Методы получения моделей статистического состояния вагонов

Методы получения моделей статистического состояния вагонов. Для данного типа задач (статического состояния конструкций) математические модели получаются на основе методов строительной механики, путем раскрытия статической неопределимости расчетных моделей конструкций. Структура математической модели. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) [1,2] A  x  f , (1) где A  матрица m  m , x  ( x1 , x2 ,... xm )T  искомый вектор, f  ( f1 , f 2 ,..., f m )T  заданный вектор. Будем предполагать, что определитель матрицы A отличен от нуля, т.е. решение системы (1) существует. Методы решения: метод Гаусса, итерационный метод Зейделя. Методы численного решения системы (1) делятся на две группы: прямые методы («точные») и итерационные методы. Прямыми методами называются методы, позволяющие получить решение системы (1) за конечное число арифметических операций. К этим методам относятся метод Крамера, метод Гаусса, LU-метод и т.д. Итерационные методы (методы последовательных приближений) состоят в том, что решение системы (1) находится как предел последовательных приближений x (n ) при n   , где n номер итерации. При использовании методов итерации обычно задается некоторое малое число 0 и вычисления проводятся до тех пор, пока не будет выполнена оценка x ( n)  x   . К этим методам относятся метод Зейделя, Якоби, метод верхних релаксаций и т.д. Следует заметить, что реализация прямых методов на компьютере приводит к решению с погрешностью, т.к. все арифметические операции над переменными с плавающей точкой выполняются с округлением. В зависимости от свойств матрицы исходной системы эти погрешности могут достигать значительных величин. Метод Гаусса Запишем систему Ax=f, в развернутом виде a11 x1  a12 x2  ...  a1m xm a21 x1  a22 x2  ...  a2m xm  f1 ,  f2 , ....................................................... am1 x1  am2 x2  ...  amm xm  fm . Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных из этой системы. Предположим, что a11  0 . Последовательно умножая первое уравнение на  a i1 и складывая с i-м уравнение, исключим x1 из всех уравнеa11 ний кроме первого. Получим систему 1 a11 x1  a12 x2  ...  a1 xm  f 1 , m a x  ...  a x  f 2(1) , ( 1) 22 2 ( 1) 2m m ..................................... где ( 1) am(12) x2  ...  amm xm  f m(1) , ai1a1j a f aij( 1)  aij  , f i( 1)  f i  i1 1 , i, j  2,3...m. a11 a11 Аналогичным образом из полученной системы исключим x 2 . Последовательно, исключая все неизвестные, получим систему треугольного вида a11 x1  a12 x2  ...  a1k xk  ...  a1m xm  f 1 , ( 1) a22 x2  ...  a2(1k) xk  ...  a2(1m) xm  f 2(1) , ..................................... am( m11,m) 1 xm1  am( m11,m) xm  f m( m11) , am( m,m1) xm  f m( m1) . Описанная процедура называется прямым ходом метода Гаусса. Заметим, что ее выполнение было возможно при условии, что все ai(,li) , l  1,2...m  1 не равны нулю. Выполняя последовательные подстановки в последней системе, (начиная с последнего уравнения) можно получить все значения неизвестных. f m( m1) xm  ( m1) , a m ,m xi  1 ( i 1) i ,i a ( fi ( i 1)  m  aij(i1) x j ) . j i 1 Эта процедура получила название обратный ход метода Гаусса.. Метод Гаусса может быть легко реализован на компьютере. При выполнении вычислений, как правило, не интересуют промежуточные значения матрицы А. Поэтому численная реализация метода сводится к преобразованию элементов массива размерности (m×(m+1)), где m+1 столбец содержит элементы правой части системы. Для контроля ошибки реализации метода используются так называемые контрольные суммы. Схема контроля основывается на следующем очевидном положении. Увеличение значения всех неизвестных на единицу равносильно замене данной системы контрольной системой, в которой свободные члены равны суммам всех коэффициентов соответствующей строки. Создадим дополнительный столбец, хранящий сумму элементов матрицы по строкам. На каждом шаге реализации прямого хода метода Гаусса будем выполнять преобразования и над элементами этого столбца, и сравнивать их значение с суммой по строке преобразованной матрицы. В случае не совпадения значений счет прерывается. Один из основных недостатков метода Гаусса связан с тем, что при его реализации накапливается вычислительная погрешность. В книге [Самар2 ский, Гулин] показано, что для больших систем порядка m число действий умножений и делений близко к m 3 3 . Для того, чтобы уменьшить рост вычислительной погрешности применяются различные модификации метода Гаусса. Например, метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцам, в этом случае на каждом этапе прямого хода строки матрицы переставляются таким образом, чтобы диагональный угловой элемент был максимальным. При исключении соответствующего неизвестного из других строк деление будет производиться на наибольший из возможных коэффициентов и следовательно относительная погрешность будет наименьшей. Существует метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице. В этом случае переставляются не только строки, но и столбцы1. Использование модификаций метода Гаусса приводит к усложнению алгоритма увеличению числа операций и соответственно к росту времени счета. Поэтому целесообразность выбора того или иного метода определяется непосредственно программистом2. Выполняемые в методе Гаусса преобразования прямого хода, приведшие матрицу А системы к треугольному виду позволяют вычислить определитель матрицы det A  a11 a12  (1) a22    a1m a2(1m)   ( m 1)  am,m (1)  a11  a22  am( m,m1) . Метод Гаусса позволяет найти обратную матрицу. Для этого необходимо решить матричное уравнение A X  E , где Е единичная матрица. Его решение сводится к решению m систем Ax ( j )   ( j ) , j  1,2,..., m, у вектора  j –я компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю. О вычислительных затратах. Один из важных факторов предопределяющих выбор того или иного метода при решении конкретных задач, является вычислительная эффективность метода. Учитывая, что операция сложения выполняется намного быстрее, чем операция умножения и деления, обычно ограничиваются подсчетом последних. Для решения СЛАУ методом Гаусса без выбора главного элемента требуется ( j) 1 Существует ряд методов аналогичных методу Гаусса (например, метод оптимального исключения [4] стр.31). 2 Студентам можно предложить самостоятельно построить свой метод исключения неизвестных. 3 m3 m умножений и делений, решение СЛАУ методом квадратно m2  3 3 m3 3 2 m го корня требует  m  и m операций извлечения корней. Метод вра6 2 3 щения предполагает вчетверо больше операций умножения, чем в методе Гаусса. При больших значениях размерности m, можно сказать, что вычислительные затраты на операции умножения и деления в методе Гаусса состав m3   m3  ляют величину O   , в методе квадратных корней O   , в методе враще 3   6  4 ний O  m 3  . 3  Примеры построения математических моделей статического состояния. 1. Расчет боковой рамы тележки модели 18-100 на вертикальные нпгрузки. 2. Расчет торцевой стены полувагона модели 12-132 на вертикальные нпгрузки. Показать алгоритм получения математических моделей, через раскрытие статической неопределимости. Возможности снижения размерности СЛАУ при использовании принципа симметричности. Контрольные вопросы для самоподготовки студентов 1. Понятие задачи статического состояния объекта. 2. Структура математической модели задач статического состояния. 3. Записать в матричной форме общее уравнение статического состояния конструкций. 4. Методы получения моделей статического состояния. 5. Сущность метода Гаусса. 6. Что такое «прямой ход» метода Гуса. 7. Методика преобразования прямоугольной системы уравнений к треугольной. 8. В чем заключается преимущество итерационного метода Зейделя. 9. Записать математическую модель статического состояния боковой стены полувагона. 10. Проведите качественное сравнение прямых и итерационных методов решения СЛАУ. 4