Множества и операции над ними

Тема 2. Множества и операции над ними Цель: овладеть навыками теоретико-множественного представления объектов реальной и абстрактной действительности. Задание: 1. изучить материал данной лекции; 2. сделать краткий конспект, который необходимо представить к зачету; 3. подготовиться к письменному опросу по данной теме; 4. подготовиться к контрольной работе по данной теме. Общие теоретические сведения Понятие «множество» является одним из основных понятий математики, не определяемых через другие. Это понятие можно рассмотреть на примерах. Например: • множество бананов, растущих на пальме; • множество студентов, обучающихся в ЛГУ им. А.С. Пушкина; • множество денежных знаков, находящихся в обороте у населения Российской Федерации; • множество треугольников; • множество двусложных слов в русском языке; • множество букв в немецком алфавите, или множество гласных букв в русском алфавите; • множество целых чисел; множество рациональных чисел. Определяющие признаки множества: • анализируются некоторые группы действительно существующие или абстрактные объекты или явления; • эти группы объектов или явлений могут быть показаны как единое целое; природа объектов или явлений, которая входит в множество, может быть различная, но объекты или явления одного множества должны быть одной природы; ◦ все объекты множества должны отличаться друг от друга. Множества в математике принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, …, Z. Объекты, которые составляют данное множество, называются элементами. Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z. Если элемент принадлежит к какому-либо множеству, то данная принадлежность записывается с помощью символа ∈ . Математическое выражение b ∈ B означает, что элемент b принадлежит множеству B, а выражение b ∉ B означает, что объект b не принадлежит множеству B. Существуют такие понятия как конечное, бесконечное, пустое и равные множества. Элементы конечного множества можно перечислить или оно выражается некоторым числом, а элементы бесконечного множества содержат бесконечное число элементов, которые нельзя сосчитать. Конечные множества можно перечислением и с помощью характеристического свойства. Бесконечные множества задаются только с помощью характеристического свойства. пример конечного множества: множество букв английского алфавита, множество студентов в аудитории, множество отличников в классе и т.д. пример бесконечного множества: множество звезд на небе, множество песчинок в пустыне, множество вещественных чисел и т.д. Мощность конечного множества - это количество элементов, которые принадлежат данному множеству, обозначается как m (A), что означает мощность множества А. Пустое множество - это такое множество, которое не содержит элементов. Мощность пустого равна 0. Пустое множество обозначается символом ø. пример пустого множества: множество людей, имеющих рост 3 см., вес 10 гр. и т.д. Равные (одинаковые) множества - это множества, состоящие из одних и тех же элементов, порядок записи которых не существенен, обозначается А=В. пример: А={1, 2, 4, 8, 10} и В={10, 1, 8, 2, 4} следовательно А=В Универсальное множество. Подмножество. Дополнение множества. Множество А называют подмножеством (или частью) множества В, если каждый элемент множества А является также элементом множества В (рис. 1). Рис. 1 - А⊂В Пустое множество - это подмножество любого множества, также любое множество является подмножеством самого себя. Универсальное множество - это множество, подмножество которого в данный момент рассматриваются. Обозначается заглавной латинской буквой E или U (рис.2). пример: E - множество букв русского алфавита, А - гласные буквы Рис. 2 - Е универсальное множество, А его подмножество. Дополнением множества А есть разница множеств Е\А. Обозначается А' или А, читается не А. пример: Е= {множество студентов в группе}; А= {множество студентов, сдавших математику}, тогда А'= {множество студентов, не сдавших математику}. Способы задания множества: • с помощью характеристического свойства. Характеристическое свойство - это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и которым не обладает ни один элемент не принадлежащий множеству. пример: А={х|х∈N, -3<х<5} • с помощью перечисления всех элементов множества. пример: А={1, 2. 