Методы поддержки принятия решений в условиях определенности

проф. Емельянов В.А.  Определенность (certainty). Ситуация, в которой ЛПР может найти правильное решение, потому что ему известны результаты выбора каждого варианта (альтернативы). Условие определенности является идеальным для принятия решений В условиях определенности:  Данные, используемые при описании ситуации, в которой принимается решение, известны точно  ЛПР всегда может точно предсказать последствия от выбора каждого действия Применение: модели используются для поиска варианта, дающего, наибольшую отдачу по определенному показателю (такому, как прибыль или стоимость), или наименьшему значению другого критерия (такого, как затраты) в условиях заданных ограничений. Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции. Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя: 1. максимум или минимум целевой функции (критерий оптимальности); 2. систему ограничений в форме линейных уравнений и неравенств; 3. требование неотрицательности переменных. Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Запись задачи линейного программирования в краткой форме: Задача линейного программирования задана в канонической форме, если: все ограничения, входящие в систему – уравнения;  на все переменные наложены условия неотрицательности.  Теория принятия решений проф. Емельянов В.А.  Метод линейного программирования применим лишь в тех случаях, когда альтернативные решения можно связать между собой точными линейными функциями.  Существует иной подход к принятию решений, реализуемый в методе анализа иерархий. Теория принятия решений проф. Емельянов В.А.  Автор: американский математик Томас Саати (1970г.)  В основе метода лежит представление системы, которая моделирует реальную проблему, в виде иерархической структуры  Иерархия – тип многоуровневой структуры, предусматривающий разделение системы на подсистемы по заданным классифицирующим признакам Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Метод применяется для многих задач. Вот основные:  Сравнительный анализ объектов (многокритериальное ранжирование).  Многокритериальный выбор лучшего объекта (лучшей альтернативы).  Распределение ресурсов между проектами.  Проектирование систем по количественным и качественным характеристикам. Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. F  Цель:  Критерии – Kj:  Альтернативы – Ak: K1, K2, K3, K4, K5 A1, A2, A3 Альтернативы: A1, A2, A3 (k=1, …, 3) - нижний уровень, 3-й Критерии: K1, K2, K3, K4, K5 (j=1, …, 5) - промежуточный уровень, 2-й Цель: F - верхний уровень, 1-й Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Шаг 1. Представление исходной проблемы в виде иерархической структуры.  Цель составляет высший уровень иерархии (уровень 1). На этом уровне может находиться лишь один объект.  На следующих вниз уровнях находятся критерии. По системе этих критериев оцениваются сравниваемые объекты (называемые «альтернативами»).  Альтернативы располагаются на самом нижнем уровне. Обычно применяют иерархии: • 3- уровневые (цель – критерии – альтернативы) • 4-х уровневые (цель – комплексные критерии – критерии – альтернативы) Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. F ЦЕЛЬ КРИТЕРИИ K1 АЛЬТЕРНАТИВЫ Теория принятия решений K2 A1 K3 A2 K4 K5 A3 проф. Емельянов В.А.  Шаг 2. Попарное сравнение критериев и альтернатив На данном этапе осуществляется формирование матрицы относительной важности критериев по отношению к цели: Операция парного сравнения: два объекта, находящихся на одном уровне сравниваются по своей относительной значимости для одного объекта высшего уровня.  