Методы и средства решения стандартных задач профессиональной деятельности

О.Л. Цветкова Курс лекций Методы и средства решения стандартных задач профессиональной деятельности Ростов-на-Дону 2019 Выпускник, освоивший программу бакалавриата, в соответствии с видом (видами) профессиональной деятельности, на который (которые) ориентирована программа бакалавриата, должен быть готов к решению следующих типов задач: проектный:  Менеджмент проектов в области ИТ (планирование, организация исполнения, контроль и анализ отклонений) для эффективного достижения целей проекта в рамках утвержденных заказчиком требований, бюджета и сроков;  Разработка, восстановление и сопровождение требований к программному обеспечению, продукту, средству, программно-аппаратному комплексу, автоматизированной информационной системе или автоматизированной системе управления на протяжении их жизненного цикла;  Проектирование, графический дизайн и юзабилити-исследование интерактивных пользовательских интерфейсов, обеспечивающих высокие эксплуатационные (эргономические) характеристики программных продуктов и систем. Цифровая обработка сигналов Часть № 1 Лекции № 1 Введение в цифровую обработку сигналов 1. Цифровая обработка сигналов, ее преимущества и области применения 2. Классификация сигналов и преобразование типов сигналов 1. Цифровая обработка сигналов, ее преимущества и области применения Бурный прогресс вычислительной техники в последние десятилетия привел к широкому внедрению методов цифровой обработки информации практически во всех областях научных исследований и народно-хозяйственной деятельности. При этом среди различных применений средств вычислительной техники одно из важнейших мест занимают системы цифровой обработки сигналов (ЦОС). Сигналом обычно называют то, что несет в себе какие-то данные. Сигналы передают информацию о состоянии или поведении физической системы, синтезируются в целях обмена информацией между людьми, между людьми и механизмами. В цифровой обработке сигналов под сигналом понимают его математическое описание, т.е. некоторую функцию, содержащую информацию о состоянии или поведении физической системы при каком-нибудь событии, которая может быть определена на непрерывном или дискретном пространстве изменения времени или пространственных координат. Например, речевой сигнал представляется как функция времени, а изображение — функция яркости от двух пространственных переменных. По общему соглашению независимой переменной в математическом представлении сигнала выступает время, хотя в отдельных примерах независимая переменная в сигнале фактически временем не является. Привлекательность ЦОС обусловлена такими основными преимуществами: 2. Классификация сигналов и преобразование типов сигналов Классификация сигналов. Случайные (стохастические) и детерминированные сигналы. Рис. 1. Различные виды сигналов Рис. 2. Представление сигнала изображения Рис. 3. Что такое периодический сигнал Рис. 4. Основные виды периодических сигналов Рис. 5. Виды сигналов Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы. Аналоговый сигнал является непрерывной функцией непрерывного аргумента, т.е. определен для любого значения аргументов. Источниками аналоговых сигналов являются физические процессы и явления, непрерывные в динамике своего развития во времени, в пространстве или по любой другой независимой переменной, при этом регистрируемый сигнал подобен («аналогичен») порождающему его процессу. Множество возможных значений сигнала образует континуум — непрерывное пространство, в котором любая точка может быть определена с точностью до бесконечности. Примеры сигналов, аналоговых по своей природе: изменение напряженности электрического, магнитного, электромагнитного поля во времени и в пространстве. Дискретный сигнал по своим значениям также является непрерывной функцией, но определенной только по дискретным значениям аргумента (рис. 6, а). По множеству своих значений он является конечным (счетным) и описывается дискретной последовательностью отсчетов , где — интервал между отсчетами, называемый шаг дискретизации или период дискретизации; число может принимать все целые значения от –∞ до +∞. Величина, обратная шагу дискретизации называется частотой дискретизации. Соответствующая ей угловая частота определяется следующим образом: . При реализуется равномерная дискретизация, иначе — неравномерная дискретизация сигнала. На рис. 6, б показан процесс квантования функции по уровню с шагом квантования Δ. Цифровой сигнал квантован по своим значениям и дискретен по аргументу (рис. 6, в). Он описывается функцией , где — функция квантования с числом уровней квантования , при этом интервалы квантования могут быть как с равномерным распределением, так и с неравномерным, например — логарифмическим. Цифровой сигнал по своим значениям (отсчетам) является разновидностью дискретного сигнала при округлении отсчетов последнего до определенного количества цифр. Цифровой сигнал конечен по множеству своих значений. Рис. 6. Дискретизация функции по времени (а); квантование функции по уровню (б); дискретизация функции по времени и квантование по уровню (в) Аналогично и системы обработки сигналов могут быть разбиты на классы. Непрерывной системой, называется система, у которой как входной сигнал, так и реакция на него — непрерывные сигналы, а дискретной системой называют систему, у которой входной и выходной сигналы дискретны. Цифровой системой называют систему, перерабатывающую цифровой сигнал в цифровой. Таким образом, цифровая обработка сигналов имеет дело с преобразованием сигналов, дискретных как по времени, так и по уровню. Преобразования типа сигналов. Материальное представление сигналов и формы их математического описания изменяются путем соответствующих операций преобразования типа сигналов. Операция дискретизации осуществляет преобразование аналоговых сигналов (функций), непрерывных по аргументу, в функции мгновенных значений сигналов по дискретному аргументу , где значения представляют собой отсчеты функции в моменты времени . Операция восстановления аналогового сигнала из его дискретного представления обратна операции дискретизации и представляет, по существу, интерполяцию данных. Ясно, что в общем случае представление сигнала набором дискретных отсчетов приводит к потере информации, так как мы ничего не знаем о поведении сигнала в промежутках между отсчетами. Однако существуют условия, определенные теоремой Котельникова, при выполнении которых аналоговый сигнал с ограниченным частотным спектром может быть без потерь информации преобразован в дискретный сигнал, и затем абсолютно точно восстановлен по значениям своих дискретных отсчетов. Как известно, любая непрерывная функция может быть разложена на конечном отрезке в ряд Фурье, т.е. представлена в спектральной форме — в виде суммы ряда синусоид. Сигнал имеет ограниченный спектр, если после определенной частоты все коэффициенты спектра равны нулю, т.