Методы получения моделей динамики твердых тел: принцип Д’Аламбера, уравнение Лагранжа 2 рода

Методы получения моделей динамики твердых тел: принцип Д’Аламбера, уравнение Лагранжа 2 рода. Одним из основных принципов динамики (принцип ам ра), сог асно которому, с и к заданным (активным) си ам, д йствующим на точки м ханич ской сист мы, и р акциям на ож нных связ й присо динить си ы ин рции, то по учится уравнов ш нная сист ма си . Назван по им ни французского учёного Жана ам ра, который вп рвы сформу ирова рассматрива мый принцип в сочин нии «Динамика» (1743). Сог асно данному принципу, д я каждой i-той точки сист мы в рно рав нство , гд — д йствующая на эту точку активная си а, — р акция на ож нной на точку связи, — си а ин рции, чис нно равная произв д нию массы точки на ё ускор ни и направ нная противопо ожно этому ускор нию . Принцип ам ра позво я т прим нить к р ш нию задач динамики о просты м тоды статики, поэтому им широко по ьзуются в инж н рной практик ; на данном принцип основан так называ мый м тод кин тостатики. Осо нно удо но им по ьзоваться д я опр д ния р акций связ й в с учаях, когда закон происходящ го движ ния изв ст н и и найд н из р ш ния соотв тствующих уравн ний. Проц сс состав ния дифф р нциа ьных уравн ний и их р ш ни значит ьно упрощаются при испо ьзовании дифф р нциа ьных уравн ний движ ния сист мы в о о щ нных координатах и и уравн ний Лагранжа второго рода. Уравн ния Лагранжа второго рода: Ес и вс си ы сист мы пот нциа ьны, то о о щ нны си ы сист мы выражаются ч р з пот нциа ьную эн ргию сист мы как Qj = -дП / дqj, а уравн ния Лагранжа второго рода запишутся в вид : Гд , , П= Структура математической модели. Задачи Коши. Определение начальных условий. Рассмотрим расч тную сх му вагона на р ссорном подв шивании, с уч том принятых допущ ний 1 уравн ни со ств нных ко аний подпрыгивания О У Рассмотрим о с ожную сист му, когда в ко т а: кузов и дв надр ссорны а ки. аниях участвуют уж три Ес и Выр ж м из сист мы п рво т о и запиш м уравн ни равнов сия д я н го: Уравн ни со ств нных ко аний подпрыгивания кузова: Выр ж м из сист мы с дующ т о 2 Ес и Уравн ни со ств нных ко аний подпрыгивания надр ссорных а- ок: Сист ма О У описывающих ко ания подпрыгивания: Однако что ы р шать такую сист му н о ходимо опр д ить нача ьны ус овия (т.к. под со ств нным в сом и в сом груза пружина д формирутся и ц нтр тяж сти т опуска тся. Н о ходимо опр д ить нача ьно поож ни о о щ нных координат, относит ьно которого удут сов ршатся ко ания). Таки задачи (с нача ьными ус овиями) называются задачами Коши. Исс довани ко аний вагонов связано с р ш ни м ( ! н вс гда упруги ко ания) о ыкнов нных У. Р шить их оч нь р дко уда тся анаитич ски. Прим н ни ЭВМ сд а о возможным прим нить чис нно мод ировани . Методы решения: метод Эйлера, Милна, Адамса. я р ш ния О У разра отано много чис нных м тодов, от ичающихся друг от друга а горитмами и точностью вычис ния: дамса, Ми на, Эй ра, Рунг -Кутта, Ньюмарка и др. М тод Эй ра: Это прост йший м тод р ш ния задач Коши, позвояющий инт грировать дифф р нциа ьны уравн ния п рвого порядка (какого порядка сист ма У описывающая со ств нны ко ания вагона - 2го ). Его точность н в ика, но на го прим р гч понять а горитмы других м тодов. М тод Эй ра основан на раз ож нии функции y(x) в ряд Т й ора в h - окр стности точки : Ес и h ма о, то ч ны сод ржащи 2ого, и т м о 3 й, 4ой ст п н й яв яются ма ыми о высокого порядка ма ости и ими можно пр н р чь, тогда: 3 На втором шаг : и т.д. М тод Рунг -Кутта: а т о высокую точность, вс дстви учш й аппроксимации производной. По сущ ству это с м йство м тодов. Наи о распростран н м тод 4го порядка точности. Пусть при нача ьных ус овиях Расч т выпо ня тся по с дующим форму ам: , гд , гд h - шаг инт грирования. По сравн нию с м тодом Эй ра, м тод Рунг -Кутта им т важно пр имущ ство, так как о сп чива т о высокую точность, что позво я т ув ичить шаг инт грирования, а с доват ьно и ум ньшить ко ич ство вычис ний. Как уж отм ча и задачи динамики в основном описываются дифф р нциа ьными уравн ниями второго порядка, а прив д нны форму ы д я уравн ний п рвого порядка. Как ыть: Что ы испо ьзовать эти форму ы о ычно п р ходят к сист м 2х уравн ний: Исходно уравн ни : Тогда знач ния и в с дующ м уз , где 4 опр д яются: Разностные методы решения ОДУ. Шаблон интегрирования. Алгоритм решения математических моделей динамики твердых тел разностным методом. Разностны м тоды: Эти м тоды основаны на зам н производных в дифф р нциа ьных уравн ниях и разностными ана оПрим р: гами. Так д я уравн ния разностП рвая производная - скорость, ный ана ог а скорость сть (S- расЧ м м ньш шаг инт грирования, т м точн стояни , t- вр мя). уд т пр дстав на производная. Разр шая уравн ни относит ьно по учим разностную форму у д я инт грирования У п рвого порядка: я инт грирования У второго порядка испо ьзуют разностный ана ог 2ой производной: т.к. Алгоритм интегрирования Нача ьно ус ови : Нача ьны ус овия испо ьзуются вс го ишь один раз на п рвом шаг инт грирования. Пос нахожд ния выпо ня тся п р сы ка знач ний по вр м нным с оям. Прив сти ок-сх му а горитма. Контрольные вопросы для самоподготовки студентов. 1. Сущность принципа ам ра. 5 2. я груза на пружин с испо ьзовани м принципа ам ра записать уравн ни движ ния. 3. Записать в о щ м вид уравн ни Лагранжа 2 рода. 4. Структура мат матич ской мод и динамики тв рдых т . 5. Поняти задачи с нача ьными ус овиями. 6. М тодика опр д ния нача ьных ус овий в задачах динамики тв рдых т . 7. Записать разностны ана оги д я п рвой и второй производной по п р м щ нию. 8. Сущность разностного м тода р ш ния о ыкнов нных дифф р нциа ьных уравн ний. 9. Записать мат матич скую мод ь ко аний подпрыгивания кузова вагона на р ссорном подв шивании. 10. Записать мат матич скую мод ь ко аний га опирования кузова вагона на р ссорном подв шивании. 6