Метрология, стандартизация и сертификация в телекоммуникациях

Метрология, стандартизация и сертификация в телекоммуникациях Направление: 11.03.02– «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» Форма обучения: заочная Учебный год: 2020/2021 Лектор: к.т.н., доцент Шестаков Владимир Владимирович 1/114 ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА • Шестаков В.В., Манонина И.В. Метрология и измерения в телекоммуникационных системах. Учебное пособие. М.: МТУСИ. 2019. – 120 с. • Сенявский А.Л. Метрология, стандартизация и сертификация. Конспект лекций. М.: Издательство ООО «Инсвязьиздат». 2009. – 94 с. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА • Хромой Б.П. Метрология, стандартизация и сертификация. М.: Горячая линия-Телеком. 2018. – 432 с. • Ершов, В. В. Метрология, стандартизация и сертификация в инфокоммуникациях : учебное пособие. Курс лекций / В. В. Ершов, А. С. Мелешин. – Ростов-на-Дону : Северо-Кавказский филиал Московского технического университета связи и информатики, 2015. – 160 c. – ISBN 2227-8397. – Текст : электронный // Электронно-библиотечная система IPR BOOKS : [сайт]. – URL: http://www.iprbookshop.ru/61309.html • Аминев, А. В. Метрология, стандартизация и сертификация в телекоммуникационных системах : учебное пособие / А. В. Аминев, А. В. Блохин. – Екатеринбург : Уральский федеральный университет, ЭБС АСВ, 2016. – 204 c. – ISBN 978-5-7996-1617-5. – Текст : электронный // Электронно-библиотечная система IPR BOOKS : [сайт]. – URL: http://www.iprbookshop.ru/65945.html • Астайкин, А. И. Метрология и радиоизмерения : учебное пособие / А. И. Астайкин, А. П. Помазков, Ю. П. Щербак ; под ред. А. И. Астайкин. – Саров : Российский федеральный ядерный центр – ВНИИЭФ, 2010. – 405 c. – ISBN 978-5-9515-0137-0. – Текст : электронный // Электронно-библиотечная система IPR BOOKS : [сайт]. – URL: http://www.iprbookshop.ru/18440.html 2/114 Основные определения и терминология, применяемые в метрологии Метрология (μετρoν + λoγoζ) – это наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности. • Согласно ГОСТ: Измерение - это нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств. • Основное уравнение измерения. • Х = n [x] • X - измеряемая величина • x - узаконенная единица измерения • n - число, показывающее сколько выбранных единиц укладывается в измеряемой величине. • Под физической величиной понимается свойство, общее в качественном отношении многим физическим объектам (физическим системам, их состояниям и происходящим в них процессам), но в количественном отношении индивидуальное для каждого объекта. 