е. сигнал представляется в виде конечной суммы ряда Фурье. Теорема Котельникова: если спектр сигнала ограничен частотой , то после дискретизации сигнала с частотой дискретизации можно восстановить исходный непрерывный сигнал по полученному дискретному сигналу абсолютно точно. Соответственно шаг дискретизации должен удовлетворять следующему неравенству: . Частота равная половине частоты дискретизации названа в честь Гарри Найквиста: частота Найквиста . Из теоремы Котельникова следует, что при дискретизации аналогового сигнала потерь информации не будет только в том случае, если спектр (наивысшая частота полезного сигнала) сигнала равен или ниже частоты Найквиста . На практике эта теорема имеет огромное значение. Например, известно, что диапазон звуковых сигналов, воспринимаемых человеком, не превышает 20 кГц. Следовательно, при дискретизации записанных звуковых сигналов с частотой не менее 40 кГц можно точно восстановить исходный аналоговый сигнал по его дискретным отсчетам, что и выполняется в проигрывателях компакт-дисков для восстановления звука. Частота дискретизации звукового сигнала при записи на компакт-диск составляет 44100 Гц. Операции квантования по уровню и цифро-аналогового преобразования. АЦП последовательно выполняет две операции над аналоговым сигналом: дискретизацию и квантование. Поэтому основными характеристиками АЦП являются шаг дискретизации по времени и шаг квантования по уровню . В технической документации вместо обычно используют обратную величину — частоту дискретизации , которую измеряют в количестве выборок в секунду или в герцах (Гц). Вместо шага квантования в описании АЦП указывают связанную с ней величину — разрядность АЦП, под которой понимают число двоичных разрядов , используемых для записи одного квантованного значения. Так, например, предположим, что АЦП является восьмиразрядным . Тогда, оно может отобразить целых чисел: от 0 до 255. Максимальная амплитуда сигнала на входе АЦП является фиксированной и также указывается в его техническом описании. Таким образом, весь динамический диапазон значений входного сигнала будет простираться от до . Этот диапазон делится на 256 уровней, следовательно, шаг квантования составит . Из рассмотренного примера понятна связь между разрядностью АЦП и шагом квантования : . Таким образом, квантование представляет собой округление значения амплитуды, т.е. замену этого значения одним из разрешенных значений, отстоящих друг от друга на конечные интервалы. Шкала разрешенных значений называется шкалой квантования, а интервал между значениями — шагом квантования. Соответственно, чем меньше шаг квантования, тем выше качество преобразования. Возникающие при квантовании ошибки округления отсчетов называются шумами квантования (ошибки квантования). Значения ошибок квантования удовлетворяют условию . Рис. 7. Сигнал, восстановленный из цифрового при помощи ЦАП Наложение спектров (алиасинг). Если попытаться провести дискретизацию сигнала с недостаточной для него частотой дискретизации (или если спектр сигнала не ограничен), то по полученной дискретной выборке нельзя будет верно восстановить исходный аналоговый сигнал. Восстановленный сигнал будет выглядеть таким образом, как если бы частоты, лежащие выше половины частоты дискретизации, отразились от половины частоты дискретизации, перешли в нижнюю часть спектра и наложились на частоты, уже присутствующие в нижней части спектра. Этот эффект называется наложением спектров или алиасингом (aliasing). Эффект аналогичен эффекту обратного вращения колес автомобиля на экранах телевизоров, когда скорость их вращения начинает превышать частоту смены кадров. Природу эффекта можно видеть на рис. 8. Рис. 8. Появление кажущейся частоты при дискретизации Предположим, что выполняется оцифровка музыки, спектр которой ограничен частотой кГц, но при записи какой-то электроприбор (например, дисплей) сгенерировал сильную помеху с ультразвуковой частотой 39 кГц, которая проникла в аналоговый звуковой сигнал. Производится оцифровка с частотой кГц. При этом предполагается, что звук, лежащий ниже частоты дискретизации кГц будет записан правильно (по теореме Котельникова). Но т.к. помеха лежит выше частоты 22,05 кГц, то возникнет алиасинг, и помеха «отразится» в нижнюю часть спектра, на частоту около: 39 – 22,05 =16,95 кГц. 22,05 – 16,95 = 5,1 кГц. Если теперь пропустить полученный цифровой сигнал через ЦАП и прослушать результат, то услышим на фоне музыки помеху на частоте 5 кГц. Таким образом, помеха переместилась из неслышимой ультразвуковой области в слышимую область. При оцифровке изображения алиасинг может привести к «ступенчатости» изображения. Для того чтобы избежать алиасинга необходимо использовать более высокую частоту дискретизации, чтобы весь спектр записываемого сигнала уместился ниже половины частоты дискретизации, или искусственно ограничить спектр сигнала перед оцифровкой. Существуют устройства, называемые фильтрами, которые позволяют изменять спектр сигнала. Например, фильтры низких частот (НЧ-фильтры, low-pass filters) пропускают без изменения все частоты, ниже заданной, и удаляют из сигнала все частоты, выше заданной. Эта граничная частота называется частотой среза (cutoff frequency) фильтра. Одно из важных применений НЧ-фильтров заключается в искусственном ограничении спектра сигнала перед оцифровкой. В этом случае фильтры называются анти-алиасинговыми. Частота среза анти-алиасинговых фильтров устанавливается равной половине частоты дискретизации. Рассмотрим, что произойдет, если в примере с записью музыки и помехи применить анти-алиасинговый фильтр перед оцифровкой сигнала. Так как частота дискретизации составляет 44,1 кГц, то частота среза фильтра устанавливается на 22 кГц. Таким образом, фильтр будет пропускать без изменения все сигналы, спектр которых лежит ниже 22 кГц (например, музыку), и подавлять все сигналы, со спектром выше 22 кГц (в том числе — и помеху). После применения фильтра из сигнала исчезнет помеха, и спектр полученного сигнала будет лежать ниже 22 кГц. Когда этот сигнал будет подан на АЦП, алиасинга не возникнет, и по полученной цифровой записи можно будет правильно воссоздать исходную музыку (без помехи). В реальные АЦП почти всегда встраивается анти-алиасинговый фильтр. Обычно эффект от искусственного ограничения спектра вполне приемлем, в то время как алиасинг — недопустим. Однако не всегда искусственное ограничение спектра так благотворно влияет на записываемый сигнал. Например, при оцифровке музыки на низкой частоте дискретизации 11 кГц приходится отфильтровывать из спектра музыки все частоты выше 5,5 кГц. В результате этого музыка теряет в качестве (хотя обычно такие потери лучше, чем алиасинг). При оцифровке изображений необходимо аккуратно проектировать анти-алиасинговый фильтр, чтобы изменение спектра изображения не повлекло видимых искажений. Лекции № 2 Спектральный анализ и синтез сигналов. Преобразование Фурье 1. Ряд Фурье 2. Преобразование Фурье 3. Дискретное преобразование Фурье 4. Быстрое преобразование Фурье 5. Связь между спектрами аналогового и дискретного сигналов Для чего нужна частотная информация? Зачастую информация, не заметная во временном представлении сигнала, проявляется в его частотном представлении. Рассмотрим в качестве примера биологический сигнал, например, электрокардиограмму (ЭКГ). Типичный вид ЭКГ хорошо известен кардиологам. Любое значительное отклонение от него рассматривается как патология. Эта патология, однако, не всегда может быть заметна во временном представлении сигнала. Поэтому в последних моделях электрокардиографов для анализа используется и частотная область сигнала. Решение о патологии выносится только с использованием информации частотной области. В XIX веке (в 1822 г.) французский математик Дж. Фурье показал , что любая периодическая функция может быть выражена в виде бесконечной суммы периодических комплексных экспоненциальных функций. Через много лет эти идеи были применены для непериодических функций, а затем и для сигналов дискретного времени (периодических и непериодических). После такого обобщения потенциальная область применения преобразования Фурье стала значительно большей. В 1965 г. был разработан алгоритм быстрого вычисления преобразования Фурье (БПФ), что сделало его еще более популярным. Спектром сигнала называется совокупность гармонических составляющих, на которые может быть разложен сигнал. Спектральным (гармоническим) анализом называют разложение функции в ряд Фурье, вычисление коэффициентов Фурье. Спектральным (гармоническим) синтезом называют получение колебаний сложной формы путем суммирования их гармонических составляющих (гармоник). 