Метод наименьших квадратов (МНК)

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ (МНК) Рассмотрим пример. Пусть имеются результаты десяти измерений ( N  10 ). i xi yi 1 1 33 2 2 23 3 4 10 4 6 9 5 8 8 6 11 7 7 15 4 8 17 4 9 20 4 10 25 3 Изобразим полученную зависимость графически точками с координатами ( xi , yi ) , для чего воспользуемся программой MathCad®, см. рис. 1. По расположению эмпирических точек не очевидно, какая зависимость имеется между переменными X и Y . Проверим несколько гипотез и выберем наиболее подходящую кривую. 1) Выбираем гипотезу: зависимость линейная. Уравнение будем искать в виде ŷ  k1  k2 x . (3) Применим метод наименьших квадратов (МНК) для оценки параметров k1 и k2 . Согласно методу наименьших квадратов неизвестные параметры k1 и k2 выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений yi от значений yˆ i , найденных по уравнению (3), была минимальной: n n  ( yˆ  y )   (k 2 i 1 i i i 1 1  k2 xi  yi ) 2  min . Рис. 1 Применяя необходимое условие экстремума для функции двух переменных F (k1 , k2 )  n  (k i 1 1  k2 xi  yi ) 2 , приравняем нулю еѐ частные производные, т.е. N  F  k  2 (k1  k2 xi  yi )  0, i 1  1  N  F   2 (k1  k2 xi  yi ) xi  0,  k2 i 1 откуда после преобразований получим систему нормальных уравнений для определения параметров линейной функции: N N  k1 N  k2  xi   yi  i 1 i 1  N N N 2 k 1  xi  k 2  xi   xi yi .  i 1 i 1 i 1 (4) Теперь, разделив обе части уравнений (4) на n , получим систему нормальных уравнений в виде: k1  k2 x  y ,  2 k1 x  k2 x  xy, (5) где соответствующие средние определяются по формулам: 1 n x   xi ; n i 1 (6) 1 n y   yi ; n i 1 (7) 1 n xy   xi yi ; n i 1 (8) 1 n 2 x   xi . n i 1 (9) 2 Решим систему нормальных уравнений (5) для рассматриваемого примера в MathCad® (см. рис. 2): Рис. 2 Получаем k1  20.56, k2  0.92 , уравнение линейной функции y  20.56  0.92 x . Построим график этой функции (см. рис. 3). Рис. 3 2) Выбираем гипотезу: зависимость параболическая (см. ПРИЛОЖЕНИЕ). Модельное уравнение имеет вид yi  k1  k2 xi  k3 xi2 . Применим метод наименьших квадратов (МНК) для оценки параметров k1 , k2 и k3 . Система нормальных уравнений имеет вид: N N N  2 k1 N  k2  xi  k3  