Моменты инерции тел различной формы

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТЕЛ, РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ В прошлый раз мы разбирали основные законы, описывающие вращательное движение твердых тел. Напомню их еще раз: Первый закон Ньютона (закон инерции). При отсутствии действующих моментов сил или, если все действующие на тело с закрепленной осью вращения моменты сил скомпенсированы, то тело будет равномерно вращаться сколь угодно долго. Закон говорит о том, как тело себя ведет, когда нет никакого действия. Если нет действия, то нет изменения движения тела. Второй закон Ньютона (закон действия). Угловое ускорение, сообщаемое телу с закрепленной осью вращения, прямо пропорционально действующему на него моменту силы и обратно пропорционально моменту инерции тела. Закон говорит о результате действия и определяет само действие – момент силы, вызывающее изменение вращательного движения тела. Момент инерции тела – это мера инертности тела при вращательном движении. Третий закон Ньютона (закон взаимодействия). При взаимодействии двух тел момент силы, с которым первое тело действует на второе, равен по величине и противоположен по направлению моменту силы, с которым второе тело действует на первое. Закон говорит о том, что действия самого по себе не бывает. Любое действие есть результат взаимодействия тел. Любые взаимодействия можно представить в виде суммы взаимодействий двух тел. Мы определили момент инерции тела, как сумму произведений массы всех элементов тела на квадрат расстояния от оси вращения до элемента массы: . В общем виде момент инерции тела , где M – масса тела, a – его характерный размер и k – коэффициент пропорциональности, зависящий от формы тела (распределения массы по объему) и от положения оси вращения. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА Пусть тело вращается вокруг некоторой оси, перпендикулярной плоскости рисунка. Момент инерции тела при вращении вокруг этой оси – J. Расстояние от оси до центра массы тела – rc. Делая оборот вокруг этой оси, тело совершает один оборот вокруг оси, ей параллельной и проходящей через центр массы тела. Исходное движение можно разбить на две компоненты. Первое – вращательное движение материальной точки, в которой сконцентрирована вся масса тела, и второе – вращение тела вокруг собственной оси. Первому соответствует момент инерции равный mrc2, второму – J0. Поэтому (теорема Штейнера). ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛ Используя теорему Штейнера, можно вычислять моменты инерции тел, которые могут быть разделены на себе подобные. Например, тонкий стержень может быть разделен пополам на два стержня. Пусть собственный момент инерции стержня , где M – масса стержня и a – его длина. Момент инерции целого стержня равен сумме моментов инерции его половинок . Собственный момент инерции половинки, имеющей массу M/2 и длину a/2, – . При вращении стержня вокруг собственной оси расстояние от центра массы стержня до центра массы половинки – a/4. Поэтому по теореме Штейнера . Тогда , и . Таким образом, момент инерции тонкого стержня при вращении вокруг перпендикулярной ему оси, проходящей через его середину равен . По теореме Штейнера не сложно посчитать, что при вращении вокруг конца момент инерции стержня . Вычисление моментов инерции тел можно производить и по исходной формуле . Для этого удобно делить тело на элементы такой формы, для которой момент инерции уже вычислен. При вращении вокруг оси x, расположенной в плоскости, плоские фигуры (пластины) удобно делить на элементы массы в форме стержня, перпендикулярного оси вращения. Если y(x) – функция, ограничивающая часть пластины, отрезанную осью, то для этой части пластины , где ρ – масса единицы площади пластины. Например, для тонкого диска с массой M и радиусом r при вращении вокруг диаметра ρ , , тогда . Делая замену переменных , , – . Используя формулы для синуса и косинуса двойного угла, несложно получить, что . Тогда . МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ Для вычисления моментов инерции тел вращения исходной является формула для момента инерции тонкого кольца с массой m и радиусом r – . Тогда тонкий диск можно разделить на тонкие кольца. Соответственно для диска с массой M и радиусом R масса единицы площади ρ , ρ и . Для цилиндра, как не трудно догадаться, момент инерции вычисляется по точно такой же формуле. Подобно тому, как пластины удобно делить на элементы массы в форме стержня, тела вращения удобно делить на элементы массы в форме диска. Тело вращения – это фигура, ограниченная поверхностью, получаемой при вращении непрерывной линии, начинающейся и заканчивающейся на оси вращения. Если эти две точки имеют координаты h1 и h2, а r(h) – функция, определяющая зависимость расстояния от линии до оси вращения от координаты, то ρ , где ρ – масса единицы объема тела. Тогда иρ . Например, для шара с массой M и радиусом R: , тогда , ,а . Таким образом, мы с вами рассмотрели, что такое момент инерции тела и какие существуют методы расчета моментов инерции тел. Используя теорему Штейнера удобно находить моменты инерции тел, которые могут быть разделены на себе подобные. Непосредственным интегрированием (по определению момента инерции тела) удобно пользоваться, когда тела легко разделить на элементы массы, для которых моменты инерции уже известны. Пластины удобно делить на элементы массы в форме стержня, тела вращения удобно делить на элементы массы в форме диска.