Метод Зейделя

3.3 Метод Зейделя Метод Зейделя записывается в виде x k 1 1  D A1x k 1 1 ((11) D  A1 ) x 1  D A2x  D f Или, k 1 k k  A 2 x f (10) Учитывая, что А=А1+В+А2 можно записать (D  A1 )( x k 1 k k  x )  Ax f (12) Часто для ускорения сходимости в итерационные методы вводят числовые параметры, которые зависят от номера итерации. Например, в метод (12) можно внести итерационный параметр Ƭk+1 (D  A1 ) (x k 1 k  x ) k 1 k  Ax f (13) Итерационный метод называется стационарны м, если Ƭk+1 =Ƭ не зависит от номера итерации. Методом простой итерации называется явный метод x k 1  x k k  Ax f  с постоянным параметром Ƭ. (14) Обобщением метода Зейделя (12) является метод верхней релаксации (D  A1 ) (15) (x k 1 k  x ) k  Ax f  Где 1<ω<2 – заданный числовой параметр 3.4 Метод релаксации Итерационный процесс, определенный формулой (15) при ω>1 называют методом верхней релаксации, при ω=1 – методом полной релаксации и при ω<1 – методом нижней релаксации.  Умножим на матрицу (D+ωA1)-1, получим формулу для последовательных приближений xk+1=xk - (D+ωA1)-1Aωxk+ (D+ωA1)-1ωf (16)   Теорема: Если матрица А симметрична положительно определена, то метод релаксации (16) сходится при любом х0 и любом 0<ω<2. В общем случае задача нахождения оптимального значения ω не решена. Поэтому используется метод проб. Пример: Метод Зейделя Воспользуемся исходными данными предыдущего примера. Матрица В и вектор g определены там же. Тогда Метод Релаксации  Матрица и правые части те же. Матрица системы уравнений А не симметрична, поэтому использовать метод релаксации нельзя (по теореме). Поэтому проведем ее симметризацию по Гауссу. Приведем систему к нормальной форме (саму матрицу А и правую часть f  Для решения нормальной системы используем процедуру ZR, которая позволяет решать системы методом релаксации и методом Зейделя при ω=1. Вначале необходимо активизировать данную процедуру. Мы использовали разное значение параметра ω (1; 1.5; 1.8). Наилучший результат был получен при ω=1.5 (т.к. решение найдено за 15 шагов)