3/114 Характеристики измерения. Основными характеристиками измерения являются : принцип, метод и точность. Принцип измерений - совокупность физических явлений, на которых основаны измерения (пример: измерения напряжения на основе электростатического взаимодействия заряженных проводников). Метод измерений - совокупность приемов использования принципов и средств измерений. Точность - это качество измерений, отражающее близость их результатов к истинному значению измеряемой величины. Погрешность измерений - отклонение результата измерения от истинного (действительного) значения измеряемой величины. Единство измерений – состояние измерений, при котором их результаты выражены в узаконенных единицах и погрешности известны с заданной вероятностью. 4/114 Погрешности измерений и измерительных приборов Классификация погрешностей. 1. По закономерности проявления. Систематическая погрешность ∆сист 𝐴0 𝐴изм ∆сист − 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Случайная погрешность 𝐴изм2 𝐴0 𝐴изм4 𝐴изм3 𝐴изм1 Грубая погрешность 5/114 2. По способу выражения (погрешность измерений и измерительных приборов). Погрешность результата измерения – число, указывающее возможные границы неопределённости значения измеряемой величины. Погрешность прибора – это его определённое свойство, для описания которого приходится пользоваться целым рядом соответствующих правил. ∆п Абсолютная погрешность измерения: Δ = 𝑨 − 𝑨𝟎 𝒃 𝑨𝟎 Относительная погрешность измерения: 𝜹 = ∆/𝑨𝟎 −𝒃 Абсолютная погрешность измерительного прибора: ∆п = 𝑨п − 𝑨𝟎 Эта погрешность может быть аддитивной или мультипликативной: ∆п = 𝝁 ∙ 𝑨𝟎 + 𝒃. Относительная погрешность измерительного прибора: 𝜹п = ∆п /𝑨𝟎 Приведённая погрешность: 𝜸 = ∆п /𝑳 3. По условиям применения средств измерения. Основная погрешность Дополнительная погрешность 6/114 4. По характеру поведения измеряемой величины в процессе измерений. Статическая погрешность Погрешность средства измерения в динамическом режиме Динамическая погрешность – разность между погрешностью средства измерения в динамическом режиме и его статической погрешностью, соответствующей значению величины в данный момент времени. 5. По причине (источнику) возникновения. Методическая погрешность (метода) Инструментальная (аппаратурная) погрешность Энергетическая погрешность – составляющая погрешности измерений, обусловленная потреблением средством измерения мощности от объекта исследования. Погрешность порожденная выходом неинформативных параметров исследуемого сигнала за пределы, допускаемые характеристиками средств измерения. Внешняя погрешность Субъективная (личная) погрешность 7/114 Учёт и исключение систематических погрешностей Устранение источников погрешностей до начала измерений. 1. Термостатирование и термоизоляция отдельных узлов или всего измерительного прибора, проведение измерений в термостатированных помещениях (для исключения температурной погрешности), применение экранов для защиты от влияния электромагнитных полей, использование стабилизированных источников питания, амортизация прибора, удаление его от источников возможного воздействия, от объектов измерений. 