Минимально-фазовые и неминимально-фазовые звенья

5. Минимально фазовые и не минимально фазовые звенья Передаточную функцию звена (системы автоматического управления) можно преобразовать, разложив на множители полиномы ее числителя и знаменателя. Конечно, если известны корни уравнений (нули) и (полюса). . Если в передаточной функции произвести замену , то получаем , называемое частотной характеристикой звена (частотный, комплексный коэффициент передачи звена, АФХ). Общая фаза выходного сигнала звена будет складываться из частичных фаз, определяемых каждым двучленом числителя и знаменателя. Об этом будет более подробно в соответствующем разделе ниже. Корни полиномов числителя и знаменателя можно изобразить на плоскости. Комплексная плоскость корней и : Отсюда: 1. Корень расположен в правой полуплоскости, то есть Repe0 . 2. Корень расположен в левой полуплоскости, то есть Repk0 . 3. Углы наклона векторов и таковы, что ke, причем , . Звено, у которого все корни (полюса и нули) расположены в левой полуплоскости (являются левыми) называется минимально фазовым звеном. Если хотя бы один из корней звена расположен справа, то такое звено - не минимально фазовое звено. У минимально фазовых звеньев существует однозначная зависимость между их частотными характеристиками. То есть, располагая одной частотной характеристикой, можно построить остальные. Другими словами, в любой частотной характеристике заключена вся информация о поведении звена. Неустойчивые звенья - всегда не минимально фазовые. 6 Типовые звенья. Характеристики звеньев Все многообразие звеньев может быть по математическому описанию представлено лишь несколькими характерными (типовыми) звеньями. Минимально фазовые звенья: 1. идеальное усилительное звено (пропорциональное безинерционное, усилительное, звено нулевого порядка); 2. реальное усилительное звено (апериодическое, инерционное первого порядка); 3. идеальное дифференцирующее звено; 4. реальное дифференцирующее звено; 5. идеальное интегрирующее звено (интегратор); 6. идеальное форсирующее звено; 7. звенья второго порядка: - апериодическое (вообще-то это комбинация двух апериодических звеньев первого порядка); - колебательное; - консервативное. Идеальное усилительное звено Это делитель напряжения, реостат - идеальное звено, если пренебречь его индуктивностью. Получим частотные характеристики идеального усилительного звена. Заменяем в передаточной функции : ; Тогда ВЧХ и МЧХ звена будут определяться как ; ; Фазо-частотная характеристика ФЧХ звена: ; Амплитудно-частотная характеристика АЧХ: ; Логарифмическая амплитудная (амплитудно-частотная) характеристика ЛАХ звена: . Переходная характеристика ℒ. Весовая функция (импульсная переходная характеристика) . Все характеристики идеального усилительного звена изображены на рисунках: В электромеханических системах типичным примером идеального усилительного (безинерционного) звена является датчик – преобразователь скорости вращения в напряжение – тахогенератор. Реальное усилительное звено Математические модели данного звена имеют вид: дифференциальное уравнение: ; соответствующая ему передаточная функция: ; частотные характеристики: - АФЧХ; - ВЧХ; - МЧХ; причем , . Следовательно, (АФЧХ) располагается в четвертом квадранте координатной плоскости. Кроме того (выполнили деление). Если подставить в , то получим , откуда после преобразований: ;  ;  . Имеем окружность радиусом , сдвинутую на вправо по оси абсцисс. Можно утверждать, что АФЧХ расположена, как показано на рис.: Амплитудно-частотная характеристика реального усилительного звена имеет вид: Фазо-частотная характеристика: , причем , . На графиках представлены все полученные зависимости: Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАХ): . Для ее построения выполним исследования. а) Зона низкой частоты. Н.Ч. , . б) Зона высокой частоты. В.Ч. , ; ; Наклон характеристики в области высоких частот . Изображенная на рис. логарифмическая характеристика в виде кусочно-ломаной линии называется асимптотической ЛАХ. Определим погрешность в точке  = 1/T. . Это соответствует ошибке по коэффициенту усиления в раз. Но ошибка с изменением частоты быстро уменьшается (смотри на рисунок). Значит, имеет смысл пользоваться асимптотическими характеристиками. Для определения переходной характеристики звена можно выполнить обратное преобразование Лапласа: ℒ. Также можно было воспользоваться и формулой Хэвисайде. Весовая функция реального усилительного звена: . По переходной характеристике h(t) можно определить характеристики звена (постоянную времени и коэффициент усиления). Аналогично те же величины можно определить и из весовой функции звена Идеальное дифференцирующее звено Дифференциальное уравнение, передаточная функция и АФЧХ звена имеют вид: ; . ВЧХ, МЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАХ звена соответственно равны: ; ; ; ; . Ниже представлены графики этих зависимостей: Переходная характеристика и весовая функция звена равны: ℒℒℒ; . Примеры дифференцирующих звеньев: 1) 2) . y = Ic ; x = Uc . 