Справочник от Автор24
Высшая математика

Конспект лекции
«Методы хорд и Ньютона»

Справочник / Лекторий Справочник / Лекционные и методические материалы по высшей математике / Методы хорд и Ньютона

Выбери формат для чтения

pdf

Конспект лекции по дисциплине «Методы хорд и Ньютона», pdf

Файл загружается

Файл загружается

Благодарим за ожидание, осталось немного.

Конспект лекции по дисциплине «Методы хорд и Ньютона». pdf

txt

Конспект лекции по дисциплине «Методы хорд и Ньютона», текстовый формат

ЛЕКЦИЯ 12.2 МЕТОДЫ ХОРД И НЬЮТОНА В этой части мы продолжим изучение методов численного решения нелинейных уравнений. Задача заключается в нахождении приближѐнного значения корня нелинейного уравнения ( ) ( ) 1. Метод хорд 1.1. Расчѐтная формула Пусть на отрезке [ ] локализован корень уравнения (1), функция непрерывна на нѐм и принимает на его концах значения разных знаков, т.е. ( ) ( ) Показать ход итерационного процесса лучше всего графически. Стягиваем крайние точки дуги кривой ( ) на отрезке [ точка ( ). Еѐ абсциссу ( ) [ ] ордой (рис. 1). Точка пересечения хордой оси абсцисс – возьмѐм за начальное приближение ]). Далее определяем, на каком из отрезков [ ( ) ] или [ к корню (очевидно, что ] находится Y ( ) ( ) ( ) O ( ) Рис. 1. Метод хорд -1- X корень. Для этого проверяем знак произведения ( ) ( ). Если ( ) ( ) ке [ [ ] если ( ) ( ) то корень на отрезке [ то корень на отрез- ] За новый отрезок локализации ] возьмѐм тот, на котором находится корень: [ ] { [ [ ] ] ( ) ( ) ( ) ( ) Для него проделываем ту же операцию: проводим хорду, находим точку пересечения с осью абсцисс, получаем новую итерацию находится на отрезке [ ( ) ], поэтому новый отрезок [ (рис. 2). На этом рисунке корень ] есть [ ]. Этот процесс продол- жаем до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность корня , т.е. до достижения неравенства . Или же пока не будет достигнута точность выполнения прибли- жѐнного равенства ( ) : | ( )| . Y ( ) ( ) ( ) ( ) O X ( ) Рис. 2. Метод хорд. Вторая итерация Выведем расчѐтную формулу метода. Пусть [ на k-м шаге ( ] – текущий отрезок локализации ). Запишем уравнение прямой, содержащей хорду: ( ) ( ) ( ) -2- Далее находим точку еѐ пересечения с осью абсцисс. Подставляем в уравнение , : ( ) Учитывая, что ( ) ( ) – очередная итерация, приходим к расчѐтной формуле метода: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . Чем меньше длина начального отрезка [ ], тем лучше приближение к корню, тем быстрее сойдѐтся метод. На рисунке 3 изображена блок-схема алгоритма метода хорд. 1.2. Сходимость Ход итерационного процесса сильно зависит от свойств функции . Пусть, например, функция ную на [ т.е. непрерывна и монотонна и имеет монотонную и непрерывную производ- ]. Пусть для определѐнности , ( ) , ( ) ( ) ]. Поэтому на k-м шаге левый конец отрезка [ ( ( ) ], ] есть . Расчѐтную формулу можно записать так: ( ) , не убывает на [ ] Эта ситуация изображена на рисунке 4. Корень каждый [ раз оказывается на отрезке [ предыдущая итерация монотонно возрастает, и ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )) . Это метод хорд с «закреплѐнным» правым концом. Можно строго аналитически доказать, что последовательность итераций не выходит за пределы отрезка [ ], не убыва- ет и сходится к точному корню . Аналогично рассматриваются и остальные случаи знаков производных. Эти результаты можно свести в теорему 1. Теорема 1. Пусть функция производную на [ 1. Если ( ) непрерывна и монотонна, имеет непрерывную и монотонную ], и ( ) ( ) ( ) . или ( ) ( ) тельность метода хорд вычисляется по формуле -3- , то итерационная последова- Начало Ввод , , , , ( ) ( ) | ( )| или Да Да ( ) ( ) ( ) Нет Нет Вывод д Конец Рис. 3. Блок-схема алгоритма метода хорд д -4- Y ( ) ( ) O X ( ) ( ) ( ) Рис. 4. Метод хорд, , ( ) ( ) ( ( ) , ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )) . При этом она не выходит за пределы отрезка [ ], не убывает и сходится к точному корню . 