Если критерий имеет определенную числовую меру, например, масса, производительность, цена, то в качестве результата оценки удобно взять отношения соответствующих характеристик в шкале отношений.  Если критерий не имеет принятой меры, то сравнение в МАИ проводится с использованием специальной «шкалы относительной важности» («шкала 1-9», «шкала Саати»). Теория принятия решений проф. Емельянов В.А.  «1» – РАВНАЯ ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНОСТЬ – две альтернативы одинаково предпочтительны с точки зрения цели  «2» – СЛАБАЯ СТЕПЕНЬ ПРЕДПОЧТЕНИЯ – промежуточная градация между равным и средним предпочтением  «3» – СРЕДНЯЯ СТЕПЕНЬ ПРЕДПОЧТЕНИЯ – опыт эксперта позволяет считать одну из альтернатив немного предпочтительнее другой  «4» – ПРЕДПОЧТЕНИЕ ВЫШЕ СРЕДНЕГО – промежуточная градация  «5» – УМЕРЕННО СИЛЬНОЕ ПРЕДПОЧТЕНИЕ – одна из альтернатив явно предпочтительнее другой Теория принятия решений проф. Емельянов В.А.  «6» – СИЛЬНОЕ ПРЕДПОЧТЕНИЕ  «7» – ОЧЕНЬ СИЛЬНОЕ (ОЧЕВИДНОЕ) ПРЕДПОЧТЕНИЕ – одна из альтернатив гораздо предпочтительнее другой, подтверждено практикой  «8» – ЧРЕЗВЫЧАЙНО СИЛЬНОЕ – предпочтение промежуточная градация  «9» – АБСОЛЮТНОЕ ПРЕДПОЧТЕНИЕ – очевидность подавляющей предпочтительности одной альтернативы над другой имеет неоспоримое подтверждение Теория принятия решений проф. Емельянов В.А.  Результатом второго шага положительная обратно симметричная матрица попарных сравнений Теория принятия решений А: проф. Емельянов В.А. Например, а абсолютно («9») предпочтительнее b Теория принятия решений a b a 1 9 b 1/9 1 проф. Емельянов В.А. Шаг 3. Математическая обработка матриц парных сравнений для нахождения локальных и глобальных приоритетов  3.1) Перемножаем n элементов каждой строки, извлекаем корень n-й степени из произведения  3.2) Нормализуем полученные числа на единицу – вектор весовых коэффициентов  3.3) Проверка согласованности локальных приоритетов путем расчета 3 характеристик  3.4) Определение глобальных приоритетов Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. 3.1) N y i  N  a ij , j1 3.2) y1  4 (1 * 0,333 * 3 * 5)  1,495 y1Н = 1,495 / (1,495+3,20+0,668+0,312) = 1,495 / 5,677 = 0,263 y2Н = … y3Н = … yi Теория принятия решений yiН проф. Емельянов В.А. 3.3) Проверка согласованности (3 характеристики): 3.3.1) собственное значение матрицы - λmax n n n λ i   a ij  yiн λ max   λ i i 1 j1 i 1 3.3.2) индекс согласования ИС = λmax −n , где n – порядок квадратной матрицы n−1 3.3.3) отношение согласованности ОС = ИС , ПСС где ПСС – показатель случайной согласованности, определяемый теоретически для случая, когда оценки в матрице представлены случайным образом, и зависящий только от размера матрицы Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Таблица 1 - Значение показателя случайной согласованности (ПСС) ПСС ОС ≤ 0,1 матрица согласована 0,1<ОС ≤ 0,2 согласованность матрицы приемлема ОС > 0,2 согласованность матрицы не приемлема Если ОС >0,2 , то необходимо уточнить таблицы попарных сравнений или декомпозицию проблемы в иерархию. Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. 3.4) Расчет глобальных приоритетов n A i   (x ijн  y jн ) Aopt = max Ai j1 Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Выбор авто ЦЕЛЬ КРИТЕРИИ АЛЬТЕРНАТИВЫ Цена Nissan Xtrail Теория принятия решений Стиль Toyota Rav4 Надежность VW Tiguan проф. Емельянов В.А.  ЛПР, просят попарно сравнить альтернативы. Результат парных сравнений альтернатив для критериев «ЦЕНА», «СТИЛЬ», «НАДЕЖНОСТЬ» записывается в виде таблиц Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Числовые оценки матрицы попарных сравнений для критерия «ЦЕНА» Матрица попарных сравнений - А Оценки компонентов собственного вектора  Nissan Xtrail - 1 500 000 р.  