10, 12} • с помощью описания свойств элементов множества. пример: А={множество гласных букв русского алфавита} Операции над множествами Пересечением множеств А и В называется множество С, которое состоит из всех элементов, принадлежащих каждому из данных множеств: С={х|х∈А и х∈В} (рис. 3). Обозначается А∩В. Рис. 3. Пересечение Объединением множеств А и В называется множество С, которое состоит исключительно из всех элементов данных множеств: С={х|х∈А или х∈В} (рис. 4). Обозначается А∪В. Рис. 4 Объединение Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат В: С={х|х∈А и х∉В} (рис. 5). Обозначается А\В. Рис. 5 А/В и В/А Симметричной разностью множеств А и В называется множество С, которое состоит из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, и всех элементов множества В, которые не принадлежат множеству А: С={х|х∈А и х∉В} или {х|х∉А и х∈В} (рис. 6). Обозначается АΔВ. Рис. 6 Симметричная разность Основные свойства операций над множествами 1. коммутативное: • А∩В = В∩А • А∪В = В∪А • (А∩В)∩С = А∩(В∩С) • (А∪В)∪С = А∪(В∪С) 2. ассоциативное: • А∩(В∪С) = (А∩В)∪(А∩С) • А∪(В∩С) = (А∪В)∩(А∪С) 3. дистрибутивное: • А∩(А∪В) = А • А∪(А∩В) = А 4. закон поглощения: • А∩А= А • А∪А= А • A  Ø  = A • A  Ø  = Ø • A  U = U • A  U = A 5. законы идемпотентности: • (А\В)\С = (А\С)\В • ( А∪В)\С = (А\ С)∪(В\С) • (А\ В)∩С = (А∩С) \ (В∩С) • А\ (В∪С) = (А\ В)∩(А\С) • А\ (В∩С) = (А\ В)∪(А\С) Разбиение множеств. Классификация Классификация - действие распределения объектов по классам. Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества. При этом считают, что множество разбито на классы Х1, Х2, …, Хn, …, если: 1) подмножества Х1, Х2, …, Хn, … попарно не пересекаются; 2) объединение подмножеств Х1, Х2, …, Хn, … совпадает с множеством Х. Если одно из условий не выполнено, то классификация считается неправильной. Классификация относится к такой операции над множествами как разбиение множеств. Наглядно эту операцию можно представить в виде разбитой тарелки. Кусочки разбитой тарелки не пересекаются, и при соединении их вновь получается «целая» тарелка. Формула включений и исключений конечных множеств. Если A и B -  конечные множества, то число элементов множества A будем обозначать m(A) и называть численностью множества A. Определим численность объединения множеств A и B.  Если множества A и B не пересекаются, то m(AB) = m(A) + m(B). Следовательно, численность объединения конечных непересекающихся множеств будет равна сумме численностей этих множеств. Если множества A и B пересекаются, то в сумме m(A) + m(B) число элементов пересечения AB содержится дважды: один раз в m(A),а другой - в m(B). Значит для того, чтобы найти численность объединения m(AB), требуется из указанной суммы вычесть m(AB).  Следовательно: m(AB) = m(A) + m(B) - m(AB) Определим теперь численность разности множеств A и B.  Если множества A и B не пересекаются, то A \ B = A, и поэтому m(A\B) = m(A). Если множества A и B пересекаются, то m(A\B) = m(A) - m(AB). Если В  А, то AB = B, и, следовательно, m(A\B) = m(A) - m(B). Решение задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна и формулы включения и исключения конечных множеств: пример: В 4-х классах всего 70 учеников. Из них 27 ходит на театральный кружок, 32 - в хор, 22 занимаются волейболом. В театральном кружке 10 учеников из хора, в хоре 6 учеников, которые занимаются волейболом, на театральный ходят 8 волейболистов. Театральный кружок и хор посещают 3 волейболиста. Найти сколько учеников не посещают ни одного кружка. решение: Пусть Е - множество всех учеников в 4-х классах; А - множество учеников, которые ходят на театральный кружок; В - множество учеников, посещающих хор; С - множество учеников, занимающихся волейболом. m(A)=27, m(B)=32, m(C)=22, m(E)=70, m(A∩B)=10, m(A∩C)=8, m(B∩C)=6, m(A∩B∩C)=3. 1) 10-3=7 - учеников ходят только на театр. кружок и на хор 2) 8-3=5 - учеников ходят только на театр. кружок и на волейбол 3) 6-3=3 - учеников ходят только на хор и волейбол 4) 27-(7+3+5)=12 - учеников посещают только театральный кружок 5) 32-(7+3+3)=19 - учеников посещают только хор 6) 22-(5+3+3)=11 - учеников посещают только волейбол 7) 70-(12+19+11+7+5+3)=10 учеников не посещают ни одного кружка. Декартово произведение множеств Декартовым произведением множеств А и В называют множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая - множеству В. А × В = {(x; y) | x∈A и y∈B} пример: Проверить справедливость равенства А×С=(А× (С \ В))   (А× (С  В)), если А={1,2}, В={2,3}, С={1,3}. решение: 1) А×С = {1,2}×{1,3}={(1,1);(1,3);(2,1);(2,3)}. 2) С \ В = {1,3}\{2,3}={1}; 3) А× (С \ В) = {1,2}×{1}={(1,1);(2,1)}; 4) С  В = {1,3}{2,3}={3}; 5) А× (С  В) = {1,2}×{3}={(1,3);(2,3)}; 6) 35 = {(1,1);(2,1)}  {(1,3);(2,3)}= {(1,1);(1,3);(2,1);(2,3)}. Равенство справедливо. Наглядно представить декартово произведение можно с помощью графа или таблицы (в случае, если множества конечны и содержат небольшое число элементов), а также координатной плоскости. пример: А={1,3,5} и В={5,8} найти А×В с помощью графа: табличный способ: А В 5 8 1 (1,5) (1,8) 3 (3,5) (3,5) 5 (5,5) (5,8) на координатной плоскости: у 8 * * * 5 * * * 0 1 3 5 х Так как нам надо найти А×В, то элементы множества А отметим на оси Ох, а элементы множества В на оси Оу. Звездочками обозначены координаты декартова произведения. Представление декартова произведения множеств с помощью координатной плоскости целесообразно использовать в случаях, когда хотя бы одно из множеств является бесконечным.