Методы пристрелки для линейных краевых задач

Методы пристрелки для линейных краевых задач Рассмотрим задачу для дифференциального уравнения 2-го порядка в общем виде с условиями на концах отрезка [𝑎, 𝑏] 𝑦 ′′ (𝑥) = 𝐹(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦 ′ (𝑥)), 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝜑1 (𝑦(𝑎), 𝑦 ′ (𝑎)) = 0, 𝜑2 (𝑦(𝑏), 𝑦 ′ (𝑏)) = 0 Такая задача называется краевой задачей. Если функции 𝐹, 𝜑1 , 𝜑2 – линейные, то краевая задача является линейной и принимает вид 𝑦 ′′ (𝑥) + 𝐻(𝑥)𝑦 ′ (𝑥) + 𝑃(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝐹(𝑥) 𝛼0 𝑦(𝑎) + 𝛼1 𝑦 ′ (𝑎) = 𝛼2 𝛽0 𝑦(𝑏) + 𝛽1 𝑦 ′ (𝑏) = 𝛽2 𝛼02 + 𝛼12 ≠ 0, 𝛽02 + 𝛽12 ≠ 0 Краевые условия определяют краевую задачу первого рода, если 𝛼1 = 0, 𝛽1 = 0. Если 𝛼0 = 0, 𝛽0 = 0, то краевая задача является задачей второго рода. В общем случае - это смешанная краевая задача. Точное решение краевых задач вызывает еще большие трудности, чем решение задач Коши. Будем рассматривать приближенное-аналитические методы решения краевых задач и численные методы, где решение представляет собой таблицу значений искомой функции 𝑦(𝑥) на [𝑎, 𝑏]. К численным методам относится метод пристрелки или стрельбы. Методы стрельбы основаны на сведении краевой задачи к задаче Коши и применении затем методов решения задач Коши, например, методов Рунге-Кутта. Методы носят название такое название, потому что «пристреливаются» недостающие начальные условия. Различают методы пристрелки для линейных и нелинейных краевых задач. Метод пристрелки для линейной краевой задачи 2-го порядка 𝐶= 𝛾 − 𝑣(𝑏) 𝑤(𝑏) 𝑦 ′′ (𝑥) + 𝐻(𝑥)𝑦 ′ (𝑥) + 𝑃(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝐹(𝑥) 𝑦(𝑎) = 𝛼, 𝑦 ′ (𝑎) = 𝐶 Метод пристрелки для линейной краевой задачи 4-го порядка 𝛾 − 𝑣(𝑏) 𝑧(𝑏) 𝑤(𝑏) 𝛾 − 𝑣(𝑏) | | | | 𝜓 − 𝑣′(𝑏) 𝑧′(𝑏) 𝑤′(𝑏) 𝜓 − 𝑣′(𝑏) 𝐶= ,𝐷 = 𝑤(𝑏) 𝑧(𝑏) 𝑤(𝑏) 𝑧(𝑏) | | | | 𝑤′(𝑏) 𝑧′(𝑏) 𝑤′(𝑏) 𝑧′(𝑏) Задача Коши для искомой функции 𝑦(𝑥): 𝑦 𝐼𝑉 (𝑥) + 𝑄(𝑥)𝑦 ′′′ (𝑥) + 𝐺(𝑥)𝑦 ′′ (𝑥) + 𝐻(𝑥)𝑦 ′ (𝑥) + 𝑃(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝐹(𝑥) 𝑦(𝑎) = 𝛼, 𝑦 ′ (𝑎) = 𝛽, 𝑦 ′′ (𝑎) = 𝐶, 𝑦 ′′′ (𝑎) = 𝐷 Метод пристрелки для линейной краевой задачи n-го порядка Получаем систему линейных алгебраических уравнений для неизвестных пристрелочных коэффициентов 𝐶1 , 𝐶2 , … 𝐶𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡 . Решаем систему и тем самым, определяем недостающие начальные условия для задачи Коши. _______________________________________ Реализация метода пристрелки в среде Maple Составим линейную краевую задачу для функции 𝑦(𝑥) = 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑦 ′ (𝑥) = cos(𝑥) − 𝑥 sin (𝑥) 𝑦 ′′ (𝑥) = −2 sin(𝑥) − 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑦 ′′′ (𝑥) = −3 cos(𝑥) + 𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑦 𝐼𝑉 (𝑥) = 4 sin(𝑥) + 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑦 𝐼𝑉 (𝑥) − 𝑥𝑦 ′′′ (𝑥) + 𝑦 ′′ (𝑥) − 𝑦(𝑥) = (2 − 𝑥 2 ) sin(𝑥) + 2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 1 𝜋 𝑦 ( ) = 0, 2 𝜋 𝜋 𝑦′ ( ) = − 2 2 Домашнее задание: 1) Выбрать функцию, составить линейную краевую задачу 4-го порядка для этой функции 2) Применить метод пристрелки к полученной краевой задаче (привести вид решения, записать задачи Коши, решение которых позволит составить систему для пристрелочных параметров) 3) Привести полученную задачу Коши для исходной функции к нормальному виду