоянного тока Рассмотрим анализ цепей, содержащих нелинейные резистивные элементы (НЭ), при действии постоянных ЭДС (источников напряжения или тока). К ним относятся: лампы накаливания, термисторы, тиритовые элементы, бареттеры, электрическая дуга, ртутные вентили, полупроводниковые вентили, стабилитроны, лампы с тлеющим разрядом и т.д. Варистор – нелинейный элемент, выполненный на основе карбида кремния и керамической связующей компоненты. Используется для защиты элементов цепи от перенапряжений, в схемах стабилизации токов и напряжений. Типовая вольтамперная характеристика варистора изображена на рис. 8.2,а. Приближенно она описывается уравнением I  aU 2 , с ростом напряжения U статическое сопротивление уменьшается. На рис. 8.2,б показаны вольтамперные характеристики нелинейных резисторов, выполненных из разных материалов. а) б) Рис. 8.2 На рис. 8.3 и рис. 8.4 показаны вольтамперные характеристики нелинейных резистивных элементов бареттера и стабилитрона, применяемых в схемах стабилизации тока и напряжения. Рис. 8.3 Рис. 8.4 Терморезисторами называют полупроводниковые резисторы, величина сопротивления которых сильно зависит от температуры. Применяются при измерениях температуры, влажности воздуха, для тепловой защиты машин и трансформаторов и т.д. Терморезисторы с положительным температурным коэффициентом (термисторы) изготавливают из окислов марганца и меди или окислов марганца и кобальта. Один и тот же термистор имеет разные вольтамперные характеристики в зависимости от  - температуры окружающей среды (рис. 8.5) Рис. 8.5 Электрическая дуга имеет ярко выраженную нелинейную характеристику. Электрическая дуга – дуговой разряд между двумя электродами, находящимися в газе, в частности, в воздухе. Две типичные формы вольтамперной характеристики дуги постоянного тока показаны на рис. 8.6 (пунктиром отмечен начальный участок зажигания). Форма вольтамперной характеристики дуги зависит от давления и температуры окружающей среды, от условий теплоотдачи, а для переменного тока и от частоты. Рис. 8.6 Нелинейные резистивные элементы отличаются разнообразием вольтамперных характеристик, что обусловливает их широкое применение в электротехнических, радиотехнических, электронных устройствах. 8.2. Методы анализа нелинейных резистивных цепей постоянного тока Расчет относительно простых цепей проводят обычно графически или аналитически, сложных – численными методами. Основой для расчета нелинейных электрических цепей являются законы Кирхгофа, связывающие токи в ветвях, напряжения и ЭДС на отдельных участках цепи. Все методы расчета цепей, основанные на применении принципа наложения или взаимности, не могут быть применены для расчета цепей с нелинейными элементами. При кусочно-линейной аппроксимации характеристики нелинейного элемента на отдельных участках линейности для расчета можно использовать эквивалентную схему замещения нелинейного элемента с постоянной ЭДС и дифференциальным (динамическим) сопротивлением. 8.2.1. Аналитические методы расчета нелинейных цепей Для аналитического решения необходимо выразить аналитически характеристики всех НЭ. Приближенное математическое описание характеристик НЭ называют аппроксимацией. НЭ могут работать в самых разных режимах. Рабочий участок (область значений токов и напряжений НЭ в условиях данной задачи анализа) может занимать небольшой участок характеристики или всю характеристику (большую её часть). Аппроксимацию выполняют двумя основными методами: 1) путем замены характеристики НЭ отрезками прямых линий (кусочно-линейная аппроксимация); 2) путем замены характеристики (или рабочего участка её) одним аналитическим выражением (аналитическая аппроксимация). На рис. 8.7 показана кусочно - линейная аппроксимация вольтамперной характеристики НЭ. Рабочий участок (a, b) аппроксимирован двумя отрезками прямых. На каждом участке характеристика описывается линейным уравнением: на I участке (a, с) I I (U )  GU I или U I ( I )  RI I (характеристика проходит через начало координат); на II участке (b, с) I II (U )  GIIU  J II или U II ( I )  RII I  EII . Рис 8.7 При аналитической аппроксимации аналитическая кривая должна всеми точками достаточно близко располагаться к характеристике НЭ. Если в качестве аналитической кривой выбрана кривая полинома второй или третьей степени, то расчет цепи сводится к решению квадратного или кубического уравнения. При подборе коэффициентов, входящих в аналитическое выражение пользуются обычно методом характерных точек, через которые должна пройти аналитическая кривая. На рис. 8.8 показана схема электрической цепи, содержащей два НЭ. Требуется определить ток и напряжения НЭ. Рис. 8.8 Симметричные аппроксимированы вольт-амперные квадратичными характеристики нелинейных полиномами U1  a1I  a2 I 2 и элементов U 2  b1I  b2 I 2 . Аппроксимация имеет физический смысл только при положительных токах I  0 . Задача решается на основании второго закона Кирхгофа U1 ( I )  U 2 ( I )  E . Подстановка аппроксимации с одним неизвестным U1 ( I ), U 2 ( I ) током позволяет получить квадратное уравнение I : (a1  b1 ) I  (a2  b2 ) I 2  E , решение которого дает значение тока I . Подстановка величины тока в формулы вольт-амперных характеристик нелинейных элементов позволяет определить напряжения U1 , U 2 . Ранее указывалось, что область аппроксимации ограничивается первым квадрантом, т.е. I  0, U1,2  0 . Укажем еще одно ограничение: с ростом тока напряжение должно возрастать, т.е. dU 0. dI 8.2.2. Графические методы расчета нелинейных цепей Графические методы могут дать более точный результат, чем аналитические, так как при них используются действительные характеристики НЭ, заданные графически в виде кривых. Однако эти методы не дают возможности получить общих связей, позволяющих анализировать изменение характера процессов в цепи при изменении параметров цепи. 1) Метод эквивалентных преобразований (сложения характеристик) При последовательном соединении НЭ (рис. 8.9) характеристики складываются при одинаковом токе: U(I) = U1(I)+U2(I). Рис. 8.9 При параллельном соединении НЭ (рис. 8.10) характеристики складываются при одинаковом напряжении: I (U) = I1(U)+ I2(U). Рис. 8.10 Построение характеристик для активно-пассивных участков показано на рис. 8.11. Рис. 8.11 2) Метод двух узлов Для схем, содержащих только два узла или приводящихся к ним, применяют метод двух узлов. Это графическое решение уравнений Кирхгофа. На схеме рис. 8.12 два узла и три ветви, две из которых содержат нелинейные элементы с заданными вольтамперными характеристиками. Резистор R3 - линейный. Найти напряжение U ab и токи в ветвях при известных E1 и E3 . На рис. 8.13 показано графическое решение задачи. Уравнения Кирхгофа: I1+ I3= I2 или I1 = I2 -I3 Uаб = -U1+E1 для первой ветви Uаб = U2 для второй ветви Uаб = -I3R3+E3 для третьей ветви Рис. 8.12 Рис. 8.13 3) Метод эквивалентного генератора Если в электрической цепи только один НЭ, то ток в ветви с нелинейным элементом можно определить методом эквивалентного генератора. На рис. 8.14 показана схема электрической цепи и её приведение к эквивалентной схеме. На рис. 8.15 показано графическое решение задачи с учетом соотношения I кз  U хх . Rвх Рис. 8.14 Рис. 8.15 8.3. Магнитные цепи при постоянных потоках Расчет магнитных цепей основывается на законе полного тока. Следствием этого закона является закон Кирхгофа для магнитных цепей, аналогичный второму закону Кирхгофа для электрических цепей. Для расчета разветвленных магнитных цепей пользуются также первым законом Кирхгофа, вытекающим из непрерывности индукционных линий магнитного поля, аналогичным первому закону Кирхгофа для электрических цепей. Расчет магнитных цепей, содержащих участки из ферромагнитных материалов, аналогичен расчету электрических цепей с нелинейными элементами. 8.3.1. Основные понятия и законы магнитных цепей. Магнитная цепь - система устройств, содержащих ферромагнитные тела, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий магнитодвижущей силы, магнитного потока и магнитного напряжения. Магнитная цепь предназначена для усиления, надлежащего направления и концентрации магнитного потока, который создается токами обмоток или постоянными магнитами. Если весь магнитопровод выполнен из одного ферромагнитного материала, то магнитную цепь называют однородной. При включении в магнитопровод материалов с различными магнитными свойствами магнитную цепь называют неоднородной. В большинстве случаев необходимым элементом магнитной цепи является воздушный зазор. Различают неразветвленные магнитные цепи – цепи, магнитный поток на всех участках имеет одно и то же значение (рис. 8.16,а) и разветвленные магнитные цепи – цепи с разными магнитными потоками на разных участках (рис. 8.16,б) а) б) Рис. 8.16 Магнитные цепи характеризуются топологией, геометрическими размерами отдельных участков ( длиной li и площадью сечения Si ), параметрами обмоток – величинами токов I j и числом витков w j ), а также нелинейной зависимостью между магнитной индукцией B и напряженностью магнитного поля H . Если в полностью размагниченном ферромагнитном материале монотонно увеличивать напряженность, то зависимость магнитной индукции от напряженности магнитного поля B( H ) будет нелинейной. Она называется кривой начального намагничивания. Поэтому магнитные цепи являются нелинейными. На рис. 8.17 показана зависимость B( H ) с учетом M - намагниченности материала. Рис. 8.17 Магнитная индукция B [Тл] связана с напряженностью магнитного поля H [А/м] и намагниченность материала M [А/м] соотношением: B  0 H  0 M , где 0  4107 [Гн/м] – магнитная постоянная. Для ряда ферромагнитных материалов зависимость B( H ) можно задавать, используя  r - относительную магнитную проницаемость материала: B   r 0 H . Относительная магнитная проницаемость зависит от строения и магнитного состояния вещества. Зависимость r  r ( H ) нелинейная, не имеет аналитического выражения и для каждого ферромагнитного материала определяется опытным путем и задается графически или таблично. На рис. 8.18 показана зависимость B( H ) для различных ферромагнитных материалов. Для воздуха r  1 и Bвозд   0 H возд , таким образом, воздушный зазор в магнитопроводе является линейным участком. Поток вектора магнитной индукции B через некоторую поверхность S называют магнитным потоком    Bds [Вб]. S В основу расчета магнитных цепей положены известные законы:  закон полного тока  Нdl   I ; l  закон непрерывности магнитного потока  Bds  0 . S Для магнитного поля магнитопровода с обмоткой:  все силовые линии замкнуты;  положительное направление силовых линий определяется по правилу правого винта;  часть магнитных линий выходит из магнитопровода и замыкается по воздуху (рассеяние);  в воздушном зазоре силовые линии «выпучиваются», т.е. среднее сечение воздушного зазора магнитопровода. больше, чем примыкающие к зазору участки Рис. 8.18 8.3.2. Допущения, принимаемые при расчете магнитных цепей. При расчете магнитных цепей в большинстве случаев принимают допущения, которые позволяют перейти от интегральных выражений к алгебраическим и пользоваться методами расчета электрических цепей. 1. Пренебрегают потоками рассеяния, т.