Toyota Rav4 - 1 800 000 р.  VW Tiguan - 2 000 000 р. Нормализованный вектор приоритетов – Вес критерия Nissan Xtrail Toyota Rav4 VW Tiguan Nissan Xtrail 1 1,2 1,33 3 1 ∗ 1,2 ∗ 1,33 = 1,169 1,169 / 3,019 = 0,387 Toyota Rav4 0,83 1 1,11 3 0,83 ∗ 1 ∗ 1,11 = 0,973 0,973 / 3,019 = 0,322 VW Tiguan 0,75 0,9 1 3 0,75 ∗ 0,9 ∗ 1 = 0,877 0,877 / 3,019 = 0,291 1 3,019 Сумма: СОГЛАСОВАННОСТЬ: λmax =(1+0,83+0,75)*0,387 + (1,2+1+0,9)*0,322 + (1,33+1,11+1)*0,291 =2,998 ≈ 3 Теория принятия решений ИС= (3-3)/(3-1)=0 ОС =0/0,58 = 0 проф. Емельянов В.А.  Так как для критерия "СТИЛЬ" не существует объективных оценок, то используется шкала Саати.  Числовые оценки матрицы попарных сравнений для критерия «СТИЛЬ» Оценки компонентов собственного вектора Нормализованный вектор приоритетов – Вес критерия Nissan Xtrail Toyota Rav4 VW Tiguan Nissan Xtrail 1 5 7 3 1∗5∗7 = 3,271 3,271 / 4,477 = 0,731 Toyota Rav4 1/5 1 3 3 1/5 ∗ 1 ∗ 3 = 0,843 0,843 / 4,477 = 0,188 VW Tiguan 1/7 1/3 1 3 1/7 ∗ 1/3 ∗ 1 = 0,362 0,362 / 4,477 = 0,081 1 4,477 Сумма: СОГЛАСОВАННОСТЬ: λmax =(1+1/5+1/7)*0,731 + (5+1+1/3)*0,188 + (7+3+1)*0,081 =3,065 Теория принятия решений ИС= (3,065-3)/(3-1)= =0,032 ОС =0,032/0,58 = =0,056 проф. Емельянов В.А.  Числовые оценки матрицы попарных сравнений для критерия «НАДЕЖНОСТЬ» Оценки компонентов собственного вектора Нормализованный вектор приоритетов – Вес критерия Nissan Xtrail Toyota Rav4 VW Tiguan Nissan Xtrail 1 1/5 1/5 3 1 ∗ 1/5 ∗ 1/5 = 0,342 0,342 / 3,854 = 0,089 Toyota Rav4 5 1 1/2 3 5 ∗ 1 ∗ 1/2 = 1,357 1,357 / 3,854 = 0,352 VW Tiguan 5 2 1 3 5∗2∗1 = 2,154 2,154 / 3,854 = 0,559 1 3,854 Сумма: СОГЛАСОВАННОСТЬ: λmax =(1+5+5)*0,089 + (1/5+1+2)*0,352 + (1/5+1/2+1)*0,559 =3,054 Теория принятия решений ИС= (3,054-3)/(3-1)= =0,027 ОС =0,027/0,58 =0,046 проф. Емельянов В.А.  Числовые оценки критериев Цена Стиль Оценки компонентов собственного вектора Надежн ость Нормализованный вектор приоритетов – Вес критерия Цена 1 6 1/3 3 1 ∗ 6 ∗ 1/3 = 1,260 1,260 / 4,048 = 0,311 Стиль 1/6 1 1/5 3 1/6 ∗ 1 ∗ 1/5 = 0,322 0,322 / 4,048 = 0,080 3 5 1 3 3∗5∗1 = 2,466 2,466 / 4,048 = 0,609 Надежн ость 1 4,048 Сумма: СОГЛАСОВАННОСТЬ: λmax =(1+1/6+3)*0,311 + (6+1+5)*0,080 + (1/3+1/5+1)*0,609 =3,185 Теория принятия решений ИС= (3,185-3)/(3-1)= =0,093 ОС =0,093/0,58 = 0,16 проф. Емельянов В.А. Расчет глобального приоритета:  выбранной считается альтернатива, глобального приоритета с максимальным значением Критерии Цена Стиль Надеж ность Нормализованный вектор приоритетов критериев Альтернативы Глобальные приоритеты 0,311 0,080 0,609 Nissan Xtrail 0,387 0,731 0,089 0,387*0,311 + 0,731*0,08 + 0,089*0,609 = 0,233 Toyota Rav4 0,322 0,188 0,352 0,322*0,311 + 0,188*0,08 + 0,352*0,609 = 0,33 VW Tiguan 0,291 0,081 0,559 0,291*0,311 + 0,081*0,08 + 0,559*0,609 = 0,44 Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Основным достоинством метода анализа иерархий является высокая универсальность – метод может применяться для решения самых разнообразных задач:     анализа возможных сценариев развития ситуации, распределения ресурсов, составления рейтинга клиентов, принятия кадровых решений и др. Теория принятия решений проф. Емельянов В.А.  Недостатком метода анализа иерархий является необходимость получения большого объема информации от экспертов. Метод в наибольшей мере подходит для тех случаев, когда основная часть данных основана на предпочтениях лица, принимающего решения, в процессе выбора наилучшего варианта решения из множества существующих альтернатив. Теория принятия решений проф. Емельянов В.А.