Метрология, стандартизация и сертификация

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный индустриальный университет» Институт информационных технологий и автоматизированных систем Кафедра автоматизации и информационных систем Лекции по дисциплине: «Метрология, стандартизация и сертификация» 2019 Лекция 1. Взаимосвязь метрологии, стандартизации и сертификации Основной целью работы любой организации (производства) является выпуск качественной продукции. Продукцией может быть товар, услуга, подготовленный специалист, научно обоснованная идея, профессионально оформленный документ и т. п. Международный стандарт ИСО 8402 определяет относящихся как качество к его «совокупность способности характеристик удовлетворять объекта, обусловленные или предполагаемые потребности». Термином «объект» здесь обозначено все, что может быть индивидуально рассмотрено и описано, т. е. товар (изделие), услуга, процесс, система. Сегодня все большее признание находит концепция всеобщего управления качеством TQM (Total Quality Management), главным принципом которой является стратегическая ориентация на потребителя. Управление качеством базируется на тройственном союзе метрологии, стандартизации и сертификации (подтверждении соответствия). Управление качеством невозможно представить без контроля над качеством, который основывается на учете многочисленных результатов измерений параметров технологического процесса и самого изделия. Измерения, методы и средства обеспечения их единства, а также способы достижения необходимой точности измерений изучает наука, называемая метрологией. Принципы метрологии реализуются в деятельности по обеспечению требуемого качества измерений, в первую очередь их единства, достоверности и прецизионности. Одной из ветвей метрологии является квалиметрия, предмет которой — количественная оценка качества продукции. Российские предприятия и организации приступили к разработке и внедрению систем качества на основе пакета международных стандартов ИСО серии 9001. В этих стандартах метрология представлена важнейшим звеном, объединяющим методическую и техническую составляющие измерения, контроля и испытания. Закон Российской Федерации «Об обеспечении единства измерений» (1993) относит испытания и контроль качества продукции к сфере распространения государственного метрологического контроля и надзора. Метрология создает информационную и техническую основу для управления качеством. Нормативную Стандартизация базу — систем качества деятельность, составляют направленная стандарты. на достижение упорядоченности в сферах производства и обращения продукции и повышение конкурентоспособности работ (услуг) посредством установления правил и характеристик для их добровольного многократного использования. Закон Российской Федерации «О техническом регулировании» (2003) определяет следующие цели стандартизации: ■ повышение уровня безопасности жизни и здоровья граждан, имущества всех форм, экологической безопасности, безопасности жизни и здоровья животных и растений; ■ повышение уровня безопасности объектов; ■ обеспечение научно-технического прогресса; ■ рациональное использование ресурсов; ■ техническая и информационная совместимость (пригодность к совместному использованию разных объектов, не вызывающая нежелательных последствий); ■ сопоставимость результатов измерений и испытаний, технических и экономико-статистических данных; ■ обеспечение взаимозаменяемости продукции (возможности использования одного объекта для эквивалентной замены другого объекта). Постоянное усложнение продукции и рост разнообразия услуг, проблемы защиты интересов приобретателей и контроля безопасности продукции, работ и услуг выявили необходимость в гарантиях соответствия их качества заявленным нормам. Упоминавшийся выше закон «О техническом регулировании» определяет подтверждение соответствия как документальное подтверждение соответствия продукции, процессов производства, эксплуатации, хранения, перевозки, реализации и утилизации, выполнения работ или оказания документов. Подтверждение услуг соответствия требованиям нормативных осуществляется в формах принятия декларации о соответствии, добровольной или обязательной сертификации. Положительным результатом процедуры подтверждения соответствия является документ: декларация о соответствии или сертификат соответствия. Наличие такого документа практически означает допуск товара на рынок. Объектами процедуры подтверждения соответствия служат: продукция производственно-технического и потребительского назначения, работы, услуги, системы качества. Три «кита», на которых базируется управление качеством, тесно взаимосвязаны. Метрология и стандартизация возникли практически одновременно и развивались параллельно. Когда в какой-либо стране утверждался достаточно сильный государственный аппарат, он брал под свой контроль национальные единицы измерения и меры, их материализующие. Тогда же возникала необходимость в установлении единых норм и правил, т. е. в создании нормативных документов, в том числе стандартов. Реализация требований стандартов неизбежно связана с выполнением измерений. С другой стороны, метрология насквозь пронизана стандартизацией. Стандартизованы единицы измерений и правила их применения, методы передачи размеров единиц от государственных эталонов и установок высшей точности парку рабочих средств измерений. Деятельность метрологических служб регламентирована стандартами Государственной системы обеспечения единства измерений (ГСИ). Система сертификации опирается на