Методы анализа и обработки сигналов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова» Бийский технологический институт (филиал) Р.Г. Гареева МЕТОДЫ АНАЛИЗА И ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ Курс лекций Бийск Издательство Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова 2014 УДК 681.2(042) ББК 34.9 Г 20 Рецензенты: О.Б. Кудряшова, профессор кафедры ИУС, д.ф.-м. н.; А.А. Кухленко, с.н.с. ИПХЭТ СО РАН, к.т.н. Гареева, Р.Г. Методы анализа и обработки сигналов: курс лекций / Р.Г. Гареева; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2014. – 65 с. В курсе лекций рассмотрены вопросы классификации детерминированных сигналов, методы их описания и преобразования во временной и спектральной областях, уделено внимание дискретному представлению сигналов и их восстановлению по дискретным отсчетам. Теоретические сведения сопровождаются примерами расчета основных характеристик сигналов и параметров их преобразования. Курс лекций предназначен для студентов направления 200100 «Приборостроение» дневной и заочной форм обучения по дисциплине «Методы анализа и обработки сигналов». УДК 681.2(042) ББК 34.9 Рассмотрено и одобрено на заседании научно-методического совета Бийского технологического института. Протокол №4 от « 15 » мая 2014г. © Гареева Р.Г., 2014 © БТИ АлтГТУ, 2014 СОДЕРЖАНИЕ введение………………………………………………………….. 4 1 КЛАССИФИКАЦИЯ СИГНАЛОВ………………………………. 5 1.1 Классификация детерминированных процессов…………… 7 1.2 Гармонические процессы……………………………………. 7 1.3 Полигармонические процессы…....................................... 8 1.4 Почти периодические процессы…………………………… 10 1.5 Переходные процессы……………………………………… 11 1.6 Контрольные вопросы………………………………………… 12 Литература………………………………………………………… 12 2 РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ ПО РАЗЛИЧНЫМ БАЗИСАМ….. 13 2.1 Ряд Фурье для периодического сигнала…………………….. 13 2.2 Ряд Фурье для сигнала конечной длительности……………. 18 2.3 Комплексная форма ряда Фурье..…………………………… 21 2.4 Ортогональные функции……………………………………… 24 2.5 Обобщенный ряд Фурье……………………………………… 28 2.6 Контрольные вопросы………………………………………… 29 Литература………………………………………………………… 30 3 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ……………………………………………………....... 31 3.1 Интегральное преобразование Фурье……………………….. 31 3.2 Примеры расчета преобразования Фурье………………… 35 3.3 Принцип неопределенности для сигнала…...……………….. 43 3.4 Контрольные вопросы…………….………………………….. 49 Литература………………………………………………………… 49 4 ДИСКРЕТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ……………… 50 4.1 Дискретизация и квантование ……………………………….. 50 4.2 Сигналы с ограниченным спектром………………………. 52 4.3 Восстановление непрерывных сигналов…...……………….. 55 4.4 Контрольные вопросы…………….………………………….. 64 Литература………………………………………………………… 64 ВВЕДЕНИЕ Сигналом называют функциональную зависимость одной величины относительно другой. Как правило, рассматриваются именно временные зависимости, например, зависимость напряжения от времени. Термин «обработка сигнала» означает, что над исходным сигналом осуществляются некоторые действия, и их реализация соответствует заранее сформулированной цели. Частный случай цифровой обработки состоит в том, что исходный физический сигнал (напряжение, ток и т.д.), представляющий собой непрерывную функцию времени, преобразуется в последовательность чисел, которая затем подвергается математическим преобразованиям в вычислительном устройстве. При необходимости трансформированный цифровой сигнал (последовательность чисел) может быть преобразован снова в напряжение или ток. Анализ считается одним из важнейших этапов обработки сигналов, основной целью которого является сравнение сигналов друг с другом для выявления их сходства и различия. Можно выделить следующие составляющие анализа сигналов: 1) разложение сигнала на элементарные составляющие, производимое с использованием рядов и интегральных преобразований, важнейшими среди которых являются ряд Фурье и преобразование Фурье; 2) измерение числовых параметров сигнала, к которым, прежде всего, относятся его энергия, мощность, частотный состав; 3) количественное измерение степени сходства различных сигналов, которое осуществляется с применением аппарата корреляционного анализа. Довольно часто под анализом сигнала понимают непосредственное получение его спектра. Если задача состоит в анализе функции, заданной своим аналитическим выражением, то вычисление ее спектра осуществляется аналитически с использованием соответствующей формы преобразования Фурье. Анализ же физического процесса характеризуется тем, что его спектр получается во время течения самого процесса в результате воздействия на определенный физический прибор. Таким образом, проблема анализа в этом случае ставится, как чисто физическая проблема и ее разрешение связано с рядом чисто физических особенностей. 1 классификация сигналов Прежде чем приступить к рассмотрению задач анализа сигналов, выделим некоторые их классы, которые будут встречаться в дальнейшем. Это необходимо по двум причинам. Во-первых, проверка принадлежности сигнала к конкретному классу сама по себе является элементом анализа. Во-вторых, для анализа сигналов разных классов зачастую требуется использовать различные средства. Классифицируют сигналы в зависимости от типа процессов, которые они описывают. Все наблюдаемые процессы, характеризующие физические явления, можно классифицировать как детерминированные и недетерминированные. К детерминированным относятся процессы, которые могут быть описаны точными математическими соотношениями. Рассмотрим, например, твердое тело, подвешенное к неподвижной основе на упругой пружине с нулевой массой (рисунок 1.1). – масса тела; – коэффициент жесткости пружины Рисунок 1.1 – Тело, подвешенное на пружине Предположим, что тело получает начальное смещение из положения равновесия и освобождается в момент времени . На основе фундаментальных законов механики или путем повторных наблюдений можно установить справедливость следующего соотношения: , , (1.1) где – масса тела, предполагаемого абсолютно жестким; – коэффициент жесткости пружины. Формула (1.1) точно описывает положение тела в любой момент времени в будущем. Следовательно, физический процесс, характеризующий движение тела, относится к детерминированным. На практике встречается много физических явлений, которые с высокой степенью приближения могут быть описаны точными математическими соотношениями (движение спутника по околоземной орбите, изменение температуры воды при нагревании). Однако можно назвать множество других физических процессов, имеющих недетерминированный характер (изменение высоты волн на поверхности моря, изменение напряжения на выходе генератора шума). Точное значение таких процессов в некоторый момент времени в будущем предсказать невозможно. Эти процессы случайны по своей природе. Случайные (стохастические или недетерминированные) процессы не могут быть описаны точными математическими соотношениями, для их описания требуются усредненные статистические характеристики. Во многих случаях трудно решить, относится ли рассматриваемый процесс к детерминированным или к случайным. Можно утверждать, что в действительности ни один физический процесс нельзя считать строго детерминированным, поскольку всегда существует возможность того, что в будущем какое-либо непредвиденное событие изменит течение процесса таким образом, что полученные данные будут носить совершенно иной характер, чем предполагалось ранее. С другой стороны, можно полагать, что в действительности ни один физический процесс не имеет строго случайной природы, так как при условии достаточно полного знания механизма изучаемого процесса его можно описать точными математическими соотношениями. Практическое решение о детерминированном или случайном характере процесса обычно принимают исходя из возможности или не возможности его воспроизведения при заданных условиях. Если многократное повторение опыта дает одинаковые результаты (с точностью до ошибки измерения), то процесс считают детерминированный. Если же повторение опыта в идентичных условиях приводит к различным исходам, природа процесса полагается случайной. Особенности анализа случайных процессов будут рассмотрены в отдельном курсе «Корреляционный анализ в информационно-измерительной технике». 