Методические указания к решению задач по теории вероятностей

: 1. ( ) ( ). 2. - , , , , , , . 3. , . 4. , . 5. , . " ", , , , . , , 6. . . , " " … " ... ". , " ". . , , . . P A m , n m– , , n– , . n k k . , , , n . n k n k n! k! n k ! k n n! ( n ) n, . n! 1 2 3...n. 1 2 3 4 5 10 1 2 3 1 2 5! 3 5 3! 5 3 ! : . 20 18 . 5 , 4 . , 5 20 20 5 5 ( 20 , ) , ( 5 : 4 ) 18 4 18 5 4 1 ; . 1 2 20 18 2 . , 4 18 1 2 C5 20 18! 2! 15 16 17 18 1 2 4! 14! 1! 1! 1 2 3 4 1 1 20! 16 17 18 19 20 15504 5! 15! 1 2 3 4 5 , . 6120 5 4 1 . 1 2 20 18 2 . , 4 18 18! 2! 15 16 17 18 1 2 4! 14! 1! 1! 1 2 3 4 1 1 1 2 6120 20! 16 17 18 19 20 15504 5! 15! 1 2 3 4 5 , . C5 20 P 6120 765 15504 1938 255 646 : 1. : , , . P A B P A P B 2. : . P A B P A P B 3. : , , . , P ( AB) P( A) P B ( A) 2 P B( A) , 3, , P( B) . 4. : P( A B) P( A) P( B) P( AB) , 1. 0,8. . , , 0,4 , , ? : AA1 A 2 . . . … Ai - i- (i=1,2,3…n) A , A … An 1 2 A A A A A ... An 1 2 3 P( Ai ) 0.8 , i= 1,2,3…n Ai , . P( A) P( A A ...An ) P( A ) P( A )...P( An ) 0.8 1 2 1 2 0.8n 0.4 lg 0.8 lg 0.4 . lg 0.8 0 lg 0.4 lg 0.8 , n 5 A , A … An 1 2 P , P … Pn ; 1 2 , , , , , 5. , A, A , A … An , 1 2 , A , A ... An 1 2 P( A) 1 q q ...qn 1 2 P, P( A) 1 q n (q 1 p ) . , . P 0.1 , P 1 2 0.2 , P 0.3 3 , . , , . P( A) 1 q q q 1 (1 0.8)(1 0.2)(1 0.3) 1 0.9 0.8 0.7 0.496 1 2 3 6. ( ) , B , B ..., Bn , 1 2 , : P ( A) P( B ) P ( A) P ( B ) P ( A) ... P ( Bn ) P ( A) , Bn 1 B 2 B 1 2 P( B ) + P( B ) +…+ P ( Bn ) =1 1 2 7. ( ) ( ) B , B ,.., Bn , 1 2 . , P P ( A) Bi Bi P( A) P ( Bi ) A (i=1,2,…n) . , , 3:2 . , , , 0.1; 0.2. . , . 2 . . , . . 1 . 2 , . 1 1 1 0.2 . 2 2 . 2 0.1 . 2n 2 3 . P B . 1 5n 5 2 5 2 3 P A 0.2 0.1 0.14 . 5 5 . :P B 2 . P B P A 2 B2 P A 3 0.1 3 5 . 0.14 7 , 8( ). , n , ( q=1-p), , Cnk P k q n k . , 0.51). , Pn K . 5 : . ( . 2 , , =0.51. , : P 2 5 =0.51(q=0.49) 5! C 2 P 2 q5 2 0.512 0.493 0.312 . 5 2! 3! . 2. 2 . , , . , . , . . :M X X P X P ... X n Pn . 11 2 2 : D X M X M X D X M X2 X 2 M X D X (1) 2 : (2). , , , , . . F(x), . F x , “ ’’ ’’. “ : 1. 0;1 O X 1 P X x 2. , F X F X 1 2 3. X >X 2 1 , , X a, b . P a x b 4. F b F a , X P x x 1 5. X a, b , F x F x 1 x a x b 6. lim F x x 0; lim F x x 1 , . : f x X , F' x . , a, b P a x b b f x dx a , F x x f x dx : 1. 