единство измерений в стране, поскольку в процессе реализации процедуры подтверждения соответствия проводится проверка выполнения требований стандартов и других нормативных документов, которые, как правило, содержат метрологические нормы. Каждое средство измерений должно иметь либо сертификат утверждения типа, либо сертификат соответствия. В России действуют два десятка систем обязательной сертификации, объединенных в национальную Систему сертификации ГОСТ Р. Порядок обращения с образцами продукции, используемыми при проведении испытаний, оформления и регистрации сертификатов соответствия, маркировки продукции знаком соответствия определяется государственными стандартами. Одним из последствий вступления в силу закона «О техническом регулировании» является существенная перестройка трех российских государственных систем — системы обеспечения единства измерений, системы стандартизации и системы сертификации. Изменения, которые должны быть внесены, сблизят указанные национальные системы с соответствующими международными системами и облегчат вступление России во Всемирную торговую организацию. Тесные и многогранные взаимосвязи метрологии, стандартизации и подтверждения соответствия, в том числе в обеспечении качества продукции и услуг, обусловили по крайней мере два результата. Во-первых, формирует и реализует государственную политику во всех трех направлениях единый орган исполнительной власти — Федеральное агентство по техническому регулированию и метрологии в составе Министерства промышленности и энергетики Российской Федерации (до мая 2004 г. эти функции исполнял Государственный комитет РФ по стандартизации и метрологии — Госстандарт России). образовательными Во-вторых, стандартами в в соответствии учебных с планах действующими для многих специальностей вузов предусмотрена учебная дисциплина «Метрология, стандартизация и подтверждение соответствия». Пособие дает представление обо всех разделах метрологии — теоретическом, законодательном и прикладном. Наибольшее внимание уделено актуализации базовых метрологических терминов, рассмотрению сферы распространения современной метрологии и ее места в системе наук. Подробно описаны измеряемые свойства и шкалы измерений. Отдельная глава посвящена неопределенности результата измерения и ее соотношению с погрешностью. Приведен актуальный справочный материал по используемым в метрологии фундаментальным физическим константам, эталонной базе Российской Федерации, единицам Международной системы единиц. Разделы, подробно рассматриваемые в учебной литературе по метрологии, изложены в данном пособии относительно кратко. Пособие написано государственного группой института преподавателей электронной техники Московского (технического университета). Коллектив авторов выражает искреннюю признательность сотрудникам отдела общих и теоретических проблем метрологии Всероссийского научно-исследовательского института физико-технических и радиотехнических измерений (ВНИИФТРИ): главному метрологу А. С. Дойникову, Л.Н. Брянскому и Б.Н. Крупину за неоценимую помощь в работе над пособием. Авторы благодарят заведующего кафедрой «Измерительные информационные системы и технологии» Московского государственного технологического университета «СТАНКИН» профессора В.И. Телешевского за ценные советы, высказанные при рецензировании пособия. Благодарность авторов заслуживают также студенты МИЭТ П. Демченко и В. Мазалов за создание электронного аналога пособия. Лекция 2. ИЗМЕРЕНИЕ. ВЕЛИЧИНЫ. ВИДЫ ИЗМЕРЕНИЙ Метрология – наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства, и способах достижения требуемой точности. Измерения – один из важнейших путей познания природы человеком. Наука и промышленность не могут существовать без измерений. Каждую секунду в мире производятся многие миллиарды измерительных операций, результаты которых используются для обеспечения надлежащего качества и технического уровня выпускаемой продукции, обеспечения безопасной и безаварийной работы транспорта, для медицинских и экологических диагнозов и других важных целей. В практической жизни и человек имеет всюду дело с измерениями. На каждом шагу встречаются и известны с незапамятных времен измерения таких величин, как длина, объем, вес, время и др. Измерения являются инструментом познания объектов и явлений окружающего мира. Объектами измерений являются физические объекты и процессы окружающего нас мира. Вся современная физика может быть построена на семи основных величинах (рисунок 1), которые характеризуют фундаментальные свойства материального электрического мира. тока, К ним относятся: длина, термодинамическая масса, температура, время, сила количество вещества и сила света. Основное понятие метрологии – измерение. Измерение – это нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств. Измерение – совокупность операций по применению системы измерений для получения значения измеряемой физической величины. Измерение – познавательный процесс, заключающийся в сравнении путем физического эксперимента данной величины с известной физической величиной, принятой за единицу измерения. Измерение – экспериментальный процесс установления соответствия между значением измеряемой физической величины и некоторыми константами, принятыми за единицу измерения. ВЕЛИЧИНЫ РЕАЛЬНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ (ИЗМЕРЯЕМЫЕ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ) ИДЕАЛЬНЫЕ НЕФИЗИЧЕСКИЕ (ОЦЕНИВАЕМЫЕ) МАТЕМАТИЧЕСКИЕ Рисунок 1 – Классификация величин Идеальные величины главным образом относятся к математике, являются обобщением (моделью) конкретных реальных понятий и вычисляются тем или иным образом. Реальные величины делятся на физические и нефизические. Физическая величина определяется как величина, свойственная материальным объектам (процессам, явлениям), изучаемых в естественных (физика, химия) и технических науках. К нефизическим следует отнести величины, присущие общественным (нефизическим) наукам – философии, социологии, экономике и т.