е. принимают магнитный поток в любом поперечном сечении неразветвленного магнитного потока постоянным. 2. Магнитную индукцию во всех точках сечения магнитопровода принимают постоянной и расчет магнитной цепи ведут по средней линии магнитопровода. 3. Поперечное сечение воздушного зазора принимают равным сечению прилегающих участков магнитопровода. При принятых допущениях под магнитной индукцией понимают некоторое среднее по сечению магнитопровода значение:   BS . 8.3.3. Основные законы магнитной цепи. Аналогия между магнитной и электрической цепью Соотношения, соответствующие законам Кирхгофа для электрических цепей постоянного тока, аналогичны соотношениям для магнитных цепей. Первый закон Кирхгофа. магнитной цепи равна нулю.   0 алгебраическая сумма магнитных потоков в узле Второй закон Кирхгофа. магнитных напряжений  F  U M или  I  w   H l алгебраическая сумма для замкнутого контура равна алгебраической сумме магнитодвижущих сил. Между основными величинами магнитных и электрических цепей существует аналогия, отображенная в табл. 8.2. Замена основных величин магнитных цепей величинами электрических цепей сохраняет справедливость соответствующих уравнений Кирхгофа и Ома. Таким образом, каждой магнитной цепи можно поставить в соответствие электрическую цепь той же топологии и заменить задачу расчета магнитной цепи задачей расчета нелинейной электрической цепи (рис. 8.19). Таблица 8.2 Магнитная цепь Электрическая цепь Магнитный поток Ф Электрический ток I Магнитное напряжение UM  H  l Электрическое напряжение U Магнитодвижущая сила F  I w Электродвижущая сила Е Магнитное сопротивление RM  UM l   0 S Электрическое сопротивление R U l  I S Рис. 8.19 При расчете магнитных цепей встречаются два вида задач: прямая задача и обратная задача. В прямых задачах заданными являются схема, геометрические параметры магнитной системы; требуется определить магнитодвижущую силу обмотки для создания заданной магнитной индукции в данном участке цепи. В обратных задачах заданы схема и параметры магнитной системы, магнитодвижущие силы обмоток; требуется определить магнитную индукцию в данном участке цепи. Замечание: В воздушном зазоре H возд  и H возд  Bвозд  8 105 Bвозд , если H в [А/м] 0 Bвозд  8 103 Bвозд , если H в [А/см]. 0 Неразветвленная магнитная цепь с воздушным зазором показана на рис. 8.19. Рассмотрим решение прямой задачи. Дано: Кривая намагничивания B(H) и размеры (l, S) каждого магнитного участка, -магнитный поток или В – магнитная индукция. Определить: магнитодвижущую силу F. Решение: использование закона полного тока и характеристики B(H). Bстали  Bвозд    S по B(H) определяем H стали , H возд  Bвозд  8 105 Bвозд , F  H стали  l  H возд  lвозд . 0 Рассмотрим решение обратной задачи. Дано: Кривая намагничивания B(H) и размеры (l, S) каждого магнитного участка, магнитодвижущая сила F. Определить: -магнитный поток или В – магнитную индукцию. Решение графическое: Строим по B(H) зависимость (UM) (=BS, UM=Hl) и зависимость (IW-UMвозд.) (IW=F, UMвозд=Hвоздlвозд ). На пересечении графиков находят искомый магнитный поток . На рис. 8.20 показано графическое решение обратной задачи. Рис. 8.20 При расчете разветвленных магнитных цепей составляются уравнения по первому и второму закону Кирхгофа для магнитных цепей, уравнения решаются с использованием заданных характеристик материалов магнитопровода B(H) аналитически или графически. 8.4. Нелинейные электрические цепи переменного тока Как уже отмечалось, при использовании нелинейных элементов в цепях переменного тока возникает ряд явлений, принципиально не возможных в линейных цепях. Нелинейный элемент обладает способностью преобразовывать спектр воздействующих периодических э.д.с. (источников напряжения или тока). Нелинейные электрические цепи переменного тока содержат нелинейные индуктивности, емкости и безынерционные в тепловом отношении активные сопротивления. Токи и напряжения в них в той или иной степени несинусоидальные. Токи и напряжения строго синусоидальны в нелинейных цепях, содержащих только инерционные в тепловом отношении нелинейные элементы. 8.4.1. Трудности, возникающие при расчете нелинейных цепей переменного тока Трудности расчета нелинейных цепей физически обусловлена тем, что нелинейные элементы являются генераторами высших гармоник, причем амплитуда и фаза каждой гармоники сложным образом зависит от амплитуд и фаз остальных гармоник. При анализе нелинейных цепей необходимо решить ряд задач:  определить диапазон изменения параметров схемы, при которых наблюдается исследуемое явление (например, стабилизация тока или напряжения) на первой гармонике;  определить диапазон изменения параметров схемы, при которых наблюдается исследуемое явление на k-ой гармонике;  определить возможность возникновения резонансных явлений на разных гармониках (максимума тока в отдельных ветвях и максимума напряжения на отдельных участках). В формальном математическом отношении трудности выражаются в том, что уравнения, составленные для нелинейных цепей по второму закону Кирхгофа, являются нелинейными дифференциальными уравнениями. 8.4.2. Допущения при расчете установившихся режимов в нелинейных цепях переменного тока Общими допущениями (при невысоких частотах) являются пренебрежения распределенными емкостями индуктивных катушек, индуктивностями, обусловленными потоками рассеяния, межэлектродными емкостями полупроводниковых выпрямителей. Эти параметры часто называют паразитными. Однако они играют существенную роль в том случае, если остальные (учитываемые) параметры становятся весьма малыми. При расчете цепи с нелинейной индуктивностью обычно не учитывают гистерезис и потери в сердечнике, или учитывают их приближенно. Иногда полагают активные сопротивления обмоток равными нулю. Аналогично поступают при расчетах цепей с нелинейной емкостью. Замена реальной характеристики нелинейного элемента той или иной аналитической зависимостью также является также является допущением, возможным только при достаточно низких частотах. При весьма высоких частотах расчет любой электрической цепи представляет собой достаточно сложную задачу и может быть решена только путем использования аппарата теории электромагнитного поля. 8.4.3. Методы расчета нелинейных цепей переменного тока Наиболее широко распространены следующие методы расчета: 1) графический метод, в котором используются характеристики нелинейного элемента для мгновенных значений; 2) кусочно-линейная аппроксимация характеристики нелинейного элемента; 3) аналитическая аппроксимация характеристики нелинейного элемента; 4) аналитический или графический метод, в котором используется вольтамперная характеристики нелинейного элемента по первым гармоникам (метод гармонического баланса по первой гармонике); 5) аналитический или графический метод, в котором используется вольтамперная характеристики нелинейного элемента по действующим значениям; 6) итерационные методы; 7) расчет с помощью линейных схем замещения. Рассмотрим более подробно несколько методов расчета нелинейных цепей переменного тока. Графический метод, в котором используются характеристики нелинейного элемента по мгновенным значениям. Преимуществом метода являются простота, наглядность, легкость учета гистерезисных явлений. Этот метод иногда называют «метод трёх проекций» или «метод трёх плоскостей». Однако, его сложно использовать для анализа разветвленных цепей. Пусть в цепи с нелинейным элементом (НЭ) действует источник синусоидального напряжения u(t )  U m sin t (рис. 8.21). Известна вольтамперная характеристика u (i) нелинейного элемента по мгновенным значениям. На рис. 8.22 показан графический способ построения кривой тока по методу трех проекций. Как видно из построения, ток нелинейного элемента – несинусоидальный, в силу симметричности характеристики не содержит постоянной составляющей. Рис. 8.21 Рис. 8.22 Кусочно-линейная аппроксимация характеристик нелинейного элемента Возможно графическое и аналитическое решение. Прежде всего осуществляется замена реальной вольтамперной (вебер-амперной, кулон-вольтной) характеристики кусочно-линейной (отрезками прямых линий). Кривая тока или напряжения строится по методу трех проекций. Аналитическое решение заключается в подстановке в нелинейные уравнения уравнений прямых, при этом на каждом участке линейности задача решается как линейная; для удобства рисуют схемы замещения на каждом участке линейности. Необходимо согласование решения на одном участке линейности с решением на другом участке, расчет координат точек перехода с одного линейного участка на другой (углов отсечки). Графическое решение. На рис. 8.23 реальная характеристики нелинейного элемента (выделена синим цветом) заменена кусочно-линейной. Определен  - угол отсечки; условие перехода от одного участка линейности к другому u (t ) t   U 0 , или U m sin =U 0 . Рис. 8.23 Аналитическое решение: 1. На участке линейности U 0  u  U 0 ток равен нулю, схема замещения НЭ – «разрыв». 2. На участках линейности u  U 0 и u  U 0 ток не равен нулю, схема замещения НЭ – резистор Rэ и источник напряжения Eэ  U 0 . Схема замещения: Аналитически на этом участке ток можно определить по формуле i(t )  U m sin t U 0 . Rэ Знак минус соответствует условию i(t )  0 . Угол отсечки можно найти из условия i()  0 или u ()  U 0 . Решение, полученное методом кусочно-линейной аппроксимации, имеет вид: U m sin t U 0 ,   t         t  2   Rэ . i (t )  { 0, 0  t       t     2    t  2 Как видно, реальная кривая (выделена синим цветом) отличается от кривой тока, соответствующей решению методом кусочно-линейной аппроксимации. Аналитический и графический метод расчета по первым гармоникам токов и напряжений. Порядок расчета: 1. Выражают аналитически вольтамперную характеристику нелинейного элемента для мгновенных значений. 2. Путем подстановки в аналитическое выражение i (u ) или u (i) первой гармоники напряжения или тока определяют нелинейную связь между амплитудой первой гармоники тока нелинейного элемента и амплитудой первой гармоники напряжения на нелинейном элементе. 3. В уравнение, составленное для исследуемой цепи по второму закону Кирхгофа подставляют мгновенные значения первых гармоник (высшими пренебрегают). 4. Уравнение разбивают на два: равенство коэффициентов при синусных слагаемых и равенство коэффициентов при косинусных. 5. Решают совместно эти уравнения. Анализ нелинейных цепей переменного тока путем использования вольтамперной характеристики для действующих значений. Замена реальных несинусоидальных кривых токов и напряжений эквивалентными синусоидальными кривыми. На рис. 8.24 показаны кривые несинусоидального тока и эквивалентной синусоиды. Рис. 8.24 Эквивалентная T T синусоидальная кривая iэ (t ) рассчитывается из условия: 2 2  i (t )dt   iэ (t )dt , т.е. действующее значение реальной несинусоидальной кривой i(t ) равно действующему значению эквивалентной синусоиды iэ (t ) . Амплитуда эквивалентной синусоиды I m  2 I э . Введение эквивалентной синусоиды позволяет существенно упростить анализ нелинейных цепей при действии синусоидальных э.д.