Модель парной нелинейной регрессии

Лекция 6. МОДЕЛЬ ПАРНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ к.э.н., доцент Просвирина Мария Евгеньевна  Основные типы нелинейных функций  Оценивание параметров нелинейных моделей парной регрессии методом наименьших квадратов  Интерпретация параметров уравнений нелинейных моделей парной регрессии  Анализ взаимосвязи переменных нелинейной модели парной регрессии  Анализ относительного влияния фактора на результат  Анализ соответствия модели эмпирическим данным 2 В модели парной регрессии: функция f(Х) может быть и нелинейной Выделяют два класса нелинейных регрессий: • регрессии, нелинейные относительно включенной в анализ объясняющей переменной, но линейные по оцениваемым параметрам:  полином степени m –  равносторонняя гипербола –  логарифмическая функция – • регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам: степенная функция – показательная функция – экспоненциальная функция – 3 Для применения МНК для оценки параметров нелинейной регрессии необходимо выполнить ее линеаризацию так, чтобы трансформированное уравнение имело линейную форму относительно структурных параметров либо их некоторых функций Для регрессий, нелинейных относительно включенной в анализ объясняющей переменной, но линейных по оцениваемым параметрам, следует выполнить замену переменных Для регрессий, нелинейных по оцениваемым параметрам, сначала выполняется линеаризующее преобразование (логарифмирование), а затем выполняется замена переменных После выполнения указанных преобразований к полученным линейным уравнениям применяется метод наименьших квадратов, т.е. оцениваются параметры трансформированной модели, при этом все вычисления проводятся над значениями трансформированных переменных. После выполнения оценки параметров линеаризованной модели осуществляется переход от трансформированной модели к исходной через обратную замену переменных 4 Полином степени m Выполняется замена переменных: После замены переменных уравнение регрессии принимает вид: Это уравнение множественной линейной регрессии Равносторонняя гипербола Выполняется замена переменных: После замены переменных уравнение регрессии принимает вид: Логарифмическая функция Выполняется замена переменных: После замены переменных уравнение регрессии принимает вид: 5 Степенная функция Выполняется логарифмирование: Выполняется замена переменных: После замены переменных уравнение регрессии принимает вид: Показательная функция Выполняется логарифмирование: Выполняется замена переменных: После замены переменных уравнение регрессии принимает вид: Экспоненциальная функция Выполняется логарифмирование: Выполняется замена переменных: После замены переменных уравнение регрессии принимает вид: 6 Оцененные параметры уравнений парной нелинейной регрессии не все поддаются интерпретации. Однако для отдельных моделей интерпретация параметров возможна Полином степени m 𝒀 = 𝒃𝟎 + 𝒃𝟏 𝑿 + 𝒃𝟏 𝑿𝟐 + ⋯ + 𝒃𝒎 𝑿𝒎 - значение переменной Y при Х=0; - прирост значения переменной Y при увеличении значения переменной X на единицу (скорость роста); - скорость изменения скорости (ускорение роста); - изменение ускорения и т.д. Равносторонняя гипербола - значение переменной Y при неограниченном увеличении переменной Х (т.е. значение переменной Y при больших значениях переменной Х) ; - характеризует скорость приближения значения Y к значению Степенная функция - эластичность, т.е. показатель относительного влияния переменной Х на переменную Y 7 Тесноту связи изучаемых явлений (пары случайных величин X и Y) для нелинейных регрессий определяет индекс корреляции Индекс корреляции принимает значения в интервале от 0 до 1: . Чем ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь рассматриваемых случайных величин Замечание: если при выполнении линеаризации нелинейной функции выполняемые преобразования не затрагивают зависимую переменную Y (например, в уравнении равносторонней гиперболы), то значения линейного коэффициента корреляции между переменными в трансформированной модели и индекса корреляции совпадают 8 Для оценки значимости индекса корреляции проверяют нулевую гипотезу Н0: конкурирующей гипотезе Н1: при В качестве критерия проверки гипотезы о значимости индекса корреляции принимают случайную величину t: которая имеет распределение Стьюдента с (n-2) степенями свободы По таблице распределения Стьюдента при заданном уровне значимости α и числу степеней свободы (n-2) определяют критическую точку для двусторонней критической области Если /tнабл/tкр, - нулевая гипотеза отвергается, следовательно, индекс корреляции значим и между исследуемыми переменными