3) ; . y = UL ; x = IL . Во всех трех случаях имеет место идеальное дифференцирование. Дифференцирующие звенья - лучшее средство коррекции! Реальное дифференцирующее звено Дифференциальное уравнение и передаточная функция такого звена имеют вид: . Примером реального дифференцирующего звена может служить RC - цепочка: с передаточной функцией . Амплитудно-фазовая частотная характеристика реального дифференцирующего звена: ; ВЧХ и МЧХ: Причем, при , . Вся АФЧХ расположится в первом квадранте. Так же, как для апериодического звена, можно показать, что это уравнение окружности. АЧХ: ; ЛАХ: Для построения ЛАХ рассматриваются две частотные области - низкочастотная и высокочастотная: Н.Ч.: ; В.Ч.: . ФЧХ: Переходная характеристика: ℒ; Весовая функция:. Это звено также опережающее и его можно применять для коррекции. Интегрирующее звено Данному звену соответствует интегральное уравнение и передаточная функция . Ниже приведены частотные характеристики интегрирующего звена. АФЧХ:; ВЧХ: ; МЧХ: ; АЧХ: ; ФЧХ: ; ЛАХ: . Построение их не вызывает сложностей. ЛАХ интегрирующего звена изображена на рисунке: Форсирующее звено Данное звено используется в системах автоматического управления для целей коррекции. Его передаточная функция имеет вид: ; Частотные характеристики: АФЧХ: ; ВЧХ: ; МЧХ: ; ФЧХ: ; ; при . АЧХ: . ЛАХ: ; Для построения ЛАХ форсирующего звена рассматриваются области низких частот НЧ и высоких частот ВЧ: НЧ: ; ; ВЧ: ; . Точка пересечения ЛАХ оси ординат определяется как: . Звенья второго порядка. Передаточные функции Математически модели данных звеньев могут быть представлены дифференциальным уравнением и передаточной функцией . В зависимости от величины коэффициентов это звено может быть апериодическим второго порядка, колебательным, либо консервативным. Примером звена второго порядка является RLC-цепочка: Получим передаточную функцию RLC-цепочки. На основании законов Кирхгофа имеем: ; ; . Далее, после соответствующих подстановок и преобразований, получаем дифференциальное уравнение в операторной форме: и передаточную функцию: . где постоянные времени . Другим примером может служить двигатель постоянного тока независимого возбуждения Если составить уравнение якорной цепи и уравнение движения: , ; , то можно получить передаточную функцию: где . В зависимости от постоянных времени Тм и Тя двигатель может являться либо колебательным, либо апериодическим звеном второго порядка: Если , то звено апериодическое 2 порядка; Если , - колебательное звено; Если , - граничный случай. Представим передаточную функция звена второго порядка в виде: где ; . Характеристическое уравнение (смотри знаменатель передаточной функции): , корни которого: . 1. Если постоянные таковы, что , то корни . Такому звену соответствует апериодическое движение 2 порядка. Передаточная функция трансформируется к виду: . 2. Если , тогда корни - движение колебательное. 3. Если - граничный случай: . 4. Если , - консервативное звено. Физически это означает, что в данном звене отсутствует рассеяние энергии. При этом . Передаточную функцию колебательного звена можно привести к виду: , где - частота собственных, недемпфированных колебаний (при ). , откуда , - коэффициент затухания. 1) 0 < <1 - звено колебательное. 2)  > 1 - апериодическое звено. Частотные характеристики звеньев второго порядка АФЧХ: ВЧХ: ; МЧХ: ; АЧХ: ; ЛАХ: . Ниже приводится изображение частотных характеристик Для построения логарифмической амплитудной характеристики рассматриваются области частот: Н. Ч. ; . В. Ч. ; ; . Асимптотической ЛАХ пользоваться нельзя. Очень велика погрешность. При =1 она составляет 6 дб. На практике пользуются нормированными кривыми поправок (добавок). ФЧХ: , , при  < 1/T1, при  > 1/T1. ЛФХ: Логарифмическую фазовую характеристику, как и амплитудную, также можно брать нормированную (из соответствующего справочника): Переходная характеристика звена: ℒ-1. Весовая функция звена определяется путем дифференцирования переходной характеристики.