Методы оптимальных решений

Методы оптимальных решений (лекции заочн., 2017г.) Принятие решения – это процесс человеческой деятельности, направленный на выбор наилучшего варианта действий. Решение – это выбор альтернативы. Оптимизация – это поиск среди множества возможных решений наилучших в заданных условиях, при заданных ограничениях. Слово «наилучшие» предполагает, что у исследователя имеется критерий и способ сравнения вариантов. Понятие оптимальности в математических теориях имеет строгое и точное представление и широко используется в административной и общественной практике т.к. всегда существует стремление к повышению эффективности любой целенаправленной деятельности. Оптимальное решение – это то решение, которое является предпочтительней других вариантов действий. По времени действия различают: • Стратегические решения, направленные на достижение долгосрочных целей орга­низации. • Тактические решения обеспечивают выполнение стратегических и преследуют достижение среднесрочных целей организации. • Оперативные решения принимаются руководителями ежедневно для достиже­ния краткосрочных целей и выполнения текущих работ в организации. Лицо, принимающее решение (ЛПР) - че­ловек, который фактически осуществляет выбор наилучшего варианта действий. Процесс принятия решений можно представить в виде: Этап Действие Сбор и анализ информации оценка уровня информации, классификация ситуации (про­блемы); поиск прямых аналогов, выявление возможных вари­антов действий Структуризация проблемы учет влияющих факторов и ограничений; формирование це­лей и оценочных критериев эффективности; выделение наи­более существенных признаков описания проблемной ситуа­ции; формирование вариантов решения, оценка последствий решений по набору критериев Оптимизация Выбор метода (модели) оптимизации; агрегирование оценоч­ных критериев; нахождение подмножества оптимальных ре­шений Выбор и анализ решения Выбор допустимых решений (решения); оценка качества ре­шения и возможности его улучшения; прогноз последующих действий Наиболее распространенными методами оптимизации управленческих реше­ний являются: • математическое программирование (задачи на ограничения); • методы экспертных оценок; • теория игр; • методы управления запасами; • имитационное моделирование (что будет, если …); • методы сетевого и календарного планирования и др. Основными этапами оптимизации управленческого решения с помощью математических методов являются: 1. Постановка задачи. 2. Выбор критерия эффективности, который должен выражаться однозначно. 3. Анализ и измерение переменных величин (факторов), влияющих на величину критерия эффективности. 4. Построение математической модели. 5. Математическое решение модели. 6. Логическая и экспериментальная проверка модели и полученного с ее помощью решения. 7. Разработка рекомендаций по практическому использованию полученных результатов. Методология и методы принятия решений. Постановка задач для принятия оптимальных решений Успешное применение методов принятия решений зависит от профессиональной подготовки специалиста, который должен иметь четкое представление о специфических особенностях изучаемой системы и уметь корректно поставить задачу. Процесса постановки задачи можно представить следующей  последовательностью действий: • установление границы оптимизируемой системы, т.е. представление системы в виде некоторой изолированной части реального мира. Расширение границ системы повышает размерность и сложность многокомпонентной системы и, тем самым, затрудняет ее анализ. • определение показателя эффективности, на основе которого можно оценить характеристики системы или ее проекта с тем, чтобы выявить "наилучший" проект или множество "наилучших" условий функционирования системы. Обычно выбираются показатели экономического (издержки, прибыль и т.д.) или технологического (производительность, энергоемкость, материалоемкость и т.д.) характера. "Наилучшему" варианту всегда соответствует экстремальное значение показателя эффективности функционирования системы; • выбор внутрисистемных независимых переменных, которые должны адекватно описывать условия функционирования системы и отражать в формулировке задачи важнейшие экономические решения; • построение модели, которая описывает взаимосвязи между переменными задачи и описывает влияние независимых переменных на значение показателя эффективности. Структура модели,  включает основные уравнения материальных и энергетических балансов, уравнения, описывающие физические процессы, протекающие в системе, неравенства, которые определяют область допустимых значений независимых переменных и устанавливают