Методология математического моделирования. Статические и динамические, дискретные и непрерывные модели.

Лекция 1. Методология математического моделирования. Статические и динамические, дискретные и непрерывные модели. Математическое моделирование процесса функционирования системы можно разделить на аналитическое и имитационное. Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегро-дифференциальных, конечно-разностных и т.д.) или логических условий .Аналитическая модель может быть исследована следующими методами: аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик; численным, когда, не умея решать уравнения в общем виде, стремятся получить численные результаты при конкретных начальных данных; качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость). Численный метод позволяет исследовать, по сравнению с аналитическим, более широкий класс систем, но при этом полученные решения носят частный характер. Имитационным моделированием, при котором реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс. Недостатком, проявляющимся при машинной реализации метода ИМ, является то, что решение, полученное при анализе имитационной модели, всегда носит частный характер, так как оно соответствует фиксированным элементам структуры, алгоритмам поведения и значениям параметров системы, начальных условий и воздействий внешней среды. Если сравнивать с физическим моделированием, то применение имитационного моделирования целесообразно, если иных методов решения задачи просто нет, либо требуется существенное «сжатие» по времени. Классификация методов математического моделирования применительно к этапу построения математической модели. Суть методов. Их достоинства и недостатки. В современной науке существуют два основных подхода к построению математических моделей систем. Первый их них – это широко распространенный классический подход, который базируется на раскрытии явлений, происходящих внутри рассматриваемой системы.____Базой данного подхода к построению математической модели являются дисциплины, относящиеся к соответствующим предметным областям – теоретическая механика при построении моделей механических объектов, электротехника – при построении моделей электрических цепей и т.д._____Второй подход, характерный для методологии кибернетики и получивший развитие в трудах ее основоположников, основывается на рассмотрении системы как некоторого объекта, у которого доступными для наблюдения являются только входные и выходные переменные. Его часто называют кибернетическим моделированием. Данный подход сводит изучение системы к наблюдению ее реакций при известных воздействиях, поступающих на вход системы. Модель системы строится при этом как описание некоторого преобразователя вектора входных переменных в вектор выходных переменных. Такая кибернетическая модель сохраняет только подобие векторов входных и выходных переменных оригинала и модели, полностью игнорируя физический смысл и внутреннюю структуру объекта._____Способы получения математических моделей – классический метод и метод кибернетического моделирования конечно же, не являются взаимоисключающими. Основой кибернетического моделирования являются такие разделы математической теории систем как методы идентификации объектов и методы реализации временных рядов. Такие модели дают адекватное описание исследуемых процессов лишь в ограниченной области пространства переменных, в которой осуществлялось их варьирование. Поэтому кибернетические модели носят частный характер, в то время как физические законы отражают общие закономерности явлений и процессов, протекающих в технической системе. Метод графов связей. Типовые элементы и переменные графов связей. Метод графов связей (ГС) основан на представлении о том, что любые физические процессы состоят из элементарных актов преобразования энергии. Такими элементарными процессами являются накопление энергии, диссипация (потери) энергии и преобразование энергии без потерь. Граф связей представляет собой совокупность элементов, соответствующих основным типам преобразования энергии и изображаемых в качестве вершин графа, соединенных связями (дугами графа). Основные переменные связей – усилие e(t) и поток f (t) . Эти величины являются функциями времени и называются переменными мощности связи. Остальные четыре переменные вычисляются через основные по формулам: мощность N(t) = e(t) × f (t) энергия, перемещение, момент. Элементы графа связей делятся на четыре группы: источники энергии, аккумуляторы энергии, элементы рассеивания (потери) энергии и преобразователи энергии без потерь. В первую группу входят два идеальных источника энергии: источник усилия, обозначаемый как SE , и источник потока, имеющий обозначение SF . Группа аккумуляторов тоже включает два элемента: инерционность I и емкость С. Аккумуляторы различаются тем, что инерционность имеет свойство накапливать кинетическую энергию, а емкость – потенциальную. В третью группу входит один элемент потерь R. Четвертая группа включает четыре преобразователя энергии: трансформатор, гиратор, узел общего усилия и узел общего потока. Метод математического моделирования. Типы моделей. Суть метода, его достоинства и недостатки по сравнению с другими методами. Математическое моделирование (ММ) - все методы, основанные на построении и использовании различных форм математических моделей проектируемых объектов, независимо от того, как они реализуются. Методы непрямой аналогии и расчетно-аналитический метод являются методами математического моделирования. При математическом моделировании описание системы производится в терминах некоторой математической теории, например, теории матриц, теории дифференциальных уравнений и т.д. Математическое моделирование основано на ограниченности числа фундаментальных законов природы и принципе подобия, означающем, что явления различной физической природы могут описываться одинаковыми математическими закономерностями. Как и всякие модели, математические модели основаны на некотором упрощении, идеализации, отбрасывании факторов, которые для данной задачи или на данном этапе исследований представляются несущественными. Например, модели объектов, используемые на начальных этапах проектирования, могут не учитывать их стохастичность, нелинейность. Механические модели звеньев механизма могут быть получены без учета их реальной формы и т.