1.1 Классификация детерминированных процессов Классификация детерминированных процессов представлена в таблице 1. Таблица 1 – Классификация детерминированных процессов Детерминированные процессы Периодические процессы Непериодические процессы Гармонические процессы Полигармонические процессы Почти периодические процессы Переходные процессы Физические явления, которые рассматриваются в инженерных задачах, описываются, как правило, функциями времени. К периодическим относятся такие процессы, которые могут быть описаны функцией времени, точно повторяющей свои значения через одинаковые интервалы: , , (1.2) где – период. 1.2 Гармонические процессы Гармоническими называются процессы, описываемые функцией времени (1.3) или где – амплитуда; – циклическая частота, измеряемая в циклах в единицу времени (Гц); – круговая частота, ; – начальная фаза, измеряемая в радианах. Интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание (один цикл гармонического процесса) называется периодом а число циклов в единицу времени – частотой . Частота и период связаны соотношением: . (1.4) При анализе гармонических процессов начальной фазой часто пренебрегают. В этом случае . (1.5) Соотношение (1.5) можно представить графически в виде функции времени или в амплитудно-частотном изображении (частотный спектр) (рисунок 1.2). а) б) Рисунок 1.2 – Гармонический процесс (а) и его спектр (б) Частотный спектр гармонического сигнала состоит только из одной составляющей амплитуды. Такой спектр называют дискретным. Многие физические явления с достаточным для практики приближением описываются гармоническими процессами. Примером могут служить колебания напряжения на выходе генератора переменного тока. 1.3 Полигармонические процессы В большинстве своем полигармонические процессы могут быть представлены функцией времени в виде ряда Фурье , (1.6) где – основная частота; , , Возможен и другой способ записи ряда Фурье для полигармонического процесса: , (1.7) где ; , , Как видно из формулы (1.7), полигармонический процесс состоит из постоянной составляющей и бесконечного числа синусоидальных компонент, называемых гармониками, с амплитудами и начальными фазами . Частоты всех гармоник кратны основной частоте , т.е. соизмеримы. Колебания с номерами гармоник называют высшими гармониками. Очевидно, что гармонический процесс является частным случаем полигармонического процесса при . На практике при анализе периодических процессов начальные фазы часто во внимание не принимаются. В этом случае формуле (1.7) соответствует дискретный спектр, представленный на рисунке 1.3. Рисунок 1.3 – Спектр полигармонического процесса Характерным для рассматриваемого процесса является то, что спектральные линии для него расположены на равном расстоянии друг от друга. Физические явления, которым соответствуют полигармонические процессы, встречаются гораздо чаще явлений, описываемых простой гармонической функцией. 1.4 Почти периодические процессы К почти периодическим (квазипериодическим) относятся такие процессы, которые могут быть описаны функцией времени , (1.8) где не все отношения частот гармоник являются рациональными числами, т.е. невозможно выделить основную частоту . (1.9) Если пренебречь начальными фазами, то формуле (1.8) будет соответствовать дискретный спектр, в котором частоты гармоник несоизмеримы, а спектральные линии расположены на произвольном расстоянии друг от друга (рисунок 1.4) Рисунок 1.4 – Спектр почти периодического процесса Физические явления, которым соответствуют почти периодические процессы, встречаются довольно часто при суммировании двух или более независимых гармонических процессов. Примером почти периодического процесса может служить вибрация самолета с несколькими моторами, работающими в асинхронном режиме. 1.5 Переходные процессы К переходным относятся все непериодические процессы, не являющиеся почти периодическими. Физические явления, которым соответствуют переходные процессы, весьма многочисленны и разнообразны. Примером может служить процесс изменения во времени температуры воды в чайнике (относительно температуры окружающего воздуха) после отключения нагревателя (рисунок 1.5, а). а) , ; б) , Рисунок 1.5 – Примеры переходных процессов Кривая на рисунке 1.5, б характеризует свободные колебания инерционной механической системы после прекращения действия вынуждающей силы. Важное отличие переходных процессов от ранее рассмотренных состоит в том, что их невозможно представить с помощью дискретного спектра. Однако в большинстве случаев получают непрерывное спектральное представление переходных процессов, используя интеграл Фурье , (1.10) где – спектр функции . Модули спектров переходных процессов, изображенных на рисунке 1.5, представлены на рисунке 1.6. а) б) Рисунок 1.6 – Модуль спектра переходных процессов 1.6 Контрольные вопросы 1. Сформулируйте определение периодического процесса. 2. Что такое высшие гармоники? 3. Запишите соотношение, связывающее между собой основную частоту и частоту 5-й гармоники полигармонического процесса. 4. Чем почти периодический процесс отличается от полигармонического? 5. Каким типом спектра обладают переходные процессы? Литература 1. Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов / А.Б. Сергиенко. – СПб.: БХВ-Петербург, 2011. – 758 с. 2. Садовский, Г.А. Теоретические основы информационно-измерительной техники / Г.А. Садовский. – М.: Высшая школа, 2008. – 480 с. 3. Бендат, Д. Применение корреляционного и спектрального анализа / Д. Бендат, А. Пирсол. – М.: Мир, 1983. – 312 с. 4. Бендат, Д. Измерение и анализ случайных процессов / Д. Бендат, А. Пирсол. – М.: Мир, 1974. – 464 с. 2 РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ ПО РАЗЛИЧНЫМ БАЗИСАМ Разложение периодических функций в тригонометрический ряд было известно еще Эйлеру и Бернулли (начало XVIII века). При этом считалось, что функция должна быть непрерывно гладкой, должны существовать и быть непрерывными ее производные. В 1822 году Фурье в поисках методов решения задачи теплопроводности пришел к выводу о возможности разложения в ряд по синусам и косинусам функции с периодом . Заслугой Фурье было то, что он установил условия, которым должна удовлетворять разлагаемая в ряд функция: - функция может состоять из нескольких отрезков, аналитическое выражение которых различно; - непрерывность функции не обязательна, то есть она может иметь конечное число разрывов; - необязательна и периодичность функции, поскольку это влияет на ее изображение только при выходе за пределы основного интервала разложения. Долгое время доказательства Фурье, который был физиком, считались математиками нестрогими. Его выводы получили строгое подтверждение лишь в XX веке. Однако его работы дали мощный толчок к развитию понятий о функции, сходимости рядов и введению понятия обобщенных рядов Фурье. Рассмотрим несколько частных случаев разложения функции в ряд Фурье. 