лимиты имеющихся ресурсов. Процесс построения модели является весьма трудоемким и требует четкого понимания специфических особенностей рассматриваемой системы. Эффективность управления зависит от многих факторов в том числе и от процедуры принимаемых решений и их практического воплощения в жизнь. Для того, чтобы управленческое решение было действенным и эффективным, нужно соблюсти определенные методологические основы. Методы принятия решений Метод - способ, прием выполнения тех или иных действий. Все методы принятия управленческих решений можно объединить в три группы:  неформальные (эвристические);  коллективные;  количественные. Неформальные (основанные на аналитических способностях и опыте руководителя). Выбор оптимального решения осуществляется путем теоретического (мыслительного) сравнения альтернатив с учетом накопительного опыта, базирующихся на интуиции. Преимущество заключается в том, что решения, как правило, принимаются оперативно. Недостаток заключается в том, что данный метод базируются, как правило, на интуиции, а отсюда - довольно высокая вероятность ошибок.  Коллективные - методы "мозговой атаки", "мозговой штурм" . Применяются для принятия экстренного, сложного, многопланового решения, связанного с экстремальной ситуацией. В ходе "мозговой атаки" предлагаются различные альтернативы, даже такие, которые выходят за рамки обычных приемов и способов реализации подобных ситуаций в обычных условиях. Метод Делфи (Дельфы древнегреческий город, известный жившими там мудрецами - предсказателями будущего). Этот метод заключается в- многоуровневом анкетирование. Руководитель объявляет проблему и предоставляет подчиненным возможность формулирования альтернатив. Первый этап формулирования альтернатив проходит без аргументации, т.е. каждым из участников предлагается набор решений. После оценки эксперты предлагают подчиненным рассмотреть данный набор альтернатив. На втором этапе сотрудники должны аргументировать свои предложения, варианты решения. После стабилизации оценок опрос прекращается и принимается предложенное экспертами или скорректированное наиболее оптимальное решение. Метод "кингисе" - японская система принятия решения, в которой проект новации передается для обсуждения лицам по списку, составленному руководителем. Каждый должен рассмотреть предлагаемый проект и дать свои замечания в письменном виде, после чего проводится совещание, на которое приглашаются сотрудники, чье мнение не совсем понятно, либо выходит за рамки обычного решения. Решения принимаются руководителем на основе экспертных оценок с помощью одного из следующих принципов: ◦ принципа большинства голосов; ◦ принципа диктатора - за основу берется мнение одного лица группы; ◦ принципа Курно - каждый эксперт предлагает свое решение; выбор не должен ущемлять интересов каждого в отдельности; ◦ принципа Парето - эксперты образуют единое целое, одну коалицию; ◦ принципа Эджворта - эксперты разбились на несколько групп, каждой из которых невыгодно отменять свое решение. Зная предпочтения коалиций, можно принять оптимальное решение, не нанося ущерба друг другу. Количественные - в их основе лежит научно-практический подход, предполагающий выбор оптимальных решений путем обработки больших массивов информации. В зависимости от типа математических функций, лежащих в основе моделей, различают: ◦ линейное моделирование (используются линейные зависимости); ◦ динамическое программирование (позволяет вводить дополнительные переменные в процессе решения задач); ◦ вероятностные и статистические модели (реализуются в методах теории массового обслуживания); ◦ теорию игр (моделирование таких ситуаций, принятия решения в которых должно учитывать несовпадение интересов различных подразделений); ◦ имитационные модели, позволяют экспериментально проверить реализацию решений. Математическая формализация Для исследования характеристик процесса функционирования любой системы математическими методами должна быть проведена формализация этого процесса, то есть, построена математическая модель. Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического (искусственного) объекта, называемого математической моделью и исследование этой модели,. Вид математической модели зависит от природы реального объекта, задач исследования, требуемой достоверности и точности решения этих задач, наконец, от вкуса и квалификации исследователя. Модель – это условный образ исследуемого объекта, который приближенно воссоздает этот объект с помощь некоторого языка. В экономико-математических моделях таким объектом является экономический процесс (например, планирование производства, использование мощностей и др.), а языком – математические методы. Экономико-математическая модель – это математическое описание исследуемого экономического процесса или объекта. При построении моделей экономисты выявляют существенные факторы, которые определяют исследуемое явление, и отбрасывают детали, несущественные для решения поставленной проблемы. Формализация основных особенностей функционирования экономических объектов позволяет оценить возможные последствия воздействия на них и использовать такие оценки в управлении. Следует отметить, что одна и та же математическая модель может применяться для решения разных по прикладной сущности задач. Экономические модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на основе этого предсказывать будущее поведение объекта при изменении каких-либо параметров. Рассмотрим пример простейшей экономической модели. Пусть требуется определить, какую сумму следует положить в банк при заданной ставке процента (20 % годовых), чтобы через год получить 12000 руб.? Введем формальные обозначения для величин рассматриваемой задачи: М0 – начальная сумма денег; М1 – конечная сумма денег; r – ставка процента. Запишем соотношение между ними (математическую модель): М1 = М0 (1+r/100). Найдем требуемую величину из решения основного уравнения модели: Линейное программирование как инструмент математического моделирования экономики Линейное программирование сформировалось как отдельный раздел прикладной математики в 40 – 50-х гг. ХХ в. благодаря работам советского ученого, лауреата Нобелевской премии Л.В. Канторовича. В 1939 году им была опубликована работа «Математические методы организации и планирования производства», в которой он с использованием математики решил экономические задачи о наилучшей загрузке машин, раскрое материалов с наименьшими расходами, распределении грузов по нескольким видам транспорта и другие. Понятие линейного программирования было введено американским математиком Д. Данцигом, который в 1949 г. предложил алгоритм решения задачи линейного программирования, получивший название «симплексный метод». Линейное программирование получило широкое развитие в связи с тем, что было установлено: ряд задач сферы планирования и управления может быть сформулирован в виде задач линейного программирования, для решения которых имеются эффективные методы. Линейное программирование — наука о ме­тодах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Эта линейная функция называется целевой, а ограничения, которые математически записываются в виде уравнений или неравенств, называются системой ограничений. Математическое выражение целевой функ­ции и ее ограничений называется математической моделью экономической задачи. В общем виде математическая модель задачи линейного программирования (ЛП) записывается как Z(x)=C1X1+C2X2 + . . . +СJXJ + . . . +СnXn _ →  max(min) при ограничениях: где Xi — неизвестные; a ij , bj , Ci — заданные постоянные вели­чины. Все или некоторые уравнения системы ограничений могут быть записаны в виде неравенств. Математическая модель в более краткой записи имеет вид Z(x) = ∑Ci Xi  → max(min) при ограничениях: Определение Допустимым решением (планом) зада­чи линейного программирования называется вектор X = (х1, х2, ,...хn , ) , удовлетворяющий системе ограничений. Множество допустимых решений образует область допус­тимых решений (ОДР). Определение Допустимое решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называ­ется оптимальным решением задачи линейного программиро­вания и обозначается Хопт. Чтобы составить математическую модель задачи ЛП, не­обходимо: — ввести обозначения переменных; — исходя из цели экономических исследований, составить целевую функцию; — учитывая ограничения в использовании экономических показателей задачи и их количественные закономернос­ти, записать систему ограничений. Теория игр Теория игр - это математическая теория, исследующая конфликтные ситуации, в которых принятие решений зависит от нескольких участников. Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой. Стороны, участвующие в конфликте - игроки, а исход конфликта - выигрыш (проигрыш). Выигрыш или проигрыш может быть задан количественно. Игра называется антагонистической или игрой с нулевой суммой, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, поэтому для полного «задания» игры достаточно указать величину выигрыша первого игрока. Стратегией игрока называется совокупность принципов, определяющих выбор его действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Для того чтобы найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй игрок придерживается своей стратегии. В тоже время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. При выборе оптимальной стратегии следует полагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. В некоторых задачах, приводящихся к игровым, имеется неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие (погода, покупательский спрос и т.