xi   yi i 1 i 1 i 1  N N N  N 2 3 k1  xi  k2  xi  k3  xi   xi yi i 1 i 1 i 1  i 1 N N N  N 2 3 4 2 k1  xi  k2  xi  k3  xi   xi yi i 1 i 1 i 1  i 1 Решим эту систему (см. рис. 11): Рис. 11 (29) Получаем k1  28.41, k2  3.05, k3  0.09 уравне- ние параболы y  0.09 x 2  3.05 x  28.41. Построим график этой функции (см. рис. 12). Рис. 12 3) Выбираем гипотезу: зависимость гиперболическая (см. ПРИЛОЖЕНИЕ). Модельное уравнение имеет вид yi  k1  k2 . Приxi меним метод наименьших квадратов (МНК) для оценки параметров k1 и k2 . Система нормальных уравнений имеет вид: N N 1  k1 N  k2  x   yi i 1 i i 1   N N N 1 1 1 k  k  yi  2 2  1  i 1 xi i 1 xi i 1 xi Решим эту систему (см. рис. 14): Рис. 14 (30) Получаем k1  3.01, k2  31.89 уравнение гиперболы y  3.01  рис. 15). 31.89 . Построим график этой функции (см. x Рис. 15 Рис. 17 Из трѐх полученных кривых выбираем наилучшую, т.е. ту, для которой сумма квадратов отклонений теоретиn ческих и эмпирических точек ( y  y) i 1 i 2 минимальна. Варианты индивидуального задания Произведены десять измерений двумерной случайной величины ( X , Y ) . Результаты представлены в таблице. X x x … x 1 Y 2 10 y1 y2 … y10 Необходимо: 1. Составить уравнения прямой, параболы и гиперболы, построить найденные линии на графике. 2. Сделать выводы о кривой наилучшего приближения. 1 вариант xi 2.1 6.5 yi 1.4 2.2 2.9 1.7 3.0 2.0 2.6 1.7 2.0 1.0 1.4 0.5 6.8 2.6 3.7 2.1 2.1 1.6 1.5 0.6 3.3 2.1 4.1 2.4 1.8 1.0 1.4 0.4 6.5 2.2 5.5 2.6 1.6 1.1 5.1 2.4 7.0 2.7 6.7 2.6 4.8 2.3 1.9 1.4 3.7 2.2 1.3 0.4 5.5 2.4 4.9 2.5 2.4 1.5 4 вариант xi 6.4 1.3 yi 4.4 9.1 5.3 4.1 4.3 4.4 1.7 7.8 5.6 4.2 2.9 5.4 1.9 6.8 3.0 5.4 4.6 4.7 5 вариант xi 1.7 3.5 yi 7.2 5.2 7.0 3.9 1.2 9.4 1.7 7.5 3.0 5.8 1.1 5.7 10.3 4.5 5.7 4.1 4.7 4.5 2 вариант xi 1.6 yi 1.1 3 вариант xi 3.1 yi 2.2 6 вариант xi 4.6 3.0 yi 5.9 6.7 6.5 5.4 7 вариант xi 7.0 5.0 yi 25.8 6.4 7.2 4.7 29.4 4.3 1.2 4.8 11.1 5.9 1.6 9.5 4.6 5.6 7.0 6.0 2.6 25.1 12.1 0.8 1.1 6.9 11.3 5.5 1.5 9.8 6.8 7.4 4.6 21.9 34.5 4.5 8 вариант xi 16.0 17.2 8.9 4.6 2.9 2.0 13.1 17.0 7.7 15.3 yi 17.7 17.0 17.2 18.6 19.4 21.4 17.7 17.0 18.1 17.5 9 вариант xi 2.5 13.2 11.4 8.8 yi 8.1 3.6 3.2 3.8 9.8 4.3 3.9 6.4 15.0 16.7 17.6 6.7 