с., так как появляется векторными возможность диаграммами, пользоваться рассчитывать комплексным эквивалентные методом параметры расчета, нелинейного элемента с учетом потерь. Замечание: Если нет насыщения и исследуются нерезонансные цепи, то действующее значение несинусоидального тока или напряжения сравнительно мало отличается от действующего значения первой гармоники тока или напряжения. 8.5. Индуктивные и емкостные нелинейные элементы в цепи переменного тока К индуктивным нелинейным элементам электрических цепей относятся все устройства, в которых магнитный поток замыкается хотя бы частично по ферромагнитным материалам. Нелинейность таких элементов является следствием зависимости r  r ( H ) . Простейшими элементами такого рода являются катушки с сердечником из ферромагнитного материала, в которые могут включаться воздушные зазоры. Емкостными нелинейными элементами являются конденсаторы, диэлектриком в которых служат сегнетодиэлектрики. Зависимость между зарядом на обкладках конденсатора и напряжением между ними нелинейная и сходна с зависимостью  (i) в катушках с ферромагнитными сердечниками. Особенно широко используются нелинейные индуктивные элементы; особые явления, связанные с нелинейностью этих элементов положены в основу принципа действия многих устройств. Рассмотрим подробно явления, возникающие в цепях переменного тока с нелинейными индуктивными элементами и методики расчета таких цепей. 8.6.1. Элементы теории ферромагнетизма Все ферромагнетики – кристаллические вещества. Каждый кристалл ферромагнитного тела состоит из самопроизвольно (спонтанно) намагничивающихся областей (доменов). Магнитное состояние каждого домена характеризуется вектором намагниченности M i , направление которого зависит от напряженности внешнего магнитного поля H , температуры и кристаллической структуры ферромагнитного тела. В предварительно размагниченном ферромагнитном теле в отсутствии намагниченности доменов направлены неупорядоченно, т.е. внешнего M i поля векторы  0. i При воздействии на ферромагнетик внешнего магнитного поля по мере увеличения интенсивности этого поля происходят следующие друг за другом стадии намагничивания (в этом случае M i  0 ): сначала увеличиваются объемы доменов, векторы i намагниченности которых наиболее близки по направлению к вектору внешнего поля; далее скачкообразно изменяется ориентация доменов в том направлении легкого намагничивания, которое ближе всего к направлению вектора внешнего поля; при дальнейшем увеличении интенсивности все векторы намагниченности отдельных доменов поворачиваются по внешнему полю. Индукция в ферромагнитном теле B  0 H  0 M  f ( H ) . При циклическом перемагничивании зависимость B  f ( H ) имеет вид петли гистерезиса. Гистерезис представляет собой явление отставания изменений магнитной индукции B от изменений напряженности поля H (рис. 8.25). Различают несколько типов гистерезисных петель – симметричную, предельную и несимметричную. Рис. 8.25 Для симметричной петли  H max   H max ,  Bmax   Bmax . Геометрическое место вершин симметричных гистерезисных кривых называют основной кривой намагничивания. Предельной гистерезисной кривой или предельным циклом называют симметричную гистерезисную петлю при очень больших насыщениях; индукцию при H  0 - остаточной индукцией Br , напряженность поля при B  0 - задерживающей или коэрцитивной силой H c . Если предварительно размагниченный ферромагнитный материал ( B  0 , H  0 ) намагничивать, монотонно увеличивая H , то зависимость B( H ) называют начальной кривой намагничивания. Начальная и основная кривая намагничивания практически совпадают, поэтому в качестве однозначной зависимости B( H ) принимают основную кривую намагничивания. Различают магнитомягкие материалы (малые площади гистерезисных петель) и магнитотвердые материалы (большие площади гистерезисных петель) (рис. 8.26). Рис. 8.26 В группу магнитномягких материалов входят технически чистое железо, электротехнические стали, пермаллои, ферриты и т.д. Их применяют в трансформаторах, электродвигателях, генераторах, индукторах и.т.д. В группу магнитотвердых материалов входят углеродные стали, вольфрамовые стали и др. Из магнитотвердых материалов выполняют постоянные магниты. 8.7. Векторная диаграмма и эквивалентная схема катушки с ферромагнитным сердечником Несинусоидальные токи и напряжения в катушке с ферромагнитным сердечником заменим эквивалентными синусоидами для расчета эквивалентных параметров, учитывающих потери на гистерезис и вихревые токи, построения векторных диаграмм (рис. 8.27). Рис. 8.27 Пусть на входе источник напряжения u(t )  U m sin(t  u ) . Примем допущение о равенстве активного сопротивления обмотки и потоков рассеяния нулю. Действующее значение напряжения U  Um , комплекс напряжения U  U u . Магнитный поток в 2 таком случае также синусоидальный, действующее значение магнитного потока   U , w где w - количество витков обмотки катушки. Соответствующий комплекс  отстаёт от комплекса напряжения на  2 . Для определения параметров эквивалентной синусоиды тока (действующего значения I , угла сдвига  относительно комплекса магнитного потока  , активной Ia и реактивной I p составляющей тока) пользуются реальными характеристиками катушки, снятыми при заданной частоте. Действующее значение эквивалентной синусоиды (см. параграф 8.4.3) принимается равным действующему значению реальной несинусоидальной кривой. Так, при аналитической аппроксимации полиномом (см. параграф 8.6.3) кривая тока содержит первую и третью 2 гармоники 2 I  I  i(t )  I1m sin t  I3m sin 3t и действующее значение тока I   1m    3m  .  2  2 Так как кривая тока при значениях магнитной индукции свыше 1,0 Тл отличается по форме от синусоиды, действующее значение тока рассчитывают из соотношения I Im kп 2 , где I m - амплитуда тока, kп - поправочный коэффициент, зависящий от величины индукции и сорта стали: 1,1  kп  1,6 при 1,0  Bm  1,6 Тл, при Bm  1, 0 Тл kп близко к единице. Если зависимость  (i) построена без учета гистерезиса (по основной кривой намагничивания), ток и потокосцепление проходят одновременно через нулевые и максимальные значения, т.е. находятся в фазе (см. параграф 8.63) и угол сдвига   0 . Тогда комплекс эквивалентной синусоиды тока I  I (u   2) , т.е. отстает от комплекса напряжения на  2 . Векторная диаграмма идеализированной катушки для u  0 имеет вид (рис. 8.28): Рис. 8.28 При расчете по действующим значениям, используя действующее значение эквивалентной синусоиды определяют эквивалентную индуктивность Lэ   . I При учете гистерезиса должны быть известны суммарные потери в ферромагнетике Pфер  PГ  PB . Эквивалентный фазовый угол между комплексом эквивалентной синусоидой тока I и комплексом напряжения U определяют по формуле: cos   Pфер UI Угол между комплексом эквивалентной синусоидой тока и комплексом потока     . На рис. 8.29 изображена соответствующая векторная диаграмма для u  0 . 2 Рис. 8.29 Активная мощность P  UI sin   UI a , где I a - действующее значение активной составляющей тока Ia . Используют также понятие реактивной («намагничивающей» мощности) Q  UI cos   UI p , где I p - действующее значение реактивной составляющей тока I p . Как правило, задают удельные мощности: P0  [Вт/кг], Q0  P - удельные потери в стали M Q - удельная намагничивающая мощность [Вар/кг], отнесенные к единице M массы материала магнитопровода (стали). На рис. 8.30 показаны графики зависимости удельных потерь и удельной намагничивающей мощности в зависимости от Bm максимальной индукции. Для мощных трансформаторов составлены таблицы и кривые, определяющие зависимости удельной мощности потерь и удельной намагничивающей мощности от частоты и конкретного вида стали. Рис. 8.30 8.7.1. Схема замещения катушки с ферромагнитным сердечником без учета активного сопротивления обмотки и рассеяния На рис. 8.31 изображена схематично катушка с ферромагнитным сердечником:  s поток рассеяния,  - основной поток, замыкающийся в ферромагнитном сердечнике, u (t ) - напряжение на катушке. При допущении о равенстве активного сопротивления обмотки нулю ( RМ  0 ) напряжение на входе цепи равно напряжению на катушке u(t )  u (t ) , равенстве нулю потока рассеяния (  s  0 ) напряжение на входе связано с основным потоком соотношением u (t )  w d . dt Рис. 8.31 Эквивалентная схема замещения катушки (последовательная и параллельная) представлена на рис. 8.32. Рис. 8.32 Дано: Действующее значение напряжения U , частота f , количество витков w , площадь сечения магнитопровода S , масса материала магнитопровода M , зависимости P0 ( Bm ) и Q0 ( Bm ) . Определить параметры схемы замещения катушки (последовательной и параллельной). Решение: 1. Рассчитаем индукцию при заданном значении напряжения, частоте и количестве витков: Bm  U . 4, 44 fwS 2. По зависимостям P0 ( Bm ) и Q0 ( Bm ) определим удельные потери. M  P0 M  Q0 , Ip  . U U 3. Составляющие тока и параметры схемы замещения: I a  Для параллельной схемы замещения: Gст  I Ia , Bст  p , комплексная проводимость U U Yст  Gст  jBст . Для последовательной схемы замещения Z ст  1  Rст  jX ст . Yст Эквивалентные параметры зависят от значения Bm и эта зависимость нелинейная. 8.7.2. Схема замещения катушки с ферромагнитным сердечником с учетом активного сопротивления обмотки и рассеяния При необходимости учета активного сопротивления обмотки и потока рассеяния схему замещения и векторную диаграмму необходимо дополнить (рис. 8.33). Рис. 8.33 Приложенное напряжение U , кроме составляющей U  , уравновешивающей э.д.с., индуктированную в обмотке катушки основным потоком  , будет иметь составляющую RМ I и составляющую jX S I , уравновешивающую э.д.с., индуктируемую в обмотке потоком рассеяния  S . Более простой является задача, если пренебрегают потоком рассеяния, т.е. индуктивное сопротивление рассеяния принимают равным нулю X S  0 . Эквивалентная схема замещения катушки с учетом активного сопротивления обмотки RМ (последовательная и параллельная) представлена на рис. 8.34. Рис. 8.34 Дано: Действующие значения напряжения и тока U, I, активная мощность Р, активное сопротивление обмотки RМ . Определить параметры схемы замещения катушки (последовательной и параллельной). Решение: 1. Для последовательной P  ( RМ  Rст ) I 2 , следовательно, Rст  2. Z Входное сопротивление схемы замещения активные потери P  RМ . I2 Z U  Z  . I Модуль входного сопротивления U 2  ( RМ  Rст )2  X ст . Определяют X ст  Z 2  ( RМ  Rст )2 . I 3. Определяют комплексное сопротивление, учитывающее потери в магнитопроводе на гистерезис и вихревые токи: Zст  Rст  jX ст . 