п.). Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с природой. Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа и т.п.) действует случайно. При решении задач, относящихся к теории игр, необходимо правильно классифицировать задачу, потому что методы, применяемые к антагонистическим играм, кардинально отличаются от методов решения игр с природой. Системы массового обслуживания Часто приходится сталкиваться с такими ситуациями: очередь покупателей в кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых остановлено светофором; ряд станков, вышедших из строя и ожидающих ремонта, и т.д. Все эти ситуации объединяет то, что системам необходимо пребывать в состоянии ожидания. Ожидание является следствием вероятностного характера возникновения потребностей в обслуживании и разброса показателей обслуживающих систем, которые называют системами массового обслуживания (СМО). Цель изучения СМО состоит в том, чтобы взять под контроль некоторые характеристики системы, установить зависимость между числом обслуживаемых единиц и качеством обслуживания. Качество обслуживания тем выше, чем больше число обслуживаемых единиц. Но экономически невыгодно иметь лишние обслуживающие единицы. В промышленности СМО применяются при поступлении сырья, материалов, комплектующих изделий на склад и выдаче их со склада; обработке широкой номенклатуры деталей на одном и том же оборудовании; организации наладки и ремонта оборудования; определении оптимальной численности обслуживающих отделов и служб предприятий и т.д. Основными элементами СМО являются источники заявок; их входящий поток; каналы обслуживания и выходящий поток. В зависимости от характера формирования очереди СМО различают: 1. системы с отказами, в которых при занятости всех каналов обслуживания заявка не встает в очередь и покидает систему необслуженной; 2. системы с неограниченными ожиданиями, в которых заявка встает в очередь, если в момент ее поступления все каналы были заняты. 3. системы смешанного типа с ожиданием и ограниченной длиной очереди: заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все места в очереди заняты. Заявка, попавшая в очередь, обслуживается обязательно. По числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и многоканальные. В зависимости от расположения источника требований, системы могут быть разомкнутыми (источник заявок находится вне системы) и замкнутыми (источник находится в самой системе). Рассмотрим в отдельности элементы СМО. Входящий поток: на практике наиболее распространенным является простейший поток заявок, обладающий свойствами стационарности ординарности и отсутствия последействия. Стационарность характеризуется тем, что вероятность поступления определенного количества требований (заявок) в течение некоторого промежутка времени зависит только от длины этого промежутка. Ординарность потока определяется невозможностью одновременного появления двух или более заявок. Отсутствие последействия характеризуется тем, что поступление заявки не зависит от того, когда и сколько заявок поступило до этого момента. Сетевое планирование Сетевая модель – план выполнения некоторого комплекса взаимосвязанных работ, заданного в специфической форме сети, графическое изображение, которого называется сетевым графиком. Сетевой график (сетевая модель) – графическое изображение плана выполнения комплекса работ, состоящего из нитей (работ) и узлов (событий), которые отражают логическую взаимосвязь всех операций. Событие – момент завершения какого-либо процесса, отражающий отдельный этап выполнения проекта. Порядок построения сетевого графика. 1. В сетевой модели не должно быть “тупиковых” событий, т.е. событий, из которых не выходит ни одна работа, за исключением завершающего события. 2. В сетевом графике не должно быть событий (кроме исходного), которым не предшествует хотя бы одна работа. 3. В сети не должно быть замкнутых контуров и петель, т. е путей, соединяющих некоторые события с ними же самими. 4. Любые два события должны быть непосредственно связаны не более чем одной работой-стрелкой. 