3.3 3.2 3.1 4.8 10 вариант xi 3.7 3.0 yi 6.0 6.7 2.1 5.3 2.8 6.0 2.4 6.1 2.1 5.4 3.6 6.6 11 вариант xi 1.0 1.8 3.3 2.4 4.3 yi 0.2 -1.0 -7.2 -2.9 -13.7 12 вариант xi 1.0 6.0 yi 5.5 1.6 2.0 4.1 3.0 2.8 4.0 3.3 1.7 -0.6 3.0 2.6 2.9 6.7 2.6 6.0 1.1 2.7 3.8 2.2 1.4 -9.8 -1.8 0.1 1.6 -0.6 5.0 2.7 7.0 2.7 10.0 1.0 2.1 4.5 13 вариант xi 1.0 2.0 yi 10.9 8.7 7.0 6.0 9.0 7.0 6.0 7.2 14 вариант xi 6.2 8.4 yi 1.7 2.9 6.5 2.2 9.6 3.2 0.5 2.1 -1.8 1.1 8.5 2.1 15 вариант xi 5.8 6.8 yi 4.5 4.6 1.3 3.9 0.4 1.7 4.0 4.0 16 вариант xi 5.0 2.8 yi 9.7 2.5 5.0 7.8 8.0 7.4 3.0 8.1 8.8 1.8 5.6 2.5 0.2 -7.8 0.2 7.6 -1.4 4.1 3.6 4.4 5.7 3.8 2.2 1.4 5.7 5.4 5.9 6.9 2.6 12.2 10.8 13.5 18.4 2.3 0.2 0.3 0.6 0.5 17 вариант xi 4.2 3.0 yi 6.6 2.6 1.1 3.1 5.9 2.2 15.5 2.7 4.0 8.6 6.4 20.0 18 вариант xi 4.6 2.0 yi 19.7 3.9 1.1 2.4 5.9 6.1 4.4 0.2 33.1 35.9 15.4 2.5 19 вариант xi 0.7 7.0 5.2 3.5 yi 0.1 35.7 14.5 5.0 3.9 6.7 1.0 7.0 11.1 7.7 1.8 4.6 6.0 0.2 17.1 3.4 4.7 0.6 10.0 0.7 0.2 2.5 4.2 2.8 15.1 4.6 3.2 6.6 4.2 7.0 7.0 34.2 3.7 6.1 20 вариант xi 5.8 6.8 yi 4.5 4.6 1.3 3.9 0.4 1.7 4.0 4.0 1.8 4.6 0.2 7.6 -1.4 4.1 3.6 4.4 5.7 3.8 21 вариант xi 5.1 0.9 5.8 3.6 3.0 6.6 3.8 3.3 5.9 3.2 yi 37.9 1.7 46.1 18.8 12.0 59.8 19.9 14.7 50.1 14.3 22 вариант xi 1.1 2.8 yi 1.1 4.2 0.6 0.6 3.8 2.7 10.9 4.9 2.2 3.0 3.5 5.7 2.2 2.9 2.9 3.5 23 вариант xi 4.8 2.5 yi 17.2 5.5 1.5 1.0 1.2 1.9 1.0 2.0 2.7 4.5 2.8 4.6 4.0 3.2 11.1 7.4 4.0 8.6 3.1 6.3 24 вариант xi 4.3 1.7 0.3 2.6 2.9 4.6 1.1 4.6 3.0 3.2 yi 20.4 18.7 4.6 27.0 24.1 19.0 13.4 24.0 27.5 27.4 25 вариант xi 1.6 3.1 3.8 4.0 4.1 2.8 2.7 4.6 1.4 2.3 yi 27.6 40.9 45.4 46.7 47.4 39.6 37.4 43.6 24.7 37.1 26 вариант xi 5.0 1.8 4.5 yi 1.0 15.6 5.9 2.8 2.1 1.4 1.9 4.9 17.7 14.8 13.0 13.1 1.7 4.8 2.9 1.5 10.7 27 вариант xi 4.5 0.7 5.5 3.2 3.5 5.7 1.7 8.0 7.0 5.9 yi 23.3 4.7 19.6 23.6 21.7 19.6 13.7 0.6 12.0 20.9 28 вариант xi 0.7 2.9 yi 0.9 6.4 6.7 4.3 2.2 31.5 11.0 2.3 29 вариант xi 4.0 4.7 yi 6.3 8.7 1.7 5.8 30 вариант xi 3.9 16.2 1.0 yi 5.5 5.7 4.3 5.6 7.0 7.3 1.8 23.8 39.7 39.9 1.1 5.7 0.3 3.0 13.7 11.8 4.3 0.1 0.5 4.8 4.8 0.6 7.2 15.8 7.7 5.0 4.5 6.8 33.6 5.0 5.0 4.3 12.7 10.4 6.1 1.3 5.3 10.9 4.8 5.6 4.9 31 вариант xi 0.4 2.7 yi 0.9 3.8 14.6 