п. В зависимости от формы представления математические модели можно разделить на аналитические, структурные и алгоритмические. Аналитические модели представляют собой отображение взаимосвязей между переменными объекта в виде дифференциальных, алгебраических или любых других систем математических уравнений. Такие модели обычно получают на основе физических законов. Использование аналитических моделей позволяет исследовать фундаментальные свойства объекта, часто без использования ЭВМ. Структурная модель представляет систему в виде совокупности элементов, а также совокупности необходимых и достаточных отношений между этими элементами и связей между системой и окружающей средой. В простейшем случае с помощью структурной математической модели воспроизводится структура уравнений, описывающих поведение исследуемого объекта. Вариантами структурных моделей являются графы, структурные и функциональные схемы, диаграммы и т.д. На принципах структурного математического моделирования работают аналоговые вычислительные машины. Алгоритмические модели воспроизводят пошаговый процесс численного решения уравнений, представляющих математическую модель исследуемого объекта и обычно реализуются в форме программы для ЭВМ. Результаты исследования на алгоритмических моделях всегда являются приближенными. Применение компьютеров делает алгоритмические модели наиболее универсальными. С их помощью могут быть воспроизведены любые другие математические модели. Адекватность математических моделей. Способы проверки адекватности. Адекватность. Проблема соответствия модели реальному объекту. Модель адекватна оригиналу, если она верно отражает свойства оригинала и может быть использована для предсказания его поведения. При этом адекватность модели зависит от целей моделирования и принятых критериев. Например, модель, адекватная на этапе поискового проектирования, при детализации проекта теряет это свойство и становится слишком "грубой". Учитывая изначальную неполноту модели, можно утверждать, что идеально адекватная модель в принципе невозможна. Приближенность модели к действительному объекту можно рассматривать в следующих аспектах: ● с точки зрения корректности связи «вход-выход»; ● с точки зрения корректности декомпозиции модельного описания применительно к целям исследования и использования моделей. Степень соответствия моделей в первом случае принято называть собственно «адекватностью», во втором – аутентичностью. Можно выделить два способа оценки адекватности, один из которых используется, если есть возможность сравнить модель и объект, другой – если такой возможности нет. Первый способ представляет собой разовую процедуру, основанную на сравнении данных, наблюдаемых на реальном объекте, с результатами вычислительного эксперимента, проведенного с моделью. Модель считается адекватной, если отражает исследуемые свойства с приемлемой точностью, где под точностью модели понимается количественный показатель, характеризующий степень различия модели и изучаемого явления. Таким образом, в первом способе мера адекватности является количественной. Ей может быть значение некой функции несогласованности между моделью и измерениями. Второй способ представляет собой перманентную процедуру, основанную на использовании верификационного подхода. Такая процедура всегда используется, если нет возможности проверить модель экспериментально (например, объект находится в стадии проектирования, либо эксперименты с объектом невозможны). Процесс оценки достоверности имеет две стороны: - приобретение уверенности в том, что модель ведет себя как реальная система; - установление того, что выводы, полученные на ее основе справедливы и корректны. Методы не математического моделирования. Их достоинства и недостатки по сравнению с математическим моделированием. При полунатурном моделировании часть системы (обычно самая громоздкая, дорогая или опасная) заменяется моделью, которая стыкуется с реальным оборудованием (датчиками, средствами обработки информации, приводами, системой управления). Примером является исследование систем ориентации космических аппаратов на конечных этапах проектирования. На Земле невозможно создать условия невесомости, поэтому аппарат помещают на специальные имитационные стенды, обеспечивающие разгрузку несущих конструкций. Вся же остальная аппаратура реальная. Такие же полунатурные эксперименты имеют место при любых проверках ракет, самолетов и т.д. с помощью специальных диагностических устройств. Достоинство метода в высокой достоверности получаемых результатов. Недостатки – в ограничениях, накладываемых реальным оборудованием. Например, невозможность сжатия процесса моделирования во времени. Реальный объект может быть заменен как реальным объектом, и тогда чаще говорят о макетировании, так и идеальным, в частности математической или компьютерной моделью. Широко используемое на практике физическое моделирование основано на использовании моделей той же физической природы, что моделируемый объект, но с более удобными для экспериментирования параметрами: меньшими массой, габаритами и т.п. Оно применяется тогда, когда натурные испытания очень трудно или вообще невозможно осуществить, когда слишком велики (малы) размеры натурного объекта или значения других его характеристик (давления, температуры, скорости протекания процесса и т.п.). Физическое моделирование основано на свойствах подобия. Два явления физически подобны, если по заданным физическим характеристикам одного можно получить характеристики другого простым пересчетом, который аналогичен переходу от одной системы координат к другой. Примером физического моделирования является применение аэродинамических труб для продувки уменьшенных копий самолетов или автомобилей. Подобные методы моделирования широко используются и при моделировании гидротехнических сооружений (плотин, каналов). Достоинство этого метода, прежде всего, в том, что физическую модель зачастую сделать гораздо проще, чем получить ее математическое описание. Современные технические средства позволяют легко получить точную уменьшенную копию самолета или автомобиля. С другой стороны, ряд явлений гораздо легче реализовать физически, нежели расчетным путем (например, эффект трения). Недостатки данного метода заключаются в его относительной дороговизне, сложности повторения экспериментов и сложности анализа результатов. Не всегда результаты, полученные на малой модели, легко и просто переносятся на реальный объект. Основой обработки результатов физических экспериментов является специальная наука – «теория подобия».