Метод последовательного анализа Вальда

Лекция МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА ВАЛЬДА 1. Сущность метода последовательного анализа. 2. Постановка и решение задачи методом последовательного анализа ВВЕДЕНИЕ Последовательный анализ представляет собой достаточно новое направление статистических исследований, сложившееся в 40-х годах нашего столетия. Основную роль, сыграли работы известного американского статистика А.Вальда. Для проверки статистических гипотез в классических статистических испытаниях (наблюдения) производятся полностью, затем полученные результаты обрабатываются, и делается вывод: принять или отвергнуть выдвинутую гипотезу. Метод последовательного анализа характеризуется тем, что количество необходимых испытаний заранее не определяется, после каждого из них делаются расчеты, на основании которых принимается одно из следующих трех решений: 1) принять проверяемую гипотезу Н0; 2) отклонить проверяемую гипотезу Н0 (принять альтернативную Н1); 3) продолжать эксперимент и провести дополнительное наблюдение. Количество n наблюдений, необходимых при такой методике проверки гипотезы, является случайной величиной, так как величина n зависит от исходов испытаний. Суть метода последовательного анализа будет полностью определена, если указать правило, которым руководствуются при принятии одного из указанных выше трех решений на каждом этапе наблюдения. Мы рассмотрим в дальнейшем смысл одного частного метода последовательного анализа, предложенного А.Вальдом в 1943 году и названного им последовательным критерием отношения вероятностей. Этот критерий, как показал Вальд, дает наибольший, возможный выигрыш в среднем числе наблюдений, которые необходимы при проверке простой гипотезы относительно единственной конкурирующей, а именно метод требует в среднем примерно на 50% меньше наблюдений, чем наиболее эффективный критерий, основанный на фиксированном количестве наблюдений. Нетрудно видеть ценность идей последовательного анализа в применении к проблемам военного дела, где всякий реальный эксперимент, испытание связаны с большими затратами на их проведение, и естественно стремление уменьшить число испытаний до минимума. Особенно остро этот вопрос встает при проверке технических изделий разового действия, например, взрывателей, зенитных управляемых снарядов и т.п., так как увеличение числа испытаний в подобных случаях приводит к соответствующему уменьшению объема партии испытываемых изделий. Одна из практических задач, стимулирующих развитие метода последовательного анализа – это задача организации контроля качества выпускаемой продукции. Применение статистических методов в контроле и анализе производственных процессов в промышленности получило особо широкое распространение в годы второй мировой войны. Предложенный Вальдом последовательный критерий отношения вероятностей оказался применимым к конструкторским работам в области военного и военно-морского оборудования, для задач которого автор метода излагал специально методику применения критерия. 1. Сущность метода последовательного анализа В качестве первой задачи применения метода последовательного анализа сформулируем задачу проверки качества партии однотипных изделий, например, ЭВМ. Доля бракованных изделий в партии – р – величина неизвестная. Допустим, что партия изделий считается годной, если 70% и более общего числа изделий является кондиционными (т.е. удовлетворяющими определенным требованиям). Отсюда появляется некоторая пороговая величина р’ = 0,3. Если окажется, что доля брака в партии р > 0,3, партия должна быть забракована полностью; если р < 0,3 – партия изделий принимается; при = 0,3 безразлично, какое решение принять (значение р = 0,3 образует «зону безразличия»). На практике обычно задают две другие величины р0 и р1 такие, что р0В). На каждой стадии эксперимента (в n-м испытании) вычисляется отношение вероятностей . 1. Если окажется, что В<0 то считается выполненным неравенство (4) и Н0 отвергается. Постоянные А и В определяются так, чтобы критерий имел наперед заданную силу ( . Применительно к одной из рассматриваемых задач это означает требование, чтобы вероятность признать партию изделий бракованной при р  р0 была бы не больше , а вероятность признать партию изделий годной при р  р1 была бы не больше . А.Вальд показал в 3, что для большинства практических случаев можно принимать, что и (6) Доказано также, что число наблюдений в рассматриваемом критерии ограничено, т.е. с вероятностью единица процесс окончится. На практике бывает удобнее неравенства (4), (5), (6) прологарифмировать, так как проще вычислять не произведение (2), а его логарифм. Дальше эту рекомендацию мы используем. 2. Постановка и решение задачи методом последовательного анализа 2.1 Оценка параметра р биноминального распределения Чтобы увидеть процедуру описанного выше метода последовательного анализа в действии, рассмотрим задачу определения параметра биноминального распределения – р. Именно к этой задаче сводится задача о проверке качества партии однотипных изделий. Действительно, пусть в партии всего изделий N, среди них – N0 бракованных. Отношение во-первых, и есть доля брака, во-вторых, на основании формулы классической вероятности р – это вероятность того, что наугад выбранное из партии изделие окажется бракованным1. Хi – число бракованных изделий в каждом очередном i-м испытании является случайной величиной с двухточечным распределением, т.е. если (Хi = 0) – изделие годное, если (Хi = 1) – бракованное, Р(Хi = 1) = р. Допустим, что при проверке партии методом последовательного анализа придется извлечь из партии n изделий. Величину р можно будет при этом считать параметром биноминального распределения, которое имеет случайная величина Х – число бракованных изделий среди извлеченных n изделий. Будем исходить из того, что для данной партии изделий зона безразличия (р0, р1) задана. Рассмотрим именно эту ситуацию, когда нам нужно выбрать одно из двух: р = р0 или р = р1. Как предписывает метод, запишем отношение правдоподобия по (1). В рассматриваемой задаче В случае гипотезы Н0: р = р0 имеет: Аналогично для гипотезы Н1: р = р1: На n-м шаге эксперимента мы будем иметь (7) в предположении, что значение хi = 1 наблюдалось m раз. Дальше нужно определить силу критерия, т.е. задать  и , вычислить А и В по (6) и перейти к эксперименту, руководствуясь формулами (3), (4), (5). Идея дальнейших действий состоит в преобразовании неравенства к равносильным неравенствам. Итак, . Прологарифмируем это неравенство: После преобразования, положив (8) Получим B+kn3,996. Мы принимаем гипотезу Н1: р = 0,3 и, следовательно, решаем партию забраковать. В случае б) видим, что после 25-го опыта мы попадем в зону принятия гипотезы Н0: р = 0,1 и, следовательно, приходим к решению признать партию изделий годной. Действительно, эта зона определяется неравенством: m  -2,58 + 0,186n, откуда при n = 25, m = 2 получаем, что 2<2,07. Случай а) на рис.2 показан не соединенными между собой точками; случай б) – соединенными между собой точками. Рис.2 Иллюстрация решения примера