4.6 4.8 3.5 17.7 18.2 8.5 4.2 4.5 4.4 17.1 18.8 7.5 5.1 4.8 5.0 32 вариант xi 5.2 8.3 yi 5.7 5.5 6.3 5.1 10.9 11.4 0.1 5.7 6.3 3.2 3.0 5.3 0.6 4.7 8.5 5.6 8.4 6.4 33 вариант xi 5.2 8.3 6.3 0.6 10.9 11.4 0.1 3.0 8.5 8.4 yi 15.3 15.4 15.3 17.5 15.9 16.1 26.9 15.3 15.1 16.1 34 вариант xi 12.2 5.0 2.2 19.2 18.7 2.6 1.1 1.7 4.2 16 yi 14.5 15.5 18.1 13.8 13.1 17.9 24.0 19.9 15.6 13.1 35 вариант xi 11.4 12.5 9.5 yi 5.2 5.1 6.3 36 вариант xi 11.9 6.6 yi 8.2 8.4 8.1 6.1 16.9 8.4 7.3 9.0 1.2 14.6 1.8 9.5 15.4 5.8 11.1 6.1 16.2 4.3 8.5 9.0 5.3 6.2 8.8 7.5 0.8 1.0 10.4 7.1 17.0 15.6 8.1 9.3 37 вариант xi 4.7 14.4 5.2 15.1 13.2 7.3 2.0 14.1 10.3 18.3 yi 12.2 10.2 11.8 10.3 10.2 12.1 16.4 10.2 10.4 11.0 38 вариант xi 0.7 16.3 17.8 6.9 19.9 16.5 19.3 13.3 10.5 5.1 yi 32.0 17.2 17.3 17.4 17.5 16.3 17.1 16.9 18.0 19.5 39 вариант xi 4.4 12.5 4.5 0.9 8.5 5.3 11.2 15.0 12.8 19.9 yi 10.1 8.1 10.0 20.5 7.8 9.8 8.3 8.5 7.5 8.0 40 вариант xi 0.5 10.4 3.6 6.1 3.2 0.4 5.1 14.2 7.7 8.3 yi 18.5 11.3 11.4 10.5 11.7 20.4 11.6 10.2 11.2 10.4 41 вариант xi 0.4 4.4 11.2 9.9 14.3 1.2 13.7 10.6 2.0 3.9 yi 35.7 12.1 11.1 10.8 10.4 18.2 10.7 11.5 15.1 13.2 42 вариант xi 8.2 14.5 2.8 11.9 2.4 14.2 9.8 yi 7.3 6.2 10.2 6.5 10.8 5.7 7.0 14.0 4.3 6.7 8.9 4.5 8.0 43 вариант xi 8.9 11.1 5.0 9.8 14.8 1.2 13.0 2.1 6.7 0.3 yi 11.0 9.9 11.5 11.3 10.2 14.4 10.5 12.0 11.2 26.2 44 вариант xi 14.5 1.5 14.8 8.6 1.9 4.5 7.8 10.5 8.8 9.0 yi 9.4 17.7 9.5 10.8 16.0 11.0 10.8 10.3 9.7 9.5 45 вариант xi 3.8 0.6 1.8 3.0 3.9 7.4 7.8 1.9 1.6 5.0 yi 20.7 14.2 15.5 17.7 21.4 43.4 48.0 14.5 14.7 26.7 46 вариант xi 0.9 0.7 yi 2.9 3.7 2.3 1.6 47 вариант xi 2.1 4.0 1.4 yi 6.4 22.3 3.7 3.5 2.8 2.6 1.2 0.5 6.2 6.4 2.7 40.0 2.6 7.5 3.3 63.0 4.6 3.7 2.7 6.6 5.1 2.0 17.6 10.5 74.0 40.0 5.1 4.0 0.5 22.3 8.8 48 вариант xi 7.6 6.3 2.2 yi 45.0 29.0 8.3 0.4 9.6 49 вариант xi 0.6 1.9 yi 4.0 4.4 5.3 2.9 30.3 6.8 0.3 5.0 2.7 8.1 7.1 3.5 5.6 4.0 3.4 41.3 11.6 22.3 14.4 9.0 5.4 0.7 33.3 1.6 4.2 1.9 17.4 2.4 1.7 3.8 50 вариант xi 4.4 6.0 0.6 1.6 yi 24.2 51.0 10.9 7.7 3.3 0.4 2.2 13.8 11.2 7.9 2.8 0.8 11.3 7.2 5.3 38.5 51 вариант xi 5.0 5.1 yi 1.2 1.4 1.7 1.1 0.4 4.4 2.3 0.8 4.3 0.9 2.8 0.5 2.5 0.8 4.4 1.5 52 вариант xi 7.9 2.6 