2. Установка нуля, предварительная калибровка. 3. Поверка средств измерений. 4. Метод теоретического анализа – сводится к усложнению модели за счёт учёта ранее неучтенных факторов. R E R 𝐸 A 𝐼= 𝑅 Ri E Uвых A 𝑈вых = 𝐸 − 𝐼 ∙ 𝑅𝑖 RA 𝑈вых 𝐼= 𝑅 + 𝑅𝐴 8/114 Исключение погрешностей в процессе измерения 5. Метод компенсации погрешности по знаку – измерение проводят дважды так, чтобы известная по природе, но неизвестная по размеру погрешность входила в результаты измерений с противоположными знаками. 𝐴1 + 𝐴2 𝒙д + ∆ + (𝒙д − ∆) 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 𝐴0 = 𝒙= = = 𝒙д 2 𝟐 𝟐 N S N S Мтр Мвр Мтр Мвр A1 A0 A2 6. Метод замещения – измеряемую величину замещают мерой и по разнице показаний прибора и значением меры определяют поправку. Если такой меры нет, то метод не применим. Магазин Rx Rэ сопротивлений 𝑅𝑥 + ∆= 𝑅э + ∆ 𝑥Ω = 𝑅𝑥 + ∆ 𝑅𝑥 → 𝑅э 𝑥Ω = 𝑅э + ∆ ⇒ 𝑅𝑥 = 𝑅э Ω Ω 9/114 7. Рандомизация. Внесение поправок в результат измерения 8. Метод введения поправок и поправочных множителей – если происхождение погрешности известно и её значение (абсолютная величина и знак) достаточно точно определены. 𝒙 = 𝒙изм + ∆ + 𝑪 (𝑪 = ∆) 9. Метод образцовых сигналов – поочередно измеряются неизвестный и эталонный сигнал того же порядка. Поправку находят из разности показаний прибора по эталонному сигналу. 10. Проведение измерения несколькими различными методами, различными приборами при различных условиях, если о систематических погрешностях ничего неизвестно, хотя в действительности они имеются, и их значения существенны. 10/114 Оценки случайных погрешностей Интегральная функция распределения 𝑭(𝒙) результатов измерений: 𝑭 𝒙 = 𝑷 𝑨𝒊 ≤ 𝒙 Ai x Вероятность попадания случайной величины в интервал 𝑋1 , 𝑋2 : 𝑷 = 𝑭 𝑿𝟐 − 𝑭(𝑿𝟏 ) F(Δ) 𝑃1 ≈ 𝑃3 ≈ 0; 𝑃2 → наиболее вероятное событие 1 Δ X1 P X2 1 X1 P X2 2 X1 P X2 3 𝑷 𝑨 ≤ 𝑿𝟐 = 𝑨 ≤ 𝑿𝟏 либо 𝑿𝟏 < 𝑨 ≤ 𝑿𝟐 = 𝑷 𝑨 ≤ 𝑿𝟏 + 𝑷 𝑿𝟏 < 𝑨 ≤ 𝑿𝟐 или 𝑷 𝑿𝟏 < 𝑨 ≤ 𝑿𝟐 = 𝑷 𝑨 ≤ 𝑿𝟐 − 𝑷 𝑨 ≤ 𝑿𝟏 ⇒ 𝑷 𝑿𝟏 < 𝑨 ≤ 𝑿𝟐 = 𝑭 𝑿𝟐 − 𝑭(𝑿𝟏 ) 11/114 Дифференциальная функция распределения (плотность распределения вероятностей): 𝒅𝑭 𝒙 𝑭 𝒙 + ∆𝒙 − 𝑭 𝒙 𝑷 𝒙 < 𝑨 ≤ 𝒙 + ∆𝒙 𝒇 𝒙 = ≈ ≈ . 𝒅𝒙 ∆𝒙 ∆𝒙 Переход от дифференциальной функции распределения к интегральной путём интегрирования: 𝒙 𝑭 𝒙 = ∞ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏 −∞ −∞ При проведении измерения вероятность попадания результата измерения в обозначениях дифференциальной функции распределения оценивается по формуле: 𝒙𝟐 𝑓(𝑥) 𝑷 𝒙𝟏 ≤ 𝑨 ≤ 𝒙𝟐 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝒙𝟏 𝑓(∆𝑎𝑖 ) 𝑓(𝑎𝑖 ) 𝑥 𝑥1 𝑥2 𝐴 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 12/114 Математическое ожидание результатов наблюдений: ∞ 𝑴𝒙 = 𝒙 ∙ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 −∞ Систематической погрешностью