Методы построения интегрального критерия

ЛЕКЦИИ 11 – 12. Методы построения интегрального критерия Принятие того или иного решения тесно связано с задачей выбора альтернативы из множества рассматриваемых. При этом в качестве возможных альтернатив можно рассматривать системы, процессы, процедуры, объекты и пр. Пусть имеется множество А некоторых альтернатив, причем каждая альтернатива Aj характеризуется определенной совокупностью свойств а1,а2,…,аn. Каждое свойство аi, определяет некоторый частный критерий qi эффективности. Совокупность критериев q = [q1,q2,…,qn] отражает количественно множество свойств, т. е. каждая альтернатива Аj, характеризуется вектором q(Аj) = [q1(Аj),q2(Аj),…,qn(Аj)]. (1) При наличии подобной информации о каждой из альтернатив необходимо принять решение о выборе одной, которая в некотором смысле наилучшим образом характеризует данную альтернативу. Таким образом, при выборе из k альтернатив исследователь имеет дело с некоторой матрицей, имеющей вид, приведенный в табл. 1. Таблица 1 Альтернативы С в о й с т в а A1 А2 … Аk a1 q11 q12 ... q1k a2 q21 q22 ... q2k ... ... ... ... ... an qn1 qn2 ... qnk В табл. 1 использованы обозначения: qij = qi(Aj) – количественное значение i-го свойства (частного критерия) для j-й альтернативы (i = 1,2,…,n; j = 1,2,…,k); n – число учитываемых свойств (частых критериев); k – число рассматриваемых альтернатив. Задача принятия решения по выбору альтернативы на множестве критериев формально сводится к отысканию отображения F, которое каждому вектору q ставит в соответствие действительное число Е = F(q) = F(q1, q2,…, 1 qn), которое определяет степень предпочтительности той или иной альтернативы по сравнению с другими (оператор F называют интегральным критерием). Интегральный критерий присваивает каждой альтернативе соответствующее количественное значение эффективности Е, которое позволяет упорядочить множество альтернатив по степени предпочтительности и провести выбор наилучшей. Простой метод построения интегрального критерия Один из критериев qr принимается в качестве обобщенного, а все остальные учитываются в качестве ограничений, определяющих область допустимых альтернатив, т. е. E = qr при qi ≥ qi*, i = 1,2,…m; qi ≤ qi*, i = m+1, m+2,…,n; i ≠ r, где q* = [q1*,q2*,…,qn*] – вектор, определяющий допустимые значения по всем частным критериям, причем критерии с 1-го по m-й желательно максимизировать, а с (m+1)-го по n-й – минимизировать (если ищется – максимум Е). Задача сравнения альтернатив сводится к задаче принятия решения со скалярным критерием, а все остальные критерии переводятся в разряд ограничений. Альтернативы, не укладывающиеся в заданные границы q*, отбрасываются как неконкурентоспособные. Задача принятия оптимального решения в этом методе имеет вид extr[qr(Aj)], AjA (2) при qi(Aj) ≥ qi*, i = 1,2,…,m; i ≠ r, qi(Aj) ≤ qi*, i = m+1,m+2,…,n; i ≠ r. Пример. Выбор варианта, построения системы может потребовать, чтобы критерий достоверности был максимальным, при условии, что быстродействие системы не ниже заданного, а затраты на создание и эксплуатацию не выше заданных. 2 Построение интегрального критерия на основе аддитивных преобразований В случае использования аддитивных преобразований над выбранной системой частных критериев qi, интегральный критерий имеет вид: n E  F ( q1 , q 2 ,..., qn )   bi qi . (3) i 1 где b1,b2,…,bn – положительные или отрицательные коэффициенты, причем положительные ставятся при тех критериях, которые желательно максимизировать, а отрицательные – при тех, которые желательно минимизировать, при условии, что ищется Emax. Коэффициенты bi называются весовыми коэффициентами; выбор их значений является наиболее трудной задачей в процессе принятия решения. Аддитивное преобразование для построения обобщенного критерия часто используется, если объединение различных частных критериев возможно на экономической основе и сравнение вариантов производится по экономическому критерию. При применении данного метода следует