1. Ряд Фурье Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы. При этом они представляются в виде суммы гармонических функций или комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию. Для того чтобы такое разложение существовало, фрагмент сигнала длительностью в один период должен удовлетворять условиям Дирихле. В зависимости от формы базисных функций различают несколько форм записи ряда Фурье. Синусно-косинусная форма. В этом варианте ряд Фурье имеет следующий вид: , (1) Каждое слагаемое называется -ой гармоникой. Коэффициенты ряда Фурье, определяются по формулам: (2) Коэффициент представляет собой среднее значение сигнала на периоде. Если является четной функцией, то все и в формуле ряда Фурье будут присутствовать только косинусные слагаемые. Если является нечетной функцией, равны нулю будут, наоборот, косинусные коэффициенты и в формуле останутся лишь синусные слагаемые. Примечание. Четная функция — это функция, удовлетворяющая условию . Нечетная функция — это функция, удовлетворяющая условию . Пределы интегрирования не обязательно должны быть такими, как в приведенных выше формулах (от до ). Интегрирование может производиться по любому интервалу длиной и результат от этого не изменится. Конкретные пределы выбираются из соображений удобства вычислений, например, может оказаться удобнее выполнять интегрирование от 0 до или от до 0. Вещественная форма. Некоторое неудобство синусно-косинусной формы ряда Фурье состоит в том, что для каждого значения индекса суммирования (т.е. для каждой гармоники с частотой ) в формуле фигурируют два слагаемых — синус и косинус. Воспользовавшись формулами тригонометрических преобразований, сумму этих двух слагаемых можно трансформировать в косинус той же частоты с иной амплитудой и некоторой начальной фазой: (3) где — частотные спектры функции . Если является четной функцией, фазы могут принимать только значения 0 и , а если — функция нечетная, то возможные значения для фазы равны . Каждое слагаемое называется -ой гармоникой. Величины разложения в ряд (3) называются амплитудным спектром и фазовым спектром : , . (4) Амплитудный спектр показывает с какой амплитудой k-ая гармоника входит в периодическую функцию . Фазовый спектр показывает на какой угол по фазе k-ая гармоника смещена относительно нулевой гармоники (начала отсчета). Комплексная форма. Данная форма представления ряда Фурье является наиболее употребляемой в радиотехнике. Она получается из вещественной формы представлением косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент (такое представление вытекает из формулы Эйлера , рис. 1): Рис. 1. Графическая иллюстрация формулы Эйлера Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье, получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показателями: А теперь будем трактовать экспоненты со знаком «минус» в показателе как члены ряда с отрицательными номерами. В рамках этого же общего подхода постоянное слагаемое станет членом ряда с нулевым номером. В результате получится комплексная форма записи ряда Фурье: (5) Комплексные коэффициенты ряда Фурье связаны с амплитудами и фазами , фигурирующими в вещественной форме записи ряда Фурье, следующими соотношениями: Таким образом, любая периодическая функция, на отрезке равном периоду удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть представлена в виде суммы некоторой постоянной и бесконечного множества гармоник. Причем, между периодической функцией времени и ее спектрами существует взаимнооднозначное соответствие, т.е. если известны спектры функции, то по формулам (1), (3), (5) может быть найдена функция . Если известна функция , то по формуле (2), (4), (6) могут быть найдены спектры этой функции. Ряд Фурье может быть применен для представления не только периодических сигналов, но и сигналов конечной длительности. При этом оговаривается временной интервал (например, от 0 до ), для которого строится ряд Фурье, а в остальные моменты времени сигнал считается равным нулю. Для расчета коэффициентов ряда такой подход фактически означает периодическое продолжение сигнала за границами рассматриваемого интервала. При этом пределы интегрирования принимаются от 0 до . 2. Преобразование Фурье Преобразование Фурье (Fourier transform) является инструментом спектрального анализа непериодических сигналов. Впрочем, его можно применять и к периодическим сигналам. Преобразование Фурье рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, т.е. обратимый переход от временного пространства в частотное пространство. Формула прямого преобразования Фурье (ППФ): . (7) Функция угловой частоты называется Фурье-изображением или частотным спектром функции или спектральной характеристикой функции . Спектр характеризует соотношение амплитуд и фаз бесконечного множества бесконечно малых синусоидальных компонент, составляющих в сумме непериодический сигнал . Операция преобразования Фурье математически записывается следующим образом: , где — символ прямого преобразования Фурье. Экспоненциальный член в (7) может быть также представлен как: . Так что на самом деле выполняется умножение исходного сигнала на комплексное выражение, состоящее из синусов и косинусов частоты . Затем интегрируем это произведение. Другими словами, складываются все точки произведения. Если результат интегрирования имеет большое значение, то частота существенно присутствует в сигнале . Если значение интеграла мало, то амплитуда частоты в сигнале мала. Если интеграл равен нулю, то частота отсутствует в сигнале. Интегрирование в выражении (7) осуществляется по времени. Однако, левая часть выражения (7) есть функция частоты. Поэтому, интеграл в (7) вычисляется для каждого значения . Интеграл берется от минус бесконечности до плюс бесконечности, т.е. по всей временной оси. Поэтому, время существования той или иной частоты неважно: ее вклад будет все равно одинаковым. Именно поэтому преобразование Фурье не подходит для анализа сигналов с изменяющейся частотой, т.e. для нестационарных сигналов. Перед применением преобразования Фурье важно знать, стационарный сигнал или нет для оценки релевантности результатов. Преобразование Фурье обратимо, т.е., зная Фурье-изображение, можно определить исходную функцию — оригинал. Соотношение обратного преобразования Фурье (ОПФ) имеет следующий вид: (8) или в сокращенной записи: , где — символ обратного преобразования Фурье. Временная функция имеет преобразование Фурье если: — функция удовлетворяет условиям Дирихле; — функция абсолютно интегрируема, т.е. . Спектральную характеристику можно представить в виде: , где — действительная часть спектральной характеристики; — мнимая часть спектральной характеристики. Спектральную характеристику можно изобразить на комплексной плоскости в виде годографа (рис. 2, а), при построении которого по оси абсцисс откладывается величина , а по оси ординат величина . Спектральную характеристику можно записать в показательной форме: , где — амплитудно-частотная спектральная характеристика функции (спектральная плотность амплитуды, амплитудный спектр); — фаза-частотная спектральная характеристика (рис. 2, б, в). Рис. 2. Спектральные характеристики: а) — годограф; б) — амплитудная; в) — фазовая Таким образом, ряд Фурье позволяет любую периодическую функ­цию представить в виде суммы бесконечного числа гармоник с частотами, принимающими дискретные значения, а интеграл Фурье позволяет непериодическую функцию представить в виде бесконечного числа гармоник, частоты которых образуют непрерывную последовательность. Преобразование Фурье является взаимнооднозначным, поэтому представление сигнала в частотной области (спектральная функция) содержит ровно столько же информации, сколько и исходный сигнал, заданный во временной области. 