существует достаточно тесная взаимосвязь 9 В качестве меры относительного влияния объясняющей переменной на объясняемую переменную используется коэффициент эластичности Коэффициент эластичности для нелинейной модели парной регрессии рассчитывается по формуле: где и – среднее выборочное значение Х и Y соответственно – значение производной функции f(X) в точке Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов в среднем изменяется значение переменной Y при изменении значения переменной Х на 1% Чем выше абсолютное значение коэффициента эластичности, тем сильнее влияние объясняющей переменной на объясняемую переменную Расчет коэффициентов эластичности и их интерпретация не для всех нелинейных моделей имеет смысл. Наибольший интерес представляет интерпретация коэффициента эластичности для степенной функции, для которой этот показатель равен значению 10 Показателем качества нелинейной модели парной регрессии является коэффициент детерминации: который показывает долю общей вариации зависимой переменной, объясненной независимой переменной Для парной нелинейной регрессии коэффициент детерминации равен квадрату индекса корреляции: 11 Для определения статистической значимости коэффициента детерминации R2 для нелинейной модели парной регрессии выполняется проверка гипотезы H0: R2=0 относительно альтернативной гипотезы H1: R2≠0. Для проверки этой гипотезы используется статистика, рассчитываемая по формуле: Эта статистика имеет распределение Фишера с k1=1, k2=n-2 степенями свободы. Из таблиц распределения Фишера для заданного уровня значимости α и для k1 и k2 степеней свободы определяется критическое значение Fкр Вычисленное по выборочным данным значение статистики Fнабл сравнивается с критическим значением Fкр. Если F < Fкр, то гипотеза H0 принимается, т.е. R2 незначим (несущественно отличается от нуля), следовательно, модель слабо адаптирована к эмпирическим данным и ее нельзя использовать для прогнозирования Если F > Fкр, то гипотеза H0 отклоняется, т.е. R2 значим (существенно отличается от нуля), следовательно, модель достаточно хорошо адаптирована к эмпирическим данным и ее можно использовать для прогнозирования 12 Запишите в общем виде модель парной регрессии. Дайте пояснения обозначений. Назовите два класса нелинейных регрессионных моделей. Запишите в общем виде модель парной регрессии – полином степени m. Дайте пояснения обозначений. 4. Запишите в общем виде модель парной регрессии – равносторонняя гипербола. Дайте пояснения обозначений. 5. Запишите в общем виде модель парной регрессии – логарифмическая функция. Дайте пояснения обозначений. 6. Запишите в общем виде модель парной регрессии – степенная функция. Дайте пояснения обозначений. 7. Запишите в общем виде модель парной регрессии – показательная функция. Дайте пояснения обозначений. 8. Запишите в общем виде модель парной регрессии – экспоненциальная функция. Дайте пояснения обозначений. 9. В чем состоит общий подход к оценке параметров нелинейной парной регрессии МНК. 10. Запишите в общем виде порядок приведения модели парной регрессии - полином степени m к линейному виду. Дайте пояснение обозначений. 1. 2. 3. 13 11. Запишите в общем виде порядок приведения модели парной регрессии – равносторонняя гипербола к линейному виду. Дайте пояснение обозначений. 12. Запишите в общем виде порядок приведения модели парной регрессии – логарифмическая функция к линейному виду. Дайте пояснение обозначений. 13. Запишите в общем виде порядок приведения модели парной регрессии – степенная функция к линейному виду. Дайте пояснение обозначений. 14. Запишите в общем виде порядок приведения модели парной регрессии – показательная функция к линейному виду. Дайте пояснение обозначений. 15. Запишите в общем виде порядок приведения модели парной регрессии – экспоненциальная функция к линейному виду. Дайте пояснение обозначений. 16. Запишите формулу для расчета индекса корреляции. Дайте пояснение обозначений. 17. Укажите диапазон, в котором принимает значения индекс корреляции. 18. Сформулируйте гипотезу для проверки статистической значимости индекса корреляции. Какие выводы могут быть сделаны по результатам проверки гипотезы? 19. Запишите формулу для расчета коэффициента эластичности для модели парной нелинейной регрессии. Дайте пояснение обозначений. 20. Дайте содержательную характеристику коэффициента детерминации. 21. Запишите формулу для расчета коэффициента детерминации. Дайте пояснение обозначений. 22. Сформулируйте гипотезу для проверки статистической значимости коэффициента детерминации. Какие выводы могут быть сделаны по результатам проверки гипотезы? 14