Методы оценивания в режиме off-line (динамические модели). Использование АРСС-моделей для описания процесса и шума

Лекция №3 Методы оценивания в режиме off-line (динамические модели) В качестве моделей будем использовать авторегрессионные модели скользящего среднего (АРСС) минимального порядка, достоинства которых обсуждались ранее. 4.2.1.Использование АРСС – моделей для описания процесса и шума Запишем уравнение АРСС – модели: [⏟ ( )] [ ] [⏟ АР ( )] [ ] [ ] СС ( ) ∑ ( ) ∑ где [ ], [ ] - входной и выходной сигнал в момент времени [ ] – так называемая ошибка уравнения; ; q-1 – задержка на один такт во временной области. Предположим, что идентифицируемые объекты (процессы) описаны разностными уравнениями, т.е. АРСС – моделью (это предположение так же естественно, как и предположение об описании непрерывных объектов линейными дифференциальными уравнениями). Схему объекта можно представить в виде рис.4.4: e[k] u[k] Идентифициру емый объект y[k] Рис.4.4. Схема объекта Ошибка уравнения [ ] возникает в результате: 1. Наличия помех, действующих в объекте; 2. Неточности описания объекта АРСС – моделью (из-за неучтенных нелинейностей; более низкого порядка модели по сравнению с порядком реального объекта). Ошибка уравнения в общем виде может быть отлична от белого шума, т.е. иметь автокорреляционную функцию, отличную от  - функции, рис.4.5. Такой шум называется цветным шумом. Запишем разностное уравнение, соответствующее Рис.4.5.Автокорреляционная функция выбранной АРСС – модели. Учтем, что g>=p из условия физической реализуемости объекта. ( ) ( ( ) +,,,+ )+e(k). ( ) ( ) ( ) Запишем уравнения для дискретных моментов времени k=0,1,…,g,g+1,…,N,где , имея в виду, что начальные значения сигналов – нулевые: N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ( [ ( ) [ ] ( ( ) [ ) ) ) ( [ ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( )]- вектор значений выходного ( )]- вектор ошибок уравнения, ̅ -вектор истинных параметров процесса, ( ( ) ( ) ) Вводя следующие обозначения: ̅ сигнала, ̅ ) ) ( ) ( ) | ( ( ) ) ( ) ]- матрица наблюдений. Используя введенные обозначения, получим описание идентифицируемого процесса в векторно-матричной форме ̅ ( ) ̅ ̅ ̅ – вектор ошибок уравнения идентифицируемого объекта (процесса). Уравнение модели для поиска параметров будет иметь аналогичный вид (т.е. описываться АРСС – моделью и векторно-матричной формой): |̂ [ ̂( ̂( )= ̂ ̂ ̂ ̂( )= ̂ ̂ ̂ Где )] ( ) ̂( )| ( ) ̂ ( ). - оператор задержки на один такт во временной области; Значок ̂ означает оценку параметра. Уравнение модели в векторно-матричной форме: ̅ ( ) ̂̅ ̂̅. Вектор оцениваемых параметров АРСС – модели имеет вид: ̂̅ [̂ ̂ ̂̅ [ ̂( ̂ ) ̂( ̂ ̂ ) ̂ ], ̂ ( )] ̂ ̅ - вектор ошибок уравнения модели, содержащих ошибку уравнения объекта и дополнительно все информацию о неточности настройки параметров модели. Схема теоретической модели процесса и соответствующей АРСС- модели представлена на рис.4.6. ТМО МО Рис.4.6. Схема теоретической модели процесса и ARMAX-модели. ТМО – теоретическая модель объекта; МО – модель объекта; ̂ ( ) - ошибка уравнения модели. Предположим, что порядок модели и объекта одинаковый и модель настроена, тогда, как видно, в силу симметрии схемы рис.4.6 ̂ ( ) ( ) и ошибка минимальная. Если параметры модели не настроены, то в ̂( ) будет содержаться информация о расхождении параметров модели и объекта, которая будет существенной только при условии подачи на вход объекта и модели достаточно информативного сигнала. По ошибке модели можно настроить ее параметры. 