называется: ∆сист = 𝑴 𝑨 − 𝑨𝟎 . Случайная погрешность: ∆случ = 𝑨 − 𝑴 𝑨 . Истинное значение измеряемой величины: 𝑨𝟎 = 𝑨 − ∆сист − ∆случ . Дисперсия случайной погрешности: ∞ 𝑫 𝒙 =𝑴 𝒙−𝑴 𝒙 𝟐 = 𝒙−𝑴 𝒙 𝟐 ∙ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 −∞ Для центральной случайной погрешности имеющей нормальное распределение: 𝟏 −∆𝒂𝒊 𝟐 𝒇 ∆𝒂𝒊 = ∙ 𝐞𝐱𝐩 𝟐 𝟐 ∙ 𝝈𝟐 𝟐∙𝝅∙𝝈 Для результата измерений: 𝟏 − 𝒂𝒊 − 𝑴[𝒙] 𝟐 𝒇 𝒂𝒊 = ∙ 𝐞𝐱𝐩 𝟐 ∙ 𝝈𝟐 𝟐 ∙ 𝝅 ∙ 𝝈𝟐 13/114 𝑓(∆) 𝜎1 𝜎2 𝝈𝟏 < 𝝈𝟐 < 𝝈𝟑 𝜎3 ∆ Вероятность того, что погрешность не превысит интервал Δ = –ε до Δ = +ε: 𝑷 −𝜺 < ∆< +𝜺 = 𝟏 𝟐 ∙ 𝝅 ∙ 𝝈𝟐 +𝜺 ∙ −𝜺 −∆𝟐 𝐞𝐱𝐩 𝒅∆, ε = k·𝝈 𝟐 𝟐∙𝝈 ∗ • для проведения расчетов удобно связать величину  со среднеквадратическим отклонением, т. е. принять •  = k 14/114 • где к - безразмерный коэффициент,  - дисперсия. • Тогда заменой переменной интеграл () приводится к известному интегралу вероятности, значения которого табулированы:  = u u =  предел = k k. 𝑷 −𝒌 ∙ 𝝈 < ∆< +𝒌 ∙ 𝝈 = 𝟐 𝟐∙𝝅 𝒌 ∙ 𝟎 −𝒖𝟐 𝐞𝐱𝐩 𝒅𝒖 = 𝟐 ∙ Ф(𝒌) 𝟐 (𝟏) 𝑃 −3 ∙ 𝜎 < ∆< +3 ∙ 𝜎 = 2 ∙ Ф 3 = 0,9973 𝐽 = 2 ∙ 𝜀 – доверительный интервал; 𝛼 = 𝑃 – вероятность. Результат измерения: A ± ε; P 15/114 Оценка состоятельная: 𝒏 ↑⟹ 𝒂 ⟶ 𝒂 Оценка несмещенная: 𝑴𝒂 =𝒂 Оценка эффективная: 𝑫 𝒂 = 𝒎𝒊𝒏 Результаты измерения записываются в виде: 𝒂𝟏 = 𝑨 + ∆𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 = 𝑨 + ∆𝒂𝟐 , … , 𝒂𝒏 = 𝑨 + ∆𝒂𝒏 Суммируя почленно левые и правые части равенства получаем: 𝒏 𝒏 𝒏 𝟏 𝟏 𝒂𝒊 = 𝒏 ∙ 𝑨 + ∆𝒂𝒊 ⇒ 𝑨= ∙ 𝒂𝒊 − ∙ 𝒏 𝒏 𝒊=𝟏 𝒊=𝟏 𝒊=𝟏 𝒏 ∆𝒂𝒊 𝒊=𝟏 Если 𝑛 → ∞, то в силу нормального распределения, абсолютные погрешности: 𝒏 𝟏 𝒍𝒊𝒎 ∙ ∆𝒂𝒊 = 𝟎 𝒏→∞ 𝒏 𝒊=𝟏 𝑨𝒏→∞ 𝟏 = ∙ 𝒏 𝒏 𝒂𝒊 = 𝒂 (∗∗) 𝒊=𝟏 Отклонение ∆𝑎 также случайная величина: ∆𝒂 = 𝑨 − 𝒂 (𝟐) 16/114 𝟏 𝒇 ∆𝒂 = ∙ 𝐞𝐱𝐩 − 𝟐 ∙ 𝝅 ∙ 𝝈𝟐𝒂 ∆𝒂𝟐 𝟐 ∙ 𝝈𝟐𝒂 Выразим дисперсию 𝜎𝑎2 через дисперсию результатов наблюдений 𝜎 2 : 𝟏 𝑫 ∙ 𝒏 𝒏 𝒊=𝟏 𝟏 𝒂𝒊 = 𝟐 ∙ 𝒏 𝒏 𝒊=𝟏 𝟏 𝑫 𝒂𝒊 = 𝟐 ∙ 𝒏 ∙ 𝑫 𝒂𝒊 ⇒ 𝒏 𝟐 𝝈 𝝈𝟐𝒂 = (𝟑) 𝒏 Если за результат измерения принять единичное наблюдение, то разброс такой оценки будет характеризоваться дисперсией 𝝈𝟐 , а если усреднить результаты наблюдений и принять среднее по n наблюдения за оценку измеряемой величины, то дисперсия – 𝝈𝟐𝒂 . 17/114 Метод максимального правдоподобия. Вероятность получить 𝑛 результатов в интервале 𝑎𝑖 ± 0,5 ∙ ∆𝑎𝑖 равна: 𝒏 𝑷 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , … , 𝒂𝒏 ; 𝑨; 𝝈 = 𝒇𝒊 (𝒂𝒊 , 𝑨, 𝝈) ∙ ∆𝒂𝒊 𝒊=𝟏 Логарифмическая функция правдоподобия равна: 𝒏 𝑳 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , … , 𝒂𝒏 ; 𝑨; 𝝈 = 𝒍𝒏 𝑷 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , … , 𝒂𝒏 ; 𝑨; 𝝈 = 𝒍𝒏 𝒇𝒊 (𝒂𝒊 ; 𝑨; 𝝈) 𝒊=𝟏 Если наибольшее значение функций правдоподобия совпадает с максимальным значением, то оценки получаются из системы уравнений: 𝝏𝑳 = 𝟎; 𝑨 = 𝑨; 𝝈 = 𝝈 𝝏𝑨 𝝏𝑳 = 𝟎; 𝑨 = 𝑨; 𝝈 = 𝝈 𝝏𝝈 𝟏 (𝒂𝒊 − 𝑨)𝟐 𝒇𝒊 𝒂𝒊 ; 𝑨; 𝝈 = ∙ 𝐞𝐱𝐩 − 𝟐 𝟐 ∙ 𝝈𝟐 𝟐∙𝝅∙𝝈 18/114 𝟏 𝑨= ∙ 𝒏 𝝈𝟐 𝟏 = ∙ 𝒏 𝒏 𝒏 𝒂𝒊 𝑨 = 𝒂 при 𝒏 → ∞ 𝒊=𝟏 𝟐 𝒂𝒊 − 