д. Виды измерений (рисунок 2) определяются физическим характером измеряемой величины, требуемой точностью измерения, необходимой скоростью измерения, условиями и режимом измерений и т.д. Рисунок 2 – Классификация видов измерений Прямые измерения – это измерения, при которых искомое значение величины находят непосредственно по показаниям средства измерения (масса, измеряемая при помощи весов, измерение длины линейкой, температуры – термометром, силы тока – амперметром и т.д.). Уравнение прямого измерения имеет вид: 𝒀𝒀 = 𝑪𝑪𝑪𝑪, (1) где Y – значение измеряемой физической величины, С – цена деления, x – отсчет по индикаторному устройству в делениях шкалы. Косвенные измерения – это измерения, при которых значение измеряемой величины находят на основании известной зависимости между ней и величинами, найденными прямыми измерениями, которые проводились в одинаковых условиях (измерение объема параллелепипеда по результатам прямых измерений трех линейных величин: длины, ширины и высоты; измерение плотности по результатам прямых измерений массы и объема; измерение активного электрического сопротивления по результатам прямых измерений напряжения и силы электрического тока). Уравнение косвенного измерения имеет вид: 𝒀𝒀 = 𝒇𝒇(𝑪𝑪𝟏𝟏 , 𝑪𝑪𝟐𝟐 , … , 𝑪𝑪𝒏𝒏 ), (2) где 𝑥𝑥𝑖𝑖 – i – й результат прямого измерения. Совокупные измерения – это измерения нескольких одноимённых величин, проводимые одновременно, при которых их искомые значения находят решением системы уравнений, получаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин. Совместные измерения – это измерения двух или нескольких неодноименных величин, проводимые одновременно, для установления зависимости между ними. Однократными называются измерения, выполненные один раз, а многократными – измерения одного и того же размера физической величины, следующие друг за другом. Сложный процесс измерения включает в себя взаимодействие целого ряда его структурных элементов, в числе которых измерительная задача, объект измерения, принцип, метод и средство измерения и его модель, условия измерения, субъект измерения, результат и погрешность измерения. В частности, метод измерения должен по возможности иметь минимальную погрешность и способствовать исключению систематических погрешностей или переводу их в разряд случайных (об этом будет сказано ниже). Он реализуется в средстве измерений. Средство измерений (СИ) – техническое средство, используемое при измерениях и имеющее нормированные метрологические свойства. Лекция 3. ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ При практическом использовании тех или иных измерений важно оценить их точность. Качество средств и результатов измерений принято характеризовать, указывая их погрешности. Введение понятия «погрешность» требует определения и четкого разграничения трех понятий: истинного и действительного значений измеряемой физической величины и результата измерения. Истинное значение физической величины – это значение, идеальным образом отражающее свойство данного объекта как в количественном, так и в качественном отношении. Оно не зависит от средств нашего познания и является той абсолютной истиной, к которой мы стремимся, пытаясь выразить ее в виде числовых значений. На практике это абстрактное понятие заменяют понятием «действительное значение». Действительное значение физической величины – это значение, найденное экспериментально и настолько приближающееся к истинному, что для данной цели оно может быть использовано вместо него. Результат измерения – это приближенная количественная оценка истинного значения величины, найденного путем измерения. Термин «точность измерения», т.е. степень приближения результатов измерения к некоторому действительному значению, не имеет строгого определения и используется для качественного сравнения измерительных операций. Для количественной оценки используется понятие «погрешность измерений». Причем чем меньше погрешность, тем выше точность. Погрешность измерений – это отклонение значений величины, найденной путем ее измерения x, от истинного (действительного) 𝑪𝑪и (𝑪𝑪д ) значения измеряемой величины: ∆𝑪𝑪изм = 𝑪𝑪 − 𝑪𝑪д . (3) Погрешность прибора – это разность между показаниями прибора и истинным (действительным) значением измеряемой величины. Разница между погрешностью прибора и погрешностью измерения заключается в том, что погрешность прибора связана с определенными условиями его поверки. Все погрешности средств измерений в зависимости от внешних условий делятся на основные и дополнительные. Основная погрешность – это погрешность средства измерения при нормальных условиях эксплуатации. В рабочих условиях, которые могут отличаться более широким диапазоном влияющих величин, при необходимости нормируется дополнительная погрешность. Рисунок 3 – Классификация погрешностей измерения Суммарная абсолютная погрешность средства измерения при влияющих факторах: ∆𝚺𝚺 = 𝚫𝚫𝟎𝟎 + �∑𝒏𝒏𝒊𝒊=𝟏𝟏 𝚫𝚫𝟐𝟐𝒊𝒊 , (4) где ∆0 – основная погрешность средства измерения, ∆𝑖𝑖 – дополнительная погрешность, вызванная изменением i – го влияющего фактора. Абсолютная погрешность измерения – это погрешность измерения, выраженная в тех же единицах, что и измеряемая величина (например, 0,4 В, 2,5 мкм и т.