4. Модуль напряжения U   IZст . Комплекс напряжения U  U   U  0 . Комплексная проводимость Yст  принимают 1  Gст  jBст . Для параллельной схемы Z ст замещения: I a  U Gст , I p  U  Bст . Угол потерь tg   Ia . Ip 5. Напряжение на входе U  RМ I  U  . Векторная диаграмма показана на рис. 8.35. Рис. 8.35 При учете активного сопротивления обмотки и потока рассеяния необходимо знать амплитуду магнитного потока катушки  m или индукции Bm . Эквивалентная схема замещения катушки с учетом активного сопротивления обмотки RМ и индуктивного сопротивления рассеяния (последовательная и параллельная) представлена на рис. 8.36. Рис. 8.36 Дано: Действующие значения напряжения и тока U, I, активная мощность Р, активное сопротивление обмотки RМ , амплитуда магнитного потока катушки  m , частота f , количество витков w . Определить параметры схемы замещения катушки (последовательной и параллельной). Решение: 1. Действующее значение напряжения U   4, 44 fwm . P  RМ I 2 2. Активная проводимость параллельной схемы замещения Gст  . U 2 Активная составляющая тока I a  U Gст . Реактивная составляющая тока I p  I 2  I a2 . Реактивная проводимость Bст  3. Определяют Ip U . Комплексная проводимость Yст  Gст  jBст . комплексное сопротивление, магнитопроводе на гистерезис и вихревые токи: Z ст  учитывающее 1  Rст  jX ст . Yст потери в 2  P 4. Реактивная мощность катушки Q  UI sin   UI 1  cos   UI 1    .  UI  2 5. Намагничивающая мощность в магнитопроводе Qст  I pU  . 6. Реактивная мощность, обусловленная Индуктивное сопротивление рассеяния X S  потоком рассеяния QS  Q  Qст . QS . I2 4. Комплекс напряжения U  принимают U   U  0 . Комплекс тока I  I a  jI p . 5. Напряжение на входе U  RМ I  jX S I  U  . Векторная диаграмма показана на рис. 8.37. Рис. 8.37 Замечание: Если задано напряжение U , то определить U  , соответствующее заданному режиму, без  m или Bm нельзя. В таком случае необходимо вести расчет итерационным методом (последовательных приближений) или графически. 9. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ В предыдущих разделах курса изучались линейные цепи в установившихся режимах; рассматривались режимы, которые устанавливались в таких цепях под воздействием постоянных или периодических ЭДС. Если в цепи действовали постоянные ЭДС, то в установившемся режиме токи и напряжения также были постоянные, при действии периодических ЭДС токи и напряжения математически описывались периодическими функциями. При этом конфигурация и параметры элементов линейной электрической цепи не менялись. В инженерной практике очень важны не только установившиеся режимы, но и переходные процессы. Электромагнитные процессы, возникающие при переходе одного установившегося режима к другому, называются переходными процессами. Переходные процессы в цепи вызываются коммутацией, под которой понимают любое изменение в цепи, приводящее к возникновению переходного процесса. Это может быть включение или переключение источников, подключение или отключение участков электрической цепи, изменение параметров элементов. Переходные процессы обычно являются быстротекущими, длительность их составляет десятые, сотые, миллиардные доли секунд, сравнительно редко это секунды или десятки секунд. Однако токи и напряжения во время переходного процесса могут достигать экстремальных значений с точки зрения последствий для электрической цепи. В некоторых случаях цепь выполняется таким образом, чтобы в ней возникал требуемый переходной процесс, т.к. именно он является необходимым для эксплуатации электроустановки. При расчете переходных процессов коммутация понимается как моментальное изменение параметров или топологической структуры цепи, т.е. совершается за момент времени t  0 . Момент внезапного изменения режима принимают за начальный (нулевой), относительно которого рассчитывают токи и напряжения, возникающие во время переходного процесса. Момент времени, предшествующий изменению обозначают t  0 , первый момент времени после изменения t  0 . На электрической схеме процесс коммутации отображается замыканием или размыканием ключа. В Таблице 9.1 показано схемное изображение замыкания и размыкания ключа (а) и состояние до (б) и после коммутации (в) соответствующих участков электрической цепи. Таблица 9.1 Замыкание Размыкание а) а) б) б) в) в) После замыкания или размыкания ключа меняется система уравнений, описывающая процессы в электрической цепи. При расчете переходных процессов используют закон сохранения энергии, компонентные уравнения, определяющие математическую связь между током и напряжением на элементах цепи, и уравнения, составленные по законам Кирхгофа. Это решение линейной дифференциальной системы уравнений, описывающей процессы в цепи после коммутации. Математически корректной задача становится только после задания начальных условий, т.е. определения значений токов и напряжений в момент t  0 . При этом очень важно знать, какие из переменных токов и напряжений останутся неизменными во время коммутации. 9.1. Законы коммутации и начальные условия Значения токов и напряжений элементов цепи в момент t = 0+ называют начальными условиями переходного процесса, которые подразделяют на независимые начальные условия (токи индуктивных элементов и напряжения емкостных элементов) и зависимые начальные условия (токи резистивных, емкостных элементов, источников ЭДС и напряжения резистивных, индуктивных элементов и источников тока). С энергетической точки зрения невозможность скачков тока в индуктивном элементе и напряжения на емкостном элементе объясняется невозможностью мгновенного изменения запасенных в них энергии магнитного поля катушки и электрического поля конденсатора. Для этого потребовалась бы бесконечно большая мощность. Исключение составляют случаи, когда в результате коммутации образуются новые «особые» контуры, состоящие только из емкостных элементов или новые «особые» разрезы, состоящие только из индуктивных элементов (рис. 9.1). Такие коммутации часто называют «некорректными» и определение начальных условий при таких коммутациях будет рассмотрено позже. Рис. 9.1 Образование «особого» контура и «особого» разреза. Законы коммутации: В момент коммутации остаются неизменными напряжения на емкостных элементах (конденсаторах) и токи в индуктивных элементах (катушках). uC (0 )  uC (0 )  uC (0) iL (0 )  iL (0 )  iL (0) Значения токов в катушке и напряжения на конденсаторе называют независимыми начальными условиями (н.н.у.). Независимые начальные условия определяются по схеме до коммутации и могут быть нулевыми и ненулевыми. После коммутации все остальные переменные – напряжения на индуктивных катушках, токи в конденсаторах, токи и напряжения на резисторах - могут скачком изменить свое значение, поэтому их относят к зависимым начальным условиям (з.н.у.). Зависимые начальные условия определяют по уравнениям, составленным по законам Кирхгофа для схемы после коммутации. Пример 9.1. Определение начальных условий для токов и напряжений цепи, схема которой представлена не рисунке. По закону коммутации uC (0 )  uC (0 )  0 . Ток в резисторе R2 скачком не изменится, т.к. i2 (t )  резисторе i1 (0 )  uC (t ) u (0 ) и в момент t  0 значение тока i2 (0 )  C   0 . Значение тока в R2 R2 R1 i1 (0 ) зависит от значения e(0 ) и может измениться скачком: e(0 )  uC (0 ) . Так при e(t )  E  const значение тока в момент коммутации R1 меняется скачком: i1 (0 )  E  i1 (0 ) , т.к. i1 (0 )  0 . Если e(t )  Em sin t , то e(0 )  0 и R1 i1 (0 )  i1 (0 )  0 , скачка в значении тока не будет. 9.2. Классический метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях Согласно классическому методу искомая переменная, например, ток i = i(t) в некоторой ветви представляется в виде суммы установившегося тока (установившейся составляющей) iуст и преходящего тока (преходящей составляющей) iпрех: i = iуст + iпрех Искомый ток i(t) называют переходным током. Установившимся током называют периодический или постоянный ток, устанавливающийся в электрической цепи после окончания переходного процесса при действии периодических или постоянных ЭДС (источников напряжения или тока). Преходящим током называют разность между переходным и установившимся током. Аналогично определяются установившаяся и преходящая составляющие переходного напряжения. Замечание. Математически нахождение искомой переменной – решение линейной дифференциальной системы уравнений при заданных начальных условиях, т.е. решение задачи Коши x  Ax  f , x(0)  x0 . Решение задачи Коши находится как сумма двух составляющих: 1) свободной составляющей – решение однородного дифференциального уравнения x  Ax , т.е. решение «свободного процесса» без внешнего воздействия f  0 с ненулевыми начальными условиями: xсв (t )  eAt x(0) , x(0) - постоянная интегрирования. При нулевых начальных условиях свободная составляющая равна нулю. Свободная составляющая содержит экспоненты, которые обращаются в ноль при t   . 2) принужденной составляющей – частное решение неоднородного дифференциального уравнения при f  0 . Это решение соответствует процессам, определяемых действием источников при нулевых начальных условиях: t x прин (t )   e A (t  )f ( )d . При этом принужденная составляющая также содержит экспоненты, которые обращаются в ноль при t   . Пример 9.2. Найти uC (t ) после коммутации как сумму свободной и принужденной составляющих, если до коммутации конденсатор был заряжен и uC (0)  2 E . Решение: Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для напряжений после коммутации: CR uCсв (t )  e  1 t CR duC du 1 1  uC  E или C   uC  E . Свободная составляющая: dt dt CR CR uC (0)  2Ee  1 t CR . Принужденная составляющая: t uCприн (t )   e  1 ( t  ) CR f ( )d  t 1 1 1 1 1  t   t  t  t  E CR CR CR CR CR e e d   Ee e  1  E  Ee   CR 0   Полное решение: uC (t )  uCсв (t )  uCприн (t )  2 Ee  1 t CR  E  Ee свободная  1 t CR . принужденная Для инженерной практики удобнее объединить все слагаемые, которые при t   обращаются в ноль и формировать решение в виде суммы установившейся и преходящей составляющих: uC (t )  uCуст (t )  uCпрех (t )   2 Ee E установившаяся Математически преходящая  1 t CR  Ee  1 t CR  E  Ee  1 t CR . преходящая составляющая, как и свободная, есть решение однородного дифференциального уравнения, но с начальными условиями по преходящей составляющей, определяемыми как xпрех (0)  x(0)  x уст (0) , т.е. xпрех (t )  eAt (x(0)  x уст (0)) , Постоянная интегрирования в этом случае x(0)  x уст (0) . При расчете переходных токов и напряжений (в общем случае x(t ) ) классическим методом решение находят как сумму установившейся и преходящей составляющей. Время переходного процесса рассчитывается из условия, что xï ðåõ (t )  0 , не превышает заданной точности решения (рис. 9.2). Рис. 9.2 Схематичная временная диаграмма переходного процесса 9.3. Методика расчета переходного процесса классическим метом Рекомендуется следующая методика расчета переходных процессов в электрических цепях классическим методом: 1. Рассчитывается предшествующий режим (до коммутации), т.е. значения напряжений емкостных элементов и токов индуктивных элементов для момента t = 0– uC(0-) и iL(0-) 2. По законам коммутации находят независимые начальные условия – напряжения емкостных элементов uC(0+)= uC(0-) и токи индуктивных элементов iL(0+)= iL (0-). 3. Рассчитывается установившийся режим в цепи после коммутации, в результате находится установившаяся составляющая искомой переменной xуст(t). 4. Составляется характеристическое уравнение цепи Рn(p) = anpn + an–1 pn–1+ …+ a1 p+ a0 = 0 и находятся его корни (собственные частоты цепи) pj, j = 1,2,…,n. 5. В зависимости от вида корней характеристического уравнения определяется вид аналитического представления преходящей составляющей искомого тока или напряжения xпрех(t), записывается полное решение переходного тока или напряжения. Постоянные интегрирования находятся после определения зависимых начальных условий. Рассмотрим пункты 4,5 методики подробнее. Для составления характеристического уравнения можно дифференциальное уравнение вида Pn ( d dn d n1 dx ) x  an n x  an 1 n1 x  ...  