3. Дискретное преобразование Фурье Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) — это разновидность преобразования Фурье, специально предназначенная для работы с дискретными сигналами. ДПФ применяется в алгоритмах цифровой обработки сигналов (например, в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию, получаемую путем дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Прямое дискретное преобразование Фурье (ПДПФ) сигнала : экспоненциальная форма: , при , (9) если разделить комплексную экспоненту в (9) на действительную и мнимую части получим тригонометрическую форму записи: . Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ). 4. Быстрое преобразование Фурье В пакетах Mathcad и Matlab преобразование Фурье выполняется с помощью функций: прямое fft, обратное ifft. 5. Связь между спектрами аналогового и дискретного сигналов Рис. 3. Спектры аналогового и дискретного сигналов совпадают в диапазоне частот , если удовлетворяется условие теоремы Котельникова. то спектр дискретного сигнала будет представлять собой наложение копий друг на друга (рис. 4). Рис. 4. Лекция № 3 Вейвлет-преобразование сигналов 1. Ограничения и недостатки преобразования Фурье 2. Кратковременное оконное преобразование Фурье 3. Области применения вейвлет-преобразования 4. Идея вейвлет-преобразования 5. Примеры материнских вейвлетов 6. Непрерывное вейвлет-преобразование 7. Диадное и дискретное вейвлет-преобразования 8. Вейвлет-преобразование в пакете Matlab 1. Ограничения и недостатки преобразования Фурье Преобразование Фурье дает частотную информацию, содержащуюся в сигнале, т.е. говорит о том, каково содержание каждой частоты в сигнале. Однако в какой момент времени возникла та или иная частота, когда она закончилась — на эти вопросы ответ получить не удастся. Впрочем, эта информация и не требуется, если сигнал — стационарный. Стационарными называются сигналы, частотное наполнение которых не меняется во времени. Поэтому при частотном анализе таких сигналов и не требуется временная информация — все частоты присутствуют в сигнале на протяжении всего времени. Например, следующий сигнал является стационарным, так как содержащиеся в нем частоты 10, 25, 50 и 100 Гц не меняются во времени. Этот сигнал изображен на рис. 1, а. На рис. 1, б изображен амплитудный спектр сигнала. Рис. 1. На рис. 2, а показан сигнал, состоящий из четырех различных частот, встречающихся на четырех различных интервалах и, следовательно, являющийся нестационарным. В интервале времени от 0 до 300 мс частота сигнала 100 Гц, от 300 до 600 мс — 50 Гц, от 600 до 800 мс — 25 Гц и на последнем интервале — 10 Гц. На рис. 2, б приведен амплитудный спектр сигнала. Рис. 2. Как видно из рисунка, все четыре частотные компоненты четко видны. «Ложные» частоты имеют небольшую величину в силу того, что частота сигнала изменяется редко. Не считая небольших «ложных» частот, все кажется верным — имеется четыре пика, соответствующие четырем частотам, присутствующим в сигнале. Однако это неверно по следующей причине. Для первого сигнала, показанного на рис. 1, рассмотрим следующий вопрос: В какой момент времени (или хотя бы интервал) возникла та или иная частота? Ответ: Они существуют в течение всего времени — в стационарных сигналах все частотные компоненты присутствуют в течение всего времени, т.е. 10, 50, 100 Гц имеются на всем временном интервале. Теперь рассмотрим тот же вопрос для нестационарного сигнала, показанного на рис. 2. В какое время существуют различные частоты? Ясно, что не во все время. Однако, их спектры не имеют значительных отличий. На обоих графиках видны четыре частотные составляющие 10, 25, 50 и 100 Гц. Кроме небольших «ложных» частот и неодинаковости амплитуд пиков, других различий между спектрами нет, хотя они соответствуют различным сигналам во временной области. Каким же образом спектры двух столь разных сигналов оказались похожи? Таким образом, преобразование Фурье позволяет увидеть частотное наполнение сигналов, но не позволяет определить, в какой момент времени существует та или иная частота. Поэтому, преобразование Фурье непригодно для анализа нестационарных сигналов, за одним исключением: его можно использовать для анализа нестационарных сигналов, если важна только частотная информация, а время существования спектральных составляющих неважно. 2. Кратковременное оконное преобразование Фурье При оконном преобразовании Фурье сигнал делится на отрезки («окна»), в пределах которых его можно считать стационарным. Для этого к сигналу применяется оконная функция , ширина которой должна быть равной ширине окна. Оконная функция и сигнал перемножаются, т.е. выполняется взвешивание сигнала с оконной функцией. Затем произведение подвергается преобразованию Фурье. Следующим шагом является сдвиг оконной функции по временной оси на некоторую величину . Сдвинутая функция вновь умножается с сигналом, выполняется преобразование Фурье произведения. Эта процедура повторяется до достижения конца исходного сигнала. Рис. 3. Иллюстрация техники оконного преобразования Фурье: — сдвиг окна по временной оси; — ширина окна Популярные виды оконных функций представлены на рис. 4. Рис. 4. Популярные виды оконных функций Оконное преобразование Фурье, дает частотно-временное представление сигнала: известно не только какие частотные компоненты присутствуют в сигнале, но и в какой момент времени они встречаются. На рис. 5 представлен трехмерный график (частота, время, амплитуда) оконного преобразования Фурье. Рис. 5. Оконное преобразование Фурье имеет проблемы, связанные с явлением, которое называется принципом неопределенности Гейзенберга. Принцип неопределенности Гейзенберга (или Гайзенберга) в квантовой механике — фундаментальное соображение (соотношение неопределенностей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих систему квантовых наблюдаемых, описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля). Более доступно он звучит так: чем точнее измеряется одна характеристика частицы, тем менее точно можно измерить вторую. Соотношение неопределенностей задает нижний предел для произведения среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых. Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 г., является одним из краеугольных камней физической квантовой механики. Является следствием принципа корпускулярно-волнового дуализма. Этот принцип в применении к данной теме гласит, что невозможно получить точное частотно-временное представление сигнала, т.е. нельзя определить для какого-то момента времени, какие спектральные компоненты присутствуют в сигнале. Единственное, что можно знать, так это временные интервалы, в течение которых в сигнале существуют полосы частот. Эта проблема называется проблемой разрешения. Проблема оконного преобразования Фурье связана с шириной использующейся оконной функции. Эта ширина называется носителем функции. Если окно достаточно узкое, то говорят о компактном носителе. Проблема разрешения оконного преобразования Фурье: узкое окно обеспечивает высокое временное разрешение, но низкое частотное, а широкое — высокое частотное, но низкое временное (рис. 6). Проблема состоит в том, что приходится выбирать окно «раз и навсегда», т.е. для анализа всего сигнала, тогда как разные его участки могут требовать применения разных окон. Если сигнал состоит из далеко отстоящих друг от друга частотных компонент, то можно пожертвовать частотным разрешением в пользу временного, и наоборот. Рис. 6. Вейвлет-преобразование в некоторой степени решает проблему разрешения. 3. Области применения вейвлет-преобразования 1. Обработка экспериментальных данных. Вейвлет-преобразование дает наиболее наглядную и информативную картину результатов эксперимента, позволяет очистить исходные данные от шумов и случайных искажений, и даже «на глаз» подметить некоторые особенности данных и направление их дальнейшей обработки и анализа. Кроме того, вейвлеты хорошо подходят для анализа нестационарных сигналов, возникающих в медицине, анализе фондовых рынков и других областях. 2. Обработка изображений. Вейвлет-преобразование позволяет сгладить или выделить некоторые детали изображения, увеличить или уменьшить его, выделить важные детали, повысить качество. 