2. , : f x f x dx 1 , a, b , b a f x dx 1 X , X , : M x xf x dx , f x - X . , a, b , X b M x a xf x dx M x , X , . Me x , : X , P x Me x P x Me x X 2 D x x M x f x dx (**) , , : X x 0 F x sin 2 x 0 x 4 1 x 4 1. X . x 0 F x F' x 2cos 2 x 0 x 4 x , 2. F' x x 0 , ) 4 . ; 12 4 X : P a x b F sin 2 4 F sin 2 12 P x 12 b a f ( x)dx 4 sin 4 1 1 2 sin 12 4 : ) P a x b F (b) F (a) 1 2 1 2 6 1 2 2x t 2dx dt 2cos 2 xdx 2 12 2 1 cos tdt sin t 2 1 2 6 6 6 4 2 3. . M ( x) xf ( x)dx 4 x 2cos x2 xdx 2x t 0 0 12 t cos tdt 20 4 2 1 1 2 2 4 2 t sin t 2 14 2 x cos 2 x d 2 x 20 2 sin tdt 1 cos t 2 2 2 1 2 4. . x 2 f ( x)dx D x 4 2 x 2 cos 2 xdx 4 M x 1 2 2 : 2 2 16 2 1 2 16 1 4 4 4 3 4 . X, ( ,b), X, , f ( x) 0 . . f ( x) 1 b a ; 1 2 X, x e f ( x) x 0 x 0 . . , x a2 e 2 2 1 f x 2 a– , - . , P a x , , a , t2 1 x 2 l dt 2 0 x ( . , X ) a P X a< 2 . “ P X a <3 , ” 0,9973 99,73% X a 3 ;a 3 . X. . X 10 2. , (12; 14) , : ( x 10) 2 1 f ( x) l 8 2 2 : P( x (12 x 14) ) ( (2) a ) a ( ) (1) 0, 4772 0,3413 0,1359 : t2 1 l 2 dt 2 ( x) 1-2 1 1 « ». 1 1 – 10. 1. 1) 2) . : , ={ »}, 40 « 2. « »}, ={ « , . , 5 3 . 3. . 0,9. }, = { }, D = { 4. 10 4 }, 10. = { . }, }, }. ={ ={ ={ }. ={ = »}. 5. 6 4 1 . . , 6. . 1 – 2. 1 30% . . , 2 10% 80% , , . 7. : , 1; 5 6 , 2 – 15 , . 2, 3 3. 3 , 4 1 , 1 2; 10 3 – 20 , , , , ={ 2 10 }, = 1}. 8. 1, 25% – : 30% – 2, . 2 – 1%, 1 – 3%, ={ 3. , 3 – 0,5%. }, = { 3}. 9. , 5% , . . 10. 0,8. , . 2 11 – 16. f(x) . 0, x 0, 11. f ( x) Ax 2 , 0 x 2, = 1, = 1,7. A x, 1 x 4, = 2, = 3. 0, x 2. 0, x 1, 12. f ( x) 0, x 4. 0, x 1, 13. f ( x) Ax3 , 1 x 2, 0, x 2. = 1,1, = 1,5. 0, x 14. f ( x) 2, A( x 1), 2 0, x x 4, = 3, = 3,5. = 2, = 3. 4. 0, x 1, 15. f ( x) Ax, 1 x 5, 0, x 5. 0, x 16. 1, 4 f ( x) Ax , 1 x 1, = 0,5, = 1. 0, x 1. : 1) 2) 3) 4) 5) ; F(x); F(x), f(x); ; , ( , ). 17 – 20. F(x) . 0, x 0, 17. Ax 2 , 0 f ( x) 1, x x 2, = 1, = 2. x 4, = 2, = 3. x 3, = 1, = 2. = 2, = 4. 2. 0, x 0, 18. Ax 3 , 0 f ( x) 1, x 4. 0, x 0, 19. Ax 4 , 0 f ( x) 1, x 3. 0, x 0, 20. f ( x) Ax, 0 x 5, 1, x 5. : 1) 2) 3) 4) 5) f(x); ; F(x), f(x); ; , ( , ). 3 21 – 30. a . 21. 23. 25. 27. 29. a = 1, a = 2, a = 3, a = 4, a = 5, = 5, = 4, = 2, = 4, = 6, = 0,5, = 3. = 1, = 5. = 2, = 8. = 3, = 6. = 4, = 9. 22. 24. 26. 28. 30. a = 9, a = 8, a = 6, a = 4, a = 2, = 5, = 3, = 4, = 6, = 3, = 2, = 1, = 0, = 5, = 4, = 8. = 6. = 5. = 9. = 8. : 1) f(x) ; 2) , ( , ). 4 31 – 40. , p. 31. n = 900; p = 0,3 . 250 320 32. n = 800; p = 0,4 . n , . 900 . , , , p = 0,4 33. n = 1000; p = 0,6 . 580 0,05. 1000 . 34. n = 700; p = 0,45 . , 700 . 