5. В сети рекомендуется иметь одно исходное и одно завершающее событие. Путь – любая последовательность работ, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Критический путь – наиболее продолжительный полный путь в сетевом графике. Построение сетевого графика позволяет проанализировать все операции и внести улучшения в структуру модели до начала ее реализации. Календарный сетевой график определяет начало и окончание каждой операции, а также взаимосвязи с другими операциями графика. Он выявляет критические операции, которым надо уделять особое внимание, чтобы закончить все работы в директивный срок. По выявленным некритическим операциям календарный сетевой график позволяет определить резервы времени, которые можно выгодно использовать при задержке выполнения работ или эффективном использовании трудовых и финансовых ресурсов. В основе сетевого планирования лежит изображение планируемого комплекса работ в виде графа. Оптимизация сетевого графика – процесс улучшения организации выполнения комплекса работ с учетом срока его выполнения. Частная оптимизация – минимизация времени выполнения комплекса работ при заданной стоимости, минимизация стоимости комплекса работ при заданном времени выполнения проекта. Комплексная оптимизация – нахождение оптимального соотношения величин стоимости и сроков выполнения проекта в зависимости от конкретных целей, ставящихся при его реализации. Многокритериальные задачи Это задачи, которые состоят в поиске лучшего решения, удовлетворяющего нескольким несводимым друг с другом критериям. Многокритериальные задачи возникают в следующих случаях: 1. Когда рассматривается задача оптимизации на множество целей (составление рабочего плана предприятия, когда одним из критериев плана является себестоимость); 2. Когда рассматривается задача оптимизации на множество объектов (распределение дефицитного сырья между несколькими предприятиями); 3. Когда рассматривается задача оптимизации на множество условий функционирования объекта (когда задается ряд условий, в которых предстоит работать объекту и применительно к каждому условию применяется ряд объектов); 4. Когда рассматривается задача оптимизации на множество этапов функционирования объектов, в данном случае рассматривается функционирование объекта на некотором интервале времени, который разбит на ряд этапов и каждый этап оценивается частным критерием оптимизации (распределение квартального плана по месяцам). Имитационное моделирование Имитационные методы используются для анализа сложных систем в различных областях. Особо важное место имитационные методы занимают в анализе экономических процессов. С помощью имитационного моделирования эффективно решаются задачи самой широ­кой проблематики — стратегического планиро­вания, бизнес-моделирования, моделирова­ния различных финансовых проектов, управления производством и финансами, инвестиционно-технологического проектиро­вания, а также моделирования и прогнозирования соци­ально-экономичес­кого развития региональных и городских систем К наиболее типичным экономическим задачам, допускающим эффективное применение имитационного моделирования для принятия решений, относятся: • Анализ рисков. • Использование ресурсов. • Управление запасами. • Работа системы массового обслуживания. • Производственное планирование. Важным направлением применения имитационного моделирования – системы массового обслуживания. В настоящее время под имитационным моделированием понимается метод проведения на компьютерах численных экспериментов с математическими моделями, описы­вающими поведение сложных систем в течение продолжительного времени. Основой имитационного эксперимента является математическая модель имитиру­емой системы, реализованной в виде программы для ЭВМ. В ходе эксперимента варьируются входные переменные, парамет­ры модели, совершенствуются ее структура, модифицируются принятые гипотезы о поведении отдель­ных частей системы. В связи с такой спецификой работы имитационная система обычно дает ответы на вопросы лишь в статистическом смысле, что неизбежно при работе со сложной системой. Можно сказать, что в основе имитационного моделирования лежит метод многократного решения за­дач "Что будет, если?" Процесс имитации состоит из серии численных экспериментов с моделью при заданных значениях детерминированных составляющих входных пере­менных и случайных реализациях случайных величин, входящих в со­став модели. Имитационное моделирование может быть ценным звеном в системах поддержки принятия решений, т.к. позволяет исследовать большое число альтернатив (вариантов решений), проигрывать различные сценарии при любых входных данных. В имитационной модели может быть обеспечен различный (в том числе и очень высокий) уровень детализации моделируемых процессов. При этом модель создается поэтапно, постепенно, без существенных изменений, эволюционно.