𝑨 𝒊=𝟏 𝑺𝟐 𝟏 = ∙ 𝒏 𝝈𝟐 = 𝝈𝟐 (𝒂𝒊 − 𝒂)𝟐 (𝟓) 𝒊=𝟏 𝒏 𝒏 𝟏 𝟐 𝝈 = ∙𝑺 = ∙ ∙ 𝒏−𝟏 𝒏−𝟏 𝒏 𝝈𝟐𝒂 𝟒 𝒏 𝒏 𝟐 Оценка дисперсии 𝜎𝑎2 : при 𝒏 → ∞ 𝟐 (𝒂𝒊 − 𝒂) 𝒊=𝟏 𝟏 = ∙ 𝒏 ∙ (𝒏 − 𝟏) 𝟏 = ∙ 𝒏−𝟏 𝒏 (𝒂𝒊 − 𝒂)𝟐 (𝟔) 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒂𝒊 − 𝒂)𝟐 (𝟕) 𝒊=𝟏 19/114 При малом n оценка (7) будет случайной величиной, и доверительный интервал рассчитывается следующим образом: 𝜺 = 𝒕𝜶 𝒏 ∙ 𝝈𝒂 , где 𝑡𝛼 𝑛 – параметр распределения Стьюдента: 𝒕𝟐 𝒇 𝒕, 𝒏 = 𝑩𝒏 ∙ 𝟏 + 𝒏−𝟏 Вероятность попадания t в заданный интервал ±𝑡𝛼 𝑛 : 𝒏 −𝟐 , (𝟖) 𝒕𝜶 𝒏 𝑷=𝜶=𝟐∙ 𝒇 𝒕, 𝒏 𝒅𝒕 . 𝟎 По доверительной вероятности и числу наблюдений находят доверительный интервал: 𝜺′ = 𝒕𝜶 𝒏 ∙ 𝝈𝒂 , откуда 𝒂 ± 𝜺′ ; 𝑷 или 𝒂 ± 𝒕𝜶 𝒏 ∙ 𝝈𝒂 ; 𝛂. 20/114 Порядок обработки результатов прямых измерений 1. Проводят N наблюдений (единичных измерений) и фиксируют N результатов наблюдений одного и того же значения физической величины (N показаний прибора): 𝑨′𝟏 , 𝑨′𝟐 , 𝑨′𝟑 , … , 𝑨′𝑵 2. Исключают известные систематические погрешности: 𝑨𝟏 , 𝑨𝟐 , 𝑨𝟑 , … , 𝑨𝑵 3. Находят среднее арифметическое 𝐴ср и принимают за результат измерения: 𝑨ср 𝟏 = ∙ 𝑵 𝑵 𝑨𝒊 𝒊=𝟏 4. Вычисляют оценку среднеквадратического отклонения результата единичного наблюдения: 𝝈=𝑺= 𝟏 ∙ 𝑵−𝟏 𝑵 (𝑨𝒊 − 𝑨ср )𝟐 𝒊=𝟏 5. Исключают грубые погрешности: 𝑨𝒊 − 𝑨ср > 𝟑 ∙ 𝝈. 21/114 6. Вычисляют среднее арифметическое результата измерения: 𝟏 𝒂= ∙ 𝒏 𝒏 𝒂𝒊 𝒊=𝟏 7. Вычисляют оценку среднеквадратического отклонения среднего арифметического результата измерения: 𝝈𝒂 = 𝑺 𝒂 = 𝟏 ∙ 𝒏 ∙ (𝒏 − 𝟏) 𝒏 (𝒂𝒊 − 𝒂)𝟐 𝒊=𝟏 8. Проверяют гипотезу о гауссовском (нормальном) распределении. 9. Определяют доверительный интервал и доверительную вероятность: а) задаются доверительной вероятностью P. б) 𝑱 = 𝟐 ∙ 𝜺; 𝜺 = 𝒌 ∙ 𝑺 𝒂 . в) k находят из P = 2·(k) – интеграл вероятности – функция Лапласа. г) записывают результат измерений: 𝒂 ± 𝜺; 𝑷. 22/114 Измерение напряжений U(t) U(t) U(t) A–? A A–? t t t U(t) Пиковое значение (для гармонического 𝑼м = 𝐦𝐚𝐱 𝑼(𝒕) 𝑻 сигнала – амплитудное значение): U(t) Среднее значение: 𝑼ср 𝟏 = ∙ 𝑻 Средневыпрямленное 𝑼ср.вып. значение: 𝑼м 𝑇 𝑻 t 𝑼ср = 𝟎 𝑼 𝒕 𝒅𝒕 𝟎 𝟏 = ∙ 𝑻 Среднеквадратическое значение: 𝑇 U(t) 𝑻 𝑈м 𝑼 𝒕 𝒅𝒕 𝟎 𝑼= t 𝟏 ∙ 𝑻 t 𝑇 𝑻 𝑼𝟐 (𝒕) 𝒅𝒕 𝟎 𝑼ср.вып 𝟒 ∙ 𝑼м = 𝑻 23/114 𝑼м 𝑲а = 𝑼 𝑼 𝑲ф = 𝑼ср.вып. Коэффициент амплитуды: Коэффициент формы: Коэффициент усреднения: 𝑲у = 𝑼м 𝑼ср.вып. = 𝑲а ∙ 𝑲ф 𝟏 ≤ 𝑲ф ≤ 𝑲а ≤ 𝑲у – знак равенства – для постоянного напряжения и меандра. Для импульсного сигнала будут следующие значения напряжений и коэффициентов: 𝑸= 𝑻 − скважность 𝝉 𝑼ср.вып. 𝑼= 𝟏 = ∙ 𝑻 𝟏 ∙ 𝑻 𝑻 𝟎 𝟏 𝑼 𝒕 𝒅𝒕 = ∙ 𝑻 𝑻 𝑼𝟐 (𝒕) 𝒅𝒕 𝟎 𝑲ф = = 𝟏 ∙ 𝑻 𝝉 𝟎 𝑼м ∙ 𝝉 𝑼м 𝑼м 𝒅𝒕 = = 𝑻 𝑸 𝝉 𝑼𝟐м 𝒅𝒕 𝟎 = 𝑼𝟐м 𝝉 𝑼м ∙ = 𝑻 𝑸 𝑼 𝑼ср.вып. 𝑲а = = 𝑼м 𝑸 ∙ = 𝑼 𝑸 м 𝑼м 𝑼м ∙ 𝑸 = = 𝑼 𝑼м 𝑲у = 𝑲а ∙ 𝑲ф = 𝑸 𝑸 U(t) Uм 𝑸 t τ T 24/114 Вольтметры непосредственной оценки U(t) Преобразователь 𝑲а 𝒔𝒊𝒏 = 𝟏, 𝟒𝟏 𝑲ф 𝒔𝒊𝒏 = 𝟏, 𝟏𝟏 𝑲у 𝒔𝒊𝒏 = 𝟏, 𝟓𝟕 Генератор сигнала (𝑈𝑠𝑖𝑛 ) Образцовый вольтметр (𝑈) α Отсчётное Aп устройство α Градуировка вольтметров Aп1 Пиковый преобразователь 𝑼м Средневыпрямленный преобразователь 𝑼ср.