a1  a0 x  f (t ) , dt dt dt dt составить описывающее переходный процесс в цепи после коммутации. Правила составления такого уравнения основываются на использовании законов Кирхгофа, компонентных уравнений элементов: резистора u  Ri , индуктивной катушки uL  L iC  C duC dt diL , конденсатора dt и последовательного разрешения этих уравнений относительно искомой переменной. Стоящий в правой части уравнения свободный член соответствует функциям действующих в цепи после коммутации источников. Его формально отбрасывают, получают однородное уравнение Pn ( d ) x  0 . Замена в последнем уравнении оператора dt dj на переменную рj дает искомое характеристическое уравнение. dt j Порядок n характеристического уравнений определяется числом накопителей энергии – индуктивных катушек и конденсаторов. Возможен и более простой путь составления характеристического уравнения: находится комплексное входное сопротивление цепи Zвх(jω) для какой-либо ветви (после ее разрыва применительно к топологии цепи, образующейся после коммутации). Приравняв числитель Z(jω) к нулю и заменив в нем оператор jω на р получают искомое характеристическое уравнение Pn(p)= Zвх(p) = 0. Вид преходящей составляющей тока зависит от вида корней характеристического уравнения. Если все корни вещественные различные, то 1 xпрех (t )  Ae  A2e 1 pt pt  ...  Ane pnt . Если в числе корней есть пары комплексно-сопряженных корней, например р1,2 = -α ± jω, то соответствующую им часть суммы A1e p1t  A2e pt удобно представить в  jt  A2e jt )  Aet sin(t  ) . виде et ( Ae 1 Если же все корни одинаковые (n – кратных корней) р1 = р2 = …= рn = р, то pt xпрех  Ae  A2te pt  ...  Ant n1e pt  ( A1  A2t  ...  Ant n1 )e pt . 1 Более подробно рассмотрим эти случаи при расчете цепей с одним и двумя накопителями n=1,2. Для определения постоянных интегрирования значение преходящей составляющей xпрех(0+) = x(0+) – xуст(0+) выражают через и n-1 – ее производной в момент t = 0+, т.е. независимые начальные условия по d n1 xпрех dt n1 / t 0 составленным для послекоммутационной схемы законам Кирхгофа. Удобно использовать и чисто резистивные эквивалентные расчетные схемы для t  0 , составленные с использованием теоремы компенсации. 9.4. Расчет переходного процесса классическим метом для цепи с одним накопителем Для n=1 цепь описывается дифференциальным уравнением первого порядка и преходящая составляющая искомого переходного тока или напряжения будет иметь вид: xпрех (t )  Ae pt , A  x(0 )  xуст (0 ) Включение цепи с резистором и катушкой на постоянное напряжение 1. До коммутации тока в катушке не было: iL (0 )  iL (0 )  0 2. Установившаяся составляющая тока после коммутации определяется из условия, что напряжение на индуктивном элементе при t   равно нулю: uLуст  0 , тогда iL уст  E . R 3. Преходящая составляющая тока iLпрех (t )  Ae pt , напряжения uLпрех (t )  Be pt . 4. Методом входного сопротивления р определяют из характеристического уравнения Lp  R  0, p =- R . L 5. По начальным условиям определяют постоянные интегрирования для переходного тока iL (t )  Для t  0 iL (0 )  A 0 R R  t  t E  Ae L и напряжения uL (t )  0  Be L . R E  A , uL (0 )  0  B . Так как iL (0 )  iL (0 )  0 (н.н.у.), то R E . Для определения зависимого начального условия uL (0 ) составим R уравнение Кирхгофа для напряжений: E  uL (0 )  iL (0 ) R . Следовательно, uL (0 )  E и B  E . E E  RL t Решение: ток в катушке после коммутации iL (t )   e , напряжение на катушке R R uL (t )  Ee R  t L . На рис. 9.3 показаны графики кривых тока и напряжения и расчетные схемы до и после коммутации: во время переходного процесса и в установившемся режиме, когда можно считать переходной процесс закончившимся. Рис. 9.3. Включение цепи с резистором и катушкой на постоянное напряжение Из решения видно, что ток нарастает от нуля до установившегося значения. Скорость нарастания тока осуществляется по экспоненте с отрицательным показателем R R diL E  RE  t E  t      e L  e L . В момент t  0 эта скорость максимальна и равна , со L dt L  LR временем она падает практически до нуля, ток перестает меняться и процесс выходит на установившийся режим. Для определения времени переходного процесса рассчитывают постоянную времени   1 L  . Время переходного процесса определяют как 3  5 . p R Включение цепи с резистором и катушкой на синусоидальное напряжение 1. До коммутации тока в катушке не было: iL (0 )  iL (0 )  0 2. Если источник синусоидальный e(t )  Em sin(t  ) B , то установившийся ток iуст (t )  I msin(t    ) рассчитывается комплексным методом: I m  Em R   L  2 2 ,   arctg L . R 3. Преходящая составляющая тока iLпрех (t )  Ae pt , полное решение iL (t )  I msin(t    )  Ae pt . 4. Методом входного сопротивления р определяют из характеристического уравнения Lp  R  0, p =- 1 L R  . , постоянная времени   p R L 5. По начальным условиям определяют постоянные интегрирования для переходного тока iL (0 )  iL (0 )  0 : 0  I msin(  )  A . Решение: iL (t )  I msin(t    )  I msin(  )e R  t L . На рис. 9.4 приведены кривые переходного тока и его составляющие для разных значений    . Рис. 9.4 Если в момент включения установившийся ток имеет наибольшее значение (при    2 ), переходной ток достигает максимального по модулю значения приблизительно через половину периода, однако ни при каких условиях это значение не превысит удвоенной амплитуды установившегося тока. Если в момент включения установившийся ток равен нулю, т.е.     0 , то преходящий ток не возникает (рис. 9.5). Рис. 9.5. Включение цепи с резистором и конденсатором на постоянное напряжение (заряд конденсатора) 1. До коммутации конденсатор не был заряжен: uC (0 )  uC (0 )  0 2. Установившаяся составляющая напряжения на конденсаторе после коммутации определяется из условия, что при t   ток в конденсаторе равен нулю: iуст  0 , тогда uC уст  E . 3. Преходящая составляющая тока iпрех (t )  Ae pt , напряжения uC прех (t )  Be pt . 4. р определяют из характеристического уравнения RCp  1  0, p =- 1 . RC 5. По начальным условиям определяют постоянные интегрирования для переходного тока i(t )  0  Ae  1 t RC и напряжения uC (t )  E  Be  1 t RC . Для t  0 uC (0 )  E  B , i(0 )  0  A . Так как uC (0 )  uC (0 )  0 (н.н.у.), то B  0  E . Для определения зависимого начального условия iC (0 ) составим уравнение Кирхгофа для напряжений: E  uC (0 )  i(0 ) R . Следовательно, i (0 )  E E и A . R R 1 t E  RC Решение: ток в конденсаторе после коммутации i (t )  e , напряжение на R конденсаторе uC (t )  E  Ee  1 t RC . На рис. 9.6 показаны графики кривых тока и напряжения и расчетные схемы до и после коммутации: во время переходного процесса и в установившемся режиме, когда можно считать переходной процесс закончившимся. Рис. 9.6. Включение цепи с резистором и конденсатором на постоянное напряжение Для определения времени переходного процесса рассчитывают постоянную времени   1  CR . Время переходного процесса определяют как 3  5 . p Включение цепи с резистором и конденсатором на синусоидальное напряжение 1. До коммутации конденсатор не был заряжен: uC (0 )  uC (0 )  0 2. Если источник синусоидальный e(t )  Em sin(t  ) B , то установившийся ток iуст (t )  I msin(t    ) рассчитывается комплексным методом: I m  Em  1  R2     C  2 ,   arctg 1 . Напряжение на CR  1 конденсаторе uC уст (t )  U Cmsin(t      ) , U Cm  I m . 2 C 3. Преходящая составляющая напряжения на конденсаторе uCпрех (t )  Be pt , полное  решение uC (t )  U Cmsin(t      )  Be pt . 2 4. р определяют из характеристического уравнения RCp  1  0, p =времени   1 , постоянная RC 1  RC . p 5. По начальным условиям определяют постоянные интегрирования для переходного  напряжения uC (0 )  uC (0 )  0 : 0  U msin(    )  B . Решение: 2   1t uC (t )  U msin(t      )  U msin(    )e RC . На рис. 9.7 приведены кривые 2 2 переходного тока и его составляющие для значения     Рис. 9.7    . 2 2 Если в момент включения установившееся значение напряжения на конденсаторе равно нулю, то и преходящее напряжение равно нулю. В цепи сразу устанавливается режим (рис. 9.8). Рис. 9.8 При изменении параметров R и C элементов меняется  - постоянная времени и само время переходного процесса. На рис. 9.9 показано как меняется кривая переходного напряжения и тока при изменении параметров элементов при включении цепи с резистором и конденсатором на постоянное напряжение. Рис. 9.9 9.4. Расчет переходного процесса классическим метом для цепи с двумя накопителями Если в цепи два накопителя, то характеристическое уравнение имеет вид a2 p 2  a1 p  a0  0 . Как правило, решают приведенное характеристическое уравнение p 2  bp  c  0 . Характер электромагнитных характеристического уравнения: процессов зависит от вида корней 1) апериодический, если корни вещественные различные, т.е. дискриминант квадратного уравнения D  b2  4c  0 . Корни (собственные частоты) p1,2  b  D , решение переходного процесса 2 классическим методом имеет вид: p1t x(t )  xуст (t )  xпрех (t )  xуст (t )  Ae  A2e p2t 1 2) периодический (колебательный), если корни комплексно-сопряженные, т.е. дискриминант квадратного уравнения D  b2  4c  0 . Корни p1,2  b  j D 2    jсв , где  - коэффициент затухания преходящей составляющей, ñâ - угловая частота собственных колебаний, Tсв  2 - период св свободных колебаний. Решение переходного процесса классическим методом имеет вид: x(t )  xуст (t )  xпрех (t )  xуст (t )  Aet sin(свt  ) b 3) предельный апериодический (критический), если корни p1  p2     , т.е. 2 дискриминант квадратного уравнения D  b2  4c  0 . Решение переходного процесса классическим методом имеет вид: t x(t )  xуст (t )  xпрех (t )  xуст (t )  Ae  A2tet 1 При расчете переходных процессов в цепи с двумя накопителями необходимо определить две постоянные интегрирования. Для этого составляют уравнения для нахождения значения искомого тока или напряжения в момент t  0 и значения первой производной искомого тока или напряжения в момент t  0 с использованием независимых начальных условий и уравнений конденсатора Замечание. duC dt  t  0 Для diL dt связи для идеальной катушки  t  0 uL (0 ) и идеального L iC (0 ) . C цепей с индуктивно-связанными элементами для составления характеристического уравнения используется метод главного определителя. Для цепи составляют уравнения по методу контурных токов. После формальной замены L  pL и C 1 pC матрица контурных сопротивлений имеет вид Z( p )  Z11 ( p) Z12 ( p) . Z 21 ( p) Z 22 ( p) Определитель матрицы приравнивают к нулю det Z( p)  0 . Выбор контуров при составлении контурных уравнений целесообразно проводить так, чтобы для каждого независимого контура порядок дифференциального уравнения был наименьшим. Рассмотрим несколько примеров расчета переходных токов и напряжений в цепи с двумя накопителями. Разряд конденсатора на цепь с резистором и катушкой Пусть в цепи конденсатор был заряжен до напряжения uC (0 )  U 0 . Исследуем переходной процесс после замыкания в момент t  0 ключа. 