3. Сжатие данных. Достоинством вейвлет-преобразования является то, что оно не вносит дополнительной избыточности в исходные данные, и сигнал может быть полностью восстановлен. Кроме того, отделение в результате преобразования деталей от основного сигнала позволяет очень просто реализовать сжатие с потерями — достаточно просто отбросить детали на тех масштабах, где они несущественны. Изображение, обработанное вейвлетами, можно сжать в 3—10 раз без существенных потерь информации (а с допустимыми потерями — до 300 раз). Вейвлет-преобразование положено в основу стандарта сжатия данных MPEG4. 4. Нейросети и другие механизмы анализа данных. Большие трудности при обучении нейросетей (или настройке других механизмов анализа данных) создает сильная зашумленность данных или наличие большого числа «особых случаев» (случайные выбросы, пропуски, нелинейные искажения и т.п.). Такие помехи способны скрывать характерные особенности данных или выдавать себя за них и могут сильно ухудшить результаты обучения. Поэтому рекомендуется очистить данные, прежде чем анализировать их. Вейвлеты представляются весьма удобным и перспективным механизмом очистки и предварительной обработки данных для использования их в статистических и бизнес-приложениях, системах искусственного интеллекта и т.п. 5. Системы передачи данных и цифровой обработки сигналов. Благодаря высокой эффективности алгоритмов и устойчивости к воздействию помех, вейвлет-преобразование является мощным инструментом в тех областях, где традиционно использовались другие методы анализа данных, например, преобразование Фурье. 4. Идея вейвлет-преобразования В различных переводах зарубежных статей на русский язык встречаются термины: «всплеск», «всплесковая функция», «маловолновая функция», «волночка» и др. Вейвлет-преобразование (ВП) одномерного сигнала — это его представление в виде интеграла Фурье с помощью базисных функций: , сконструированных из материнского (исходного) вейвлета , обладающего определенными свойствами за счет операций сдвига во времени и изменения временного масштаба . Множитель обеспечивает независимость нормы этих функций от масштабирующего числа . Для заданных значений параметров и функция и есть вейвлет, порождаемый материнским вейвлетом . Таким образом, понятие вейвлета означает волну, которая проходит через сигнал и является окном некоторой ширины (масштаба) для некоторого местоположения во времени. Сдвиг по времени регулирует движение генерированных окон по временной компоненте сигнала. На рис. 7 приведены вейвлет «мексиканская шляпа» (а) и модуль его спектральной характеристики (б). В частотной области спектры вейвлетов похожи на всплески (волночки) с пиком на частоте и полосой , т.е. имеют вид полосового фильтра; при этом и уменьшаются с ростом параметра . На рис. 7, в показана иллюстрация операции временного сдвига вейвлета. Иллюстрация операции временного сдвига вейвлета Рис. 7. Вейвлет-преобразование имеет существенное преимущество по сравнению с оконным преобразованием Фурье: используется не фиксированное окно (фиксированные разрешения по времени и частоте) (рис. 8, а), а вейвлеты, которые задают свойства окна. Базисная функция сужает и расширяет окно (рис. 8, б): — увеличение параметра приводит к повышению разрешения по частоте (сжатие спектра) и снижению разрешения по времени (крупный масштаб по времени); — уменьшение параметра приводит к снижению разрешения по частоте (растягивание спектра) и увеличению разрешения по времени. Отсюда появляется возможность адаптивного к сигналу выбора параметров окна. Рис. 8. 5. Примеры материнских вейвлетов Основные вейвлетообразующие функции, или материнские вейвлеты, приведены в табл. 1. Выбор конкретного материнского вейвлета зависит от характера поставленной задачи и от конкретного анализируемого сигнала, критерием успеха обычно служит простота получаемого разложения. Таблица 1 Основные материнские вейвлеты 6. Непрерывное вейвлет-преобразование Прямое (анализ) и обратное (синтез) непрерывное (интегральное) вейвлет-преобразование (НВП или CWT — continuous wavelet transform) сигнала записываются в следующем виде: Вейвлет-спектр (wavelet spectrum, или time-scale-spectrum — масштабно-временной спектр) в отличие от Фурье-спектра (single spectrum) является функцией двух аргументов: первый аргумент (временной масштаб) обратно пропорционален частоте, а второй — аналогичен смещению сигнала по оси времени. Способы представления (визуализации) могут быть различными. Спектр является поверхностью в трехмерном пространстве (рис. 9, а). Однако часто вместо изображения поверхности представляют ее проекцию на плоскость с изоуровнями (рис. 9, б), позволяющими проследить изменение интенсивности амплитуд на разных масштабах и во времени . Рис. 9. Опишем процесс вейвлет-преобразования (в качестве материнского вейвлета используется гауиссиан) некоторого непрерывного сигнала, который действовал на протяжении промежутка времени 0—200 мс с нормализованной амплитудой (0...1) (рис. 10): 1) Рассчитывается интеграл при начальных условиях и ; 2) Увеличивается параметр на некоторое достаточно малое число и рассчитывается интеграл. Выполняется пока не станет равным 200 мс (концу сигнала). 3) Изменяется параметр , значение опять устанавливается в начальную точку сигнала (); 4) Выполняется шаг 2. Аналогично рассчитываются интегралы для значений параметра , и т.д. В результате описанного процесса рассчитываются значения интегралов функции для каждого масштаба в каждый момент времени. Рис. 10. Часть № 2 Лекция № 5 Сглаживание и алгоритмы нелинейной обработки сигналов 1. Понятие о первичной и вторичной обработке сигналов. Помехи (шумы) 2. Сглаживание искаженных дискретных сигналов 3. Алгоритмы нелинейной обработки сигналов 2. Сглаживание искаженных дискретных сигналов Процедура восстановления, повышения достоверности данных, снижения уровня помех называется сглаживанием. Метод скользящего среднего (скользящего усреднения). В качестве алгоритма предварительной обработки данных обычно используется процедура сглаживания по методу скользящего среднего. При проведении операции восстановления зашумленного сигнала по трем точкам значения сигнала в первой и последней точках интервала дискретизации приравнивается значениям искаженного сигнала в соответствующих точках: . Тогда значения восстановленного сигнала в остальных промежуточных точках определяется по следующей формуле: . При сглаживании зашумленного сигнала по пяти точкам: . Правильный выбор количества точек , участвующих в вычислении среднего, определяет качество отделения высокочастотной помехи от более низкочастотного полезного сигнала. Уменьшение ведет к недостаточному выравниванию экспериментальных данных, а завышение — к искажению существенных особенностей дискретной функции. Поскольку частотные спектры полезного сигнала и помехи заранее неизвестны, количество точек усреднения обычно подбирают экспериментально. Обычно процедуру сглаживания начинают со значений и увеличивают в случае необходимости после анализа полученных результатов сглаживания. Метод наименьших квадратов. Эффективного снижения уровня помех можно достичь применением метода наименьших квадратов, который основан на минимизации суммы квадратов отклонений некоторой аппроксимирующей функции от исходной зашумленной функции в каждой точке. В этом методе выполняется аппроксимация (замена) искаженной функции на «близкую» функцию, которая представляется суммой базисных функций умноженных на коэффициенты. Выбор вида базисных функций основан на том, какие изначально имелись данные (т.