2.1 Ряд Фурье для периодического сигнала Функция времени для сигнала с периодом Т может быть разложена в ряд по тригонометрическим функциям следующего вида: , (2.1) где – основная частота; (2.2) для Коэффициенты разложения функции в ряд (2.1), определяемые соотношениями (2.2), носят название коэффициентов Фурье. Из формул (2.1), (2.2) следует, что четный сигнал имеет только косинусные, а нечетный – только синусные составляющие. Ряд Фурье можно записать и в иной, эквивалентной форме: , (2.3) где . (2.4) Таким образом, сложная функция может быть вполне определена совокупностью двух величин , где – спектр амплитуд, – спектр фаз. Для многих применений достаточно знать только амплитудный спектр сигнала. Он применяется настолько часто, что под словом «спектр» обычно понимают именно спектр амплитуд. Графически принято изображать амплитуды отдельных гармоник вертикальными отрезками соответствующей длины (рисунок 2.1). Для физического спектра номера гармоник принимают только положительные целые значения. Спектр периодической функции состоит из равноотстоящих спектральных линий (дискретный спектр), при этом частоты гармоник находятся в простых кратных соотношениях. Амплитуды спектральных линий с увеличением номера k уменьшаются, вследствие сходимости ряда Фурье. Рисунок 2.1 – Дискретный спектр амплитуд периодической функции Амплитудный спектр позволяет судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала. Пример 1. Рассчитаем спектр амплитуд периодической последовательности прямоугольных импульсов длительностью , периодом Т, амплитудой А (рисунок 2.2). Рисунок 2.2 – Периодическая последовательность прямоугольных импульсов Аналитически заданный периодический сигнал запишется в виде: Для периодических сигналов спектр амплитуд рассчитывается по соотношению , где – коэффициенты тригонометрического ряда Фурье. Коэффициенты Фурье рассчитаем по соотношениям (2.2). Для коэффициентов имеем: Учитывая, что заданный сигнал принимает ненулевые значения только в ограниченном временном интервале, сузим пределы интегрирования Функция косинус обладает свойством четности, что позволяет сократить пределы интегрирования в два раза, удвоив при этом коэффициент перед интегралом: Преобразуем полученное выражение к виду , где . Для этого умножим и разделим его на величину : , где – коэффициент заполнения (величина, обратная скважности ). Учитывая свойство четности сигнала и симметричность пределов интегрирования, для коэффициентов получим . В результате спектр амплитуд определим по соотношению: . Изобразим спектр графически, приняв . Для построения графика спектра предварительно рассчитаем его значения в следующих точках: 1) . Учитывая свойство замечательного предела , получим . 2) При неограниченном возрастании знаменателя дроби все выражение убывает до нуля, поэтому . 3) Нули функции, когда соответствуют выполнению следующих равенств: , где В результате точки пересечения графика с осью абсцисс будут наблюдаться при номерах гармоник , т.е. при График спектра амплитуд периодической последовательности прямоугольных импульсов представлен на рисунке 2.3. Рисунок 2.3 – Амплитудный спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов Спектр является дискретным, поскольку номера гармоники принимают только целочисленные значения. Пунктиром изображена огибающая спектра, имеющая лепестковый вид. 2.2 Ряд Фурье для сигнала конечной длительности Если сигнал, описываемый функцией времени задан только на отрезке конечной длины, например , то нет оснований считать его периодическим. Однако можно говорить о ряде Фурье для функции, получающейся периодическим продлением исходной функции за границы заданного интервала. Период при периодизации определяется длиной исходного отрезка Т. При периодизации возможны два варианта. 1. Значения функции на концах исходного интервала совпадают: . При периодическом продлении такой функции никаких особенностей не возникает (рисунок 2.4), функция остается непрерывной (претерпевать разрыв будет только ее производная). Рисунок 2.4 – Периодическое продление функции Ряд Фурье полученной периодической функции аналогичен ряду Фурье (2.1), (2.2) для функции с периодом Т. Пределы интегрирования в формулах для расчета коэффициентов Фурье должны выбираться с учетом вида исходного отрезка, на котором задан сигнал конечной длительности. Например, если отрезок несимметричен и имеет вид , то соотношения (2.2) запишутся как (2.5) для 2. Значения функции на концах исходного интервала не совпадают: . Продление такой функции с периодом Т приведет к появлению разрывов на концах интервалов: (рисунок 2.5). Рисунок 2.5 – Периодическая функция, имеющая точки разрыва В точках разрыва ряд Фурье будет сходиться к полусумме правого и левого пределов: Таким образом, в ряду будут наблюдаться нежелательные искажения (рисунок 2.6) – колебания, вызванные явлением Гиббса. Это явление присуще рядам Фурье для любых сигналов с разрывами первого рода (скачками). Чем меньше количество используемых гармоник в ряде Фурье, тем больше эффект искажений. Рисунок 2.6 – Искажения в ряде Фурье для функции Ланцош К. заметил, что пульсации усеченного ряда Фурье имеют период либо первой отброшенной, либо последней удержанной гармоники. Он доказал, что, сглаживая частичную сумму ряда путем интегрирования по этому периоду, можно устранить основные эффекты пульсаций. Сглаженный ряд Фурье представляет собой исходный ряд с коэффициентами, умноженными на сигма-фактор Ланцоша: , (2.6) где k – номер гармоники; N – общее количество используемых гармоник в ряде. Пример 2. Выведем выражение для расчета коэффициентов разложения в ряд Фурье для функции , заданной на интервале следующими соотношениями: При периодическом продлении функции за пределы заданного интервала период определим по длине исходного отрезка, т.е. Поэтому для искомых коэффициентов соотношение (2.5) примет вид Учитывая различные значения функции на временных интервалах и , разложим исходный интеграл на сумму двух интегралов в соответствующих переделах: После интегрирования получим: По аналогии рассчитываются коэффициенты разложения с использованием соотношения 2.3 Комплексная форма ряда Фурье Некоторое неудобство синусно-косинусной формы ряда Фурье состоит в том, что для каждого значения индекса суммирования (т.е. для каждой гармоники) в формуле (2.1) необходимо использовать два слагаемых, содержащих функции синус и косинус. Выведем выражение для более компактной формы ряда, носящей название комплексного представления или комплексной формы. Для периодической функции , интегрируемой на отрезке, запишем ряд Фурье в тригонометрическом виде , где Воспользуемся соотношениями, связывающими тригонометрические и экспоненциальные функции: , . С учетом этого исходный ряд Фурье перепишется в виде: . Выделим слагаемые при комплексных экспонентах с положительными и отрицательными показателями соответственно: где В полученном выражении экспоненты с отрицательным показателем можно трактовать как элементы ряда с отрицательными номерами , а слагаемое – как элемент с нулевым номером. В результате конечное выражение для комплексной формы ряда Фурье примет вид: . (2.7) Выведем выражение для определения коэффициентов разложения : (2.8) Аналогично получим Анализ формул показывает, что для действительной функции коэффициенты разложения образуют комплексно-сопряженные пары. Очевидно, что коэффициенты разложения в комплексный ряд Фурье (2.7) связаны с коэффициентами тригонометрического ряда Фурье (2.3) простым соотношением . Таким образом, амплитудный спектр периодической функции может быть определен и из комплексной формы ряда Фурье через величины При разложении функции в ряд Фурье, а именно при выборе вида ряда (тригонометрического или экспоненциального), следует исходить из удобства или простоты нахождения коэффициентов разложения, то есть из трудностей вычисления интегралов , , . Например, при использовании ЭВМ, не обеспечивающей действий с комплексными числами, необходимо выбрать разложение в ряд по тригонометрическим функциям. Следует отметить, что комплексная форма представления ряда Фурье наиболее часто используется в радиотехнике. Подытожим особенности представления периодических сигналов рядом Фурье: - спектр периодических сигналов является дискретным; - расстояние между спектральными составляющими равно частоте периодической последовательности сигналов; - математический спектр простирается по всей оси частот от минус до плюс бесконечности; - физический спектр определен только на положительной полуоси частот, т.е. физически невозможно определить отрицательные частоты; - амплитудный спектр является четной функцией частоты, а фазовый спектр – нечетной функцией. 2.4 Ортогональные функции До сих пор для расчета коэффициентов разложения в ряды Фурье были использованы только свойства тригонометрических и экспоненциальных функций. Возможно ли использование других видов функций? Для ответа на этот вопрос введем понятие ортогональных функций. Бесконечная система функций (2.9) называется ортогональной на отрезке , если выполняются следующие условия для скалярного произведения функций: (2.10) Первое из условий (2.10) определяет попарную ортогональность функций системы (2.9). Второе – то, что ни одна из функций системы не равна тождественно нулю. Примером ортогональных функций на отрезке служат следующие системы функций: - тригонометрическая – - экспоненциальная – , а также система функций Бесселя, полиномы Лагранжа и др. Система функций (2.9) называется нормированной, если т.