yi 48.5 3.0 7.3 7.5 5.5 4.2 39.0 40.7 18.3 7.8 0.6 6.1 0.2 8.7 5.0 5.6 13.5 20.5 2.2 3.5 7.4 6.7 2.8 15.4 15.0 5.2 7.5 3.3 53 вариант xi 4.7 5.0 6.1 5.5 2.1 yi 11.7 11.9 13.7 13.2 4.7 2.6 5.5 54 вариант xi 5.4 4.8 6.4 2.1 1.2 1.3 4.0 0.3 7.8 3.0 yi 34.4 33.5 38.0 18.4 11.2 10.9 27.3 2.8 39.4 22.0 55 вариант xi 4.8 2.4 0.8 5.1 3.0 1.7 4.4 3.4 5.0 0.3 yi 15.1 16.1 3.9 13.1 18.0 11.6 16.7 18.5 13.0 0.1 56 вариант xi 1.3 4.6 2.2 3.4 3.3 7.4 1.2 2.0 3.9 6.3 yi 14.4 41.7 22.1 33.7 34.6 46.5 10.8 22.7 36.0 48.1 57 вариант xi 3.7 6.9 yi 2.9 1.7 3.9 0.8 5.3 1.1 5.0 1.7 0.6 2.3 18.6 4.9 6.8 0.2 5.5 2.1 7.4 2.0 58 вариант xi 0.2 3.6 yi 11.6 1.0 0.5 5.3 4.2 1.6 1.5 3.0 0.3 8.3 0.5 3.7 7.8 1.5 5.6 1.8 4.3 1.6 59 вариант xi 4.2 1.4 yi 1.6 8.4 2.2 6.1 3.3 2.2 5.6 1.6 1.5 8.1 0.5 3.5 30.2 4.5 1.0 6.8 15.7 2.3 60 вариант xi 1.4 4.6 yi 12.1 1.4 2.2 4.8 3.5 4.6 3.3 3.9 7.5 2.3 1.2 2.2 10.8 4.7 3.9 1.8 61 вариант xi 0.5 3.0 yi 11.3 4.1 8.2 3.7 0.3 7.9 17.6 3.8 0.9 7.2 7.8 3.7 13.6 1.3 2.6 5.6 8.1 2.9 6.4 0.5 62 вариант xi 3.2 6.0 yi 1.9 6.9 5.5 4.7 63 вариант xi 3.8 3.3 yi 10.2 8.9 5.9 3.2 21.3 6.6 7.0 4.3 10.0 3.2 1.9 3.1 5.9 6.1 6.9 5.2 1.4 30.8 16.2 5.2 2.6 0.7 4.7 3.1 0.1 5.1 5.9 3.5 23.0 7.5 0.2 3.1 64 вариант xi 4.4 4.3 1.8 yi 17.8 18.8 0.8 5.5 5.0 0.6 31.0 24.5 1.8 6.0 2.2 37.6 1.4 65 вариант xi 1.1 0.3 yi 0.3 1.8 0.1 3.5 4.5 9.0 6.4 3.0 24.6 4.8 1.7 1.6 66 вариант xi 5.3 1.5 yi 9.8 2.1 5.4 3.9 10.7 5.5 6.0 3.8 14.7 6.3 6.1 1.6 14.7 1.4 2.6 3.6 0.2 2.1 67 вариант xi 2.9 6.8 yi 2.7 7.0 2.4 3.3 4.2 4.0 6.3 7.8 1.6 2.5 3.7 4.6 4.0 4.9 3.6 3.5 6.8 8.2 68 вариант xi 4.4 3.4 yi 6.1 5.1 1.9 4.0 0.5 2.4 3.2 4.2 4.5 7.0 1.9 3.7 4.4 6.8 0.7 2.9 3.5 5.2 3.3 7.0 1.3 0.8 4.6 0.2 11.5 1.8 1.0 1.0 69 вариант xi 5.5 0.4 2.8 3.1 4.0 4.2 2.6 6.3 5.7 6.6 yi 25.3 27.4 27.1 25.8 26.1 26.4 26.1 24.2 24.4 24.9 70 вариант xi 1.7 4.2 0.1 1.5 9.0 7.7 4.9 6.2 5.3 6.2 yi 20.4 17.7 24.4 21.4 10.6 13.6 17.9 16.1 16.0 14.8 71 вариант xi 2.5 5.2 8.4 3.6 5.8 7.0 3.0 1.0 3.1 3.3 yi 20.3 16.0 11.6 18.8 16.7 14.4 18.9 21.7 20.8 20.5 72 вариант xi 5.9 3.0 1.6 1.0 4.9 7.7 4.5 7.4 0.9 5.7 yi 14.1 15.8 16.7 17.8 14.0 13.5 14.6 15.0 17.6 14.5 73 вариант xi 5.9 3.0 yi 2.7 6.1 1.6 1.0 4.9 10.2 17.4 