обратить внимание на то, что все слагаемые суммы должны иметь одинаковую размерность. В случае если это условие не выполняется, все критерии qi должны быть нормированы по формулам: qmax  qi qi  qmin qi  , qi  , (4) (qmax  qmin ) ( qmax  qmin ) где qi – нормированное значение критерия, который необходимо минимизировать, qi – нормированное значение критерия, который необходимо максимизировать, qmax,qmin – максимальное и минимальное значения критериев соответственно по всему множеству альтернатив. Построение обобщенного критерия методом сравнения Метод основывается на оценке расстояния между идеальной и рассматриваемой альтернативами, и чем ближе рассматриваемая альтернатива к идеальной, тем она лучше. За идеальную обычно принимается альтернатива, которой соответствует вектор q(0) = [q1(0),q2(0),…,qn(0)] где компонентами являются максимальные значения для максимизируемых критериев и минимальные – для минимизируемых, достижимые на множестве альтернатив А. В этом случае обобщенные критерии могут быть сформулированы в виде: а) суммы абсолютных отклонений от идеальной альтернативы для частных критериев одной размерности: 3 E  F ( q1 , q 2 ,..., q n )  s n i 1 i  s 1  ( qi( 0 )  qi )   ( qi  qi( 0 ) ) , (5) где qi (i = 1,2,…,s) – частные критерия оптимальности, подлежащие максимизации, qi (i = s+1,s+2,…,n) – частные критерии оптимальности, подлежащие минимизации; б) суммы относительных отклонений для частных критериев различной размерности: s E  F ( q1 , q2 ,..., qn )   ( qi( 0 )  qi ) n   ( qi  qi( 0 ) ) , (6)  ) i  s 1 ( qimax  qi( 0 ) ) где qimin, qimax – наименьшие значения для максимизируемых и наибольшие для минимизируемых критериев оптимальности по всему множеству альтернатив; в) наибольшего абсолютного отклонения от идеального для частных критериев одной размерности: (0) i 1 ( qi qimin E  F (q1, q2 ,..., qn )  max (qi(0)  qi ) ; i (7) г) наибольшего относительного отклонения от идеального для частных критериев различной размерности:  (q ( 0)  q ) (q j  q (j0) )  i , (8) E  F (q1 , q2 ,..., qn )  max  ( 0i) ; min max ( 0)  i , j  (q  i  qi ) (q j  q j )  где i = 1,2,…,s; j = s+1,s+2,...,n. Рассмотренные способы построения интегральных критериев на основе формальных правил не учитывают ценности, полезности частных критериев qi, используемых при решении задачи выбора альтернативы. Контрольные вопросы 1. Поясните, что представляет собой интегральный критерий? Как и для чего он используется? 2. В чём заключается простой метод построения интегрального критерия? 3. В чём заключается метод построения интегрального критерия на основе аддитивных преобразований? 4. Почему при вычислении интегрального критерия методом аддитивных преобразований частные критерии разных размерностей должны быть нормированы? 5. Поясните принцип построения обобщённого критерия методом сравнения? 4 Пример Рассмотрим три варианта (альтернативы) по повышению конкурентоспособности детского сада. В условиях ограниченных ресурсов необходимо выбрать только одну из них. Обозначим альтернативы «обучение иностранным языкам» – А1, «индивидуальный подход в воспитании» – А2, «дополнительные возможности по обеспечению отдыха и развлечений» – А3. Будем оценивать эти альтернативы по двум свойствам: стоимость внедрения в руб. обозначим a1 и срок реализации в годах – a2. Таблица 2 Свойства а1 a2 Альтернативы A1 70 000 1 А2 50 000 3 А3 100 000 2 Простой метод построения интегрального критерия. Пусть на реализацию должно альтернативы может быть затрачено не более двух лет, при минимальном расходовании денежных средств. Задача принятия оптимального решения в этом случае примет вид: a1 → min (обобщающий критерий), a2 ≤ 2 (ограничение). При таких условиях приемлемой представляется альтернатива A1. Построение интегрального критерия на основе аддитивных преобразований Для построения интегрального критерия на основе аддитивных преобразований по формуле (3), частные критерии разной размерности должны быть нормированы по формулам (4). Таблица 3 Свойства а1 a2 Альтернативы A1 0,6 1 А2 1 5 А3 0,5 E1  F ( q ( A1 ))  1,6 ; E 2  F ( q ( A2 ))  1 ; E 3  F ( q ( A3 ))  0 ,5 . Исходя из этого делаем вывод, что предпочтение отдаётся альтернативе A1. Построение обобщенного критерия методом сравнения Пусть идеальной альтернативе соответствует вектор q(0) = [50 000, 1]. После нормировки по формуле (4): q(0) = [1, 1]. Для построения обобщённых критериев по формулам (5) и (7) частные критерии должны быть нормированы по формуле (4), т.