е. . Величину называют нормой функции и обозначают следующим образом: Если система функций (2.9) нормирована, то Любую ортогональную, но ненормированную систему функций можно нормировать путем подбора таких постоянных сомножителей , при которых новая система функций будет удовлетворять условию нормированности. Например, пусть система функций (2.9) ортогональна, но не нормирована, т.е. Множители можно подобрать таким образом, чтобы выполнилось равенство Для новой системы функций условие нормированности уже будет выполнено: Пример 3. Проверим ортогональность экспоненциальной системы функций на отрезке . Экспоненциальная система функций имеет вид Рассчитаем скалярное произведение двух функций системы по соотношению Выбором значений величин и можно получить любую из функций анализируемой системы. Объединим экспоненты и проинтегрируем результат: Применив формулу Эйлера для комплексных экспонент , в итоге получим: . (2.11) Для проверки свойства ортогональности (2.10) рассмотрим частные случаи. При в силу того, что . При выражение (2.11) должно быть преобразовано, чтобы избежать неопределенности . Приведем его к виду , где , для чего умножим числитель и знаменатель на число : Учитывая свойство замечательного предела , в итоге при получим . Условия ортогональности выполнены. Пример 4. Рассчитаем норму функций экспоненциальной системы на отрезке . Воспользуемся результатами примера 3. При скалярное произведение двух функций системы равно откуда норма функций определится по соотношению Следовательно, при нормировке на отрезке экспоненциальная система функций примет вид: 2.4.1 Ортогонализация Грамма-Шмидта На базе неортогональной системы функций возможно построение ортогональной системы с применением алгоритма Грамма-Шмидта. В качестве базисных, т.е. неортогональных функций, можно выбрать, например, функции, являющиеся последовательностью степеней аргумента t: Ортогональную систему функций на отрезке строят по следующему правилу: (2.12) Расчет коэффициентов разложения проводят, основываясь на свойстве ортогональности (2.10) системы функций . Пример 5. Выведем формулу для расчета коэффициента , используемого для построения 1-й ортогональной функции . Для этого скалярно умножим все выражение на функцию, стоящую при искомом коэффициенте, то есть на функцию : или . В силу свойства ортогональности (2.10) для построенных функций левая часть равенства, содержащая скалярное произведение функций различного порядка, равна нулю , откуда искомый коэффициент определится по соотношению: . По аналогии с рассмотренным примером рассчитываются коэффициенты в выражении (2.12): (2.13) В случае дискретного аргумента интегралы в формуле (2.13) заменяются суммами: , (2.14) где – номер точки, т.е. – общее количество дискретных точек. 2.5 Обобщенный ряд Фурье Пусть функция задана на отрезке и может быть представлена в виде сумы ряда по функциям ортогональной системы (2.9): , (2.15) где – постоянные. Выведем формулу для вычисления коэффициентов разложения Для этого скалярно умножим левую и правую части выражения (2.15) на функцию, стоящую при искомом коэффициенте, то есть на функцию: Учитывая свойство ортогональности (2.10) системы функций (2.9), получим , откуда искомые коэффициенты примут вид: . (2.16) Разложение функции в ряд (2.15) по функциям ортогональной системы носит название обобщенного ряда Фурье при условии, что коэффициенты разложения определяются по соотношению (2.16). Тригонометрические функции относятся к ортогональной системе функций на интервале длиной . Поэтому тригонометрический ряд Фурье является частным случаем обобщенного ряда Фурье Из сравнения находим соответствие между тригонометрическими функциями и функциями ортогональной системы : 2.6 Контрольные вопросы 1. Какой вид имеет амплитудный спектр периодической функции? 2. В чем состоит процедура периодизации функции, заданной на отрезке конечной длины? 3. Какова причина возникновения явления Гиббса? 4. Назовите способы подавления искажений в ряде Фурье, вызванных явлением Гиббса? 5. Какие системы функций называются ортогональными? 6. Запишите соотношение для расчета нормы функции. 7. Сформулируйте определение обобщенного ряда Фурье. 8. Как будет выглядеть обобщенный ряд Фурье, если в качестве базиса будет использована экспоненциальная система функций? Литература 1. Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов / А.Б. Сергиенко. – СПб.: БХВ-Петербург, 2011. – 758 с. 2. Садовский, Г.А. Теоретические основы информационно-измерительной техники / Г.А. Садовский. – М.: Высшая школа, 2008. – 480 с. 3. Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы / С.И. Баскаков. – М.: Высшая школа, 2005. – 462 с. 3 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ 3.1 Интегральное преобразование Фурье В то время как ряды, которые сейчас называют по имени Фурье, были известны еще из работ Эйлера, Бернулли и Лагранжа, интеграл Фурье является открытием самого Фурье. Он нашел, что разложение произвольной функции на гармонические составляющие остается возможным и в случае, когда область определения функции простирается в обе стороны до бесконечности. При этом основная частота (частота основной гармоники) стремится к нулю и суммирование переходит в интегрирование. Для наглядной иллюстрации перехода от ряда к интегралу Фурье часто используется не вполне строгий математически, но зато понятный подход. Рассмотрим одиночный сигнал, описываемый функцией который задан на отрезке конечной длины (рисунок 3.1). Рисунок 3.1 – Сигнал, заданный на отрезке Согласно п.2.2, после процедуры периодизации с периодом ряд Фурье периодического сигнала в комплексной форме примет вид (3.1) в котором амплитудный спектр будет определяться коэффициентами разложения (3.2) по соотношению . Теперь расширим область определения сигнала до более широкого отрезка , причем на добавившемся интервале новый сигнал примет нулевые значения (рисунок 3.2). Рисунок 3.2 – Сигнал , заданный на отрезке Для сигнала после периодизации с периодом ряд Фурье в комплексной форме примет вид: , где . (3.3) Сравним основные частоты при разложении в ряд Фурье периодических функций и : и . Следовательно, ряды Фурье для функций и будут содержать гармоники со следующими частотами: и . Предположим теперь, что длина отрезка в раз больше длины исходного отрезка , т.е. период следования функции в раз превышает аналогичную величину для функции : В этом случае частоты гармоник для функции перепишутся в виде т.е. спектральные линии на оси частот для функции будут расположены в раз чаще, и их будет в раз больше, чем в спектре функции (рисунок 3.3). Рисунок 3.3 – Дискретные спектры функций и Другими словами, с увеличением периода следования функции гармоники в ее амплитудном спектре располагаются ближе друг к другу по частоте, но общий уровень спектральных составляющих становится меньше. Если устремить период функции к бесконечности (превратив тем самым периодическую последовательность в одиночный импульс), то величина также будет стремиться к бесконечности, т.