д.) и определяется как разность: где 𝑥𝑥 – результат измерения, ∆= 𝑪𝑪 − 𝑪𝑪и ≈ 𝑪𝑪 − 𝑪𝑪д , 𝑥𝑥и – истинное значение измеряемой величины, 𝑥𝑥д – действительное значение измеряемой величины. (5) Относительная погрешность измерения – это отношение абсолютной погрешности измерения к истинному (действительному) значению измеряемой величины и выражается в процентах или долях измеряемой величины: 𝜹𝜹 = ± ∆ 𝑪𝑪и ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎% ≈ ± ∆ 𝑪𝑪д ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎%. (6) Приведенная погрешность – это отношение абсолютной ∆ погрешности к нормирующему значению величины 𝑥𝑥𝑁𝑁 (в %): 𝜸𝜸 = ± ∆ 𝑪𝑪𝑵𝑵 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎%. (7) Нормирующее значение 𝑥𝑥𝑁𝑁 принимается равным: • конечному значению рабочей шкалы, если нулевая отметка находится на краю или вне рабочей шкалы; • сумме конечных значений шкалы (без учета знака), если нулевая отметка находится внутри шкалы; • длине шкалы (в миллиметрах), если она существенно неравномерна; • номинальному значению x, если средство измерения предназначено для измерения отклонения измеряемой величины от номинального значения. Случайная погрешность ∆сл – это составляющая погрешности измерений, которая при многократном измерении одного и того же значения не остается постоянной, а меняется случайным образом (например, при измерении времени свободного движения тела одним и тем же прибором с одной и той же высоты получаются различные значения измеренной величины). Оценка характеристик случайных погрешностей производится методами математической статистики и теории вероятностей. Систематическая погрешность ∆сис – это составляющая погрешности измерений, остающаяся постоянной или закономерно меняющаяся при повторных измерениях одной и той же величины (например, смещение настройки прибора во времени). В отличие от случайной погрешности, выявляемой в целом вне зависимости от ее источников, систематическая погрешность рассматривается по составляющим в зависимости от источников ее возникновения (рисунок 3), различия при этом следующие ее составляющие: • методическая несовершенством – метода составляющая измерения, погрешности, приемов обусловленная использования средств измерения, некорректностью расчетных формул и округления результатов, • субъективная – составляющая погрешности, связанная с индивидуальными особенностями исследователя, как правило, возникающая из-за ошибок в отсчете показаний и неопытности исследователя, • инструментальная – составляющая погрешности, возникающая из-за собственной погрешности средств измерения, определяемой классом точности, влиянием средств измерения на результат и ограниченной разрешающей способностью средств измерения. Систематическая и случайная погрешности чаще всего появляются одновременно. Общая погрешность при их независимости ∆= ∆сис + ∆сл или 𝝈𝝈∆ = �𝝈𝝈𝟐𝟐∆сис + 𝝈𝝈𝟐𝟐∆сл . (8) Для выявления систематической погрешности производят многократные измерения образцовой меры и по полученным результатам определяют среднее значение меры. Отклонение среднего значения от размера образцовой меры характеризует систематическую погрешность, которую называют средней арифметической погрешностью, или средним арифметическим отклонением. Она имеет всегда знак отклонения, то есть «+» или «-» и может быть исключена введением поправки. Грубая погрешность (промах) – это составляющая погрешности, возникающая из-за ошибочных действий исследователя, неисправности средств измерения или резких изменений условий измерений. Грубые погрешности выявляются в результате обработки результатов измерений с помощью специальных критериев. В качестве истинного значения при многократных измерениях величины выступает среднее арифметическое значение 𝑪𝑪: 𝑪𝑪и ≈ 𝑪𝑪 = ∑𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 𝑪𝑪𝒊𝒊 𝒏𝒏 . (9) Величина x, полученная в одной серии измерений, является случайным приближением к 𝑥𝑥и . Для оценки ее возможных отклонений от 𝑥𝑥и определяют опытное среднее квадратическое отклонение (СКО) 𝝈𝝈𝑪𝑪 = � 𝟐𝟐 ∑𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏(𝑪𝑪𝒊𝒊 −𝑪𝑪) 𝒏𝒏(𝒏𝒏−𝟏𝟏) . (10) Для оценки рассеяния отдельных результатов 𝑥𝑥𝑖𝑖 измерения относительно среднего 𝑥𝑥 определяют СКО: • при числе измерений 𝒏𝒏 ≥ 𝟐𝟐𝟎𝟎: 𝝈𝝈𝑪𝑪 = � • при числе измерений 𝒏𝒏 ≤ 𝟐𝟐𝟎𝟎: 𝝈𝝈𝑪𝑪 = � 𝟐𝟐 ∑𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏(𝑪𝑪𝒊𝒊 −𝑪𝑪) ; (11) 𝟐𝟐 ∑𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏(𝑪𝑪𝒊𝒊 −𝑪𝑪) . (12) 𝒏𝒏 𝒏𝒏−𝟏𝟏 Формулы (11) и (12) правомерно применять при условии постоянства измеряемой величины в процессе ее измерения. Например, при остывании металла его температура (измеряемая величина) постоянно меняется. Или, например, постоянно меняется измеряемый потенциал проводника через равные отрезки длины. В этих случаях в качестве 𝑥𝑥 следует брать какую-то постоянную величину, например, начало отсчета. Среднее арифметическое из ряда измерений всегда имеет меньшую погрешность, чем погрешность каждого отдельного измерения, что отражает формула 𝝈𝝈𝑪𝑪 = 𝝈𝝈𝑪𝑪 𝒏𝒏 . (13) Из (13) следует, что если необходимо повысить точность результата (при исключенной систематической погрешности) в 2 раза, то число измерений нужно увеличить в 4 раза. Таким образом, величина: • 𝜎𝜎𝑥𝑥 используется при оценке погрешностей окончательного результата, 𝜎𝜎𝑥𝑥 используется при оценке погрешности метода измерения. • Количество