4.3 7.7 2.9 4.4 3.3 7.5 1.5 1.0 5.5 19.1 1.4 74 вариант xi 1.4 8.4 yi 17.7 2.7 7.7 3.0 2.4 6.0 10.6 2.0 9.0 2.5 5.6 4.0 6.3 3.1 2.6 9.1 8.8 0.9 75 вариант xi 1.1 5.5 yi 14.2 3.0 3.4 2.7 6.6 0.3 8.5 0.9 3.7 3.1 6.9 2.2 4.3 3.2 6.0 1.1 4.5 2.0 76 вариант xi 2.3 5.2 yi 13.0 5.2 2.4 1.3 4.9 10.3 23.2 3.8 1.9 4.3 15.8 6.0 0.9 8.9 31.0 2.5 6.7 1.8 1.2 6.6 21.3 4.6 8.5 2.4 77 вариант xi 3.6 1.8 7.9 yi 5.8 15.6 1.6 7.4 3.4 1.3 5.6 23.2 3.1 6.8 5.0 78 вариант xi 8.2 5.4 yi 7.8 8.4 6.4 6.5 3.8 8.5 12.3 6.8 2.3 1.6 7.5 24.4 31.6 7.4 7.6 6.9 3.8 11.6 79 вариант xi 4.2 4.1 2.9 1.5 2.8 4.9 2.7 1.6 6.8 0.7 yi 43.8 43.0 42.7 42.1 42.3 49.0 39.8 42.4 69.0 48.4 80 вариант xi 6.9 5.9 4.7 5.3 1.5 5.5 5.3 3.5 5.9 6.9 yi 62.0 54.3 47.3 49.8 42.8 51.9 48.4 40.2 54.8 64.0 81 вариант xi 1.3 4.7 yi 6.4 7.2 5.9 5.8 6.8 4.7 11.5 13.0 21.7 5.0 82 вариант xi 1.7 1.5 5.3 2.5 yi 11.1 12.6 12.4 8.7 5.2 3.0 13.3 8.4 2.5 3.5 5.0 9.2 4.1 3.9 1.3 9.8 0.2 2.7 15.2 8.8 1.3 8.6 0.8 13.2 83 вариант xi 2.4 1.9 3.1 2.9 0.4 2.3 6.4 0.6 5.4 5.5 yi 9.4 10.5 7.9 10.9 19.0 11.3 23.1 18.4 14.7 13.3 84 вариант xi 0.5 1.4 0.3 1.1 6.2 4.9 1.3 2.6 3.7 0.7 yi 21.8 17.7 23.2 18.6 41.5 30.1 17.8 19.9 23.7 20.8 85 вариант xi 1.2 2.5 yi 9.7 9.0 6.2 3.4 17.8 9.8 4.2 3.0 4.1 5.4 0.5 0.4 10.0 10.3 12.1 14.1 10.8 11.6 86 вариант xi 11.4 10.0 17.1 9.7 19.7 15.0 4.7 16.9 10.5 1.5 yi 11.2 11.5 10.4 11.0 10.5 10.5 12.7 10.9 10.7 16.7 87 вариант xi yi 2.5 8.1 13.2 11.5 8.8 3.6 3.2 3.8 9.8 4.3 3.9 6.4 15.0 16.7 17.6 6.7 3.3 3.2 3.0 4.8 3.6 9.5 2.3 11.9 11.4 6.9 12.8 6.1 7.0 7.3 88 вариант xi yi 11.0 16.2 3.8 6.5 5.9 9.4 8.6 7.1 16.4 6.5 89 вариант xi yi 14.8 1.6 13.2 2.6 19.0 6.2 5.1 15.2 5.9 10.9 4.7 6.8 19.7 6.6 5.0 6.5 8.0 6.2 5.2 7.4 90 вариант xi 2.8 9.4 6.0 7.7 14.3 14.8 8.2 13.6 5.6 9.0 yi 37.3 32.0 30.8 30.0 55.8 58.1 32.1 51.6 29.8 33.2 91 вариант xi 4.4 1.7 3.4 4.1 12.0 2.2 2.9 8.9 9.9 7.4 yi 31.0 41.7 34.2 35.5 43.6 41.4 35.0 31.1 33.0 28.1 92 вариант xi 4.7 8.4 12.1 7.4 8.8 5.9 13.7 6.2 4.0 1.7 yi 41.4 48.7 61.4 44.3 50.7 41.9 67.5 41.3 41.0 46.1 93 вариант xi 7.2 6.3 8.8 12.7 1.1 1.6 4.5 10.9 2.9 13.0 yi 19.8 19.4 13.0 13.2 40.7 42.3 24.5 14.7 32.6 12.1 94 вариант xi yi 6.6 3.6 7.2 5.2 9.0 9.5 6.3 