е. гармоники спектра будут плотно занимать всю частотную область. Это означает, что дискретный спектр превратится в непрерывный (рисунок 3.4). Амплитуды гармоник станут бесконечно малыми, но взаимное соотношение между их уровнями сохранится и будет определяться интегралом (3.3). Рисунок 3.4 – Непрерывный спектр Таким образом, при спектральном анализе непериодических сигналов формула (3.2) для расчета коэффициентов комплексного ряда Фурье модифицируется следующим образом: - частота гармоники перестает быть дискретно меняющейся величиной и становится непрерывным параметром преобразования ; - удаляется множитель ; - результатом вычисления вместо нумерованных коэффициентов ряда становится спектральная функция , зависящая от частоты. Эту функцию также часто называют спектральной плотностью. В результате перечисленных преобразований формула (3.2) превращается в формулу прямого интегрального преобразования Фурье (ППФ): (3.4) В формуле самого ряда (3.1) суммирование заменяется интегрированием и появляется сомножитель . Итоговое выражение называют обратным интегральным преобразованием Фурье (ОПФ): (3.5) Соотношения (3.4), (3.5) образуют пару интегральных преобразований Фурье для непериодического сигнала. Если использовать не круговую , а циклическую частоту , то пара преобразований Фурье становится симметричной, отличаясь лишь знаком в показателе экспоненты: Подытожим результаты по спектральному анализу непериодических сигналов: - спектр одиночных сигналов является непрерывным (сплошным); - спектр рассчитывается через интеграл Фурье и в общем случае является комплексным; - математический спектр простирается по всей оси частот от минус до плюс бесконечности; - физический спектр имеет место только на положительной полуоси частот. 3.2 Примеры расчета преобразования Фурье Рассмотрим примеры расчета спектров некоторых сигналов, часто встречающихся при решении различных задач. Пример 6. Прямоугольный импульс. Прямоугольный импульс, центрированный относительно начала отсчета времени, описывается функцией времени следующего вида (рисунок 3.5): где А – амплитуда импульса;  – длительность импульса. Рисунок 3.5 – Прямоугольный импульс Поскольку сигнал задан на бесконечном временном интервале, то он является непериодическим, поэтому его спектральная функция должна рассчитываться по общей формуле прямого интегрального преобразования Фурье (3.4): Исследуемый сигнал принимает ненулевые значения только на ограниченном промежутке , что позволяет сузить пределы интегрирования: Разложим экспоненту на действительный косинус и мнимый синус: Учитывая свойства четности функции косинус и симметричность пределов интегрирования, сократим пределы вдвое, увеличив при этом в два раза коэффициент при интеграле. Интегрирование в симметричных пределах нечетной функции синус даст в итоге нулевое значение интеграла: Приведем спектральную функцию к виду , где : (3.6) где – площадь импульса. Для построения графика спектра предварительно рассчитаем его значения в следующих точках: 1) В этом случае в силу свойства замечательного предела получим 2) При неограниченном возрастании знаменателя в выражении (3.6) вся дробь убывает до нуля, поэтому 3) Нули функции, когда соответствуют выполнению равенства откуда В результате точки пересечения графика спектра (рисунок 3.6) с осью абсцисс будут наблюдаться при следующих частотах: Физический спектр данного сигнала имеет лепестковый характер и простирается до бесконечности, постепенно затухая. Поэтому вводят понятие эффективной ширины спектра , в качестве которой можно принять ширину главного лепестка. Другими словами, верхней границей спектра прямоугольного сигнала, определяющей его ширину, можно считать значение частоты, при которой спектральная функция Рисунок 3.6 – Амплитудный спектр прямоугольного импульса первый раз обращается в нуль, т. е. или На основе примера 6 рассмотрим для прямоугольного импульса произведение эффективных значений длительности сигнала и ширины его спектра выраженной в герцах: Длительность прямоугольного импульса определена и равна , а ширина спектра пересчитается по соотношению откуда Таким образом, произведение эффективных значений длительности прямоугольного сигнала и ширины его спектра оказалось величиной постоянной, равной единице. Пример 7. Дельта–функция. Дельта–функция или функция Дирака, представляет собой бесконечно узкий импульс с бесконечной амплитудой, расположенный при нулевом значении аргумента. Площадь импульса равна единице. На графике дельта-функцию условно изображают в виде утолщения на оси ординат (рисунок 3.7). Аналитически дельта-функция определяется в виде (3.7) и (3.8) Рисунок 3.7 – Дельта-функция Одним из важных свойств дельта-функции является ее фильтрующее свойство. Оно состоит в том, что если дельта-функция присутствует в подынтегральном выражении в качестве сомножителя, то результатом интегрирования будет значение остального подынтегрального выражения в точке, где сосредоточен дельта-импульс, т.е. в точке, где аргумент дельта-функции равен нулю: (3.9) Очевидно, что сигнал в виде дельта-функции невозможно реализовать физически, т.е. он является математической абстракцией, важной для теоретического анализа систем и сигналов. На практике аналогом дельта-функции служит узкий прямоугольный импульс, площадь которого равна единице. Осуществить переход к дельта–функции от прямоугольного импульса возможно при выполнении следующего соотношения между его амплитудой и длительностью: Действительно, при амплитуда импульса будет стремиться к бесконечности, однако его площадь, согласно свойству дельта-функции (3.8), останется величиной постоянной и равной единице: . Спектр дельта-функции , в соответствии с (3.9), равен или по соотношению (3.6) . (3.10) Таким образом, дельта-функция имеет равномерный единичный спектр на всех частотах (рисунок 3.8). Такой спектр по аналогии с белым светом называют белым спектром. Рисунок 3.8 – Белый спектр дельта-функции Интересно проследить деформацию спектра прямоугольного импульса при уменьшении его длительности. При спектральная функция становится все более пологой и в пределе стремится к единичному значению (рисунок 3.9). Рисунок 3.9 – Деформация спектра прямоугольного импульса Найдем для дельта-функции произведение ее длительности и ширины спектра Длительность функции известна и стремится к нулю . В качестве ширины спектра вновь будем рассматривать значение частоты, при которой спектральная функция обращается в нуль . Из (3.10) получим откуда Очевидно, что при ширина спектра стремится к бесконечности, что согласуется с рисунком 3.9. В результате . Вновь получили константу, несмотря на то, что спектр дельта-функции по частоте безграничен. Пример 8. Односторонний экспоненциальный импульс. Односторонний экспоненциальный импульс (рисунок 3.10) относится к сигналам бесконечной длительности и описывается функций вида , где – константа; – единичная ступенчатая функция (функция включения, функция Хевисайда) (рисунок 3.11). Рисунок 3.10 – Экспоненциальный импульс Рисунок 3.11 – Функция включения Спектр экспоненциального импульса рассчитаем с использованием прямого интегрального преобразования Фурье (3.4): Учитывая свойства функции включения, сузим пределы интегрирования, исключив отрицательную область изменения временной переменной: Спектральная функция является величиной комплексной, поэтому амплитудный спектр рассчитаем по правилу определения модуля комплексного выражения: Для удобства в дальнейшем введем обозначение Для построения графика спектра (рисунок 3.12) предварительно рассчитаем его значения в следующих точках: 1) 2) 3) 4) Что принять за эффективную длительность и ширину спектра экспоненциального импульса? В качестве верхней границы спектра можно выбрать значение частоты , при которой модуль спектра уменьшается до 70% от своего начального значения, равного то есть или до 45% при и т.д. Рисунок 3.12 – Амплитудный спектр экспоненциального импульса Аналогичные рассуждения справедливы и для определения длительности экспоненциального импульса, поскольку он начинается при и уменьшается до нуля при . Можно принять за его длительность промежуток времени, за который амплитуда импульса спадает до 5% от своего начального значения, равного Такое наблюдается при : Длительность импульса соответствует уменьшению амплитуды импульса до 2% от начального значения. Очевидно, что выбор граничных значений по длительности и ширине спектра неоднозначен. Проследим за изменением произведения при различном выборе длительности импульса и ширины его спектра: 1) 2) Результаты расчетов указывают на то, что произведение остается величиной, по порядку равной единице. 