к. при расчетах используются частные критерии разной размерности. а) Обобщённый критерий в виде суммы абсолютных отклонений от идеальной альтернативы для частных критериев одной размерности по формуле (5). Т.к. нормировка по формуле (4) приводит все критерии к максимизирующим, то в формуле (5) используется только первое слагаемое со знаком суммы. Тогда справедливы расчеты: E1  F ( q ( A1 ))  (1  0,6)  (1  1)  0,4 ; E 2  F (q ( A2 ))  (1  1)  (1  0)  1 ; E3  F ( q ( A3 ))  (1  0)  (1  0,5)  1,5 . Наименьшее абсолютное отклонение от идеальной альтернативы имеет альтернатива А1. Следовательно альтернатива А1 является более привлекательной. б) Обобщённый критерий в виде суммы относительных отклонений для частных критериев различной размерности по формуле (6). Нормировку не выполняем, т.к. этот критерий подходит «для частных критериев различной размерности». Идеальной альтернативе соответствует вектор q(0) = [50 000, 1, 70]. 70 50 70000 50000 1 1 E1  F(q( A1))     0,5  0,4  0  0,9 ; 70 30 100000 50000 3 1 70 30 50000 50000 3 1 E2  F (q( A2 ))     1  0 1  2 ; 70 30 100000 50000 3 1 70  70 100000  50000 2  1 E3  F (q ( A3 ))     0  1  0,5  1,5 . 70  30 100000  50000 3  1 Наименьшее относительное отклонение от идеальной альтернативы имеет альтернатива А1. Следовательно альтернатива А1 является более привлекательной. 6 в) Обобщённый критерий в виде наибольшего абсолютного отклонения от идеального для частных критериев одной размерности по формуле (7). E 1  F ( q ( A1 ))  max(( 1  0 , 6 ), (1  1))  0 , 4 ; E 2  F ( q ( A 2 ))  max(( 1  1), (1  0 ))  1 ; E3  F (q( A3 ))  max((1  0), (1  0,5))  1 . Наименьшее абсолютное отклонение от идеальной альтернативы имеет альтернатива А1. Следовательно альтернатива А1 является более привлекательной. г) Обобщённый критерий в виде наибольшего относительного отклонения от идеального для частных критериев различной размерности: Нормировку не выполняем. 70  50 70000  50000 1  1 E1  F (q( A1 ))  max( ; ; )  0,5 . 70  30 100000  50000 3  1 70  30 50000  50000 3  1 E 2  F ( q ( A2 ))  max( ; ; ) 1. 70  30 100000  50000 3  1 70  70 100000  50000 2  1 E3  F (q ( A3 ))  max( ; ; )  1. 70  30 100000  50000 3  1 Наименьшее относительное отклонение от идеальной альтернативы имеет альтернатива А1. Следовательно альтернатива А1 является более привлекательной. Несмотря на то, что применение различных методов давало разные значения степени предпочтительности той или иной альтернативы, все методы сошлись на том, что наиболее привлекательной является альтернатива А1. 7 Метод Дельфы Метод Дельфы был предложен в 1963 году американским ученым О. Халмером и назван по имени древнегреческого города Дельфы, известного своими прорицателями. Сначала метод использовался для долгосрочного прогнозирования научно-технического прогресса. Впоследствии он стал универсальным (не связанным с конкретной прикладной задачей) методом экспертного опроса. Метод Дельфы заключается в следующем. На первом туре опроса каждый эксперт дает числовую (по некоторой заранее определенной шкале) оценку исследуемого объекта, явления или процесса» Затем подсчитываются и сообщаются всем экспертам средняя оценка (медиана) и показатель разброса оценок, например, интервал между крайними из них. Экспертов, давших крайние оценки, просят анонимно обосновать их в письменном виде. Эти обоснования передаются остальным экспертам. Аналогично проводятся второй и последующие туры опроса до тех пор, пока оценки экспертов не сойдутся к достаточно