Методы решения квазилинейных разностных схем для уравнений 2-го порядка

ЛЕКЦИЯ №13. МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ ОДУ. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 1. Методы решения квазилинейных разностных схем для уравнений 2-го порядка Квазилинейные разностные схемы появляются при разностной аппроксимации квазилинейных уравнений. Квазилинейный вариант уравнения из лекции №12 выглядит следующим образом d  du   k ( x, u )   p ( x, u ) u  f ( x, u )  0 , dx  dx  т.е. появляется зависимость функций (1) k ( x, u), p( x, u), f ( x, u) от искомой функции u (x) . Эта зависимость в таких уравнениях может быть и только от u (x) , может быть для всех функций или только для отдельных из них. Разностный аналог уравнения (1) строится интегро- интерполяционным методом, в полном соответствии с процедурой, описанной в лекции №12. В результате получается система уравнений An yn1  Bn yn  Cn yn1   Dn , 1  n  N  1 , (2) где An  Cn   n 1 / 2 h  n 1 / 2 h , , Bn  An  Cn  pnh , Dn  f n h . Однако теперь коэффициенты уравнений зависят от неизвестной функции, и (2) теперь оказывается системой нелинейных уравнений. Для ее решения можно предложить два метода. 1. Метод простых итераций Обозначим текущую итерацию s , а предыдущую ( s  1) , тогда итерационный процесс организуется по схеме Ans 1 yns1  Bns1 yns  Cns 1 yns1   Dns 1 , (3) Все коэффициенты берутся на ( s  1) -ой итерации, т.е. они известны. Получили обычную линейную схему, решение которой осуществляется методом прогонки. Начальное распределение y n0 задается произвольно. Разумеется, лучше это делать, соотносясь с характером ожидаемого решения. Итерации прекращаются при условии max yns  yns 1   , для всех n  0,1,... N . yns Если краевые условия нелинейные, то они естественным образом включаются в общую итерационную процедуру. 2. Линеаризация по Ньютону Выполняется обычным образом в соответствии с методом Ньютона. При этом надо знать от каких значений искомой сеточной функции (в каких узлах) зависят коэффициенты разностной схемы. В нашем случае An  An ( yn , yn1 ), Bn  Bn ( yn1 , yn , yn1 ), Cn  Cn ( yn1 , yn ), Dn  Dn ( yn ) . Выполняя линеаризацию по Ньютону последовательно по неизвестным yn1 , yn , yn1 , получим  An yn1  Bn yn  Cn yn1  Dn  s 1  B C n   n y n  y n1  C n y n1  y n1  An B C n D   y n1  n y n  Bn  y n1  n  y ns  y n y n y n  s 1  y n  An  Bn  y n1  An  y n  y ns1  0 y n1  y n1  s 1    y ns1  s 1 (4) Уравнение (4) решается методом прогонки, в результате находятся все yns , после чего определяются значения искомой функции в узлах на s - итерации yns  yns1  yns . Итерационный процесс заканчивается при выполнении условия max yns   , для всех n  0,1,... N yns 2. Краевая задача с нелинейными граничными условиями Во многих случаях даже при линейном дифференциальном уравнении одно или оба краевых условий в задаче могут быть сформулированы как нелинейные. Например, пусть слева при x  0 краевое условие ставится как нелинейное, а справа при x  l сохраняется прежним, линейным x  0,  k (0) du  F0   u 4 dx , x  l ,  k (l ) du   (u (l )   ) dx где  - известное число. Здесь в правой части граничного условия при x  0 появилось слагаемое  u 4 . Теперь в разностном аналоге левого краевого условия появится  y04 и определить начальные значения прогоночных коэффициентов невозможно, т.к. для их нахождения используется линейная формула y9  0 y1 1 . В этой ситуации можно применить два разных подхода. Первый способ - организовать итерационный процесс решения разностных уравнений, беря нелинейный член с предыдущей итерации, т.е.  y04 s 1 . Второй способ - изменить направление прогонки, т.е. прогоночные коэффициенты определять справа налево, а функцию - слева направо. Такая прогонка называется левой. В этом случае основная прогоночная формула записывается в виде yn   n1 yn1 n1 , а рекуррентные соотношения для определения прогоночных коэффициентов Cn , Bn  An  n  n1   n1  An  n  Dn Bn  An  n (5) Принимая простейшую (первого порядка точности) аппроксимацию краевого условия при x  l , получим его разностный аналог  kN y N  y N 1   ( yN   ) . h (6) Откуда, учитывая, что y N  N 1 y N 1   N 1 , найдем  N 1  kN , k N  h  N 1  h  . k N  h (7) Аналогичная разностная аппроксимация левого краевого условия имеет вид  k0 y1  y0  F0   y04 . h (8) Откуда получаем уравнение для определения y 0  hF  h 4 y0  (1   0 ) y0   0 0   0 . k0  k0  Решение данного уравнения удобно искать, например, методом половинного деления. К этому моменту прогоночные коэффициенты 0 ,0 уже определены. В заключение вернемся к линейному варианту обоих краевых условий, когда   0 и может быть применена рассмотренная ранее правая прогонка. Используя для иллюстрации подходов ту же простейшую аппроксимацию первых производных односторонними разностями, получим 1 1, 1  F0 h , k0  k  h yN  N N k N (1   N )  h . (9) Выше при x  l рассмотрено краевое условие III рода. Оно носит достаточно общий характер, в частности, при k N  0,   1 оно переходит в краевое условие I рода - u   . Видно, что при этих условиях (9) действительно переходит в выражение должно быть в соответствующей разностной схеме. y N   , как и