3.3 Принцип неопределенности для сигнала Ключ к пониманию проблемы о выборе длительности сигнала и ширины его спектра дает соотношение, справедливое для интегрального преобразования Фурье и известное как равенство Парсеваля. Оно утверждает равенство энергий сигнала во временной и частотной областях его представления. Энергию сигнала во временной области определяют интегралом от квадрата сигнала по всей временной оси а энергию сигнала в частотной области связывают с интегралом от квадрата амплитудного спектра где – спектральная функция сигнала . Из равенства Парсеваля следует, что полная энергия сигнала неизменна, но во временном представлении она распределена по времени, а в спектральном – по частоте: (3.11) Использование понятия энергии сигнала позволяет упорядочить выбор для него эффективных значений длительности и ширины спектра . Под эффективной длительностью сигнала понимают промежуток времени, в котором сосредоточена подавляющая часть его энергии. Аналитически величину можно определить по следующим соотношениям: - для симметричного сигнала (3.12) - для несимметричного сигнала (3.13) где – относительная доля полной энергии сигнала, приходящейся на временной промежуток . Аналогично определяется эффективная ширина спектра сигнала – интервал частот, на который приходится подавляющая часть его энергии. Рассчитать ширину спектра можно по соотношению (3.14) где – относительная доля полной энергии сигнала, приходящейся на полосу частот В большинстве случаев вычислить эффективные характеристики сигналов возможно только численными методами. Длительность сигнала и ширина его спектра подчиняются принципу неопределенности, гласящему, что произведение эффективных значений этих параметров (базы сигнала) является величиной постоянной, по порядку равной единице. Харкевич А.А. в своих работах приводит следующие значения произведения определенные при : • для прямоугольного импульса • для экспоненциального импульса • для треугольного импульса Принцип неопределенности был открыт Гейзенбергом в квантовой механике и относился к точности одновременного определения координаты и импульса электрона. Принцип гласит, что их произведение неизменно и равно постоянной Планка h: . Это правило оказалось справедливым и для представления сигналов во временной и частотной (спектральной) формах, что крайне важно с практической точки зрения для импульсной техники. Короткий сигнал с очень узким спектром существовать не может, поскольку произведение должно быть больше некоторой константы, близкой по значению к единице. Другими словами, чем короче сигнал, тем шире его спектр. Однако, можно сформировать сигнал большой длительности, имеющий протяженный спектр (такие сигналы называют широкополосными, или сигналами с большой базой), т.е. ограничений максимального значения базы сигнала не существует. Пример 9. Докажем справедливость равенства Парсеваля для одностороннего экспоненциального сигнала С целью доказательства соотношения (3.11) необходимо рассчитать полную энергию экспоненциального сигнала отдельно во временной и частотной областях и сравнить их значения: Энергия во временной области определяется левой частью предыдущего равенства: Используя свойства функции включения, сузим пределы интегрирования, исключив отрицательную область изменения временной переменной: . Учтем значения экспоненты на верхнем и нижнем пределах: В результате получим значение полной энергии сигнала во временной области: Для расчета энергии в частотной области (правая часть (3.11)) предварительно определим спектр экспоненциального сигнала через прямое интегральное преобразование Фурье (3.4): По аналогии с вычислением предыдущего интеграла получим откуда модуль спектра рассчитаем по правилу определения модуля комплексного выражения В результате соотношение для полной энергии экспоненциального сигнала в частотной области примет следующий вид: Используя табличный интеграл окончательно получим Таким образом, доказано равенство полных энергий экспоненциального сигнала во временной и частотной областях. Пример 10. Для одностороннего экспоненциального сигнала определим эффективную ширину спектра, в которой сосредоточено 90% от полной энергии сигнала. Для нахождения граничной частоты воспользуемся соотношением (3.14) в котором спектральную функцию найдем по аналогии с результатом примера 9: где . В результате получим Используя табличный интеграл окончательно получим Подставив пределы, имеем откуда В результате искомые значения граничной частоты и эффективной ширины спектра определим соответственно по соотношениям и Пример 11. Определим, какая доля от полной энергии сигнала сосредоточена в одностороннем экспоненциальном импульсе длительностью. Для нахождения искомой величины воспользуемся соотношением (3.13) предварительно рассчитав входящие в него элементы. Полная энергия сигнала определяется интегралом в правой части предыдущего равенства: Энергия сигнала, приходящая на временной интервал равна . В результате получим откуда искомая величина определится по соотношению 3.4 Контрольные вопросы 1. Каковы особенности спектров непериодических сигналов? 2. Запишите соотношение для определения спектральной функции одиночного сигнала. 3. Каковы основные свойства дельта-функции? 4. Какой вид имеет спектр дельта-функции? 5. Каким образом происходит деформация спектра прямоугольного импульса при изменении его длительности? 6. Какая связь между длительностью импульса и шириной его спектра? 7. Запишите соотношения для расчета энергии сигнала во временной и частотной областях. 8. Сформулируйте определение эффективной длительности сигнала. 9. Как рассчитать ширину спектра сигнала, на которую приходится 90% от его полной энергии? Литература 1. Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов / А.Б. Сергиенко. – СПб.: БХВ-Петербург, 2011. – 758 с. 2. Садовский, Г.А. Теоретические основы информационно-измерительной техники / Г.А. Садовский. – М.: Высшая школа, 2008. – 480 с. 3. Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы / С.И. Баскаков. – М.: Высшая школа, 2005. – 462 с. 4. Харкевич, А.А. Спектры и анализ / А.А. Харкевич. – М.: ГИТТЛ, 1957. – 236 с. 4 ДИСКРЕТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ Исходный физический сигнал всегда является непрерывной функцией времени. Такие сигналы определены во все моменты времени и называются аналоговыми. Последовательность чисел, представляющая сигнал при его обработке, является дискретным рядом, элементами которого выступают значения сигнала в отдельные (дискретные) моменты времени и называемые отсчетами сигнала. Процесс преобразования аналогового сигнала в последовательность отсчетов носит название дискретизации по времени, а его итогом является дискретный сигнал. При обработке сигнала в вычислительных устройствах его отсчеты представляются в виде двоичных чисел, имеющих ограниченное число разрядов. Процесс преобразования отсчетов сигнала в числа носит название квантования по уровню, а результатом является цифровой сигнал. Информация, содержащаяся в сигналах, может храниться, передаваться и обрабатываться как в непрерывной, так и в дискретной форме, но на современном этапе развития информационной техники предпочтение отдается дискретным (цифровым) сигналам. 