факторов, влияющих на точность измерения, достаточно велико, и любая классификация погрешностей измерения (рисунок 3) является условной, так как различные погрешности в зависимости от условий измерительного процесса проявляются в различных группах. В этой связи, для практических целей (при организации и проведении лабораторного эксперимента в физической лаборатории) достаточно рассмотреть случайные и систематические (инструментальные) составляющие общей погрешности, выраженные в абсолютных и относительных единицах при прямых и многократных косвенных измерениях. Лекция 4. Методы обработки результатов измерений Итак, в физической лаборатории эксперимент организован так, что: методической и субъективной видами систематической погрешности • можно пренебречь, а инструментальная погрешность считается неисключенной; • точность показаний средств измерения гарантируется; • проводятся многократные прямые равноточные измерения (т.е. измерения одной и той же физической величины, выполненные с одинаковой точностью, одними и теми же средствами измерения (СИ), в одних и тех же условиях, одними и теми же исследователями) и косвенные измерения. 1. Систематическая (инструментальная) погрешность. По приведенной погрешности СИ (приборы) разделяются на классы точности K (указываются на панели прибора). Может быть семь классов: 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Приборы класса точности 0,1; 0,2; 0,5 применяют для точных лабораторных измерений и называют прецизионными приборами. Приборы классов 1,0; 1,5; 2,5; 4,0 применяют в технике и называют техническими приборами. Определив по шкале прибора класс точности и предельное значение, легко определить абсолютную погрешность СИ (прибора), которая характеризуется предельной (максимально допустимой для данного класса прибора) погрешностью Δ пред. : 𝑲𝑲 ∙ 𝑪𝑪𝒎𝒎𝒎𝒎𝑪𝑪 𝚫𝚫пред = 𝚫𝚫сис = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 , (14) где 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 – максимальное значение шкалы прибора, K – класс точности прибора. Кроме (14) в метрологии используются и другие, более сложные определения погрешности СИ (прибора) и связанного с ней класса точности. 1) Если класс точности прибора указан числом в кружке, то предельная приборная погрешность равна: 𝚫𝚫пред = 𝚫𝚫сис = где 𝑥𝑥 – результат измерения, 𝑲𝑲 ∙𝑪𝑪 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 , (15) K – класс точности прибора. 2). Если класс точности прибора числом без кружка, то предельная приборная погрешность равна: 𝚫𝚫пред = 𝚫𝚫сис = где 𝑥𝑥 – результат измерения, 𝑲𝑲 ∙ 𝑪𝑪𝒎𝒎𝒎𝒎𝑪𝑪 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 , (16) K – класс точности прибора. 3). Если классность прибора переменна и задана дробью приборная погрешность равна: 𝚫𝚫пред = 𝚫𝚫сис = где 𝑥𝑥 – результат измерения, 𝐾𝐾𝑥𝑥 = 𝐾𝐾𝑘𝑘 𝐾𝐾𝐻𝐻 шкалы 𝐾𝐾𝐻𝐻 . 𝐾𝐾𝐻𝐻 +(𝐾𝐾𝑘𝑘 −𝐾𝐾𝐻𝐻 )∙𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑲𝑲𝑪𝑪 ∙𝑪𝑪 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 , 𝐾𝐾𝑘𝑘 𝐾𝐾𝐻𝐻 , то предельная (17) – класс точности прибора, – отношение классов точности в конце шкалы 𝐾𝐾𝑘𝑘 и в начале Пример. На лицевой панели амперметра нанесено 2,5, обведенное кружком (мультипликативная погрешность). Если при измерении силы тока получено значение 75 мА, то предельная погрешность определится по формуле: ∆пред = 𝐾𝐾 ∙𝑥𝑥 100 = 2,5∙75∙10−3 100 = 1,875 мА. Если на приборе не указан ни класс точности, ни абсолютная погрешность, то она принимается равной половине цены наименьшего деления шкалы: с 𝚫𝚫сис = . (18) 𝟐𝟐 Таким образом, не исключенная систематическая погрешность Для прибора с цифровым отсчетом измеряемых величин метод вычисления погрешности приводится в паспорте прибора. Если такие данные отсутствуют, то в качестве абсолютной приборной погрешности принимается значение, равное половине последнего цифрового разряда индикатора. Рисунок 4 – Измерительная линейка Рисунок 5 – Штангенциркуль Рисунок 6 – Микрометр Рисунок 7 – Амперметр Рисунок 8 – Микровольтметр Рисунок 9 – Цифровой омметр 2. Случайная погрешность. Случайные погрешности нельзя исключить полностью, но их влияние может быть уменьшено путем обработки результатов измерений, для чего должны быть известны вероятностные и статистические характеристики (закон распределения, закон математического ожидания, СКО, доверительная вероятность и доверительный интервал). Для предварительной оценки закона распределения параметра используют относительную величину СКО, называемую коэффициентом вариации: 𝒗𝒗𝑪𝑪 = 𝝈𝝈𝑪𝑪 𝑪𝑪 или 𝒗𝒗𝑪𝑪 = 𝝈𝝈𝑪𝑪 𝑪𝑪 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎%. (19) Например, при 𝑣𝑣𝑥𝑥 ≤ 0,33, … ,0,35 можно считать, что распределение случайной величины подчиняется нормальному закону. Принадлежность результатов наблюдений 𝑥𝑥𝑖𝑖 к нормальному распределению (при 𝑛𝑛 ≥ 20) можно проверить, применяя правило 𝟑𝟑𝝈𝝈: если отклонение от 𝑪𝑪 не превышает 𝟑𝟑𝝈𝝈, то случайная величина распределена нормально. Если P − вероятность α того, что 𝑥𝑥 результата измерения отличается от истинного на величину не более чем ∆сл , т.е. 𝑃𝑃 = 𝛼𝛼 {𝑥𝑥 − ∆сл < 𝑪𝑪и < 𝑥𝑥 + ∆сл }, (20) то в этом случае P называется доверительной вероятностью, а интервал от 𝑥𝑥 − ∆сл до 𝑥𝑥 + ∆сл – доверительным интервалом. Таким образом, для характеристики случайной погрешности надо обязательно задать два числа – величину самой погрешности (или доверительный интервал) и доверительную вероятность. Как правило, распределение случайной погрешности соответствует нормальному закону. Поэтому вместо значения ∆сл указывается 𝜎𝜎𝑥𝑥 . Одновременно это уже определяет и доверительную вероятность P. Например: при ∆сл = σx значение P=0,68; при ∆сл = 2σx значение P=0,95; при ∆сл = 3σx значение P=0,99. Вероятность P=0,68 означает, что результат измерения величины x с вероятностью 68% попадает в доверительный интервал, т.