1. Независимые начальные условия uC (0 )  uC (0 )  U 0 , i(0 )  i(0 )  0 . 2. Так как источники в цепи отсутствуют, то установившиеся составляющие решений равны нулю. 3. Составим характеристическое уравнение через комплексное входное сопротивление с заменой jω на р: R 1 1  0 . Характер  pL  R  0 или p 2  p  L LC pC электромагнитных процессов зависит от соотношения параметров R , L и C в 2 R 1  R    выражении для корней характеристического уравнения: p1,2   .   2L  2 L  LC Апериодическим разрядом конденсатора, заряженного до напряжения U 0 , называется разряд, при котором напряжение на конденсаторе монотонно спадает от значения U 0 до нуля без перезарядки конденсатора. При этом отдаваемая электрическая энергия лишь в малой доле переходит в энергию магнитного поля катушки, большая ее часть поглощается в резисторе. Затем в теплоту переходит и энергия, запасенная в магнитном поле катушки. Периодический разряд конденсатора сопровождается перезарядкой конденсатора. При этом часть энергии поглощается, часть электрической энергии переходит в магнитную, магнитная – в электрическую, т.е. между накопителями происходит обмен энергиями. При отсутствии потерь в цепи возникают незатухающие электромагнитные свободные колебания с угловой частотой 0  2  2 LC . При наличии потерь – затухающие свободные колебания, частота 0 T0  которых меньше частоты незатухающих свободных колебаний  вe 1 и периодом LC св  02   2 , где R . За каждый период Tñâ амплитуда переходного тока и напряжения уменьшается 2L Tсв раз. 2 1  R  4. При апериодическом разряде конденсатора, т.е. при условии  или   LC  2L  R2 L C решение имеет вид: uC (t )  A1e p1t  A2e p2t , периодическом разряде конденсатора R  2 i(t )  B1e p1t  B2e p2t . При L решение uC (t )  Aet sin(свt  ) , C i(t )  Bet sin(свt  ) . В случае предельно-апериодического разряда при R  2 корни p1  p2   L C R   , решение uC (t )  A1e t  A2te t и i(t )  B1e t  B2te t . 2L 5. Определим из начальных условий постоянные интегрирования. Так как uC (0 )  U 0 и duC dt  0 iC (0 ) i(0 )     0 для определения постоянных интегрирования при C C апериодическом A2   разряде решаем уравнения  U 0  A1  A2 ,  0  p1 A1  p2 A2 A1  p2 U0 , p2  p1 p1 U 0 . Для тока i(0 )  0 , напряжение на катушке как зависимое p2  p1 начальное условие найдем по второму закону Кирхгофа. Для момента t  0 U 0  i(0 ) R  uL (0 ) . Следовательно, di dt  0 uL (0 ) U 0  . Тогда для L L B1 и B2  0  B1  B2  . При U 0  0 ток в начале переходного процесса возрастает, U 0  L  p1 B1  p2 B2 достигает максимального значения, затем уменьшается до нуля. При периодическом разряде для постоянных интегрирования A и  решаем U 0  A sin   . Так как  0  A sin   св A cos  sin   A Для св   2 2 св  св LC ,  2  св2  cos      2 2 св 1 , можно ввести обозначения LC св .    LC , tg   решении переходного Тогда U0 U0   ,   arctg св . sin  св LC  постоянных интегрирования в тока 0  B sin   U  , постоянные интегрирования   0 , B  0 . U 0 св L  B sin   св B cos   L При предельно-апериодическом разряде конденсатора постоянные интегрирования  U 0  A1 находят из уравнений  , 0   A1  A2 0  B1   . U 0  L  B1  B2 Замечание. Решение для тока в конденсаторе iC (t )  i(t ) . 6. Решение переходного процесса имеет вид: для апериодического разряда uC (t )  U0 U0 ( p2e p1t  p1e p2t ) , i(t )  (e p1t  e p2t ) ; p2  p1 L( p1  p2 ) для периодического разряда uC (t )  U0 U et sin(свt  ) , i(t )  0 et sin(свt ) ; св L св LC для предельно-апериодического разряда uC (t )  U 0 (1  t )et , i(t )  U 0 t te . L Замечание. Критическим сопротивлением RLC - контура называют расчетную величину Rêð  2 L . При R  Rкр колебаний не возникает, переходной процесс - апериодический, C при R  Rкр возникают затухающие свободные колебания. Скорость затухания колебаний оценивают декрементом колебаний. Декремент колебания – постоянная, зависящая от Tсв параметров элементов RLC - контура и равная   e . Используют также логарифмический декремент затухания   ln   Tсв . Включение RLC - контура на постоянное напряжение Рассмотрим электромагнитные процессы, возникающие после замыкания ключа в цепи, в предположении, что uC (0 )  0 . Характеристическое уравнение и вид корней будут такими же, как и в случае разряда конденсатора на резистор с катушкой. Также и установившаяся составляющая тока будет равна нулю. Установившееся напряжение на конденсаторе будет равно напряжению источника uCуст  U 0 , т.е. для постоянных интегрирования при апериодическом процессе 0  U 0  A1  A2 , знаки A1 и A2 изменятся на противоположные. Также и в случае   0  p1 A1  p2 A2 возникновения свободных колебаний постоянная интегрирования A изменит знак на противоположный. Для тока решение не изменится, но в отличие от разряда конденсатора iC (t )  i(t ) . Решение переходного процесса имеет вид: для апериодического процесса uC (t )  U 0  U0 U0 ( p2e p1t  p1e p2t ) , i(t )  (e p1t  e p2t ) ; p2  p1 L( p1  p2 ) для периодического процесса uC (t )  U 0  U0 U et sin(свt  ) , i(t )  0 et sin(свt ) ; св L св LC для предельно-апериодического процесса uC (t )  U 0  U 0 (1  t )et , i(t )  U 0 t te . L Замечание. За время переходного процесса часть энергии источника переходит в теплоту, часть запасается в электрическом поле конденсатора:    U0  2  U 0idt   (uRi  uLi  uC i)dt   Ri dt   Lidi   CuC duC   Ri dt  2 CU 02 . 2 Подключение RLC - контура к источнику синусоидального напряжения При подключении RLC - контура к источнику, напряжение которого меняется по закону u(t )  U m sin(t  ) характеристическое уравнение и вид корней такие же, как при подключении источника постоянного напряжения. Для расчета установившихся составляющих тока и напряжения на конденсаторе необходимо воспользоваться комплексным методом. Пусть установившаяся составляющая тока имеет вид iуст (t )  I m sin(t    ) , где I m  Um R  (L  1 C ) 2 2 ,   arctg (L  1 C ) . R Установившаяся составляющая напряжения на конденсаторе I  uC уст (t )  U Cm sin(t      ) , U Cm  m . Полное решение классическим методом 2 C находится как сумма установившейся и преходящей составляющей. Наиболее интересным представляется случай комплексно-сопряженных корней, т.е. когда преходящая составляющая меняется по периодическому закону. Решение переходного процесса есть сумма двух периодических, амплитуда одного из них затухает по экспоненциальному закону. 1) Под переходным процессом в режиме резонанса понимают случай, если   св (угловая частота синусоидальных колебаний источника совпадает ч угловой частотой свободных колебаний). При малых потерях, т.е. когда   0 амплитуда переходного напряжения на конденсаторе увеличивается по закону (1  et ) . При этом Tсв  T  2 и при   0   св  0 . При этом огибающая тока изменяется по  тому же экспоненциальному закону. Так как et  1, то амплитуда свободных колебаний примерно равна амплитуде установившихся колебаний при любом значении  начальной фазы источника. 2) Если частоты  и св близки, т.е.   св , то в RLC - контуре возникают режимы биений. Для получения режима биений   0 и при любой начальной фазе источника UCmпрех  UCmуст  UCm , тогда пусть uC (t )  uCуст (t )  uCпрех (t )  U Cmуст sin t  U Cmпрех sin(свt  )  U Cm (sin t  sin(свt  )) Преобразуем выражение: uC (t )  U Cm (sin t  sin(свt  ))  2U Cm cos(   св и     св , если   ñâ . Так как   , то напряжение на конденсаторе меняется 2 2 по синусоидальному закону sin(t  закону 2U Cm cos( Tб    св     св  t   ) , где   , если t  )sin( 2 2 2 2 2  ) с «амплитудой», медленно изменяющейся по 2   св   св  t  ) . Возникают «биения» с частотой б  и периодом 2 2 2 2 . Постепенно вследствие малых, но конечных потерь, биения прекратятся и б переходной процесс закончится. При   0 кривая переходного тока (напряжения) будет иметь следующий вид: 3) Режим сверхнапряжений возникает, если  ñâ . Максимальное значение напряжения на конденсаторе в некоторый момент времени может в несколько раз превышать максимальное (амплитудное) значение напряжения в установившемся режиме, что может привести к пробою изоляции и нарушению работы измерительной аппаратуры. При определенной начальной фазе колебаний напряжения источника uC max  (1   )U Cmуст . св Также может возникать режим сверхтоков при условии св  и определенном соотношении начальных фаз установившихся колебаний и колебаний напряжения на источнике. 9.5. Операторный метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях Операторный Хэвисайдом, метод, существенно введенный упростил в электротехнику расчет английским переходных инженером процессов. Согласно операторному методу вместо описания процессов уравнениями во временной области используется их описание уравнениями в операторной области (области изображений Лапласа). Каждой функции времени f (t ) , называемой оригиналом, ставится в соответствие операторное изображение F ( p) , где p - некоторое комплексное число. Операции интегрирования и дифференцирования во временной области оригиналов заменяются чисто алгебраическими операциями над их изображениями в операторной области. Система дифференциальных уравнений для оригиналов переходит в систему алгебраических уравнений для оригиналов. После решения в операторной области по формальным правилам переходят к решению рассматриваемых переходных процессов во временной области. Для существования изображения F ( p) функция f (t ) должна удовлетворять условиям Дирихле и, кроме того, возрастать не быстрее, чем некоторая экспоненциальная функция, т.е. f (t )  Ae t , где А и α – положительные числа. Связь оригиналов и изображений Пусть f (t ) - некоторая функция. Интеграл Лапласа для этой функции определяется  выражением e  pt f (t )dt , где p - некоторое комплексное число. Полученную при  интегрировании функцию комплексного переменного F ( p)   e pt f (t )dt называют изображением функции f (t ) . Некоторые свойства изображений и оригиналов представлены в Таблице 9.2. Таблица 9.2 № Оригинал f (t ) 1 Линейность f1 (t )  f 2 (t ) 2 Дифференцирование Изображение F ( p) F1 ( p)  F2 ( p) pF ( p)  f (0) оригинала f (t ) Интегрирование оригинала 3 t  f (t )dt F ( p) p 4 Сдвиг оригинала f (t  a) e ap F ( p) Замечание. Соответствие изображения и оригинала принято обозначать в виде F ( p) f (t ) . В Таблице 9.3 приведены примеры некоторых изображений. Таблица 9.3 № Оригинал f (t ) Изображение F ( p) 1 А A p 2 Aet A p 3 Aet A p 4 t 1 p2 5 tet 1 6  p   sin t 2   p  2  2 7 cos t p  p  2  2 9.6. Законы Кирхгофа в операторной форме. Операторные схемы замещения. Операторный закон Ома. Первый закон Кирхгофа о равенстве нулю алгебраической суммы токов в узле в операторной области имеет вид: I k ( p)  0 . Второй закон Кирхгофа о равенстве алгебраической суммы ЭДС алгебраической сумме напряжений для контура в операторной форме: U k ( p)   Ek ( p) . В Таблице 9.4 представлены уравнения для резистора, конденсатора и катушки во временной и операторной области и соответствующие операторные схемы замещения элементов электрической цепи. Таблица 9.4 Временная область u(t )  Ri(t ) u (t )  L di dt i (t )  C du dt Операторная область U ( p)  RI ( p) U ( p)  pLI ( p)  Li(0) U ( p)  1 u (0) I ( p)  pC p 9.7. Расчет переходных процессов операторным методом Рекомендуется следующая методика расчета операторным методом: 1. Рассчитывается режим в цепи предшествующий коммутации, в результате находятся значения напряжений емкостных элементов и токов индуктивных элементов для момента t = 0–. 