4.1 Дискретизация и квантование Непрерывный (аналоговый) сигнал преобразуется в цифровой сигнал путем последовательного выполнения двух операций – дискретизации по времени и квантования по уровням. Под дискретизацией понимают процесс преобразования функции непрерывного времени (рисунок 4.1, а) в функцию дискретного времени (рисунок 4.1, б), представляемую совокупностью дискретных отсчетов, по значениям которых исходная непрерывная функция может быть восстановлена с заданной точностью. а) непрерывный сигнал, б) дискретный сигнал Рисунок 4.1 – Дискретизация по времени непрерывной функции Интервал между соседними дискретными отсчетами называют периодом или шагом дискретизации. Если шаг дискретизации выбран постоянным, то имеет место равномерная дискретизация, в противном случае – неравномерная. Операцию дискретизации по времени можно описать, вводя в рассмотрение функцию, называемую дискретизирующей последовательностью: . Модель дискретного сигнала в этом случае можно представить как скалярное произведение аналогового сигнала и дискретизирующей последовательности: Учитывая фильтрующее свойство дельта-функции, в результате получим набор дискретных значений сигнала Под квантованием понимают процесс преобразования некоторой величины с непрерывной по амплитуде шкалой значений в величину, имеющую дискретную шкалу значений (рисунок 4.2). Он сводится к замене любого мгновенного значения одним из конечного множества разрешенных значений , называемых уровнями квантования. Если провести нумерацию уровней квантования, то их передача сведется к передаче обычных чисел. Выразив числа в какой-либо системе счисления, можно обойтись меньшим множеством передаваемых символов. Как правило, дискретный сигнал преобразуется в последовательность чисел, выраженных в двоичном коде. На рисунке 4.2 в качестве примера выбрано восемь (начиная с нулевого) разрешенных уровней квантования. Рисунок 4.2 – Квантование по уровню Для восьми уровней достаточно трех двоичных разрядов: для 0-го уровня двоичный код примет вид 000, для 1-го уровня – 001, для 2-го уровня – 010, для 3-го уровня – 011, для 4-го уровня – 100, для 5-го уровня – 101, для 6-го уровня – 110, для 7-го уровня – 111. Замена мгновенных значений исходного сигнала осуществляется выбором ближайшего из разрешенных значений. Например, для дискретного отсчета, выбранного в момент времени ближайшим является 5-й уровень, значит, соответствующий ему код будет 101. 4.2 Сигналы с ограниченным спектром Особенностью дискретного представления сигналов является неизбежность возникающей при этом потери информации о значениях величины в промежутках между моментами дискретизации и разрешенными уровнями. Поэтому при работе с устройствами дискретного действия требуется уметь оценивать потерю информации об исследуемой величине. В связи с этим при построении метода дискретизации аналогового сигнала необходимо решать следующие задачи: 1) сформулировать критерий выбора дискретных отсчетов; 2) установить процедуру восстановления по ним исходного непрерывного сигнала; 3) иметь возможность определять возникающую при этом ошибку. Решение указанных задач возможно лишь на базе выбора определенной математической модели дискретизируемого сигнала. Наибольшее распространение получила модель сигнала с ограниченным спектром. В этом случае величина шага дискретизации ставится в соответствие с наивысшей частотой, присутствующей в спектре сигнала. Сигналом с ограниченным спектром называют сигнал, математическая модель которого обладает следующим свойством – спектр сигнала принимает ненулевые значения лишь в ограниченной полосе частот – от нуля до некоторой граничной частоты . С физической точки зрения такая модель сигнала оправдана тем, что вклад спектральных составляющих при высоких частотах () пренебрежимо мал в силу ограниченности энергии сигнала. Необходимо учесть и то, что любое реальное устройство, предназначенное для передачи и обработки сигналов, имеет конечную ширину полосы пропускания. Примером сигнала с ограниченным спектром может служить идеальный низкочастотный сигнал (ИНС) (рисунок 4.3), спектральная плотность которого описывается функцией: Рисунок 4.3 – Спектр идеального низкочастотного сигнала Математическую модель идеального низкочастотного сигнала во временной области можно получить, применяя формулу обратного преобразования Фурье: Учитывая, что спектральная функция сигнала принимает ненулевые значения только в ограниченной полосе частот , сузим пределы интегрирования Далее распишем экспоненту по формуле Эйлера и получим сумму двух интегралов Интеграл в симметричных пределах от нечетной функции синус даст нулевое значение, а свойство четности для функции косинус позволяет исключить отрицательную область интегрирования, увеличив при этом коэффициент в два раза: (4.1) Приведем функцию (4.1) к виду , где : (4.2) Для построения графика функции (4.2) предварительно рассчитаем ее значения в следующих точках: 1) В этом случае в силу свойства замечательного предела получим 2) При неограниченном возрастании знаменателя в выражении (4.2) вся дробь убывает до нуля, поэтому 3) Нули функции, когда соответствуют выполнению следующего равенства: откуда В результате точки пересечения графика ИНС (рисунок 4.4) с осью абсцисс будут наблюдаться при следующих значениях времени: . График идеального низкочастотного сигнала имеет вид осциллирующей кривой, четной относительно начала отсчета времени. С увеличением граничной частоты спектра возрастают как центральный максимум, так и частота осцилляций. Рисунок 4.4 – Идеальный низкочастотный сигнал 4.3 Восстановление непрерывных сигналов При дискретизации по времени функция непрерывного аргумента преобразуется в функцию дискретного аргумента Этот переход осуществляется путем взятия отсчетов функции в определенные дискретные моменты времени В результате функция заменяется совокупностью своих мгновенных значений, по которым возможно восстановление исходной непрерывной функции с заданной точностью. Функцию, полученную в результате такого восстановления, называют воспроизводящей. При дискретизации непрерывной функции приходится решать вопрос о том, как часто необходимо производить отсчеты функции, т.е. каким должен быть шаг дискретизации. При малых величинах количество отсчетов функции на отрезке обработки будет большим и точность воспроизведения – высокой. При больших значениях количество отсчетов уменьшится, но при этом снизится и точность воспроизведения. Обычно задается допустимая погрешность воспроизведения исходной функции. Оптимальной считается такая дискретизация, которая обеспечивает представление исходной функции с заданной точностью при минимальном количестве дискретных отсчетов. В этом случае все отсчеты оказываются существенными для восстановления исходной функции. В случае неоптимальной дискретизации, кроме существенных, производятся и избыточные отсчеты. Наличие избыточной информации нежелательно при передаче информации, т.к. канал связи занимается на более длительное время, чем необходимо, или требуются каналы с большей пропускной способностью. 4.3.1 Теорема Котельникова Качество способа дискретизации, согласно которому отбираются дискретные отсчеты, оценивают по той ошибке, с которой удается воспроизвести исходную непрерывную функцию. Разумеется, предпочтение отдается таким моделям сигнала и таким способам его воспроизведения, для которых ошибку воспроизведения удается свести к нулю или близкому к нулю значению. Рассмотрим частотный критерий отбора дискретных отсчетов, согласно которому интервалы между отсчетами выбираются с учетом частотного спектра дискретизируемого сигнала. Правило расчета этого интервала носит название теоремы Котельникова: если непрерывная функция удовлетворяет условиям Дирихле (ограничена, кусочно-непрерывна и имеет конечное число экстремумов) и ее спектр ограничен некоторой частотой называемой частотой среза, то существует такой максимальный шаг дискретизации при котором имеется возможность безошибочного восстановления дискретизируемой функции по ее дискретным отсчетам. Этот максимальный интервал равен . (4.3) Воспроизводящая функция при этом принимает вид бесконечного ряда, называемого рядом Котельникова: (4.4) где – значение непрерывной функции в точке отсчета; – номер отсчета. Таким образом, непрерывная функция представляется суммой произведений двух сомножителей, один из которых равен значению функции в дискретной точке (значению дискретного отсчета), а другой является некоторой функцией времени, называемой функцией отсчетов: . (4.5) Выражение для ряда Котельникова (4.4) можно трактовать как разложение сигнала в ряд по системе функций которая в этом случае называется базисом Котельникова. Рассмотрим свойства функции отсчетов. 1) В момент времени совпадающий со временем взятия дискретного отсчета, функция отсчета достигает своего наибольшего значения, равного единице (рисунок 4.5): Рисунок 4.5 – Функции отсчетов при k = 0 и k = 1 2) В моменты времени, кратные , т.е. при , где – целое число, функция отсчетов обращается в нуль: Учитывая выражение (4.3) для шага дискретизации окончательно получим . 