4.2.2.Применение МНК для оценивания параметров статических объекта Для оценивания параметров объекта сформируем критерий близости модели к объекту в виде СКО (среднеквадратической ошибки ̂ ( )): ∑ ̂ ̅ ̂̅  ̂ ( ) ̂ ̅ Применяя векторно-матричную форму уравнения модели: ̅ ) ̂̅ ) ( ̅ ( (̅ (̅ ̅ ) ̂̅ ( ̅ ̂̅ ( ( )) ( ̅ ̂̅ )̅ ) ̂̅ ( ) ̂̅ ) ̂ ̅, получим: ) ̂̅ ) ( ̂̅ (̅ ( ( ) ̂̅ )  ) ( ̂ ̅ Наилучшую оценку векторов параметров модели ̂̅ находим из условия ̂̅ . Найдем производную от СКО по вектору параметров модели, используя правила дифференцирования квадратичных форм по вектору, приведенные ранее. ( ̂ ̅ )̅ ( )̅ ( вектора параметров модели ̂̅ : ̂̅ [ ( ) ( При условии, что матрица ( ) ̂̅ ) ( . ) не вырождена, получаем МНК – оценку ) ( )] ( )̅ Проверим полученную оценку на асимптотическую несмещенность, т.е. выполнение ̂̅ - ̅ =[ ]. условия: В качестве ̅ подставим выражение вектора, описывающего объект: ( ̅ ) ̅ ̅ Т.е. ̅̂ [ [ ( ) ( )] ( )( ( [ ( ) ( )] ( ) ( ( ) ( )] ( ̅ ( +[ ) ( )] ( )̅ ) ̅ ) ̅ ̅) [ ( ) ( ( ) ̅. )] ( ) ̅ ) ̅ Для несмещенности возьмем предел, получим: ̂̅ ̅ [ ( ) ( )] Из требования несмещенности оценки вектора параметров модели правый предел должен быть равен нулевому вектору, т.е. должны выполняться условия несмещенности: 1. 2. * ( ( ) ( ) ̅=[ ] )+ Требование 1 означает, что входной и выходной сигналы достаточно информативны, что обеспечивается подачей на вход объекта постоянно возбуждающего сигнала порядка не меньшего чем число оцениваемых параметров, т.е. g+p+1. Для того, чтобы понять, при каких условиях выполняется второе требование. Распишем его подробнее: ( ( ( ) ( ( ) ) ( ) ( )] [ ( ) ̅ ) [ ∑ ( ) ( ) ( ( ) ) = ( ) ] ( ) ∑ ( ∑ ( ) ( ) ) ( ) [∑ ( ) ( )] = ( ) ) ( ) ( ) [ ( )] [ ] Требование 2 выполняется в том случае, когда а) входной сигнал объекта не коррелирован с ошибкой уравнения; б) выходной сигнал объекта не коррелирован с ошибкой уравнения. Условие а) выполняется для следующих двух схем идентификационного эксперимента, но не выполняется для третьей схемы, поскольку входной сигнал объекта коррелирован с e[k] помехой (рис.4.7): u[k] Идентифициру емый объект y[k] Схема разомкнута e[k] Схема замкнутая u[k] Идентифициру e[k] емый объект y[k] Рис.4.7 Для того, чтобы исследовать условие некоррелированности выходного сигнала объекта и ошибки уравнения, рассмотрим следующий пример: Схема замкнутая Пример: Объект первого порядка описывается разностным уравнением: ( ) ( ) ( ) ( ). Запишем выходные сигналы объекта для нескольких моментов времени: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )= ( ) ( ) ( ) ( ) В соответствии с требованием 2 найдем значение взаимной корреляционной функции Rye(1) усреднением по множеству, предполагая, что на входе и выходе действует случайные сигналы и, как известно, для эргодических процессов усреднение по времени можно заменить усреднением по множеству ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ), (черта над выражением – усреднение по множеству). Предполагая, что ошибка уравнения имеет нулевое математическое ожидание и не коррелированна со входным сигналом, получим : ( ) ( ) ( ) Значение взаимной корреляционной функции может быть равно 0 только при условии некоррелированности значений ошибки уравнения в разные моменты времени, т.е. только в том случае, когда ошибка уравнения представляет собой сигнал типа белый шум и ее автокорреляционная функция имеет вид  - функции Дирака. PS Взятие производных по вектору: ̅ ̅ ̅ (если А –симметричная матрица) ( ̅ ( ̅ ( ̅ ̅) ̅) ̅) ̅ ̅ ̅