е. если исходная зашумленная функция «похожа» на синусоиду или косинусоиду, то следует выбрать в качестве базисных функций тригонометрические). Количество слагаемых в аппроксимирующей функции определяется экспериментально. Пусть имеется дискретная функция зашумленная некоторыми помехами, требуется найти многочлен степени , для которого среднеквадратическое отклонение: минимально. В этом случае функция обеспечивает аппроксимацию исходного сигнала и снижение уровня помех. Здесь — базисные функции, а — коэффициенты, подлежащие определению. С целью определения коэффициентов необходимо найти такую функцию , отклонение значений которой от заданной дискретной функции минимально: . (1) Этот функционал геометрически представляет собой сумму отклонений значений от значений аппроксимирующей функции в точках . Необходимым условием минимума функции многих переменных является равенство нулю ее частных производных по независимым переменным. В функционале (1) независимыми переменными являются коэффициенты . Тогда можно составить систему линейных алгебраических уравнений порядка, относительно неизвестных , которые доставляют минимум функционалу (1): Эту систему уравнений можно записать в виде: или (2) Матрица этой системы уравнений носит название матрица Грама и имеет вид: , или можно записать следующим образом: , где . Матрица симметрична относительно главной диагонали (т.е. ), и если в качестве базисных функций выбраны линейно-независимые функции , то определитель матрицы не равен нулю и система имеет единственное решение. Расширенная матрица получается путем добавления справа столбца свободных членов: , где . Тогда систему уравнений (2) можно записать в векторно-матричном виде: , (3) где — вектор-столбец, содержащий неизвестные коэффициенты. Систему уравнений (3) можно решить методом обратной матрицы или методом Гаусса. Однако можно было записать матрицу , таким образом, чтобы каждый элемент матрицы содержал значения базисных функций в узловых точках: . Матрица прямоугольная размерностью . Тогда задача определения коэффициентов сводится к решению векторно-матричного уравнения: , где . Но поскольку матрица не квадратная, то для определения обратной матрицы необходимо выполнить следующие операции: При использовании для аппроксимации степенных функций будет иметь вид: , а матрица : . При использовании тригонометрических функций: , 3. Алгоритмы нелинейной обработки сигналов Наиболее распространенными алгоритмами нелинейной обработки сигналов являются ранговая фильтрация и взвешенная ранговая фильтрация. Ранговая фильтрация. Ранговый фильтр представляет собой оконный фильтр, последовательно скользящий по массиву сигнала, и возвращающий на каждом шаге один из элементов, попавших в окно (апертуру) фильтра. Пусть размер окна равен , тогда при использовании рангового фильтра порядка для -го положения окна сканирования требуется выполнить следующие действия: На практике апертура фильтра для упрощения алгоритмов обработки данных, как правило, устанавливается с нечетным числом отсчетов. Примечание. Медианой числовой последовательности при нечетном является средний по номеру член ряда, получающегося при упорядочивании этой последовательности по возрастанию (или убыванию). Для четных медиану обычно определяют как среднее арифметическое двух средних отсчетов упорядоченной последовательности. Алгоритм медианной фильтрации наиболее эффективно исключает из сигналов одиночные отрицательные и положительные выбросы, попадающие на края ранжированного списка. Медианные фильтры хорошо подавляют шумы и помехи, протяженность которых составляет менее половины окна. Благодаря этой особенности, медианные фильтры при оптимально выбранной апертуре могут сохранять без искажений резкие границы объектов, подавляя некоррелированные и слабо коррелированные помехи и малоразмерные детали. При аналогичных условиях алгоритмы линейной фильтрации неизбежно «смазывает» резкие границы и контуры объектов. Лекция № 6 Цифровые фильтры 1. Введение в цифровые фильтры 2. Типы цифровых фильтров 3. Классификация фильтров по их частотным свойствам 4. Проектирование цифровых фильтров 5. Разработка цифровых фильтров в пакете Matlab 1. Введение в цифровые фильтры Примечание. Почему нужна линейная фазовая характеристика? Пусть на вход некоторого фильтра подается сигнал , причем ФЧХ фильтра на частоте сигнала равна . Тогда сигнал на выходе будет сдвинут относительно входного на , как это показано на графике. При этом этот сдвиг фазы соответствует временному сдвигу . Соответственно на некоторой другой частоте временной сдвиг будет , а изменение этого временного сдвига будет зависеть от изменения ФЧХ от частоты, т.е. . Это и определяет групповая задержка: изменение временного сдвига при изменении частоты. Если ФЧХ линейна, то групповая задержка постоянна, т.е. при изменении частоты сигнала она не меняется. При нелинейной ФЧХ разные частоты приобретают разные фазовые сдвиги и соответственно разные временные задержки на выходе фильтра. • Трудность работы с высокочастотными сигналами. Полоса частот ограничена частотой Найквиста, равной половине частоты дискретизации сигнала. Поэтому для высокочастотных сигналов применяют аналоговые фильтры, либо, если на высоких частотах нет полезного сигнала, сначала подавляют высокочастотные составляющие с помощью аналогового фильтра, затем обрабатывают сигнал цифровым фильтром. • Трудность работы в реальном времени — вычисления должны быть завершены в течение периода дискретизации. Способы реализации цифровых фильтров. Различают два вида реализации цифрового фильтра: аппаратный и программный. Аппаратные цифровые фильтры реализуются на элементах интегральных схем, тогда как программные цифровые фильтры реализуются с помощью программ, выполняемых процессором или микроконтроллером. Преимуществом программных по сравнению с аппаратными является легкость воплощения, настройки и изменений, а также то, что в стоимость такого фильтра входит только труд программиста. Недостаток — низкая скорость, зависящая от быстродействия процессора. 2. Типы цифровых фильтров Цифровой фильтр — это система обработки дискретного сигнала, обладающая свойствами линейности и стационарности. Линейность означает, что выходная реакция на сумму сигналов равна сумме реакций на эти сигналы, поданные на вход по отдельности, а стационарность — что задержка входного сигнала приводит лишь к такой же задержке выходного сигнала, не меняя его формы. Чтобы обеспечить линейность и стационарность, производимые фильтром математические операции должны ограничиваться сложением и умножением на константы. Чтобы коэффициент передачи фильтра на разных частотах был разным, выходной сигнал фильтра должен зависеть от нескольких отсчетов входного сигнала . Таким образом, дискретный фильтр должен обладать памятью. В общем случае цифровой фильтр суммирует (с весовыми коэффициентами) некоторое количество входных отсчетов (включая последний) и некоторое количество предыдущих выходных отсчетов: Данная формула называется алгоритмом дискретной фильтрации (уравнение фильтрации). Если по-иному сгруппировать слагаемые, чтобы с одной стороны от знака равенства были только входные отсчеты, а с другой — только выходные, получим форму записи, называемую разностным уравнением: Структура разностного уравнения похожа на структуру дифференциального уравнения аналоговой линейной системы, только вместо операции дифференцирования в формуле фигурируют задержки дискретных последовательностей. Этим определяется и общность подходов к описанию аналоговых и дискретных систем. Нерекурсивные фильтры (КИХ-фильтры). В нерекурсивных фильтрах предыдущие отсчеты выходного сигнала не используются при вычислении очередного выходного отсчета и уравнение фильтрации (1) приобретает следующий вид: Количество используемых предыдущих отсчетов называется порядком фильтра. Структурная схема, реализующая алгоритм (2), приведена на рис. 2. Некоторое количество предыдущих отсчетов входного сигнала хранится в ячейках памяти, которые образуют дискретную линию задержки. Эти отсчеты умножаются на