35. n = 900; p = 0,5 . , 900 . 36. n = 800; p = 0,6 . , 800 p = 0,6 , 0,05. 37. n = 1000; p = 0,4 . p = 0,4 38. p = 0,6 . , , 0,9. (n) 0,9 p = 0,6 , , , 0,1. , 800 39. n = 900; p = 0,8 . p = 0,8 40. n = 800; p = 0,4 . 300 400 , 0,05. . 5 41 – 50. 41. 10, = 2. 42. a= F(x). a, . , ( = 1,2,3). 43. 10, a= = 2. , . : 1) 1 = 0,9974; 2) 2 = 0,9544; 3 = 0,50. 44. , . 0,8, 50 0,1 , ? 45. a, . (a + , a + 3 ). 46. a = 20. (15, 20) 0,4. (10, 15) 0,3. (20, 25). 47. a = 25. (35, 40). 48. a = 10. (8, 12) . 0,4. 49. a = 1,6 , (1, 2). = 1. a = 2 , = 0,5. [3, 4], 50. – [1, 2]. 2 2 « ». 1 1-10. , ~N ( ; ( ); ( )). : 1. n = 20 . 2. . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ( ) 9 3 5 1 4 7 2 6 8 2 ( ) 1 9 6 7 3 4 5 8 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 7 2 6 9 12 10 3 14 15 . ,i . ,j 2 11-20. , ~N ( ; ( ); ( )). 1. : 1. . 2. . 3 21 – 30. 10 , , , . , , , 0,95. 1 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 2 2,3 4,2 3,7 6,8 6,3 7,7 8,2 7,3 8,9 5,2 1,2 3,7 5,3 6,3 7,1 7,9 6,3 6,9 8,7 3,1 3 4 6 3,1 4,0 4,9 5,2 6,8 9,0 8,3 7,9 8,5 5,9 2,6 3,5 4,4 5,3 7,7 6,3 8,6 9,7 9,3 5,3 2,1 5,3 3,9 5,5 5,8 8,1 9,1 9,5 9,4 4,4 2,7 4,4 6,2 4,9 6,2 8,7 8,4 7,1 6,9 3,9 5 7 8 1,7 4,1 3,8 6,0 5,7 8,6 9,6 6,6 8,6 4,8 3,0 3,8 4,1 6,6 5,9 8,3 8,0 9,1 9,9 4,6 1,8 3,3 5,0 6,1 6,7 7,8 8,9 7,6 9,2 4,2 10 9 1,4 5,2 4,2 5,7 5,1 8,4 7,9 9,9 6,4 3,9 4 31 – 40. n , , , xi – , ni , xi . = 0,05 , ( ) . 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. n = ni xi 1 2 3 4 5 1000 500 1000 500 1000 400 1000 500 1000 500 ni ni ni ni ni ni ni ni ni 370 70 380 220 403 185 155 194 440 201 360 140 380 180 370 180 265 186 365 184 190 135 170 75 167 13 266 88 145 85 63 95 58 20 46 13 194 26 41 22 14 40 10 4 12 7 83 5 8 7 3 20 2 1 2 2 37 1 1 1 5 41 – 50. . . 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. i 1 2 3 4 5 xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi 1,20 1,35 1,10 1,30 1,25 1,40 1,20 1,40 1,35 2,10 1,10 3,00 2,20 3,10 3,10 2,70 2,90 1,70 3,20 2,40 1,50 1,40 1,40 1,45 1,30 1,55 1,60 1,45 1,40 2,30 1,30 3,15 2,40 3,40 3,50 3,10 3,10 2,20 3,50 2,45 2,50 1,50 1,90 1,60 1,40 1,60 2,30 1,55 1,50 2,80 1,80 3,55 2,90 3,90 4,10 3,70 3,40 2,90 4,20 3,10 3,00 1,65 2,20 1,65 1,55 1,70 2,80 1,70 1,55 3,40 2,20 4,10 3,20 4,20 4,30 4,10 4,00 3,10 4,60 3,20 4,50 1,70 3,00 1,80 1,60 1,75 3,50 1,75 1,70 3,60 2,50 4,20 3,50 4,80 4,80 4,90 4,30 3,40 5,30 3,50