узкому интервалу. Метод Дельфы был задуман, чтобы уменьшить недостатки градационных методов опроса, главный из которых – приспособление к мнению большинства (конформизм). Предполагается, что письменная форма общения и анонимность опроса снижают влияние на конечную оценку таких факторов, как внушение и конформизм. Однако, на Самом деле, сближение мнений экспертов происходит за счет фактически заложенного в методе давления на экспертов с целью приблизить их оценки к среднегрупповой. Очевидно, что если эксперту несколько раз сообщить среднюю оценку по группе, то он скорее всего будет под нее подстраиваться. Кроме того, если большинству экспертов предложить обосновать своз мнение, те это может только усилить эффект приспособление, а не уменьшить его. Таким образом, в исходной форме метод Дельфы не устраняет следования мнению большинства. Поэтому у экспертов запрашивают не точную оценку, а просят определить интервал, в котором она, по их мнению, расположена, а при «обратной связи» членам группы передают только обоснования оценок, умалчивая их значения. Иногда «обратную связь» локализуют, т.е. передают участникам опроса на каждом туре не групповое суждение, а мнение одного, или нескольких экспертов. 8 Алгоритм реализации метода Дельфы с вычислением квартилей распределения Пусть требуется получить оценку некоторого параметра q. Допустим, что группа экспертов состоит из m человек. Тогда для получения групповой оценки необходимо выполнить следующие действия. 1. Получить оценки qi всех экспертов , где j = 1, 2, …, m. 2. Расположить ответы на общей шкале в порядке возрастания. Разбить весь интервал на квартили таким образом, чтобы в каждой квартили оказалась четвёртая часть общего количества оценок (если число экспертов не кратно четырем, спорную оценку можно отнести к любой из ближайших квартилей). Правая граница i-й квартили (i = 1, 2, 3) определяется по формуле q j  q j 1 , (9) Ki  2 где j-я оценка относится к i-й квартили, а (j+1)-я к (i+1)-й. 3. Сообщить экспертам значения К1, К3, М = K2. 4. Определить величину разброса квартилей ∆К = К3 – К1 и отклонение медианы Ms от значения медианы Ms – 1: ∆M = |Ms – Ms – 1|, полученного на предыдущем шаге (s – номер текущей итерации). Если ∆Q ≤ (ρMs), или ∆M ≤ δ или s > smax, принять решение о завершении процедуры. В противном случае повторить пп. 1 – 4. Величины ρ, δ и smax определяются координатором экспертного опроса в зависимости от конкретной задачи и требуемой точности оценки. 5. В качестве итоговой оценки параметра q принимается значение медианы Ms. Алгоритм реализации метода Дельфы с вычислением среднеквадратического отклонения Этот алгоритм удобно применять в том случае, когда общее количество оценок (число экспертов) не кратно четырем и возникают трудности с разделением полученных оценок на квартили. Алгоритм реализации метода преобразуется к следующему виду. 1. Получить оценки всех экспертов. 2. Вычислить математическое ожидание как среднее арифметическое экспертных оценок: 1 m (10) M  qj . m j 1 9 3. Вычислить дисперсию D и среднеквадратическое отклонение σ по формулам 1 m (11) D   q 2j  M 2 ; m j 1  D. (12) 4. Сообщить экспертам значения М, σ. 5. Определить величину отклонения математического ожидания Ms от значения Ms – 1 : ∆M = |Ms – Ms – 1|, полученного на предыдущем шаге (s – номер текущей итерации). Если ∆M ≤ δ или σ ≤ σmax, или s > smax принять решение о завершении процедуры. В противном случае повторить пп. 1 – 4. Величины δ, σmax и smax определяются координатором экспертного опроса в зависимости от конкретной задачи и требуемой точности оценки. 6. В качестве искомого значения оценки параметра q принимается значение величины Ms. Контрольные вопросы 1. В чём заключается метод Дельфы? 2. Поясните алгоритм реализации метода Дельфы с вычислением квартилей распределения. 3. Поясните алгоритм реализации метода Дельфы с вычислением среднеквадратического отклонения. 4. В чём разница между двумя методами? В чём преимущества каждого из них? 10