коэффициенты , и суммируются, формируя выходной отсчет . Примечание. Согласно свойствам Z-преобразования, задержка дискретной последовательности на один такт соответствует умножению ее Z-преобразования на . Поэтому элементы памяти, осуществляющие такую задержку, обозначены на структурной схеме как «». Так как при вычислениях не используются предыдущие отсчеты выходного сигнала, в схеме отсутствуют обратные связи. Применяется также термин трансверсальный фильтр (от англ. transversal — поперечный). Рис. 2. Нерекурсивный фильтр Импульсная характеристика нерекурсивного фильтра определяется следующим образом: подставим в уравнение (2) единичный импульс в качестве входного сигнала: Но отсчет равен нулю для всех , кроме , когда этот отсчет равен единице. Поэтому получаем простой результат: то есть коэффициенты , являются отсчетами импульсной характеристики фильтра. Это можно наглядно пояснить с помощью рис. 2. При подаче на вход единичного импульса он будет перемещаться по линии задержки, умножаться на коэффициенты и проходить на выход устройства (ведь все остальные входные сигналы сумматора при этом равны нулю). Очевидно, что в реальном устройстве линия задержки содержит конечное число элементов, поэтому импульсная характеристика нерекурсивного фильтра также является конечной по длительности. Это обусловило еще одно название таких фильтров — фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры; английский термин — finite impulse response, FIR). Вследствие отсутствия обратных связей любой нерекурсивный фильтр является устойчивым — ведь каковы бы ни были начальные условия (то есть отсчеты, хранящиеся в линии задержки), при отсутствии сигнала на входе () выходной сигнал (свободные колебания) будет отличен от нуля в течение не более чем тактов, необходимых для очистки линии задержки. Простота анализа и реализации, а также наглядная связь коэффициентов фильтра с отсчетами его импульсной характеристики и абсолютная устойчивость привели к тому, что нерекурсивные фильтры широко применяются на практике. Рекурсивные фильтры (БИХ-фильтры). Если уравнение фильтрации имеет общий вид (1), т.е. содержит как входные, так и выходные отсчеты, для реализации такого фильтра в схему, приведенную на рис. 2, необходимо добавить вторую линию задержки — для хранения выходных отсчетов . Получающаяся при этом структура показана на рис. 3. Рис. 3. Рекурсивный фильтр Так как при вычислениях используются предыдущие отсчеты выходного сигнала, в схеме присутствуют обратные связи. Количество предыдущих входных и выходных отсчетов, используемых для вычислений, может не совпадать. В таком случае порядком фильтра считается максимальное из чисел и . Импульсная характеристика рекурсивного фильтра рассчитывается сложнее, чем для нерекурсивного. При поступлении на вход единичного импульса он умножается на и проходит на выход: Далее входной единичный импульс попадает во входную линию задержки, а выходной отсчет, равный , — в выходную линию задержки. В результате второй отсчет импульсной характеристики будет формироваться как: Продолжив рассмотрение перемещения входного единичного импульса вдоль входной линии задержки и заполнения выходными отсчетами выходной линии задержки, можно получить: Видно, что по мере того, как выходная линия задержки заполняется отсчетами импульсной характеристики, сложность аналитических формул быстро возрастает. Наличие в схеме обратных связей позволяет получить бесконечную импульсную характеристику, поэтому рекурсивные фильтры называют также фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтрами; английский термин — infinite impulse response, IIR). По этой же причине рекурсивные фильтры могут быть неустойчивыми. Выбор между КИХ- и БИХ-фильтрами. Выбор между КИХ- и БИХ-фильтрами зависит от относительных преимуществ обоих типов. Сравнительные характеристики фильтров обоих типов представлены в табл. 1. Таблица 1 Сравнительные характеристики КИХ- и БИХ-фильтров КИХ-фильтры БИХ-фильтры КИХ-фильтры могут иметь линейную фазовую характеристику. Следовательно, фильтр не вносит фазового искажения в сигнал, что важно во многих сферах, например, передаче данных, биомедицине, цифровой аудио обработке или обработке изображений. Фазовая характеристика БИХ-фильтров нелинейная, особенно на краях полос. КИХ-фильтры реализованы нерекурсивно, они всегда устойчивы. Гарантировать устойчивость БИХ-фильтров удается не всегда. Чтобы получить фильтр с резкими срезами амплитудно-частотной характеристики, потребуется больше коэффициентов конечной импульсной характеристики, чем бесконечной. Синтез КИХ-фильтров алгебраически сложнее. Синтез БИХ-фильтров осуществляется более простыми способами. Получать произвольные частотные характеристики на КИХ-фильтрах легче. Получать произвольные частотные характеристики на БИХ-фильтрах сложнее. Для КИХ-фильтров не существует аналоговых прототипов. Аналоговые фильтры можно преобразовать в эквивалентные цифровые БИХ-фильтры, удовлетворяющие сходным спецификациям. 3. Классификация фильтров по их частотным свойствам Основная задача фильтров — отфильтровывать (подавлять) спектральные компоненты сигнала в определенном частотном диапазоне, передавая в неизменном виде спектральные компоненты в другом частотном диапазоне. Фильтры классифицируются в зависимости от вида их амплитудно-частотной характеристики. Диапазон частот АЧХ, в котором фильтр пропускает спектральные компоненты сигнала, называется полосой пропускания. Диапазон частот АЧХ, в котором фильтр не пропускает (подавляет) спектральные компоненты сигнала, называется полосой подавления. Между полосами пропускания и подавления может располагаться переходная полоса. В зависимости от расположения на оси частот полосы пропускания и полосы подавления фильтры делятся на: Идеальные амплитудно-частотные характеристики фильтров представлены на рис. 4. Рис. 4: — граничные частоты зоны пропускания; — граничные частоты зоны подавления. 4. Проектирование цифровых фильтров Под проектированием (синтезом) цифрового фильтра понимается выбор таких коэффициентов и , при которых характеристики получающегося фильтра удовлетворяют заданным требованиям. Таким образом, первым этапом проектирования цифрового фильтра является спецификация требований. Рис. 6. Схемы допусков для: а) КИХ-фильтра нижних частот; б) полосового БИХ-фильтра Примечание. Децибел — это безразмерная единица, применяемая для измерения отношения некоторых величин — «энергетических» (мощности, энергии, плотности потока мощности и т.п.) или «силовых» (силы тока, напряжения и т.п.). Иными словами, децибел — это не абсолютная величина, как, например, ватт или вольт, а такая же относительная, как кратность («трехкратное отличие») или проценты, предназначенная для измерения отношения двух величин, причем к полученному отношению применяется логарифмический масштаб. Величина, выраженная в децибелах, численно равна десятичному логарифму безразмерного отношения физической величины к одноименной физической величине, принимаемой за исходную, умноженному на десять: , где — величина в децибелах; — измеренная физическая величина; — величина, принятая за базис. Пример схемы для полосового БИХ-фильтра приведен на рис. 6, б. Пример 1. Следующим этапом проектирования фильтра является расчет коэффициентов фильтра. Методы расчета коэффициентов КИХ-фильтров. где — нормированные по частоте дискретизации частота среза () и граничные частоты полос пропускания (для НЧ, ВЧ и полосового фильтров) и подавления (для режекторного фильтра), — угловая частота. Пример 2. Методы расчета коэффициентов БИХ-фильтров. На рис. 10 приведены частотные характеристики классических аналоговых фильтров нижних частот. Фильтр Баттерво́рта проектируется так, чтобы его амплитудно-частотная характеристика была максимально гладкой на частотах полосы пропускания. Подобные фильтры были впервые описаны британским