3) Функции отсчетов с различными номерами ортогональны на бесконечном временном интервале. Учитывая связь круговой и циклической частот пересчитаем величину шага дискретизации из теоремы Котельникова: (4.6) Полученный результат можно интерпретировать следующим образом: для того, чтобы восстановление непрерывной функции по ее дискретным отсчетам было возможно с заданной точностью, необходимо, чтобы частота дискретизации при этом была, по крайней мере, в два раза больше наивысшей частоты, присутствующей в спектре дискретизируемой функции. В противном случае неизбежны наложения частот (верхних частот на нижние) (рисунок 4.6) и искажения при восстановлении непрерывной функции. Рисунок 4.6 – Наложение верхних частот (кривая 1) на нижние частоты (кривая 2) Эффекты, связанные с подобными искажениями, наглядно проявляются при видеосъемке вращающихся объектов (например, колеса автомобиля). Из-за недостаточно высокой частоты дискретизации (частоты смены кадров) быстро вращающееся колесо может выглядеть медленно вращающимся или даже неподвижным. Теорема Котельникова сыграла большую роль в технике передачи и приема информации. Она позволила заменить исследование передачи непрерывных сообщений более простыми задачами исследования передачи дискретных сообщений. В последние годы при изучении свойств сигналов на первый план стали выдвигать их способность быть носителями сообщений. Сообщения по своей природе относятся к случайным явлениям, и, таким образом, сигнал может служить переносчиком сообщения лишь в том случае, когда представляющая его непрерывная функция недетерминирована, случайна. Кроме того, реальные сигналы, являющиеся носителями информации, имеют начало и конец, то есть непрерывные функции, описывающие такие сигналы, имеют конечную длительность. Но такие функции не могут обладать ограниченным спектром. Между тем теорема Котельникова является точной лишь для функций с ограниченным спектром. На практике использование теоремы Котельникова также наталкивается на ряд трудностей. В первую очередь следует отметить, что представление непрерывной функции в виде дискретных отсчетов через промежуток времени не позволяет воспроизводить процесс, развивающийся во времени. Пусть, например, на интервале непрерывная функция времени восстанавливается по своим отсчетам. Если теперь вне интервала получен хотя бы один дополнительный отсчет, то при восстановлении изменяется вся непрерывная функция на всем предшествующем интервале за исключением самих отсчетных значений. Таким образом, получение новых данных изменяет непрерывную функцию в «прошлом». Наконец, для реальных сигналов граничная частота среза (или ) является неопределенным параметром, для выбора которого не существует достаточно обоснованных критериев. Приведенные замечания свидетельствуют о том, что применение теоремы Котельникова вызывает определенные трудности в том случае, когда она рассматривается как точное утверждение. Практически, однако, идеально точное восстановление функции никогда не требуется, необходимо лишь ее воспроизведение с определенной, фиксированной точностью. Поэтому теорему Котельникова для функций с неограниченным спектром можно рассматривать как приближенную. Пример 12. Определим по теореме Котельникова шаг дискретизации для сигнала В качестве эффективной ширины спектра сигнала выберем полосу частот, на которую приходится 95% от полной энергии сигнала. Шаг дискретизации по теореме Котельникова определяется по соотношению . Предварительно рассчитаем граничную частоту , используя понятие эффективной ширины спектра сигнала и соотношение (3.14): Спектр сигнала рассчитаем по аналогии с примерами 9, 10: откуда В результате получим: Учитывая табличный интеграл получим равенство , откуда . Искомый шаг дискретизации определится как . Пример 13. Сигнал дискретизированный в соответствии с условиями теоремы Котельникова, имеет два ненулевых отсчета (рисунок 4.7): Рисунок 4.7 – Дискретные отсчеты сигнала Вычислим мгновенное значение исходного непрерывного сигнала в момент времени . Шаг дискретизации определим из условия задачи (рисунок 4.7) как расстояние между двумя дискретными отсчетами: , откуда рассчитаем граничную частоту в спектре сигнала, используя соотношение (4.3): рад/сек. Для восстановления функции в момент времени воспользуемся выражением для ряда Котельникова (4.4) и учтем наличие только двух дискретных отсчетов с номерами : . Значения дискретных отсчетов определим из условия задачи (рисунок 4.7): В, В. Подставив найденные значения в ряд Котельникова, получим: . 4.3.2 Полиномиальное восстановление непрерывных сигналов Предельный, теоретический путь восстановления непрерывных функций по их дискретным отсчетам дает ряд Котельникова, однако, как уже отмечалось, его применение в системах реального времени невозможно. Поэтому на практике используют иные способы восстановления, например, при помощи полиномов различного порядка. Приближение нулевого порядка (ступенчатая аппроксимация). Воспроизводящая функция при ступенчатой аппроксимации для интервала между двумя соседними отсчетами определяется формулой . (4.7) Это означает, что восстановленный сигнал кусочно-непрерывен и равен значению исходного сигнала в момент дискретизации. Восстановленное значение не изменяется до следующего момента дискретизации (рисунок 4.8). Рисунок 4.8 – Ступенчатая аппроксимация Подобный способ восстановления широко используется в цифро-аналоговых преобразователях (ЦАП) и может быть применен и при неравномерной дискретизации. Максимальная ошибка при восстановлении нулевого порядка для функций, имеющих гладкую производную, определяется соотношением . (4.8) Приближения старших порядков. Очевидно, что ступенчатая аппроксимация представляет собой полином нулевого порядка и обладает невысокой точностью. В некоторых случаях точность восстановления можно повысить, увеличивая степень воспроизводящего полинома. Например, приближение первого порядка для интервала принимает вид (рисунок 4.9): . (4.9) Рисунок 4.9 – Линейная аппроксимация Максимальная ошибка восстановления при линейной аппроксимации равна: . (4.10) Пример 14. Определим количество опросов за период при дискретизации функции . Максимальная ошибка восстановления при этом не должна превышать 0,6 %. Из условия задачи следует, что относительная ошибка восстановления должна удовлетворять следующему неравенству: При восстановлении нулевого порядка по соотношению (4.8) получим: Рассчитаем производную для функции : откуда Учтем связь частоты сигнала, его периода и количества опросов: откуда . При восстановлении первого порядка по аналогии получим: откуда . Таким образом, увеличение порядка восстанавливающего полинома на единицу привело к уменьшению требуемого количества опросов почти в 10 раз. 4.4 Контрольные вопросы 1. В чем отличие между равномерной и неравномерной дискретизацией? 2. Каким свойством обладает модель сигнала с ограниченным спектром? 3. Запишите соотношение для определения шага дискретизации по теореме Котельникова. 4. Каковы основные свойства функции отсчетов? 5. Чем вызван эффект наложения частот? 6. Какие известны способы восстановления непрерывной функции по ее дискретным отсчетам? 7. В чем отличие между ступенчатой и линейной аппроксимацией? Литература 1. Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов / А.Б. Сергиенко. – СПб.: БХВ-Петербург, 2011. – 758 с. 2. Садовский, Г.А. Теоретические основы информационно-измерительной техники / Г.А. Садовский. – М.: Высшая школа, 2008. – 480 с. 3. Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы / С.И. Баскаков. – М.: Высшая школа, 2005. – 462 с. 4. Темников, Ф.Е. Теоретические основы информационной техники / Ф.Е. Темников, В.А. Афонин, В.И. Дмитриев. – М.: Энергия, 1971. – 424 с. Учебное издание Гареева Рената Гегелевна МЕТОДЫ АНАЛИЗА И ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ Курс лекций Редактор Подписано в печать Формат 6084 1/16 Усл. п. л.  . Уч.-изд. л.  Печать  ризография, множительно-копировальный аппарат «RISO EZ300» Тираж 50 экз. Заказ Издательство Алтайского государственного технического университета 656038, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46 Оригинал-макет подготовлен ИИО БТИ АлтГТУ Отпечатано в ИИО БТИ АлтГТУ 659305, г. Бийск, ул. Трофимова, 27