е. каждое третье измерение дает результат за пределами данного интервала, или из 100 измерений 68 попадут в интервал 𝑥𝑥 ± ∆сл = 𝑥𝑥 ± σx , 95 измерений – в интервал 𝑥𝑥 ± 2∆сл = 𝑥𝑥 ± 2σx , а 99 измерений – в интервал 𝑥𝑥 ± 3∆сл = 𝑥𝑥 ± 3σx . Таким образом, определенная по (20) доверительная вероятность 𝑷𝑷 характеризует вероятность того, что отдельное измерение 𝑪𝑪𝒊𝒊 не будет отклоняться от истинного значения 𝑪𝑪и более чем на ∆сл . Безусловно, важнее знать отклонение от истинного значения 𝑥𝑥и среднего арифметического ряда измерений. При рассмотрении оценки СКО по «необходимому» (достаточно большому) числу измерений у𝟐𝟐 называется генеральной дисперсией. При малом числе измерений (менее 10 – 20) получают так называемую 𝟐𝟐 2 выборочную дисперсию 𝝈𝝈 . Причем 𝜎𝜎 → 𝜎𝜎 2 лишь при 𝑛𝑛 → ∞. То есть если 2 считать, что 𝜎𝜎 = 𝜎𝜎 2 , то надежность оценки уменьшается с уменьшением 𝑛𝑛, а значения доверительной ограниченном числе вероятности измерений 𝑃𝑃 завышаются. 𝑛𝑛 ≤ 10 … 20 вводят Поэтому при коэффициент Стьюдента 𝒕𝒕𝑷𝑷 , определяемый по специальным таблицам в зависимости от числа измерений и принятой доверительной вероятности 𝑃𝑃. Тогда средний результат измерений находится с заданной вероятностью 𝑃𝑃 в интервале 𝑪𝑪 = 𝑪𝑪 ± 𝒕𝒕𝑷𝑷 𝛔𝛔 𝐱𝐱 √𝒏𝒏 = 𝑪𝑪 ± 𝒕𝒕𝑷𝑷 𝛔𝛔𝐱𝐱 (21) и отличается от действительного значения на относительную величину 𝛆𝛆 = ∆ 𝛔𝛔𝐱𝐱 =∆ √𝐧𝐧 . 𝛔𝛔 𝐱𝐱 (22) Итак, для уменьшения случайной погрешности есть два пути: • • повышение точности измерений (уменьшение 𝜎𝜎𝑥𝑥 ); увеличение числа измерений n с целью использования соотношения (13). Прямые равноточные многократные измерения 1. Исправление результатов наблюдений исключением (если это возможно) систематической погрешности. 2. Вычисление среднего арифметического значения по формуле (9): 𝑪𝑪и ≈ 𝑪𝑪 = ∑𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 𝑪𝑪𝒊𝒊 𝒏𝒏 . 3. Вычисление выборочного СКО от значения погрешности измерений по формуле (10): 4. Исключение промахов. 𝝈𝝈𝑪𝑪 = � 𝟐𝟐 ∑𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏(𝑪𝑪𝒊𝒊 −𝑪𝑪) 𝒏𝒏(𝒏𝒏−𝟏𝟏) . 4.1. При числе измерений 𝑛𝑛 ≥ 20, … ,50 − по критерию 3σ: сомнительный результат 𝑥𝑥𝑖𝑖 отбрасывается, если |𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑖𝑖 | > 3𝜎𝜎; 4.2. При числе измерений 𝑛𝑛 < 20 − по β - критерию Романовского: сомнительный результат 𝑥𝑥𝑖𝑖 отбрасывается, если � 𝑥𝑥−𝑥𝑥𝑖𝑖 𝜎𝜎 � = 𝛽𝛽 ≥ 𝛽𝛽Т при P = 0,01 – 0,05, где вТ – теоретический уровень значимости (таблица 1). Таблица 1 – Уровень значимости 𝜷𝜷Т = 𝒇𝒇(𝒏𝒏) Число измерений Вероятность, P n=4 n=6 n=8 n=10 n=12 n=15 n=20 0,01 1,73 2,16 2,43 2,62 2,75 2,90 3,08 0,02 1,72 2,13 2,37 2,54 2,66 2,80 2,96 0,05 1,71 2,10 2,27 2,41 2,52 2,64 2,78 0,10 1,69 2,00 2,17 2,29 2,39 2,49 2,62 5. Повторный расчет среднего арифметического значения и его СКО после исключения промахов. 6. Определение погрешности. закона распределения случайной составляющей 6.1. Если коэффициент вариации (19) 𝑣𝑣𝑥𝑥 ≤ 0,33, … ,0,35, то можно считать, что распределение случайной величины подчиняется нормальному закону. 6.2. При 𝑛𝑛 < 15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется. 6.3. При 𝑛𝑛 ≥ 20 если отклонение от x не превышает 3σ, то случайная величина распределена нормально. 7. Определение коэффициента Стьюдента (таблица 2) по заданной доверительной вероятности и при данном числе измерений. Таблица 2 – Коэффициент Стьюдента Доверительная вероятность (надежность), P Число измерений, 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,98 0,999 n 2 1,00 1,38 2,0 3,1 6,3 12,7 31,8 636,6 3 0,82 1,06 1,3 1,9 2,9 4,3 7,0 31,6 4 0,77 0,98 1,3 1,6 2,4 3,2 4,5 12,9 5 0,74 0,94 1,2 1,5 2,1 2,8 3,7 8,6 6 0,73 0,92 1,2 1,5 2,0 2,6 3,4 6,9 7 0,72 0,90 1,1 1,4 1,9 2,4 3,1 6,0 8 0,71 0,90 1,1 1,4 1,9 2,4 3,0 5,4 9 0,71 0,90 1,1 1,4 1,9 2,3 2,9 5,0 10 0,70 0,88 1,1 1,4 1,8 2,3 2,8 4,8 15 0,69 0,87 1,1 1,3 1,8 2,1 2,6 4,1 20 0,69 0,86 1,1 1,3 1,7 2,1 2,5 3,9 40 0,68 0,85 1,1 1,3 1,7 2,0 2,4 3,6 60 0,68 0,85 1,0 1,2 1,7 2,0 2,4 3,5 120 0,68 0,85 1,0 1,2 1,7 2,0 2,4 3,4 ∞ 0,67 0,84 1,0 1,2 1,6 2,0 2,3 3,3 8. Нахождение границы доверительного интервала для случайной погрешности (21): ∆сл = ±𝑡𝑡𝑃𝑃 𝜎𝜎𝑥𝑥 . 9. Если ∆сл сравнима со значением ∆сис , то величину ∆сис считают неисключенной систематической составляющей и в качестве доверительного интервала вычисляют величину: ∆= �(∆сл )𝟐𝟐 + � P. 𝒕𝒕𝑷𝑷;∞ 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟗𝟗 ∆сис � = �(∆сл )𝟐𝟐 + � 𝟑𝟑 𝟐𝟐 ∆сис � . 10. Окончательный результат записывают в виде 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ± ∆ при вероятности 11. Мерой точности результатов измерений является относительная погрешность: 𝛿𝛿 = ∆𝑥𝑥 𝑥𝑥 ∙ 100%. Косвенные измерения Существуют два метода определения погрешности косвенно измеряемой величины Y: метод переноса погрешностей и выборочный метод. Метод переноса погрешностей. Применяется в том случае, когда измеренные прямым способом значения величин 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 образуют выборки. Отклонения результатов отдельных измерений 𝑥𝑥𝑖𝑖 от соответствующих действительных значений 𝑥𝑥д включают в себя как случайные, так и систематические погрешности. Благодаря этому измеренные значения 𝑥𝑥𝑖𝑖 аргументов обладают как случайными ∆𝑥𝑥сл 𝑖𝑖 , так и систематическими инструментальными ∆𝑥𝑥сис 𝑖𝑖 погрешностями, а погрешность функции Y также состоит из случайной ∆𝑌𝑌сл и систематической ∆𝑌𝑌сис погрешностей. При этом ∆𝑌𝑌сл определяется случайными погрешностями ∆𝑥𝑥сл 𝑖𝑖 , а ∆𝑌𝑌сис – систематическими инструментальными ∆𝑥𝑥сис 𝑖𝑖 . 