2. Если ( ) ( ) или ( ) , то итерационная последова- ( ) тельность метода хорд вычисляется по формуле ( ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ( ) )) ( ) . При этом она не выходит за пределы отрезка [ ], не возрас- тает и сходится к точному корню . Первый случай (одинаковые знаки производных) – это метод хорд с «закреплѐнным» правым концом, второй (разные знаки) – с левым. Теперь оценим погрешность итерации. Учитывая, что ( ) рень, запишем ( ( ) ) как ( ( ) ) ( ( ) и применим формулу Лагранжа: -5- ) ( ) , если – точный ко- ( где – некоторая точка между ( ) ( ) ) и ( ) ( ( ) ) ( ), . Отсюда следует равенство ( ( ) ( ) ) ( ) из которого получаем оценку ( ) ( ) | | | ( ( ) )| где [ | ( )| ] Эту оценку можно также использовать для останова вычислений наряду с описанными ранее. Что касается скорости сходимости, то отметим, что она выше, чем у методов половинного деления и простой итерации, которые имеют линейную скорость. Нестрогие оценки показывают, что метод хорд имеет сходимость порядка √ Этот результат справедлив, когда функция не обращается в ноль на [ дважды дифференцируема, а еѐ производная ]. Пример. Решим методом хорд уравнение [ . Начинаем с отрезка локализации ]. Легко проверить, что теорема 1 неприменима, «закреплѐнного конца» нет. В таблице 1 приведены несколько приближений, вычисленных по формуле (2). Видно, что для рассматриваемого уравнения метод хорд сходится быстрее метода половинного деления. 2. Метод Ньютона Метод Ньютона (касательных) относится к быстро сходящимся. Его также лучше описать геометрически. Задаем некоторое начальное приближение к корню ку функции в точке с абсциссой ( ) ( ) . К графи- проводим касательную (рис. 5). Точку пересечения касательной и оси абсцисс примем за следующее приближение к корню ке с абсциссой ( ) ( ) . Затем в точ- проводим еще касательную, и пересечение ее с осью абсцисс – новое -6- Табл. 1. Итерации метода хорд в примере на с. 6 Шаг ( ) ( ) ( ) Y ( ) ( ) O ( ) X Рис. 5. Метод касательных приближение к корню ( ) ( ) (рис. 6). Затем для повторяется та же процедура и т.д. Выведем формулу метода. Пусть получена итерация касательной к кривой ( ) в точке ( ( ) -7- ( ( ) ( ) ( )) имеет вид ). Уравнение Y ( ) ( ) ( ) O ( ) X Рис. 6. Метод касательных. Вторая итерация ( Теперь найдѐм новую итерацию ( ( ) ) ( ) ) ( ( ) ( )( . Подставляя ки пересечения касательной с осью ( ) ) ) ( ) , ( ) в (3) ( ( ) – абсцисса точ- ), получаем ( ( ) ( ) )( ( ) ( ( ) ( ( ) ) ( ) ( )) ) ( ) . Это и есть расчѐтная формула. Для корректности метода необходимо неравенство нулю производной в некоторой окрестности корня. Понятно, что последовательность { ( ) } может не сходиться к корню. На рисунке 7 показано, как первая итерация вышла за пределы отрезка локализации [ ]. Теорема 2 даѐт некоторые достаточные условия сходимости. Теорема 2. Пусть функция пусть производные последовательность { ( ) [ дважды непрерывно дифференцируема на [ сохраняют ( ) знак } сходится к корню ]. -8- на [ ]. Тогда ], кроме того, итерационная при любом начальном приближении Y ( ) ( ) ( ) O X Рис. 7. Расходимость метода касательных Скорость сходимости метода определяет теорема 3. Теорема 3. Пусть функция удовлетворяет условиям: | ( )| Тогда последовательность { ( ) | ( )| [ ]; } метода Ньютона полностью принадлежит отрезку [ ]и сходится к корню . При этом справедливы неравенства ( | | ( ) ) | | ( ) | ( | ) | ( ) | . Из первого неравенства следует, что метод Ньютона имеет второй порядок сходимости, т.е. он самый быстрый из изученных нами. А второе позволяет оценивать погрешность новой итерации. Поэтому критерием останова может служить выполнение неравенства | ( ) -9- ( ) | Эта оценка применяется для останова по достижении заданной точности корня. Пример. Для уравнения корню по формуле (4): построим несколько последовательных приближений к , , , и не сходиться. В качестве начального приближения возьмем . Но метод может ( ) . Методом Ньютона получим следующие приближения (см. табл. 2). Табл. 2. Итерации метода Ньютона в примере на с. 8. Метод расходится ( ) ( ( ) ) При таком начальном приближении итерационная последовательность не сходится к корню. Табл. 3. Итерации метода Ньютона в примере на с. 8. Метод сходится ( ) ( ( ) ) Рис. 8. Расходимость метода Ньютона в примере на с. 8 - 10 - Изменим начальное приближение всего лишь на : ( ) показано, что последовательность метода Ньютона сходится к корню Последовательность, не сходящаяся к корню начальное приближение . Прямые , ные соответственно. - 11 - , . В таблице 3 . , приведена на рисунке 8. Взято – первая, вторая и третья касатель-

