Методы Якоби и Зейделя

ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДЫ ЯКОБИ И ЗЕЙДЕЛЯ Лекция 7 ТЕОРИЯ Требуется решить систему нелинейных уравнений вида: (1) Метод простой итерации (метод Якоби) для систем нелинейных уравнений Систему нелинейных уравнений (1) после преобразований (здесь Mi определяются из условия сходимости), представим в виде: (2) Метод простой итерации (метод Якоби) для систем нелинейных уравнений Из системы (2) легко получить итерационные формулы метода Якоби. Возьмем в качестве начального приближения какую-нибудь (0) (0) (0) совокупность чисел 𝑥1 , 𝑥2 … 𝑥𝑛 . Подставляя их в правую часть (2) вместо переменных 𝑥1 , 𝑥2 … 𝑥𝑛 , получим новое приближение к решению исходной системы: (3) Метод простой итерации (метод Якоби) для систем нелинейных уравнений (1) (1) (1) Эта операция получения первого приближения 𝑥1 , 𝑥2 … 𝑥𝑛 решения системы уравнения (2) называется первым шагом итерации. Подставляя полученное решение в правую часть уравнения (2) получим следующее (2) (2) (2) итерационное приближение: 𝑥1 , 𝑥2 … 𝑥𝑛 и т.д. (4) Метод простой итерации (метод Якоби) для систем нелинейных уравнений Итерационный процесс можно считать законченным, если все значения переменных ( k +1)-ой итерации, отличаются от значений соответствующих переменных предыдущей итерации, на величину по модулю меньшую заданной точности 𝜀, т.е. если: (5) Метод Зейделя для систем нелинейных уравнений Метод Зейделя отличается от метода Якоби тем, что вычисления ведутся не по формулам (3), а по следующим формулам: (6) Метод Зейделя для систем нелинейных уравнений При решении систем нелинейных уравнений необходимо определить приемлемое начальное приближение. Для случая двух уравнений с двумя неизвестными начальное приближение находится графически. Сходимость метода Зейделя (Якоби тоже) зависит от вида функции в (2), вернее она зависит от матрицы, составленной из частных производных: (7) Метод Зейделя для систем нелинейных уравнений Итерационный процесс сходится, если сумма модулей каждой строки F’ меньше единицы в некоторой окрестности корня: или Метод Зейделя для систем нелинейных уравнений Пример 1. Найти решение системы методом Зейделя с точностью 𝜀 = 0,001: (8) Решение: Представим (8) в виде (5): (9) Метод Зейделя для систем нелинейных уравнений Задаем начальные приближения 𝑥0 = −1; 𝑦0 = −0,7. Запишем достаточное условие сходимости и определяем 𝑀1 и 𝑀2 : Метод Зейделя для систем нелинейных уравнений Определяем частные значения 𝑀1 = 2, 𝑀2 = 10, которые удовлетворяют неравенствам Переходим к реализации итерационного процесса: Метод Зейделя для систем нелинейных уравнений Метод Зейделя для систем нелинейных уравнений Определяем погрешность по формуле Таким образом, имеем решение: Метод Зейделя для систем нелинейных уравнений Программа, реализующая решение данной задачи. Исходные данные – начальные приближения 𝑥0 , 𝑦0 , множители 𝑀1 , 𝑀2 , точность  и максимальное число итераций n . Метод Зейделя для систем нелинейных уравнений Программа, реализующая решение данной задачи.