19.3 22.2 5.0 13.7 12.4 14.3 3.8 75.3 59.1 91.2 2.4 8.2 10.8 95 вариант xi 8.5 4.5 10.0 14.4 3.0 13.0 11.4 12.3 2.7 14.2 yi 24.6 21.9 24.5 38.8 24.3 34.7 28.4 29.2 21.8 38.9 96 вариант xi yi 7.1 8.1 5.0 7.3 3.5 9.8 5.6 5.2 1.3 5.2 20.4 5.5 1.4 12.8 9.8 10.4 21.3 35.8 16.6 18.5 97 вариант xi yi 2.5 15.0 12.8 12.2 12.7 1.6 4.1 10.7 6.8 12.0 13.5 20.7 9.8 7.0 9.9 18.1 7.9 3.7 3.5 6.4 99 вариант xi 14.9 6.1 4.4 7.2 8.5 4.1 6.8 2.0 14.7 6.2 yi 36.1 11.3 12.6 12.1 12.9 15.8 12.5 23.1 33.8 13.7 100 вариант xi yi 2.5 15.0 12.8 12.2 12.7 1.6 4.1 10.7 6.8 12.0 15.0 50.9 32.6 28.2 34.7 20.0 11.9 21.2 9.1 26.6 101 вариант xi yi 2.5 8.7 21.9 4.1 13.0 7.9 5.8 5.7 12.5 2.4 9.9 8.1 21.5 5.2 5.9 5.7 4.9 11.9 13.0 12.1 102 вариант xi yi 6.4 4.6 10.8 14.9 11.8 4.3 13.8 42.8 20.9 5.4 2.7 5.5 12.4 2.7 12.5 9.5 24.4 6.9 2.2 15.7 103 вариант 2.9 7.3 12.9 4.3 5.9 14.9 24.6 9.2 104 вариант xi yi xi yi 13.2 1.4 31.9 5.2 1.6 4.8 7.2 10.3 9.5 4.7 13.1 3.7 14.3 19.1 18.9 10.2 24.6 7.0 9.1 13.8 7.6 7.2 14.1 3.4 23.9 33.7 20.0 18.2 35.2 9.6 3.2 8.1 105 вариант 5.6 4.9 11.7 3.5 7.1 10.7 10.2 5.2 12.0 8.6 106 вариант xi yi 7.0 9.5 4.8 9.8 14.2 4.8 2.7 6.0 11.7 12.5 xi 13.2 1.4 1.5 9.1 13.8 7.6 7.2 14.1 3.4 3.2 yi 11.2 16.0 17.3 13.8 10.0 13.4 13.0 9.3 17.0 16.5 107 вариант xi yi 3.4 3.5 14.9 2.3 10.6 4.9 10.8 13.7 10.1 1.8 9.0 10.9 8.2 3.2 14.0 4.6 10.3 5.3 1.5 2.6 13.5 1.0 6.5 5.0 14.5 7.2 6.4 6.1 9.0 5.7 108 ариант xi yi 12.9 4.0 5.7 5.8 9.5 5.6 12.6 9.2 6.6 6.3 109 вариант xi yi 9.5 2.6 13.4 8.5 6.5 2.3 12.6 1.2 5.5 10.6 13.4 11.6 13.5 13.1 13.6 11.7 14.0 8.9 13.5 13.4 110 вариант xi 12.8 15.0 3.3 4.5 14.7 8.4 4.9 8.9 1.2 14.4 yi 13.6 14.0 13.5 13.3 14.0 13.6 14.2 14.4 11.9 14.5 111 вариант xi yi 3.8 4.2 14.4 11.7 1.9 4.6 5.1 3.3 1.5 2.4 13.0 5.0 4.7 4.5 4.8 4.1 9.8 4.9 5.4 5.0 112 вариант xi yi 4.8 7.1 3.4 6.1 9.6 7.7 9.2 7.5 1.6 5.4 1.4 4.2 7.3 7.6 7.0 7.2 8.4 7.8 2.0 5.4 113 вариант xi 1.3 3.1 7.9 10.7 1.2 1.7 5.7 9.8 11.1 3.7 yi 18.3 15.6 14.2 14.5 19.2 17.5 14.5 13.7 14.1 15.0 114 вариант xi yi 4.2 7.2 7.0 6.4 14.6 2.4 5.5 8.9 9.9 6.5 6.5 6.5 11.9 12.4 12.2 6.2 5.9 6.0 6.3 6.4 2.3 1.4 8.3 4.7 10.2 5.7 4.5 4.2 8.4 4.4 12.0 9.9 4.6 4.4 14.4 7.4 7.2 4.1 8.9 3.9 4.8 3.7 