вып 𝑨п = 𝒄 ∙ 𝒇 𝑼(𝒕) 𝑨п𝟏 = 𝑼𝒔𝒊𝒏 = 𝒄𝟏 ∙ 𝑼м 𝑼𝒔𝒊𝒏 𝟏 𝒄𝟏 = = = 𝟎, 𝟕𝟎𝟕 𝑼м 𝑲а 𝒔𝒊𝒏 Aп2 𝑨п𝟐 = 𝑼𝒔𝒊𝒏 = 𝒄𝟐 ∙ 𝑼ср.вып. Aп3 𝑼𝒔𝒊𝒏 𝒄𝟐 = = 𝑲ф 𝒔𝒊𝒏 = 𝟏, 𝟏𝟏 𝑼ср.вып. 𝑨п𝟑 = 𝑼𝒔𝒊𝒏 = 𝒄𝟑 ∙ 𝑼𝒔𝒊𝒏 𝑼𝒔𝒊𝒏 𝒄𝟑 = =𝟏 𝑼𝒔𝒊𝒏 Среднеквадратичный преобразователь 𝑼 𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 – градуировочные коэффициенты 25/114 Если на вольтметры подано напряжение 𝑈𝑥 , причём 𝐾а 𝑥 ≠ 𝐾а 𝑠𝑖𝑛 и 𝐾ф 𝑥 ≠ 𝐾ф 𝑠𝑖𝑛 , то: 𝟏 𝑨п𝟏 = 𝒄𝟏 ∙ 𝑼м 𝒙 = ∙ 𝑼м 𝒙 ≠ 𝑼𝒙 ≠ 𝑼м 𝒙 ⇒ 𝑼м 𝒙 = 𝑨п𝟏 ∙ 𝑲а 𝒔𝒊𝒏 𝑲а 𝒔𝒊𝒏 𝑨п𝟐 𝑨п𝟐 = 𝒄𝟐 ∙ 𝑼ср.вып. 𝒙 = 𝑲ф 𝒔𝒊𝒏 ∙ 𝑼ср.вып. 𝒙 ≠ 𝑼𝒙 ≠ 𝑼ср.вып.𝒙 ⇒ 𝑼ср.вып. 𝒙 = 𝑲ф 𝒔𝒊𝒏 𝑨п𝟑 = 𝒄𝟑 ∙ 𝑼𝒙 = 𝟏 ∙ 𝑼𝒙 = 𝑼𝒙 ⇒ 𝑼𝒙 = 𝑨п𝟑 – вольтметр пиковых значений: 𝟏 𝑼м 𝒙 𝑼м 𝒙 𝑨п𝟏 ∙ 𝑲а 𝒔𝒊𝒏 𝑨п𝟏 = ∙ 𝑼м 𝒙 ; 𝑼м 𝒙 = 𝑨п𝟏 ∙ 𝑲а 𝒔𝒊𝒏 ; 𝑲а 𝒙 = ; 𝑼𝒙 = = 𝑲а 𝒔𝒊𝒏 𝑼𝒙 𝑲а 𝒙 𝑲а 𝒙 𝑲а 𝒔𝒊𝒏 ⇒ ∆= 𝑨п𝟏 ∙ 𝟏 − 𝑲а 𝒙 – вольтметр средневыпрямленных значений: 𝑨п𝟐 𝑼𝒙 𝑨п𝟐 = 𝑲ф 𝒔𝒊𝒏 ∙ 𝑼ср.вып. 𝒙 ; 𝑼ср.вып. 𝒙 = ; 𝑲ф 𝒙 = ; 𝑼𝒙 = 𝑼ср.вып. 𝒙 ∙ 𝑲ф 𝒙 = 𝑲ф 𝒔𝒊𝒏 𝑼ср.вып. 𝒙 𝑨п𝟐 ∙ 𝑲ф 𝒙 𝑲ф 𝒙 = ⇒ ∆= 𝑨п𝟐 ∙ 𝟏 − 𝑲ф 𝒔𝒊𝒏 𝑲ф 𝒔𝒊𝒏 Погрешность тем больше, чем больше отличие напряжения от синусоидального. 26/114 Открытый и закрытый вход. При открытом входе вольтметр измеряет весь сигнал, а при закрытом – за вычетом постоянной составляющей (среднего значения). 𝒄 ∙ 𝒇 𝑼(𝒕) – открытый вход 𝑨п = 𝒄 ∙ 𝒇 𝑼 𝒕 − 𝑼п.с. – закрытый вход 𝑓(∗ ) – функциональное преобразование; 𝑈(𝑡) – математическое выражение для сигнала Для вольтметров со среднеквадратичной градуировкой шкалы показания прибора будут: Пиковый преобразователь Средневыпрямленный преобразователь Среднеквадратичный преобразователь Открытый вход Закрытый вход 𝐴п = 0,707 ∙ 𝑈м 𝐴п = 0,707 ∙ (𝑈м − 𝑈п.с. ) 1 𝐴п = 1,11 ∙ ∙ 𝑇 1 𝐴п = 1 ∙ ∙ 𝑇 𝑇 𝑈 𝑡 𝑑𝑡 𝑇 𝑈2 (𝑡) 𝑑𝑡 1 𝐴п = 1,11 ∙ ∙ 𝑇 1 𝐴п = 1 ∙ ∙ 𝑇 𝑇 𝑈 𝑡 − 𝑈п.с. 𝑑𝑡 𝑇 (𝑈 𝑡 − 𝑈п.с. )2 𝑑𝑡 27/114 𝑥(𝑡) Основные положения цифровых методов измерения 𝑡 𝑥д (𝑡) 𝑡1 𝑡2𝑡3𝑡4 𝑡5 𝑡6𝑡7 𝑡8 𝑥6 𝑥5 𝑥4 𝑥3 𝑥2 𝑥1 𝑡 𝑥0 𝑡1 𝑡2𝑡3𝑡4 𝑡5 𝑡6𝑡7 𝑡8 𝑥д−к (𝑡) 𝑥6 𝑥5 𝑥4 𝑥3 𝑥2 𝑥1 𝑡 𝑥0 𝑡1 𝑡2𝑡3𝑡4 𝑡5 𝑡6𝑡7 𝑡8 𝑥к (𝑡) 𝑡 𝒙(𝒕)  𝒙(𝒕𝒊 )  𝒌 ∙ ∆𝒙(𝒕𝒊 )  𝑵 дискретизация квантование кодирование 𝒏 Погрешность Теорема Котельникова: 𝒊−𝟏 𝑵 = 𝒂 ∙ 𝒃 𝒃 𝒊 квантования: 𝟏 𝒊=𝟏 ∆𝒕 = ∆ = 𝟎, 𝟓 ∙ ∆𝒙 𝒎𝒂𝒙 𝟐 ∙ 𝒇с Ряд Котельникова: ∞ 𝒙(𝒕) = 𝒙(𝒊 ∙ ∆𝒕) ∙ 𝒊=−∞ 𝒔𝒊𝒏 𝝎 ∙ (𝒕 − 𝒊 ∙ ∆𝒕) 𝝎 ∙ (𝒕 − 𝒊 ∙ ∆𝒕) СКО квантования (СМШ квантования): 𝜹𝟐 𝟐 ∆𝒙 = Отклик ФНЧ на -импульс: 𝑆(𝑡) 𝑡 𝟏𝟐 𝒏 𝒂𝒊 ∙ 𝟏𝟎𝒊−𝟏 𝑵𝟏𝟎 = 𝒊=𝟏 𝒂𝒊 = 𝟎, 𝟏 … 𝟗 𝑁10 351 = 3 ∙ 102 + 5 ∙ 101 + 1 ∙ 100 28/114 1. Время-импульсный преобразователь. 𝑈вх 𝑈глин СС (1) 𝑈2 𝑈3 ГЛИН СС (2) Тр 𝑈1 СИ 𝑈4 ГСИ 𝑼вх ; 𝑻𝒙 = 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏 ; 𝐭𝐠 𝜶 = 𝑺; 𝐭𝐠 𝜶 = 𝑻𝒙 𝑼вх 𝑻𝒙 = ; 𝑵𝒙 = 𝑻𝒙 ⋅ 𝑭𝟎 ; 𝑺 𝑭𝟎 ⟹ 𝑵𝒙 = ⋅ 𝑼вх 𝑺 𝑈5 к счётчику и дешифратору 𝑈(𝑡) 𝑈1 𝑈глин tg 𝛼 𝑡1 𝑡2 𝑇𝑥 𝑈вх 𝑡 𝑈2 𝑈3 𝑡 𝑈4 𝐹0 𝑡 𝑈5 𝑡 𝑡 𝑁𝑥 𝑡 29/114 Возникающие погрешности Помехи от сети 50 Гц 𝑈(𝑡) 50 Гц 𝑈глин Погрешность, вызванная нелинейностью пилообразного напряжения 𝑈(𝑡) 𝑈(𝑡) 𝑈п (𝑡) 𝑈вх 𝑡 ∆𝑵 𝑡 𝑡 𝑡 𝑈(𝑡) 𝑈п (𝑡) 𝑡 ∆𝑵 𝑡 Погрешность дискретности 𝑈(𝑡) 𝑇𝑥 𝑡 𝑈(𝑡) 𝑈(𝑡) 𝑁𝑥 = 5 𝑁𝑥 =6 𝑡 𝑡 𝟏 𝟏 𝜹д = = 𝑵𝒙 𝑭 𝟎 ∙ 𝑻 𝒙 30/114 Наблюдение и исследование формы напряжения. Осциллографы Электронно-лучевая трубка (ЭЛТ). 