инженером Стефаном Баттервортом в статье «О теории фильтрующих усилителей» (англ. On the Theory of Filter Amplifiers), в журнале Wireless Engineer в 1930 год. Фильтр Чебышева — один из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которого является более крутой спад амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и существенные пульсации амплитудно-частотной характеристики на частотах полос пропускания (фильтр Чебышева I рода) и подавления (фильтр Чебышева II рода), чем у фильтров других типов. Фильтр получил название в честь известного русского математика XIX века Пафнутия Львовича Чебышева, так как характеристики этого фильтра основываются на многочленах Чебышева. Фильтры Чебышева обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ, в частности, хорошее подавление частот из полосы подавления, и при этом гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и подавления не столь важна. Эллиптический фильтр (фильтр Кауэра) — фильтр, характерной особенностью которого является пульсации амплитудно-частотной характеристики, как в полосе пропускания, так и в полосе подавления. Величина пульсаций в каждой из полос независима друг от друга. Другой отличительной особенностью такого фильтра является очень крутой спад амплитудной характеристики, поэтому с помощью этого фильтра можно достигать более эффективного разделения частот, чем с помощью других линейных фильтров. Рассмотрим подробно метод билинейного z-преобразования. Деформация граничных частот необходима вследствие того, что между аналоговой и цифровой частотами при больших значениях частот существует нелинейная зависимость, что схематически изображено на рис. 11. Пример 3. 5. Разработка цифровых фильтров в пакете Matlab Разработка КИХ-фильтров. Для проектирования КИХ-фильтра методом вырезания в пакете Matlab применяется функция: b = fir1(N-1, fc), которая вычисляет и возвращает в вектор (упорядоченный по возрастанию отрицательной степени ) коэффициенты -точечной импульсной характеристики КИХ-фильтра с частотой среза : Частота среза нормируется на частоту Найквиста (т.е. половину частоты дискретизации ) и с учетом эффекта смазывания, возникающего при использовании метода взвешивания, определяется следующим образом: — для фильтра нижних частот ; — для фильтра верхних частот ; — для полосового и режекторного фильтров частота среза задается вектором , где ; — для полосового фильтра; ; — для режекторного фильтра, где — граничные частоты полосы пропускания; — граничные частоты полосы подавления; — ширина полосы перехода. Пример 4. Программа. clear all clc % ПРИМЕР ПРОЕКТИРОВАНИЕ КИХ-ФИЛЬТРА НИЖНИХ ЧАСТОТ % методом взвешивания (вырезания) %ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ % Использовать весовую функцию Хэмминга % Края полосы пропускания fp и полосы подавления fs в кГц fp=1; fs=4.3; % Частота дискретизации в кГц Fs=10; %РЕШЕНИЕ delta_f=fs-fp; % ширина полосы перехода delta_f_norm=delta_f/Fs; % нормированная ширина полосы перехода N=round(3.3/delta_f_norm); % длина фильтра по табл. для фильтра на основе весовой функции Хэмминга fc=fp+delta_f/2; % реальная (с учетом эффекта размывания) частота среза fc_norm=fc/(Fs/2); % частота среза, нормированная на половину частоты дискретизации wn=hamming(N); % вычисление коэффициентов весовой функции Хэмминга hn=fir1(N-1, fc_norm, wn); % вычисление коэффициентов реальной импульсной характеристики фильтра %h_ideal=fir1(N-1, fc_norm, boxcar(N)); % вычисление коэффициентов идеальной импульсной характеристики фильтра %hn=h_ideal.*wn'; % вычисление коэффициентов реальной импульсной характеристики фильтра с помощью свертки % Построение импульсной характеристики фильтра figure stem(hn) grid on % Построение АЧХ фильтра M=2^9; % количество точек данных [H, f]=freqz(hn, 1, M, Fs); % первые два аргумента определяют коэффициенты %числителя и знаменателя передаточной функции фильтра figure plot(f, abs(H)) grid on % Моделирование прохождения сигнала через фильтр % Частоты гармоник входного сигнала для удовлетворения требования % теоремы Котельникова должны быть max(f1, f2)<=Fs/2 % Поскольку все расчеты были в кГц, частоту также задаем в кГц f1=1; f2=4.6; T=1/Fs; % шаг дискретизации m=1:M; t(m)=m*T; x=sin(2*pi*f1*t)+0.5*sin(2*pi*f2*t); % Выходной сигнал фильтра определяется как результат свертки входного % сигнала и импульсной характеристики фильтра y = conv(x, hn); figure plot(t, x, 'r', t, y(1:length(t)), 'b') grid on % Построение амплитудных спектров входного и выходного сигналов Hx=fft(x, M); % прямое преобразование Фурье входного и Hy=fft(y, M); % выходного сигналов f=m*Fs/M; % формирование вектора частот figure plot(f, abs(Hx), 'r') grid on figure plot(f, abs(Hy), 'b') grid on На рис. 12 представлены полученные графики. Рис. 12. Разработка БИХ-фильтров. Расчет порядка фильтра N и вектора частот среза fc (для ВЧ-фильтра и НЧ-фильтра fc — это скаляр) выполняется с помощью следующих функций: [N, fc] =buttord(fp_norm, fs_norm, Ap, As) [N, fc] =cheb1ord(fp_norm, fs_norm, Ap, As) [N, fc] =cheb2ord(fp_norm, fs_norm, Ap, As) [N, fc] =ellipord(fp_norm, fs_norm, Ap, As) где fp_norm, fs_norm — векторы граничных нормированных частот полосы пропускания и полосы затухания (для ВЧ-фильтра и НЧ-фильтра fp_norm, fs_norm — это скаляры). Пример 5. Программа. clear all clc % ПРИМЕР ПРОЕКТИРОВАНИЕ БИХ-ФИЛЬТРА НИЖНИХ ЧАСТОТ % с характеристикой Баттерворта % методом билинейного z-преобразования %ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ % Граничные частоты в Гц fp=100; fs=200; % Частота дискретизации в Гц Fs=1.28*10^3; % Затухание в полосе подавления в дБ As=60; % Неравномерность в полосе пропускания в дБ Ap=0.5; %РЕШЕНИЕ % Граничные частоты, нормированные на половину частоты дискретизации fp_norm=fp/(Fs/2); fs_norm=fs/(Fs/2); [N, fc_norm]=buttord(fp_norm, fs_norm, Ap, As); % расчет оптимального порядка фильтра [b, a]=butter(N, fc_norm); % создание и оцифровка аналогового фильтра Баттерворта % Построение АЧХ фильтра M=2^9; % количество точек данных [H, f]=freqz(b, a, M, Fs); % первые два аргумента определяют коэффициенты %числителя и знаменателя передаточной функции фильтра figure plot(f, abs(H)) grid on % Моделирование прохождения сигнала через фильтр % Частоты гармоник входного сигнала для удовлетворения требования % теоремы Котельникова должны быть max(f1, f2)<=Fs/2 % Поскольку все расчеты были в Гц, частоту также задаем в Гц f1=60; f2=600; T=1/Fs; % шаг дискретизации m=1:M; t(m)=m*T; x=sin(2*pi*f1*t)+0.5*sin(2*pi*f2*t); % Построение импульсной характеристики фильтра hn=impz(b, a); figure stem(hn) grid on % Выходной сигнал фильтра определяется как результат свертки входного % сигнала и импульсной характеристики фильтра y = conv(x, hn); figure plot(t, x, 'r', t, y(1:length(t)), 'b') grid on % Или можно использовать функцию y = filter(b, a, x) % y1 = filter(b, a, x); % figure % plot(t, x, 'r', t, y1(1:length(t)), 'b') % grid on % Построение амплитудных спектров входного и выходного сигналов Hx=fft(x, M); % прямое преобразование Фурье входного и Hy=fft(y, M); % выходного сигналов f=m*Fs/M; % формирование вектора частот figure plot(f, abs(Hx), 'r') grid on figure plot(f, abs(Hy), 'b') grid on На рис. 13 представлены полученные графики. Рис. 13. Функция фильтрации сигналов. В пакете Matlab фильтрация реализуется функцией filter, которая имеет следующий синтаксис: y = filter(b, a, x), где b — вектор коэффициентов нерекурсивной части фильтра (правой части разностного уравнения, описывающего фильтр, т.е. числителя функции передачи); а — вектор коэффициентов рекурсивной части фильтра (левой части разностного уравнения, описывающего фильтр, т.е. знаменателя функции передачи); х — входной сигнал. Возвращаемой величиной является вектор отсчетов выходного сигнала фильтра. Если первый элемент вектора а не равен 1, значения векторов b и а нормируются — делятся на а(1).