7.0 4.6 3.2 2.9 12.4 12.0 5.9 5.4 14.2 11.5 1.9 9.5 6.2 4.9 2.2 2.3 14.2 9.2 8.5 7.7 115 вариант xi yi 14.3 15.0 5.2 4.9 5.1 3.4 116 вариант xi yi 4.2 2.6 5.9 4.9 117 вариант xi yi 1.9 2.1 13.4 7.3 8.8 4.3 6.9 6.0 118 вариант xi yi 9.8 5.3 8.5 5.7 1.0 3.6 5.6 5.0 1.8 4.7 12.9 3.6 5.2 5.5 13.9 2.4 5.6 4.6 12.8 6.0 119 вариант xi yi 14.5 10.9 2.6 9.9 10.9 4.9 5.1 11.0 6.5 1.3 15.0 14.9 12.1 15.1 14.7 14.4 13.6 15.2 14.4 8.7 120 вариант xi yi 11.7 9.0 10.4 4.3 12.5 1.6 7.1 2.2 11.1 11.3 9.8 9.5 9.8 10.1 9.4 11.2 9.6 10.0 9.8 9.5 121 вариант xi yi 2.5 3.2 1.4 5.5 7.4 1.2 2.6 3.6 11.3 9.3 1.2 1.5 11.5 14.2 10.7 8.5 1.0 1.2 1.2 1.7 3.8 5.1 13.9 14.0 15.1 2.1 5.4 5.5 5.8 3.6 122 вариант xi yi 14.7 2.9 5.1 3.9 14.8 7.7 5.2 5.3 10.1 5.7 123 вариант xi 5.5 6.6 9.0 2.2 10.5 6.7 7.1 11.2 3.9 15.2 yi 12.8 12.6 13.1 11.2 12.9 13.2 12.7 13.0 12.3 13.1 124 вариант xi 5.8 6.7 2.5 10.4 8.0 3.5 11.7 11.4 3.1 13.5 yi 12.5 13.0 10.8 13.0 12.7 11.8 13.6 12.7 12.0 13.4 125 вариант xi yi 9.4 1.9 14.6 3.3 9.8 7.3 5.0 14.0 12.3 8.2 3.8 5.1 9.5 12.4 9.2 14.5 15.7 18.4 12.5 22.4 ПРИЛОЖЕНИЕ. 1. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ. Уравнение y  kx  b Рис. . Графики функции при k  0 и при k  0 Критерий выбора i(1)  yi 1  yi  const Система нормальных уравнений МНК N N   bN  k  xi   yi  i 1 i 1  N N N b x  k x 2  yi xi   i i   i 1 i 1 i 1 2. КВАДРАТИЧНАЯ (ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ) ЗАВИСИМОСТЬ Уравнение y  ax 2  bx  c Рис. . Графики функции при a  0 и при a  0 Система нормальных уравнений МНК N N N  2  cN  b xi  a  xi   yi i 1 i 1 i 1  N N N  N 2 3 c  xi  b xi  a  xi   yi xi i 1 i 1 i 1  i 1 N N N  N 2 3 4 2 c  xi  b xi  a  xi   yi xi i 1 i 1 i 1  i 1 3. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ЗАВИСИМОСТЬ Уравнение b y a x Рис. . Графики функции при b  0 и при b  0 , a  0 Система нормальных уравнений МНК N N 1   aN  b x   yi i 1 i i 1   N N N yi 1 1 a  b     2  x x i  1 i  1 i 1 xi i i  4. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ Уравнение y  aebx Рис. . Графики функции при b  0 и при b  0 Система нормальных уравнений МНК N N   N ln a  b xi   ln yi  i 1 i 1  N N N 2 ln a x  b x  x ln y   i i i i   i 1 i 1 i 1