Рекомендованные лекции

Смотреть все
Высшая математика

Решение нелинейных уравнений

Решение нелинейных уравнений Постановка задачи Пусть требуется решить уравнение (1) f ( x)  0 , где f(x) – непрерывная функция, заданная в конечном и...

Программирование

Приближённые методы решения СЛАУ

Лекция 1 Приближённые методы решения СЛАУ А) Метод простых итераций. (Метод последовательных приближений). Пусть дана система n линейных уравнений с n...

Электроника, электротехника, радиотехника

Приближенное решение уравнений. Задачи электротехники, приводящие к решению уравнений.

ЛЕКЦИЯ №2 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ Задачи электротехники, приводящие к решению уравнений Ток катушки электромагнита описывается аналитически с п...

Высшая математика

Классификация нелинейных уравнений и их решение

ПЛАН 1. ЛЕКЦИИ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ  1.1 Классификация уравнений и их решение. Особенности численных решений   1.2 Этап отделения корней 1....

Высшая математика

Математические основы в энергетике

Математические основы в энергетике Курс лекций Оглавление 1. Элементы теории погрешностей 4 2. Приближенное решение нелинейных и трансцендентных уравн...

Программирование

Вычислительная математика

  Преподаватель: Клинаев Юрий Васильевич, д.ф.-м.н., профессор 10.01.2022 бЗ-ИВЧТипу -31 Д-362 09:45-11:15 лекция Вычислительная математика Д-356 11:3...

Автор лекции

Клинаев Юрий Васильевич, д.ф.-м.н., профессор

Авторы

Высшая математика

Математика. Численные методы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗ...

Автор лекции

Семенова Г. А., Савостикова Т. В.

Авторы

Высшая математика

Математика. Численные методы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗ...

Автор лекции

Семенова Г.А.,Савостикова Т.В.

Авторы

Высшая математика

Численные методы

Министерство образования и науки Российской Федерации В.Г. Пименов ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Учебное электронное текстовое издание Пособие предназначено для уч...

Автор лекции

В.Г. Пименов

Авторы

Высшая математика

Компьютерные методы решения типовых задач математики

Конспект лекций по дисциплине «Численные методы» Составитель: Климова В.А., кафедра «Информационные системы и технологии», УрФУ Оглавление Конспект ле...

Автор лекции

Климова В. А.

Авторы

Смотреть все