2. По известной топологии цепи, ее параметрам, найденным значениям токов iL(0–) и напряжений uC(0+), c помощью соответствующих схем замещений элементов цепи во временной и операторной областях (Таблица 5.4) составляется операторная схема замещения цепи. При этом операторные изображения Е(р) и J(р) функций e(t) J(t) источников находятся по таблице соответствия временных и операторных функций. 3. По операторной схеме с использованием известных методов расчета цепей находятся операторные токи и напряжения искомых переменных. 4. По найденным изображениям находятся оригиналы – переходные токи и напряжения во временной области. Пример 9.3. На вход последовательно соединенных R и L подается напряжение, закон изменения которого u(t )  U 0et , U0 = 100 В, α = 500 1/с. Параметры элементов цепи R = 5 Ом, L = 0,02 Гн. Найти ток после коммутации. Решение: Пользуясь Таблицей 9.3, Таблицей 9.4 составим эквивалентную операторную схему цепи после коммутации: Так как i(0 )  i(0 )  i(0)  0 , то I ( p)  U0 U ( p)  , где β = R/L = 250 R  pL L( p  )( p  ) 1/с. Воспользуемся справочной таблицей: i(t )  U0 [et  et ]=20(e250t  e500t ) A. L(  ) Пример 9.4. Составить операторную схему для расчета переходного процесса в цепи после коммутации. Найти операторное изображение U C1 ( p) . Решение: Пользуясь Таблицей 9.3, Таблицей 9.4 составим эквивалентную операторную схему цепи после коммутации, начальные условия: uC1(0+) = uC1(0–) = 50 B, uC2(0+) = uC2(0–) = 0. Применим формулу двух узлов для нахождения искомого изображения: u (0) 1 E  pC1 C1 [ E  pC1R1uC1 (0)](1  pC2 R2 ) R1 p p 50( p 2  950 p  19 104 ) U C1 ( p )    1 1 p[(1  pC1R1 )(1  pC2 R2 )  pC2 R1 ] p( p 2  1150 p  19 104 )  pC1  R1 R2  1/ pC2 Рассмотренные примеры показывают, насколько формально проще использовать операторный метод в сравнении с классическим в цепях небольшой размерности. Рассмотренная в первом примере задача вообще не решается классическим методом, так как очень сложно определить установившийся ток при экспоненциальном воздействии. Кроме того, при использовании операторного метода «некорректность» коммутации не проявляется, задача с некорректно поставленными начальными условиями (см. параграф 5.1) решается по обычному алгоритму. Однако, применение операторного метода становится не таким элементарным в части перехода от изображений к оригиналам. 9.8. Переход от изображения к оригиналу. Теорема разложения. Для перехода от изображения искомой функции F(p) к ее оригиналу f(t) можно использовать следующие три способа: 1. Непосредственное нахождение f(t) по таблице соответствия оригиналов и изображений. 2. Представление рациональной дроби изображения F ( p)  F1 ( p) am p m  am1 p m1  ...  a1 p  a0  . F2 ( p) bn p n  bn1 p n 1  ...  b1 p  b0 в случае n > m и различия всех корней pj, j = 1,2,…n полинома F2(p) F ( p)  An A1 A2   ...  , p  p1 p  p2 p  pn коэффициенты. f (t )  A1e p1t  A2e При p2t этом где Aj – искомая так функция называемые оригинал в виде неопределенные будет иметь вид  ...  Ane n . p t 3. Использование теоремы разложения. Находим корни полинома F2 ( p)  0 . Если все корни pj полинома F2(p) вещественные различные, то оригинал изображения F(p) имеет вид: F1 ( p j ) p j t e , где j 1 F2( p j ) n f (t )   F2( p)  dF2 ( p) . dp Если при этом один из корней F2(p), равен нулю, т.е. F2(p) = рF3(p) (для определенности первый р1 = 0), то f (t )  F1 (0) n 1 F1 ( p j ) p j t  e . F3 (0) j 2 p j  F3( p j ) Если F2(p) имеет n/2 пар комплексно-сопряженных корней (здесь n - четное число), n/2  F (p ) p t то f (t )   2 Re  1 j e j . j 1  F2( p j )  При наличии нулевого корня, т.е. F2(p) = рF3(p), f (t )   F (p ) p t F1 (0) n /2   2 Re  1 j e j  . F3 (0) j 2  p j  F2( p j )  В случае если корни полинома кратные (равные), формула разложения усложняется. В таком случае решение можно получить, сводя полученное изображение к табличным. Пример 9.5. Даны операторные изображения тока I(p). Определить закон изменения i(t). а) I ( p)  p4 ; p( p  10 p  34) 2 Решение: I ( p)  F ( p) p4  1 . Применим теорему разложения: p( p  10 p  34) pF3 ( p) 2 F3(p) = p 2 + 10 p + 34, корни F3(p) = 0, p 1,2 = –5 ± j3 1/с. i (t )   F (p ) pt F1 (0) F (p ) pt F ( p ) p t F (0)  1 1 e1  1 2 e2  1  2 Re  1 1 e 1  , F3 (0) p1 F3( p1 ) p2 F3( p2 ) F3 (0)  p1 F3( p1 )  F3( p)  2 p  10, F3( p1 )  10  j 6  10  j 6  6e j 90 , F1 (0) 4   0,118, F3 (0) 34 F1 ( p1 ) 5  j 3  4 1  j 3    0, 09e  j130,6 , p1 F3( p1 ) (5  j 3) j 6 (5  j 3) j 6 i (t )  0,118  2 Re[0, 09e  j130,6 e( 5 j 3) t ]  0,118  0,18e 5t Re[e j (3t 130,6 ) ]   0,118  0,18e 5t cos(3t  130, 6 )  0,118  0,18e 5t sin(3t  40, 6 ). б) I ( p)  0, 792 p  875 . p  2400 p  1, 44 106 2 Решение: I ( p)  F ( p) 0, 792 p  875  1 . 6 p  2400 p  1, 44 10 F2 ( p) 2 Корни F2(p) = p 2 + 2400 p + 1,44·106 = 0 , корни I ( p)  p1 = p2 = –1200 1/с (кратные). 0, 792 p 875  . Воспользуемся справочной таблицей 2 ( p  1200) ( p  1200)2 i(t )  0,792(1  1200t )e1200t  875te1200t  (0,792  75, 4t )e1200t . Пример 9.6. Определить uC1 (t ) переходного процесса примера 9.4. Решение: Операторное изображение напряжения на конденсаторе: u (0) 1 E  pC1 C1 [ E  pC1 R1uC1 (0)](1  pC2 R2 ) R1 p p U C1 ( p )    1 1 p [(1  pC R )(1  pC R )  pC R ] 1 1 2 2 2 1  pC1  R1 R2  1/ pC2 F ( p) 50( p 2  950 p  19 104 )   1 . 2 4 p( p  1150 p  19 10 ) pF3 ( p) Корни полинома F2(p)= pF3(p) = 0; p1 = 0. Определим ненулевые корни: F3(p) = p2 + 1150 p + 19∙104 = 0, корни вещественные различные: p2= – 200 с–1, p3 = – 950 с–1. Определяем оригинал uC1(t), применяя теорему разложения. При наличии нулевого корня: uC1 (t )  F (p ) p t F1 (0) F (p ) p t  1 2 e 2  1 3 e 3. F3 (0) p2 F3( p2 ) p3 F3( p3 ) F1 (0)  50 19 104   F3 (0)  19 104  F1 (0)  50 F3 (0) F1 ( p2 )  50[(200) 2  350(200)  19 104 ]  50  4 104   p2 F3( p2 )  (200)[2(200)  1150]  15 104  F1 ( p2 ) 200 104   13,3. p2 F3( p2 ) 15 104 F1 ( p3 )  50[(950) 2  950(950)  19 10 4 ]  9,5 105   p3 F3( p3 )  (950)[2(950)  1150]  7,15 105  6 F1 ( p3 ) 9,5 10   13,3. p3 F3( p3 ) 7,15 105 После подстановки: uC1 (t )  50  13,3e200t  13,3e950t B. 9.9. Переходные процессы при «некорректных» коммутациях В реальных электрических цепях изменения, к примеру параметров элементов, происходят в течение весьма малых, но конечных промежутков времени t . При расчете переходных процессов, замене реальных электрических цепей схемами замещения физическая картина упрощается. При использовании классического метода расчета полагают, что изменение параметров участков электрических цепей происходит мгновенно, т.е. t  0 . При этом согласно сформулированным законам коммутации токи в индуктивных элементах и напряжения на емкостных элементах скачком не меняются. Однако при скачкообразном изменении параметров L и C реактивных участков могут появляться «особые» разрезы и «особые» контура, что приводит к проблемам расчета таких «некорректных» задач, неполной адекватности схем реальным цепям. Пусть в момент t  0 происходит размыкание ключа. После коммутации составим уравнение по второму закону Кирхгофа: di ( L1  L2 )  i( R1  R2 )  E , закон изменения переходного тока определим классическим dt R R методом  1 2t E i(t )  iуст  iпрех (t )   Ae L1 L2 . R1  R2 Для определения постоянной интегрирования А необходимо определить значение тока в момент t  0 . По законам коммутации для тока в индуктивном элементе i(0 )  i(0 ) . До коммутации ток в первой катушке iL1 (0 )  E  iL1 (0 ) . При этом ток до коммутации во второй катушке был равен R1 нулю iL2 (0 )  0  iL2 (0 ) . Но вследствие последовательного соединения катушек после коммутации i(0 )  iL1 (0 )  iL2 (0 ) , при этом iL1 (0 )  iL2 (0 ) . Противоречие! Токи в первой и второй катушках изменились скачкообразно, что привело к появлению «бесконечно» больших напряжений на этих элементах. Это противоречие появилось в связи с «некорректно» поставленной задачей, так как при расчете полагали, что коммутация происходит мгновенно, что в реальных физических условиях невозможно. Как разрешить противоречие? Так как приложенное напряжение источника э.д.с. E конечно, конечными являются и напряжения на резисторах R1 и R2 , следовательно, конечной должна быть и сумма напряжений на катушках. В малый промежуток времени, когда происходит коммутация, т.е. 0  t  0 при скачкообразном изменении токов в катушках это условие может выполняться, только если uL1 (0  t  0 )  uL2 (0  t  0 ) или 0  L1 0 L1 diL1 dt diL1 dt 0   L2 dt (0 t  0 ) dt    L2 0 diL2 diL2 dt iL1 (0 )  dt или . Проинтегрируем это выражение: (0 t  0 ) L1di   iL1 (0 ) iL 2 (0 )  L2di . iL 2 (0 ) Тогда L1 iL1 (0 )  iL1 (0 )    L2 iL2 (0 )  iL2 (0 )  , ( L1  L2 )i(0 )  L1iL1 (0 )  L2iL2 (0 ) .   (0 )   (0 ) L1 E . Можно определить постоянную интегрирования  L1  L2  R1 Для нашей задачи i(0 )  A L1 E E  . При этом использовался обобщенный закон коммутации для  L1  L2  R1 R1  R2 потокосцеплений: для любого замкнутого контура суммарное потокосцепление после коммутации ( t  0 ) равно сумме потокосцеплений до коммутации ( t  0 ) всех входящих в контур катушек  (0 )  (0 ) . При этом катушки могут входить в замкнутый контур только после коммутации. Замечание 1. Предположение, что коммутация произошла мгновенно ( t  0 ) теоретически привело к тому, что напряжения на катушках приняли вид импульсов напряжений «бесконечно» iL1 (t )  iL2 (t )  iуст  iпрех (t )  большой амплитуды. Если после E  Ae pt , то R1  R2 для t  0 uL1 (t )  L1 diL1 для t  0 uL2 (t )  L2 diL2 dt dt   L1 pAe  pt , uL1 (0 )  0 , uL1 (0 )   L1 pA ;   L2 pAe pt , uL2 (0 )  0 , uL2 (0 )   L2 pA ; коммутации но для uL1 (0  t  0 )   и uL2 (0  t  0 )   . На рисунке показаны кривые напряжений на катушках с учетом возникновения импульсов «+∞» и «-∞», вызванных скачкообразным изменением токов в катушках. Однако интегралы этих импульсов за время 0  t  0 конечны и равны приращениям потокосцеплений 1 и  2 . Замечание 2. При идеализации процесса и использовании для определения постоянных интегрирования через обобщенный закон коммутации «нарушается» закон сохранения магнитной энергии: WM (0 )  WM (0 ) . В действительности возникающее большое напряжение между контактами ключа вызовет появление электрической искры или дуги, при этом часть энергии перейдет в теплоту. Кроме того, всякая катушка обладает распределенной емкостью между ее витками, также имеется емкость между расходящимися контактами ключа, поэтому в появляющемся колебательном контуре часть энергии излучается. Если учесть все энергетические процессы, то и условия неизменности токов в катушках и магнитной энергии нарушены не будут. При скачкообразном изменении емкости участка, например при переключении ключа из положения 1 в положение 2 (см. схему на рис. 9.10) нарушается закон коммутации для напряжений. Так до коммутации uC1 (0 )  E1 , uC 2 (0 )   E2 . Рис. 9.10 По закону коммутации для uC1 (0 )  E1  uC1 (0 ) , напряжений uC 2 (0 )   E2  uC 2 (0  ) . Но вследствие параллельного соединения напряжения на конденсаторах после коммутации должны быть равны, а в нашем примере uC1 (0 )  uC 2 (0 ) . Напряжение на конденсаторах меняется скачком, что приводит к появлению в ветвях с конденсаторами импульсов токов «бесконечно» большой амплитуды. Исходя из условия, что суммарный ток остается конечным, можно показать, что может быть применен обобщенный закон коммутации для зарядов: сумма зарядов до коммутации равна сумме зарядов после коммутации  Q(0 )  Q(0 ) .   