𝑈А1 𝑈А2 𝑋 𝑌 Подогреватель Катод Модулятор Фокус 𝑈А3 Яркость Астигматизм 31/114 Принцип формирования осциллограммы 𝑈(𝑡) 𝑡 𝑼м ∙ 𝒕 𝑼= ;𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝑻 𝑻 𝑌 𝑋 𝑎𝑏 𝑐 𝑋 𝑋 𝑑 𝑎 𝑇р 𝑌 𝑈𝑋 𝑇пр 𝑏 𝑇обр 𝑐 𝑑 𝑡 𝑡 𝑈𝑌 𝑈𝑋1 𝑈𝑌 𝑡 𝑏 𝑋 𝑡𝑐 𝑡𝑒 𝑈𝑋2 𝑡 𝑡𝑎 𝑡𝑑 𝑡𝑎 𝑈𝑋 𝑡𝑏 𝑡𝑐 𝑡𝑑 𝑡𝑒 𝑡 𝑈𝑋3 𝑡 𝑻р = 𝑻с 𝑌 𝑋1 𝑡 𝑻р = 𝒌 ∙ 𝑻с 𝒌 = 𝟏, 𝟐 … 𝑋 2 𝑌 𝑡 𝑻р ≠ 𝒌 ∙ 𝑻с 𝑡 𝑌 𝑋3 32/114 Виды развёрток электронного осциллографа. 1. Линейная развёртка. – задержанная развёртка – непрерывная развёртка 𝑌 𝑈𝑌 𝑈𝑌 𝑋1 𝑌 𝑡 𝑡 𝑋1 𝑈 𝑋1 𝑈𝑋1 𝑈п 𝑌 𝑡 𝑡 𝑈з 𝑌 𝑋2 𝑈𝑋2 𝑋2 𝑈𝑋2 𝑡 𝑡 – ждущая развёртка 𝑡 𝑈𝑌 𝑌 𝑡 𝑋 – однократная развёртка 𝑈𝑋 𝑈𝑌 𝑌 𝑡 𝑋 𝑡 𝑈𝑌 𝑌 𝑡 𝑈𝑋 𝑋 𝑈𝑋 𝑡 𝑡 33/114 Структурная схема электронного осциллографа Канал Y Вх. Y 2 1 ВУ Y 11 ЛЗ 4 УВС К Вх. X 5 ВУ X 6 УЗР От сети 3 Y Вх. Z 10 7 Пластины Y Z ГПН 9 8 УИП X ЭЛТ Пластины X Канал X 34/114 Канал синхронизации. 1. Синхронизация «от сети» – для напряжений кратных напряжению сети. 2. Синхронизация ждущей развёртки. а) Внутренняя синхронизация б) Внешняя синхронизация Исследуемый четырёхполюсник Генератор Y 𝑈вх 𝑈ср 𝑈увс 𝑡 𝑈узр 𝜏з 𝑡 𝑈гпн 𝑡 𝑈𝑌 X 𝑈уип 𝑡 𝜏лз 𝝉лз > 𝝉з 𝑡 𝑡 Сигнал синхронизации 35/114 Цифровой частотомер. В основе измерения частоты 𝑓𝑥 лежит принцип: считается число периодов N за известный временной интервал ∆𝑡0 : 𝒇𝒙 = 𝑵 ∆𝒕𝟎 𝑼фу 𝑈вх ВУ ФУ ОГ 𝑈вс ВС 𝑼дч 𝑼ог ДЧ ЭСч к ЦОУ + 𝜹𝟐д 𝑓𝑥 𝑓ог 𝑈ог УУ 𝜹𝟐𝟎 𝑡 𝑈фу 𝑼уу а) 𝛿0 ≈ 10−9 б) 𝛿д = 1 𝑁 = 1 𝑓𝑥 ∙ ∆𝑡0 𝜹= 𝑈вх 𝑵 = 𝒇𝒙 ∙ ∆𝒕𝟎 𝑈дч 𝑵 𝒇𝒙 = = 𝑵 ∙ 𝒇ог ∙ 𝒌 ∆𝒕𝟎 𝑈уу 𝑓ог 10𝑞 ∆𝑡0 = 𝑓ог ∙ 𝑘 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 𝑈вс 𝑁 𝑡 36/114 Погрешность дискретности. Погрешность дискретности возникает вследствие того, что моменты появления счётных импульсов не синхронизированы с фронтом и срезом заполняемых ими временных ворот (стробирующего импульса). Максимальная величина абсолютной погрешности = ±1 счётный импульс, т.е. = ± единица младшего разряда счёта. Пример. Для измеренного ∆𝒕 значения длительности импульса 𝑻сч = 𝟏 𝒇𝒙 𝑵 = 𝟓𝟏, 𝟏𝟐 мкс, абсолютная 𝟏 𝟏 𝒕 𝜹д = = погрешность дискретности будет 𝑵𝒙 = 𝟔 𝑵𝒙 𝒇𝒙 ∙ ∆𝒕 равна ∆= ±𝟎, 𝟎𝟏 мкс, 𝒕 𝑵𝒙 = 𝟓 относительная погрешность дискретности: 𝜹д = ∆ 𝑵 ∙ 𝒕 𝟏𝟎𝟎% = 𝟎, 𝟎𝟏𝟗%. Уменьшение погрешности: 1. Синхронизировать появление стробирующего импульса с началом измерений (со счётными импульсами). 2. Увеличить частоту следования счётных импульсов. 3. Увеличить время измерения (длительность строба). 37/114 Измерение интервалов времени и фазовых сдвигов Измерение периода. При измерении неизвестного периода 𝑇𝑥 считают количество 𝑁 периодов 𝑇0 известной 𝑈вх частоты 𝑓0 : 𝑇𝑥 = 𝑁 𝑓0 = 𝑁 ∙ 𝑇0 . 