1. Рассчитать средние значения 𝑥𝑥𝑖𝑖 и доверительные интервалы для всех n аргументов ∆𝑥𝑥𝑖𝑖 . 2. Вычислить среднее значение 𝑌𝑌 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ). 3. В соответствии с (2) погрешность в оценке Y зависит от погрешностей при измерениях аргументов 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 . При этом могут иметь два случая: аргументы взаимонезависимы и взаимозависимы. 4. Для независимых аргументов абсолютная погрешность: 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝝏𝝏𝒇𝒇 𝝏𝝏𝒇𝒇 𝝏𝝏𝒇𝒇 ∆𝒀𝒀 = �� � ∙ (∆𝑪𝑪𝟏𝟏 )𝟐𝟐 + � � ∙ (∆𝑪𝑪𝟐𝟐 )𝟐𝟐 + ⋯ + � � ∙ (∆𝑪𝑪𝒏𝒏 )𝟐𝟐 , (23) 𝝏𝝏𝑪𝑪𝟏𝟏 относительная погрешность: 𝜹𝜹 = ∆𝒀𝒀 𝒀𝒀 𝝏𝝏 𝒍𝒍𝒏𝒏𝒇𝒇 𝟐𝟐 = �� 𝝏𝝏𝑪𝑪𝟏𝟏 и СКО функции: 𝝏𝝏𝑪𝑪𝟐𝟐 𝝏𝝏𝑪𝑪𝒏𝒏 𝝏𝝏 𝒍𝒍𝒏𝒏𝒇𝒇 𝟐𝟐 𝝏𝝏 𝒍𝒍𝒏𝒏𝒇𝒇 𝟐𝟐 � ∙ (∆𝑪𝑪𝟏𝟏 )𝟐𝟐 + � 𝝏𝝏𝑪𝑪 � ∙ (∆𝑪𝑪𝟐𝟐 )𝟐𝟐 + ⋯ + � 𝝏𝝏𝑪𝑪 � ∙ (∆𝑪𝑪𝒏𝒏 )𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒏𝒏 𝟐𝟐 (24) 𝟐𝟐 𝝏𝝏𝒇𝒇 𝝏𝝏𝒇𝒇 𝝏𝝏𝒇𝒇 𝜹𝜹𝒀𝒀 = �� � ∙ (𝝈𝝈𝑪𝑪𝟏𝟏 )𝟐𝟐 + � � ∙ (𝝈𝝈𝑪𝑪𝟐𝟐 )𝟐𝟐 + ⋯ + � � ∙ (𝝈𝝈𝑪𝑪𝒏𝒏 )𝟐𝟐 , (25) где 𝝏𝝏𝑪𝑪𝟏𝟏 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥1 , 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥2 ,…, 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑛𝑛 𝝏𝝏𝑪𝑪𝟐𝟐 𝝏𝝏𝑪𝑪𝒏𝒏 – частные производные, вычисляемые при 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥2 ,…, 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 , ∆𝑥𝑥1 ,(∆𝑥𝑥2 ),…, ∆𝑥𝑥𝑛𝑛 – доверительные погрешности, определяемые, например, с помощью коэффициентов Стьюдента для одного и того же значения доверительной вероятности. 5. Для зависимых аргументов абсолютная погрешность: ∆𝒀𝒀 = � 𝝏𝝏𝒇𝒇 𝝏𝝏𝑪𝑪𝟏𝟏 6. Окончательный ∆𝑪𝑪𝟏𝟏 � + � 𝝏𝝏𝒇𝒇 𝝏𝝏𝑪𝑪𝟐𝟐 результат ∆𝑪𝑪𝟐𝟐 � + ⋯ + � записывают вероятности P. в 𝝏𝝏𝒇𝒇 𝝏𝝏𝑪𝑪𝒏𝒏 ∆𝑪𝑪𝒏𝒏 �. виде: 𝑌𝑌 = 𝑌𝑌 ± ∆𝑌𝑌 (26) при В таблице приведены формулы для расчета относительных предельных погрешностей физических величин, выражаемых наиболее употребительными функциями. Вид функции Абсолютная погрешность 𝑌𝑌 = 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 ∆𝑌𝑌 = ∆𝐴𝐴 + ∆𝐵𝐵 Относительная погрешность ∆𝑌𝑌 ∆𝐴𝐴 + ∆𝐵𝐵 = 𝑌𝑌 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 𝑌𝑌 = 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 ∆𝑌𝑌 = ∆𝐴𝐴 + ∆𝐵𝐵 𝑌𝑌 = 𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵 ∆𝑌𝑌 = 𝐵𝐵∆𝐴𝐴 + 𝐴𝐴∆𝐵𝐵 𝑌𝑌 = 𝑒𝑒 𝐴𝐴 ∆𝑌𝑌 = 𝑒𝑒 𝐴𝐴 ∆𝐴𝐴 𝑌𝑌 = 𝐴𝐴𝑛𝑛 𝑌𝑌 = 𝑙𝑙𝑛𝑛𝐴𝐴 𝑛𝑛 𝑌𝑌 = √𝐴𝐴 𝑌𝑌 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝑌𝑌 = sin 𝛼𝛼 𝑌𝑌 = cos 𝛼𝛼 𝑌𝑌 = 𝑡𝑡𝑐𝑐 𝛼𝛼 𝑌𝑌 = 𝑐𝑐𝑡𝑡𝑐𝑐 𝛼𝛼 ∆𝑌𝑌 = 𝐴𝐴𝑛𝑛−1 𝑛𝑛 ∆𝐴𝐴 ∆𝐴𝐴 𝐴𝐴 1 ∆𝐴𝐴 ∆𝑌𝑌 = 𝑌𝑌 𝑛𝑛 𝐴𝐴 ∆𝐴𝐴 𝐴𝐴 ∙ ∆𝐵𝐵 ∆𝑌𝑌 = + 𝐵𝐵 𝐵𝐵2 ∆𝑌𝑌 = ∆𝑌𝑌 = cos 𝛼𝛼 ∙ ∆𝛼𝛼 ∆𝑌𝑌 = sin 𝛼𝛼 ∙ ∆𝛼𝛼 ∆𝛼𝛼 cos2 𝛼𝛼 ∆𝛼𝛼 ∆𝑌𝑌 = sin2 𝛼𝛼 ∆𝑌𝑌 = Метод переноса погрешностей. ∆𝑌𝑌 ∆𝐴𝐴 + ∆𝐵𝐵 = 𝑌𝑌 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 ∆𝑌𝑌 ∆𝐴𝐴 ∆𝐵𝐵 = + 𝑌𝑌 𝐴𝐴 𝐵𝐵 ∆𝐴𝐴 ∆𝑌𝑌 = 𝑛𝑛 𝐴𝐴 𝑌𝑌 ∆𝑌𝑌 = ∆𝐴𝐴 𝑌𝑌 ∆𝑌𝑌 ∆𝐴𝐴 = 𝑌𝑌 𝑌𝑌 ∆𝑌𝑌 1 ∆𝐴𝐴 = 𝑛𝑛 𝐴𝐴 𝑌𝑌 ∆𝑌𝑌 ∆𝐴𝐴 ∆𝐵𝐵 = + 𝑌𝑌 𝐴𝐴 𝐵𝐵 ∆𝑌𝑌 = ∆𝛼𝛼 ∙ 𝑐𝑐𝑡𝑡𝑐𝑐𝛼𝛼 𝑌𝑌 ∆𝑌𝑌 = ∆𝛼𝛼 ∙ 𝑡𝑡𝑐𝑐𝛼𝛼 𝑌𝑌 2∆𝛼𝛼 ∆𝑌𝑌 = sin 2𝛼𝛼 𝑌𝑌 ∆𝑌𝑌 2∆𝛼𝛼 = 𝑌𝑌 sin 2𝛼𝛼 Применяется в том случае, когда для каждого из измеренных прямым способом значений величин 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 имеются N выборок. Тогда для i – й выборки можно получить выборку 𝑌𝑌𝑖𝑖 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥𝑖𝑖 , … , 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛 ) и поступить с ней как с результатами прямых измерений. 1. Рассчитать среднее значение 𝑌𝑌 : 𝑌𝑌 = ∑𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 𝑌𝑌𝑖𝑖 𝑁𝑁 . 2. Вычислить СКО функции 𝑌𝑌: 𝜎𝜎𝑌𝑌 = � 2 ∑𝑁𝑁 𝑖𝑖=1(𝑌𝑌𝑖𝑖 −𝑌𝑌) 𝑁𝑁∙(𝑁𝑁−1) . 3. Для заданных доверительной вероятности P и N взять из таблицы 2 коэффициент Стьюдента 𝑡𝑡𝑃𝑃 и вычислить погрешность (в предположении нормального распределения измеренных значений): ∆𝑌𝑌 = 𝜎𝜎𝑌𝑌 ∙ 𝑡𝑡𝑃𝑃 . 4. Окончательный результат записывают в виде: 𝑌𝑌 = 𝑌𝑌 ± ∆𝑌𝑌 при вероятности P. 5. Вычислить абсолютную погрешность: 𝛿𝛿 = ∆𝑌𝑌 𝑌𝑌 ∙ 100%. Иногда необходимо объединить результаты нескольких серий прямых измерений одной и той же физической величины. Пусть M измерений представлены в виде 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥1 ± ∆1 , 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 ± ∆2 , 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥3 ± ∆3 , … , 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑀𝑀 ± ∆𝑀𝑀 . Наилучшее значение 𝑥𝑥 и его погрешность ∆ вычисляются по формулам: ∑𝑀𝑀 𝑚𝑚=1 𝑤𝑤𝑚𝑚 𝑥𝑥𝑚𝑚 , 𝑥𝑥 = ∑𝑀𝑀 𝑤𝑤 𝑚𝑚=1 𝑚𝑚 где 𝑤𝑤𝑚𝑚 = (∆ 1 𝑀𝑀 ) 2 𝑀𝑀 ∆= � � 𝑤𝑤𝑚𝑚 � − 1 2 , 𝑚𝑚=1 – статистический вес каждой серии измерений. Погрешность косвенных измерений функции, как правило, больше погрешности прямых измерений ее аргументов. Однако в некоторых частных случаях это правило может нарушаться. Пример. Пусть при прямом измерении периода колебаний с помощью секундомера получено значение 𝑇𝑇 = (2,0 ± 0,2 ) с. Тем же секундомером период можно измерить косвенно, зафиксировав время 𝑡𝑡 = (200 ± 0,2 ) с., 𝑡𝑡 за которое совершилось N=100 колебаний. Тогда период 𝑇𝑇 = , т.е. 