Моделирование дифференциальными уравнениями. Действие заданной внешней силы

Лекция 9. Моделирование дифференциальными уравнениями (продолжение). Построим иерархическую цепочку моделей для движения шарика, соединенного с пружиной (рис. 1). Последовательно введем новые усложняющие факторы и дадим их математическое описание. m '$ B B  B B  B B  B B  BB B  B  BB B  r=0B  r BB BB &% Рис. 1. 9.1. Действие заданной внешней силы. Пусть на шарик действует известная внешняя сила F (r, t), зависящая от времени и положения шарика. Она может порождаться полем тяготения, иметь электрическое или магнитное происхождение и т.д. Из второго закона Ньютона получаем, что по сравнению с базовой моделью колебаний d2 r m 2 = −kr dt (1) (см. Лекцию 8), в правой части уравнения (1) появится дополнительный член: d2 r m 2 = −kr + F (r, t). dt (2) 1) Простейший вариант уравнения (2) отвечает постоянной силе F (r, t) = F0 . Проведя замену re = r − F0 k , получаем для re d2 re m 2 = −ke r, dt т.е. постоянная сила не вносит изменений в процесс колебаний за тем исключением, что координата нейтральной точки, в которой сила, действующая на шарик равна нулю, сдвигается на величину F0 k . 2) Гораздо более сложная картина движения может порождаться зависящей от времени силой F (t). Рассмотрим для определенности периодическую 1 внешнюю силу F (t) = F0 sin w1 t: d2 r (3) m 2 = −kr + F0 sin w1 t. dt Общее решение линейного уравнения (3) находится как сумма общего решения r = B sin wt + C cos wt соответствующего однородного уравнения (см. формулу (6) в Лекции 8) и частного решения неоднородного уравнения (3), которое будем искать в виде r1 (t) = A sin w1 t. (4) Подставляя (4) в (3), находим A= F0 F0 = , k − mw12 m(w2 − w12 ) p где w = k/m – частота колебаний пружины в отсутствие внешних сил, или собственная частота системы. Тогда общее решение уравнения (3) имеет вид r(t) = B sin wt + C cos wt + F0 sin w1 t. − w12 ) m(w2 Итак, внешняя сила F (t) приводит не только к появлению в системе дополнительных колебаний с частотой w1 , но и к возникновению резонанса – неограниченному росту амплитуды колебаний при w1 → w. 9.2. Учет сил трения. В рассматриваемой системе силы трения могут появиться по крайней мере из-за двух причин. 1) Неидеальность поверхностей шарика и плоскости, по которой он движется. В этом случае сила трения равна F = k1 P , где k1 > 0 – коэффициент трения, P = mg – вес шарика. Сила всегда направлена против движения шарика (ее знак противоположен знаку скорости шарика v = т.е. F = −k1 mg sign v, где sign v =     1, v > 0, 0,    −1, v = 0, 2 v < 0. dr dt ), Движение шарика подчиняется уравнению d2 r m 2 = −kr − k1 mg sign v, dt (5) которое внешне похоже на уравнение (2) с постоянной силой F (r, t) = F0 . Однако из-за знакопеременности силы оно не сводится к стандартному уравнению колебаний. Таким образом, уравнения (1) и (5) описывают существенно разные процессы. Покажем, что амплитуда колебаний шарика в последнем случае уменьшается со временем. Действительно, умножив обе части (5) на v и учитывая, что v = dr dt , mv получим dv dr + kr = −k1 mgv sign v, dt dt или d  mv 2 r2  +k = −k1 mgv sign v. (6) dt 2 2 В левой части (6) под знаком производной стоит сумма кинетической и потенциальной энергии системы E(t) = Eк (t) + Eп (t), а правая часть (6) при v 6= 0 отрицательна. Тогда dE < 0, dt  dE v 6= 0 dt = 0,  v=0 , т.е. полная энергия E(t) убывает со временем. В моменты t достижения шариком максимальной амплитуды |rmax (t)| его скорость (и кинетическая энер2 гия Eк ) равна нулю. Тогда в эти моменты Eп (t) = k rmax2 (t) = E(t), и в силу убывания E(t) амплитуда |rmax (t)| – также убывающая функция времени. 2) Сопротивление среды, в которой движется шарик (воздух, вода и т.д.). В этом случае сила трения не постоянна, а зависит от скорости движения. Эта зависимость описывается формулой Стокса F = −µv = −µ dr , dt где коэффициент µ > 0 определяется размерами шарика, плотностью среды, ее вязкостью и т.д. Уравнение движения имеет вид m d2 r dr = −kr − µ . dt2 dt 3 (7) Его характеристическое уравнение mλ2 + µλ + k = 0 имеет корни λ1,2 = −α ± p α2 − w 2 , где µ α= , 2m • При малой вязкости, т.е. при α < w имеем λ1,2 r k . m √ = −α ± i w2 − α2 и w= общее решение уравнения (7) имеет вид −µt r(t) = e 2m (C1 cos w1 t + C2 sin w1 t), где w1 = √ w2 − α2 , а константы C1 и C2 находятся через r0 и v0 . В системе происходят затухающие со временем колебания с частотой w1 . • Если α = w, то λ1,2 = −α и общее решение уравнения (7) имеет вид −µt r(t) = e 2m (C1 t + C2 ). Константы C1 и C2 находятся из начальных условий r(0) = r0 и v(0) = v0 : r0 (0) = − r(0) = C2 = r0 , откуда C1 = v0 + µr0 2m µ C2 + C1 = v0 , 2m , C2 = r0 и r(t) = e −µt 2m   µr0  v0 + t + r0 . 2m В данном случае колебания отсутствуют благодаря подавляющему действию сил вязкого трения. Система может лишь один раз пройти точку r = 0, для чего необходимо и достаточно выполнения условий v0 < − µr0 , 2m r0 > 0 или v0 > − µr0 , 2m r0 < 0, т.е. начальная скорость шарика должна быть достаточно велика и направлена к точке r = 0. При этом скорость шарика v(t) = dr dt может менять знак лишь один раз. √ • Наконец, при большой вязкости, т.е. при α > w имеем λ1,2 = −α ± α2 − w2 < 0 и общее решение уравнения (7) имеет вид r(t) = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t . 4 Константы C1 и C2 находятся из начальных условий r(0) = r0 и v(0) = v0 : r(0) = C1 + C2 = r0 , r0 (0) = λ1 C1 + λ2 C2 = v0 , откуда r0 λ2 − v0 v0 − r0 λ1 , C2 = . λ2 − λ1 λ2 − λ1 Таким образом, r(t) → 0 при t → ∞. Действие силы трения настолько знаC1 = чительно, что для любых r0 , v0 шарик "застревает" в среде, односторонне приближаясь к точке r = 0 при t → ∞. Итак, движение в вязкой среде отличается большим по отношению к идеальной ситуации разнообразием, причем во всех случаях оно происходит с затуханием. Вывод: построенная иерархическая цепочка моделей системы "шарик – пружина" получается одна из другой при последовательном отказе от предположений, идеализирующих изучаемый объект. В одних случаях усложнение не вносит ничего нового в поведение системы (постоянная внешняя сила), в других ее свойства меняются существенно. Путь "от простого к сложному" дает возможность поэтапно изучать все более реалистичные модели и сравнивать их свойства. 5