𝑼ог ОГ 𝑼вх 𝑈вс 𝑼уч УЧ ВС ЭСч 𝑈уу к ЦОУ ДЧ а) δ0 б) 𝛿д = ± 1 𝑁 = ± 𝑇0 𝑇𝑥 в) 𝛿з 𝜹 = ± 𝜹𝟐𝟎 + 𝜹𝟐д + 𝜹𝟐з 𝑡 𝑈ог 𝑈уу ФУ 𝑡 𝑇𝑥 УУ 𝑈уч 𝑇0 𝑈вх + 𝑈п ∆𝜏 = 𝑇𝑥′ − 𝑇𝑥 𝑇𝑥 𝑇𝑥′ 𝑈вх 𝑡 𝑡 𝑡 𝑈вс 𝑈(𝑡) 𝑓0 𝑁 𝑡 𝑵 = 𝑻𝒙 𝑻𝟎 𝑻𝒙 = 𝑻𝟎 ∙ 𝑵 38/114 Анализ спектра сигнала ∞ 𝒕 𝑼𝒌 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 ∙ 𝝅 ∙ 𝒌 ∙ − 𝝋𝒌 𝑻 𝑼(𝒕) = 𝑼𝟎 + 𝒌=𝟏 𝜔0 = 2𝜋 𝑇 – основная частота; 𝑇 – период; 𝑈𝑘 – спектр амплитуд; 𝜑𝑘 – спектр фаз. При 𝑇 → ∞: 𝜔 → 0 𝜔 2∙𝜔 3∙𝜔 4∙𝜔 Определяется спектр непериодического сигнала с помощью интеграла Фурье: ∞ 𝑺(𝝎) = 𝑼(𝒕) ⋅ 𝒆𝒙𝒑(−𝒋 ∙ 𝝎 ∙ 𝒕)𝒅𝒕 −∞ 𝒕 𝑺𝒕 (𝝎) = 𝑼(𝒕) ⋅ 𝒆𝒙𝒑(−𝒋 ∙ 𝝎 ∙ 𝒕)𝒅𝒕 𝟎 39/114 Супергетеродин с двойным преобразованием частоты ВУ СМ1 ПУ ФПЧ УПЧ1 СМ2 Г1 УПЧ2 ПР Г2 На выходе смесителя: 𝒏 ∙ 𝒇с ± 𝒎 ∙ 𝒇г𝟏 , 𝒏, 𝒎 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 …. Выделяют 𝒇пч𝟏 = 𝒇г𝟏 − 𝒇с . 𝒇зк = 𝒇с + 𝟐 ∙ 𝒇пч𝟏 попадая на вход смесителя, сигнал преобразуется в сигнал с промежуточной частотой 𝒇пч𝟏 = 𝒇зк − 𝒇г𝟏 , также, как и полезный сигнал 𝒇пч𝟏 = 𝒇г𝟏 − 𝒇с . В этом случае устройство будет одновременно принимать оба сигнала: 𝑓с (полезный сигнал) и 𝑓зк (помеха). 𝒇пч𝟏 высокая ⟹ 𝒇зк имеет высокое значение и подавляется ПФ в предварительном усилителе. A 𝑓с ФПЧ 𝑓пч2 𝑓г2 𝑓пч1 𝑚𝑎𝑥 − 𝑓с 𝑚𝑖𝑛 = 𝑓г1 𝑚𝑎𝑥 − 𝑓г1 𝑚𝑖𝑛 𝑓 𝑓с 𝑓г1 𝑓зк 40/114 Осциллографический анализатор спектра. Калибратор Генератор 𝑓с Преселектор Смеситель 1 𝑓г1 ГКЧ ГПН Модулятор 𝑓пч2 𝑓пч1 СмесиУПЧ1 УПЧ2 тель 2 𝑓г2 Гетеродин 2 X ЭЛТ Анализатор Детектор Усилитель Y На выходе смесителя: 𝑛 ∙ 𝑓с , 𝑚 ∙ 𝑓г1 и 𝑛 ∙ 𝑓с ± 𝑚 ∙ 𝑓г1 , 𝑛, 𝑚 = 1, 2, 3 …. УПЧ2 𝑛 = 𝑚 = 1, т.е. 𝑓пч1 = 𝑓г1 − 𝑓с УПЧ1 A ФНЧ 𝑓зк1 = 𝑓с + 2 ∙ 𝑓пч1 𝑓пч2 𝒇пч𝟏 = 𝒇г𝟏 − 𝒇с и 𝒇пч𝟏 = 𝒇зк𝟏 − 𝒇г𝟏 𝒇пч𝟏 𝑓пч1 ≫ 𝑓пч2 𝑓пч2 𝑓г2 𝑓пч1 𝑓г1 𝑓с 𝒇пч𝟏 𝑓зк1 𝑓 41/114 Частота на выходе ГКЧ меняется от 𝑓𝑚𝑖𝑛 до 𝑓𝑚𝑎𝑥 : ∆𝑓гкч = 𝑓𝑚𝑎𝑥 − 𝑓𝑚𝑖𝑛 . Выходное напряжение с ГКЧ поступает на смеситель, на другой вход которого подается частота исследуемого сигнала. На выходе смесителя из комбинации частот через УПЧ проходит сигнал 𝑓пч = 𝑓вх − 𝑓гкч – на которую настроен УПЧ-фильтр. Усиленное напряжение 𝑈упч подается на детектор, который выделяет её огибающую. В результате всех преобразований на экране получается изображение спектра исследуемого сигнала. 𝑈вх 𝑓1 𝑓2 𝑓3 𝑓𝑛 … 𝑓 𝑓𝑚𝑖𝑛 𝑓г1 𝑓г2 𝑓г3 𝑈вых 𝑓г𝑛 𝑓𝑚𝑎𝑥 𝑓 𝑓пч 𝑡 𝑡 42/114 𝑨𝟎 Примеры сигналов и их спектров x(t) X(f) 𝑨𝟎 ∙ 𝝉 𝝉 0 𝝉 − 𝟐 𝟐 xT(t) 𝑨𝟎 t 𝟏 𝝉 𝑨𝟎 ∙ 𝝉 XT(f) 𝑻 𝟐 𝟑 𝟒 𝝉 f 𝑨𝟎 𝝎𝒏 ∙ 𝝉 ∙ 𝒔𝒊𝒏 , 𝒏∙𝝅 𝟐 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 … 𝝉 𝝉 −𝑻 𝝉 0 𝝉 − 𝟐 𝟐 𝑨𝟎 −𝑻 𝑻 𝟏 𝟏 𝝉 𝑻 XT(f) t xT(t) 𝑻 𝟐 𝝉 𝟑 𝝉 𝟒 𝝉 f 𝟐 ∙ 𝑨𝟎 , 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 … 𝒏∙𝝅 t 𝟏 𝑻 𝟐 𝑻 𝟑 𝑻 𝟒 𝑻 f 43/114 𝑈0 2∙𝜋∙𝑛∙𝜏 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑛∙𝜋 𝑇∙2 x1(t) τ , 𝑛 = ±1,2,3 … Ck1 𝑈0 ∙ 𝜏/𝑇1 2𝜋 𝑇1 T1 U0 t 2𝜋 𝜏 ω x2(t) T2 τ 2𝜋 𝑇2 U0 t Ck2 𝑈0 ∙ 𝜏/𝑇2 2𝜋 𝜏 ω 44/114