Для нашего примера напряжение на конденсаторах в момент t  0 может быть определено из уравнений: C1uC1 (0 )  C2uC 2 (0 )  C1uC1 (0 )  C2uC 2 (0 ) , uC1 (0 )  uC 2 (0 )  uC (0 ) , тогда uC (0 )(C1  C2 )  C1E1  C2 ( E2 ) . Дальнейшее определение постоянных интегрирования при расчете переходного процесса классическим методом трудности не представляет. Замечание 3. При идеализации процесса и использовании для определения постоянных интегрирования через обобщенный закон коммутации «нарушается» закон сохранения электрической энергии: Избыток энергии переходит в теплоту при учете сопротивления контактов ключа, соединительных проводов, в энергию излучения колебательного контура при учете индуктивности соединительных проводов. Если учесть все энергетические процессы, то и условия неизменности напряжений на емкостных элементах и электрической энергии нарушены не будут. 9.10. Расчет переходных процессов в цепи при воздействии ЭДС произвольной формы с помощью интеграла Дюамеля Пусть к пассивной электрической цепи в момент времени t  0 подключается источник ЭДС (источник тока), напряжение (ток) которого меняется по произвольному закону, заданному аналитически или графически. Интеграл Дюамеля позволяет свести задачу расчета переходного процесса цепи с нулевыми начальными условиями, обусловленного ее подключением к источнику произвольной формы x(t) к задаче расчета ее соответствующей переходной функции h(t) и последующему нахождению искомой величины y(t) (т.е. реакции цепи на воздействие x(t)). Переходная функция и переходная проводимость Переходная функция h(t) - реакции цепи на единичную скачкообразную функцию воздействия. График единичного воздействия имеет вид: Математически единичное воздействие может быть определено следующим образом:  0, t  0 1(t )   . Если искомая реакция – ток, то переходная функция называется 1, t  0 переходная проводимость и обозначается g (t ) или Y (t ) . Переходная функция может быть рассчитана для цепи с заданной схемой любым методом (классическим или операторным), а может быть непосредственно измерена, если включение подобного источника осуществляется на реальной установке. Пример 9.7 Рассчитать переходную проводимость для RL - цепи и RC - цепи. Решение: Для RL -цепи определим переходную проводимость g (t )  iL (t ) 1(t ) : g (t )  R  t 1 (1  e L ) R . Для RC - цепи переходная проводимость Y (t )  iC (t ) 1(t ) и переходная функция h(t )  uC (t ) 1(t ) : h(t )  1(1  e g (t )   1 t RC ) 1 t 1  RC . e R Подключение пассивной цепи в момент времени t  0 к постоянному источнику Е можно рассматривать как действие скачкообразной ЭДС E (t )  E 1(t ) . Решение переходного процесса в таком случае может быть найдено как i(t )  E 1(t )  g (t ) или u(t )  E 1(t )  h(t ) . Если подключение источника происходит в момент времени t    0 , то решение может быть записано с введение аргумента с «задержкой»:  0, t   1(t   )   1, t    0, t   E (t   )   .  E, t   Импульсные возмущения и процессы Большой класс радиотехнических и электроэнергетических задач связан с исследованием процессов в электрических цепях при воздействии кратковременных внешних возмущений длительность которых сравнима с длительностью переходных процессов. Такие возмущения и процессы называют импульсными. При каждом воздействии импульса ЭДС в цепи возникает переходной процесс; по истечении времени действия импульсной ЭДС в цепи начинается другой переходной процесс, связанный с рассеянием энергии, накопленной за время импульса в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора. При воздействии импульса длительностью t1 можно использовать метод наложения. В простейшем случае прямоугольный импульс может быть рассмотрен как результат действия двух источников: напряжения U, включаемого в момент t = 0 и действующего неограниченно долго, и источника отрицательного напряжения равного –U, подключаемого в момент t = t1 и также действующего неограниченно долго: Решение при действии прямоугольного импульса длительностью t1 может быть найдено с использованием переходной проводимости: i(t )  U 1(t )  g (t )  (U ) 1(t  t1 )  g (t  t1 ) . На практике применяют импульсы разнообразной формы: треугольные, трапецеидальные, экспоненциальные и т.д. Использование формул Дюамеля при воздействии ЭДС произвольной формы. При нахождении решения переходного процесса (реакции y (t ) ) при действии источника произвольной формы x(t ) используют формулы Дюамеля, при веденные в Таблице 9.5. Таблица 9.5 Форма Выражение реакции Первая t y (t )  x(0)h(t )   x(t )h(t  )d Вторая t y (t )  x(0)h(t )   x(t  )h(t )d Третья t y (t )  x(t )h(0)   x(t )h(t  )d Четвертая t y (t )  x(t )h(0)   x(t  )h()d В таблице 9.5 x()  dx dh , h()  . dt t  dt t  Основная идея использования формул Дюамеля для расчета реакции цепи на сложное воздействие сводится к решению более простой задачи – расчету реакции на постоянное единичное воздействие и использование в дальнейшем принципа суперпозиции (наложения) для линейных цепей. Пусть задана воздействующая функция x(t). Заменим x(t) приближенной ступенчатой и введем  - текущее время 0    t , меняющееся дискретно с интервалом  . Если N число разбиений («ступенек»), то для k -го интервала   k  , k  0 N N , t   . i 1 Реакцию в момент времени t можно приближенно найти как сумму реакций на действие серии скачкообразных воздействий x , следующих друг за другом с интервалом  . Реакции в момент t  0 может быть определена через переходную функцию как x(0)  h(t ) , в момент t  как x  h(t  ) . t y (t )  x(0)  h(t )   x  h(t  ) . Просуммируем все Преобразуем реакции: выражение:  0 N y (t )  x(0)  h(t )   1 N   . Тогда x  h(t  )  . Точное решение можно получить при  x  x() ,  N  1   0 , т.е. t x  h(t  )    x()  h(t  )d  . Получаем решение с  t помощью формулы Дюамеля y (t )  x(0)h(t )   x(t )h(t  )d  (первая форма Таблицы 9.5). Если же воздействие x(t) описывается на двух временных интервалах времени разными выражениями  x (t ), x(t )   1  x2 (t ), 0  t  t1; t  t1 , то на первом интервале реакция цепи описывается любым выражением из Таблицы 9.5, а втором – соответствующим выражением Таблицы 9.6. Таблица 9.6 Форма Выражение реакции при t ≥ t1 t1 Первая y (t )  x1 (0)h(t )   x1( )h(t  )d  t   x2 (t1 )  x1 (t1 )  h(t  t1 )   x2 ()h(t  )d t1 Вторая y (t )  x1 (0)h(t )  t1  x1(t  )h( )d  t t1   x2 (t1 )  x1 (t1 )  h(t  t1 )  t t1  x2 (t  )h()d Третья t1 t t1 y (t )  x2 (t )h(0)   x1 ()h(t  )d   x2 ()h(t  )d t Четвертая y (t )  x2 (t )h(0)   x1 (t  )h()d  t t1 t t1  x (t  )h()d 2 Замечание: Если начальные условия на отдельных накопителях энергии окажутся ненулевыми, пользоваться формулами Дюамеля можно, используя определенный прием – «сведение к нулевым начальным условиям». 9. 11. Метод переменных состояния. Аналитические методы расчета переходных процессов Современные задачи анализа (расчета) переходных процессов предполагают анализ цепей большой размерности при действии источников, кривые токов и напряжений которых описываются разными функциями электротехнических сигналов. Большие размерности электрических цепей и соответственно их моделей обусловливают необходимость использования матричных методов анализа с употреблением математических программ для получения численного результата. Одним из матричных методов анализа переходных процессов сложных электрических цепей является метод переменных состояния, основанный на использовании двух матричных уравнений. Математические модели электрических цепей имеет смысл составлять относительно тех переменных, которые определяют запасы магнитной Wм  Li 2 Cu 2 и электрической Wэ  2 2 энергий, т.е. относительно тока iL катушки и напряжения uC конденсатора. Токи в индуктивных элементах iL и напряжения на емкостных uC называют переменные состояния. Действующие источники ЭДС и токов называют входными переменными, искомые переходные токи и напряжения – выходными переменными. При использовании метода переменных состояния вначале составляется уравнение состояния, запись которого представляет собой нормальную форму обыкновенного дифференциального уравнения x  Ax  f , f  B, x(0)=x0 . (1) Здесь x = x(t) = [x1(t) x2(t)…xn(t)]T – вектор-столбец переменных состояния xj, в качестве которых выбираются токи iLj индуктивных и напряжения uCj емкостных элементов, υ = υ(t)=[ υ1(t) υ2(t)… υm(t)] T – вектор-столбец э.д.с и токов источников тока цепи, А и В – соответственно nxn nxm-матрицы, коэффициенты которых выражаются через параметры накопительных и резистивных элементов. Второе уравнение связывает переменные состояния с искомыми переходными токами и напряжениями и входными переменными: y  Cx  D . (2) Здесь y = y(t) = [y1(t) y2(t)…yk(t)]T – вектор-столбец выходных переменных yj , С и D – соответственно nxk kxm –матрицы. Таким образом, метод переменных состояния должен включать: 1. алгоритм формирования уравнений (1) и (2) 2. алгоритм решения уравнений состояния как задачи Коши применительно к классу входных воздействий. Для составления уравнений состояния достаточно учесть, что производные x j (t ) весьма просто выражаются через напряжения индуктивных и токи емкостных элементов, а именно: diLj dt  uLj L , duCj dt  iCj C . Тогда для определения производных, т.е. производных diLj dt , duCj dt достаточно найти линейную связь между каждым из напряжений индуктивных элементов uLj, а также каждым током емкостных элементов iCj и всеми переменными состояния. Уравнения состояния можно формировать по специально разработанным алгоритмам. Наиболее целесообразен способ формирования уравнений состояния, основанный на использовании принципа компенсации и метода наложения. Накопители в цепях заменяют соответственно источником тока для индуктивного элемента J  iL (t ) и источником э.д.с для емкостного элемента e  uC (t ) . Полученные резистивные цепи эквивалентны исходным цепям, но описываются чисто алгебраическими уравнениями. Пример 9.8 Составить уравнение состояния цепи после коммутации Решение: Уравнение состояния x  Ax  B(t ) , i  Вектор-столбец переменных состояния x   L  , uC   diL   dt  вектор-столбец первых производных x   .  duC   dt  Вектор столбец входных воздействий (t )  e(t ) . Применим теорему компенсации, заменив накопители эквивалентными источниками: По методу наложения uL  uL L   uL C   uL  , iC  iC L   iC C   iC  . Частичные схемы: i u e i Напряжение на катушке по методу наложения: uL  L Ток в конденсаторе: iC  C duC 1  iL  uC  0 . dt R2 Уравнение состояния имеет вид:  diL    R1  dt   L    duC   1  dt   C 1   e(t )  L   iL     L . 1  uC     0   R2C   u e diL   R1iL  uC  e(t ) . dt