𝑇𝑇 = 𝑁𝑁 (2,000 ± 0,002 ) с. Говорить о том, что в данном случае полная погрешность измерения меньше систематической (инструментальной) погрешности некорректно, так как речь идет об измерении разных величин, а именно: прямом измерении времени и косвенном измерении периода (который не связан с инструментальной погрешностью). Лекция 5. Правила округления приближенных чисел Незначащими цифрами числа называются нули в начале десятичных дробей, меньших единицы, и нули в конце числа, заменившие цифры, отброшенные после округления. Остальные цифры называются значащими. Сомнительной цифрой результата измерения называется цифра, стоящая в разряде, соответствующем старшему разряду со значащей цифрой в значении погрешности. Цифры, стоящие слева от сомнительной, называются верными, а справа – неверными. Примеры. Числа 586±6; 0,00234±0,00002; 1,00±0,03; 2000±30 содержат три значащие цифры. Правила приближенных вычислений: 1. «Лишние» цифры у чисел заменяются нулями, а у десятичных дробей отбрасываются. Например, 𝒀𝒀 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟑𝟑𝟑𝟑𝟏𝟏𝟏𝟏 ± 𝟗𝟗𝟏𝟏𝟔𝟔 – до округления; 𝒀𝒀 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟑𝟑𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ± 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 – после округления. 2. Если заменяемая нулём или отбрасываемая цифра старшего разряда меньше 5, то остающиеся цифры не изменяются, а если указанная цифра больше 5, то последняя остающаяся цифра увеличивается на единицу. Например, 𝒀𝒀 = 𝟐𝟐𝟑𝟑𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟗𝟗 ± 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟑𝟑 – до округления; 𝒀𝒀 = 𝟐𝟐𝟑𝟑𝟏𝟏, 𝟏𝟏 ± 𝟎𝟎, 𝟏𝟏 – после округления. 3. Если заменяемая нулём или отбрасываемая цифра равна 5 (с последующими нулями), то округление производится так: последняя цифра в округленном числе остается без изменения, если она чётная, и увеличивается на единицу, если она нечётная. Например, 𝒀𝒀 = 𝟐𝟐𝟑𝟑𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟏𝟏 ± 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏 – до округления; 𝒀𝒀 = 𝟐𝟐𝟑𝟑𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟗𝟗 ± 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟑𝟑 – после округления или 𝒀𝒀 = 𝟐𝟐𝟑𝟑𝟏𝟏, 𝟏𝟏 ± 𝟎𝟎, 𝟏𝟏 – после округления. 4. При записи результатов промежуточных вычислений сохраняется одна значащая цифра – цифра, стоящая справа от сомнительной. 5. При сложении и вычитании приближенных чисел окончательный результат округляют так, чтобы он содержал число цифр в разрядах, которое соответствует минимальному числу цифр в разрядах одного из приближенных данных: 4,462 + 2,38 + 1,17273 + 1,0262=9,04093 ≈ 9,04. 6. При умножении и делении приближенных чисел необходимо округлять сомножители до такого числа цифр в разрядах, которое имеет сомножитель с наименьшим числом таких цифр: 3,723 · 2,4 · 5,1846 ≈ 3,7 · 2,4 · 5,1 ≈ 46,176 ≈ 46,2. 7. При возведении в степень (извлечении корня) приближенного числа результат должен иметь столько значащих цифр, сколько их в основании (подкоренном выражении): 𝟏𝟏, 𝟑𝟑𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟏𝟏; �𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟔𝟔 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏 . 8. При логарифмировании в мантиссе сохраняется столько значащих цифр, сколько их в исходном числе. 9. При работе со сложными выражениями следует руководствоваться правилами, описанными выше: (𝟑𝟑,𝟐𝟐+𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟗𝟗𝟐𝟐)∙𝟑𝟑,𝟏𝟏 𝟏𝟏,𝟏𝟏∙𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏∙𝟏𝟏𝟎𝟎𝟑𝟑 = 𝟐𝟐𝟎𝟎,𝟑𝟑∙𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟎𝟎,𝟑𝟑∙𝟏𝟏𝟎𝟎𝟑𝟑 = 𝟑𝟑𝟗𝟗,𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎,𝟑𝟑∙𝟏𝟏𝟎𝟎𝟑𝟑 Представление результата измерения: = 𝟑𝟑, 𝟏𝟏𝟗𝟗 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 . 1. Предварительный результат и погрешность записывают в нормальном виде: общий множитель с показателем степени выносят за скобку или заменяют соответствующей приставкой: микро-, милли-, кило-, мега- и др (таблица 3). Например, 𝒀𝒀 = (𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐 ± 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑)м = (𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎 ± 𝟑𝟑𝟎𝟎) ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 м = (𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎 ± 𝟑𝟑𝟎𝟎)мм. Таблица 3 – Десятичные приставки в системе СИ Наименование приставки Множитель экса Обозначение международное русскоязычное 1018 E Э пета 1015 P П тера 1012 T T гига 109 G Г мега 106 M М кило 103 к к гекто 102 h г дека 101 da да деци 10-1 d д санти 10-2 с с милли 10-3 m м микро 10-6 m мк нано 10 -9 n н пико 10-12 p п фемто 10-15 f ф атто 10-18 a a 2. Если результат измерения является окончательным и не будет использован в вычислениях других величин, то погрешность округляют до первой значащей цифры, если она равна или больше 2, или до двух значащих цифр, если первая равна 1. 3. Если результат будет в дальнейшем использован в вычислениях, то во избежание накопления погрешностей за счет округлений погрешность округляют до двух значащих цифр при любой первой. Таким образом, погрешность обычно выражается одной значащей цифрой и лишь при особо ответственных измерениях – двумя. 4. Так как точность определения физической величины определяется измерением, а не вычислением, то округление числового значения результата измерения проводится до цифры того же порядка, что и значение погрешности. Неокругленный результат Округленный результат 𝑌𝑌 = (1237,2 ± 32) 𝑌𝑌 = (1240 ± 30) 𝑌𝑌 = (7,854 ± 0,0476) ∙ 10−3 𝑌𝑌 = (7,85 ± 0,05) ∙ 10−3 𝑌𝑌 = 2,48 ± 0,931 𝑌𝑌 = 2,5 ± 0,9 𝑌𝑌 = 83,2637 ± 0,0126 𝑌𝑌 = 83,264 ± 0,013 𝑌𝑌 = 2,48 ± 0,96 𝑌𝑌 = 2,5 ± 1,0 5. Если погрешность округляется до двух значащих цифр, но вторая из них равна нулю, то этот нуль сохраняется, а в соответствующем этому нулю разряде результата записывается получающаяся там значащая цифра: 𝑌𝑌 = 3,48 ± 0,10.